-

1. 141О взаимодействии проводящих сфер в неконцентрическом сферическом конденсаторе
УДК 537.21
О взаимодействии проводящих сфер
в неконцентрическом сферическом конденсаторе
Владимир Александрович Саранин
Глазовский государственный педагогический институт им. В.Г. Короленко
427621, г. Глазов, ул. Первомайская, 25; e mail: val sar@yandex.ru
Решены задачи об определении силы взаимодействия между заземленной проводящей
сферой и меньшей заряженной сферой, не концентрично вложенной в заземленную
большую. Задачи решены в двух постановках: внутренняя сфера поддерживается при
постоянном потенциале и внутренняя сфера имеет постоянный заряд. Полученные
решения сравниваются с приближенным решением и с известным решением для
точечного заряда внутри проводящей заземленной сферы.
Ключевые слова: проводящие заряженные сферы, неконцентрический сферический
конденсатор, электростатическое взаимодействие.
1. Введение
Задача о неконцентрическом сферическом конденсаторе встречается в научной
и учебной литературе не часто. Можно указать книги [1, 2], в которых она, так или
иначе, обсуждается. В [1] найдены емкость и сила в приближении слабой
неконцентричности, в [2] вычислены емкостные коэффициенты. Чаще встречается
более простая задача о точечном заряде внутри проводящей сферы или сферической
полости в проводнике, которая является основополагающей для решения задачи о
неконцентрическомсферическомконденсаторе.Снаучно методическойточкизрения
представляет интерес получить решение задачи о нахождении силы
электростатического взаимодействия сфер в неконцентрическом сферическом
конденсаторе в полной постановке. В настоящей работе такое решение получено и
исследовано.
2. Приближение точечного заряда
РассмотримзаземленнуюпроводящуюсферурадиусаR2
,вкоторойнарасстоянии
lотеецентрапомещензарядq.Врезультатенасферепоявляетсязаряд изображениеq′.
В [3] отмечается, что заряды q и q′ обладают свойством взаимности: если q′ является
электрическим изображением q, то возможно и обратное – заряд q является
изображениемq′.Этопозволяетраспространитьхорошоизвестныйметоднахождения
заряда изображения в случае, когда заряд находится вне проводящей заземленной
сферы [3], на случай, когда заряд находится внутри сферы. Для реализации метода
выберем на сфере произвольную точку В (рис. 1) и построим треугольник ОВА,
Физическое образование в вузах. Т. 21, № 3, 2015
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

2. 142 В.А. Саранин
подобный треугольнику ОВС. Предположим, что заряд изображение q′ располагается
в вершине А. Потенциал точки В будет равен нулю, если выполняется условие
b
q
b
q
′
′
−= . (1)
Отсюда
l
R
q
b
b
qq 2
−=
′
−=′ . (2)
Рисунок 1. Точечный заряд внутри проводящей заземленной сферы. К нахождению
заряда изображения.
Видно, что величина q′ не зависит от положения точки В на сфере. Следовательно,
потенциал, создаваемый зарядами q, q′, обращается в нуль во всех точках сферы и q′
есть искомый заряд изображение. Из подобия треугольников находим также
l
R
l
2
2
=′ . (3)
Этим задача о нахождении заряда изображения исчерпывается. Заметим, что
соотношения (2) и (3), получены в задачниках [4, 5] несколько иными способами.
Отметимтакже,чтомодульзаряда изображениянеравенвеличинезарядавнутрисферы
qq ≠′ , но при этом индуцированный на внутренней поверхности сферы заряд равен
qqi −= , так что электрического поля вне сферы нет (подробнее об этом в [5]).
Для модуля силы притяжения заряда к стенке сферы получаем






−
=
−′
′
= 222
2
2
2
)1()( x
x
R
kq
ll
qqk
F ,
2R
l
x = ,
04
1
πε
=k . (4)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

3. 143О взаимодействии проводящих сфер в неконцентрическом сферическом конденсаторе
3. Приближение второго порядка для сфер
РассмотримтеперьзадачуонахождениисилыпритяжениясферырадиусомR1
с
зарядом q к внешней сфере радиуса 2R (рис. 2). Считая заряд внутренней сферы
расположенным в ее центре, найдем заряд изображение q1
и его положение, как это
было сделано выше. Заряд изображение q1
будет источником для изображения во
внутренней сфере q2
. Но теперь, чтобы на внутренней сфере сохранился заряд q надо в
ее центр поместить заряд –q2
. Такие построения можно продолжать до бесконечности,
однако для приближенного расчета силы ограничимся двумя изображениями.
Рисунок 2. Внутренняя проводящая сфера заряжена и изолирована.
Для модуля силы притяжения внутренней сферы к внешней получим
2
21
2
12
2
)()(
)(
lll
qqk
ll
qqqk
F
′′−−′
+
−′
−
= . (5)
Учитывая, что для заряда изображения во внешней сфере имеют место соотношения
(см., например, [6])
l
R
qq
′
−= 1
12 ,
l
R
l
′
=′′
2
1
, (6)
с учетом также соотношений (2) и (3) для q1
= q′ и l′, после несложных преобразований
можно получить
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

4. 144 В.А. Саранин




















−
γ
−−
γ
+
−
γ
−
−
⋅= 2
22
22
2
2222
2
2
2
)1(
1)1(
1
1
)1(
x
x
x
xx
x
R
kq
F , (7)
2
1
R
R
=γ ,
2R
l
x = .
Отметим, что в случае, когда центры сфер совпадают 0=x сила обращается в
нуль, то есть имеет место механическое равновесие. Но это равновесие абсолютно
неустойчиво – при малейшем смещении центров возникает сила, растущая по мере
увеличения смещения (это соответствует теореме Ирншоу).
4. Точное решение для сфер
Используя выражения для емкостных коэффициентов, полученные в [2] и
учитывающие бесконечное число зарядов изображений, можно получить точное
решение для силы взаимодействия сфер. Сначала получим его для случая, когда
внутренняя сфера поддерживается при постоянном потенциале U (рис. 3). Тогда
потенциальная энергия взаимодействия сфер будет равна [2]
Рисунок 3. Внутренняя сфера поддерживается при постоянном потенциале.
2
11
2
1
UcW = , (8)
где 11c – емкостной коэффициент, по данным [2], равный
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

5. 145О взаимодействии проводящих сфер в неконцентрическом сферическом конденсаторе
( )[ ] ,1shshsh
1
12
11 ∑
∞
=
−
β−−βγβγ=
n
nn
k
R
c (9)
γ
−γ+
=β
2
1
ch
22
x
.
Сила притяжения сфер будет равна
x
c
k
U
l
W
F U
l
∂
∂
=
∂
∂
= 11
2
)(
2
, (10)
где 11c выражен в единицах kR /2 (для открытой системы перед производной берется
знак «+» [2]).
Для решения задачи о нахождении силы взаимодействия в случае заданного
заряда внутренней сферы (рис. 2) применим метод, предложенный в [7, 8]. Для этого
запишем потенциалы сфер в виде
212111 QsQsU += , 1122220 QsQs += . (11)
Здесь qQ =1 –заряд внутренней сферы, Q2
–неизвестныйзарядвнешнейсферы, iks –
потенциальные коэффициенты, связанные с емкостными соотношениями [2]
2
122211
22
11
ccc
c
s
−
= , 2
122211
12
12
ccc
c
s
−
−= ,
22
1111
22
c
cs
s = . (12)
При этом kRc /222 = , 1112 cc −= . Из второго равенства (11) найдем 2Q и подставим в
первое равенство (11). Получим








−=
22
2
12
11
s
s
sqU . (13)
Послепреобразованийэтодаетожидаемыйрезультат(таккак 11c –емкостьвнутренней
сферы):
112
1
cR
kq
U ⋅= , (14)
где 11c вновьвыраженовединицах kR /2 .Подстановка U в(10)решаетпоставленную
задачу:
x
c
cR
kq
F q
l
∂
∂
⋅= 11
2
11
2
2
2
)(
2
1
. (15)
Для того, чтобы сравнить полученные решения для сил (4), (7), (10), (15), выразим
потенциал U в (10) через постоянный заряд, например, такой, который приобрела бы
внутренняя сфера, будучи концентрической с внешней. Тогда






γ+
γ
⋅=
−
=
1)( 212
21
kR
q
RRk
RqR
U . (16)
[shnβ – γsh(n – 1)β]–1
,
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

6. 146 В.А. Саранин
Ïîäñòàâëÿÿ ýòî âûðàæåíèå â (10), ïîëó÷èì
x
c
R
kq
F U
l
∂
∂






γ+
γ
⋅= 11
2
2
2
2
)(
1
. (17)
На рис. 4 представлены результаты расчетов, проделанных в математическом
пакете Mathcad для случая 25,0/ 21 =γ=RR . При этом в сумме (9) удерживалось 50
слагаемых (при удвоении числа слагаемых отличие результатов составляло менее 1 %,
поэтому полученные решения можно считать практически точными). Кривая 1
соответствует зависимости силы взаимодействия точечного заряда от величины его
смещения от центра сферы (зависимость (4), сила измеряется в единицах 2
2
2
/ Rkq ).
Кривые 2, 3, 4 соответствуют зависимостям FF /2 , FF q
/)( , FF U
/)( , то есть силам,
нормированным на силу взаимодействия точечного заряда со сферой.
Рисунок 4. Зависимость силы взаимодействия точечного заряда с заземленной сферой от
величины его смещения от центра сферы (кривая 1). Зависимости нормированных на решение
дляточечногозарядасилотрасстояниямеждуцентрамисфер:кривая2–приближенноерешение
длязаряженнойиизолированнойвнутреннейсферы,кривая3–точноерешениедлязаряженной
и изолированной внутренней сферы, кривая 4 – точное решение для внутренней сферы с
постоянным потенциалом.
Из графиков видно, что при небольших отклонениях от концентричности
приближение точечного заряда достаточно хорошо описывает ситуацию, особенно это
касается случая, когда внутренняя сфера имеет постоянный заряд. В этом случае
отклонение от точного решения не превышает 10% вплоть до расстояния между
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

7. 147О взаимодействии проводящих сфер в неконцентрическом сферическом конденсаторе
центрами равного половине радиуса большей сферы. Второе приближение с двумя
зарядами изображениями также можно считать хорошим вплоть до x = 0,6, хотя
пользоваться этим приближением не имеет особого смысла, поскольку там, где
начинается его заметное расхождение с точным решением, там же начинается
расхождение с приближением точеного заряда. Когда внутренняя сфера
поддерживается при постоянном потенциале сила взаимодействия по мере увеличения
неконцентричности растет быстрее в результате подтока заряда на сферу.
(а) (б)
Рисунок 5. То же что и на рис. 4, но для отношений радиусов сфер 1/3 (а) и 1/5 (б).
На рис. 5 для сравнения представлены зависимости сил от величины смещения
центровсферприγ =1/3(рис.5а)иγ =1/5(рис.5б).Видно,чтосувеличениемрадиуса
внутренней сферы отличие от решения для точечного заряда наступает уже при
значениях x близких к нулю.
Взадачнике[1](задача№159)путемнемалыхматематическихусилийполучено
следующее выражение для модуля силы взаимодействия сфер (внутренняя сфера с
постоянным зарядом) при малой неконцентричности l << R1,2
:
32
2
2
3
1
3
2
2
1 γ−
⋅=
−
=
x
R
kq
RR
lkq
F . (18)
На рис. 6 показаны зависимости силы взаимодействия сфер от величины
неконцентричности. Штриховая прямая 1 соответствует формуле (18), кривая 2 –
решение для случая точечного заряда, кривая 3 –точное решение (15). Все силы
выражены в единицах 2
2
2
/ Rkq .
Из графика видно, что при малой неконцентричности более простое решение в
приближении точечного заряда ближе к точному решению, чем линейное по x,
полученное в [1].
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

8. 148 В.А. Саранин
Рисунок 6. Зависимости сил от малого смещения от центра внешней сферы. Прямая 1 –
линейное приближение, полученное в [1], кривая 2 – решение для точечного заряда,
кривая 3 – точное решение.
5. Заключение
Предложен простой метод нахождения заряда изображения и силы
взаимодействия точечного заряда, вложенного внутрь проводящей сферы, со сферой.
Используя этот метод, найдено приближенное решение задачи о нахождении силы
взаимодействиядвухсфервнеконцентрическомсферическомконденсаторе.Найдено
такжеточноерешениедлясилывзаимодействиясфер,учитывающеебесконечноечисло
зарядов изображений, в рамках двух постановок задачи: внутренняя сфера имеет
заданный потенциал либо она имеет заданный заряд. Для некоторых отношений
радиусовсделанчисленныйрасчетсилспогрешностью,непревышающей1%.Показано,
чтоприближениеточечногозарядаявляетсядостаточнохорошимдлявнутреннейсферы
вплотьдорасстояниймеждуцентрамисферравногополовинерадиусавнешнейсферы.
Врамкахвсехрассмотренныхвышепостановокзадачсилавзаимодействиясферимеет
характер силы притяжения.
В заключение также отметим, что рассмотренные два случая электризации
внутренней сферы возможно не исчерпывают весь спектр постановок задач об
электростатическомвзаимодействиивложеннойнеконцентрическойсферысвнешней.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

9. 149О взаимодействии проводящих сфер в неконцентрическом сферическом конденсаторе
Литература
1. Батыгин В.В., Топтыгин И.Н. Сборник задач по электродинамике. Изд. 2 е перераб., учебное
пособие. – М.: Наука, 1970.
2. Смайт В. Электростатика и электродинамика. – М.: Иностранная лит ра, 1954.
3. Сивухин Д.В. Электричество: Учебное пособие. – 2 е изд., испр. – М.: Наука, 1983.
4. Векштейн Е.Г. Сборник задач по электродинамике. – М.: Высшая школа, 1966. – С. 149.
5. Брандт Н.Н., Миронова Г.А., Салецкий А.М. Электростатика в вопросах и задачах. Пособие по
решению задач для студентов: Учебное пособие. 2 е изд., испр. – СПб: Из дво «Лань», 2011.
6. Саранин В.А. Метод электрических изображений в задачах и экспериментах: Монография.
Изд. 2 е, испр. и доп. – М. – Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2012.
7. Saranin V.A. Energy, force and field strength in a system of two charged conducting balls. // Journal
of Electrostatics. 2013. V. 71. N 4. P. 746 753.
8. Саранин В.А., Майер В.В. Теоретические и экспериментальные исследования взаимодействия
двух проводящих заряженных шаров // УФН. 2010. Т. 180. N 10. С. 1109 – 1117.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

10. 150 В.А. Саранин
About Interaction of Conducting Spheres
in Not Concentric Spherical Capacitor
V.A. Saranin
Korolenko Glazov State Pedagogical Institute
25 Pervomaiskaya str., Glazov, 427621, Russia; e mail: val sar@yandex.ru
Received April 15, 2015 PACS: 40.20 Cv
Problemsaboutdefinitionofforceofinteractionbetweentheearthedconductingsphere
andthesmallerchargedsphere,notconcentricenclosedintheearthedbigaresolved.Problems
are solved in two statements: the internal sphere is supported at constant potential and the
internalspherehasaconstantcharge.Thereceivedsolutionsarecomparedtotheapproached
solutions and with the known solutions for a dot charge in the conducting earthed sphere.
Keywords:conductingchargedspheres,notconcentricsphericalcapacitor,electrostatic
interaction.
References
1. Batygin V.V., Toptygin I.N. Collection of Problems Electrodynamics (Nauka, Moscow, 1970) [in
Russian].
2. Smythe W. Static and Dynamic Electricity (McGraw Hill, New York, 1950).
3. Sivuhin D.V. Electricity (Nauka, Moscow, 1983) [in Russian].
4. Vekshtein E.G. Collection of Problems Electrodynamics (Vysshaya Shkola, Moscow, 1966) [in
Russian].
5. Brandt N.N., Mironova G.A.,Saletsky A.M. Electrostatics in questions and problems. The manual
under solved of problems for students: Text book (Lan’, Sankt Petersburg, 2011) [in Russian]
6. Saranin V.A. Method of Electrical Image in Problems and Experiments (Moscow Izhevsk, RKhD,
2012) [in Russian].
7. Saranin V.A. Energy, force and field strength in a system of two charged conducting balls. // Journal
of Electrostatics. 2013. V. 71. N 4. P. 746 753.
8. Saranin V.A., Mayer V.V. Interaction of two charged conducting balls: theory and experiment //
Physics – Uspekhi. Vol. 53 (10). 2010. P. 1067 1074.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»