3. ∆ιανύσµατα µε Συντεταγµένες
Περιεχόµενα
1 ∆ιανύσµατα µε Συντεταγµένες
Θεωρία
Αποστόλου Γεώργιος Μαθηµατικός apgeorge2004@yahoo.comΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕ∆Ο ΙΩΑΝΝΙΝΑ 15 Σεπτεµβρίου 2013 2 / 16
4. ∆ιανύσµατα µε Συντεταγµένες
Θεωρία
∆ιανύσµατα µε Συντεταγµένες-Ερωτήσεις ϑεωρίας
www.study4maths.gr
Αποστόλου Γεώργιος Μαθηµατικός apgeorge2004@yahoo.comΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕ∆Ο ΙΩΑΝΝΙΝΑ 15 Σεπτεµβρίου 2013 3 / 16
5. ∆ιανύσµατα µε Συντεταγµένες
Θεωρία
Ερώτηση 1η
Ποιες είναι οι συντεταγµένες ενός διανύσµατος;
Αποστόλου Γεώργιος Μαθηµατικός apgeorge2004@yahoo.comΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕ∆Ο ΙΩΑΝΝΙΝΑ 15 Σεπτεµβρίου 2013 4 / 16
7. ∆ιανύσµατα µε Συντεταγµένες
Θεωρία
Συντεταγµένες ∆ιανύσµατος
Φέρνουµε το διάνυσµα
→
OA = →α ,
όπου οι συντεταγµένες του πέρατός του Α, είναι A(x,y)
Αποστόλου Γεώργιος Μαθηµατικός apgeorge2004@yahoo.comΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕ∆Ο ΙΩΑΝΝΙΝΑ 15 Σεπτεµβρίου 2013 5 / 16
8. ∆ιανύσµατα µε Συντεταγµένες
Θεωρία
Συντεταγµένες ∆ιανύσµατος
Φέρνουµε το διάνυσµα
→
OA = →α ,
όπου οι συντεταγµένες του πέρατός του Α, είναι A(x,y)
Φτιάχνω τα διανύσµατα x
→
i και y
→
j και το άθροισµα τους:
→
OA = →α = x
→
i + y
→
j .
Αποστόλου Γεώργιος Μαθηµατικός apgeorge2004@yahoo.comΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕ∆Ο ΙΩΑΝΝΙΝΑ 15 Σεπτεµβρίου 2013 5 / 16
9. ∆ιανύσµατα µε Συντεταγµένες
Θεωρία
Συντεταγµένες ∆ιανύσµατος
Φέρνουµε το διάνυσµα
→
OA = →α ,
όπου οι συντεταγµένες του πέρατός του Α, είναι A(x,y)
Φτιάχνω τα διανύσµατα x
→
i και y
→
j και το άθροισµα τους:
→
OA = →α = x
→
i + y
→
j .
Τα x και y λέγονται συντεταγµένες του διανύσµατος →α = (x,y)
Αποστόλου Γεώργιος Μαθηµατικός apgeorge2004@yahoo.comΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕ∆Ο ΙΩΑΝΝΙΝΑ 15 Σεπτεµβρίου 2013 5 / 16
10. ∆ιανύσµατα µε Συντεταγµένες
Θεωρία
Ερώτηση 2η
Ποιες είναι οι συντεταγµένες ενός διανύσµατος που προκύπτει από το
γραµµικό συνδυασµό άλλων διανυσµάτων;
Αποστόλου Γεώργιος Μαθηµατικός apgeorge2004@yahoo.comΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕ∆Ο ΙΩΑΝΝΙΝΑ 15 Σεπτεµβρίου 2013 6 / 16
11. ∆ιανύσµατα µε Συντεταγµένες
Θεωρία
Συντεταγµένες Γραµµικού Συνδυασµού ∆ιανυσµάτων
΄Εχουµε τα διανύσµατα, →α = (x1,y1) και
→
β = (x2,y2)
Αποστόλου Γεώργιος Μαθηµατικός apgeorge2004@yahoo.comΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕ∆Ο ΙΩΑΝΝΙΝΑ 15 Σεπτεµβρίου 2013 7 / 16
12. ∆ιανύσµατα µε Συντεταγµένες
Θεωρία
Συντεταγµένες Γραµµικού Συνδυασµού ∆ιανυσµάτων
΄Εχουµε τα διανύσµατα, →α = (x1,y1) και
→
β = (x2,y2)
λ→α = (λx1,λy1)
Αποστόλου Γεώργιος Μαθηµατικός apgeorge2004@yahoo.comΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕ∆Ο ΙΩΑΝΝΙΝΑ 15 Σεπτεµβρίου 2013 7 / 16
13. ∆ιανύσµατα µε Συντεταγµένες
Θεωρία
Συντεταγµένες Γραµµικού Συνδυασµού ∆ιανυσµάτων
΄Εχουµε τα διανύσµατα, →α = (x1,y1) και
→
β = (x2,y2)
λ→α = (λx1,λy1)
→α +
→
β = (x1 + x2,y1 + y2)
Αποστόλου Γεώργιος Μαθηµατικός apgeorge2004@yahoo.comΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕ∆Ο ΙΩΑΝΝΙΝΑ 15 Σεπτεµβρίου 2013 7 / 16
15. ∆ιανύσµατα µε Συντεταγµένες
Θεωρία
Ερώτηση 3η
Ποιες είναι οι συντεταγµένες του µέσου, ενός τµήµατος;
Αποστόλου Γεώργιος Μαθηµατικός apgeorge2004@yahoo.comΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕ∆Ο ΙΩΑΝΝΙΝΑ 15 Σεπτεµβρίου 2013 8 / 16
17. ∆ιανύσµατα µε Συντεταγµένες
Θεωρία
Συντεταγµένες Μέσου Τµήµατος
΄Εχουµε το ευθύγραµµο τµήµα, µε άκρα A(x1,y1) και B(x2,y2)
Αποστόλου Γεώργιος Μαθηµατικός apgeorge2004@yahoo.comΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕ∆Ο ΙΩΑΝΝΙΝΑ 15 Σεπτεµβρίου 2013 9 / 16
18. ∆ιανύσµατα µε Συντεταγµένες
Θεωρία
Συντεταγµένες Μέσου Τµήµατος
΄Εχουµε το ευθύγραµµο τµήµα, µε άκρα A(x1,y1) και B(x2,y2)
Οι συντεταγµένες του µέσου Μ είναι: M(
x1 + x2
2
,
y1 + y2
2
)
Αποστόλου Γεώργιος Μαθηµατικός apgeorge2004@yahoo.comΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕ∆Ο ΙΩΑΝΝΙΝΑ 15 Σεπτεµβρίου 2013 9 / 16
19. ∆ιανύσµατα µε Συντεταγµένες
Θεωρία
Ερώτηση 4η
Ποιες είναι οι συντεταγµένες ενός διανύσµατος µε γνωστά άκρα;
Αποστόλου Γεώργιος Μαθηµατικός apgeorge2004@yahoo.comΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕ∆Ο ΙΩΑΝΝΙΝΑ 15 Σεπτεµβρίου 2013 10 / 16
21. ∆ιανύσµατα µε Συντεταγµένες
Θεωρία
Συντεταγµένες διανύσµατος µε γνωστά άκρα
΄Εχουµε το διάνυσµα
→
AB, µε άκρα A(x1,y1) και B(x2,y2)
Αποστόλου Γεώργιος Μαθηµατικός apgeorge2004@yahoo.comΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕ∆Ο ΙΩΑΝΝΙΝΑ 15 Σεπτεµβρίου 2013 11 / 16
22. ∆ιανύσµατα µε Συντεταγµένες
Θεωρία
Συντεταγµένες διανύσµατος µε γνωστά άκρα
΄Εχουµε το διάνυσµα
→
AB, µε άκρα A(x1,y1) και B(x2,y2)
→
AB = (x2 − x1,y2 − y2)
Αποστόλου Γεώργιος Μαθηµατικός apgeorge2004@yahoo.comΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕ∆Ο ΙΩΑΝΝΙΝΑ 15 Σεπτεµβρίου 2013 11 / 16
23. ∆ιανύσµατα µε Συντεταγµένες
Θεωρία
Ερώτηση 5η
Πόσο είναι το µέτρο ενός διανύσµατος;
Αποστόλου Γεώργιος Μαθηµατικός apgeorge2004@yahoo.comΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕ∆Ο ΙΩΑΝΝΙΝΑ 15 Σεπτεµβρίου 2013 12 / 16
24. ∆ιανύσµατα µε Συντεταγµένες
Θεωρία
Μέτρο διανύσµατος που έχει αρχή το Ο(0, 0)
Αποστόλου Γεώργιος Μαθηµατικός apgeorge2004@yahoo.comΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕ∆Ο ΙΩΑΝΝΙΝΑ 15 Σεπτεµβρίου 2013 13 / 16
25. ∆ιανύσµατα µε Συντεταγµένες
Θεωρία
Μέτρο διανύσµατος που έχει αρχή το Ο(0, 0)
Το διάνυσµα →α = (x,y) έχει µέτρο:
→α =
√
x2 + y2
Αποστόλου Γεώργιος Μαθηµατικός apgeorge2004@yahoo.comΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕ∆Ο ΙΩΑΝΝΙΝΑ 15 Σεπτεµβρίου 2013 13 / 16
26. ∆ιανύσµατα µε Συντεταγµένες
Θεωρία
Μέτρο διανύσµατος
→
AB
Αποστόλου Γεώργιος Μαθηµατικός apgeorge2004@yahoo.comΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕ∆Ο ΙΩΑΝΝΙΝΑ 15 Σεπτεµβρίου 2013 14 / 16
27. ∆ιανύσµατα µε Συντεταγµένες
Θεωρία
Μέτρο διανύσµατος
→
AB
Το διάνυσµα µε άκρα A(x1,y1) και B(x2,y2)
→
AB = (x2 − x1,y2 − y2) έχει µέτρο:
→
AB =
√
(x2 − x1)2 + (y2 − y2)2
Αποστόλου Γεώργιος Μαθηµατικός apgeorge2004@yahoo.comΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕ∆Ο ΙΩΑΝΝΙΝΑ 15 Σεπτεµβρίου 2013 14 / 16
28. ∆ιανύσµατα µε Συντεταγµένες
Θεωρία
Ερώτηση 6η
Ποια είναι η συνθήκη παραλληλίας δυο διανυσµάτων;
Αποστόλου Γεώργιος Μαθηµατικός apgeorge2004@yahoo.comΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕ∆Ο ΙΩΑΝΝΙΝΑ 15 Σεπτεµβρίου 2013 15 / 16
29. ∆ιανύσµατα µε Συντεταγµένες
Θεωρία
Συνθήκη παραλληλίας
Αποστόλου Γεώργιος Μαθηµατικός apgeorge2004@yahoo.comΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕ∆Ο ΙΩΑΝΝΙΝΑ 15 Σεπτεµβρίου 2013 16 / 16
30. ∆ιανύσµατα µε Συντεταγµένες
Θεωρία
Συνθήκη παραλληλίας
΄Εχουµε τα διανύσµατα, →α = (x1,y1) και
→
β = (x2,y2)
Αποστόλου Γεώργιος Μαθηµατικός apgeorge2004@yahoo.comΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕ∆Ο ΙΩΑΝΝΙΝΑ 15 Σεπτεµβρίου 2013 16 / 16
