線形写像のker

1. V, W を実数体R上の有限次元線形空間としf : V → W をR上の線形写像とする. f の核を次で
定義する.
Ker(f ) = {v 2 V ; f (v) = 0}.
(1) f が線形写像であることの定義を述べよ.
(2) 02Ker(f)を示せ.
(3) f が単射であることと Ker(f ) = {0} であることは同値であることを示せ.
(4) g : V → W も線形写像とする.このとき, Ker(f)∩Ker(g)はV の線形部分空間 であることを示
せ.

2. V, W を実数体R上の有限次元線形空間としf : V → W をR上の線形写像とする. f の核を次で
定義する.
Ker(f ) = {v 2 V ; f (v) = 0}.
(1) f が線形写像であることの定義を述べよ.
V から W への写像 f が、任意の x, y ∈ V と任意の c ∈ R に対し、
f(x + y) = f(x) + f(y)
f(cx) = cf (x)
をともに満たすとき、f を F 上の線型写像 または簡単に F-線型写像という。
(2) 0∈Ker(f)を示せ.
f(cx) = cf (x)からc=０とすればf(0)=0
(3) f が単射であることと Ker(f ) = {0} であることは同値であることを示せ.
単射であるならば(2)からKer(f ) = {0}
単射でないとする。f(x)=f(y)=wだったとするとf(x-y)=f(x)-f(y)=w-w=0よってx-y∈ker(f)
よってker(f)≠0 よって待遇が示せた。
(4) g : V → W も線形写像とする.このとき, Ker(f)∩Ker(g)はV の線形部分空間 であることを示
せ.
v,u∈ Ker(f)∩Ker(g)と任意のc1,c2∈Rに対し
f(c1v±c2u)=c1f(v)±c2f(u)=g(c1v±c2u )=c1g(v)±c2g(u)= 0
また加法の結合律、可換律、逆元の存在、スカラー乗の両立条件、スカラーの単位元の存在は
明らかである。