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KMC 競技プログラミング練習会 Advanced 第3回 ふろー
- 1. ふろー ─水の低きに就くが如し KMC 2nd drafear 1
- 2. • 最大流 • 最小費用流 • 応用 • 線形計画問題 2 ふろー
- 3. • 重み付き有向グラフ上で s から t まで どのくらい流せるか – 各辺の重みはその辺に流せる最大流量(容量) – 最大流問題 – 下の場合最大流は 9 s t 5 4 1 3 9 5 7 3 6 最大流
- 4. • Ford-Fulkerson法 – 𝑂 𝐹 𝐸 – 残余グラフ(後述)上で 増大道(sからtに1以上流せるパス)を見つけて 流し続ける 4 s t 5 4 1 3 9 5 7 6 増大道 ─ に1を流す flow = 0 最大流
- 5. • 残余グラフ 𝑒 = 𝑢, 𝑣 ∈ 𝐸 に 𝑓 流したら 逆辺 𝑒′ = 𝑣, 𝑢 の容量を 𝑓 増やす 5 s t 4 4 0 2 9 5 7 51 1 1 1 最大流 flow = 1
- 6. • dfsで増大道を見つけて流す 6 s t 4 4 2 9 5 7 5 flow = 11 1 1 1 最大流
- 7. • これを増大道がなくなるまで繰り返す 7 s t 3 3 2 9 5 6 6 flow = 22 1 1 1 最大流
- 8. • なぜうまくいくか – 逆辺に流す ＝ 押し戻す – s, t 以外の各頂点で 流量保存則(出る流量＝入る流量) が成り立っていれば良い 8 s t 最大流
- 9. 最大流 増大道がなくなったらそれが最大流 ∵ sから残余グラフ上で到達可能な頂点集合 Sを考えると, S→V＼T へ残余グラフ上で 辺がないから元のグラフではめいいっぱい 流れているのでこれ以上流せない 9
- 10. 最大流 増大道は dfs すれば 𝑂 𝐸 で見つけられ, 1回流すと今まで合計で流した流量は 少なくとも1増えるので, 答えとなる流量を 𝐹 とすると 𝑂 𝐹 𝐸 . 10
- 11. 最大流 • Ford-Fulkerson法は無駄が多そう – 遠回りして見つけたパスを後から近いルート で更新したりする – 計算量が 𝐹 に依存する s-t 間の距離が近い順に見ていく！ Dinicのアルゴリズム 11
- 12. 最大流 • Dinicのアルゴリズム – dfsする前にbfsして, sから遠ざかっていく辺 だけを辿っていく – 𝑂 𝑉 2 𝐸 (よりもかなり高速) 12 flow = 0; while (1) { update = false; bfsして各頂点のsからの距離を計算する; while ((f = dfsして増大道を見つけて流した流量) > 0) { flow += flow; update = true; } if (!update) return flow; }
- 13. 最大流 • 容量スケーリング – 2 𝑛 単位で流せるだけ流すといった操作を 𝑛 を減らしていきながら繰り返す 13
- 14. 最小費用流 • 各辺に容量だけでなくコストの重みもある • その辺に流量1のフローを流したときに そのコストが発生する • s – t 間に 流量 𝐹 のフローを流したときの 合計コストを最小化したい 14
- 15. 最小費用流 • アルゴリズム – コスト 𝑐 の辺の逆辺のコストを −𝑐 とする – Ford-Fulkerson法の増大道を見つけるフェイズで dfsする代わりに Bellman–Ford を行い, s – t 最短経路を見つける – それだけ！！ – 𝑂(𝐹 𝑉 𝐸 ) 15
- 16. 最小費用流 • Bellman-Ford の部分を dijkstraにしたい • 逆辺のせいで負の辺が現れるので dijkstra使えなさそう – 実は使える 16
- 17. 最小費用流 • 各頂点にポテンシャルを良い感じに 設定するとdijkstraできる • ポテンシャルとはゲタ的なもので, 各頂点のポテンシャルを ℎ 𝑣 とし, 辺𝑒 = 𝑢, 𝑣 のコスト𝑑 𝑢𝑣を 𝑑 𝑢𝑣 ′ = 𝑑 𝑢𝑣 + ℎ 𝑢 − ℎ 𝑣として考えたときに 残余グラフ上の全ての辺で 𝑑 𝑢𝑣 ′ ≥ 0 であればdijkstraが使える！ 17
- 18. 最小費用流 1. 各頂点のポテンシャルを ℎ 𝑣 とする 2. 初期状態では ℎ 𝑣 = 0 とする 3. 初期状態で負コストの辺がなければ, dijkstraを1回まわせるので回してフローを流す 4. 回した結果, sからの距離を𝑑𝑖𝑠𝑡 𝑣とする 5. 全てのℎ 𝑣に𝑑𝑖𝑠𝑡 𝑣を加える 6. すると, なぜか残余グラフ上でコストが正になるので 3にもどって反復的にできる (詳しくは蟻本) 18
- 19. 最小費用流 • dijkstraを使えば𝑂 𝐹 𝐸 log 𝑉 19
- 20. • 応用 – 通信速度 – 二部マッチング – DAGの最小パス被覆 – 区間グラフ – 最小カット – 最小頂点被覆 – 最大安定集合(独立集合) 20 最大流・最小費用流
- 21. 応用 – 通信速度 • 各回線の通信容量(速度)が与えられるので s-t間の通信速度を最大化したい 21 s t
- 22. 応用 – 通信速度 • 各回線の通信容量が与えられるので 通信速度を最大化したい – 無向グラフの場合は双方向に辺を張れば良い 22 cap cap cap
- 23. 応用 – 通信速度 • 回線利用料がかかる場合は最小費用流 23
- 24. 応用 – 二部マッチング • ペアをたくさん作りたい – 人に仕事を割り当てるなど – 複数の人と結婚できない 24 ペアになれるもの
- 25. 応用 – 二部マッチング • ペアをたくさん作りたい – 以下のグラフで最大流を求めれば良い 25 s t 全て容量 1
- 26. 応用 – 二部マッチング • ペアを作るのに異なるコストがかかる 場合は最小費用流 26
- 27. 応用 – DAGの最小パス被覆 • グラフをいくつかの独立したパスで 被覆したい • パス数を最小化したい 27 1 3 4 5 2
- 28. 応用 – DAGの最小パス被覆 • 二部マッチングに帰着できる 自分の次の頂点をどれにするか (頂点数) – (最大流) が答え 28 1 3 4 5 2 s t 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5
- 29. 応用 – 区間グラフ • 重み付きの区間 𝑙, 𝑟 , 𝑙, 𝑟 ∈ 𝑍 がいくつかあり, 重なる区間がK以下になるように区間を選び 重みの和を最大化したい – 0 → 6 に最小費用流を流量Kだけ流す 29 0 6431 2 5 ∞, 0 ∞, 0 ∞, 0 ∞, 0 ∞, 0 ∞, 0 1,-4 1,-9 1,-2 1,-3 cap, cost
- 30. 応用 – 区間グラフ • 最小費用流において, 初期状態で 負の辺がある場合 – 初回のみBellman-Fordしてポテンシャル計算 • 負の閉路がある場合 – 検出して予め目一杯流す 30
- 31. 応用 – 最小カット • 問題 – 始点𝑠, 終点𝑡がある – 𝑠 ∈ 𝑆, 𝑡 ∉ 𝑆なる頂点集合𝑆を求める – 以下を最小化したい 𝑢,𝑣,𝑐𝑜𝑠𝑡 ∈𝐸,𝑢∈𝑆,𝑣∉𝑆 𝑐𝑜𝑠𝑡 31 https://sites.google.com/site/beiwangludememo/sh u-xue/gurafu-li-lun/zui-dafuro-zui-xiaokatto-ding-li
- 32. 応用 – 最小カット • 問題 – 別の言い方をすれば 𝑠 − 𝑡パスが存在しなくなるように いくつか辺をカットする – カットするのにそのコストがかかる 32 https://sites.google.com/site/beiwangludememo/sh u-xue/gurafu-li-lun/zui-dafuro-zui-xiaokatto-ding-li
- 33. 最大流・最小カット定理 33 • 最大流 = 最小カット – 最大流 → 最小カット と変換することも 最小カット → 最大流 と変換することもある
- 34. 最大流・最小カット定理 34 • 証明 – 双対問題だから.
- 35. 最大流・最小カット定理 35 • 証明2 (理解しておくと最小カットの場所もわかる) – 最大流を流した残余グラフにおいて, sから到達可能な頂点集合を𝑆とし, 𝑇 = 𝑉＼Sとすると, 𝑠 ∈ 𝑆, 𝑡 ∈ 𝑇. – 𝑆 → 𝑇の辺にはめいいっぱい流れていて 𝑇 → 𝑆の辺には全く流れていない.
- 36. 最大流・最小カット定理 36 • 証明2 – これは1つのカットだから 最小カット ≤ 最大流 TS 最大流 = 辺の合計容量 = カット(のサイズ)
- 37. 最大流・最小カット定理 37 • 証明2 – 最小カット < 最大流 なるカット𝑆′が 存在したとすると矛盾 T'S' 最大流 ≤ 辺の合計容量 = 最小カット
- 38. 応用 – 最小頂点被覆 • 問題 – 無向グラフが与えられる – 頂点集合𝑆を求める – 全ての辺 𝑢, 𝑣 について 𝑢 ∈ 𝑆 または 𝑣 ∈ 𝑆 でなければならない – 𝑆 のサイズを最小化したい 38
- 39. 応用 – 最小頂点被覆 • 一般グラフの場合 最小頂点被覆の頂点数 ≥ 最大マッチングのサイズ • 証明 – 最大マッチングの各辺に接続する頂点の一方は 少なくとも被覆されていなければならない – ≠ な例 (最小頂点被覆2, 最大マッチング1) 39 1 32
- 40. 応用 – 最小頂点被覆 • 二部グラフの場合 最小頂点被覆の頂点数 = 最大マッチングのサイズ • 証明 – 最小カットに帰着できる 40 全てコスト1 s t
- 41. 応用 – 最小頂点被覆 • 証明 – 最小カットに帰着できる ･･･ なぜか – 最小カットが求まったとする – 下の例では赤い辺を3つ切るのが最小カット 41 全てコスト1 s t
- 42. 応用 – 最小頂点被覆 • 証明 – カットされる辺が 𝑠 か 𝑡 に接続していると仮定する – 接続する 𝑠, 𝑡 でないもう一方の頂点を選ぶと 頂点被覆になっている 42 s t
- 43. 応用 – 最小頂点被覆 • 証明 – なぜか – B – D 間に枝がないことを示せばよい – あったとすると, カットではない – つまりこれは頂点被覆になっている 43 A B B C D D s t A
- 44. 応用 – 最小頂点被覆 • 証明 – 仮定「カットされる辺が 𝑠 か 𝑡 に接続している」 について – 最小カットで真ん中の辺 𝑢, 𝑣 がカットされた場合 代わりに 𝑠, 𝑢 または 𝑣, 𝑡 をカットしても良い – よって 最小頂点被覆 ≤ 最小カット 44 us tv
- 45. 応用 – 最小頂点被覆 • 証明 – 逆も同様 – 最小頂点被覆が見つかったらそれと𝑠または𝑡との間の 辺を切ればカットになっている – なぜならB – D間に辺がないはずだから – よって 最小頂点被覆 ≥ 最小カット 45 A B B C D D s t A
- 46. 応用 – 最大安定集合(独立集合) • 安定集合(独立集合) – どの2点間にも辺がない頂点集合 • 最大独立集合(安定集合) は 最小頂点被覆 の補集合 46
- 47. 線形計画問題 min 𝑐 𝑇 𝑥 𝑠. 𝑡. 𝐴𝑥 ≤ 𝑏 47 min 4 −2 10 𝑇 𝑥1 𝑥2 𝑥3 𝑠. 𝑡. 1 6 8 4 2 5 𝑥1 𝑥2 𝑥3 ≤ 3 5 例
- 48. • 主問題の最適解 = 双対問題の最適解 線形計画問題 max 𝑐 𝑇 𝑥 𝑠. 𝑡. 𝐴𝑥 ≤ 𝑏, 𝑥 ≥ 0 48 min 𝑏 𝑇 𝑦 𝑠. 𝑡. 𝐴 𝑇 𝑦 ≥ 𝑐, 𝑦 ≥ 0
- 49. 線形計画問題 • 最短経路問題 49 min 10 3 5 𝑇 𝑥1 𝑥2 𝑥3 𝑠. 𝑡. −1 −1 0 0 1 −1 1 0 1 𝑥1 𝑥2 𝑥3 ≥ −1 0 1 , 𝑥𝑖 ≥ 0 t s 3 5 10 𝑥1 𝑥2 𝑥3
- 50. 線形計画問題 • 最短経路問題 (双対) 50 t s v3 5 10 𝑥1 𝑥2 𝑥3 max −1 0 1 𝑇 𝑝𝑠 𝑝 𝑣 𝑝𝑡 𝑠. 𝑡. −1 0 1 −1 1 0 0 −1 1 𝑝𝑠 𝑝 𝑣 𝑝𝑡 ≤ 10 3 5
- 51. 線形計画問題 • 最短経路問題 (双対) – 決定変数 𝑝 𝑣 𝑣 ∈ 𝑉 をポテンシャルという – 1つは適当に決めて良いので 𝑝𝑠 = 0 とする 51 𝑝𝑡 − 𝑝𝑠 𝑝 𝑣 − 𝑝 𝑢 ≤ 𝑑 𝑒 𝑓𝑜𝑟 𝑎𝑙𝑙 𝑒 = 𝑢, 𝑣 ∈ 𝐸 𝑚𝑎𝑥 𝑠. 𝑡.
- 52. 線形計画問題 • つまり, 差分制約の最大化問題は 双対をとれば最短経路問題になる！ • もちろん逆もできる 52
- 53. 線形計画問題 • 同様にして, 最大流問題の双対問題が 最小カット問題であることもわかる 53
