Β Λυκείου Μαθηματικά Κατεύθυνσης Θεωρία από τα διανύσματα

1. ’Εννοια του ∆ιανύσµατος Πρόσθεση και Αφαίρεση ∆ιανυσµάτων Πολλαπλασιασµός Αριθµού µε ∆ιάνυσµα
∆ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ
Αποστόλου Γεώργιος
Μαθηµατικός
apgeorge2004@yahoo.com
ΙΩΑΝΝΙΝΑ
8 Σεπτεµβρίου 2013
Αποστόλου Γεώργιος Μαθηµατικός apgeorge2004@yahoo.com ∆ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΙΩΑΝΝΙΝΑ 8 Σεπτεµβρίου 2013 1 / 51

2. ’Εννοια του ∆ιανύσµατος Πρόσθεση και Αφαίρεση ∆ιανυσµάτων Πολλαπλασιασµός Αριθµού µε ∆ιάνυσµα
∆ιανύσµατα
Αποστόλου Γεώργιος Μαθηµατικός apgeorge2004@yahoo.com ∆ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΙΩΑΝΝΙΝΑ 8 Σεπτεµβρίου 2013 2 / 51

3. ’Εννοια του ∆ιανύσµατος Πρόσθεση και Αφαίρεση ∆ιανυσµάτων Πολλαπλασιασµός Αριθµού µε ∆ιάνυσµα
Περιεχόµενα
1 ’Εννοια του ∆ιανύσµατος
Θεωρία
2 Πρόσθεση και Αφαίρεση ∆ιανυσµάτων
Θεωρία
3 Πολλαπλασιασµός Αριθµού µε ∆ιάνυσµα
Θεωρία
Αποστόλου Γεώργιος Μαθηµατικός apgeorge2004@yahoo.com ∆ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΙΩΑΝΝΙΝΑ 8 Σεπτεµβρίου 2013 2 / 51

4. ’Εννοια του ∆ιανύσµατος Πρόσθεση και Αφαίρεση ∆ιανυσµάτων Πολλαπλασιασµός Αριθµού µε ∆ιάνυσµα
Θεωρία
’Εννοια του ∆ιανύσµατος-Ερωτήσεις ϑεωρίας
www.study4maths.gr
Αποστόλου Γεώργιος Μαθηµατικός apgeorge2004@yahoo.com ∆ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΙΩΑΝΝΙΝΑ 8 Σεπτεµβρίου 2013 3 / 51

5. ’Εννοια του ∆ιανύσµατος Πρόσθεση και Αφαίρεση ∆ιανυσµάτων Πολλαπλασιασµός Αριθµού µε ∆ιάνυσµα
Θεωρία
Ερώτηση 1η
Τι είναι διάνυσµα;
Αποστόλου Γεώργιος Μαθηµατικός apgeorge2004@yahoo.com ∆ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΙΩΑΝΝΙΝΑ 8 Σεπτεµβρίου 2013 4 / 51

6. ’Εννοια του ∆ιανύσµατος Πρόσθεση και Αφαίρεση ∆ιανυσµάτων Πολλαπλασιασµός Αριθµού µε ∆ιάνυσµα
Θεωρία
Ορισµός διανύσµατος
Αποστόλου Γεώργιος Μαθηµατικός apgeorge2004@yahoo.com ∆ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΙΩΑΝΝΙΝΑ 8 Σεπτεµβρίου 2013 5 / 51

7. ’Εννοια του ∆ιανύσµατος Πρόσθεση και Αφαίρεση ∆ιανυσµάτων Πολλαπλασιασµός Αριθµού µε ∆ιάνυσµα
Θεωρία
Ορισµός διανύσµατος
∆ιάνυσµα
→
AB, είναι ένα προσανατολισµένο ευθύγραµµο τµήµα, του οποίου τα
άκρα ϑεωρούνται διατεταγµένα. Το πρώτο άκρο λέγεται αρχή και το δεύτερο
τέλος
Αποστόλου Γεώργιος Μαθηµατικός apgeorge2004@yahoo.com ∆ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΙΩΑΝΝΙΝΑ 8 Σεπτεµβρίου 2013 5 / 51

8. ’Εννοια του ∆ιανύσµατος Πρόσθεση και Αφαίρεση ∆ιανυσµάτων Πολλαπλασιασµός Αριθµού µε ∆ιάνυσµα
Θεωρία
Ορισµός διανύσµατος
∆ιάνυσµα
→
AB, είναι ένα προσανατολισµένο ευθύγραµµο τµήµα, του οποίου τα
άκρα ϑεωρούνται διατεταγµένα. Το πρώτο άκρο λέγεται αρχή και το δεύτερο
τέλος
Η ευθεία πάνω στην οποία ϐρίσκεται το διάνυσµα λέγεται ϕορέας του
διανύσµατος και καθορίζει τη διεύθυνση του.
Αποστόλου Γεώργιος Μαθηµατικός apgeorge2004@yahoo.com ∆ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΙΩΑΝΝΙΝΑ 8 Σεπτεµβρίου 2013 5 / 51

9. ’Εννοια του ∆ιανύσµατος Πρόσθεση και Αφαίρεση ∆ιανυσµάτων Πολλαπλασιασµός Αριθµού µε ∆ιάνυσµα
Θεωρία
Ερώτηση 2η
Τι είναι το µέτρο του διανύσµατος;
Αποστόλου Γεώργιος Μαθηµατικός apgeorge2004@yahoo.com ∆ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΙΩΑΝΝΙΝΑ 8 Σεπτεµβρίου 2013 6 / 51

10. ’Εννοια του ∆ιανύσµατος Πρόσθεση και Αφαίρεση ∆ιανυσµάτων Πολλαπλασιασµός Αριθµού µε ∆ιάνυσµα
Θεωρία
Μέτρο διανύσµατος
Αποστόλου Γεώργιος Μαθηµατικός apgeorge2004@yahoo.com ∆ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΙΩΑΝΝΙΝΑ 8 Σεπτεµβρίου 2013 7 / 51

11. ’Εννοια του ∆ιανύσµατος Πρόσθεση και Αφαίρεση ∆ιανυσµάτων Πολλαπλασιασµός Αριθµού µε ∆ιάνυσµα
Θεωρία
Μέτρο διανύσµατος
Μέτρο του διανύσµατος
→
AB είναι το µήκος του ευθύγραµµου τµήµατος ΑΒ
→
AB = d(A,B)
Αποστόλου Γεώργιος Μαθηµατικός apgeorge2004@yahoo.com ∆ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΙΩΑΝΝΙΝΑ 8 Σεπτεµβρίου 2013 7 / 51

12. ’Εννοια του ∆ιανύσµατος Πρόσθεση και Αφαίρεση ∆ιανυσµάτων Πολλαπλασιασµός Αριθµού µε ∆ιάνυσµα
Θεωρία
Ερώτηση 3η
Ποιό διάνυσµα λέγεται µοναδιαίο και ποιό µηδενικό;
Αποστόλου Γεώργιος Μαθηµατικός apgeorge2004@yahoo.com ∆ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΙΩΑΝΝΙΝΑ 8 Σεπτεµβρίου 2013 8 / 51

13. ’Εννοια του ∆ιανύσµατος Πρόσθεση και Αφαίρεση ∆ιανυσµάτων Πολλαπλασιασµός Αριθµού µε ∆ιάνυσµα
Θεωρία
Μοναδιαίο ∆ιάνυσµα
Αποστόλου Γεώργιος Μαθηµατικός apgeorge2004@yahoo.com ∆ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΙΩΑΝΝΙΝΑ 8 Σεπτεµβρίου 2013 9 / 51

14. ’Εννοια του ∆ιανύσµατος Πρόσθεση και Αφαίρεση ∆ιανυσµάτων Πολλαπλασιασµός Αριθµού µε ∆ιάνυσµα
Θεωρία
Μοναδιαίο ∆ιάνυσµα
Μοναδιαίο
→
i διάνυσµα είναι αυτό που έχει µέτρο 1
Αποστόλου Γεώργιος Μαθηµατικός apgeorge2004@yahoo.com ∆ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΙΩΑΝΝΙΝΑ 8 Σεπτεµβρίου 2013 9 / 51

15. ’Εννοια του ∆ιανύσµατος Πρόσθεση και Αφαίρεση ∆ιανυσµάτων Πολλαπλασιασµός Αριθµού µε ∆ιάνυσµα
Θεωρία
Μηδενικό διάνυσµα
Αποστόλου Γεώργιος Μαθηµατικός apgeorge2004@yahoo.com ∆ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΙΩΑΝΝΙΝΑ 8 Σεπτεµβρίου 2013 10 / 51

16. ’Εννοια του ∆ιανύσµατος Πρόσθεση και Αφαίρεση ∆ιανυσµάτων Πολλαπλασιασµός Αριθµού µε ∆ιάνυσµα
Θεωρία
Μηδενικό διάνυσµα
Μηδενικό
→
0 , είναι το διάνυσµα του οποίου η αρχή και το τέλος ταυτίζονται.
Αποστόλου Γεώργιος Μαθηµατικός apgeorge2004@yahoo.com ∆ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΙΩΑΝΝΙΝΑ 8 Σεπτεµβρίου 2013 10 / 51

17. ’Εννοια του ∆ιανύσµατος Πρόσθεση και Αφαίρεση ∆ιανυσµάτων Πολλαπλασιασµός Αριθµού µε ∆ιάνυσµα
Θεωρία
Μηδενικό διάνυσµα
Μηδενικό
→
0 , είναι το διάνυσµα του οποίου η αρχή και το τέλος ταυτίζονται.
Το µηδενικό διάνυσµα έχει µέτρο 0.
Αποστόλου Γεώργιος Μαθηµατικός apgeorge2004@yahoo.com ∆ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΙΩΑΝΝΙΝΑ 8 Σεπτεµβρίου 2013 10 / 51

18. ’Εννοια του ∆ιανύσµατος Πρόσθεση και Αφαίρεση ∆ιανυσµάτων Πολλαπλασιασµός Αριθµού µε ∆ιάνυσµα
Θεωρία
Ερώτηση 4η
Ποιά διανύσµατα είναι παράλληλα;
Αποστόλου Γεώργιος Μαθηµατικός apgeorge2004@yahoo.com ∆ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΙΩΑΝΝΙΝΑ 8 Σεπτεµβρίου 2013 11 / 51

19. ’Εννοια του ∆ιανύσµατος Πρόσθεση και Αφαίρεση ∆ιανυσµάτων Πολλαπλασιασµός Αριθµού µε ∆ιάνυσµα
Θεωρία
Παράλληλα ∆ιανύσµατα
Αποστόλου Γεώργιος Μαθηµατικός apgeorge2004@yahoo.com ∆ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΙΩΑΝΝΙΝΑ 8 Σεπτεµβρίου 2013 12 / 51

20. ’Εννοια του ∆ιανύσµατος Πρόσθεση και Αφαίρεση ∆ιανυσµάτων Πολλαπλασιασµός Αριθµού µε ∆ιάνυσµα
Θεωρία
Παράλληλα ∆ιανύσµατα
∆υο διανύσµατα που ϐρίσκονται πάνω σε παράλληλους ϕορείς ή πάνω στον
ίδιο ϕορέα, λέγονται παράλληλα.
Αποστόλου Γεώργιος Μαθηµατικός apgeorge2004@yahoo.com ∆ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΙΩΑΝΝΙΝΑ 8 Σεπτεµβρίου 2013 12 / 51

21. ’Εννοια του ∆ιανύσµατος Πρόσθεση και Αφαίρεση ∆ιανυσµάτων Πολλαπλασιασµός Αριθµού µε ∆ιάνυσµα
Θεωρία
Παράλληλα ∆ιανύσµατα
∆υο διανύσµατα που ϐρίσκονται πάνω σε παράλληλους ϕορείς ή πάνω στον
ίδιο ϕορέα, λέγονται παράλληλα.
Τα παράλληλα διανύσµατα λέγονται και συγγραµµικά.
Αποστόλου Γεώργιος Μαθηµατικός apgeorge2004@yahoo.com ∆ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΙΩΑΝΝΙΝΑ 8 Σεπτεµβρίου 2013 12 / 51

22. ’Εννοια του ∆ιανύσµατος Πρόσθεση και Αφαίρεση ∆ιανυσµάτων Πολλαπλασιασµός Αριθµού µε ∆ιάνυσµα
Θεωρία
Ερώτηση 5η
Ποιά διανύσµατα λέγονται οµόρροπα και ποια αντίρροπα;
Αποστόλου Γεώργιος Μαθηµατικός apgeorge2004@yahoo.com ∆ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΙΩΑΝΝΙΝΑ 8 Σεπτεµβρίου 2013 13 / 51

23. ’Εννοια του ∆ιανύσµατος Πρόσθεση και Αφαίρεση ∆ιανυσµάτων Πολλαπλασιασµός Αριθµού µε ∆ιάνυσµα
Θεωρία
Οµόρροπα ∆ιανύσµατα
Αποστόλου Γεώργιος Μαθηµατικός apgeorge2004@yahoo.com ∆ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΙΩΑΝΝΙΝΑ 8 Σεπτεµβρίου 2013 14 / 51

24. ’Εννοια του ∆ιανύσµατος Πρόσθεση και Αφαίρεση ∆ιανυσµάτων Πολλαπλασιασµός Αριθµού µε ∆ιάνυσµα
Θεωρία
Οµόρροπα ∆ιανύσµατα
∆υο διανύσµατα που ϐρίσκονται πάνω σε παράλληλους ϕορείς είναι
οµόρροπα →α
→
β , όταν ϐρίσκονται πάνω στο ίδιο ηµιεπίπεδο, το οποίο
ορίζει η ευθεία που ενώνει τις αρχές τους.
Αποστόλου Γεώργιος Μαθηµατικός apgeorge2004@yahoo.com ∆ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΙΩΑΝΝΙΝΑ 8 Σεπτεµβρίου 2013 14 / 51

25. ’Εννοια του ∆ιανύσµατος Πρόσθεση και Αφαίρεση ∆ιανυσµάτων Πολλαπλασιασµός Αριθµού µε ∆ιάνυσµα
Θεωρία
Οµόρροπα ∆ιανύσµατα
∆υο διανύσµατα που ϐρίσκονται πάνω σε παράλληλους ϕορείς είναι
οµόρροπα →α
→
β , όταν ϐρίσκονται πάνω στο ίδιο ηµιεπίπεδο, το οποίο
ορίζει η ευθεία που ενώνει τις αρχές τους.
΄Η στην περίπτωση που ϐρίσκονται πάνω στην ίδια ευθεία, είναι οµόρροπα
→α
→
β όταν, η µια από τις ηµιευθείες που ορίζουν τα διανύσµατα, περιέχει
την άλλη.
Αποστόλου Γεώργιος Μαθηµατικός apgeorge2004@yahoo.com ∆ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΙΩΑΝΝΙΝΑ 8 Σεπτεµβρίου 2013 14 / 51

26. ’Εννοια του ∆ιανύσµατος Πρόσθεση και Αφαίρεση ∆ιανυσµάτων Πολλαπλασιασµός Αριθµού µε ∆ιάνυσµα
Θεωρία
Αντίρροπα ∆ιανύσµατα
Αποστόλου Γεώργιος Μαθηµατικός apgeorge2004@yahoo.com ∆ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΙΩΑΝΝΙΝΑ 8 Σεπτεµβρίου 2013 15 / 51

27. ’Εννοια του ∆ιανύσµατος Πρόσθεση και Αφαίρεση ∆ιανυσµάτων Πολλαπλασιασµός Αριθµού µε ∆ιάνυσµα
Θεωρία
Αντίρροπα ∆ιανύσµατα
∆υο παράλληλα διανύσµατα είναι αντίρροπα όταν δεν είναι οµόρροπα,
→α
→
β
Αποστόλου Γεώργιος Μαθηµατικός apgeorge2004@yahoo.com ∆ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΙΩΑΝΝΙΝΑ 8 Σεπτεµβρίου 2013 15 / 51

28. ’Εννοια του ∆ιανύσµατος Πρόσθεση και Αφαίρεση ∆ιανυσµάτων Πολλαπλασιασµός Αριθµού µε ∆ιάνυσµα
Θεωρία
Ερώτηση 6η
Ποιά διανύσµατα λέγονται ίσα και ποια αντίθετα;
Αποστόλου Γεώργιος Μαθηµατικός apgeorge2004@yahoo.com ∆ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΙΩΑΝΝΙΝΑ 8 Σεπτεµβρίου 2013 16 / 51

29. ’Εννοια του ∆ιανύσµατος Πρόσθεση και Αφαίρεση ∆ιανυσµάτων Πολλαπλασιασµός Αριθµού µε ∆ιάνυσµα
Θεωρία
΄Ισα ∆ιανύσµατα
Αποστόλου Γεώργιος Μαθηµατικός apgeorge2004@yahoo.com ∆ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΙΩΑΝΝΙΝΑ 8 Σεπτεµβρίου 2013 17 / 51

30. ’Εννοια του ∆ιανύσµατος Πρόσθεση και Αφαίρεση ∆ιανυσµάτων Πολλαπλασιασµός Αριθµού µε ∆ιάνυσµα
Θεωρία
΄Ισα ∆ιανύσµατα
∆ύο διανύσµατα →α και
→
β είναι ίσα αν-ν
είναι οµόρροπα →α
→
β και έχουν ίσα µετρά →α =
→
β
Αποστόλου Γεώργιος Μαθηµατικός apgeorge2004@yahoo.com ∆ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΙΩΑΝΝΙΝΑ 8 Σεπτεµβρίου 2013 17 / 51

31. ’Εννοια του ∆ιανύσµατος Πρόσθεση και Αφαίρεση ∆ιανυσµάτων Πολλαπλασιασµός Αριθµού µε ∆ιάνυσµα
Θεωρία
Αντίθετα ∆ιανύσµατα
Αποστόλου Γεώργιος Μαθηµατικός apgeorge2004@yahoo.com ∆ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΙΩΑΝΝΙΝΑ 8 Σεπτεµβρίου 2013 18 / 51

32. ’Εννοια του ∆ιανύσµατος Πρόσθεση και Αφαίρεση ∆ιανυσµάτων Πολλαπλασιασµός Αριθµού µε ∆ιάνυσµα
Θεωρία
Αντίθετα ∆ιανύσµατα
∆ύο διανύσµατα →α και
→
β είναι αντίθετα αν-ν
είναι αντίρροπα →α
→
β και έχουν ίσα µετρά →α =
→
β
Αποστόλου Γεώργιος Μαθηµατικός apgeorge2004@yahoo.com ∆ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΙΩΑΝΝΙΝΑ 8 Σεπτεµβρίου 2013 18 / 51

33. ’Εννοια του ∆ιανύσµατος Πρόσθεση και Αφαίρεση ∆ιανυσµάτων Πολλαπλασιασµός Αριθµού µε ∆ιάνυσµα
Θεωρία
Ερώτηση 7η
Πότε ένα κυρτό τετράπλευρο ΑΒΓ∆ είναι παραλληλόγραµµο;
Αποστόλου Γεώργιος Μαθηµατικός apgeorge2004@yahoo.com ∆ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΙΩΑΝΝΙΝΑ 8 Σεπτεµβρίου 2013 19 / 51

34. ’Εννοια του ∆ιανύσµατος Πρόσθεση και Αφαίρεση ∆ιανυσµάτων Πολλαπλασιασµός Αριθµού µε ∆ιάνυσµα
Θεωρία
Παραλληλόγραµµο
Αποστόλου Γεώργιος Μαθηµατικός apgeorge2004@yahoo.com ∆ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΙΩΑΝΝΙΝΑ 8 Σεπτεµβρίου 2013 20 / 51

35. ’Εννοια του ∆ιανύσµατος Πρόσθεση και Αφαίρεση ∆ιανυσµάτων Πολλαπλασιασµός Αριθµού µε ∆ιάνυσµα
Θεωρία
Παραλληλόγραµµο
Το ΑΒΓ∆ είναι παραλληλόγραµµο αν-ν τα απέναντι διανύσµατα είναι ίσα.
Αποστόλου Γεώργιος Μαθηµατικός apgeorge2004@yahoo.com ∆ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΙΩΑΝΝΙΝΑ 8 Σεπτεµβρίου 2013 20 / 51

36. ’Εννοια του ∆ιανύσµατος Πρόσθεση και Αφαίρεση ∆ιανυσµάτων Πολλαπλασιασµός Αριθµού µε ∆ιάνυσµα
Θεωρία
Παραλληλόγραµµο
Το ΑΒΓ∆ είναι παραλληλόγραµµο αν-ν τα απέναντι διανύσµατα είναι ίσα.
→
AB =
→
Γ∆ ή
→
AΓ =
→
B∆
Αποστόλου Γεώργιος Μαθηµατικός apgeorge2004@yahoo.com ∆ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΙΩΑΝΝΙΝΑ 8 Σεπτεµβρίου 2013 20 / 51

37. ’Εννοια του ∆ιανύσµατος Πρόσθεση και Αφαίρεση ∆ιανυσµάτων Πολλαπλασιασµός Αριθµού µε ∆ιάνυσµα
Θεωρία
Ερώτηση 8η
Ποιο σηµείο είναι το µέσο του διανύσµατος
→
AB;
Αποστόλου Γεώργιος Μαθηµατικός apgeorge2004@yahoo.com ∆ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΙΩΑΝΝΙΝΑ 8 Σεπτεµβρίου 2013 21 / 51

38. ’Εννοια του ∆ιανύσµατος Πρόσθεση και Αφαίρεση ∆ιανυσµάτων Πολλαπλασιασµός Αριθµού µε ∆ιάνυσµα
Θεωρία
Μέσο ∆ιανύσµατος
Αποστόλου Γεώργιος Μαθηµατικός apgeorge2004@yahoo.com ∆ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΙΩΑΝΝΙΝΑ 8 Σεπτεµβρίου 2013 22 / 51

39. ’Εννοια του ∆ιανύσµατος Πρόσθεση και Αφαίρεση ∆ιανυσµάτων Πολλαπλασιασµός Αριθµού µε ∆ιάνυσµα
Θεωρία
Μέσο ∆ιανύσµατος
Το Μ είναι µέσο του διανύσµατος
→
AB αν-ν
→
AM=
→
MB
Αποστόλου Γεώργιος Μαθηµατικός apgeorge2004@yahoo.com ∆ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΙΩΑΝΝΙΝΑ 8 Σεπτεµβρίου 2013 22 / 51

40. ’Εννοια του ∆ιανύσµατος Πρόσθεση και Αφαίρεση ∆ιανυσµάτων Πολλαπλασιασµός Αριθµού µε ∆ιάνυσµα
Θεωρία
Ερώτηση 9η
Πως ορίζεται η γωνία 2 διανυσµάτων;
Αποστόλου Γεώργιος Μαθηµατικός apgeorge2004@yahoo.com ∆ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΙΩΑΝΝΙΝΑ 8 Σεπτεµβρίου 2013 23 / 51

41. ’Εννοια του ∆ιανύσµατος Πρόσθεση και Αφαίρεση ∆ιανυσµάτων Πολλαπλασιασµός Αριθµού µε ∆ιάνυσµα
Θεωρία
Γωνία ∆ιανυσµάτων
Αποστόλου Γεώργιος Μαθηµατικός apgeorge2004@yahoo.com ∆ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΙΩΑΝΝΙΝΑ 8 Σεπτεµβρίου 2013 24 / 51

42. ’Εννοια του ∆ιανύσµατος Πρόσθεση και Αφαίρεση ∆ιανυσµάτων Πολλαπλασιασµός Αριθµού µε ∆ιάνυσµα
Θεωρία
Γωνία ∆ιανυσµάτων
Ως γωνία των διανυσµάτων →α και
→
β ορίζουµε την κυρτή γωνία ϕ που
σχηµατίζουν οι ηµιευθείες ΟΑ και ΟΒ, που είναι ϕορείς των διανυσµάτων.
Είναι, 0o
≤ φ ≤ 180o
Αποστόλου Γεώργιος Μαθηµατικός apgeorge2004@yahoo.com ∆ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΙΩΑΝΝΙΝΑ 8 Σεπτεµβρίου 2013 24 / 51

43. ’Εννοια του ∆ιανύσµατος Πρόσθεση και Αφαίρεση ∆ιανυσµάτων Πολλαπλασιασµός Αριθµού µε ∆ιάνυσµα
Θεωρία
Γωνία φ = 0o
Αποστόλου Γεώργιος Μαθηµατικός apgeorge2004@yahoo.com ∆ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΙΩΑΝΝΙΝΑ 8 Σεπτεµβρίου 2013 25 / 51

44. ’Εννοια του ∆ιανύσµατος Πρόσθεση και Αφαίρεση ∆ιανυσµάτων Πολλαπλασιασµός Αριθµού µε ∆ιάνυσµα
Θεωρία
Γωνία φ = 0o
φ = 0o
⇐⇒ →α
→
β
Αποστόλου Γεώργιος Μαθηµατικός apgeorge2004@yahoo.com ∆ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΙΩΑΝΝΙΝΑ 8 Σεπτεµβρίου 2013 25 / 51

45. ’Εννοια του ∆ιανύσµατος Πρόσθεση και Αφαίρεση ∆ιανυσµάτων Πολλαπλασιασµός Αριθµού µε ∆ιάνυσµα
Θεωρία
Γωνία φ = 180o
Αποστόλου Γεώργιος Μαθηµατικός apgeorge2004@yahoo.com ∆ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΙΩΑΝΝΙΝΑ 8 Σεπτεµβρίου 2013 26 / 51

46. ’Εννοια του ∆ιανύσµατος Πρόσθεση και Αφαίρεση ∆ιανυσµάτων Πολλαπλασιασµός Αριθµού µε ∆ιάνυσµα
Θεωρία
Γωνία φ = 180o
φ = 180o
⇐⇒ →α
→
β
Αποστόλου Γεώργιος Μαθηµατικός apgeorge2004@yahoo.com ∆ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΙΩΑΝΝΙΝΑ 8 Σεπτεµβρίου 2013 26 / 51

47. ’Εννοια του ∆ιανύσµατος Πρόσθεση και Αφαίρεση ∆ιανυσµάτων Πολλαπλασιασµός Αριθµού µε ∆ιάνυσµα
Θεωρία
Γωνία φ = 90o
Αποστόλου Γεώργιος Μαθηµατικός apgeorge2004@yahoo.com ∆ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΙΩΑΝΝΙΝΑ 8 Σεπτεµβρίου 2013 27 / 51

48. ’Εννοια του ∆ιανύσµατος Πρόσθεση και Αφαίρεση ∆ιανυσµάτων Πολλαπλασιασµός Αριθµού µε ∆ιάνυσµα
Θεωρία
Γωνία φ = 90o
φ = 90o
⇐⇒ →α ⊥
→
β
Αποστόλου Γεώργιος Μαθηµατικός apgeorge2004@yahoo.com ∆ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΙΩΑΝΝΙΝΑ 8 Σεπτεµβρίου 2013 27 / 51

49. ’Εννοια του ∆ιανύσµατος Πρόσθεση και Αφαίρεση ∆ιανυσµάτων Πολλαπλασιασµός Αριθµού µε ∆ιάνυσµα
Θεωρία
Πρόσθεση και Αφαίρεση ∆ιανυσµάτων-Ερωτήσεις ϑεωρίας
www.study4maths.gr
Αποστόλου Γεώργιος Μαθηµατικός apgeorge2004@yahoo.com ∆ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΙΩΑΝΝΙΝΑ 8 Σεπτεµβρίου 2013 28 / 51

50. ’Εννοια του ∆ιανύσµατος Πρόσθεση και Αφαίρεση ∆ιανυσµάτων Πολλαπλασιασµός Αριθµού µε ∆ιάνυσµα
Θεωρία
Ερώτηση 1η
Πως προσθέτουµε δύο διανύσµατα;
Αποστόλου Γεώργιος Μαθηµατικός apgeorge2004@yahoo.com ∆ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΙΩΑΝΝΙΝΑ 8 Σεπτεµβρίου 2013 29 / 51

51. ’Εννοια του ∆ιανύσµατος Πρόσθεση και Αφαίρεση ∆ιανυσµάτων Πολλαπλασιασµός Αριθµού µε ∆ιάνυσµα
Θεωρία
Πρόσθεση µε τη Μέθοδο του Παραλληλογράµµου
Αποστόλου Γεώργιος Μαθηµατικός apgeorge2004@yahoo.com ∆ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΙΩΑΝΝΙΝΑ 8 Σεπτεµβρίου 2013 30 / 51

52. ’Εννοια του ∆ιανύσµατος Πρόσθεση και Αφαίρεση ∆ιανυσµάτων Πολλαπλασιασµός Αριθµού µε ∆ιάνυσµα
Θεωρία
Πρόσθεση µε τη Μέθοδο του Παραλληλογράµµου
Μεταφέρω παράλληλα τα δυο διανύσµατα, ώστε να έχουν κοινή αρχή και
σχηµατίζω το παραλληλόγραµµο που ϕαίνεται στο σχήµα. Το διάνυσµα της
διαγωνίου που έχει αρχή, το κοινό σηµείο των διανυσµάτων, είναι το άθροισµα
τους.
Αποστόλου Γεώργιος Μαθηµατικός apgeorge2004@yahoo.com ∆ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΙΩΑΝΝΙΝΑ 8 Σεπτεµβρίου 2013 30 / 51

53. ’Εννοια του ∆ιανύσµατος Πρόσθεση και Αφαίρεση ∆ιανυσµάτων Πολλαπλασιασµός Αριθµού µε ∆ιάνυσµα
Θεωρία
Πρόσθεση µε ∆ιαδοχικά ∆ιανύσµατα
Αποστόλου Γεώργιος Μαθηµατικός apgeorge2004@yahoo.com ∆ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΙΩΑΝΝΙΝΑ 8 Σεπτεµβρίου 2013 31 / 51

54. ’Εννοια του ∆ιανύσµατος Πρόσθεση και Αφαίρεση ∆ιανυσµάτων Πολλαπλασιασµός Αριθµού µε ∆ιάνυσµα
Θεωρία
Πρόσθεση µε ∆ιαδοχικά ∆ιανύσµατα
Μεταφέρω παράλληλα τα δυο διανύσµατα, ώστε το τέλος του ενός
διανύσµατος να είναι η αρχή του δευτέρου. Το διάνυσµα που έχει αρχή, την
αρχή του 1ου και τέλος, το τέλος του 2ου είναι το άθροισµά τους.
→
AB +
→
BΓ =
→
AΓ
Αποστόλου Γεώργιος Μαθηµατικός apgeorge2004@yahoo.com ∆ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΙΩΑΝΝΙΝΑ 8 Σεπτεµβρίου 2013 31 / 51

55. ’Εννοια του ∆ιανύσµατος Πρόσθεση και Αφαίρεση ∆ιανυσµάτων Πολλαπλασιασµός Αριθµού µε ∆ιάνυσµα
Θεωρία
Ερώτηση 2η
Ποιες είναι οι ιδιότητες της πρόσθεσης δυο διανυσµάτων;
Αποστόλου Γεώργιος Μαθηµατικός apgeorge2004@yahoo.com ∆ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΙΩΑΝΝΙΝΑ 8 Σεπτεµβρίου 2013 32 / 51

56. ’Εννοια του ∆ιανύσµατος Πρόσθεση και Αφαίρεση ∆ιανυσµάτων Πολλαπλασιασµός Αριθµού µε ∆ιάνυσµα
Θεωρία
Ιδιότητες Πρόσθεσης
→α +
→
β =
→
β + →α (Αντιµεταθετική ιδιότητα)
Αποστόλου Γεώργιος Μαθηµατικός apgeorge2004@yahoo.com ∆ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΙΩΑΝΝΙΝΑ 8 Σεπτεµβρίου 2013 33 / 51

57. ’Εννοια του ∆ιανύσµατος Πρόσθεση και Αφαίρεση ∆ιανυσµάτων Πολλαπλασιασµός Αριθµού µε ∆ιάνυσµα
Θεωρία
Ιδιότητες Πρόσθεσης
→α +
→
β =
→
β + →α (Αντιµεταθετική ιδιότητα)
(→α +
→
β ) + →γ = →α + (
→
β + →γ ) (Προσετεριστική ιδιότητα)
Αποστόλου Γεώργιος Μαθηµατικός apgeorge2004@yahoo.com ∆ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΙΩΑΝΝΙΝΑ 8 Σεπτεµβρίου 2013 33 / 51

58. ’Εννοια του ∆ιανύσµατος Πρόσθεση και Αφαίρεση ∆ιανυσµάτων Πολλαπλασιασµός Αριθµού µε ∆ιάνυσµα
Θεωρία
Ιδιότητες Πρόσθεσης
→α +
→
β =
→
β + →α (Αντιµεταθετική ιδιότητα)
(→α +
→
β ) + →γ = →α + (
→
β + →γ ) (Προσετεριστική ιδιότητα)
→α +
→
0 =
→
0 + →α = →α
Αποστόλου Γεώργιος Μαθηµατικός apgeorge2004@yahoo.com ∆ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΙΩΑΝΝΙΝΑ 8 Σεπτεµβρίου 2013 33 / 51

59. ’Εννοια του ∆ιανύσµατος Πρόσθεση και Αφαίρεση ∆ιανυσµάτων Πολλαπλασιασµός Αριθµού µε ∆ιάνυσµα
Θεωρία
Ιδιότητες Πρόσθεσης
→α +
→
β =
→
β + →α (Αντιµεταθετική ιδιότητα)
(→α +
→
β ) + →γ = →α + (
→
β + →γ ) (Προσετεριστική ιδιότητα)
→α +
→
0 =
→
0 + →α = →α
→α + (−→α ) =
→
0
Αποστόλου Γεώργιος Μαθηµατικός apgeorge2004@yahoo.com ∆ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΙΩΑΝΝΙΝΑ 8 Σεπτεµβρίου 2013 33 / 51

60. ’Εννοια του ∆ιανύσµατος Πρόσθεση και Αφαίρεση ∆ιανυσµάτων Πολλαπλασιασµός Αριθµού µε ∆ιάνυσµα
Θεωρία
Ερώτηση 3η
Πως αφαιρούµε δύο διανύσµατα;
Αποστόλου Γεώργιος Μαθηµατικός apgeorge2004@yahoo.com ∆ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΙΩΑΝΝΙΝΑ 8 Σεπτεµβρίου 2013 34 / 51

61. ’Εννοια του ∆ιανύσµατος Πρόσθεση και Αφαίρεση ∆ιανυσµάτων Πολλαπλασιασµός Αριθµού µε ∆ιάνυσµα
Θεωρία
Αφαίρεση ∆ιανυσµάτων
Αποστόλου Γεώργιος Μαθηµατικός apgeorge2004@yahoo.com ∆ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΙΩΑΝΝΙΝΑ 8 Σεπτεµβρίου 2013 35 / 51

62. ’Εννοια του ∆ιανύσµατος Πρόσθεση και Αφαίρεση ∆ιανυσµάτων Πολλαπλασιασµός Αριθµού µε ∆ιάνυσµα
Θεωρία
Αφαίρεση ∆ιανυσµάτων
Η αφαίρεση δυο διανυσµάτων είναι η πρόσθεση του 1ου µε το αντίθετο του 2ου
→α −
→
β = →α + (−
→
β )
Αποστόλου Γεώργιος Μαθηµατικός apgeorge2004@yahoo.com ∆ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΙΩΑΝΝΙΝΑ 8 Σεπτεµβρίου 2013 35 / 51

63. ’Εννοια του ∆ιανύσµατος Πρόσθεση και Αφαίρεση ∆ιανυσµάτων Πολλαπλασιασµός Αριθµού µε ∆ιάνυσµα
Θεωρία
Ερώτηση 4η
Ποιο είναι το διάνυσµα θέσης ενός σηµείου;
Αποστόλου Γεώργιος Μαθηµατικός apgeorge2004@yahoo.com ∆ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΙΩΑΝΝΙΝΑ 8 Σεπτεµβρίου 2013 36 / 51

64. ’Εννοια του ∆ιανύσµατος Πρόσθεση και Αφαίρεση ∆ιανυσµάτων Πολλαπλασιασµός Αριθµού µε ∆ιάνυσµα
Θεωρία
Αφαίρεση ∆ιανυσµάτων
Αποστόλου Γεώργιος Μαθηµατικός apgeorge2004@yahoo.com ∆ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΙΩΑΝΝΙΝΑ 8 Σεπτεµβρίου 2013 37 / 51

65. ’Εννοια του ∆ιανύσµατος Πρόσθεση και Αφαίρεση ∆ιανυσµάτων Πολλαπλασιασµός Αριθµού µε ∆ιάνυσµα
Θεωρία
Αφαίρεση ∆ιανυσµάτων
Αν Ο ένα σταθερό σηµείο του επιπέδου, τότε για κάθε σηµείο Α, το διάνυσµα
→
OA είναι το διάνυσµα ϑέσης ή αλλιώς διανυσµατική ακτίνα του Α.
Το Ο λέγεται σηµείο αναφοράς.
Αποστόλου Γεώργιος Μαθηµατικός apgeorge2004@yahoo.com ∆ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΙΩΑΝΝΙΝΑ 8 Σεπτεµβρίου 2013 37 / 51

66. ’Εννοια του ∆ιανύσµατος Πρόσθεση και Αφαίρεση ∆ιανυσµάτων Πολλαπλασιασµός Αριθµού µε ∆ιάνυσµα
Θεωρία
Ερώτηση 5η
Ποια είναι η σηµαντικότερη ιδιότητα των διανυσµατικών ακτίνων;
Αποστόλου Γεώργιος Μαθηµατικός apgeorge2004@yahoo.com ∆ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΙΩΑΝΝΙΝΑ 8 Σεπτεµβρίου 2013 38 / 51

67. ’Εννοια του ∆ιανύσµατος Πρόσθεση και Αφαίρεση ∆ιανυσµάτων Πολλαπλασιασµός Αριθµού µε ∆ιάνυσµα
Θεωρία
Ιδιότητα ∆ιανυσµατικών Ακτίνων
Αποστόλου Γεώργιος Μαθηµατικός apgeorge2004@yahoo.com ∆ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΙΩΑΝΝΙΝΑ 8 Σεπτεµβρίου 2013 39 / 51

68. ’Εννοια του ∆ιανύσµατος Πρόσθεση και Αφαίρεση ∆ιανυσµάτων Πολλαπλασιασµός Αριθµού µε ∆ιάνυσµα
Θεωρία
Ιδιότητα ∆ιανυσµατικών Ακτίνων
→
OB −
→
OA =
→
AB
Αποστόλου Γεώργιος Μαθηµατικός apgeorge2004@yahoo.com ∆ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΙΩΑΝΝΙΝΑ 8 Σεπτεµβρίου 2013 39 / 51

69. ’Εννοια του ∆ιανύσµατος Πρόσθεση και Αφαίρεση ∆ιανυσµάτων Πολλαπλασιασµός Αριθµού µε ∆ιάνυσµα
Θεωρία
Ιδιότητα ∆ιανυσµατικών Ακτίνων
→
OB −
→
OA =
→
AB
Κάθε διάνυσµα, είναι ίσο µε τη διανυσµατική ακτίνα του τέλους του, µείον τη
διανυσµατική ακτίνα της αρχής του.
Αποστόλου Γεώργιος Μαθηµατικός apgeorge2004@yahoo.com ∆ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΙΩΑΝΝΙΝΑ 8 Σεπτεµβρίου 2013 39 / 51

70. ’Εννοια του ∆ιανύσµατος Πρόσθεση και Αφαίρεση ∆ιανυσµάτων Πολλαπλασιασµός Αριθµού µε ∆ιάνυσµα
Θεωρία
Ερώτηση 6η
Να γράψετε τη τριγωνική ανισότητα για µέτρο του αθροίσµατος διανυσµάτων
Αποστόλου Γεώργιος Μαθηµατικός apgeorge2004@yahoo.com ∆ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΙΩΑΝΝΙΝΑ 8 Σεπτεµβρίου 2013 40 / 51

71. ’Εννοια του ∆ιανύσµατος Πρόσθεση και Αφαίρεση ∆ιανυσµάτων Πολλαπλασιασµός Αριθµού µε ∆ιάνυσµα
Θεωρία
Τριγωνική Ανισότητα
→α −
→
β ≤ →α +
→
β ≤ →α +
→
β
Αποστόλου Γεώργιος Μαθηµατικός apgeorge2004@yahoo.com ∆ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΙΩΑΝΝΙΝΑ 8 Σεπτεµβρίου 2013 41 / 51

72. ’Εννοια του ∆ιανύσµατος Πρόσθεση και Αφαίρεση ∆ιανυσµάτων Πολλαπλασιασµός Αριθµού µε ∆ιάνυσµα
Θεωρία
Τριγωνική Ανισότητα
→α −
→
β ≤ →α +
→
β ≤ →α +
→
β
Είναι:
Αποστόλου Γεώργιος Μαθηµατικός apgeorge2004@yahoo.com ∆ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΙΩΑΝΝΙΝΑ 8 Σεπτεµβρίου 2013 41 / 51

73. ’Εννοια του ∆ιανύσµατος Πρόσθεση και Αφαίρεση ∆ιανυσµάτων Πολλαπλασιασµός Αριθµού µε ∆ιάνυσµα
Θεωρία
Τριγωνική Ανισότητα
→α −
→
β ≤ →α +
→
β ≤ →α +
→
β
Είναι:
→α −
→
β = →α +
→
β αν-ν →α
→
β
Αποστόλου Γεώργιος Μαθηµατικός apgeorge2004@yahoo.com ∆ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΙΩΑΝΝΙΝΑ 8 Σεπτεµβρίου 2013 41 / 51

74. ’Εννοια του ∆ιανύσµατος Πρόσθεση και Αφαίρεση ∆ιανυσµάτων Πολλαπλασιασµός Αριθµού µε ∆ιάνυσµα
Θεωρία
Τριγωνική Ανισότητα
→α −
→
β ≤ →α +
→
β ≤ →α +
→
β
Είναι:
→α −
→
β = →α +
→
β αν-ν →α
→
β
→α +
→
β = →α +
→
β αν-ν →α
→
β
Αποστόλου Γεώργιος Μαθηµατικός apgeorge2004@yahoo.com ∆ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΙΩΑΝΝΙΝΑ 8 Σεπτεµβρίου 2013 41 / 51

75. ’Εννοια του ∆ιανύσµατος Πρόσθεση και Αφαίρεση ∆ιανυσµάτων Πολλαπλασιασµός Αριθµού µε ∆ιάνυσµα
Θεωρία
Πολλαπλασιασµός Αριθµού µε ∆ιάνυσµα
www.study4maths.gr
Αποστόλου Γεώργιος Μαθηµατικός apgeorge2004@yahoo.com ∆ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΙΩΑΝΝΙΝΑ 8 Σεπτεµβρίου 2013 42 / 51

76. ’Εννοια του ∆ιανύσµατος Πρόσθεση και Αφαίρεση ∆ιανυσµάτων Πολλαπλασιασµός Αριθµού µε ∆ιάνυσµα
Θεωρία
Ερώτηση 1η
Πως ορίζουµε τον πολλαπλασιασµό ενός αριθµού µε ένα διάνυσµα;
Αποστόλου Γεώργιος Μαθηµατικός apgeorge2004@yahoo.com ∆ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΙΩΑΝΝΙΝΑ 8 Σεπτεµβρίου 2013 43 / 51

77. ’Εννοια του ∆ιανύσµατος Πρόσθεση και Αφαίρεση ∆ιανυσµάτων Πολλαπλασιασµός Αριθµού µε ∆ιάνυσµα
Θεωρία
Ορισµός
Αποστόλου Γεώργιος Μαθηµατικός apgeorge2004@yahoo.com ∆ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΙΩΑΝΝΙΝΑ 8 Σεπτεµβρίου 2013 44 / 51

78. ’Εννοια του ∆ιανύσµατος Πρόσθεση και Αφαίρεση ∆ιανυσµάτων Πολλαπλασιασµός Αριθµού µε ∆ιάνυσµα
Θεωρία
Ορισµός
Ορίζουµε ως γινόµενο, του αριθµού λ µε το διάνυσµα →α , το διάνυσµα λ→α για
το οποίο ισχύει:
Είναι παράλληλο στο →α
΄Εχει µέτρο λ →α
Αποστόλου Γεώργιος Μαθηµατικός apgeorge2004@yahoo.com ∆ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΙΩΑΝΝΙΝΑ 8 Σεπτεµβρίου 2013 44 / 51

79. ’Εννοια του ∆ιανύσµατος Πρόσθεση και Αφαίρεση ∆ιανυσµάτων Πολλαπλασιασµός Αριθµού µε ∆ιάνυσµα
Θεωρία
Οµόρροπα - Αντίρροπα
Αποστόλου Γεώργιος Μαθηµατικός apgeorge2004@yahoo.com ∆ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΙΩΑΝΝΙΝΑ 8 Σεπτεµβρίου 2013 45 / 51

80. ’Εννοια του ∆ιανύσµατος Πρόσθεση και Αφαίρεση ∆ιανυσµάτων Πολλαπλασιασµός Αριθµού µε ∆ιάνυσµα
Θεωρία
Οµόρροπα - Αντίρροπα
Το διάνυσµα λ→α είναι:
Είναι οµόρροπο στο →α αν-ν λ > 0
Είναι αντίρροπο στο →α αν-ν λ < 0
Αν λ = 0 ή →α =
→
0 τότε λ→α =
→
0
Αποστόλου Γεώργιος Μαθηµατικός apgeorge2004@yahoo.com ∆ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΙΩΑΝΝΙΝΑ 8 Σεπτεµβρίου 2013 45 / 51

81. ’Εννοια του ∆ιανύσµατος Πρόσθεση και Αφαίρεση ∆ιανυσµάτων Πολλαπλασιασµός Αριθµού µε ∆ιάνυσµα
Θεωρία
Ερώτηση 2η
Ποιά είναι η συνθήκη παραλληλίας δύο διανυσµάτων;
Αποστόλου Γεώργιος Μαθηµατικός apgeorge2004@yahoo.com ∆ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΙΩΑΝΝΙΝΑ 8 Σεπτεµβρίου 2013 46 / 51

82. ’Εννοια του ∆ιανύσµατος Πρόσθεση και Αφαίρεση ∆ιανυσµάτων Πολλαπλασιασµός Αριθµού µε ∆ιάνυσµα
Θεωρία
Παράλληλα ∆ιανύσµατα
Αποστόλου Γεώργιος Μαθηµατικός apgeorge2004@yahoo.com ∆ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΙΩΑΝΝΙΝΑ 8 Σεπτεµβρίου 2013 47 / 51

83. ’Εννοια του ∆ιανύσµατος Πρόσθεση και Αφαίρεση ∆ιανυσµάτων Πολλαπλασιασµός Αριθµού µε ∆ιάνυσµα
Θεωρία
Παράλληλα ∆ιανύσµατα
Τα διανύσµατα →α και
→
β ≠
→
0
είναι παράλληλα αν-ν →α = λ
→
β , λ ∈ R
Αποστόλου Γεώργιος Μαθηµατικός apgeorge2004@yahoo.com ∆ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΙΩΑΝΝΙΝΑ 8 Σεπτεµβρίου 2013 47 / 51

84. ’Εννοια του ∆ιανύσµατος Πρόσθεση και Αφαίρεση ∆ιανυσµάτων Πολλαπλασιασµός Αριθµού µε ∆ιάνυσµα
Θεωρία
Ερώτηση 3η
Ποιες είναι οι ιδιότητες του πολλαπλασιασµού ενός αριθµού µ΄ ένα διάνυσµα;
Αποστόλου Γεώργιος Μαθηµατικός apgeorge2004@yahoo.com ∆ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΙΩΑΝΝΙΝΑ 8 Σεπτεµβρίου 2013 48 / 51

85. ’Εννοια του ∆ιανύσµατος Πρόσθεση και Αφαίρεση ∆ιανυσµάτων Πολλαπλασιασµός Αριθµού µε ∆ιάνυσµα
Θεωρία
Ιδιότητες
λ(→α +
→
β ) = λ→α + λ
→
β
Αποστόλου Γεώργιος Μαθηµατικός apgeorge2004@yahoo.com ∆ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΙΩΑΝΝΙΝΑ 8 Σεπτεµβρίου 2013 49 / 51

86. ’Εννοια του ∆ιανύσµατος Πρόσθεση και Αφαίρεση ∆ιανυσµάτων Πολλαπλασιασµός Αριθµού µε ∆ιάνυσµα
Θεωρία
Ιδιότητες
λ(→α +
→
β ) = λ→α + λ
→
β
(λ + µ)→α = λ→α + µ→α
Αποστόλου Γεώργιος Μαθηµατικός apgeorge2004@yahoo.com ∆ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΙΩΑΝΝΙΝΑ 8 Σεπτεµβρίου 2013 49 / 51

87. ’Εννοια του ∆ιανύσµατος Πρόσθεση και Αφαίρεση ∆ιανυσµάτων Πολλαπλασιασµός Αριθµού µε ∆ιάνυσµα
Θεωρία
Ιδιότητες
λ(→α +
→
β ) = λ→α + λ
→
β
(λ + µ)→α = λ→α + µ→α
λ(µ→α ) = (λµ)→α
Αποστόλου Γεώργιος Μαθηµατικός apgeorge2004@yahoo.com ∆ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΙΩΑΝΝΙΝΑ 8 Σεπτεµβρίου 2013 49 / 51

88. ’Εννοια του ∆ιανύσµατος Πρόσθεση και Αφαίρεση ∆ιανυσµάτων Πολλαπλασιασµός Αριθµού µε ∆ιάνυσµα
Θεωρία
Ερώτηση 4η
Ποιες άλλες ιδιότητες προκύπτουν άµεσα από τον ορισµό και τις παραπάνω
ιδιότητες;
Αποστόλου Γεώργιος Μαθηµατικός apgeorge2004@yahoo.com ∆ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΙΩΑΝΝΙΝΑ 8 Σεπτεµβρίου 2013 50 / 51

89. ’Εννοια του ∆ιανύσµατος Πρόσθεση και Αφαίρεση ∆ιανυσµάτων Πολλαπλασιασµός Αριθµού µε ∆ιάνυσµα
Θεωρία
Ιδιότητες Ι
λ→α =
→
0 ⇐⇒
⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎨
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩
λ = 0
ή
→α =
→
0
Αποστόλου Γεώργιος Μαθηµατικός apgeorge2004@yahoo.com ∆ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΙΩΑΝΝΙΝΑ 8 Σεπτεµβρίου 2013 51 / 51

90. ’Εννοια του ∆ιανύσµατος Πρόσθεση και Αφαίρεση ∆ιανυσµάτων Πολλαπλασιασµός Αριθµού µε ∆ιάνυσµα
Θεωρία
Ιδιότητες Ι
λ→α =
→
0 ⇐⇒
⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎨
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩
λ = 0
ή
→α =
→
0
(−λ→α ) = λ(−→α ) = −λ→α
Αποστόλου Γεώργιος Μαθηµατικός apgeorge2004@yahoo.com ∆ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΙΩΑΝΝΙΝΑ 8 Σεπτεµβρίου 2013 51 / 51

91. ’Εννοια του ∆ιανύσµατος Πρόσθεση και Αφαίρεση ∆ιανυσµάτων Πολλαπλασιασµός Αριθµού µε ∆ιάνυσµα
Θεωρία
Ιδιότητες Ι
λ→α =
→
0 ⇐⇒
⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎨
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩
λ = 0
ή
→α =
→
0
(−λ→α ) = λ(−→α ) = −λ→α
λ(→α −
→
β ) = λ→α − λ
→
β
Αποστόλου Γεώργιος Μαθηµατικός apgeorge2004@yahoo.com ∆ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΙΩΑΝΝΙΝΑ 8 Σεπτεµβρίου 2013 51 / 51

92. ’Εννοια του ∆ιανύσµατος Πρόσθεση και Αφαίρεση ∆ιανυσµάτων Πολλαπλασιασµός Αριθµού µε ∆ιάνυσµα
Θεωρία
Ιδιότητες ΙΙ
(λ − µ)→α = λ→α − µ→α
Αποστόλου Γεώργιος Μαθηµατικός apgeorge2004@yahoo.com ∆ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΙΩΑΝΝΙΝΑ 8 Σεπτεµβρίου 2013 52 / 51

93. ’Εννοια του ∆ιανύσµατος Πρόσθεση και Αφαίρεση ∆ιανυσµάτων Πολλαπλασιασµός Αριθµού µε ∆ιάνυσµα
Θεωρία
Ιδιότητες ΙΙ
(λ − µ)→α = λ→α − µ→α
λ→α = λ
→
β , λ ≠ 0 ⇒ →α =
→
β
Αποστόλου Γεώργιος Μαθηµατικός apgeorge2004@yahoo.com ∆ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΙΩΑΝΝΙΝΑ 8 Σεπτεµβρίου 2013 52 / 51

94. ’Εννοια του ∆ιανύσµατος Πρόσθεση και Αφαίρεση ∆ιανυσµάτων Πολλαπλασιασµός Αριθµού µε ∆ιάνυσµα
Θεωρία
Ιδιότητες ΙΙ
(λ − µ)→α = λ→α − µ→α
λ→α = λ
→
β , λ ≠ 0 ⇒ →α =
→
β
λ→α = µ→α , →α ≠
→
0 ⇒ λ = µ
Αποστόλου Γεώργιος Μαθηµατικός apgeorge2004@yahoo.com ∆ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΙΩΑΝΝΙΝΑ 8 Σεπτεµβρίου 2013 52 / 51