теоретические сведения и типовые задания по разделу «дифференциальное и интегральное исчисление функций нескольких переменных»
1. И.В. Игнатушина, Е.О. Каракулина,
В.И. Каширина, Н.А. Спиридонова
ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ И ТИПОВЫЕ ЗАДАНИЯ
ПО РАЗДЕЛУ
«ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ И ИНТЕГРАЛЬНОЕ
ИСЧИСЛЕНИЕ
ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ»
Учебно-методическое пособие
2015
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
2. МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ
РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
ОРЕНБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
И.В. Игнатушина, Е.О. Каракулина,
В.И. Каширина, Н.А. Спиридонова
ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ И ТИПОВЫЕ ЗАДАНИЯ
ПО РАЗДЕЛУ
«ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ И ИНТЕГРАЛЬНОЕ
ИСЧИСЛЕНИЕ
ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ»
Учебно-методическое пособие для студентов
физико-математических факультетов педвузов
Оренбург
2015
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
6. 5
Предисловие
Настоящее пособие адресовано студентам дневного и заочного
отделений, обучающимся по направлениям: 44.03.01 Педагогическое
образование (профили Математика, Математика и информатика,
Математика и физика), 02.03.03 Математическое обеспечение и
администрирование информационных систем, 01.03.04 Прикладная
математика, при изучении теории функций нескольких переменных.
Оно составлено в соответствии с программой этого курса. Вначале
сообщаются краткие теоретические сведения по каждому из разделов.
Затем приводятся примеры типовых заданий и демонстрируется их
решение.
В конце пособия представлены варианты контрольных работ,
перечень вопросов к зачету, задачи для подготовки к зачету, а также
список рекомендуемой литературы.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
7. 6
Часть I. Дифференциальное исчисление
функций нескольких переменных
1. Область определения функции нескольких переменных
Определение. Отображение f некоторого подмножества D
двумерного евклидова пространства R2
во множество R действительных
чисел называют действительной функцией 2-х действительных
переменных.
Обозначение функции 2-х переменных: ( )yxfz ,= .
Множество ( )fDD
обозн.
= и называют областью определения функции f.
Так как D ⊂ R2
, то геометрическим образом области определения ( )fD
является множество точек плоскости.
Пример 1. Найти и изобразить область определения функции
( ) 2
424ln yxxyz −+−−= .
Решение. Данная функция является суммой двух функций:
( )xy 24ln −− и 2
4 yx − , поэтому её область определения является
пересечением областей определения этих функций. Первая функция
определена при условии, что выражение, стоящее под знаком логарифма,
положительно, а вторая – при условии, что выражение, стоящее под
знаком квадратного корня, неотрицательно, то есть
!
"
#
≤
<+
⇔
!
"
#
≥−
>−−
.4
,42
,04
,024
22
xy
xy
yx
xy
Неравенство 42 <+ xy задаёт на плоскости
хОу полуплоскость без границы (границу
42 =+ xy изображают штриховой линией),
а неравенство xy 42
≤ задаёт часть
х
у
4
2
0
4
-2
-4
1 2 4
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
8. 7
плоскости, которая лежит внутри параболы xy 42
= , включая точки самой
параболы.
Следовательно, областью определения данной функции является
множество точек плоскости хОу, заключённых между параболой xy 42
= ,
включая её точки, и прямой 42 =+ xy , исключая её точки.
Ответ: ( ) ( ) ( ) ( ){ }xyxyyxfD 442; 2
≤∧<+∈= 2
R .
Пример 2. Найти и изобразить область определения функции
( ) 22
4
1
1arcsin
yx
yxz
−−
++−= .
Решение. Данная функция определена при условии, что
!
"
#
<+
≤−≤−
⇔
!
"
#
>−−
≤+−≤−
.4
,02
,04
,111
2222
yx
yx
ух
yx
Двойное неравенство 02 ≤−≤− yx задаёт на плоскости хОу полосу,
между прямыми 2−=− yx и 0=− yx , а неравенство 422
<+ yx задаёт
открытый круг радиуса 2 с центром в точке ( )0;0 .
Следовательно, областью
определения данной функции является
множество точек полосы, заключённых
внутри открытого круга, включая точки
прямых 2−=− yx и 0=− yx , и исключая
точки окружности 422
=+ yx .
Ответ: ( ) ( ) ( ) ( ){ }402; 22
<+∧≤−≤−∈= yхуxyxfD 2
R .
2. Предел функции нескольких переменных
Для функции нескольких переменных, как и для функции одной
переменной, существует несколько определений предела функции в точке:
х
у
0
4
2
2
-2
-2
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
9. 88
«на языке окрестностей», «по Гейне» (или «на языке
последовательностей»), «по Коши» ( или «на языке ε–δ»).
Сначала введем понятие сходимости последовательности точек на
плоскости 2
R . Напомним, что для последовательности чисел 1
Rxт ∈
соотношение axn → при ∞→n равносильно стремлению к нулю
расстояния между nx и a . На плоскости 2
R расстояние между двумя
точками ( )111 b,aM и ( )222 ,baM определяется равенством
( ) ( ) ( )2
21
2
2121, bbaaMM −+−=ρ .
Поэтому будем говорить, что последовательность точек ( ) 2
, Ryx nn ∈
сходится при ∞→n к точке ( ) 2
, Rba ∈ , если ( ) ( ) 0
22
→−+− byax nn , ∞→n .
В этом случае точку ( )ba, будем называть пределом указанной
последовательности точек ( )nn yx , и писать: ( ) ( )bayx nn ,, → при ∞→n .
Ясно, что если ( ) ( )bayx nn ,, → , то axn → и byn → ; верно и обратное
утверждение.
Например, последовательность !
"
#
$
%
& −
n
n
n
23
;
1
сходится к пределу ( )3;0 .
Теперь введем понятие предельной точки множества 2
RM ⊂ .
Определение. Точку ( )00, yx называют предельной точкой множества
2
RM ⊂ , если существует последовательность точек ( ) Myx nn ∈, ,
( ) ( )00 ,, yxyx nn ≠ , такая, что ( ) ( )00 ,, yxyx nn → при ∞→n .
Примеры. 1. Пусть ( ){ }1:, 22
<+= yxyxM , тогда множество его
предельных точек совпадает с кругом ( ){ }1:, 22
≤+= yxyxM .
2. Множество ( ){ }1:, 22
=+= yxyxG совпадает с множеством своих
предельных точек.
3. Множество ( )
!
"
#
$
%
&
∈=== Nmn
m
y
n
xyxF ,,
1
,
1
:, имеет единственную
предельную точку ( )0,0 .
Эти примеры показывают, что предельные точки множества могут и
не принадлежать ему.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
10. 9
Определение. ε-окрестностью точки ( )00 , yx называется
множество точек ( ) 2
, Ryx ∈ , удовлетворяющих неравенству:
( ) ( ) 22
0
2
0 ε<−+− yyxx , т.е. . ε-окрестность точки ( )00 , yx – это круг радиуса ε с
центром в точке ( )00 , yx .
Выколотая окрестность точки ( )00 , yx получается из обычной
окрестности этой точки путем выкалывания ее центра, т.е. ( )00 , yx .
Теперь введем понятие предела функции в точке.
Пусть точка ( )00, yx – предельная точка области определения функции
( )yxfz ,= .
Определение («на языке окрестностей»). Число A называют
пределом функции ( )yxfz ,= при ( ) ( )00 ,, yxyx → , если для любой
окрестности точки A найдется такая выколотая окрестность точки ( )00, yx ,
что для всех точек из области определения функции и этой выколотой
окрестности значения функции попадают в окрестность точки A .
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )AUyxfyxUDyxyxUAUyxfA f
def
yxyx
∈∩∈∀∃∀⇔=
⋅⋅
→
,,,,:,,,lim 0000
,, 00
.
Определение («по Коши»). Число A называют пределом функции
( )yxfz ,= при ( ) ( )00 ,, yxyx → , если для любого положительного ε найдется
такое положительное δ, что для всех точек из области определения
функции, для которых расстояние до точки ( )00, yx удовлетворяет двойному
неравенству: ( ) ( )( ) δρ << 00 ,,,0 yxyx , значения функции удовлетворяют
неравенству ( ) ε<− Ayxf , .
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )( ) δρδε <<∈∀>∃>∀⇔=
→
00
,,
,,,0:,:0,0,lim
00
yxyxDyxyxfA f
def
yxyx
,
( ) ε<− Ayxf , .
Определение («по Гейне»). Число A называют пределом функции
( )yxfz ,= при ( ) ( )00 ,, yxyx → , если для любой последовательности
точек( ) fnn Dyx ∈, такой, что ( ) ( )00 ,, yxyx nn → и ( ) ( )00 ,, yxyx nn ≠
последовательность соответствующих значений функции ( )nnn yxfz ,=
сходится к A .
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
11. 1010
( ) ( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
( )( ) .,
,,,
,,,
,
:,,lim
00
00
,
,, 00
Ayxf
yxyx
yxyx
Dyx
yxyxfA nn
nn
nn
fnn
nn
def
yxyx
→
"
#
"
$
%
≠
→
∈
∀⇔=
→
При кажущейся полной аналогии предела функции одной и
нескольких переменных существует глубокое различие между ними. В
случае функции одной переменной для существования предела в точке
необходимо и достаточно равенство лишь двух чисел – пределов по двум
направлениям: справа и слева от предельной точки 0x , в то время как уже
для функций двух переменных стремление к предельной точке ( )00 , yx на
плоскости 2
R может происходить по бесконечному числу направлений, и
потому требование существования предела у функции двух переменных
«жестче» по сравнению с функцией одной переменной.
Пример. Покажем, что функция ( ) 22
,
yx
xy
yxf
+
= не имеет предела в
точке ( )0,0 .
Рассмотрим две последовательности точек: ( )0,0
1
,
1
→"
#
$
%
&
'
nn
,
( )0,0
2
,
1
→"
#
$
%
&
'
nn
. Тогда последовательности соответствующих значений
функции будут иметь следующие пределы:
2
1
2
1
11
11
1
,
1
22
→=
+
⋅
=#
$
%
&
'
(
nn
nn
nn
f ,
5
2
5
2
41
21
2
,
1
22
→=
+
⋅
=#
$
%
&
'
(
nn
nn
nn
f .
Поскольку пределы получились разными, то по определению Гейне 22
0
0
lim
yx
xy
y
x +
∃
→
→
.
Сформулируем понятие предела для случая, когда предельная точка
имеет бесконечные координаты. Ограничимся случаем, когда ,+∞→x
+∞→y (остальное предоставляем читателю!).
Определение. Число А называют пределом функции ( )yxfz ,= при
,+∞→x +∞→y , если для 0>∀ε 0>∃K такое, что из неравенства Kx > и
Ky > следует неравенство ( ) ε<− Ayxf , .
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
12. 11
Читателю будет полезно сформулировать понятие предела функции,
когда одна координата предельной точки ( )00, yx бесконечна. Также будет
полезным упражнением доказать какое-нибудь из утверждений следующей
теоремы, являющейся аналогом теоремы об арифметических операциях
над пределами функций одной переменных.
Теорема 1. Если существуют ( )yxf
yy
xx
,lim
0
0
→
→
и ( )yxg
yy
xx
,lim
0
0
→
→
, то
( ) ( )( ) ( ) ( )yxgyxfyxgyxf
yy
xx
yy
xx
yy
xx
,lim,lim,,lim
0
0
0
0
0
0
→
→
→
→
→
→
±=± ;
( ) ( ) ( ) ( )yxgyxfyxgyxf
yy
xx
yy
xx
yy
xx
,lim,lim,,lim
0
0
0
0
0
0
→
→
→
→
→
→
⋅=⋅ ;
( )
( )
( )yxg
yxf
yxg
yxf
yy
xx
yy
xx
yy
xx ,lim
,lim
,
),(
lim
0
0
0
0
0
0
→
→
→
→
→
→
= , при ( ) 0,lim
0
0
≠
→
→
yxg
yy
xx
.
Примеры. 1. 1510
limlim
4
lim310
4
3lim
2
1
2
1
2
2
1
2
2
1
=+
⋅
−
#
#
$
%
&
&
'
(
=##
$
%
&&
'
(
+−
→
−→
→
−→→
−→
→
−→ yx
x
xy
x
y
x
y
xy
x
y
x
.
2.
3
1
2
3
7
lim
3
1
lim
sin
lim
3
1sin
lim
3
1
0
0
3
sin
lim
7
0
7
0
7
0
7
0
7
0
−=−==⋅=⋅=#
$
%
&
'
(
=
−→
→
−→
→
−→
→
−→
→
−→
→
yy
xy
xy
y
xy
xy
x
xy
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
.
3. Непрерывность функции в точке
Особый интерес представляет класс непрерывных функций. Пусть
дана функция ( )yxfz ,= с областью определения fD и пусть точка ( )00, yx –
предельная точка множества fD .
Определение. Говорят, что функция ( )yxfz ,= непрерывна в точке
( )00, yx , если:
1) ( ) fDyx ∈00 , ;
2) ( ) ( )00 ,,lim
0
0
yxfyxf
yy
xx
=
→
→
.
Выбирая одно из определений предела функции в точке, получим
соответствующее определение непрерывности функции в точке: «на языке
окрестностей», «по Гейне», «по Коши».
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
13. 1212
Определение. Говорят, что функция ( )yxfz ,= разрывна (или имеет
разрыв) в точке ( )00, yx , если:
1) либо ( ) fDyx ∉00 , , т.е. ( )00 , yxf∃ ;
2) либо ( ) fDyx ∈00 , , при этом ( )yxf
yy
xx
,lim
0
0
→
→
∃ или ( ) ( )00 ,,lim
0
0
yxfyxf
yy
xx
≠
→
→
.
Сформулируем равносильное определение непрерывности функции
в точке «на языке приращений». С этой целью через 0xxx −=Δ и 0yyy −=Δ
обозначим приращения независимых аргументов, а через
( ) ( )00 ,, yxfyxfz −=Δ .
Определение. Говорят, что функция ( )yxfz ,= непрерывна в точке
( ) fDyx ∈00 , , если выполнено равенство 0lim
0
0
=Δ
→Δ
→Δ
z
y
x
.
Определение. Точка ( ) Dyx ∈00 , называется изолированной точкой
некоторого множества D, если существует такая выколотая окрестность
этой точки, в которой нет точек из множества D.
Определение. Если функция определена в изолированной точке
области определения, то она в ней непрерывна.
Пример. Показать, что функция yx
ez 52 +
= непрерывна в произвольной
точке ( ) 2
00 , Ryx ∈ . Зададим приращения 0≠Δx и 0≠Δy , составим
приращение функции в точке ( )00, yx :
( ) ( )
( )152525252 000000
−=−=Δ Δ+Δ++Δ++Δ+ yxyxyxyyxx
eeeez .
Так как
( )( ) 111111 52525252
−+−+−−=−=− ΔΔΔΔΔΔΔ+Δ xxyxyxyx
eeeeeee ~ yxyx Δ+Δ+Δ⋅Δ 5252 ,
то ( ) 01052limlim
0
0
52
0
0
00
=ΔΔ+Δ+Δ=Δ
→Δ
→Δ
+
→Δ
→Δ
yxyxez
y
x
yx
y
x
, т.е. функция непрерывна.
Пример. Рассмотрим функцию ( ) 22
44
,
yx
yx
yxf
+
+
= . Доопределим ее в
точке разрыва ( )0,0 так, чтобы она стала непрерывной. Для этого вычислим
( ) 0
sincos
lim
sin
cos
0
0
lim 2
444
022
44
0
0
=
+
=!
"
#
$
%
&
=
=
='
(
)
*
+
,
=
+
+
→
→
→ ρ
ϕϕρ
ϕρ
ϕρ
ρy
x
yx
yx
y
x
.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
14. 13
Теперь составим функцию ( )
( ) ( )
( ) ( )!
"
!
#
$
≠
≠
+
+
=
,0,0,,0
,0,0,,
, 22
44
yx
yx
yx
yx
yxg которая и
будет искомой.
Определение. Функция называется непрерывной на множестве,
если она непрерывна в каждой точке этого множества.
На примерах функций
yx
z
−
= 2
1
и 22
1
yx
z
−
= отметим, что множества
точек разрыва функции могут представлять собой кривые, называемые
линиями разрыва: соответственно параболу 2
xy = и пару пересекающихся
прямых xy ±= .
Теорема 2. Если функции ( )yxf , и ( )yxg , непрерывны в точке ( )00 , yx ,
то этим же свойством обладают функции: ( ) ( )yxgyxf ,, ± и ( ) ( )yxgyxf ,, ⋅ , а
если ( ) 0, 00 ≠yxg , то и функция
( )
( )yxg
yxf
,
,
.
Теорема 3 (о непрерывности сложной функции). Пусть функция
( )yxfz ,= непрерывна в точке ( )00 , yx , а функции ( )τϕ ,tx = и ( )τψ ,ty =
непрерывны в точке ( )00 ,τt , где ( )000 ,τϕ tx = и ( )000 ,τψ ty = . Тогда сложная
функция ( ) ( ) ( )( )τψτϕτ ,,,, ttftFz == непрерывна в точке ( )00 ,τt .
Пример. Функция ( )22
1ln yxxyz ++= непрерывна в любой точке
( ) 2
00 , Ryx ∈ . В самом деле, так как она является суперпозицией
непрерывных функций ( ) ττ ln, ttf = , xyt = , 22
1 yx ++=τ , то ее
непрерывность следует из теоремы 3.
Определение. Точку ( ) 2
00 , RDyx ⊂∈ назовем внутренней точкой
множества D, если существует ε - окрестность этой точки, целиком
лежащая в D.
Ясно, что каждая внутренняя точка множества D является
одновременно и предельной точкой множества. Обратное, конечно, не
верно.
Определение. Множество 2
RD ⊂ называют областью, если: все его
точки внутренние, и любые две его точки можно соединить непрерывной
кривой, лежащей в D.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
15. 1414
Определение. Предельные точки области D, не принадлежащие ей,
образуют ее границу D∂ . Область D вместе с ее границей называют
замкнутой областью и обозначают D ( )DDD ∂∪= . Множество D называют
также замыканием области D.
Теорема 4 (Первая теорема Вейерштрасса). Если функция
( )yxfz ,= непрерывна на D , то она ограничена, т.е. существуют m и
M такие, что ( ) Myxfm ≤≤ , для ( ) Dyx ∈∀ , .
Теорема 5 (Вторая теорема Вейерштрасса). Если функция
( )yxfz ,= непрерывна на D , то она достигает на D своего минимального и
максимального значения, т.е. существуют ( )11, yx , ( )22 , yx D∈ такие, что
( ) ( )11,, yxfyxf ≥ и ( ) ( )22 ,, yxfyxf ≤ для ( ) Dyx ∈∀ , .
4. Частные производные и полные дифференциалы первого и
второго порядка функции нескольких переменных
Пусть ( )000 , ухМ – внутренняя точка области определения функции
( )yxfz ,= . Рассмотрим частное приращение по х (по у) этой функции в
точке ( )000 , ухМ :
( ) ( )0000 ,, yxfyxxfzx −Δ+=Δ .
( ) ( )( )0000 ,, yxfуyxfzу −Δ+=Δ
Определение. Если существует конечный
x
zx
x Δ
Δ
→Δ 0
lim , то его называют
частной производной по х функции ( )yxfz ,= в точке ( )000 , ухМ и
обозначают:
( ) ( ) ( )0000 ,или,или yxfМzМ
x
z
xx !!
∂
∂
.
Таким образом,
( ) ( )
x
yxfyxxf
x
z
x
z
x
x
x
def
Δ
−Δ+
=
Δ
Δ
=
∂
∂
→Δ→Δ
0000
00
,,
limlim .
Аналогично,
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
16. 15
( ) ( )
у
yxfуyxf
у
z
у
z
у
у
у
def
Δ
−Δ+
=
Δ
Δ
=
∂
∂
→Δ→Δ
0000
00
,,
limlim .
Определение. Функцию ( )yxfz ,= называют дифференцируемой в
точке ( )000 , ухМ , если её полное приращение zΔ в этой точке можно
представить в виде
yxyBxAz Δ⋅+Δ⋅+Δ⋅+Δ⋅=Δ βα , (1)
где А и В – некоторые действительные числа, а ( ) 0, →ΔΔ= ухαα и
( ) 0, →ΔΔ= ухββ при 0→Δх и 0→Δу .
Теорема 1 (необходимое условие дифференцируемости). Если
функция ( )yxfz ,= дифференцируема в точке ( )000 , ухМ , то существуют
её частные производные в этой точке ( )00, yxfx! и ( )00, yxfy! .
Следствие. Если функция ( )yxfz ,= дифференцируема в точке
( )000 , ухМ , то
( ) ( ) yxyyxfxyxfz yx Δ⋅+Δ⋅+Δ⋅#+Δ⋅#=Δ βα0000 ,, ,
( ) 0, →ΔΔ= ухαα и ( ) 0, →ΔΔ= ухββ при 0→Δх и 0→Δу .
Теорема 2 (о связи между дифференцируемостью и
непрерывностью). Если функция ( )yxfz ,= дифференцируема в точке
( )000 , ухМ , то она непрерывна в этой точке.
Вывод: существование частных производных функции ( )yxfz ,= в
точке ( )000 , ухМ , а также непрерывность её в этой точке являются лишь
необходимыми условиями дифференцируемости функции в точке.
Теорема 3 (достаточные условия дифференцируемости). Если
функции ( )yxfz ,= в некоторой окрестности точки ( )000 , ухМ имеет
непрерывные частные производные ( )yxfx ,! и ( )yxfy ,! , то она
дифференцируема в точке ( )000 , ухМ .
Определение. Если функция ( )yxfz ,= дифференцируема в точке
( )000 , ухМ , то выражение ( ) ( ) yyxfxyxf yx Δ⋅#+Δ⋅# 0000 ,, называют полным
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
17. 1616
дифференциалом функции в этой точке и обозначают: dz или ( )00, yxdf .
Таким образом,
( ) ( ) yyxfxyxfdz yx Δ⋅#+Δ⋅#= 0000 ,, .
y
y
z
x
x
z
dz Δ⋅
∂
∂
+Δ⋅
∂
∂
= – первая форма полного дифференциала функции.
Если х и у – независимые переменные, то их приращения совпадают
с дифференциалами, то есть dxx =Δ и dyy =Δ . Тогда получаем вторую
форму полного дифференциала функции:
dy
y
z
dx
x
z
dz ⋅
∂
∂
+⋅
∂
∂
= .
Определение. Если существует частная производная от частной
производной первого порядка функции ( )yxfz ,= , то её называют
частной производной второго порядка.
Функция ( )yxfz ,= имеет 4 частные производные 2-го порядка,
которые обозначают:
2
2
x
z
∂
∂
(читается «дэ два зет по дэ икс дважды») или ( )yxfzz xxxxх
,2 !!=!!=!! ;
2
2
у
z
∂
∂
или ( )yxfzz ууууу
,2 !!=!!=!! ;
уx
z
∂∂
∂2
(читается «дэ два зет по дэ икс дэ игрек») или ( )yxfz xуху ,!!=!! ;
ху
z
∂∂
∂2
или ( )yxfz уxух ,!!=!! э
Частные производные
уx
z
∂∂
∂2
и
ху
z
∂∂
∂2
называют смешанными.
Теорема 4. Если функция ( )yxfz ,= в некоторой точке ( )000 , ухМ
имеет непрерывные смешанные производные, то они в этой точке равны:
ху
z
уx
z
∂∂
∂
=
∂∂
∂ 22
.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
18. 17
Теорема 5. Если функции ( )tх ϕ= и ( )ty ψ= дифференцируемы в
точке 0t , а функция ( )yxfz ,= дифференцируема в соответствующей точке
( )00, yx , где ( )00 tх ϕ= , ( )00 ty ψ= , то сложная функция ( ) ( )( )ttfz ψϕ ,=
дифференцируема в точке 0t , причём её производная находится по
формуле:
dz
dt
=
∂z
∂x
⋅
dx
dt
+
∂z
∂y
⋅
dy
dt
.
Теорема 6. Если функции ( )yxuu ,= и ( )yxvv ,= дифференцируемы
в точке ( )00, yx , а функция ( )vufz ,= дифференцируема в
соответствующей точке ( )00,vu , где ( )000 , yxuu = , ( )000 , yxvv = , то
сложная функция ( ) ( )( )yxvyxufz ,,,= дифференцируема в точке ( )00, yx ,
причём её частные производные находятся по формулам:
x
v
v
z
x
u
u
z
х
z
∂
∂
⋅
∂
∂
+
∂
∂
⋅
∂
∂
=
∂
∂
и
y
v
v
z
y
u
u
z
y
z
∂
∂
⋅
∂
∂
+
∂
∂
⋅
∂
∂
=
∂
∂
.
Определение. Дифференциал от дифференциала первого порядка
называют дифференциалом 2-го порядка и обозначают ( ) zddzd 2
= .
Если х и у – независимые переменные и функция ( )yxfz ,= имеет
непрерывные смешанные производные второго порядка, то полный
дифференциал второго порядка вычисляют по формуле
2
2
22
2
2
2
2
2 dy
y
z
dxdy
yx
z
dx
x
z
zd
∂
∂
+
∂∂
∂
+
∂
∂
= .
Пример 1. Найти частные производные и полные дифференциалы
первого и второго порядков от функции
xуyхz cossin 32
+= .
Решение. 1) Сначала найдём частные производные первого порядка.
Для того чтобы найти частную производную по х, фиксируем у и
дифференцируем z как функцию одной переменной х:
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
19. 1818
( ) xyyхxyyx
x
z
y
х sinsin2cossin 3
фикс.
32
−=
"
+=
∂
∂
−
.
Для того чтобы найти частную производную по у, фиксируем х и
дифференцируем z как функцию одной переменной у:
( ) xyyхxyyx
y
z
x
y cos3coscossin 22
фикс.
32
+=
!
+=
∂
∂
−
.
Полный дифференциал первого порядка функции ( )yxfz ,=
вычислим по формуле
dy
y
z
dx
x
z
dz ⋅
∂
∂
+⋅
∂
∂
= .
Подставляя в эту формулу частные производные первого порядка,
получаем
( ) ( )dyxyyxdxxyyхdz cos3cossinsin2 223
++−= .
2) Теперь найдём частные производные второго порядка.
Частную производную второго порядка 2
2
x
z
∂
∂
вычисляем,
дифференцируя частную производную первого порядка
x
z
∂
∂
по х (при
фиксированном у):
( ) xyyxyyх
x
z
y
х cossin2sinsin2 3
фикс.
3
2
2
−=
"
−=
∂
∂
−
.
Частную производную второго порядка
уx
z
∂∂
∂2
вычисляем,
дифференцируя частную производную первого порядка
x
z
∂
∂
по y (при
фиксированном x):
( ) xyyхxyyх
уx
z
х
у sin3cos2sinsin2 2
фикс.
3
2
−=
"
−=
∂∂
∂
−
.
Частную производную второго порядка
xy
z
∂∂
∂2
вычисляем,
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
20. 19
дифференцируя частную производную первого порядка
y
z
∂
∂
по x (при
фиксированном y):
( ) xyyхxyyx
xy
z
y
x sin3cos2cos3cos 2
фикс.
22
2
−=
"
+=
∂∂
∂
−
.
Частную производную второго порядка 2
2
y
z
∂
∂
вычисляем,
дифференцируя частную производную первого порядка
y
z
∂
∂
по y (при
фиксированном x):
( ) xyyхxyyx
y
z
х
у cos6sincos3cos 2
фикс.
22
2
2
+−=
"
+=
∂
∂
−
.
Зная частные производные второго порядка, вычислим полный
дифференциал второго порядка по формуле
=
∂
∂
+
∂∂
∂
+
∂
∂
= 2
2
22
2
2
2
2
2 dy
y
z
dxdy
yx
z
dx
x
z
zd
( ) ( ) ( ) .cos6sinsin3cos22cossin2 22223
dyxyyxdydxxyyxdxxyy +−+−+−=
Пример 2. Найти частные производные и полные дифференциалы
первого и второго порядков от функции у
хz = .
Решение. 1) Сначала найдём частные производные первого порядка:
( ) 1−
⋅=#=# у
х
у
х хухz и ( ) .ln xххz у
у
у
у =!=!
Тогда полный дифференциал первого порядка вычислим по формуле
dyxxdxxydyzdxzdz yy
yх ln1
+=!+!= −
.
2) Дифференцируя каждую частную производную первого порядка и
по х и по у, найдём частные производные второго порядка:
( ) ( ) ,1 21 −−
−="="" у
х
у
хх хуухуz
( ) ( ),ln1ln 1111
xyхxхуххуz ууу
у
у
ху +=+=!=!! −−−−
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
21. 2020
( ) ( ),1lnln
1
lnln 1111
+=+=+=!=!! −−−−
xyxхxyх
x
хxyхxхz yуууу
x
у
ух
( ) .lnlnlnln 2
xхxxхxхz уу
у
у
yy =⋅="=""
Полный дифференциал второго порядка вычислим по формуле:
=!!+!!+!!= 222
2 dyzdydxzdxzzd yyxyхх
( ) ( ) .lnln121 22122
dyxxdydxxyxdxхуу yyу
+++−= −−
Пример 3. Показать, что функция х
у
еz = удовлетворяет уравнению
.0
2
=
∂
∂
+
∂
∂
−
∂∂
∂
y
z
x
z
yx
z
x
Решение. Найдём частные производные первого порядка и
смешанную производную второго порядка:
х
у
х
у
х
у
е
x
y
x
y
ее
x
z
x
⋅−=#
$
%
&
'
(
−⋅=)
#
$
%
&
'
(
=
∂
∂
22
,
х
у
х
у
х
у
е
xx
ее
y
z
y
⋅=⋅="
#
$
%
&
'
(
=
∂
∂ 11
,
х
у
х
у
х
у
х
у
х
у
е
х
у
е
xx
е
x
y
е
x
е
x
y
yx
z
y
⋅−⋅−=⋅⋅−⋅−=#
$
%
&
'
(
)
⋅−=
∂∂
∂
32222
2
111
.
Подставим найденные выражения в левую часть уравнения:
=⋅+⋅+"
#
$
%
&
'
⋅−⋅−⋅=
∂
∂
+
∂
∂
−
∂∂
∂ х
у
х
у
х
у
х
у
е
х
е
х
у
е
х
у
е
х
х
y
z
x
z
yx
z
x
11
232
2
0
11
22
≡⋅+⋅+⋅−⋅−= х
у
х
у
х
у
х
у
е
х
е
х
у
е
х
у
е
х
.
Получаем тождество, следовательно, функция х
у
еz = удовлетворяет
данному уравнению.
Пример 4. Показать, что функция !
"
#
$
%
&
+= y
x
z
2
sin2 2
удовлетворяет
уравнению .02
2
2
2
=
∂∂
∂
−
∂
∂
yx
z
x
z
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
22. 21
Решение. Найдём частную производную первого порядка по х:
( )yxy
x
y
x
y
x
x
z
х
2sin
2
1
2
cos
2
sin22
2
sin2 2
+=⋅"
#
$
%
&
'
+⋅"
#
$
%
&
'
+⋅=(
"
#
$
%
&
'
"
#
$
%
&
'
+=
∂
∂
.
Продифференцируем эту производную и по х и по у:
( )( ) ( ),2cos2sin2
2
yxyx
x
z
x +=!+=
∂
∂
( )( ) ( ).2cos22sin
2
yxyx
yx
z
y +=!+=
∂∂
∂
Подставляя найденные выражения в левую часть уравнения
( ) ( ) ,02cos22cos22
2
2
2
≡+−+=
∂∂
∂
−
∂
∂
yxyx
yx
z
x
z
получаем тождество. Следовательно, функция !
"
#
$
%
&
+= y
x
z
2
sin2 2
удовлетворяет данному уравнению.
5. Дифференцирование неявной функции
Определение. Функция ( )yxfz ,= называется неявной, если она
задается уравнением
( ) 0,, =zyxF ,
неразрешенным относительно z .
Пример 1. Уравнение 0=+−
y
x
arctgzxy задает неявную функцию
y
x
arctgxyz += .
Пример 2. Уравнение 1222
=++ zyx задает две неявные функции:
22
1 yxz −−= и 22
1 yxz −−−= .
Определение. Будем говорить, что в прямоугольном
параллелепипеде [ ]fedcba ,;,;, уравнение ( ) 0,, =zyxF задает неявную
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
23. 2222
функцию ( )yxfz ,= , если для любой точки ( )yx, , принадлежащей
прямоугольнику [ ]dcba ,;, , найдется единственное значение z из отрезка
[ ]fe, такое, что выполняется условие ( ) 0,, =zyxF .
Теорема (о существовании, непрерывности и дифференцируемости
неявной функции двух переменных).
Пусть функция ( )zyxF ,, удовлетворяет следующим условиям:
1) она определена и непрерывна в некотором замкнутом
параллелепипеде [ ]czczbybyaxaxD +−+−+−= 000000 ,;,;, с центром в точке
( )0000 ,, zyxP ;
2) значение функции ( )zyxF ,, в точке ( )0000 ,, zyxP равно нулю, т.е.
( ) 0,, 000 =zyxF ;
3) существуют частные производные ( )zyxF x ,,' , ( )zyxF y ,,' ;
( )zyxF z ,,' , которые непрерывны внутри D ;
4) ( ) 0,,' 000 ≠zyxF z ;
тогда справедливы следующие утверждения:
а) уравнение ( ) 0,, =zyxF задает неявную функцию ( )yxfz ,= в
некотором открытом прямоугольном параллелепипеде
( ) Dzzhyhyxx ∈+−+−+− εεδδ 000000 ,;,;, ;
б) ( ) 000 , zyxf = ;
в) функция ( )yxfz ,= непрерывна в открытом прямоугольнике
( )hyhyxx +−+− 0000 ,;, δδ ;
г) в открытом прямоугольнике ( )hyhyxx +−+− 0000 ,;, δδ существуют
частные производные ( ) ( )
( )yxF
yxF
yxfz
z
x
xx
,'
,'
,'' −== ; ( )
( )
( )yxF
yxF
yxfz
z
y
yy
,'
,'
,'' −== .
Частные производные неявной функции ( )yxfz ,= можно найти
другим способом. Для этого в уравнение ( ) 0,, =zyxF вместо z напишем
функцию ( )yxf ,
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
24. 23
( )( ) 0,,, =yxfyxF .
Найдем частные производные по x и y от левой и правой частей
полученного равенства, помня о том, что x и y независимые переменные,
а z − функция от них:
0=
∂
∂
∂
∂
+
∂
∂
x
z
z
F
x
F
,
0=
∂
∂
∂
∂
+
∂
∂
y
z
z
F
y
F
,
откуда найдем
z
x
F
F
x
z
!
!
−=
∂
∂
и
z
y
F
F
y
z
!
!
−=
∂
∂
.
Замечания. 1) Частные производные функции ( )nxxxfu ,...,, 21= ,
заданной неявно уравнением ( ) 0,,...,, 21 =uxxxF n находятся по формуле
u
x
k F
F
x
u k
!
!
−=
∂
∂
, где nk ,1= . (1)
2) Частные производные второго порядка находятся путем
дифференцирования по переменной mx , где nm ,1= , правой части равенства
(1)
!!
"
#
$$
%
&
'
'
−
∂
∂
=
∂∂
∂
u
x
mmk F
F
xxx
u k
2
.
Аналогично вычисляются частные производные более высокого порядка.
Пример. Найти ( )0'f и ( )0"f неявной функции ( )xfy = , заданной
уравнением 0222
=−+++− yxyxyx , если ( ) 10 =f .
Решение. Покажем, что предложенное в условии уравнение
0222
=−+++− yxyxyx действительно задает неявную функцию ( )xfy = .
Для этого проверим выполнение условий теоремы:
1) функция ( ) 2, 22
−+++−= yxyxyxyxF определена и непрерывна
на множестве 2
R , следовательно, она определена и непрерывна в любом
прямоугольнике с центром в точке ( )1;00P ;
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
25. 2424
2) ( ) ( ) 01,0, 00 == FyxF ;
3) частные производные 12' +−= yxF x , 12' ++−= yxF y непрерывны
на множестве 2
R , следовательно, и в любом открытом прямоугольнике с
центром в точке ( )1;00P ;
4) ( ) ( ) 031,0',' 00 ≠== yy FyxF ;
следовательно, справедливо следующее:
а) существует неявная функция ( )xfy = , определенная уравнением
0222
=−+++− yxyxyx ;
б) ( ) 10 =f ;
в) функция ( )xfy = непрерывна;
г) существует производная ( )
( ) 12
12
,'
),('
'
−−
+−
=−=
yx
yx
yxF
yxF
xf
y
x
.
Найдем значение первой производной в указанной точке:
( ) 0
1120
1102
0' =
−⋅−
+−⋅
=f .
Первую производную можно было получить другим способом,
продифференцировав исходное уравнение 0222
=−+++− yxyxyx по
переменной x:
0'1'2'2 =++⋅+⋅−− xxx yyyyxyx . (2)
Из полученного равенства выражаем xy' :
12
12
'
−−
+−
=
yx
yx
y x .
Если продифференцировать еще раз по переменной x равенство
( ) 1212' −−=++− xyyxy x , которое эквивалентно равенству (2), то мы сможем
получить вторую производную для функции ( )xfy = :
( ) ( ) 2''21'12" −=+−+++− xxxxx yyyyxy ,
12
2)'(2'2
"
2
++−
−−
=
yx
yy
y xx
xx
.
Теперь найдем значение второй производной в указанной точке:
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
26. 25
( )
3
2
1120
20202
0" −=
+⋅+−
−⋅−⋅
=xxy .
6. Применение дифференциала в приближённых
вычислениях
Пусть функция ( )yxfz ,= дифференцируема в точке ( )000 , ухМ ,
тогда при достаточно малых приращениях аргументов xΔ и уΔ полагают
dzz ≈Δ . Так как
( ) ( ) ( ) ( )000000 ,,,, yxfyxfyxfyyxxfz −=−Δ+Δ+=Δ ,
то ( ) ( ) ( )0000 ,,, yxdzyxfyxf ≈− или
( ) ( ) ( ).,,, 0000 yxdzyxfyxf +≈
Пример 1. Вычислить приближённо значение ( )897,202,1ln 23
−⋅ .
Решение. Пусть 97,2,02,1 == ух , тогда получим функцию
( ) ( )8ln, 23
−⋅= yxyxf . Полагая 10 =х и 30 =у , найдём приращения
аргументов
02,0102,10 =−=−=Δ ххх и 03,0397,20 −=−=−=Δ ууу .
Вычислим значение функции ( ) ( ) ( ) 01ln831ln3;1, 23
00 ==−⋅=== fyxf .
Найдём частные производные первого порядка и вычислим их значения в
точке ( )3;1 :
( ) ( )( ) ;
8
3
8ln, 23
22
23
−⋅
=#−⋅=#
yx
ух
yxyxf хх ( ) ( ) ;27
831
313
3;1, 23
22
00 =
−⋅
⋅⋅
=#=# хx fyxf
( ) ( )( ) ;
8
2
8ln, 23
3
23
−⋅
=#−⋅=#
yx
ух
yxyxf уу ( ) ( ) ;6
831
312
3;1, 23
3
00 =
−⋅
⋅⋅
=#=# уy fyxf
Вычислим значение дифференциала в точке ( )3;1 по формуле
( ) ( ) ( ) yyxfxyxfухdz yx Δ⋅#+Δ⋅#= 000000 ,,, ,
то есть
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
27. 2626
( ) ( ) ( ) ( ) 36,018,054,003,0602,0273;13;13;1 =−=−⋅+⋅=Δ⋅$+Δ⋅$= yfxfdz yx .
Следовательно,
( ) ( ) ( ) ( ) 36,036,00,,,897,2021,ln 0000
23
=+=+≈=−⋅ yxdzyxfyxf .
Пример 2. Вычислить приближённо значение oo
44tg32sin ⋅ .
Решение. Пусть oo
44,32 == ух , тогда получаем функцию
( ) yxyxf tgsin, ⋅= . Полагая o
0 30=х и o
0 45=у , найдём приращения
аргументов
ooo
0 23032 =−=−=Δ ххх и ooo
0 14544 −=−=−=Δ ууу .
Переводя градусы в радианы, получим, что
034,0
90180
2 ≈=⋅=Δ
ππ
х и 017,0
180
−≈−=Δ
π
у .
Вычислим значение функции
( ) ( ) 5,015,045tg30sin45;30, ooоо
00 =⋅=⋅=== fyxf .
Найдём частные производные первого порядка и вычислим их значения в
точке ( )oo
45;30 :
( ) ( ) ;tgcostgsin, yxyxyxf хх ⋅="⋅="
( ) ( ) ;
cos
sin
cos
1
sintgsin, 22
y
x
y
xyxyxf уу =⋅="⋅="
( ) ( ) ;
2
3
1
2
3
45tg30cos45;30, oooo
00 =⋅=⋅="=" хx fyxf
( ) ( ) .1
2
1
:
2
1
45cos
30sin
45;30, o2
o
oo
00 ===!=! уу fyxf
Вычислим значение дифференциала в точке ( )oo
45;30 по формуле
( ) ( ) ( ) yyxfxyxfухdz yx Δ⋅#+Δ⋅#= 000000 ,,, ,
то есть
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
28. 27
( ) ( ) ( )
( ) .012,0017,0034,0866,0017,01034,0
2
3
45;3045;3045;30 оооооо
≈−⋅≈−⋅+⋅≈
≈Δ⋅%+Δ⋅%= yfxfdz yx
Следовательно,
( ) ( ) ( ) 512,0012,05,0,,,44tg32sin 0000
oo
=+=+≈=⋅ yxdzyxfyxf .
7. Экстремумы функции двух переменных
Пусть функция ( )yxfz ,= определена в некоторой окрестности
точки ( )000 , ухМ .
Определение. Говорят, что функция ( )yxfz ,= имеет в точке
( )000 , ухМ максимум (или минимум), если существует проколотая
окрестность этой точки, в которой выполняется неравенство
( ) ( )00,, yxfyxf < (или ( ) ( )00,, yxfyxf > ).
Максимумы и минимумы функции ( )yxfz ,= называют её
экстремумами.
Теорема 1 (необходимое условие экстремума). Если
дифференцируемая функция ( )yxfz ,= имеет в точке ( )000 , ухМ
экстремум, то её частные производные первого порядка в этой точке равны
нулю:
( ) ( ) .0,, 0000 =!=! yxfyxf yх
Определение. Точки, в которых частные производные первого
порядка равны нулю, называют стационарными.
Теорема 2 (достаточное условие экстремума). Если функция
( )yxfz ,= дифференцируема в некоторой окрестности стационарной точки
( )000 , ухМ и дважды дифференцируема в самой точке 0М и при этом
определитель в этой точке
( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )( )2
000000
0000
0000
0 ,,,
,,
,,
yxfyxfyxf
yxfyxf
yxfyxf
М xyyyxx
yyxу
xyxx
!!−!!⋅!!=
!!!!
!!!!
=Δ
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
29. 2828
удовлетворяет следующим условиям:
1) ( ) 00 >Δ М , то в точке 0М функция ( )yxfz ,= имеет экстремум,
причём при ( ) 0, 00 >!! yxfxx – минимум, а при ( ) 0, 00 <!! yxfxx – максимум;
2) ( ) 00 <Δ М , то в точке 0М функция ( )yxfz ,= не имеет
экстремума;
3) ( ) 00 =Δ М – функция может иметь, а может и не иметь экстремум
(необходимо дополнительное исследование).
Алгоритм исследования функции ( )yxfz ,= на экстремум
1) Найти область определения функции ( )zD .
2) Найти частные производные 1-го порядка: xz! и уz! .
3) Используя необходимое условие экстремума, найти
стационарные точки, принадлежащие области определения
функции ( )zD , то есть точки в которых
!
"
#
=$
=$
.0
,0
y
x
z
z
4) Найти частные производные 2-го порядка: уyхyxx zzz !!!!!! и, .
5) В каждой стационарной точке ( )000 , ухМ определить знак
выражения ( ) ( ) ( ) ( )( )2
0000000 ,,, yxfyxfyxfM xyyyxx !!−!!⋅!!=Δ и,
пользуясь достаточным условием, сделать вывод о наличии в
этой точке экстремума функции.
Пример 1. Исследовать на экстремум функцию 768 33
−++= xуyxz .
Решение. 1) Находим область определения функции ( ) 2
R=zD .
2) Находим частные производные первого порядка:
( ) ( )уxуxхуyxz xx 2363768 2233
+=+=!−++=! ;
( ) ( )хухухуyxz yy +=+=!−++=! 2233
46624768 .
3) Находим стационарные точки, принадлежащие области
определения функции ( )zD , используя необходимое условие экстремума:
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
30. 29
( )
( )
( )
!
!
!
!
!
"
#
$
%
&
−=
−=
$
%
&
=
=
⇔
)$
)
%
&
−=
=+
⇔
)$
)
%
&
−=
=+
⇔
)$
)
%
&
=+
=+
⇔
$
%
&
=*
=*
.5,0
,1
,0
,0
,4
,0182
,4
,0216
,046
,023
,0
,0
2
3
2
4
2
2
y
x
y
x
ух
уу
ух
уу
ху
уx
z
z
y
x
Получили две стационарные точки:
( ) ( )5,0;1и0;0 21 −−ММ .
4) Находим частные производные 2-го порядка:
( ) xуxz xxx 623 2
=!+=!! ; ( ) 623 2
=!+=!! yxy уxz ; ( ) yхyz yyy 4846 2
=!−=!! .
5) В каждой стационарной точке М определим знак выражения
( ) ( ) ( ) ( )( )2
,,, yxfyxfyxfM xyyyxx !!−!!⋅!!=Δ .
а) В точке ( )0;01М :
( ) ( ) ( ) ( ) 036600,60;0,00;0,00;0 2
1 <−=−⋅=Δ⇒=%%=%%=%% Мfff xуууxx .
Следовательно, в точке ( )0;01М заданная функция не имеет экстремума.
б) В точке ( )5,0;12 −−М :
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) .0108361446246
,65,0;1,245,0;1,65,0;1
2
2 >=−=−−⋅−=Δ⇒
⇒=−%%−=−−%%−=−−%%
М
fff xуууxx
Следовательно, в точке ( )5,0;12 −−М экстремум есть. Так как
( ) 065,0;1 <−=−−""xxf , то функция в точке 2М имеет максимум
( ) ( ) ( ) ( )( ) 675,0165,0815,0;1 33
max −=−−−+−⋅+−=−−= zz .
Ответ: ( ) 65,0;1max −=−−= zz .
Пример 2. Исследовать на экстремум функцию
223
324 ухуxz ++−= .
Решение. 1) Находим область определения функции ( ) 2
R=zD .
2) Находим частные производные 1-го порядка:
( ) ( )xуххуxухуxz xx −=+−="++−=" 1666324 2223
;
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
31. 3030
( ) ( )33223
222324 хуухухуxz yy −=+−="++−=" .
3) Находим стационарные точки, принадлежащие область
определения функции ( )zD , используя необходимое условие экстремума:
( )
( )
!
!
!
!
!
!
!
!
"
#
$
%
&
−=
−=
$
%
&
=
=
$
%
&
=
=
⇔
!
!
!
!
!
"
#
)$
)
%
&
=
=
$
%
&
=
=
⇔
!
!
!
!
!
"
#
$
%
&
=
=
$
%
&
=
=
⇔
$
%
&
=−
=−
⇔
$
%
&
=*
=*
,1
,1
,1
,1
,0
,0
,
,1
,0
,0
,
,1
,0
,0
,02
,016
,0
,0
3
4
3
3
y
x
y
x
y
x
ху
х
у
х
ху
ху
у
х
ху
xух
z
z
y
x
Получили три стационарные точки:
( ) ( ) ( )1;1,1;1,0;0 321 −−МММ .
4) Находим частные производные 2-го порядка:
( ) ( )хууxхz xxx 2166 2
−="−="" ; ( ) 22
66 хуxхz yxy −="−="" ; ( ) 22 3
=!−=!! yyy хуz .
5) В каждой стационарной точке М определим знак выражения
( ) ( ) ( ) ( )( )2
,,, yxfyxfyxfM xyyyxx !!−!!⋅!!=Δ .
а) В точке ( )0;01М :
( ) ( ) ( ) ( ) .01202600;0,20;0,60;0 2
1 >=−⋅=Δ⇒=%%=%%=%% Мfff xуууxx Следо
вательно, в точке ( )0;01М заданная функция имеет экстремум. Так как
( ) 060;0 >=!!xxf , то это минимум ( ) 40;0min == zz .
б) В точке ( )1;12М :
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) .048626,61;1,21;1,61;1 2
2 <−=−−⋅−=Δ⇒−=%%=%%−=%% Мfff xуууxx
Следовательно, в точке ( )1;12М функция не имеет экстремума.
в) В точке ( )1;13 −−М :
( ) ( ) ( ) ⇒−=−−##=−−##−=−−## ,61;1,21;1,61;1 xуууxx fff
( ) ( ) ( ) 048626 2
3 <−=−−⋅−=Δ М .
Следовательно, в точке ( )1;13 −М экстремума нет.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
32. 31
Ответ: ( ) 40;0min == zz .
8. Наибольшее и наименьшее значения функции
Если функция ( )yxfz ,= непрерывна на замкнутом ограниченном
множестве 2
R⊂D , то по 2-ой теореме Вейерштрасса она имеет на этом
множестве как наибольшее, так и наименьшее значения. Эти значения
функция может принимать как во внутренних точках множества D , так и
на его границе.
Алгоритм исследования функции ( )yxfz ,=
на наибольшее и наименьшее значения
1) Изобразить на плоскости замкнутое ограниченное множество
D .
2) Найти стационарные точки внутри множества D и вычислить
значения функции в этих точках.
3) Исследовать функцию на границе множества D .
4) Из всех найденных значений функции выбрать самое большое
и самое маленькое, они и будут соответственно наибольшим и
наименьшим значениями функции на замкнутом ограниченном множестве
D .
Пример 1. Найти наибольшее и наименьшее значения функции
1642 22
+++−= xxyхyz в области, ограниченной прямыми
03,0,0 =−−== ухух .
Решение. 1) Построим на плоскости область D , ограниченную
координатными осями 0,0 == ух и прямой
03 =−− ух . Это замкнутое ограниченное
множество и данная функция непрерывна на нём,
поэтому она на этом множестве принимает и
наибольшее, и наименьшее значения.
х
у
0
4
-3
3
B
AO
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
33. 3232
2) Находим стационарные точки, лежащие внутри множества D . Для
этого сначала найдём частные производные первого порядка:
( ) ( )3226421642 22
+−=++−="+++−=" хуyxxxyхyz xx ,
( ) ( )хуxyxxyхyz yy +=+=!+++−=! 4441642 22
.
Теперь решим систему уравнений:
( )
( ) !
"
#
−=
=
⇔
!
"
#
−=
=+−
⇔
!
"
#
=+
=+−
⇔
!
"
#
=&
=&
.1
,1
,
,033
,04
,0322
,0
,0
y
x
xу
х
xy
ху
z
z
y
x
Получили стационарную точку ( )1;11 −М , которая является
внутренней точкой множества D . Вычислим значение функции в этой
точке: ( ) 41;11 =−= zz .
Заметим, что исследовать функцию на экстремум не надо.
3) Исследуем функцию на границе множества D . Поскольку граница
состоит из трёх участков, которые заданы разными уравнениями, то
исследуем функцию на каждом участке отдельно.
а) Рассмотрим участок ОА, который задаётся условиями
!
"
#
=
≤≤
.0
,30
y
x
Подставив 0=y в заданную функцию, получим 162
++−= xxz и,
следовательно, надо найти наибольшее и наименьшее значения функции
одной переменной на отрезке [ ]3;0 . Для этого найдём стационарные точки:
( ) 62162
+−="++−=" хxxz хх .
30620 =⇔=+−⇔=# ххzх .
Так как ( )3;03∉=х , то стационарных точек внутри отрезка [ ]3;0 нет.
Вычислим значения функции на концах отрезка ОА:
( ) 10;02 == zz , ( ) 100;33 == zz .
б) Исследуем функцию на участке АВ:
!
"
#
−=
≤≤
.3
,30
хy
x
Функция принимает вид:
( ) ( ) 19185163432 222
+−=++−+−−= ххxхxххz .
Находим ( ) 181019185 2
−="+−=" хxxz xx .
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
34. 33
Тогда ( )3;08,1018100 ∈=⇔=−⇔=$ xxzx .
Получили стационарную точку ( )2,1;8,13 −М . Вычислим значения функции
в точках 3М и В:
( ) ( ) ( ) =+⋅+−⋅⋅+−−⋅=−= 18,162,18,148,12,122,1;8,1 22
4 zz
8,218,1064,824,388,2 =++−−= ,
( ) 193;05 =−= zz .
в) Рассмотрим участок ВО, который задаётся условиями
!
"
#
≤≤−
=
.03
,0
у
х
Функция на этом участке принимает вид: 12 2
+= уz . Находим
уzу 2=! . Тогда
( )0;30020 −∉=⇔=⇔=$ ууzу .
Стационарных точек внутри отрезка [ ]0;3− нет, а в точках А и В значения
функции уже вычислены.
4) Сравнивая значения
41 =z , 12 =z , 103 =z , 8,24 =z , 195 =z ,
заключаем, что наибольшее значение функции 19=z достигается в
точке ( )3;0 −В , а наименьшее значение 1=z – в точке ( )0;0О .
Ответ:
( )
( ) ( ) 193;0,наиб
у,
=−=
∈
zyxz
Dх
,
( )
( ) ( ) 10;0,наим
у,
==
∈
zyxz
Dх
.
Пример 2. Найти наибольшее и наименьшее значения функции
( )ухухz −−= 42
в области, ограниченной прямыми хуух −=== 6,0,0 .
Решение. 1) Построим на плоскости область D , ограниченную
координатными осями 0,0 == ух и прямой
ху −= 6 . Это замкнутое ограниченное
множество и данная функция непрерывна на нём,
поэтому она на этом множестве принимает и
наибольшее и наименьшее значения.
2) Находим стационарные точки, лежащие
внутри множества D . Для этого сначала найдём частные производные
первого порядка:
х
у
0
4
6
3
B
AO
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
35. 3434
( )( ) ( ) ( ),23823844 2222322
уххухуyхxуухухухухухz xxx −−=−−="−−="−−="
( )( ) ( ) ( ).242444 223222322
уххухxхухухухухухz уyy −−=−−="−−="−−="
Теперь решим систему уравнений:
( )
( )
⇔
"
#
$
=−−
=−−
⇔
"
#
$
=&
=&
,024
,0238
,0
,0
2
ухх
ухху
z
z
y
x
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
"
#
$
%
&
=
=
$
%
&
=
=
$
%
&
=
=
$
%
&
=
=
$
%
&
=
=
⇔
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
"
#
$
%
&
=−−
=−−
$
%
&
=−−
=
$
%
&
=−−
=
$
%
&
=−−
=
$
%
&
=
=
⇔
.1
,2
,0
,4
,2
,0
,4
,0
,0
,0
,024
,0238
,024
,0
,024
,0
,0238
,0
,0
,0
у
х
у
х
у
х
у
х
у
х
ух
ух
ух
у
ух
х
ух
х
у
х
Получили пять стационарных точек:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )1;2,0;4,2;0,4;0,0;0 54321 МММММ ,
из которых только точка ( )1;25М является внутренней точкой
множества D . Вычислим значение функции в этой точке: ( ) 41;21 == zz .
3) Исследуем функцию на границе множества D . Граница состоит из
трёх участков, которые заданы разными уравнениями, поэтому исследуем
функцию на каждом участке отдельно.
а) Рассмотрим участок ОА, который задаётся условиями
!
"
#
=
≤≤
.0
,60
y
x
Подставив 0=y в заданную функцию, получим 0=z , то есть данная
функция постоянна на отрезке [ ]6;0 .
б) Исследуем функцию на участке АВ:
!
"
#
−=
≤≤
.6
,60
хy
x
Функция принимает вид:
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
36. 35
( )( ) ( ) ( )2322
6262646 ххххххххz −=−−=+−−−⋅= .
Находим ( ) ( ) ( )46123262 223
−=−="−=" ххххxxz xx .
Тогда ( ) !
"
#
=
=
⇔=−⇔=&
.4
,0
0460
х
х
ххzx
Получили две стационарные точки, но только 4=х является внутренней
точкой отрезка [ ]6;0 . Вычислим значения функции в точках ( )2;46М и В:
( ) 642;42 −== zz , ( ) 06;03 == zz .
в) Рассмотрим участок ВО, который задаётся условиями
!
"
#
≤≤
=
.60
,0
у
х
Функция на этом участке постоянна: 0=z .
4) Сравнивая значения
41 =z , 642 −=z , 03 =z ,
заключаем, что наибольшее значение 4=z функция имеет в точке ( )1;25М ,
а наименьшее значение 64−=z в точке ( )2;46М .
Ответ:
( )
( ) ( ) 41;2,наиб
у,
==
∈
zyxz
Dх
,
( )
( ) ( ) .642;4,наим
у,
−==
∈
zyxz
Dх
9. Производная по направлению. Градиент
Пусть функция двух переменных ( )yxfz ,= определена в некоторой
окрестности точки ( )000 , yxM . Пусть l – некоторый луч с началом в точке
0M и ( )yxМ , – произвольная точка луча, принадлежащая окрестности
( )0MU .
Определение. Производной функции ( )yxfz ,= в направлении
( )βα cos,cos=l
!
в точке ( )000 , yxM называют предел
( ) ( ) ( ).lim 0
0
0
0
M
l
z
MM
MfMf
ММ ∂
∂
=
−
→
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
37. 3636
Механический смысл производной по направлению состоит в том,
что это скорость изменения функции ( )yxfz ,= по направлению l в точке
( )000 , yxM .
Если l – единичный вектор, образующий с осями координат Ох и Оу
углы α и β, то он имеет координаты ( )βα cos,cos=l
!
.
Теорема 1. Если функция дифференцируема в точке ( )000 , yxM , то в
этой точке существует производная
l
z
∂
∂
по любому
направлению ( )βα cos,cos=l
!
, причём
( ) ( ) ( ) βα coscos 000 ⋅
∂
∂
+⋅
∂
∂
=
∂
∂
М
y
z
М
х
z
М
l
z
(1)
Определение. Градиентом функции ( )yxfz ,= в точке ( )000 , yxM
называют вектор
( ) ( ) .00 jМ
y
z
iМ
х
z
zgrad ⋅
∂
∂
+⋅
∂
∂
=
!
(2)
Так как скалярное произведение
( ) ( ) ( ) ,coscos, 00 βα ⋅
∂
∂
+⋅
∂
∂
= М
y
z
М
х
z
lzgrad (3)
то из (2) и (3) следует, что
( ) ( )lzgradM
l
z
,0 =
∂
∂
.
Поскольку
( ) !
ϕϕ coscos,
1
⋅=⋅⋅= zgradlzgradlzgrad
""
,
где ϕ – угол между векторами zgrad и l , тогда при 1cos =ϕ или 0=ϕ , то
есть если направления векторов zgrad и l совпадают, получаем
( ) .0 zgradМ
l
z
=
∂
∂
Это равенство означает, что наибольшая скорость изменения функции
достигается в направлении градиента
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
38. 37
22
наиб.
!!
"
#
$$
%
&
∂
∂
+!
"
#
$
%
&
∂
∂
==!
"
#
$
%
&
∂
∂
у
z
х
z
zgrad
l
z
.
Пример 1. Найти производную функции 22
ухz −= в точке ( )2;10M
в направлении вектора l , составляющем угол о
30=α с положительным
направлением оси Ох.
Решение. 1) Найдём частные производные:
( ) ;222
xyx
х
z
x =!−=
∂
∂
( ) .222
yyx
y
z
y −="−=
∂
∂
2) Вычислим значения частных производных в точке ( )2;10M :
( ) ;22;1 =
∂
∂
х
z
( ) .42;1 −=
∂
∂
у
z
3) Найдём направляющие косинусы вектора l :
;
2
3
30coscos о
==α ( ) .
2
1
60cos3090coscos oоo
==−=β
4) Вычислим производную данной функции в направлении
вектора l в точке ( )2;10M :
( ) ( ) ( ) 23
2
1
4
2
3
2cos2;1cos2;12;1 −=⋅−⋅=⋅
∂
∂
+⋅
∂
∂
=
∂
∂
βα
y
z
x
z
l
z
.
Пример 2. Найти производную функции ( )22
ln ухz += в точке
( )4;30M в направлении градиента функции z.
Решение. 1) Найдём градиент функции ( )22
ln ухz += . Для этого
найдём её частные производные и вычислим их значения в точке 0M :
( )( ) ( )
25
6
169
6
4;3
2
ln 22
22
=
+
=
∂
∂
⇒
+
=#+=
∂
∂
х
z
yx
x
yx
х
z
x ;
( )( ) ( )
25
8
169
8
4;3
2
ln 22
22
=
+
=
∂
∂
⇒
+
=#+=
∂
∂
y
z
yx
y
yx
y
z
y ;
( ) ( ) .
25
8
25
6
00 jijМ
y
z
iМ
х
z
zgrad
!!
⋅+⋅=⋅
∂
∂
+⋅
∂
∂
=
2) Так как zgradl = , то
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
39. 3838
.
5
2
25
10
25
8
25
6
22
==!
"
#
$
%
&
+!
"
#
$
%
&
==
∂
∂
zgrad
l
z
Для функции трёх переменных ( )zyxfu ,,= направление
{ }γβα cos,cos,cos=l , где γβα и, – углы между вектором l и
положительными направлениями осей Ох, Оу и Оz.
Тогда производная функции ( )zyxfu ,,= в направлении вектора l в
точке ( )0000 ,, zyxM вычисляется по формуле
( ) ( ) ( ) ( ) γβα coscoscos 0000 ⋅
∂
∂
+⋅
∂
∂
+⋅
∂
∂
=
∂
∂
М
z
u
М
y
u
М
х
u
М
l
u
,
где ( ) ( ) ( )000 и, М
х
u
М
х
u
М
х
u
∂
∂
∂
∂
∂
∂
– значения частных производных в
точке 0М .
Градиент функции ( )zyxfu ,,= в точке ( )0000 ,, zyxM – это вектор
( ) ( ) ( ) .000 kМ
z
u
jМ
y
u
iМ
х
u
ugrad ⋅
∂
∂
+⋅
∂
∂
+⋅
∂
∂
=
Пример 3. Найти производную функции zухu 23
= в точке
( )3;2;10M в направлении вектора MM0 , где ( )5;4;2M .
Решение. 1) Найдём вектор { }2;2;10 =MM и его длину
34410 =++=MM .
2) Вычислим его направляющие косинусы:
.
3
2
cos;
3
1
cos;
3
1
cos === γβα
3) Найдём частные производные и вычислим их значения в точке 0M :
( ) ( ) 3632133;2;13 22223
=⋅⋅⋅=
∂
∂
⇒=$=
∂
∂
х
u
zyxzyx
х
u
x ;
( ) ( ) ;1232123;2;12 323
=⋅⋅⋅=
∂
∂
⇒=$=
∂
∂
y
u
zyxzyx
y
u
y
( ) ( ) .4213;2;1 22323
=⋅=
∂
∂
⇒=$=
∂
∂
z
u
yxzyx
z
u
z
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
40. 39
4) Найдём производную данной функции в направлении вектора
lМM
обозн.
0 = в точке 0M :
( ) ( ) ( ) ( ) =⋅
∂
∂
+⋅
∂
∂
+⋅
∂
∂
=
∂
∂
γβα coscoscos 0000 М
z
u
М
y
u
М
х
u
М
l
u
.
3
2
22
3
8
812
3
2
4
3
2
12
3
1
36 =++=⋅+⋅+⋅=
Пример 4. Найти величину и направление градиента функции
zухu = в точке ( )1;1;20M .
Решение. 1) Найдём частные производные и вычислим их значения в
точке 0M :
( ) ( ) 1111;1;2 =⋅=
∂
∂
⇒=$=
∂
∂
х
u
yzxyz
х
u
x ;
( ) ( ) ;2121;1;2 =⋅=
∂
∂
⇒=$=
∂
∂
х
u
хzxyz
у
u
у
( ) ( ) .2121;1;2 =⋅=
∂
∂
⇒=$=
∂
∂
z
u
хyxyz
z
u
z
2) Найдём градиент заданной функции и его величину:
( ) ( ) ( ) ,22000 kjikМ
z
u
jМ
y
u
iМ
х
u
ugrad ++=⋅
∂
∂
+⋅
∂
∂
+⋅
∂
∂
=
.39221 22
==++=zgrad
3) Вычислим направляющие косинусы градиента:
.
3
2
cos;
3
2
cos;
3
1
cos === γβα
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
41. 4040
Часть II. Интегральное исчисление функций
нескольких переменных
1. Определение и условия существования двойного интеграла
Понятие интеграла можно обобщить на случай, когда
интегрирование проводится по двумерной области, лежащей в плоскости
хОу.
1.1. Понятие интегральной суммы для действительной функции
( )yxfz ,= двух действительных переменных, заданной в ограниченной
области D
Введем понятия разбиения и диаметра области.
Определение. Разбиением Т квадрируемой замкнутой области D
называют конечное множество { }nDDТ ,...,1= квадрируемых замкнутых
областей kD , называемых частичными областями разбиения, и
обладающих следующими свойствами:
1) никакие две частичные области не имеют общих внутренних точек;
2) объединение частичных областей составляет область D , то есть
k
п
k
DD
1=
= ∪ .
Определение. Диаметром замкнутой области называют
наибольшее расстояние между двумя точками контура этой области
(наибольшая хорда области).
Пусть в замкнутой квадрируемой области D определена
ограниченная действительная функция ( )yxfz ,= . Произведём
произвольно разбиение { }nDDТ ,...,1= области D сетью кривых и
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
42. 41
составим сумму ( )∑=
Δ⋅=
n
k
kkk Pf
1
,ηξσ , где ( )kk ηξ , – точка частичной
области kD , а kPΔ – площадь kD .
Сумму ( )∑=
Δ⋅=
n
k
kkk Pf
1
,ηξσ называют интегральной суммой
функции ( )yxfz ,= в замкнутой области D.
Интегральная сумма зависит от разбиения T и от выбора точек ( )kk ηξ , .
1.2. Понятие предела интегральных сумм
Обозначим через λ наибольший из диаметров частичных
областей kD .
Определeние. Число I называют пределом интегральных сумм σ ,
если для любого числа 0>ε существует такое число ( ) 0>= εδδ , что для
любого разбиения { }nDDТ ,...,1= замкнутой области D на части и любого
выбора точек ( ) kkk D∈ηξ , лишь только δλ < выполняется неравенство
εσ <− I .
1.3. Понятие двойного интеграла
Определение. Двойным интегралом функции ( )yxfz ,= по
области D называют конечный предел I интегральных сумм при 0→λ и
обозначают
( )dxdyyxf
D
∫∫ , .
Таким образом,
( ) ( )dxdyyxfPfI
D
k
n
k
kk ∫∫∑ =Δ⋅=
=
→
,,lim
1
0
ηξ
λ
.
В этом случае функцию ( )yxfz ,= называют интегрируемой в области D .
Необходимым условием интегрируемости функции, как и для
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
43. 4242
функции одного переменного, является её ограниченность.
Однако существуют ограниченные, но не интегрируемые функции.
Для нахождения достаточных условий интегрируемости, как и в
случае одного переменного, удобно воспользоваться теорией сумм Дарбу,
которая полностью переносится на случай двойного интеграла.
Определение. Нижней и верхней суммами Дарбу для функции
( )yxfz ,= , соответствующими разбиению Т, называют суммы вида:
( ) ∑=
Δ⋅=
n
k
kk PmTs
1
и ( ) ∑=
Δ⋅=
n
k
kk PMTS
1
,
где km и kM – точная нижняя и точная верхняя границы функции
( )yxfz ,= в частичной области kD , а kPΔ – площадь этой области.
Теорема 1 (критерий существования двойного интеграла в
терминах сумм Дарбу). Для того чтобы функция ( )yxfz ,= , ограниченная
в замкнутой квадрируемой области D , была интегрируема в этой области,
необходимо и достаточно, чтобы ( ) 0lim
0
=−
→
sS
λ
.
Важное значение в прикладных задачах имеет теорема, выражающая
достаточное условие интегрируемости.
Теорема 2. Всякая функция, непрерывная в замкнутой квадрируемой
области 2
R⊂D , интегрируема в этой области.
Имеет место и более общая теорема.
Теорема 3. Функция, ограниченная в замкнутой ограниченной
области и непрерывная в ней всюду, кроме точек, лежащих на конечном
числе кривых, являющихся графиками непрерывных функций вида
( )xfу = или ( )ygx = , интегрируема в этой области.
2. Основные свойства двойного интеграла
Они аналогичны соответствующим свойствам определённого
интеграла. Обозначим через D плоскую замкнутую квадрируемую
область.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
44. 43
Свойство 1. ( )DPdxdy
D
=∫∫ , где ( )DP – площадь области D .
Свойство 2 (линейность двойного интеграла). Если функции ( )yxf ,
и ( )yxg , интегрируемы в области D , то их линейная комбинация
( ) ( )yxgbyxfa ,, + , где R∈ba, – произвольные константы, также
интегрируема в D , причём
( ) ( )( ) ( ) ( ) .,,,, dxdyyxgbdxdyyxfadxdyyxgbyxfa
DDD
∫∫∫∫∫∫ +=+
Свойство 3. Если функция ( )yxf , неотрицательна и интегрируема в
области D , то
( ) 0, ≥∫∫ dxdyyxf
D
.
Свойство 4. Если функции ( )yxf , и ( )yxg , интегрируемы в
области D и для любых ( ) Dyx ∈, ( ) ( )yxgyxf ,, ≥ , то
( ) ( )dxdyyxgdxdyyxf
DD
∫∫∫∫ ≥ ,, .
Свойство 5. Если функция ( )yxf , интегрируема в области D , то она
интегрируема в любой замкнутой квадрируемой области D!,
содержащейся в D .
Свойство 6 (аддитивность двойного интеграла). Если область D
является объединением областей 1D и 2D , не имеющих общих внутренних
точек, в каждой из которых функция ( )yxf , интегрируема, то в области D
эта функция также интегрируема, причем
( ) ( ) ( ) .,,,
21
dxdyyxfdxdyyxfdxdyyxf
DDD
∫∫∫∫∫∫ +=
Свойство 7. Если функция ( )yxf , интегрируема в области D , то и
функция ( )yxf , интегрируема в этой области, причем
( ) ( ) dxdyyxfdxdyyxf
DD
∫∫∫∫ ≤ ,, .
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
45. 4444
3. Геометрический и физический смысл двойного интеграла
Двойной интеграл ( )dxdyyxf
D
∫∫ , по области D от неотрицательной
и непрерывной функции ( )yxfz ,= представляет собой
геометрически
• объём цилиндрического тела, ограниченного сверху
поверхностью ( )yxfz ,= , сбоку цилиндрической поверхностью с
образующими, параллельными оси Oz, и снизу областью интегрирования
D плоскости xOy ;
и физически
• массу пластины D с поверхностной плотностью ( )yxfz ,= .
4. Вычисление двойного интеграла в прямоугольных
координатах
Различают два основных вида области интегрирования.
Первый вид: область интегрирования D
ограничена слева и справа прямыми ax = и
bx = ( )ba < , а снизу и сверху – графиками
непрерывных на отрезке [ ]ba, функций
( )xyy 1= и ( )xyy 2= , где ( ) ( )xyxy 21 < ,
каждый из которых пересекается
вертикальной прямой только в одной точке.
Тогда двойной интеграл от функции
( )yxfz ,= , непрерывной в области D , равен повторному интегралу:
( ) ( )
( )
( )
.,,
2
1
∫∫ ∫ ∫=
D
b
a
xy
xy
dyyxfdxdydxyxf (1)
y=y2(x)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
46. 45
Таким образом, вычисление двойного интеграла по области 1-го вида
сводится к вычислению двух определённых интегралов, а именно: сначала
вычисляется внутренний интеграл ( )
( )
( )
( )xIdyyxf
xy
xy
=∫
2
1
, , в котором
переменная х считается постоянной, а затем вычисляется внешний
интеграл ( )dxxI
b
a
∫ .
Второй вид: область интегрирования D
ограничена слева и справа прямыми
( )dcdусу <== , и графиками непрерывных
на отрезке [ ]dc, функций ( )yxx 1= и ( )yxx 2= ,
где ( ) ( )yxyx 21 < , каждый из которых
пересекается горизонтальной прямой только в
одной точке.
Тогда двойной интеграл от функции ( )yxfz ,= , непрерывной в
области D , равен повторному интегралу:
( ) ( )
( )
( )
∫∫ ∫ ∫=
D
d
c
yx
yx
dxyxfdydydxyxf
2
1
,, . (2)
Таким образом, вычисление двойного интеграла по области 2-го вида
сводится к вычислению двух определённых интегралов, а именно: сначала
вычисляется внутренний интеграл ( )
( )
( )
( )yIdxyxf
yx
yx
=∫
2
1
, , в котором
переменная у считается постоянной, а затем вычисляется внешний
интеграл ( )dyyI
d
c
∫ .
Если область интегрирования не относится к рассмотренным
основным видам, то её разбивают на части, каждая из которых относится к
одному из них. Тогда двойной интеграл по всей области в силу свойства
аддитивности равен сумме двойных интегралов по каждой части.
y
x0
x=x2(y)
x=x1(y)
c
d
y
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
47. 4646
4.1 Вычисление повторных интегралов
Пример 1. Вычислить повторный интеграл ( )∫ ∫
−
+
0
2
2
0
cos
π
π
dxyxdу .
Решение. Запишем данный повторный интеграл в виде
( ) ( ) dydxyxdxyxdу∫ ∫ ∫ ∫
− − #
#
#
$
%
&
&
&
'
(
+=+
0
2
2
0
0
2
2
0
coscos
π
π
π
π
.
Сначала вычислим внутренний интеграл, который находится в
скобках. Считая переменную у постоянной, находим
( ) ( ) yyyyyxdxyx sincossin
2
sinsincos 2
0
2
0
−=−"
#
$
%
&
'
+=+=+∫
ππ
π
.
Теперь вычислим внешний интеграл, для чего полученную функцию
интегрируем по у в пределах от до 0:
( ) ( ) 211cossinsincos
0
2
0
2
=+=+=− −
−
∫ π
π
уydyyу .
Пример 2. Вычислить повторный интеграл ∫ ∫
+3
1
5
2
2
2
1х
dу
х
dх .
Решение.
( )∫ ∫∫∫∫ ∫ =−+⋅=⋅==
+
++ 3
1
3
1
2
2
5
22
5
2
3
1
2
3
1
5
2
2
25
1111 2
22
dxx
х
y
х
dуdx
х
dу
х
dх
x
хх
43113
33
1
3
1
3
1
2
=+−−="
#
$
%
&
'
−="
#
$
%
&
'
+= ∫ x
xdx
x
.
4.2 Расстановка пределов интегрирования в повторных
интегралах
Поскольку вычисление двойного интеграла ( )∫∫D
dydxyxf , от
функции ( )yxfz ,= , непрерывной в области D сводится к вычислению
повторного интеграла, то одним из главных моментов является
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
