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機械学習に必要な数学基礎
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機械学習に必要な数学基礎
1.
数学 • 線形代数 • 確率・統計 •
情報理論 ラビットチャレンジの課題として 機械学習に必要な最低限の数学知識について、よく使う公式等をまとめる。 各ページの説明は必要最低限しか記載していない。 様々な書籍、Web媒体等を参考にしているため、記号の一貫性がないので注意。 また、誤記等もあるかもなので注意。
2.
1.線形代数-覚書 • 各種行列の種類をちゃんと覚える。 • 行列はベクトルを別のベクトルに変換するもの。 •
行列式は、線形変換後に空間が何倍になるのかを示している。マイナスの場合は鏡像となる。 • 正方行列Aに対して、(A-λI)が正則行列の場合、固有値・固有ベクトルを持たない。 • 正方行列でない場合は特異値分解によって、特異値・得意ベクトルを求めることができる。 • 固有値分解/特異値分解によって効率よく計算できるようになる。 所感:図形的にイメージできるまで頑張ると多少理解しやすい。おそらく、ここからが本番。。
3.
1.線形代数-よく見る行列の種類 正方行列 正則行列・逆行列 転置行列 直交行列 対称行列 対角行列 逆行列を持つ正方行列が正則行列。逆行列を持た ない行列を特異行列という。 線形変換した空間を元に戻せるのが逆行列。というよ うなイメージ 異なる固有値に対応する固有ベクトルは直交する。 対称行列 例) 直行行列は、行列式 |A|=±1、 固有値
λ=±1 となる。例) 逆行列・転置行列のよく使う性質 対角直行行列 例) 3次正方行列 例) は余因子行列
4.
1.線形代数-行列式 3次正方行列Bの行列式はサラスの方法より以下のように計算できる。 行列式の性質 行列式は、線形変換後に空間が何倍になるのかを示している。 マイナスの場合は鏡像となる。 行列式(2次正方行列) 行列式の公式 Aut(n):n次対称群 sgn:置換の符号 |A|≠0 のときAは正則行列(逆行列が存在する) |A|=0 のときAは特異行列(逆行列が存在しない) 補足)2次正方行列Aで線形変換後の面積が0となる時、つまり、 線形従属の時、|A|=0
となり逆行列は存在しない。 逆行列・余因子行列 ※たすき掛けになっている
5.
1.線形代数-固有値・固有ベクトル 固有値・固有ベクトルの解釈 ・Av ⇒ ベクトルvの変換 ・λv
⇒ ベクトルvの長さの変換 行列Aの変換によって、向きが変わらず、長さだけが変 わるベクトルが固有ベクトル。長さが変わった倍率(スカ ラー)が固有値。 固有値分解のメリット ・A^nの計算が楽 ・主成分分析/部分空間法などのベースとなる考え方 ・数学的に直交/対角行列は色々便利そう。。。 固有値・固有ベクトル 固有値・固有ベクトルの求め方 固有ベクトルは線形独立である。 (A-λI)が正則行列なら|A-λI|≠0であり、(A-λI)^(-1)が 存在するので、x=0。 ⇒ 固有ベクトルを持たない (A-λI)が特異行列なら|A-λI|=0であり、(A-λI)^(-1)は 存在しないから、(A-λI)はx=0以外の解を持つ。 ⇒ 固有ベクトルを持つ
6.
1.線形代数-特異値分解 特異値分解 特異値・特異ベクトルの求め方 特異値分解の解釈 ・正方行列でなくても、固有値分解のメリットを享受 できるよう考えられた手法。 活用方法 ・画像をベクトルとして扱う場合、特異値分解する ことでその画像の独立した特徴を抽出できる。 ・その特徴の一部だけ用いても画像の特徴は概ね 維持される。(画像に写っているものを認識できる) ・つまり、扱うデータ容量の低減、処理高速化に繋がる。 Aは以下のようにも表せる。
7.
1.線形代数-その他よくみる式 ミンコフスキー距離 マンハッタン(市街地)距離 ユークリッド距離 チェビシェフ距離 x, y間の距離として考えると 、マンハッタン距離の場合、 d(x,y)=∑|x_{i}-y_{i}|となり理解しやすい。 他、マハラノビス距離は以下式で表られる。 D(x,y)=((x_{i}-y_{i})∑^{-1}(x_{i}-y_{i}))^{1/2} ここで∑は共分散行列である。 この他、ハミング距離、キャンベラ尺度、方向余弦などがある。 ベクトルx=(x1,…xn)を考えたとき、1≦p<∞に対して、以下をp次 平均ノルム、または
p-ノルムという。 p=1、p=2の時は正則化等でよく使う。
8.
1.線形代数-その他よくみる式 スカラーでの微分 記号の定義 ベクトルでの微分 行列での微分 便利な式
9.
2.確率・統計-覚書 • ベイズの定理、尤度・周辺確率 事後確率 =
尤度/周辺確率 × 事前確率 尤度:とあるクラスであるときの、xの確率であり、値がもっとも大きくなるクラスが最ももっともらしい 周辺確率:各クラスとの同時確率分布の和 所感:分散・共分散行列など線形代数(行列・ベクトル)に確率・統計を乗っけて計算するのがなれない
10.
2.確率・統計 平均(算術平均) 平均偏差 分散・標準偏差 算術平均のほか、 幾何平均:x_g=n√(x_1・x_2・・・x_n) 調和平均:1/x_h=1/n(1/x_1+・・・1/x_n)
11.
相関係数 順列・組み合わせ 条件付確率 2.確率・統計 スターリングの公式: 正整数nに対して、以下が成立する。 分配法則: 3つの事象A,B,Cについて考える。 次の法則が成り立つ (A⋁B)⋀C = (A⋀C)⋁(B⋀C) (A⋀B)⋁C
= (A⋁C)⋀(B⋁C) 加法定理: AとBが排反事象であるとすると、 P(A⋁B) = P(A) + P(B) となる。
12.
2.確率・統計 ベイズの定理 連続値の確率密度関数を小文字のp、離散 値の確率密度関数を大文字のPを用いて表 す。
13.
2.確率・統計 確率変数・確率分布・確率密度関数 名義尺度:あるものが他と同一かどうかという 判断のみの基準。 持家/借家、未婚/既婚、男/女 順序尺度:あるものが他より大きいなどの判断の基準 良い/悪い、多い/少ない 間隔尺度:あるものが他よりもある単位によって ~だけ多いなどの判断の基準 ℃、cm、分 比尺度:あるものが他よりもある単位によって~倍だけ 多いなどの判断の基準 身長(長さ)、体重(重さ)
14.
2.確率・統計 累積分布関数 期待値
15.
2.確率・統計 分散と標準偏差 分散V(X)は、期待値を使うことで簡単に求め ることができる。
16.
2.確率・統計-おもな離散型の確率分布 二項分布 ポアソン分布 この他、幾何分布、負の二項分布、一様分 布などがある。 二項分布のグラフ ポアソン分布のグラフ
17.
2.確率・統計-おもな連続型の確率分布 正規分布 正規分布のグラフ
18.
2.確率・統計-おもな連続型の確率分布 指数分布 指数分布のグラフ この他、ガンマ分布、ベータ分布、一様分布、 コーシー分布、対数正規分布、ワイブル分布 などがある。
19.
3.情報理論 • 情報量は確率が低い事象ほど大きい値となる。 • エントロピーは、確率分布の偏りが大きいほど小さい値になる。 •
KL情報量は、2つの確率分布の自己情報量差の期待値を取っている。 • 交差エントロピーはpのエントロピーにpのqに対するKL情報量を足したもの。 所感:直感的なイメージをつかむまでが大変。
20.
3.情報理論 自己情報量 シャノンエントロピー(期待値) M=2(確率p, 1-p)のときのエントロピー H(X) =
-plog(p)-(1-p)log(1-p) =ℋ(p) ℋをエントロピー関数という。 p=0 or 1 のとき、最小値 0 p=0.5のとき、最大値 1 p ℋ(p) エントロピーの性質 M個の値をとる確率変数Xのエントロピー H(X)は次の性質を満たす。 (1)0≦H(X)≦log M (2)H(X)が最小値0となるのは、ある値を取る 確率が1で他のM-1個の値を取る確率が すべて0の時に限る。すなわち、Xの取る値 が初めから確定している場合のみである。 (3)H(X)が最大値logMとなるのは、M個の値 をすべて等確率1/Mでとる場合に限る。
21.
3.情報理論 カルバック・ライブラー情報量 カルバック・クライスラー情報量は非対称のため DKL(p||q) ≠ DKL(q||p)となる。 交差エントロピー
22.
3.情報理論 結合エントロピー
23.
参考文献 • 線形代数レクチャーノート:http://minami106.web.fc2.com/math/linear_lecture.pdf • HEADBOOST:https://www.headboost.jp/linear-algebra/#21 •
統計学入門:東京大学出版会 • はじめてのパターン認識(平井有三):森北出版株式会社 • 情報理論:http://www-ikn.ist.hokudai.ac.jp/~arim/lecture/info_theory/ • 他wikipedia、youtubeなど
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