This document is a methodological guide containing control work assignments in mathematics. It includes an introduction and 7 control works corresponding to topics in the mathematics curriculum. Each control work contains reference materials, assignment questions at three levels of difficulty (A, B, C) and grading criteria. The questions are designed to quickly check students' knowledge of each topic and identify their level of understanding. This guide is intended to help teachers objectively evaluate students and differentiate instruction based on students' mastery of the material.
This document provides a methodological guide with 9 practical works on mathematics. It includes explanatory notes and covers the following topics: construction of sections, areas of surfaces and volumes of polyhedra, vector operations, solving algebraic equations and inequalities, roots and degrees, logarithms and their properties, basics of trigonometry, differentiation rules, finding integrals and calculating volumes. The practical works aim to practice skills for each topic and assess the mastery of the material. Students are advised to complete the tasks in order while applying the proper formulas and techniques.
This document provides vocabulary and exercises to practice English skills related to topics like the post office, body parts, and time. It contains word lists, readings, and multiple choice, matching, and fill-in-the-blank exercises for each topic. The purpose is to help learners increase their vocabulary and better understand grammar tenses like present, past and simple tense through hands-on practice with the provided materials.
This document is a methodological guide containing control work assignments in mathematics. It includes an introduction and 7 control works corresponding to topics in the mathematics curriculum. Each control work contains reference materials, assignment questions at three levels of difficulty (A, B, C) and grading criteria. The questions are designed to quickly check students' knowledge of each topic and identify their level of understanding. This guide is intended to help teachers objectively evaluate students and differentiate instruction based on students' mastery of the material.
This document provides a methodological guide with 9 practical works on mathematics. It includes explanatory notes and covers the following topics: construction of sections, areas of surfaces and volumes of polyhedra, vector operations, solving algebraic equations and inequalities, roots and degrees, logarithms and their properties, basics of trigonometry, differentiation rules, finding integrals and calculating volumes. The practical works aim to practice skills for each topic and assess the mastery of the material. Students are advised to complete the tasks in order while applying the proper formulas and techniques.
This document provides vocabulary and exercises to practice English skills related to topics like the post office, body parts, and time. It contains word lists, readings, and multiple choice, matching, and fill-in-the-blank exercises for each topic. The purpose is to help learners increase their vocabulary and better understand grammar tenses like present, past and simple tense through hands-on practice with the provided materials.
2. 2
1. Метод координат в пространстве.
§ 1. Координаты точки и координаты вектора.
1. Закончите предложения и заполните пропуски.
1. Прямоугольная система координат в пространстве задаётся тремя
попарно перпендикулярными прямыми, пресекающимися в одной
точке О - ____________________; направлением, выбранным по
каждой прямой и единицей измерения отрезков. Прямые с
выбранными направлениями называются
___________________________________________. Их обозначения
𝑂𝑋, 𝑂𝑌, 𝑂𝑍 и соответственно название: ось абсцисс, ось
______________________ и ось ______________________.
Координатные плоскости обозначаются: 𝑂𝑥𝑦, _____________
______________. Точка О разделяет каждую из осей координат на 2
луча. Луч, направление которого совпадает с направлением оси,
называется положительной полуосью, а другой луч -
________________________________________________.
В прямоугольной системе координат каждой точке А пространства
сопоставляется тройка чисел, которые называются её
__________________________________________________.
2. Дано: 𝐴1(𝑥1, 𝑦1 , 𝑧1) и 𝐴2(𝑥2, 𝑦2, 𝑧2), тогда расстояние между двумя
точками вычисляется по формуле:
∣𝐴1 𝐴2 ∣ = √(𝑥2 − 𝑥2)2 + (______________)2 + (__________________)2
3. Пусть 𝐴1(𝑥1, 𝑦1 , 𝑧1) и 𝐴2(𝑥2, 𝑦2 , 𝑧2) - произвольные точки,
точка𝐶(𝑥, 𝑦. 𝑧)середина отрезка 𝐴1 𝐴2, тогда координаты середины
отрезка находятся по формулам:
𝑥 =
𝑥1+𝑥2
2
, 𝑦 = ___________________ , 𝑧=______________________
4. Каждая координата суммы двух или более векторов равна _
_____________________________ соответствующих координат этих
векторов, т.е. если 𝑎(𝑥1, 𝑦1 , 𝑧1), 𝑏(𝑥2, 𝑦2, 𝑧2), то координаты вектора 𝑎 +
𝑏 =_________________________________
_____________________________________________________.
3. 3
5. Каждая координата разности двух или более векторов равна
___________________________________________________
соответствующих координат этих векторов, т.е. если 𝑎(𝑥1, 𝑦1 , 𝑧1),
𝑏(𝑥2, 𝑦2, 𝑧2), то координаты вектора 𝑎 − 𝑏 =____
_____________________________________________________.
6. Каждая координата произведения вектора с (𝑥 , 𝑦 , 𝑧 ), на число
𝑘 ≠ 0 равна ______________________ соответствующей координаты
вектора на это число, т.е. вектор𝑘𝑐 имеет координаты
__________________________________________.
2. Ответьте на вопросы.
1. Какие из точек 𝐴(1; −2;7), 𝐵(6;0; 2), 𝐶(0;4; 1), 𝐷(0;0; 3),
E(8;5; 0) лежат:
1) в плоскости 𝑂𝑥𝑦 ____________________________________,
2) на оси 𝑂𝑧__________________________________________,
3) в плоскости 𝑂𝑦𝑧____________________________________,
4) в плоскости 𝑂𝑥𝑧____________________________________.
2. Какие координаты (в общем виде) имеют точки, лежащие :
1) на оси𝑂𝑋: 𝐴 (______________________________________),
2) на оси𝑂𝑌: 𝐴 (______________________________________),
3) на оси𝑂𝑍: 𝐴 (______________________________________),
4) на плоскости𝑂𝑥𝑦: 𝐴 (_______________________________),
5) на плоскости 𝑂𝑥𝑧: 𝐴 (_______________________________),
6)на плоскости𝑂𝑦𝑧: 𝐴 (_______________________________),
3. Как найти расстояние от точки𝐴 (𝑥 , 𝑦 , 𝑧 )до начала координат в
системе 𝑂𝑥𝑦𝑧?
∣ 𝐴𝑂 ∣=______________________________________________.
4. Зная координаты векторов если 𝑎(2,3, −4), 𝑏(−1,2,1) и с(3,0,2),
найдите координаты векторов:
1) 𝑎 + 𝑏 = ____________________________________________
2) 𝑎 − 𝑏 + 𝑐 = _________________________________________
3) 2𝑎 + 3𝑏 − 2𝑐 =______________________________________
_____________________________________________________
4. 4
5. Зная координаты точек 𝐴 (4,−3,2) иС(−2,4, −3), найдите
координаты вектора АС = _______________________________
_____________________________________________________
6. Вычислите длину вектора 𝐴𝐵, если 𝐴 (5,3,1) и 𝐵(4,5, −1)
_____________________________________________________________
_____________________________________________
3. Выполните задания.
1. Постройте точки 𝐴 (2,3,4) ,
С(−2, −2,5),𝐵( −2,−3, −4), 𝐷(0,0, 3), 𝐸(2, 0, 5), 𝐹(3, −2, 0).
2. Найдите расстояние между двумя точками
1) 𝐴 (1,2,7) иС (3,4,6),
2) 𝐵( 1,0, 3), 𝐷(5, 7, 4).
Решение:
_____________________________________________________________
_____________________________________________________________
_____________________________________________________________
_____________________________________________________________
5. 5
_____________________________________________________________
_____________
3. Найдите расстояние от точки 𝐹 (2,−1, 7)до осей координат.
Решение:
1) до оси 𝑂𝑋: _________________________________________
2) до оси 𝑂𝑌:__________________________________________
3) до оси 𝑂𝑍:__________________________________________
4. Отрезок АВ задан концом 𝐴 (7; −4; 5) и серединойС(3; 2; 1,5).
Найдите координаты конца отрезка𝐵 (𝑥 , 𝑦 , 𝑧 )/
Решение:
_____________________________________________________________
_____________________________________________________________
_____________________________________________________________
_____________________________________________________________
_____________________
5. Найдите периметр треугольника, образованного векторами
𝐴𝐵, 𝐵𝐶, 𝐶𝐴 , если 𝐴 (8;0; 6) , С(6;−2; 5),𝐵(8; −4; 6).
Решение:
_____________________________________________________________
_____________________________________________________________
_____________________________________________________________
_____________________________________________________________
_____________________
6. Докажите, что четырёхугольник с вершинами 𝐴 (1;4; 3) ,
С(2; 5; 1),𝐵2;3; 5), 𝐷(3;4; 3) - параллелограмм.
Решение:
_____________________________________________________________
_____________________________________________________________
_____________________________________________________________
_____________________________________________________________
_____________________________________________________________
_____________________________________________________________
__________________________________________________________
§ 2. Скалярное произведение векторов.
1. Закончите предложения и заполните пропуски.
6. 6
1. Угол между векторами 𝑂𝐴 и 𝑂𝐵 есть градусная мера между
____________________________________________________.
2. Если векторы 𝑎 и 𝑏 - сонаправлены, то угол между ними считается
равным ___________________________________.
3. Если угол между векторами равен 00
, то векторы называются
______________________________________________.
4. Скалярным произведением векторов называется _________
_____________________________________________________________
_____________________________________________.
5. Скалярное произведение векторов если 𝑎(𝑥1, 𝑦1 , 𝑧1) и 𝑏(𝑥2, 𝑦2 , 𝑧2)
выражается формулой:
𝑎 ∙ 𝑏 =________________________________________________
6. Косинус между ненулевыми векторами если 𝑎(𝑥1, 𝑦1 , 𝑧1) и
𝑏(𝑥2, 𝑦2, 𝑧2) вычисляется по формуле: ____________________
_____________________________________________________
7. Для любых векторов 𝑎, 𝑏, 𝑐 и любого числа 𝑘 справедливы
равенства:
𝑎 ∙ 𝑏 = 𝑏 ∙ 𝑎 - ____________________________________ закон
(𝑎 + 𝑏) ∙ с = 𝑎 ∙ 𝑐 + 𝑏 ∙ 𝑐- ______________________________ закон
𝑘 ∙ (𝑎 ∙ 𝑏) = (𝑘 ∙ 𝑎) ∙ 𝑏 - ________________________________ закон.
2. Ответьте на вопросы.
1. Какое необходимое и достаточное условие равенства нулю
скалярного произведения двух ненулевых векторов? ________
_____________________________________________________________
_____________________________________________
2. Чему равен скалярный квадрат вектора? ________________
_____________________________________________________________
_____________________________________________
3. Как найти произведение длин двух векторов, используя формулу
скалярного произведения? ______________________
_____________________________________________________________
_____________________________________________
3. Выполните задания.
8. 8
3. Известно, что ∠( 𝑎𝑐) = ∠( 𝑏𝑐) = 600
; ∣ 𝑎 ∣ = 3,
∣ 𝑏 ∣=∣ 𝑐 ∣= 1. Вычислите (𝑎 − 𝑏) ∙ 𝑐.
А. 0,5 Б. -1 В. 1
2. Тела вращения.
§ 1. Цилиндр.
1.Сделайте рисунок цилиндра и закончите предложения.
1. Цилиндром называется тело,
_____________________________
_____________________________
_____________________________
_____________________________
_____________________________
_____________________________
На рисунке обозначьте: основания, образующую и ось цилиндра.
2. Высота цилиндра - __________________________________
_____________________________________________________
3. Радиус цилиндра - __________________________________
_____________________________________________________
4. Осевое сечение цилиндра - ___________________________
_____________________________________________________
_____________________________________________________________
_____________________________________________
5. Площадь полной поверхности цилиндра состоит из_______
_____________________________________________________________
_____________________________________________
2. Заполните пропуски.
1) У цилиндра образующие _____________________________
_____________________________________________________
2) Ось цилиндра __________________________________ образующим.
3) Основания цилиндра _______________________________ и лежат в
___________________________ плоскостях.
9. 9
4) Сечение цилиндра, плоскостью параллельной основанию есть
________________________________________________.
5) Развёрткой боковой поверхности цилиндра является ______
_____________________________________________________
6) Площадь боковой поверхности цилиндра находится по формуле:
𝑆бок = _______________________________________
3. Ответьте на вопросы.
1. Как получить цилиндр вращением прямоугольника (ответ поясните
рисунком)?
_____________________________
_____________________________
_____________________________
_____________________________
_____________________________
_____________________________
2. Какое из изображённых тел является цилиндром?
1) 2)
3)
4) 5)
№__________________________________________________
3. Дайте определение равностороннего цилиндра. _________
_____________________________________________________________
_____________________________________________
4. Что представляет собой сечение цилиндра плоскостью,
перпендикулярной оси цилиндра? _______________________
10. 10
_____________________________________________________
4. Выберите правильный ответ.
1. Радиус основания цилиндра 3 си, высота 8 см. Чему равна диагональ
осевого сечения?
А. 10 см Б. 12 см В. 11 см
Чему равен угол между диагональю осевого сечения и диаметром
основания цилиндра с теми же данными? (сделайте рисунок).
А. arcsin0,8 Б. arcsin0,6 В. arcsin0,7
_____________________________________________________________
_____________________________________________________________
_____________________________________________________________
_____________________________________________________________
_____________________________________________________________
_____________________________________________________________
_____________________________________________________________
_____________________________________________________________
_____________________________________________________________
__________________________________
2. Осевое сечение цилиндра – квадрат, площадь которого 36 дм2
. Чему
равна площадь основания цилиндра? (сделайте рисунок).
А. 10𝜋 дм2
Б. 3𝜋 дм2
В. 9𝜋 дм2
_____________________________________________________________
_____________________________________________________________
_____________________________________________________________
_____________________________________________________________
_____________________________________________________________
_____________________________________________________________
__________________________________________________________
3. Диагональ осевого сечения цилиндра равна 26 см, высота цилиндра
– 24 см. Найдите площадь основания цилиндра.
А. 25𝜋 см2
Б. 29𝜋 см2
В. 20𝜋 см2
4. Высота цилиндра 8 см, радиус основания 1 см. Чему равна площадь
осевого сечения?
А. 9 см2
Б. 8 см2
В. 16 см2
11. 11
5. Осевое сечение цилиндра – квадрат, диагональ которого равна 20 см.
Найдите: 1) высоту цилиндра; 2) площадь основания цилиндра.
1) А. 10√2 см Б. 10 см В. 12 см
2) А. 40𝜋 см2
Б. 50𝜋 см2
В. 45𝜋 см2
6. Площадь осевого сечения цилиндра равна 10 м2
, а площадь
основания - 5 м2
. Найдите высоту цилиндра.
А. √5𝜋 Б. √3𝜋 В. √2𝜋
7. Чему равна площадь развёртки боковой поверхности цилиндра,
радиус основания которого 2 см, высота – 10 см?
А. 10 см2
Б. 20𝜋 см2
В. 40𝜋 см2
§ 2. Конус.
1. Сделайте рисунок цилиндра и закончите предложения.
1. Конусом называется тело,
_____________________________
_____________________________
_____________________________
_____________________________
_____________________________
_____________________________
2. На рисунке обозначьте:
основание____________________________________________
вершину_____________________________________________
образующую__________________________________________
высоту_______________________________________________
3. Сделайте рисунок усечённого конуса, обозначьте его:
основание ___________________________________________
образующую _________________________________________
высоту_______________________________________________
_____________________________________________________________
_____________________________________________________________
_____________________________________________________________
_____________________________________________________________
12. 12
_____________________________________________________________
_____________
4. Осевым сечением конуса, называется ___________________
_____________________________________________________________
_____________________________________________________________
_____________________________________________________________
_____________________________________________________________
_____________________
5. Формула площади боковой поверхности конуса:
𝑆бок = ________________________________________________
6. Формула площади полной поверхности конуса:
𝑆полн = _______________________________________________
7. Формула площади полной поверхности усечённого конуса:
𝑆полн = _______________________________________________
2. Заполните пропуски.
1. У прямого конуса основание высоты совпадает с
________________________________ основания.
2. Сечение конуса плоскостью, проходящей через его вершину есть -
____________________________________________, у которого
боковые стороны являются образующими конуса (сделайте рисунок).
_____________________________________________________________
_____________________________________________________________
_____________________________________________________________
_____________________________________________________________
_____________________________________________________________
_____________________________________________________________
_____
3. Осевое сечение конуса есть - __________________________
_____________________________________________________________
_____________________________________________
4. Осевое сечение усечённого конуса есть - ________________
_____________________________________________________________
_____________________________________________
13. 13
3. Ответьте на вопросы.
1. Вращением какой фигуры можно получить конус? Ответ поясните
рисунком.
_____________________________
_____________________________
_____________________________
_____________________________
_____________________________
_____________________________
_____________________________
2. Какая фигура получается при вращении равнобедренного
треугольника вокруг его оси симметрии? _________________
_____________________________________________________________
_____________________________________________________________
_____________________________________________________________
_____________________________________________________________
_____________________________________________________________
_____________________________________________________________
__________________________________________________________
3. Что представляет собой сечение конуса плоскостью,
перпендикулярной оси конуса?
____________________________________________________
_____________________________________________________________
_____________________________________________
4. Выберите правильный ответ.
1. Образующая конуса равна 7 см. Угол между образующими равен
600
. Чему равен диаметр основания?
А. 14 см Б. 7 см В. 3,5 см
2. Площадь осевого сечения конуса равна 36 см2
, высота конуса 12 см.
Найдите радиус основания конуса.
А. 3 см Б. 5 см В. 8 см
3. Чему равна площадь боковой поверхности равностороннего конуса,
если его образующая равна 12 см?
14. 14
А. 72 см2
Б. 72𝜋 см2
В. 36𝜋 см2
4. В равностороннем конусе образующая равна 8 см. Чему равна
площадь осевого сечения конуса?
А. 15 см2
Б. 16 см2
В. ≈ 27,6 см2
5. Площадь полной поверхности конуса равна 136𝜋 см2
, радиус
основания – 6 см. Найдите площадь его боковой поверхности.
А. 100 см2
Б. 100𝜋 см2
В. 130𝜋 см2
§ 3. Шар и сфера.
1. Закончите предложения и выполните задания.
1. Сферой называется поверхность, ______________________
_____________________________________________________________
_____________________________________________________________
_____________________________________
2. Шаром называется тело, ______________________________
_____________________________________________________________
_____________________________________________________________
_____________________________________
3. Сделайте рисунок шара, обозначьте его:
центр - ______________________________________________
радиус- ______________________________________________
диаметр - ____________________________________________
_____________________________________________________________
_____________________________________________________________
_____________________________________________________________
_____________________________________________________________
_____________________________________________________________
_____________________________________________________________
_____________________________________________________________
__________________________________________________
4. Если расстояние от центра сферы до плоскости меньше радиуса
сферы (т.е. 𝑑 < 𝑅), то сечение сферы плоскостью есть _
_____________________________________________________
и 𝑅2
− 𝑑2
_________________(>, <, =) 0.
15. 15
5. Если расстояние от центра сферы до плоскости больше радиуса
сферы (т.е. 𝑑 > 𝑅), то сфера и плоскость_____________
_____________________________________________________
и 𝑅2
− 𝑑2
_________________(>, <, =) 0.
6. Если расстояние от центра сферы до плоскости равно радиусу
сферы (т.е. 𝑑 = 𝑅), то сфера и плоскость ____________
_____________________________________________________
и 𝑅2
− 𝑑2
_________________(>, <, =) 0.
7. Касательной плоскостью к сфере называется плоскость, ___
_____________________________________________________________
_____________________________________________
8. Большим кругом называется сечение ___________________
_____________________________________________________________
_____________________________________________
9. Большой окружностью называется сечение _____________
_____________________________________________________________
_____________________________________________
2. Ответьте на вопросы.
1. Вращением какой фигуры можно получить шар? Ответ поясните
рисунком и записями.
_____________________________
_____________________________
_____________________________
_____________________________
_____________________________
_____________________________
_____________________________
2. Какая точка называется точкой касания? ________________
_____________________________________________________________
_____________________________________________
3. Сколько общих точек с шаром имеет касательная прямая?
____________________________________________________
16. 16
4. Какое условие должно выполняться, чтобы плоскость пересекала
шар? __________________________________________
_____________________________________________________
5. Какая фигура получается в сечении шара плоскостью?
_____________________________________________________
6. Какая фигура получается в сечении сферы плоскостью?
_____________________________________________________
7. Сколько осей симметрии имеет шар? ___________________
8. Сколько плоскостей симметрии имеет шар? _____________
9. Чему равна формула площади сферы, радиуса 𝑅?_________
_____________________________________________________
3. Заполните пропуски.
1. Всякое сечение шара плоскостью есть круг. Центр этого круга есть
__________________ перпендикуляра, опущенного их центра шара на
секущую плоскость.
2. Центр шара является его _______________ симметрии.
3. Осевое сечение шара сеть_____________________________
4. Осевое сечение сферы есть ___________________________
5. Линия пересечения двух сфер есть _____________________
6. Плоскости равноудалённые от центра, пересекают шар по
___________________________________ кругам.
4.Выберите правильный ответ.
1. Радиус сферы равен 112 см. Точка, лежащая на плоскости,
касательной к сфере, удалена от точки касания на 15 см. Найдите
расстояние от этой точки до ближайшей к ней точки сферы.
А. 2 см Б. 1 см В. 3 см
2. Найдите площадь сферы, радиус которой равен 2 дм.
А. 16𝜋 дм2
Б. 14𝜋 дм2
В. 15𝜋 дм2
3. Площадь сечения сферы, проходящего через её центр, равна 9 м2
.
Найдите площадь сферы.
А. 30 м2
Б. 36 м2
В. 40 м2
4. Площадь сферы равна 324 см2
. Найдите радиус сферы.
А.
9
√ 𝜋
см Б. 3 см В. 3,5 см.
17. 17
5. Как изменится площадь большого круга шара, если радиус шара:
А Б В
Увеличить в
3 раза
уменьшится
в 4 раза
увеличится
в 4 раза
увеличится
в 2 раза
Уменьшить
в 3 раза
увеличится
в 3 раза уменьшится
в 3 раза
уменьшится
в 9 раз
3. Объёмы тел.
§ 1. Объём прямоугольного параллелепипеда, прямой призмы и
цилиндра.
1. Закончите предложения.
1. Свойства объёмов:
1) равные тела имеют __________________________________
_____________________________________________________
2) если тело разбито на части, то его объём равен __________
_____________________________________________________________
_____________________________________________
2. Объём прямоугольного параллелепипеда равен __________
_____________________________________________________
3. Объём любой призмы равен___________________________
_____________________________________________________
4. Два тела называются равновеликими, если они имеют ____
_____________________________________________________
5. Объём цилиндра равен_______________________________
6. Призма считается вписанной в цилиндр, если её основания_
_____________________________________________________
7. Призма описана около цилиндра, если её основания ______
_____________________________________________________________
_____________________________________________
2. Ответьте на вопросы и выполните задания.
1. Запишите формулу объёма куба________________________
18. 18
_____________________________________________________
2. Чему равен объём правильной четырёхугольной призмы, если
сторона основания равна 𝑐, а высота призмы – 𝐻 _______
_____________________________________________________
3. Запишите формулу объёма прямой треугольной призмы, каждое
ребро которой равно 𝑛___________________________
_____________________________________________________
4. Какую длину ребра имеет куб, равновеликий кубам с рёбрами 5см, 6
см, 7 см?__________________________________
5. Запишите формулу объёма цилиндра___________________
6. Как относятся объёмы двух цилиндров с одинаковыми
высотами?_____________________________________________
7. Как относятся объёмы двух цилиндров с одинаковыми радиусами
оснований?__________________________________
_____________________________________________________
3. Выберите правильный ответ.
1. Измерения прямоугольного параллелепипеда равны 8 см, 12 см и 18
см. Найдите ребро куба, объём которого равен объёму этого
параллелепипеда.
А. 12 см Б. 11 см В. 13 см
2. Измерения прямоугольного параллелепипеда равны 11 см, 12 см и
15 см. Чему равен его объём?
А. 1800 см3
Б. 1980 см3
В. 1700 см3
3. Найдите объём правильной четырёхугольной призмы, у которой
каждое ребро равно 𝑎.
А. 𝑎3
Б. 4𝑎3
В. 3 𝑎3
4. Диагональ куба равна 4√3 м. Найдите его объём.
А. 48 м3
Б. 64 м3
В. 12 м3
5. Найдите объём цилиндра, если его радиус равен 2√2 см, высота – 3
см.
А. ≈ 74,4 см3
Б. 24𝜋 см3
В. 24 см3
6. Диаметр основания цилиндра равен 16 см, высота – 8 см. Чему равен
его объём?
А. 2498 см3
Б. 121 см3
В. 128𝜋 см3
19. 19
4. Решите задачи.
1. Диагональ куба 6 см. Найдите его объём (ответ округлите до
десятых). Сделайте рисунок.
Решение:
_____________________________________________________________
_____________________________________________________________
_____________________________________________________________
_____________________________________________________________
_____________________________________________________________
_____________________________________________________________
_____________________________________________________________
_____________________________________________________________
__________________________________________
2. Диагонали граней прямоугольного параллелепипеда равны 7, 8 и 9
см. Найдите объём параллелепипеда.
Решение:
_____________________________________________________________
_____________________________________________________________
_____________________________________________________________
_____________________________________________________________
_____________________________________________________________
_____________________________________________________________
_____________________________________________________________
_____________________________________________________________
_____________________________________________________________
__________________________________
3. Найдите объём прямой призмы 𝐴𝐵𝐶𝐴1 𝐵1 𝐶1, если ∠𝐵𝐴𝐶 = 900
,
𝐵𝐶 = 37 см, 𝐴𝐵 = 35 см, 𝐴𝐴1 = 1,1 дм. Сделайте рисунок.
Решение:
_____________________________________________________________
_____________________________________________________________
_____________________________________________________________
21. 21
1. Объём наклонной призмы равен 27 д м3
. Чему равно ребро
равновеликого ей куба? _______________________________
____________________________________________________
2. Запишите формулу объёма правильной треугольной призмы с
высотой 𝐻 и стороной основания 𝑐 _________________
____________________________________________________
3. Запишите формулу объёма правильной четырёхугольной призмы с
высотой 𝐻 и стороной основания 𝑐 _____________
____________________________________________________
4. Запишите формулу объёма правильной шестиугольной призмы с
высотой 𝐻 и стороной основания 𝑐 _____________
____________________________________________________
5. Как относятся объёмы двух конусов с одинаковыми высотами?
___________________________________________
_____________________________________________________
6. Как относятся объёмы двух конусов с одинаковыми радиусами
оснований? _________________________________
_____________________________________________________________
_____________________________________________
3. Выберите правильный ответ.
1. Найдите объём наклонной призмы, у которой основанием является
треугольник со сторонами 10 см, 10 см и 12 см, а боковое ребро,
равное 8 см, составляет с плоскостью основания угол в 600
.
А. 180√3см3
Б. 192√3см3
В. 192 см3
2. Найдите объём правильной треугольной пирамиды, высота которой
равна 12 см, а сторона основания равна 13 см.
А. 169√3см3
Б. 192√3см3
В. 196√3см3
3. Объём пирамиды равен 64 м3
. Найдите ребро равновеликого ей
куба.
А. 12 см Б. 8 см В. 4 см
4. Осевое сечение конуса – правильный треугольник со стороной 6 см.
Найдите объём конуса.
22. 22
А. 9𝜋√3см3
Б. 11𝜋√3см3
В. 9𝜋 см3
4. Решите задачи.
1. Найдите объём пирамиды с высотой 2 м, основание которой служит
квадрат со стороной 3 м. Сделайте рисунок.
Решение:
_____________________________________________________________
_____________________________________________________________
_____________________________________________________________
_____________________________________________________________
_____________________________________________________________
_____________________________________________________________
_____________________________________________________________
_____________________________________________________________
2. Найдите объём конуса, если его образующая равна 13 см, а площадь
осевого сечения равна 60 см2
.
Решение:
_____________________________________________________________
_____________________________________________________________
_____________________________________________________________
_____________________________________________________________
_____________________________________________________________
_____________________________________________________________
_____________________________________________________________
_____________________________________________________________
_____________________________________________________________
_____________________________________________________________
_____________________________________________________________
3. Радиусы оснований усечённого конуса равны 3 м и 6 м, а
образующая – 5 м. Найдите объём усечённого конуса.
Решение:
_____________________________________________________________
_____________________________________________________________
_____________________________________________________________
25. 25
_____________________________________________________________
_____________________________________________________________
_____________________________________________________________
_____________________________________________________________
_____________________________________________________________
_____________________________________________________________
2. Найдите радиус и объём шара, если площадь его поверхности равна
64𝜋 см2
.
Решение:
_____________________________________________________________
_____________________________________________________________
_____________________________________________________________
_____________________________________________________________
_____________________________________________________________
_____________________________________________________________
_____________________________________________________________
_____________________________________________________________
_____________________________________________________________
_____________________________________________________________
3. Сколько кубометров земли потребуется для устройства клумбы,
имеющей форму шарового сегмента с радиусом основания 5 м и
высотой 60 см?
Решение:
_____________________________________________________________
_____________________________________________________________
_____________________________________________________________
_____________________________________________________________
_____________________________________________________________
_____________________________________________________________
_____________________________________________________________
_____________________________________________________________
_____________________________________________________________
_____________________________________________________________
26. 26
_____________________________________________________________
_____________________________________________________________
4. Сколько кожи пойдёт на покрышку футбольного мяча радиуса 10
см?
Решение:
_____________________________________________________________
_____________________________________________________________
_____________________________________________________________
_____________________________________________________________
_____________________________________________________________
_____________________________________________________________
_____________________________________________________________
_____________________________________________________________
_____________________________________________________________
_____________________________________________________________
_____________________________________________________________
_____________________________________________________________
5. Вычислите объём шара, описанного около куба, ребро которого
равно 1 м.
Решение:
_____________________________________________________________
_____________________________________________________________
_____________________________________________________________
_____________________________________________________________
_____________________________________________________________
_____________________________________________________________
_____________________________________________________________
_____________________________________________________________
_____________________________________________________________
_____________________________________________________________
6. Найдите площадь сферического пояса, если радиусы его оснований
20 м и 24 м, а радиус сферы 25 м.
28. 28
1. Метод координат в пространстве.
§ 1. Координаты точки и вектора………….. …………….. 2 - 6
§ 2. Скалярное произведение векторов……………………6 - 8
2. Тела вращения.
§ 1. Цилиндр. Площадь поверхности цилиндра………….8 - 12
§ 2. Конус. Площадь поверхности конуса……. ………...12 - 15
§ 3. Сфера и шар…………………………………………...15 - 18
3. Объёмы тел.
§ 1. Объём прямоугольного параллелепипеда,
прямой призмы и цилиндра………………………………18 - 21
§ 2. Объём наклонной призмы. Объём пирамиды и
конуса……………………………………………………………22
- 24
§ 3. Объём и поверхность шара и его частей…………….24 - 28