2017/03/23 - 台科大資安社-密碼學第一次社課

1. RSA
台科大資安研究社_楊明軒

2. 題外話時間…

3. string  integer
•NTUST
•336422327124
•0x4e54555354

4. mod / 模數
•7 / 4 = 1 … 3
•7 mod 4 = 3
•11 / 3 = 3 .. 2
•11 mod 3 = 2

5. 同餘 ≡
•≡ 表示同餘相等
•37 ≡ 13 (mod24)
•37 mod 24 = 13
•41 ≡ 17 (mod24)
•41 mod 24 = 17

6. 回來看 RSA …

7. RSA
• 非對稱式/公開金鑰加密法
• 使用最廣的公開金鑰加密法
• 大數分解很難
• 量子電腦 / shor algorithm

8. Euler φ function
•若n為自然數
定義φ(n)為不大於n且與n互質的自然數的個數
•φ(5) = |{1 , 2 , 3 , 4}| = 4
•φ(6) = |{1,5}| = 2
•if p is prime , φ(p) = p-1
•gcd(p,q) = 1 , φ(pq) = φ(p) * φ(q)

9. Euler's theorem
•如果 a & m 是整數且 gcd(a,m) = 1
a^φ(m) ≡ 1 (mod m)

10. 模逆/mod inverse
• Find x that a*x ≡ 1 (mod n)
• n 小可以直接求
• 費碼小定理/Fermat's little theorem
• 𝑎 𝑛−1 ≡ 1 (mod n)
• 𝑎−1 ≡ 𝑎 𝑛−2 (mod n)
• 擴展歐幾里得算法/輾轉相除法/Extended Euclidean algorithm
• 算 gcd :
• GCD(A,B) = GCD(B,A mod B)
• ax + ny = 1 , find x and y

11. 模逆 in python
• RSA 中，用來求 d

12. RSA 產生 KEY 過程
1. 選 p , q (prime)
2. 算 n , n = p*q
3. 算 ∅(n) = (p - 1)*( q - 1) << p 不等於 q
4. 選e , 1 < e < ∅(n) , 滿足 gcd(∅(n) , e) = 1
5. 算 d , d 是 e 在 mod ∅(n) 下的乘法反元素
d ≡ ⅇ−1
( mod ∅(n) )
public key: ( e , n )
private key: ( d )

13. RSA 加解密
明文需小於 n
•加密: E(m) = m^e mod n
•解密: D(c) = c^d mod n

14. Crack RSA !?(in CTF)
• 可否分解 N ?
• 無法分解 N ，那可否直接算出 ∅(n) ?
• 無法分解 N 也無法直接算出 ∅(n) ，那可否直接求 d ?
• 都無法怎辦 ?...

15. Tool
• Website
• Factordb.com
• Tool
• Sage
• http://www.sagemath.org/
• Yafu
• General Number Field Sieve , GNFS
• http://sourceforge.net/projects/yafu/files/latest/download
• rsatool
• rsatool.py -p xxx -q xxx -o private.key
• https://goo.gl/h9fGki

16. Tool
• Python Library
• sympy
• gmpy2
• libnum
• https://github.com/hellman/libnum

17. RSA 潛在風險
RSA
潛在風險
分解因數
選擇密文
加密指數
廣播
相關訊息
short pad
解密指數
洩漏
低指數
明文
模數 共模攻擊
實作 p、q reuse

18. RSA 入門練習
•練習: ice ctf 2016 RSA
https://goo.gl/dMRXQj
•練習: ice ctf 2016 RSA?
https://goo.gl/Vph7le
•練習: ice ctf 2016 RSA2
https://goo.gl/BcHJSD