2. 2
1. Метод координат в пространстве.
§ 1. Координаты точки и координаты вектора.
1. Закончите предложения и заполните пропуски.
1. Прямоугольная система координат в пространстве задаётся тремя
попарно перпендикулярными прямыми, пресекающимися в одной
точке О - ____________________; направлением, выбранным по
каждой прямой и единицей измерения отрезков. Прямые с
выбранными направлениями называются
___________________________________________. Их обозначения
𝑂𝑋, 𝑂𝑌, 𝑂𝑍 и соответственно название: ось абсцисс, ось
______________________ и ось ______________________.
Координатные плоскости обозначаются: 𝑂𝑥𝑦, _____________
______________. Точка О разделяет каждую из осей координат на 2
луча. Луч, направление которого совпадает с направлением оси,
называется положительной полуосью, а другой луч -
________________________________________________.
В прямоугольной системе координат каждой точке А пространства
сопоставляется тройка чисел, которые называются её
__________________________________________________.
2. Дано: 𝐴1(𝑥1, 𝑦1 , 𝑧1) и 𝐴2(𝑥2, 𝑦2, 𝑧2), тогда расстояние между двумя
точками вычисляется по формуле:
∣𝐴1 𝐴2 ∣ = √(𝑥2 − 𝑥2)2 + (______________)2 + (__________________)2
3. Пусть 𝐴1(𝑥1, 𝑦1 , 𝑧1) и 𝐴2(𝑥2, 𝑦2 , 𝑧2) - произвольные точки,
точка𝐶(𝑥, 𝑦. 𝑧)середина отрезка 𝐴1 𝐴2, тогда координаты середины
отрезка находятся по формулам:
𝑥 =
𝑥1+𝑥2
2
, 𝑦 = ___________________ , 𝑧=______________________
4. Каждая координата суммы двух или более векторов равна _
_____________________________ соответствующих координат этих
векторов, т.е. если 𝑎(𝑥1, 𝑦1 , 𝑧1), 𝑏(𝑥2, 𝑦2, 𝑧2), то координаты вектора 𝑎 +
𝑏 =_________________________________
_____________________________________________________.
3. 3
5. Каждая координата разности двух или более векторов равна
___________________________________________________
соответствующих координат этих векторов, т.е. если 𝑎(𝑥1, 𝑦1 , 𝑧1),
𝑏(𝑥2, 𝑦2, 𝑧2), то координаты вектора 𝑎 − 𝑏 =____
_____________________________________________________.
6. Каждая координата произведения вектора с (𝑥 , 𝑦 , 𝑧 ), на число
𝑘 ≠ 0 равна ______________________ соответствующей координаты
вектора на это число, т.е. вектор𝑘𝑐 имеет координаты
__________________________________________.
2. Ответьте на вопросы.
1. Какие из точек 𝐴(1; −2;7), 𝐵(6;0; 2), 𝐶(0;4; 1), 𝐷(0;0; 3),
E(8;5; 0) лежат:
1) в плоскости 𝑂𝑥𝑦 ____________________________________,
2) на оси 𝑂𝑧__________________________________________,
3) в плоскости 𝑂𝑦𝑧____________________________________,
4) в плоскости 𝑂𝑥𝑧____________________________________.
2. Какие координаты (в общем виде) имеют точки, лежащие :
1) на оси𝑂𝑋: 𝐴 (______________________________________),
2) на оси𝑂𝑌: 𝐴 (______________________________________),
3) на оси𝑂𝑍: 𝐴 (______________________________________),
4) на плоскости𝑂𝑥𝑦: 𝐴 (_______________________________),
5) на плоскости 𝑂𝑥𝑧: 𝐴 (_______________________________),
6)на плоскости𝑂𝑦𝑧: 𝐴 (_______________________________),
3. Как найти расстояние от точки𝐴 (𝑥 , 𝑦 , 𝑧 )до начала координат в
системе 𝑂𝑥𝑦𝑧?
∣ 𝐴𝑂 ∣=______________________________________________.
4. Зная координаты векторов если 𝑎(2,3, −4), 𝑏(−1,2,1) и с(3,0,2),
найдите координаты векторов:
1) 𝑎 + 𝑏 = ____________________________________________
2) 𝑎 − 𝑏 + 𝑐 = _________________________________________
3) 2𝑎 + 3𝑏 − 2𝑐 =______________________________________
_____________________________________________________
4. 4
5. Зная координаты точек 𝐴 (4,−3,2) иС(−2,4, −3), найдите
координаты вектора АС = _______________________________
_____________________________________________________
6. Вычислите длину вектора 𝐴𝐵, если 𝐴 (5,3,1) и 𝐵(4,5, −1)
_____________________________________________________________
_____________________________________________
3. Выполните задания.
1. Постройте точки 𝐴 (2,3,4) ,
С(−2, −2,5),𝐵( −2,−3, −4), 𝐷(0,0, 3), 𝐸(2, 0, 5), 𝐹(3, −2, 0).
2. Найдите расстояние между двумя точками
1) 𝐴 (1,2,7) иС (3,4,6),
2) 𝐵( 1,0, 3), 𝐷(5, 7, 4).
Решение:
_____________________________________________________________
_____________________________________________________________
_____________________________________________________________
_____________________________________________________________
5. 5
_____________________________________________________________
_____________
3. Найдите расстояние от точки 𝐹 (2,−1, 7)до осей координат.
Решение:
1) до оси 𝑂𝑋: _________________________________________
2) до оси 𝑂𝑌:__________________________________________
3) до оси 𝑂𝑍:__________________________________________
4. Отрезок АВ задан концом 𝐴 (7; −4; 5) и серединойС(3; 2; 1,5).
Найдите координаты конца отрезка𝐵 (𝑥 , 𝑦 , 𝑧 )/
Решение:
_____________________________________________________________
_____________________________________________________________
_____________________________________________________________
_____________________________________________________________
_____________________
5. Найдите периметр треугольника, образованного векторами
𝐴𝐵, 𝐵𝐶, 𝐶𝐴 , если 𝐴 (8;0; 6) , С(6;−2; 5),𝐵(8; −4; 6).
Решение:
_____________________________________________________________
_____________________________________________________________
_____________________________________________________________
_____________________________________________________________
_____________________
6. Докажите, что четырёхугольник с вершинами 𝐴 (1;4; 3) ,
С(2; 5; 1),𝐵2;3; 5), 𝐷(3;4; 3) - параллелограмм.
Решение:
_____________________________________________________________
_____________________________________________________________
_____________________________________________________________
_____________________________________________________________
_____________________________________________________________
_____________________________________________________________
__________________________________________________________
§ 2. Скалярное произведение векторов.
1. Закончите предложения и заполните пропуски.
6. 6
1. Угол между векторами 𝑂𝐴 и 𝑂𝐵 есть градусная мера между
____________________________________________________.
2. Если векторы 𝑎 и 𝑏 - сонаправлены, то угол между ними считается
равным ___________________________________.
3. Если угол между векторами равен 00
, то векторы называются
______________________________________________.
4. Скалярным произведением векторов называется _________
_____________________________________________________________
_____________________________________________.
5. Скалярное произведение векторов если 𝑎(𝑥1, 𝑦1 , 𝑧1) и 𝑏(𝑥2, 𝑦2 , 𝑧2)
выражается формулой:
𝑎 ∙ 𝑏 =________________________________________________
6. Косинус между ненулевыми векторами если 𝑎(𝑥1, 𝑦1 , 𝑧1) и
𝑏(𝑥2, 𝑦2, 𝑧2) вычисляется по формуле: ____________________
_____________________________________________________
7. Для любых векторов 𝑎, 𝑏, 𝑐 и любого числа 𝑘 справедливы
равенства:
𝑎 ∙ 𝑏 = 𝑏 ∙ 𝑎 - ____________________________________ закон
(𝑎 + 𝑏) ∙ с = 𝑎 ∙ 𝑐 + 𝑏 ∙ 𝑐- ______________________________ закон
𝑘 ∙ (𝑎 ∙ 𝑏) = (𝑘 ∙ 𝑎) ∙ 𝑏 - ________________________________ закон.
2. Ответьте на вопросы.
1. Какое необходимое и достаточное условие равенства нулю
скалярного произведения двух ненулевых векторов? ________
_____________________________________________________________
_____________________________________________
2. Чему равен скалярный квадрат вектора? ________________
_____________________________________________________________
_____________________________________________
3. Как найти произведение длин двух векторов, используя формулу
скалярного произведения? ______________________
_____________________________________________________________
_____________________________________________
3. Выполните задания.
8. 8
3. Известно, что ∠( 𝑎𝑐) = ∠( 𝑏𝑐) = 600
; ∣ 𝑎 ∣ = 3,
∣ 𝑏 ∣=∣ 𝑐 ∣= 1. Вычислите (𝑎 − 𝑏) ∙ 𝑐.
А. 0,5 Б. -1 В. 1
2. Тела вращения.
§ 1. Цилиндр.
1.Сделайте рисунок цилиндра и закончите предложения.
1. Цилиндром называется тело,
_____________________________
_____________________________
_____________________________
_____________________________
_____________________________
_____________________________
На рисунке обозначьте: основания, образующую и ось цилиндра.
2. Высота цилиндра - __________________________________
_____________________________________________________
3. Радиус цилиндра - __________________________________
_____________________________________________________
4. Осевое сечение цилиндра - ___________________________
_____________________________________________________
_____________________________________________________________
_____________________________________________
5. Площадь полной поверхности цилиндра состоит из_______
_____________________________________________________________
_____________________________________________
2. Заполните пропуски.
1) У цилиндра образующие _____________________________
_____________________________________________________
2) Ось цилиндра __________________________________ образующим.
3) Основания цилиндра _______________________________ и лежат в
___________________________ плоскостях.
9. 9
4) Сечение цилиндра, плоскостью параллельной основанию есть
________________________________________________.
5) Развёрткой боковой поверхности цилиндра является ______
_____________________________________________________
6) Площадь боковой поверхности цилиндра находится по формуле:
𝑆бок = _______________________________________
3. Ответьте на вопросы.
1. Как получить цилиндр вращением прямоугольника (ответ поясните
рисунком)?
_____________________________
_____________________________
_____________________________
_____________________________
_____________________________
_____________________________
2. Какое из изображённых тел является цилиндром?
1) 2)
3)
4) 5)
№__________________________________________________
3. Дайте определение равностороннего цилиндра. _________
_____________________________________________________________
_____________________________________________
4. Что представляет собой сечение цилиндра плоскостью,
перпендикулярной оси цилиндра? _______________________
10. 10
_____________________________________________________
4. Выберите правильный ответ.
1. Радиус основания цилиндра 3 си, высота 8 см. Чему равна диагональ
осевого сечения?
А. 10 см Б. 12 см В. 11 см
Чему равен угол между диагональю осевого сечения и диаметром
основания цилиндра с теми же данными? (сделайте рисунок).
А. arcsin0,8 Б. arcsin0,6 В. arcsin0,7
_____________________________________________________________
_____________________________________________________________
_____________________________________________________________
_____________________________________________________________
_____________________________________________________________
_____________________________________________________________
_____________________________________________________________
_____________________________________________________________
_____________________________________________________________
__________________________________
2. Осевое сечение цилиндра – квадрат, площадь которого 36 дм2
. Чему
равна площадь основания цилиндра? (сделайте рисунок).
А. 10𝜋 дм2
Б. 3𝜋 дм2
В. 9𝜋 дм2
_____________________________________________________________
_____________________________________________________________
_____________________________________________________________
_____________________________________________________________
_____________________________________________________________
_____________________________________________________________
__________________________________________________________
3. Диагональ осевого сечения цилиндра равна 26 см, высота цилиндра
– 24 см. Найдите площадь основания цилиндра.
А. 25𝜋 см2
Б. 29𝜋 см2
В. 20𝜋 см2
4. Высота цилиндра 8 см, радиус основания 1 см. Чему равна площадь
осевого сечения?
А. 9 см2
Б. 8 см2
В. 16 см2
11. 11
5. Осевое сечение цилиндра – квадрат, диагональ которого равна 20 см.
Найдите: 1) высоту цилиндра; 2) площадь основания цилиндра.
1) А. 10√2 см Б. 10 см В. 12 см
2) А. 40𝜋 см2
Б. 50𝜋 см2
В. 45𝜋 см2
6. Площадь осевого сечения цилиндра равна 10 м2
, а площадь
основания - 5 м2
. Найдите высоту цилиндра.
А. √5𝜋 Б. √3𝜋 В. √2𝜋
7. Чему равна площадь развёртки боковой поверхности цилиндра,
радиус основания которого 2 см, высота – 10 см?
А. 10 см2
Б. 20𝜋 см2
В. 40𝜋 см2
§ 2. Конус.
1. Сделайте рисунок цилиндра и закончите предложения.
1. Конусом называется тело,
_____________________________
_____________________________
_____________________________
_____________________________
_____________________________
_____________________________
2. На рисунке обозначьте:
основание____________________________________________
вершину_____________________________________________
образующую__________________________________________
высоту_______________________________________________
3. Сделайте рисунок усечённого конуса, обозначьте его:
основание ___________________________________________
образующую _________________________________________
высоту_______________________________________________
_____________________________________________________________
_____________________________________________________________
_____________________________________________________________
_____________________________________________________________
12. 12
_____________________________________________________________
_____________
4. Осевым сечением конуса, называется ___________________
_____________________________________________________________
_____________________________________________________________
_____________________________________________________________
_____________________________________________________________
_____________________
5. Формула площади боковой поверхности конуса:
𝑆бок = ________________________________________________
6. Формула площади полной поверхности конуса:
𝑆полн = _______________________________________________
7. Формула площади полной поверхности усечённого конуса:
𝑆полн = _______________________________________________
2. Заполните пропуски.
1. У прямого конуса основание высоты совпадает с
________________________________ основания.
2. Сечение конуса плоскостью, проходящей через его вершину есть -
____________________________________________, у которого
боковые стороны являются образующими конуса (сделайте рисунок).
_____________________________________________________________
_____________________________________________________________
_____________________________________________________________
_____________________________________________________________
_____________________________________________________________
_____________________________________________________________
_____
3. Осевое сечение конуса есть - __________________________
_____________________________________________________________
_____________________________________________
4. Осевое сечение усечённого конуса есть - ________________
_____________________________________________________________
_____________________________________________
13. 13
3. Ответьте на вопросы.
1. Вращением какой фигуры можно получить конус? Ответ поясните
рисунком.
_____________________________
_____________________________
_____________________________
_____________________________
_____________________________
_____________________________
_____________________________
2. Какая фигура получается при вращении равнобедренного
треугольника вокруг его оси симметрии? _________________
_____________________________________________________________
_____________________________________________________________
_____________________________________________________________
_____________________________________________________________
_____________________________________________________________
_____________________________________________________________
__________________________________________________________
3. Что представляет собой сечение конуса плоскостью,
перпендикулярной оси конуса?
____________________________________________________
_____________________________________________________________
_____________________________________________
4. Выберите правильный ответ.
1. Образующая конуса равна 7 см. Угол между образующими равен
600
. Чему равен диаметр основания?
А. 14 см Б. 7 см В. 3,5 см
2. Площадь осевого сечения конуса равна 36 см2
, высота конуса 12 см.
Найдите радиус основания конуса.
А. 3 см Б. 5 см В. 8 см
3. Чему равна площадь боковой поверхности равностороннего конуса,
если его образующая равна 12 см?
14. 14
А. 72 см2
Б. 72𝜋 см2
В. 36𝜋 см2
4. В равностороннем конусе образующая равна 8 см. Чему равна
площадь осевого сечения конуса?
А. 15 см2
Б. 16 см2
В. ≈ 27,6 см2
5. Площадь полной поверхности конуса равна 136𝜋 см2
, радиус
основания – 6 см. Найдите площадь его боковой поверхности.
А. 100 см2
Б. 100𝜋 см2
В. 130𝜋 см2
§ 3. Шар и сфера.
1. Закончите предложения и выполните задания.
1. Сферой называется поверхность, ______________________
_____________________________________________________________
_____________________________________________________________
_____________________________________
2. Шаром называется тело, ______________________________
_____________________________________________________________
_____________________________________________________________
_____________________________________
3. Сделайте рисунок шара, обозначьте его:
центр - ______________________________________________
радиус- ______________________________________________
диаметр - ____________________________________________
_____________________________________________________________
_____________________________________________________________
_____________________________________________________________
_____________________________________________________________
_____________________________________________________________
_____________________________________________________________
_____________________________________________________________
__________________________________________________
4. Если расстояние от центра сферы до плоскости меньше радиуса
сферы (т.е. 𝑑 < 𝑅), то сечение сферы плоскостью есть _
_____________________________________________________
и 𝑅2
− 𝑑2
_________________(>, <, =) 0.
15. 15
5. Если расстояние от центра сферы до плоскости больше радиуса
сферы (т.е. 𝑑 > 𝑅), то сфера и плоскость_____________
_____________________________________________________
и 𝑅2
− 𝑑2
_________________(>, <, =) 0.
6. Если расстояние от центра сферы до плоскости равно радиусу
сферы (т.е. 𝑑 = 𝑅), то сфера и плоскость ____________
_____________________________________________________
и 𝑅2
− 𝑑2
_________________(>, <, =) 0.
7. Касательной плоскостью к сфере называется плоскость, ___
_____________________________________________________________
_____________________________________________
8. Большим кругом называется сечение ___________________
_____________________________________________________________
_____________________________________________
9. Большой окружностью называется сечение _____________
_____________________________________________________________
_____________________________________________
2. Ответьте на вопросы.
1. Вращением какой фигуры можно получить шар? Ответ поясните
рисунком и записями.
_____________________________
_____________________________
_____________________________
_____________________________
_____________________________
_____________________________
_____________________________
2. Какая точка называется точкой касания? ________________
_____________________________________________________________
_____________________________________________
3. Сколько общих точек с шаром имеет касательная прямая?
____________________________________________________
16. 16
4. Какое условие должно выполняться, чтобы плоскость пересекала
шар? __________________________________________
_____________________________________________________
5. Какая фигура получается в сечении шара плоскостью?
_____________________________________________________
6. Какая фигура получается в сечении сферы плоскостью?
_____________________________________________________
7. Сколько осей симметрии имеет шар? ___________________
8. Сколько плоскостей симметрии имеет шар? _____________
9. Чему равна формула площади сферы, радиуса 𝑅?_________
_____________________________________________________
3. Заполните пропуски.
1. Всякое сечение шара плоскостью есть круг. Центр этого круга есть
__________________ перпендикуляра, опущенного их центра шара на
секущую плоскость.
2. Центр шара является его _______________ симметрии.
3. Осевое сечение шара сеть_____________________________
4. Осевое сечение сферы есть ___________________________
5. Линия пересечения двух сфер есть _____________________
6. Плоскости равноудалённые от центра, пересекают шар по
___________________________________ кругам.
4.Выберите правильный ответ.
1. Радиус сферы равен 112 см. Точка, лежащая на плоскости,
касательной к сфере, удалена от точки касания на 15 см. Найдите
расстояние от этой точки до ближайшей к ней точки сферы.
А. 2 см Б. 1 см В. 3 см
2. Найдите площадь сферы, радиус которой равен 2 дм.
А. 16𝜋 дм2
Б. 14𝜋 дм2
В. 15𝜋 дм2
3. Площадь сечения сферы, проходящего через её центр, равна 9 м2
.
Найдите площадь сферы.
А. 30 м2
Б. 36 м2
В. 40 м2
4. Площадь сферы равна 324 см2
. Найдите радиус сферы.
А.
9
√ 𝜋
см Б. 3 см В. 3,5 см.
17. 17
5. Как изменится площадь большого круга шара, если радиус шара:
А Б В
Увеличить в
3 раза
уменьшится
в 4 раза
увеличится
в 4 раза
увеличится
в 2 раза
Уменьшить
в 3 раза
увеличится
в 3 раза уменьшится
в 3 раза
уменьшится
в 9 раз
3. Объёмы тел.
§ 1. Объём прямоугольного параллелепипеда, прямой призмы и
цилиндра.
1. Закончите предложения.
1. Свойства объёмов:
1) равные тела имеют __________________________________
_____________________________________________________
2) если тело разбито на части, то его объём равен __________
_____________________________________________________________
_____________________________________________
2. Объём прямоугольного параллелепипеда равен __________
_____________________________________________________
3. Объём любой призмы равен___________________________
_____________________________________________________
4. Два тела называются равновеликими, если они имеют ____
_____________________________________________________
5. Объём цилиндра равен_______________________________
6. Призма считается вписанной в цилиндр, если её основания_
_____________________________________________________
7. Призма описана около цилиндра, если её основания ______
_____________________________________________________________
_____________________________________________
2. Ответьте на вопросы и выполните задания.
1. Запишите формулу объёма куба________________________
18. 18
_____________________________________________________
2. Чему равен объём правильной четырёхугольной призмы, если
сторона основания равна 𝑐, а высота призмы – 𝐻 _______
_____________________________________________________
3. Запишите формулу объёма прямой треугольной призмы, каждое
ребро которой равно 𝑛___________________________
_____________________________________________________
4. Какую длину ребра имеет куб, равновеликий кубам с рёбрами 5см, 6
см, 7 см?__________________________________
5. Запишите формулу объёма цилиндра___________________
6. Как относятся объёмы двух цилиндров с одинаковыми
высотами?_____________________________________________
7. Как относятся объёмы двух цилиндров с одинаковыми радиусами
оснований?__________________________________
_____________________________________________________
3. Выберите правильный ответ.
1. Измерения прямоугольного параллелепипеда равны 8 см, 12 см и 18
см. Найдите ребро куба, объём которого равен объёму этого
параллелепипеда.
А. 12 см Б. 11 см В. 13 см
2. Измерения прямоугольного параллелепипеда равны 11 см, 12 см и
15 см. Чему равен его объём?
А. 1800 см3
Б. 1980 см3
В. 1700 см3
3. Найдите объём правильной четырёхугольной призмы, у которой
каждое ребро равно 𝑎.
А. 𝑎3
Б. 4𝑎3
В. 3 𝑎3
4. Диагональ куба равна 4√3 м. Найдите его объём.
А. 48 м3
Б. 64 м3
В. 12 м3
5. Найдите объём цилиндра, если его радиус равен 2√2 см, высота – 3
см.
А. ≈ 74,4 см3
Б. 24𝜋 см3
В. 24 см3
6. Диаметр основания цилиндра равен 16 см, высота – 8 см. Чему равен
его объём?
А. 2498 см3
Б. 121 см3
В. 128𝜋 см3
19. 19
4. Решите задачи.
1. Диагональ куба 6 см. Найдите его объём (ответ округлите до
десятых). Сделайте рисунок.
Решение:
_____________________________________________________________
_____________________________________________________________
_____________________________________________________________
_____________________________________________________________
_____________________________________________________________
_____________________________________________________________
_____________________________________________________________
_____________________________________________________________
__________________________________________
2. Диагонали граней прямоугольного параллелепипеда равны 7, 8 и 9
см. Найдите объём параллелепипеда.
Решение:
_____________________________________________________________
_____________________________________________________________
_____________________________________________________________
_____________________________________________________________
_____________________________________________________________
_____________________________________________________________
_____________________________________________________________
_____________________________________________________________
_____________________________________________________________
__________________________________
3. Найдите объём прямой призмы 𝐴𝐵𝐶𝐴1 𝐵1 𝐶1, если ∠𝐵𝐴𝐶 = 900
,
𝐵𝐶 = 37 см, 𝐴𝐵 = 35 см, 𝐴𝐴1 = 1,1 дм. Сделайте рисунок.
Решение:
_____________________________________________________________
_____________________________________________________________
_____________________________________________________________
21. 21
1. Объём наклонной призмы равен 27 д м3
. Чему равно ребро
равновеликого ей куба? _______________________________
____________________________________________________
2. Запишите формулу объёма правильной треугольной призмы с
высотой 𝐻 и стороной основания 𝑐 _________________
____________________________________________________
3. Запишите формулу объёма правильной четырёхугольной призмы с
высотой 𝐻 и стороной основания 𝑐 _____________
____________________________________________________
4. Запишите формулу объёма правильной шестиугольной призмы с
высотой 𝐻 и стороной основания 𝑐 _____________
____________________________________________________
5. Как относятся объёмы двух конусов с одинаковыми высотами?
___________________________________________
_____________________________________________________
6. Как относятся объёмы двух конусов с одинаковыми радиусами
оснований? _________________________________
_____________________________________________________________
_____________________________________________
3. Выберите правильный ответ.
1. Найдите объём наклонной призмы, у которой основанием является
треугольник со сторонами 10 см, 10 см и 12 см, а боковое ребро,
равное 8 см, составляет с плоскостью основания угол в 600
.
А. 180√3см3
Б. 192√3см3
В. 192 см3
2. Найдите объём правильной треугольной пирамиды, высота которой
равна 12 см, а сторона основания равна 13 см.
А. 169√3см3
Б. 192√3см3
В. 196√3см3
3. Объём пирамиды равен 64 м3
. Найдите ребро равновеликого ей
куба.
А. 12 см Б. 8 см В. 4 см
4. Осевое сечение конуса – правильный треугольник со стороной 6 см.
Найдите объём конуса.
22. 22
А. 9𝜋√3см3
Б. 11𝜋√3см3
В. 9𝜋 см3
4. Решите задачи.
1. Найдите объём пирамиды с высотой 2 м, основание которой служит
квадрат со стороной 3 м. Сделайте рисунок.
Решение:
_____________________________________________________________
_____________________________________________________________
_____________________________________________________________
_____________________________________________________________
_____________________________________________________________
_____________________________________________________________
_____________________________________________________________
_____________________________________________________________
2. Найдите объём конуса, если его образующая равна 13 см, а площадь
осевого сечения равна 60 см2
.
Решение:
_____________________________________________________________
_____________________________________________________________
_____________________________________________________________
_____________________________________________________________
_____________________________________________________________
_____________________________________________________________
_____________________________________________________________
_____________________________________________________________
_____________________________________________________________
_____________________________________________________________
_____________________________________________________________
3. Радиусы оснований усечённого конуса равны 3 м и 6 м, а
образующая – 5 м. Найдите объём усечённого конуса.
Решение:
_____________________________________________________________
_____________________________________________________________
_____________________________________________________________
25. 25
_____________________________________________________________
_____________________________________________________________
_____________________________________________________________
_____________________________________________________________
_____________________________________________________________
_____________________________________________________________
2. Найдите радиус и объём шара, если площадь его поверхности равна
64𝜋 см2
.
Решение:
_____________________________________________________________
_____________________________________________________________
_____________________________________________________________
_____________________________________________________________
_____________________________________________________________
_____________________________________________________________
_____________________________________________________________
_____________________________________________________________
_____________________________________________________________
_____________________________________________________________
3. Сколько кубометров земли потребуется для устройства клумбы,
имеющей форму шарового сегмента с радиусом основания 5 м и
высотой 60 см?
Решение:
_____________________________________________________________
_____________________________________________________________
_____________________________________________________________
_____________________________________________________________
_____________________________________________________________
_____________________________________________________________
_____________________________________________________________
_____________________________________________________________
_____________________________________________________________
_____________________________________________________________
26. 26
_____________________________________________________________
_____________________________________________________________
4. Сколько кожи пойдёт на покрышку футбольного мяча радиуса 10
см?
Решение:
_____________________________________________________________
_____________________________________________________________
_____________________________________________________________
_____________________________________________________________
_____________________________________________________________
_____________________________________________________________
_____________________________________________________________
_____________________________________________________________
_____________________________________________________________
_____________________________________________________________
_____________________________________________________________
_____________________________________________________________
5. Вычислите объём шара, описанного около куба, ребро которого
равно 1 м.
Решение:
_____________________________________________________________
_____________________________________________________________
_____________________________________________________________
_____________________________________________________________
_____________________________________________________________
_____________________________________________________________
_____________________________________________________________
_____________________________________________________________
_____________________________________________________________
_____________________________________________________________
6. Найдите площадь сферического пояса, если радиусы его оснований
20 м и 24 м, а радиус сферы 25 м.
28. 28
1. Метод координат в пространстве.
§ 1. Координаты точки и вектора………….. …………….. 2 - 6
§ 2. Скалярное произведение векторов……………………6 - 8
2. Тела вращения.
§ 1. Цилиндр. Площадь поверхности цилиндра………….8 - 12
§ 2. Конус. Площадь поверхности конуса……. ………...12 - 15
§ 3. Сфера и шар…………………………………………...15 - 18
3. Объёмы тел.
§ 1. Объём прямоугольного параллелепипеда,
прямой призмы и цилиндра………………………………18 - 21
§ 2. Объём наклонной призмы. Объём пирамиды и
конуса……………………………………………………………22
- 24
§ 3. Объём и поверхность шара и его частей…………….24 - 28