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金融リスクとポートフォリオマネジメント
- 2. 2 【略歴】 2012/3 京都大学 経済学部 卒業 2015/3 筑波大学大学院経営システム科学 修了 修士(経営学) 2016/4 筑波大学大学院システムズマネジメントコース 入学 2018/2 野村アセットマネジメント株式会社 資産運用先端技術研究部 (現在) 2020/1 筑波大学大学院システムズマネジメントコース 修了 博士(経営学) 【研究】 ✔ 機械学習/人工知能： ✔ 金融工学/計量ファイナンス： ・ 内外株式、マルチアセットのクオンツファンドの開発、運用経験。 先端的な要素技術の研究開発と資産運用ビジネスへの応用に従事。 自己紹介 - 中川 慧 「RM-CVaR: Regularized Multiple beta-CVaR Portfolio」 IJCAI-PRICAI 2020 Special Track on AI in FinTech, 2020 など 「RIC-NN: A Robust Transferable Deep Learning Framework for Cross-sectional Investment Strategy」 IEEE DSAA 2020など https://sites.google.com/keinakagawa.page/homepage/home
- 6. 平均分散ポートフォリオ ✔ 伝統的ポートフォリオ理論では、投資家は収益率の期待値(平均)と 共分散行列(リスク)にしたがってポートフォリオを決定すると仮定。 ニッセイ基礎研年金ストラテジー Vol.103(2005)より ✔ 投資家は効率的フロンティア*上のポートフォリオを選択。 インプット：期待リターン、リスク（、リスク回避度） ↓ リスクとリターンのトレードオフの最適化 アウトプット：最適ウェイト ✔ どこを選択するかはリスク回避度次第。 6 *あるリスクで達成できる最大のリターンのポートフォリオの集合
- 7. CAPM : Capital Asset Pricing Model ✔ 市場均衡条件と下記の仮定を平均分散ポートフォリオに付加すると、CAPMと呼ばれ る、最も重要な資産評価モデルが導かれる。 市場の均衡状態では、最適なポートフォリオは時価総額加重ウェイトのポートフォリオに 一致する。 ・すべての投資家は証券の期待値、リスク、相関について同質的な期待を持つ。 平均分散は個々の投資家についての議論。 一方で、CAPMは投資家が平均分散に従って行動した帰結。 ・無リスク利子率による貸借が無制限に可能。 そのとき、個々のリスク資産のリターンは次の式で与えられる。 𝜇𝑖 = 𝑟𝑓 + 𝛽𝑖(𝑟 𝑀 − 𝑟𝑓) 7 TOPIXとかSP500とか 日経平均は違う
- 8. 平均分散ポートフォリオの課題 ✔ 平均分散ポートフォリオの代表的な課題として次の4点がある。 (1) Error Maximization (2) 資産集中 (3) 期待リターンの推定の困難性 (4) テールリスクへの非対応 8
- 9. 平均分散ポートフォリオの課題 日本株 12.13% 外国株 15.48% 債券 9.23% ✔ Error Maximizationの例 日本株 外国株 債券 日本株 0.02528 0.02098 0.00411 外国株 0.02098 0.05452 0.00085 債券 0.00411 0.00085 0.00487 ・期待リターン 13.5%以上、 リスクを最小にするポートフォリオを考える。 19.5% 59.3% 21.2% 共分散行列 13.34% +10% 50.3% 35.2% 14.5% +160% 株の年率リスクは20%。 1%の誤差は推定値として非常に優秀だが、、 9 期待リターン 最適ウェイト min リスク s. t. リターン>13.5%
- 11. ✔ 期待リターンの推定の困難性の例 ニッセイ基礎研年金ストラテジー Vol.103(2005)より 横軸(リスク)は景気などに よらず安定してそう。 しかし縦軸(リターン)は？ 平均分散ポートフォリオの課題 11*あるリスクで達成できる最大のリターンのポートフォリオの集合
- 12. 平均分散ポートフォリオの課題 12 日次 リターン 週次 リターン 月次 リターン 年次 リターン 日次対数リ ターン 週次対数リ ターン 月次対数リ ターン 年次対数リ ターン 年率リターン 7.73% 8.11% 7.98% 10.27% 2.71% 2.81% 2.71% 3.05% 年率リスク 17.20% 17.99% 18.60% 26.75% 7.48% 7.84% 8.11% 10.25% R/R 0.45 0.45 0.43 0.38 0.36 0.36 0.33 0.30 歪度 -0.18 -0.25 -0.21 0.95 -0.39 -0.46 -0.48 0.06 尖度 13.40 6.44 4.19 4.78 13.81 6.93 4.56 3.45 p値 0.0000% 0.0000% 0.8157% 68.9049% 0.0000% 0.0000% 0.0947% 99.9819% サンプル数 17,492 3,525 847 70 17,492 3,525 847 70 TOPIX指数の日次、週次、月次、年次のリターンの統計量（超長期） *Kolmogorov–Smirnov検定で正規性を検定。 * ✔ テールリスクの非対応 ・負の歪度、大きな尖度を持つ ・正規分布に従わない 平均分散ポートフォリオだとこれらを考慮できない
- 14. ✔ 推定の難しい期待リターンを直接使用せず、リスクのみを使用するポートフォリオ構築法 リスクベース・ポートフォリオとは ✔ 最小分散(MV)、リスクパリティ(RP)、最大分散度(MD)が代表的である。 ✔ リスクベースポートフォリオは実務家が中心になって提案されている。 ポートフォリオ 論文 概要 MV Clarke, et al [2006] 米国市場における最小分散ポートフォリオの実証分析 MV 山田,上崎 [2009] 日本市場における最小分散ポートフォリオの実証分析 RP Qian [2005] リスクパリティ・ポートフォリオの提案とその効率性の検討 RP Maillard, et al [2010] 効率的なリスクパリティ・ウェイトの計算方法の提案 MD Choueifaty and Coignard [2008] 最大分散度ポートフォリオの提案と実証分析 MV,RP,MD Jurczenko, et al [2013] リスクベース・ポートフォリオを一般化して定式化 14 →平均分散法の有力なオルタナティブ
- 15. ✔ リターンの水準は関係なく、リスクのみを最小化して作られるポートフォリオ 分散共分散行列を 𝜮 = E 𝑹 − 𝝁 𝑹 − 𝝁 𝑇 とすると、 ポートフォリオの分散は𝜎 𝑃 2 = 𝒘 𝑇 𝜮𝒘と書ける。 𝑹 = 𝑅1, . . . , 𝑅 𝑁 𝑻 : 𝑁個の資産の収益率ベクトル 𝒘 = 𝑤1, … , 𝑤 𝑁 𝑻 : 𝑁個の資産のウェイトベクトル 𝝁 = 𝜇1, … , 𝜇 𝑁 𝑻 : 𝑁個の期待リターンベクトル このとき、最小分散ポートフォリオは以下を 満足するウェイトを持つ。 最小分散ポートフォリオ(MV) 𝒘 = 𝜮−𝟏 𝟏 𝟏 𝑇 𝜮−𝟏 𝟏 制約(0 < 𝑤𝑖)がない場合には 解析的にウェイトが求まる。 s. t. ; 𝟏 𝐓 𝒘 = 1， 0 < 𝑤𝑖 < 1 min 𝒘 𝜎 𝑃 2 = 1 2 𝒘 𝑇 𝜮𝒘 15
- 16. ✔ 全ての資産のリスク寄与度(配分)が等しいポートフォリオ Qian [2005] 𝑅𝐶𝑖 = 𝑤𝑖 × 𝑀𝑅𝐶𝑖 リスク寄与度(Risk Contribution; RC)は次のように書ける。 ∵ 𝑤𝑖 × 𝑀𝑅𝐶𝑖 = 𝜎 𝑃 このリスク寄与度が各資産で等しいポートフォリオを リスクパリティポートフォリオという。 𝑀𝑅𝐶 = 𝜕𝜎 𝑃 𝜕𝒘 = 𝜮𝒘 𝜎 𝑃 , 𝑀𝑅𝐶𝑖 = 𝜮𝒘 𝒊 𝜎 𝑃 ポートフォリオのリスク(𝜎 𝑃)をウェイトで微分した 限界リスク寄与(Marginal Risk Contribution;MRC)を以下のように定義する。 リスクパリティ・ポートフォリオ(RP) ウェイトで合計するとリスクに！ リスクの分解を表す。 16 RPのうち、相関を考慮せずボラティリティ（分散）のみでリスクパリティにする ポートフォリオをボラティリティ・インバース(VI)ポートフォリオという。
- 17. max 𝒘 DR(𝐰) = 𝒘 𝑻 𝝈 𝜎 𝑃 ✔ 分散効果が最も享受できるポートフォリオ Choueifaty [2008] シャープレシオ最大化ポートフォリオの期待超過リターンの 代わりにボラティリティを使用したとも見れる。 このとき、最大分散度ポートフォリオは以下の分散度 (Diversification Ratio;DR) を最大化する。 ポートフォリオのリスクは𝜎 𝑃 = 𝒘 𝑇 𝚺𝒘 と書ける。 また、各資産のボラティリティを 𝝈 = diag 𝚺 とする。 最大分散度ポートフォリオ(MD) 相関以外は連動して増減 17
- 18. (平成26年業務概況書 GPIF HP;http://www.gpif.go.jp/operation/state/pdf/h26_q4.pdf より筆者作成) 各ポートフォリオの比較 国内 債券 国内 株式 外国 債券 外国 株式 標準偏差 4.7 25.1 12.6 27.3 国内債券 1 -0.16 0.25 0.09 国内株式 -0.16 1 0.04 0.64 外国債券 0.25 0.04 1 0.57 外国株式 0.09 0.64 0.57 1 相関係数 ✔ GPIFのリスク見通し(右)の下でのウェイト(上)とリスク寄与度、リスク、分散度(下) GPIFのリスク見通し 18
- 20. ✔ 最小分散以外は推定誤差に関してロバスト。 つまりパラメータの推定精度がパフォーマンスにあまり影響しない リスクベースポートフォリオの性質 20 ✔ 共分散行列の推定精度とリスクベースポートフォリオのパフォーマンスの関係 ポートフォリオ DCC DCC＋LS DCC＋NLS cDCC cDCC＋LS cDCC＋NLS 最小分散 最小分散(制約なし) リスクパリティ 最大分散度 推定手法(精度)によって各ポートフォリオの パフォーマンスはどう変わるか？ 推定手法 Nakagawa, K., Imamura, M., & Yoshida, K. (2018). Risk-based portfolios with large dynamic covariance matrices. International Journal of Financial Studies, 6(2), 52.
- 22. 研究紹介 [3] “RM-CVaR: Regularized Multiple beta-CVaR Portfolio", Kei Nakagawa, Shuhei Noma and Masaya Abe, 2020,IJCAI2020 [2] “ブラック・リッターマン法を用いたリスクベース・ポートフォリオの拡張“,中川慧,2019, ファイナンシャルプランニング研究,2018年度日本FP学会優秀賞受賞 [1] “リスクベース・ポートフォリオの高次モーメントへの拡張”,中川 慧, 2017, リスク管理・保険とヘッジ(JAFEE Journal) 朝倉書店 22
- 23. 研究紹介 [3] “RM-CVaR: Regularized Multiple beta-CVaR Portfolio", Kei Nakagawa, Shuhei Noma and Masaya Abe, 2020,IJCAI2020 [2] “ブラック・リッターマン法を用いたリスクベース・ポートフォリオの拡張“,中川慧,2019, ファイナンシャルプランニング研究,2018年度日本FP学会優秀賞受賞 [1] “リスクベース・ポートフォリオの高次モーメントへの拡張”,中川 慧, 2017, リスク管理・保険とヘッジ(JAFEE Journal) 朝倉書店 23
- 24. ✔ そこで、歪度や尖度といったより高次のモーメントもリスクとして捉え、 これらを取り込んだ定式化を行い従来のリスクベースポートフォリオを拡張する。 その上で資産配分を例に手法の収益性やリスクを確認する。 【1】 研究の背景・目的 ✔ 運用業界では、平均分散法に代わって期待リターンの推計を必要とせず、リス クのみに基づきポートフォリオを構築するリスクベースのポートフォリオ構築方法が注 目されている。 ✔ しかし、従来のリスクベースポートフォリオは分散共分散構造のみを「リスク」 と捉えていた。 24
- 27. このとき各次数のモーメント行列は 𝑴 𝟏 = 𝐸 𝑹 = {𝜇𝑖} = 𝝁 𝑁 × 1 𝑴 𝟐 = 𝐸[ 𝑹 − 𝝁 𝑹 − 𝝁 𝑻] = {𝜎𝑖𝑗} 𝑁 × 1 1 × 𝑁 = 𝑁 × 𝑁 𝑴 𝟑 = 𝐸[ 𝑹 − 𝝁 𝑹 − 𝝁 𝑻 ⊗ 𝑹 − 𝝁 𝑻 ] = {𝑠𝑖𝑗𝑘} 𝑁 × 1 1 × 𝑁 ⊗ 1 × 𝑁 = 𝑁 × 𝑁2 𝑴 𝟒 = 𝐸[ 𝑹 − 𝝁 𝑹 − 𝝁 𝑻 ⊗ 𝑹 − 𝝁 𝑻 ⊗ 𝑹 − 𝝁 𝑻 ] = {𝑘𝑖𝑗𝑘𝑙} 𝑁 × 1 1 × 𝑁 ⊗ 1 × 𝑁 ⊗ 1 × 𝑁 = 𝑁 × 𝑁3 と定義される。 𝑹 = 𝑅1, . . . , 𝑅 𝑁 𝑻 : 𝑁個の資産の収益率ベクトル 𝒘 = 𝑤1, … , 𝑤 𝑁 𝑻 : 𝑁個の資産のウェイトベクトル 𝝁 = 𝜇1, … , 𝜇 𝑁 𝑻 : 𝑁個の期待リターンベクトル 【3】 定式化 27 ⊗はクロネッカー積 資産の増加とともに 急激にパラメータが 増える N N^2 N^3 10 100 1,000 100 10,000 1,000,000 1,000 1,000,000 1,000,000,000 10,000 100,000,000 1,000,000,000,000
- 28. 𝑠𝑖𝑗𝑘 = 𝐸 𝑅𝑖 − 𝜇𝑖 𝑅𝑗 − 𝜇 𝑗 𝑅 𝑘 − 𝜇 𝑘 𝑺 𝑁𝑗𝑘] このとき𝑠𝑖𝑗𝑘のうち、𝑖を固定してできる行列を𝑺𝑖𝑗𝑘とすると 𝑺𝑖𝑗𝑘 = 𝑠𝑖11 ⋯ 𝑠𝑖1𝑘 ⋮ ⋱ ⋮ 𝑠𝑖𝑗1 ⋯ 𝑠𝑖𝑗𝑘 𝑘𝑖𝑗𝑘𝑙 = 𝐸 𝑅𝑖 − 𝜇𝑖 𝑅𝑗 − 𝜇 𝑗 𝑅 𝑘 − 𝜇 𝑘 𝑅𝑙 − 𝜇𝑙 ห𝑲 𝑁1𝑘𝑙, … , 𝑲 𝑁𝑁𝑘𝑙] このとき𝑘𝑖𝑗𝑘𝑙のうち、𝑖, 𝑗を固定してできる行列を𝑲𝑖𝑗𝑘𝑙とすると 𝑲𝑖𝑗𝑘𝑙 = 𝑘𝑖𝑗11 ⋯ 𝑘𝑖𝑗1𝑙 ⋮ ⋱ ⋮ 𝑘𝑖𝑗𝑘1 ⋯ 𝑘𝑖𝑗𝑘𝑙 𝑴 𝟑は次のような行列である。 𝑴 𝟒は次のような行列である。 （共歪度） （共尖度） 𝑴 𝟑 = [𝑺1𝑗𝑘, 𝑺2𝑗𝑘, … , 𝑴 𝟒 = [𝑲11𝑘𝑙 , … , 𝑲1𝑁𝑘𝑙 ห𝑲21𝑘𝑙, … , 𝑲2𝑁𝑘𝑙ȁ… 【3】 定式化 28
- 29. min 𝒘 MR 𝒘 = 𝜆1 𝜎 𝑃 2 − 𝜆2 𝑠 𝑃 3 + 𝜆3 𝑘 𝑃 4 s. t. ; 𝟏 𝐓 𝒘 = 1, 0 < 𝑤𝑖 < 1, 𝜆𝑖 > 0 モーメント行列を用いるとポートフォリオの分散𝜎 𝑃 2 、歪度𝑠 𝑃 3 、尖度𝑘 𝑃 4 はそれぞれ 𝜎 𝑃 2 = 𝒘 𝑇 𝑴 𝟐 𝒘 𝑠 𝑃 3 = 𝒘 𝑇 𝑴 𝟑(𝒘⨂𝒘) 𝑘 𝑃 4 = 𝒘 𝑇 𝑴 𝟒(𝒘⨂𝒘⨂𝒘) と定義される。(Jondeau and Rockinger [2006]) 奇数次のモーメントの符号に注意し、 ポートフォリオの各次数のモーメント間の重み 𝜆𝑖> 0を考慮すると、 以下の最適化問題の解をウェイトとする。 これにより各次数のモーメントを考慮した最小リスクのウェイトが得られる。 【3】 定式化(最小分散の拡張) 29 それぞれ異なる観点からポートフォリオの「リスク」を あらわしている！
- 30. 𝑀𝑅𝐶2 = 1 2 𝜕𝜎 𝑃 2 𝜕𝒘 = 𝑴 𝟐 𝒘 𝑀𝑅𝐶3 = 1 3 𝜕𝑠 𝑃 3 𝜕𝒘 = 𝑴 𝟑(𝒘⨂𝒘) 𝑀𝑅𝐶4 = 1 4 𝜕𝑘 𝑃 4 𝜕𝒘 = 𝑴 𝟒(𝒘⨂𝒘⨂𝒘) 各次数の限界リスク寄与(MRC)を以下のように定義する。 各次数のリスク寄与度(RC)は次のように書ける。(分散、歪度、尖度の分解) 𝑅𝐶2,𝑖 = 𝑤𝑖 × 𝑀𝑅𝐶2,𝑖 𝜎 𝑃 2 𝑅𝐶3,𝑖 = 𝑤𝑖 × 𝑀𝑅𝐶3,𝑖 𝑠 𝑃 3 𝑅𝐶4,𝑖 = 𝑤𝑖 × 𝑀𝑅𝐶4,𝑖 𝑘 𝑃 4 ∵ 𝑤𝑖 × 𝑀𝑅𝐶2,𝑖 = 𝜎 𝑃 2 ∵ 𝑤𝑖 × 𝑀𝑅𝐶3,𝑖 = 𝑠 𝑃 3 ∵ 𝑤𝑖 × 𝑀𝑅𝐶4,𝑖 = 𝑘 𝑃 4 【3】 定式化(リスクパリティの拡張) RP:リスク(標準偏差)の分解 30
- 31. ポートフォリオの各次数のリスク寄与度の重み 𝜆𝑖> 0を考慮し、 各次数のRCが一定となるような以下の最適化問題の解をウェイトとする。 これにより各次数のRC間のトレードオフを考慮した解が得られる。 +𝜆2 𝑓2 𝒘 + 𝜆3 𝑓3 𝒘min 𝒘 𝜆1 𝑓1 𝒘 𝑓2 𝒘 = 𝑖=1 𝑁 𝑗=1 𝑁 𝑅𝐶3,𝑖 − 𝑅𝐶3,𝑗 2 𝑓3 𝒘 = 𝑖=1 𝑁 𝑗=1 𝑁 𝑅𝐶4,𝑖 − 𝑅𝐶4,𝑗 2 𝑓1 𝒘 = 𝑖=1 𝑁 𝑗=1 𝑁 𝑅𝐶2,𝑖 − 𝑅𝐶2,𝑗 2 s. t. , 𝟏 𝐓 𝒘 = 1， 0 < 𝑤𝑖 < 1 【3】 定式化(リスクパリティの拡張) 31
- 32. 【3】 定式化(最大分散度の拡張) 各次数の分散度(DR)を以下のように定義する。 𝐷𝑅2 = σ𝑖=1 𝑁 𝑤𝑖 𝜎𝑖𝑖 𝜎 𝑃 2 𝐷𝑅3 = σ𝑖=1 𝑁 𝑤𝑖 𝑠𝑖𝑖𝑖 𝑠 𝑃 3 𝐷𝑅4 = σ𝑖=1 𝑁 𝑤𝑖 𝑘𝑖𝑖𝑖𝑖 𝑘 𝑃 4 max 𝒘 𝐷𝑅 𝒘 = 𝜆1 𝐷𝑅2 − 𝜆2 𝐷𝑅3 + 𝜆3 𝐷𝑅4 s. t. ; 𝟏 𝐓 𝒘 = 1, 0 < 𝑤𝑖 < 1, 𝜆𝑖 > 0 奇数次のモーメントの符号に注意し、 ポートフォリオの各次数のモーメント間の重み 𝜆𝑖> 0を考慮すると、 以下の最適化問題の解をウェイトとする。 これにより各次数のモーメントの分散を最大化するウェイトが得られる。 32
- 33. リスクパリティ(RP)、最大分散度(MD)、最小分散(MV) 、ボラティリティ・インバース(VI) 及び等ウェイト (EW)と高次モーメントを含めた最小分散(MV*)、リスクパリティ(RP*)と 最大分散度(MD*)について、国内外の株式と債券の資産配分による実証分析を行う。 (各指数の統計量) 【4】 実証分析 (各指数の相関行列) 1998/7/30 から2016/4/28まで日次 33
- 34. 以上の条件で各ポートフォリオのシャープレシオと 最終的な富の水準を評価する。 ✔ リバランス 各月末にリバランスを行い、ウェイトを変更する。 （片道10bpをコストとして差し引く） ✔ 重み 拡張を行ったポートフォリオのモーメント間の重み𝜆𝑖は全て1とする。 ✔ 推定期間 過去2年(500営業日)のリターンから各次数のモーメントを推定。 【4】 実証分析 34
- 35. (各ポートフォリオのサマリー) ✔ MV*、RP*、MD*がシャープレシオと合計収益率において従来手法を上回っている。 【4】 実証分析 ✔ MV*、RP*、MD*共に事後的な歪度・尖度についても歪度は高く、尖度は低いという より望ましい水準へと改善した。 35
- 36. 【4】 実証分析 (各ポートフォリオの全期間平均ウェイト) ✔ 高次モーメントを考慮したいずれのポートフォリオも最もリスクの小さい野村BPI 指 数のウェイトを減少させている。 ✔ 歪度改善のため債券から株式へとアロケーションが移っていることが確認できる。 36
- 40. 【5】 まとめ 資産配分を例とした実証分析の結果、 ✔ 高次モーメントを加えると運用効率と事後的な分布特性が改善できることが実 証できた。 ✔ 一方で高次モーメントの推定誤差とその影響を調査する必要がある。 ２次のモーメントを「リスク」として捉えていた従来の リスクベース・ポートフォリオを高次モーメントに拡張。 研究の目的、貢献： 40
- 41. ✔ この研究で解決できる平均分散法の課題 (1) Error Maximization (2) 資産集中 (3) 期待リターンの推定の困難性 (4) テールリスクへの非対応 41 【5】 まとめ ？ 〇 △ 〇 パラメータが増えている 未検証
- 42. 研究紹介 [3] “RM-CVaR: Regularized Multiple beta-CVaR Portfolio", Kei Nakagawa, Shuhei Noma and Masaya Abe, 2020,IJCAI2020 [2] “ブラック・リッターマン法を用いたリスクベース・ポートフォリオの拡張“,中川慧,2019, ファイナンシャルプランニング研究,2018年度日本FP学会優秀賞受賞 [1] “リスクベース・ポートフォリオの高次モーメントへの拡張”,中川 慧, 2017, リスク管理・保険とヘッジ(JAFEE Journal) 朝倉書店 42
- 43. 【1】 研究の背景 ✔ 別のアプローチとして、ブラックリッターマン法という投資家の見通しを反映させ、 期待リターンを補正することで、最適化の結果も極端な解に収束しにくくなり、安定 する手法が提案されている。 43 ✔ 有力な代替として運用業界では、平均分散法に代わって、リスクのみに基づきポー トフォリオを構築する、リスクベースのポートフォリオ構築方法が注目されている。 ✔ Markowitzの平均分散法は、いくつかの問題点が指摘されている。 例えば、一部の資産クラスに片寄った配分結果となる、推定に用いるデータ期間や 目標リターンを少し変更しただけで極端に異なる配分結果となるなどがある。 (Michaud [1989]等)
- 44. 【1】 研究の目的 ✔ これらの枠組みを統合した新たなポートフォリオ構築の枠組みの提案 Pros Cons リスクベース・ポートフォリオ 良好なパフォーマンス リスク水準や期待リターンを考慮できない ブラック・リッターマン法 投資家の見通しを反映することができる 前提である時価加重型ポートフォリオの妥当性 研究の目的、貢献： リスクベース・ポートフォリオにブラックリッターマン法を組み合わせ、 期待リターンと見通しを導入し、両者の欠点を補完。 44
- 45. 【2】 先行研究の整理～ブラック・リッターマン法 ✔ 投資家が、「見通し」を持つ場合の最適なポートフォリオを求めることができる。 論文 概要 Black and Litterman [1991] Black and Litterman [1992] Satchell and Scowcroft [2000] 上記モデルのベイズの定理を用いた記述(定式化) Firoozye and Blamont [2003] パラメータτの直観的解釈と設定方法の提案 Meucci [2006] パラメータΩの解釈および設定方法の提案 ブラック・リッターマン法の提案 ✔ 投資家の見通しを反映させ、期待リターンを補正することで、最適化の結果も極端な解に 収束しにくくなり、安定する。 ✔ (代表的個人の)資産配分が資産の時価に比例しているという均衡(CAPM)の仮定 45 →ベイジアン・アプローチ
- 46. 【2】 先行研究の整理～ブラック・リッターマン法 ビューの分布 リスク回避係数 𝛿 共分散行列 𝜮 均衡ウェイト 𝒘 𝐸𝑞 インプライド・均衡期待リターン 𝜫 = 𝛿𝜮𝒘 𝐸𝑞 事前分布 𝑁~(𝜫, 𝜏𝜮) ビュー 𝑸 不確実性 𝜴 ビューと事前分布の合成 𝑁~ 𝜏𝜮 −1 + 𝑷 𝑇 𝜴−1 𝑷 −1 𝜏𝜮 −1 𝜫 + 𝑷 𝑇 𝜴−1 𝑸 , 𝜏𝜮 −1 + (𝑷 𝑇 𝜴−1 𝑷) −1 𝑁~(𝑸, 𝜴) 一般化最小 二乗推定量 期待リターン を逆算！ 46
- 47. ✔ そこで、両者を組み合わせることで、互いの欠点を補完する手法を提案する。 本手法は、ブラック・リッターマン法を用いたリスクベース・ポートフォリオの拡張と言える。 【3】 提案手法 ✔ ブラック・リッターマン法はCAPMを前提としている。しかし、実証的に時価総額加重ポートフォ リオは効率的ではないため、そこから算出されるインプライド・期待リターンも妥当性を失う。 ✔ リスクベース・ポートフォリオの構築手法は期待リターンを明示的に考慮していない点、 そして投資家の見通しを入れることはできない点が課題としてある。 Step 1. リスクベースのポートフォリオ構築手法によってウェイト𝑤 𝑅𝐵を計算する。 Step 2. 当該ウェイトから、インプライド・期待リターン𝛱を導出する。 Step 3. 期待リターン、および分散-共分散行列に見通し𝑄, 𝛺を合成する。 Step 4. 合成されたリターン𝜇 𝑛𝑒𝑤と𝛴 𝑛𝑒𝑤を用いて、平均分散法に基づく最適化をする。 47
- 49. ✔ パラメータ𝛺について、Meucci [2006]は対角行列であることを気にせず、𝛺 = 1 𝑐 𝑃𝛴𝑃 𝑇を設定し、𝑐 = 𝜏−1とした。 【3】 提案手法 𝜫𝝁 インプライド・期待リターンサンプル期間の実績リターン 𝛿:二乗誤差が最小となるような係数 ✔ 各パラメータについて本論文では、簡便のため次の方法を採用する。 ✔ パラメータ𝜏について、Blamont and Firoozye [2003]は、まず𝛱の推定の 標準誤差として𝜏𝛴を解釈する。𝜏 = 1/𝑁(観測数) 49
- 50. 【4】 実証分析 ✔ 分析に使用するデータ - 分析対象：日本、米国、英国、欧州の株式および債券指数の月次リターンデータ - 対象期間：2003/1/31-2017/3/31までで、171サンプル ✔ 実装はR(最適化はRsolnpパッケージ)で行った。 ✔ 資産配分を例に提案手法の有効性を検証する。 1. 各インプライド・期待リターンのポートフォリオの比較 2. 各インプライド・期待リターン＋見通しを反映したポートフォリオの比較 50
- 51. MSCI Japan MSCI US MSCI EMU MSCI UK CITI Japan CITI US CITI EMU CITI UK 年率リターン 7.33% 10.05% 8.77% 8.83% 1.87% 3.66% 4.54% 5.86% 年率標準偏差 18.32% 13.63% 16.54% 12.95% 2.14% 4.35% 4.06% 6.15% 歪度 -0.43 -0.78 -0.48 -0.63 -0.20 0.01 -0.06 0.19 尖度 5.18 6.47 5.34 5.02 5.37 6.32 4.38 4.95 Jarque-Bera統計量 13.88 56.74 17.85 17.72 13.13 35.18 0.90 6.62 p値 0.10% 0.00% 0.01% 0.01% 0.14% 0.00% 63.80% 3.66% サンプル数 いずれも171サンプル( 2003/1/31-2017/3/31 ) 【4】 実証分析 相関行列 MSCI Japan MSCI US MSCI EMU MSCI UK CITI Japan CITI US CITI EMU CITI UK MSCI Japan 1.00 MSCI US 0.63 1.00 MSCI EMU 0.66 0.83 1.00 MSCI UK 0.56 0.82 0.84 1.00 CITIJapan -0.38 -0.16 -0.25 -0.12 1.00 CITIUS -0.35 -0.26 -0.32 -0.18 0.46 1.00 CITIEMU -0.13 -0.12 -0.08 -0.03 0.38 0.63 1.00 CITIUK -0.28 -0.18 -0.19 -0.07 0.43 0.72 0.62 1.00 表1: 使用指数のリターンの基本統計量 表2: 使用指数のリターンの相関行列 正の歪度 正規性が 棄却されない 債券と株は 弱い逆相関関係 51
- 52. 手順4: 手順3で計算したSRのリスク𝜎𝑆𝑅をターゲット・リスクとして、各インプライド・期待リターンを 最大化するように最適化を行う。 【4】 実証分析～各インプライド・期待リターンの有効性の検証 max 𝑤 𝒘 𝑇 𝜫 max 𝒘 𝒘 𝑇 𝜫 𝒘 𝑇 𝜮𝒘 手順1: 過去12か月の月次リターンから推定した標本分散-共分散行列𝜮を使用し、各指数 の時価総額から、時価総額加重ウェイト𝒘 𝑬𝑸と3つのリスクベース・ポートフォリオのウェイト𝒘 𝑹𝑩 を計算する。 手順2: 各ウェイトから、インプライド・期待リターン𝜫を算出する。 手順3: 時価総額加重ウェイト𝒘 𝑬𝑸から得られたインプライド・期待リターンを使用したSR 最大ポートフォリオを計算し、これをベンチマークとする。 𝑠. 𝑡, 𝒘 𝑇 𝜮𝒘 = 𝜎𝑆𝑅，𝟏 𝑻 𝒘 = 1， 0 < 𝒘 < 1 52
- 53. MV_E RP_E VI_E MD_E EQ_E SR 年率リターン 5.42% 7.51% 7.02% 5.45% 5.45% 6.04% 年率標準偏差 5.83% 7.30% 6.92% 5.70% 7.52% 7.77% 年率シャープ・レシオ 0.93 1.03 1.01 0.96 0.73 0.78 歪度 0.28 -0.47 -0.51 0.29 -0.68 -1.32 尖度 4.16 4.14 4.21 4.06 4.78 6.76 合計収益 71.79% 99.47% 93.04% 72.26% 72.23% 79.99% MV_E RP_E VI_E MD_E EQ_E SR MSCI Japan 0% 12% 10% 1% 17% 7% MSCI US 0% 11% 6% 2% 12% 37% MSCI EMU 0% 9% 11% 1% 9% 10% MSCI UK 0% 15% 20% 3% 14% 7% 株式合計 0% 47% 46% 8% 52% 60% CITI Japan 1% 19% 12% 1% 19% 11% CITI US 24% 8% 9% 23% 10% 12% CITI EMU 7% 6% 8% 6% 8% 2% CITI UK 68% 20% 25% 62% 11% 14% 債券合計 100% 53% 54% 92% 48% 40% 表3:インプライド・期待リターンを用いたポートフォリオのサマリー 表4:インプライド・期待リターンを用いたポートフォリオの平均ウェイト 【4】 実証分析～各インプライド・期待リターンの有効性の検証 53 MV_E:最小分散 RP_E:リスクパリティ VI_E:ボラティリティ インバース MD_E:最大分散度 EQ_E:時価加重 SR:シャープレシオ最大
- 54. 【4】 実証分析～各インプライド・期待リターンのポートフォリオの比較 図3:インプライド・期待リターンを用いたポートフォリオの累積収益率の推移 54 RP,EQ,SRに比較的 大きなドローダウン
- 55. 手順4’: 各ポートフォリオのリスク𝜎 𝑃をターゲット・リスクとして合成した期待リターンを 最大化するように最適化を行う。 【4】 実証分析～見通しを反映したポートフォリオの比較 手順3’: 各資産の見通し𝑸として、Moskowitz et al.[2012]やAsness et al.[2013]などでも広く知られている直近の月を除いた12カ月のリターンすなわち、モメ ンタムを使用する。従って、𝑷は単位行列であり、その他のパラメータは𝜏 = 1/ 12(Blamont and Firoozye[2003])、𝜴 = 𝜏𝑷𝜮𝑷 𝑇 (Meucci[2006])とした。以 上を用いて合成した期待リターン𝝁 𝑛𝑒𝑤と分散-共分散行列𝜮 𝑛𝑒𝑤を計算する。 max 𝑤 𝒘 𝑇 𝝁 𝑛𝑒𝑤 𝑠. 𝑡, 𝒘 𝑇 𝜮 𝑛𝑒𝑤 𝒘 = 𝜎 𝑃，1 𝑇 𝒘 = 1， 0 < 𝒘 < 1 55
- 56. MV_BL RP_BL VI_BL MD_BL EQ_BL SR_BL MSCI Japan 7% 6% 4% 7% 12% 6% MSCI US 4% 5% 6% 4% 11% 34% MSCI EMU 4% 4% 4% 4% 11% 10% MSCI UK 3% 5% 6% 3% 13% 7% 株式合計 17% 20% 19% 17% 47% 58% CITI Japan 63% 38% 38% 63% 13% 11% CITI US 11% 18% 16% 11% 13% 12% CITI EMU 9% 14% 16% 9% 12% 2% CITI UK 0% 10% 11% 0% 13% 18% 債券合計 83% 80% 81% 83% 53% 42% MV_BL RP_BL VI_BL MD_BL EQ_BL SR_BL 年率リターン 4.16% 4.14% 4.39% 3.96% 6.34% 5.32% 年率標準偏差 3.77% 3.41% 3.99% 3.51% 6.55% 8.09% 年率シャープ・レシオ 1.10 1.21 1.10 1.13 0.97 0.66 歪度 0.41 0.19 -1.42 -1.17 -0.89 -0.74 尖度 7.02 4.80 12.93 8.56 5.30 6.36 合計収益 55.15% 54.82% 58.23% 52.50% 84.00% 70.49% 【4】 実証分析～見通しを反映したポートフォリオの比較 表5: 見通しを反映させたポートフォリオのサマリー 表6: 見通しを反映させたポートフォリオの平均ウェイト 56 MV_BL:最小分散 RP_BL:リスクパリティ VI_BL:ボラティリティ インバース MD_BL:最大分散度 EQ_BL:時価加重 SR_BL:シャープレシオ最大
- 58. 【5】 まとめ 資産配分を例とした実証分析の結果、 ✔ リスクベース・ポートフォリオから算定したインプライド・期待リターン、 および見通しを合成したポートフォリオは良好なパフォーマンスであった。 ✔ もし自身の見通しを合成したい場合には、これを組み合わせることでさらに パフォーマンスの改善が見込める。 リスクベース・ポートフォリオにブラックリッターマン法を組み合わせ、 期待リターンと見通しを導入し、両者の欠点を補完。 研究の目的、貢献： 58
- 59. ✔ この研究で解決できる平均分散法の課題 (1) Error Maximization (2) 資産集中 (3) 期待リターンの推定の困難性 (4) テールリスクへの非対応 59 【5】 まとめ 〇 〇 △ × Viewが必要 考慮していない
- 60. 研究紹介 [3] “RM-CVaR: Regularized Multiple beta-CVaR Portfolio", Kei Nakagawa, Shuhei Noma and Masaya Abe, 2020,IJCAI2020 [2] “ブラック・リッターマン法を用いたリスクベース・ポートフォリオの拡張“,中川慧,2019, ファイナンシャルプランニング研究,2018年度日本FP学会優秀賞受賞 [1] “リスクベース・ポートフォリオの高次モーメントへの拡張”,中川 慧, 2017, リスク管理・保険とヘッジ(JAFEE Journal) 朝倉書店 60
- 61. 61 CVaRのError Maximizationに焦点を当てた研究は存在しない (1) リスクを標準偏差ではなく、CVaRで計測する (2) CVaRはある水準に対して定義されるが、Error Maximizationが存在？ 標準偏差とは違って、CVaRの最小化はリターンの下方向のリスクのみを抑制する 水準のわずかな変化がポートフォリオ全体を大きく変えてしまうのだろうか？ ✔ 最小CVaRポートフォリオは平均分散の代替として注目されている 【1】 研究の背景・目的
- 62. 62 RM-CVaR: Regularized Multiple 𝜷-CVaR Portfolio (3) RM-CVaRポートフォリオの実証を行い有効性を検証 (1) 最小CVaRポートフォリオのError Maximizationを実証 (2) Error Maximizaionに対応した新しい最小CVaRポートフォリオを提案 【1】 研究の背景・目的 ✔ そこで本研究では、
- 63. 63 𝑟 = 𝑟1, … , 𝑟𝑛 𝑇 : 株式𝑖 (1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛)のリターンベクトル 𝑤 = 𝑤1, … , 𝑤 𝑛 𝑇:株式𝑖 のウェイト 𝑝 𝑟 : 𝑟の確率密度関数（連続と仮定） 𝐿 𝑤, 𝑟 : 損失関数, e.g., 𝐿 𝑤, 𝑟 = −𝑤 𝑇 𝑟 Φ 𝑤, 𝛼 ≔ න 𝐿 𝑤,𝑟 ≤𝛼 𝑝 𝑟 𝑑𝑟 はじめに、損失が𝛼以下である確率を次のように定義する。 ウェイトを固定すると、これは 𝛼についての非減少関数 Φ 𝑤, 𝛼 は 𝛼について連続であると仮定 VaRとCVaR
- 64. 64 𝑉𝑎𝑅 𝑤ȁ𝛽 ≔ 𝛼 𝛽(𝑤) ≔ min(𝛼: Φ 𝑤, 𝛼 > 𝛽) 𝐶𝑉𝑎𝑅 𝑤ȁ𝛽 ≔ 𝜙 𝑤 𝛽 = 1 − 𝛽 −1 න 𝐿 𝑤, 𝑟 𝑝 𝑟 𝑑𝑟 確率水準 𝐿 𝑤, 𝑟 ≥ 𝛼 𝛽(𝑤) VaRとCVaR ✔ 以上を用いて、VaRとCVaRは次のように定義される VaR:一定の確率で発生し得る最大損失額 CVaR:一定の確率を超えて発生し得る損失額の平均
- 65. 65 𝐹 𝑤, 𝛼 𝛽 ≔ 1 − 𝛽 −1 න 𝑅 𝑛 𝐿 𝑤, 𝑟 − 𝛼 + 𝑝 𝑟 𝑑𝑟 𝑎 + ≔ max(𝑎, 0) そのため、CVaRの計算を簡便にする目的で次の補助関数を用意する。 𝜙 𝑤 𝛽 = min 𝛼 𝐹 𝑤, 𝛼 𝛽 CVaR:𝜙 𝑤 𝛽 と補助関数:𝐹 𝑤, 𝛼 𝛽 の関係は次の通り。 See [Rockafellar et al., 2000] 【2】 最小CVaRポートフォリオ ✔ 積分範囲がVaRに依存するため、CVaRを直接最小化することは困難。 冗長な変数を追加 冗長な変数で最小化すればCVaRになる
- 66. 66 最後に計算のため𝐹 𝑤, 𝛼 𝛽 を 𝑝(𝑟)から𝑟をサンプリングすることで近似する 𝐹 𝑤, 𝛼 𝛽 ≈ 𝛼 + 𝑄 1 − 𝛽 −1 𝑞=1 𝑄 −𝑤 𝑇 𝑟 𝑞 − 𝛼 + サンプリング𝑟 1 , … , 𝑟[𝑄] が得られたとき𝐹 𝑤, 𝛼 𝛽 は次のように近似できる min 𝑤∈𝑋 𝜙 𝑤 𝛽 = min 𝛼,𝑤 ∈𝑅×𝑋 𝐹 𝑤, 𝛼 𝛽 𝜙 𝑤 𝛽 :CVaRを最小化する代わりに、補助関数: 𝐹 𝑤, 𝛼 𝛽 を最小化する See [Rockafellar et al., 2000] 𝑋: はポートフォリオが満たすべき制約を表す。 【2】 最小CVaRポートフォリオ
- 67. 67 min 𝑤,𝛼,𝑢1,…,𝑢 𝑞 𝛼 + 𝑄 1 − 𝛽 −1 𝑞=1 𝑄 𝑢 𝑞 𝑠. 𝑡. 𝑢 𝑞 ≥ −𝑤 𝑇 𝑟 𝑞 − 𝛼 𝑢 𝑞 ≥ 0 𝑤𝑗 ≥ 0 𝑗=1 𝑛 𝑤𝑗 = 1 𝐹 𝑤, 𝛼 𝛽 ≈ = min 𝛼,𝑤 ∈𝑅×𝑋 𝐹 𝑤, 𝛼 𝛽 min 𝑤∈𝑋 𝜙 𝑤 𝛽 ポートフォリオの制約 𝛼 + 𝑄 1 − 𝛽 −1 𝑞=1 𝑄 −𝑤 𝑇 𝑟 𝑞 − 𝛼 + 【2】 最小CVaRポートフォリオ ✔ 以上を用いると、最小CVaRポートフォリオ問題を、高速で最適化が容易なLP 問題として定式化できる。
- 68. 68 min 𝑤,𝐶 ∈𝑋×𝑅 𝐶 𝑠. 𝑡. 𝜙 𝑤 𝛽 𝑘 ≤ 𝐶 + 𝐶𝛽 𝑘 𝜙 𝑤 𝛽 𝑘 = min 𝛼 𝑘 𝐹 𝑤, 𝛼 𝑘 𝛽 𝑘 𝐶𝛽 𝑘 : CVaRの値（期待損失額）とする。 先ほどの最小CVaRポートフォリオと同様に補助関数𝐹 𝑤, 𝛼 𝑘 𝛽 𝑘 を導入する。 𝐶𝛽 𝑘 とCに関する次の最小化問題が取り組むべき問題である。 … Problem 1 【3】 RM-CVaRポートフォリオ ✔ 複数の確率水準𝛽 𝑘を考慮した最小CVaRポートフォリオを考える。
- 69. 69 𝐶0.97 𝐶0.98 𝐶0.99 𝜙 𝑤 0.99 𝜙 𝑤 0.98 𝜙 𝑤 0.97 Minimize max margin Value of CVaR 𝐶𝛽 𝑘 : 【3】 RM-CVaRポートフォリオ ✔ 先ほどの最適化問題の意味を与える。これは複数のCVaRとその値との差の 最大のマージンを最小化する問題になっている。 SVMっぽいですね。
- 70. 70 min 𝑤,𝐶 ∈𝑋×𝑅 𝐶 𝑠. 𝑡. min 𝛼 𝑘 𝐹 𝑤, 𝛼 𝑘 𝛽 𝑘 ≤ 𝐶 + 𝐶𝛽 𝑘 𝛼 = 𝛼1, … , 𝛼 𝐾 𝑇 として、次のProblem 3を考える。 min 𝑤,𝐶,𝛼 ∈𝑋×𝑅×𝑅 𝐾 𝐶 𝑠. 𝑡. 𝐹 𝑤, 𝛼 𝑘 𝛽 𝑘 ≤ 𝐶 + 𝐶𝛽 𝑘 … Problem 2 … Problem 3 【3】 RM-CVaRポートフォリオ ✔ min 𝛼 𝑘 𝐹 𝑤, 𝛼 𝑘 𝛽 𝑘 を用いてProblem1を書き換える
- 71. 71 (See lemma 4.1 of our paper) min 𝑤,𝐶 ∈𝑋×𝑅 𝐶 𝑠. 𝑡. min 𝛼 𝑘 𝐹 𝑤, 𝛼 𝑘 𝛽 𝑘 ≤ 𝐶 + 𝐶𝛽 𝑘 min 𝑤,𝐶,𝛼 ∈𝑋×𝑅×𝑅 𝐾 𝐶 𝑠. 𝑡. 𝐹 𝑤, 𝛼 𝑘 𝛽 𝑘 ≤ 𝐶 + 𝐶𝛽 𝑘 … Problem 2 … Problem 3 ✔ 次の関係が証明できる 【3】 RM-CVaRポートフォリオ Problem 2 と 3 は同値である
- 72. 72 min 𝑤,𝐶,𝛼 ∈𝑋×𝑅×𝑅 𝐾 𝐶 + 𝜆 𝑤 − 𝑤− 1 𝑠. 𝑡. 𝐹 𝑤, 𝛼 𝑘 𝛽 𝑘 ≤ 𝐶 + 𝐶𝛽 𝑘 … Problem 4 𝑤− はリバランス前のポートフォリオのウェイト 𝐹 𝑤, 𝛼 𝑘 𝛽 𝑘 ≈ 𝛼 𝑘 + 𝑄 1 − 𝛽 𝑘 −1 𝑞=1 𝑄 −𝑤 𝑇 𝑟 𝑞 − 𝛼 𝑘 + 先ほどと同じく、𝐹 𝑤, 𝛼 𝑘 𝛽 𝑘 を𝑝(𝑟)から𝑟をサンプリングすることで近似する 【3】 RM-CVaRポートフォリオ ✔ 回転率を抑制するためにL1ノルムを導入する。
- 73. 73 min 𝑤,𝐶,𝛼 ∈𝑋×𝑅×𝑅 𝐾 𝐶 + 𝑖=1 𝑛 𝑢𝑖 𝑠. 𝑡. 𝑢𝑖 ≥ 𝜆𝑖ȁ𝑤𝑖 − 𝑤𝑖 − ȁ 𝑢𝑖 ≥ 𝜆𝑖ȁ𝑤𝑖 − 𝑤𝑖 − ȁ 𝑡 𝑞𝑘 ≥ 0 𝑡 𝑞𝑘 ≥ −𝑤 𝑇 𝑟 𝑞 − 𝛼 𝑘 𝛼 𝑘 + 𝑄 1 − 𝛽 𝑘 −1 𝑞=1 𝑄 𝑡 𝑞𝑘 ≤ 𝐶 + 𝐶𝛽 𝑘 𝑤𝑗 ≥ 0, 𝑗=1 𝑛 𝑤𝑗 = 1 portfolio constraints portfolio turnover constraints 【3】 RM-CVaRポートフォリオ ✔ 以上を用いると、最小RM-CVaRポートフォリオを、高速で最適化が容易なLP 問題として定式化できる。
- 74. ✔ 有名なベンチマークデータセットであるFama-Frenchデータを用いる 74 両方のデータともに1989年1月から2018年12月までとする - FF25は25個の、サイズとBPRに基づいて構築されたポートフォリオの月次リターン - FF48はアメリカ株式を48の業種で分類した、各業種の月次のリターン そのなかでFF25 およびFF48をここでは扱う。 【4】 実証分析
- 75. 75 確率水準𝛽𝑖 と𝛽𝑗 を 0.96,0.95 , 0.97,0.96 , 0.98,0.97 , 0.99,0.98 とする。 二つの異なる確率水準の最小CVaRポートフォリオのウェイトの変化を次のように 計測する。 𝐃𝐢𝐟𝐟 = 1 T 𝑡=1 𝑇 𝑤𝑡 𝛽𝑖 − 𝑤𝑡 𝛽 𝑗 1 大きい 𝐃𝐢𝐟𝐟 は二つのポートフォリオが異なることを意味する。 【4】 実証分析 ✔ 最初に最小CVaRポートフォリオにError Maximizationが発生しうるかを 検証する。
- 76. 76 確率水準𝜷のたった1%の変化がポートフォリオのウェイトをFF25で48％、 FF48 で39%も平均で変化させる。 Table 1: The weight difference of two minimum CVaR portfolios in the all period. 従って、確率水準𝜷 に対して敏感であり、Error Maximizationが発生しうると結論 付けれる。 beta {0.96,0.95} {0.97,0.96} {0.98,0.97} {0.99,0.98} Avg FF25 42.66% 43.72% 48.77% 57.61% 48.19% FF48 23.95% 36.13% 25.20% 72.28% 39.39% Avg 33.31% 39.93% 36.99% 64.95% 43.79% 【4】 実証分析
- 77. 77 Portfolio Description 1/N Equally-weighted (1/N) portfolio MV Minimum-variance portfolio DRP Doubly regularized minimum variance portfolio [Shen et al., 2014]. EGO Kelly growth optimal portfolio with ensemble learning [Shen et al., 2019] CVaR Minimum CVaR portfolio with {0.95,0.96,0.97,0.98,0.99} ACVaR average of minimum CVaR portfolio of different beta levels RM-CVaR our proposed それを用いて、2004年1月から2018年12月まで検証を行う。 ハイパーパラメータは期間の前半1989年1月から2003年12月のデータで最もよ かったものを採用。 各ポートフォリオは一ヵ月ごとにスライドしていく。 【4】 実証分析 ✔ RM-CVaRの有効性を下記の複数のポートフォリオと比較し検証する。
- 78. AR = ෑ 𝑡=1 𝑇 1 + 𝑅𝑡 12/𝑇 − 1 𝑅𝐼𝑆𝐾 = 12 𝑇 − 1 𝑡=1 𝑇 𝑅𝑡 − 𝜇 𝛼 2 𝑅/𝑅 = 𝐴𝑅/𝑅𝐼𝑆𝐾 Portfolio return 𝜇 𝑅: Average of 𝑅𝑡 𝑅𝑡: 78 MaxDD = min 𝑘∈[1,𝑇] (0, 𝑊𝑘 𝑃𝑜𝑟𝑡 max 𝑗∈ 1,𝑘 𝑊𝑗 𝑃𝑜𝑟𝑡 − 1) 𝑊𝑘 𝑃𝑜𝑟𝑡 : Cumulative return of the portfolio TO = 12 2(𝑇 − 1) 𝑡 𝑇−1 𝑤𝑡 − 𝑤𝑡−1 − 𝑤𝑡−1 − : Portfolio weight before rebalance 【4】 実証分析 ✔ ポートフォリオの評価には次の指標を用いる。
- 79. 95% 96% 97% 98% 99% λ＝０ Best λ AR [%] 8.27 8.45 8.48 8.58 8.48 8.46 8.36 8.35 8.73 8.42 9.03 8.95 RISK [%] 18.13 15.24 15.67 18.71 15.62 16.15 15.42 15.54 15.64 15.74 16.23 15.11 R/R 0.46 0.55 0.54 0.46 0.54 0.52 0.54 0.54 0.56 0.53 0.56 0.59 MaxDD [%] -57.63 -58.14 -61.21 -61.76 -59.44 -57.75 -56.75 -60.81 -59.54 -62.21 -54.14 -52.81 TO [%] 16.95 31.10 8.75 71.52 22.19 17.46 19.99 24.97 21.52 29.98 1,000.98 33.57 95% 96% 97% 98% 99% λ＝０ Best λ AR [%] 8.14 8.99 9.09 11.11 11.83 11.68 10.79 11.54 11.96 12.92 15.75 17.29 RISK [%] 19.27 11.77 11.77 20.61 12.53 12.27 11.87 12.42 13.47 14.49 16.46 15.61 R/R 0.42 0.76 0.77 0.54 0.94 0.95 0.91 0.93 0.89 0.89 0.96 1.11 MaxDD [%] -59.81 -50.84 -50.25 -57.39 -47.22 -46.98 -45.21 -45.36 -48.23 -50.38 -35.29 -34.93 TO [%] 36.73 27.48 17.15 75.80 37.04 41.31 38.87 35.37 41.57 38.36 960.03 750.48 RM-CVaR EW MV All Out-of-sample period (from January 1989 to December 2018) FF25 EW MV DRP EGO Avg_CVaR CVaR RM-CVaR DRP EGO CVaR Avg_CVaRFF48 79 Table 2: The performance of each portfolio in out-of-sample period for FF25 dataset (upper panel) and FF48 dataset (lower panel). 【4】 実証分析
- 80. 80 (1) We propose RM-CVaR. We were able to prove that the optimization problem is written as a linear programming. (2) We demonstrated that the CVaR portfolio dramatically changes depending on the 𝛽 level. (Error maximization) (3) RM-CVaR exhibited a superior performance in terms of having both higher R/R and lower maxDD. 【5】 まとめ ✔ 本研究の貢献は次の通り。
- 81. ✔ この研究で解決できる平均分散法の課題 (1) Error Maximization (2) 資産集中 (3) 期待リターンの推定の困難性 (4) テールリスクへの非対応 81 【5】 まとめ 〇 ？ 〇 〇 期待リターン不要 考慮することも可能 未検証。
- 83. リスク(共分散行列)の推定には2つの課題が存在する。 ✓ クロスセクション方向(𝑁)：資産数𝑁を十分に超える時点数が利用できない場合、 標本共分散行列の固有値がバイアスを持ち、大きな推定誤差が生ずる可能性。 𝑁𝑇 𝑁(𝑁 − 1)/2個のパラメータ ２ ５ ０ ？ 10銘柄: 45個 20銘柄: 190個 50銘柄: 1,225個 100銘柄: 4,950個 のパラメータを たった𝑻個のデータで推定！ リスクの推定における課題 その1 パラメータのほとんどが相関(共分散) 83
- 84. 高次元共分散行列のモデリング １．共分散行列の固有値のバイアスを補正する ２．少数の主要な変数に要約 → (1)次元削減 ex) 主成分分析 ３．観測変数の背後に潜む少数の要因を抽出 → (2)潜在変数モデリング ex) ガウス過程潜在変数モデル 次元削減 元データ 変換データ 観測データ 潜在変数 主成分分析的 アプローチ 因子分析的 アプローチ
- 85. 研究紹介 85 𝑌 𝑋 資産リターン 潜在変数 観測変数 経済状況、センチメント etc… 正規分布 ガウス過程 𝑁個 𝑄個 𝑄 ≪ 𝑁 金融データは正規分布よりも広い裾を持つ分布に従う ｔ過程 ｔ分布 拡張！ Uchiyama, Y., & Nakagawa, K. (2020). TPLVM: Portfolio Construction by Student’s t-Process Latent Variable Model. Mathematics, 8(3), 449. ｔ過程潜在変数モデル
- 86. 86 メリット: 外れ値を考慮できる。 ガウス過程とほぼ同じ性質がある デメリット: 自由度のパラメータが増える。 t過程 ガウス過程 𝐾(𝑠, 𝑡) = min(s, t) ;Wiener processの平均0のガウス過程とt過程(自由度5)を100サンプル生成 𝑇 𝜈, 𝝁, 𝑲 = Γ 𝜈 + 𝑛 2 𝜈 − 2 𝜋 𝑛 2Γ 𝜈 2 det 𝑲 − 1 2 × 1 + 𝒚 − 𝝁 𝑇 𝑲−1 𝒚 − 𝝁 𝜈 − 2 − 𝜈+𝑛 2 t 過程とガウス過程の違い 指数関数の定義から 𝜈 → ∞でガウス分布へ収束。 ・・・𝑛 個のデータを 𝑛 次元t分布として表現 t-過程
- 88. 研究紹介 88 Uchiyama, Y., Kadoya, T., & Nakagawa, K. (2019). Complex valued risk diversification. Entropy, 21(2), 119. 共分散行列を複素共分散行列に拡張することで、周期性をもった （動的）共分散行列を推定。 ポートフォリオ 分散する対象 リスク計測 MV 資産クラス 共分散行列 RP リスク 共分散行列 MRD リスクの源泉 主成分ベースの共分散行列 CVRD 動的なリスクの源泉 複素主成分ベースの共分散行列 これをさらに拡張して四元数という数体系に拡張した研究も・・・ https://www.mdpi.com/1099-4300/22/4/390
- 89. DCC-GARCHモデル 𝑁資産の時点𝑡(1 ≤ 𝑡 ≤ 𝑇)におけるリターンを 𝒓 𝒕 = 𝑟1𝑡, … , 𝑟 𝑁𝑡 𝑇 条件付き共分散行列𝑉 𝒓 𝒕 𝓕 𝑡−1 = 𝑯 𝒕とする。𝑯𝒕の変動を各資産の条件付き分散 と条件付き相関行列に分解したモデルをDCC-GARCHモデルという。 𝑸 𝒕 = 𝑺 ∘ 1 − 𝑎 − 𝑏 + 𝑎 ∘ 𝜺 𝒕−𝟏 𝜺𝒕−𝟏 𝑇 + 𝑏 ∘ 𝑸 𝒕−𝟏 𝒓 𝒕ȁ 𝓕 𝑡−1~𝑁 𝟎, 𝑯 𝒕 𝑯 𝒕 = 𝑫 𝒕 𝑹 𝒕 𝑫 𝒕 𝑫 𝒕 2 = diag 𝜔𝑖 + diag 𝛼𝑖 ∘ 𝒓 𝒕−𝟏 𝒓𝒕−𝟏 𝑇 + diag 𝛽𝑖 ∘ 𝑫 𝒕−𝟏 2 𝜺 𝒕 = 𝑫 𝒕 −1 𝒓 𝒕 𝑹 𝑡 = diag 𝑸 𝒕 −𝟏/𝟐 𝑸𝒕diag 𝑸 𝒕 −𝟏/𝟐 𝑺は標準化された残差𝜺 𝒕のサンプル共分散行列である。 演算子∘は要素毎の積(アダマール積)を表す。 …リターンをDe-Garchする 89
- 91. 上記の課題に同時に対応するために縮約法とDCCを組み合わせた推定方法が提案 手法 論文 概要 DCC-GARCH + LS Hafner and Reznikova [2012] LSとCompsite Likilehoodを用いたDCC-GARCHモデルの推定方法 の提案 DCC-GARCH + NLS Engle [2016] NLSとCompsite Likilehoodを用いたDCC-GARCHモデルの推定方法 の提案 cDCC-GARCH + NLS 本研究 NLSとCompsite Likilehoodを用いたcDCC-GARCHモデルの推定方法 の提案 ✓ 時系列方向(𝑇)：ボラティリティ・クラスタリングや資産間の相関構造の動的な変化 ✓ クロスセクション方向(𝑁)：資産数𝑁を十分に超える時点数が利用できない場合、 標本共分散行列の固有値がバイアスを持ち、大きな推定誤差が生ずる可能性。 リスク(共分散行列)の推定には2つの課題が存在する。 91 研究紹介 Nakagawa, K., Imamura, M., & Yoshida, K. (2018). Risk-based portfolios with large dynamic covariance matrices. International Journal of Financial Studies, 6(2), 52.
- 92. 参考文献 92 ・最適投資戦略: ポートフォリオ・テクノロジーの理論と実践 小松 高広 ・現代ファイナンス分析 資産価格理論 Jean-Pierre Danthine, John B. Donaldson ・ファイナンスの理論と応用〈1〉-〈3〉 石島 博 ・資産運用の本質 -ファクター投資への体系的アプローチ アンドリュー・アング ・スマートベータの取扱説明書 徳野 明洋 【ポートフォリオ理論】 【ファクター投資】 【リスクベース・ポートフォリオ】 ・Introduction to Risk Parity and Budgeting Thierry Roncalli
- 93. 93 ・A Practitioner's Guide to Asset Allocation William Kinlaw, Mark P. Kritzman, David Turkington ・長期投資の理論と実践: パーソナル・ファイナンスと資産運用 安達 智彦, 池田 昌幸 ・アセットアロケーションの最適化 ポートフォリオの構築とメンテナンスのための統合的アプローチ ロバート・カーバー, ・戦略的アセットアロケーション―長期投資のための最適資産配分の考え方 ジョン・キャンベル, ルイス・ビセイラ, 参考文献 【資産配分】 ・ガウス過程と機械学習 持橋 大地, 大羽 成征 ・ベイズ推論による機械学習入門 須山 敦志 【ベイズ・ガウス過程】