Xấp xỉ hàm đa điều hòa dưới Bởi hàm green đa cực.doc

Tải tài liệu tại sividoc.com
Viết đề tài giá sinh viên – ZALO:0973.287.149-TEAMLUANVAN.COM
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM
VŨ KHẮC NGHỊ
XẤP XỈ HÀM ĐA ĐIỀU HÒA DƢỚI
BỞI HÀM GREEN ĐA CỰC
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
THÁI NGUYÊN - 2018

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM
VŨ KHẮC NGHỊ
Ngành: Toán giải tích
Mã số: 8.46.01.02
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Ngƣời hƣớng dẫn khoa học: PGS.TS. Phạm Hiến Bằng
THÁI NGUYÊN - 2018

LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi. Các kết quả
nêu trong Luận văn là trung thực và chưa từng được ai công bố trong bất kì
công trình nào khác.
Tôi xin cam đoan rằng mọi sự giúp đỡ cho việc thực hiện Luận văn này đã
được cảm ơn và các thông tin trích dẫn trong Luận văn đã được chỉ rõ nguồn gốc.
Thái Nguyên, ngày 11 tháng 4 năm 2018
Tác giả
Vũ Khắc Nghị
i

LỜI CẢM ƠN
Lời đầu tiên, em xin trân trọng kính gửi đến PGS.TS. Phạm Hiến Bằng,
người thầy hết lòng vì học trò, tấm lòng biết ơn chân thành và sâu sắc nhất.
Thầy là người động viên, giúp đỡ, chỉ bảo tận tình trong quá trình giảng dạy
cũng như trong quá trình hướng dẫn để em có thể hoàn thành tốt luận văn này.
Em cũng xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến quý thầy, cô của khoa Toán
trường Đại học Sư phạm Thái Nguyên; các thầy, cô của khoa Toán trường Đại
học Sư phạm Hà Nội và các thầy, cô của Viện Toán học Việt Nam đã tận tình
giảng dạy để em có được những kiến thức quý báu làm hành trang trong quá
trình học tập và nghiên cứu sau này.
Xin chân thành cảm ơn các thầy, cô thuộc phòng Đào tạo trường Đại học
Sư phạm Thái Nguyên đã tạo điều kiện thuận lợi cho em về các thủ tục hành
chính trong suốt quá trình học tập tại trường.
Em cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành đến Ban Giám Hiệu, đặc biệt là
các thầy, cô trong tổ Toán, trường THPT Phú Bình, tỉnh Thái Nguyên đã tạo
mọi điều kiện thuận lợi để em yên tâm hoàn thành tốt luận văn này.
Lời cuối cùng, tôi cũng không quên gửi lời biết ơn sâu sắc đến gia đình
tôi và lời tri ân đến tất cả bạn bè tôi, những người đã luôn ở bên tôi động viên
và giúp tôi vượt qua mọi khó khăn trong quá trình thực hiện luận văn này.
Vũ Khắc Nghị
ii

MỤC LỤC
Lời cam đoan................................................................................................................................... i
Lời cảm ơn........................................................................................................................................ii
Mục lục..............................................................................................................................................iii
Mở đầu...............................................................................................................................................1
Chƣơng 1. Các kiến thức chuẩn bị...............................................................................3
1.1. Hàm đa điều hòa dưới.............................................................................................3
1.2. Hàm đa điều hòa dưới cực đại............................................................................4
1.3. Hàm cực trị tương đối.............................................................................................5
1.4. Toán tử Monge-Ampère phức............................................................................7
1.5. Nguyên lý so sánh Bedford và Taylor...........................................................9
1.6. Hàm Green đa phức................................................................................................ 12
Chƣơng 2. Xấp xỉ hàm đa điều hòa dƣới bởi hàm Green đa cực 19
2.1. Xấp xỉ các condenser bởi các hàm chỉnh hình ....................................... 19
2.2. Xấp xỉ các condenser bởi các hàm Green.................................................. 27
2.3. Xấp xỉ của các hàm đa điều hòa dưới bởi các hàm Green
đa cực................................................................................................................................................. 34
Kết luận........................................................................................................................................... 38
Tài liệu tham khảo................................................................................................................... 39
iii

MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Lý thuyết đa thế vị dùng để nghiên cứu các hàm đa điều hòa dưới đối
với giải tích phức nhiều biến có nhiều ứng dụng quan trọng hơn lý thuyết thế
vị đối với giải tích phức một biến, nhưng trong lý thuyết nhiều biến vẫn thiếu
nhiều phương pháp có thể sử dụng được trong trường hợp cổ điển. Tuy nhiên,
nhiều kết quả đẹp đẽ của lý thuyết thế vị vẫn chưa được chứng minh hoặc
không đúng trong lý thuyết đa thế vị. Chẳng hạn, định lý biểu diễn Riesz phát
biểu rằng, thứ nhất, một hàm điều hòa dưới trên một miền tốt D là tổng của
một hàm điều hòa dưới với giá trị biên bằng 0 và một hàm điều hòa. Thứ hai,
một hàm điều hòa dưới u với giá trị biên bằng 0 là giới hạn của một tổ hợp
tuyến tính với các hệ số dương của các hàm Green trong L1
(D). Do đó, định
lý quan trọng này cho một mô tả đầy đủ về các hàm như vậy. Phát biểu thứ
nhất không xảy ra đối với các hàm đa điều hòa dưới nếu các hàm điều hòa
được thay thế bởi các hàm đa điều hòa. Đối với phát biểu thứ hai ta gặp một
số trở ngại. Đầu tiên, trong lý thuyết thế vị tổ hợp tuyến tính của các hàm
Green với hệ số dương là điều hòa ngoài các cực của nó. Trong lý thuyết đa
thế vị có sự tương tự của các hàm Green đã được giới thiệu bởi V. P.
Zahariuta trong [8] và được gọi là các hàm Green đa cực. Chúng là các hàm
cực đại, tức là, (dd c
g)n
0 ngoài các cực, nhưng tổng u của các hàm Green đa
cực (dd c
u)n
, nói chung, không bằng 0 ngoài các cực. Trong [6], Poletsky đã
chứng minh rằng trong L1
(D), các hàm Green đa cực là trù mật trong nón các
hàm đa điều hòa dưới với giá trị biên bằng 0. Trường hợp đặc biệt của
định lý này là xấp xỉ của hàm cực trị tương đối của một tập compact đa
chính qui K . Zahariuta [8] đã chỉ ra rằng tồn tại các xấp xỉ với sự hội tụ đều
ngoài K . Trong [9] Zahariuta và Skiba đã chỉ ra sự tồn tại xấp xỉ khi n 1. Vấn
đề tồn tại của các xấp xỉ nhiều biến đã được đặt ra bởi Zahariuta (xem
1

[8]). Gần đây, Aytuna, Rashkovskii và Zahariuta đã chứng minh điều đó cho
cặp miền Reinhardt (xem [2]).
Theo hướng nghiên cứu này chúng tôi chọn: “Xấp xỉ hàm đa điều hòa
dưới bởi hàm Green đa cực” là đề tài nghiên cứu. Đề tài có ý nghĩa thời sự, đã
và đang được nhiều nhà toán học trong và ngoài nước quan tâm nghiên cứu.
2. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu
2.1. Mục đích nghiên cứu
Nghiên cứu bài toán xấp xỉ của các hàm đa điều hòa dưới bởi các hàm
Green đa cực.
2.2. Nhiệm vụ nghiên cứu
+ Trình bày một số tính chất và kết quả cơ sở trong lý thuyết đa thế vị.
+ Trình bày một số kết quả về xấp xỉ hàm đa điều hòa dưới bởi hàm
Green đa cực.
3. Phƣơng pháp nghiên cứu
Sử dụng phương pháp của lý thuyết đa thế vị phức.
4. Bố cục của luận văn
Nội dung luận văn gồm 39 trang, trong đó có phần mở đầu, hai chương
nội dung, phần kết luận và danh mục tài liệu tham khảo, được viết chủ yếu
dựa vào các tài liệu [1] và [6].
Chương 1: Trình bày một số tính chất và kết quả cơ sở trong lý thuyết
đa thế vị: hàm đa điều hòa dưới, hàm đa điều hòa dưới cực đại, hàm cực trị
tương đối, toán tử Monge-Ampère, nguyên lý so sánh Bedford và Taylor, hàm
Green đa phức.
Chương 2: Là nội dung chính của luận văn, trình bày lại chi tiết một số
kết quả của Poletsky về xấp xỉ hàm đa điều hòa dưới bởi hàm Green đa cực.
Cuối cùng là phần kết luận trình bày tóm tắt kết quả đạt được.
2

CHƢƠNG 1
CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
1.1. Hàm đa điều hòa dƣới
Định nghĩa 1.1.1. Cho là một tập con mở của n
và u : , là
một hàm nửa liên tục trên và không trùng với trên bất kỳ thành phần
liên thông nào của . Hàm u được gọi là đa điều hòa dưới nếu với mỗi
a và b n
, hàm u(a b) là điều hòa dưới hoặc trùng trên
mỗi thành phần của tập hợp : a b .
Kí hiệu PSH( ) là lớp tất cả các hàm đa điều hòa dưới trong .
Sau đây là một vài tính chất của hàm đa điều hòa dưới:
Mệnh đề 1.1.2. Nếu u, v PSH( ) và u v hầu khắp nơi trong , thì u v .
Mệnh đề 1.1.3. Hàm đa điều hòa dưới thỏa mãn nguyên lý cực trị trong miền
bị chặn, tức là nếu là một tập con mở liên thông bị chặn của n
và
u PSH( ), thì hoặc u là hằng hoặc với mỗi z ,
u (z ) sup lim sup u (y).
y
y
Định lý 1.1.4. Cho là một tập con mở trong n
. Khi đó
i) Họ PSH( ) là nón lồi, tức là nếu , là các số không âm và
u, v PSH( ) , thì u v PSH( ).
3

ii) Nếu là liên thông và u
j
j PSH( ) là dãy giảm, thì
u lim u j PSH( ) hoặc u .
j
iii) Nếu u : , và nếu u j j
PSH( ) hội tụ đều tới u trên các tập
con compact của , thì u PSH( ).
Định lý 1.1.5. Cho là một tập con mở của n .
i) Cho u, v là các hàm đa điều hòa trong và v 0. Nếu : là
lồi, thì v (u / v) là đa điều hòa dưới trong .
ii) Cho u PSH( ), v PSH( ), và v 0 trong . Nếu : là
lồi và tăng dần, thì v (u / v)là đa điều hòa dưới trong .
iii) Cho u, v PSH( ), u 0 trong , và v 0 trong . Nếu
: [0, ) [0, ) là lồi và (0) 0 , thì v (u / v ) PSH( ).
1.2. Hàm đa điều hòa dƣới cực đại
Định nghĩa 1.2.1. Cho n là tập mở và u PSH( ) . Ta nói u là hàm
đa điều hòa dưới cực đại trên và viết u MPSH( ) nếu với mọi tập con
mở, compact tương đối G và mọi hàm v ,
nửa liên tục trên trên G
v PSH (G) và v u trên G thì v u trên G .
Sau đây là một vài tính chất của hàm đa điều hòa dưới cực đại:
Mệnh đề 1.2.2. Cho n
là tập mở và u PSH( ). Khi đó các khẳng
định sau là tương đương:
i) Với mọi tập con mở compact tương đối G và mọi hàm v PSH( ),
4

nếu lim inf(u (z ) v (z )) 0, với mọi G , thì u v trong G ;
z
ii) Nếu v PSH( ) và với mỗi 0 tồn tại một tập compact K sao
cho u v trong K , thì u v trong .
iii) Nếu v PSH( ), G là một tập con mở compact tương đối của , và
u v trên G thì u v trong G ;
iv) Nếu v PSH( ), G là một tập con mở compact tương đối của , và
lim inf(u(z ) v(z)) 0, với mỗi G , thì u v trong G ;
z
v) u là hàm cực đại.
1.3. Hàm cực trị tƣơng đối
Định nghĩa 1.3.1. Giả sử là một tập con mở của n
và E là tập con của
. Hàm cực trị tương đối đối với E trong được định nghĩa là :
uE , (z ) sup v(z ) : v PSH ( ), v 1, v 0 (z
).
E
Sau đây là một vài tính chất cơ bản của các hàm cực trị tương đối:
Mệnh đề 1.3.2. Nếu E1 E2 1 2 thì
u
E ,
1
u
E ,
1
u
E , .
1 2 2 2
Định nghĩa 1.3.3. Miền bị chặn n gọi là miền siêu lồi nếu tồn tại một
hàm : ( , 0) đa điều hòa dưới âm, liên tục sao cho với c 0
z : (z ) c .
Mệnh đề 1.3.4. Nếu là miền siêu lồi và E là một tập con compact tương
đối của , thì tại điểm bất kỳ ta có lim uE , (z) 0 .
z

5

Mệnh đề 1.3.5. Cho n
là tập mở liên thông, và E . Khi đó các
điều kiện sau tương đương :
i) u* 0 ;
E,
ii) Tồn tại hàm v PSH( ) âm sao cho E z : v(z )
Mệnh đề 1.3.6. Cho là tập con mở liên thông của n
. Giả sử
E E
j
, trong đó E với j 1,2,... . Nếu u*
0 với mỗi j ,
j j Ej ,
thì u*
0 .
E,
Mệnh đề 1.3.7. Cho là tập con siêu lồi của n
và K là một tập con
compact của . Giả thiết rằng { j } là một dãy tăng những tập con mở của
sao cho và K
1
. Khi đó lim u (z ) u (z ), z .
j
j j K , j K ,
1
Chứng minh. Lấy điểm z0
rằng K {z0 } 1 . Giả sử
1 trên K . Lấy (0,1)
sao cho tập mở 1
(( ,
. Không mất tính tổng quát, ta có thể giả sử
0 là một hàm vét cạn đối với sao cho
sao cho (z0 ) . Khi đó tồn tại j0
)) là tập compact tương đối trong j0 . Lấy
u PSH( j ) sao cho u 0 trên j và u 1 trên K . Khi đó
0 0
v (z)
max {u(z ) , (z )}, z
(z ), z
xác định một hàm đa điều hòa dưới; hơn nữa v 1 và v 0. Như vậy
K
v(z 0 ) u K, (z0 ). Vì u là một phần tử tùy ý của họ uK , j0 , nên ta có
6

u
K , (z 0 ) u K , (z0 )
j0
Do đó, ta có uK , (z 0 ) uK , (z 0 ) uK , (z0 ) với mọi j j0 và
j j
nhỏ tùy ý, suy ra điều phải chứng minh.
1.4. Toán tử Monge-Ampère phức
Cho là một miền trong n
và u PSH( ). Giả sử u C 2
() khi đó
dd c
u
n 2u
2i dz j dzk ,
j ,k 1 z j zk
trong đó d , d
c
i( ), dd c
2i . Toán tử:
(dd c
u )n
: (dd c
u ) ... (dd c
u ) 4n
n ! det
2u dV ,
z j
z
k 1 j ,k
n n
với dV là yếu tố thể tích trong n được gọi là toán tử Monge-Ampère. Toán
tử này có thể xem như độ đo Radon trên , tức là phiếm hàm tuyến tính liên
tục trên không gian các hàm liên tục với giá compact C0( ) trên
C0( ) (dd c
u)n
.
Bedford và Taylor đã chứng minh rằng nếu u là đa điều hòa dưới bị
chặn địa phương trên thì tồn tại dãy {um }m 1 PSH( ) C sao cho
u u và {(dd c
u )n
} hội tụ yếu tới độ đo Radon trên tức là:
m m
lim (dd c
u )n
d , C
0
( ) .
m m
Hơn nữa không phụ thuộc vào việc chọn dãy {um } như trên, ta ký hiệu:
7

(dd c
u)n
và gọi là toán tử Monge-Ampère của u .
Mệnh đề 1.4.1. Giả sử C p , p là (p, p) dạng lớp C
trên tập mở
n
và T là (q , q) dòng với p q n 1. Khi đó
(dd c
T )n
dd c
T d ( d c
T d c
T ) .
Mệnh đề 1.4.2. Giả sử
tụ yếu tới độ đo Radon
{ } là dãy các độ đo Radon trên tập mở n
hội
j
. Khi đó
a) Nếu
G là tập mở thì (G ) lim inf (G).
j j
b)
Nếu
K
là tập compact thì (K ) lim sup (K).
j
j
c) Nếu E compact tương đối trong sao cho ( E) 0 thì
(E ) lim (E).
j
j
Mệnh đề 1.4.3. Giả sử n
là miền bị chặn và u, v PSH ( ) Lloc ( )
sao cho u, v 0 trên và lim u(z) 0 . Giả sử T là (n 1, n 1) dòng
z
dương, đóng trên . Khi đó
vdd c
u T udd c
v T .
Đặc biệt, nếu lim v (z) 0 thì vdd c
u T udd c
v T .
z

8

1.5. Nguyên lý so sánh Bedford và Taylor
Định lý 1.5.1. Giả sử n
là miền bị chặn và u, v PSH ( ) L ( )
sao cho lim inf(u(z ) v(z )) 0 . Khi đó
z
(dd c
v )n
(dd c
u)n
. (1.1)
u v u v
Chứng minh. Theo giả thiết ta có lim inf(u(z ) v(z )) 0 , nghĩa là với mọi
z
0 tồn tại K sao cho z K thì u(z ) v(z ) . Hơn nữa khi
thay u bởi u , >0, thì {u v } {u v} khi 0 . Nếu bất
đẳng thức (1.1) đúng trên {u v} thì cho 0 suy ra (1.1) đúng trên
{u v}. Vì vậy có thể giả sử lim inf(u(z ) v(z )) 0 . Vậy
z
{u v} .
a) Giả sử u, v là các hàm liên tục. Khi đó {u v} là tập mở, u, v liên
tục trên và u v trên . Với 0, đặt u max{u , v}.
Từ giả thiết lim inf(u (z ) v (z )) suy ra u(z ) v(z ) hay
z
u(z ) v(z ) v(z ) với z gần biên . Vậy u u(z ) gần biên
và u v trên . Theo công thức Stokes ta có
(dd c
u )n
(dd c
u)n
, hay
(dd c
u )n
(dd c
u)n
.
u v u v
Vì u v nên (dd c
u )n
(dd c
v)n
. Vậy ta có
9

(dd c
v )n
lim inf (dd c
u )n
(dd c
u)n
.
u v
0
u v u v
b) Giả sử u, v tùy ý và là miền sao cho u v / 2 . Tồn tại
hai dãy uj và vk các hàm đa điều hòa dưới trơn trên lân cận của giảm tới
u và v sao cho u j vk trên với mọi i, k . Có thể coi 1 u j , vk 0 .
Lấy 0 và giả sử G là tập mở sao cho C n (G, ) , u, v là các hàm
liên tục trên G . Theo Định lí Tietze tồn tại hàm liên tục trên sao
cho v trên F G . Ta có
(dd c
v )n
lim (dd c
v)n
.
u v
j
u j v
Nhưng {u j v } {u j } G và vì {uj } là tập mở nên
(dd c
v )n
(dd c
v )n
(dd c
v )n
lim (dd c
vk )n
,
G
k
u j v u j u j v
vì C
n
(G, ) và (dd c
v )n
hội tụ yếu tới (dd c
v)n
.
k
Từ {u j } {u j v } G và {u j v } {u j vk } suy ra
(dd c
v )n
(dd c
v)n
(dd c
v )n
(dd c
v)n
.
k k k k
u j u j v G u j vk
Áp dụng a) vào các hàm liên tục uj và vk ta thu được
(dd c
v )n
(dd c
u)n
.
k j
u j vk u j vk
10

Do đó
(dd c
v )n
lim inf lim inf (dd c
uj )n
2
u v
j k
u
j
v
j
lim sup (dd c
uj )n
2 .
j
u
j v
Hơn nữa
(dd c
u j )n
(dd c
uj )n
u
j v
u
j v F
và do {u v } F là tập compact và {u j v } {u v} nên ta có
lim sup (dd c
u j )n
(dd c
u )n
(dd c
u)n
.
j
u v F u v
u j v F
Do 0 tùy ý nên ta được
(dd c
v )n
(dd c
u)n
.
u v u v
Từ đó với mọi 0 ta có
(dd c
v )n
(dd c
(u ))n
(dd c
u)n
.
u v uv u v
Nhưng
{u v } {u v} và {u v } {u v}
khi 0 . Do đó
(dd c
v )n
(dd c
u)n
.
u v u v
11

Hệ quả 1.5.2. Giả sử n
là miền bị chặn và u, v PSH ( ) L ( )
sao cho lim inf(u(z ) v(z )) 0 , (dd c
u )n
(dd c
v)n
trên . Khi đó u v
z
trên .
Hệ quả 1.5.3. Giả sử n là miền bị chặn và u, v PSH( ) L ( ) sao
cho lim inf(u(z ) v(z )) 0 và (dd c
u)n
0 . Khi đó u v trên .
z
u v
1.6. Hàm Green đa phức
Định nghĩa 1.6.1. Giả sử n là một miền và a . Hàm Green đa
phức của với cực tại a được xác định bởi
g ,a (z ) g (z , a)
sup{u(z ) : u PSH ( ),u(z ) log || z a || C (u ) khi z a}
Mệnh đề 1.6.2. Nếu (a, R) thì
g (z , a) log|| z a || .
R
Chứng minh. Có thể coi a 0,R 1. Từ định nghĩa, rõ ràng ta có
g (a, 0) log || z ||. Giả sử (0,1) {0}. Xét hàm
v(t ) g (t , 0) log | t ||| ||, t (0, 1 ).
|| ||
Hàm v (t ) là hàm điều hòa dưới trên (0, 1 ){0} và với mỗi
|| ||
(0, 1 ) ta có lim sup v(t ) 0 . Từ định nghĩa hàm Green đa phức
|| || t
12

có thể thấy v bị chặn trong lân cận của t 0 . Do đó, dùng định lí khử kì dị
suy ra v điều hòa dưới trên (0, 1 ). Ta được g ( , 0) log || || . Vậy
|| ||
g (z , 0) log || || .
Mệnh đề 1.6.3. Giả sử và là các miền trong n
và a . Khi đó
1) Nếuthì g (z , a ) g (z , a).
2) Nếu và là tập cực thì
g (z , a ) g (z , a ), z .
3) Nếu R r 0 và (a, r ) (a, R) thì
log || z a || g (z , a ) log || z a || , z .
R r
4) Nếu bị chặn thì z g (z , a) là hàm điều hòa dưới âm có cực logarit
tại a .
5) Nếu f :là một ánh xạ chỉnh hình thì
g (f (z ), f (a )) g (z , a ), z .
6) Nếu là bị chặn thì z g (z , a) là cực đại trong {a} , nghĩa là
(dd c
g (z , a ))n
0, z {a}
Chứng minh. 1) Suy từ định nghĩa.
2) Dùng định nghĩa và định lí khử kì dị đối với hàm đa điều hòa dưới.
13

3) Từ Mệnh đề 1.6.2 và tính chất 1) ta có
g (a ,R )(z , a ) g (z , a ) g (a ,r )(z , a)
và được điều phải chứng minh.
4) Do là bị chặn và từ tính chất 3) suy ra hàm (g (, a)) là hàm đa điều
hòa dưới âm, có cực logarit tại a . Vậy (g (, a )) g (, a). Từ đó hàm
g (, a) là hàm đa điều hòa dưới âm có cực logarit tại a .
5) Giả sử a và u là hàm đa điều hòa dưới âm trên có cực logarit tại
f (a). Khi đó u f PSH( ,[ , 0)) và
u( f (z )) log || z a ||
u( f (z )) log f (z ) f (a ) loglog || f (z ) f (a) || o(1) ,
a ||
|| z
khi z a . Vậy u f có cực logarit tại a . Do đó u f (z ) g (z , a). Từ đó
g (f (z ), f (a )) g (z , a ), z .
6) Giả sử a , G {a} và v PSH( {a}) sao cho v g (,a)
trên G . Đặt
u (z)
max(v(z ), g (z , a )), z G
g (z , a ), z G
Hàm u thuộc lớp xác định g (,a). Do đó v g (,a) trên G . Vậy hàm
z g (z , a) là cực đại trên {a} .
14

Mệnh đề 1.6.4. Nếu { j }j n là dãy tăng và j thì g g .
j
j
1
Chứng minh. Lấy a và có thể coi a 1
.
Ta chứng minh
g (z , a ) g (z , a) với mọi z . Nếu có j mà g (, a) thì kết quả
j j
là hiển nhiên. Giả sử g (, a ) PSH( j
)
với mọi j . Từ Mệnh đề 1.6.3 1)
j
dãy {g (, a)}j giảm và g(z )=lim j g (z , a ) g (z , a) với mọi z .
j j
Mặt khác g 0 và do tính chất 3) của Mệnh đề 1.6.3, g có cực logarit tại a .
Vậy g (z ) g (z , a) với mọi z .
Mệnh đề 1.6.5. Giả sử r , R 0 sao cho ( , r ) ( , R) . Khi đó
log R u (z ) g (z , ) log r u (z)
( , ), ( , ),
với mọi 0 r và z (,).
Kí hiệu: PSH ( ; a ) PSH( )
L
loc
(
{a }) và
C
0 ( ;a ) {
C
0 : sup p (d ) {a}} ;ta có
Bổ đề 1.6.6. Không gian C 0 ( ;a) là trù mật trong C0( ) .
Chứng minh. Giả sử a 0 và C0( ), 0. Do liên tục đều trên
nên có 0 sao cho với mọi z , , || z || thì | (z) ()| .
Giả sử và có thể coi 0 d(supp , ). Đặt
(z)
(0), z (0, )
|| z ||
1
)z ), z
((1 (0, )
15

Khi đó C0( ), là hằng số trong một lân cận của 0 và || || .
Như vậy tập { C0( ) : là hằng số trong một lân cận của 0} là trù
mật trong C0( ) . Nhưng dùng tích chập, có thể xấp xỉ mỗi hàm thuộc bởi
những hàm thuộc C0 ( ; 0). Do đó bổ đề được chứng minh.
Mệnh đề 1.6.7. Giả sử n
là tập mở và u PSH ( ; a) . Khi đó tồn tại
độ đo Borel dương trên sao cho với mỗi dãy giảm
{u j } j PSH( )
L
loc
(
) hội tụ điểm tới u trên , dãy độ đo Borel dương
{(dd c
uj )n
}j hội tụ yếu tới . Khi đó đặt (dd c
u)n
.
Chứng minh. Nếu C0 ( ; a) thì supp dd c
{a}. Vậy
(dd c
u )n
u j (dd c
u j )n 1
dd c
u(dd c
u )n 1
ddc
khi j . Theo bất đẳng thức Chern-Levine-Nirenberg và định lí Banach-
Alaoglu, tập {(dd c
u )n
}
1
là compact tương đối trong tôpô yếu. Bởi vậy nó
j j
hội tụ yếu trên C 0 ( ;a). Nhưng theo Bổ đề 1.6.6, C 0 ( ;a) trù mật trong
C0( ) nên nó hội tụ yếu trong C0( ) tới độ đo .
Mệnh đề 1.6.8. Giả sử a n và R 0 . Nếu u(z) log || z a || với
R
z n thì (dd c
u)n
(2 )n a , ở đây a là độ đo Dirac tại a .
Chứng minh. Hàm u thuộc PSH (
n
; a) và theo Mệnh đề 1.6.7, tồn tại
(dd c
u)n
. Mặt khác u(z ) log || z || log || 1 a / z || log R , nên
u L . Do đó
16

(dd c
u)n
(2 )n
.
n
Nhưng trên mọi hình cầu (a, t ), t 0 , hàm u cực đại trên (a, t ) {a}.
Do đó
(dd c
u )n
(dd c
u)n
.
(a ,t ) {a}
Từ đó
(2 )n
(dd c
u )n
(dd c
u)n
. Vậy (dd c
u)n
(2 )n
a .
n {a}
Định lí 1.6.9. Giả sử n
là miền bị chặn và a . Giả sử
u, v PSH( ) C( ,[ , ))sao cho u 1
( ) v 1
( ) {a} và
u v trong {a} , lim supv (z) 1 (1.2)
z a u (z)
Khi đó
(dd c
u )n
({a }) (dd c
v )n
({a}).
Chứng minh. Thay bằng một lân cận nhỏ hơn của a , có thể giả sử u, v
liên tục đến biên của và u v 0 trên . Lấy 0 sao cho
|| u || 1 1 inf {v(z ) - u(z)}.
1 z
Khi đó với (0, ), u / (1 ) v trên . Do giả thiết (1.2), với mỗi
(0, ), 0 sao cho (a, ) và u / v 1 trên (a, ) {a}.
Đặt
17

{z : u(z ) / (1 ) v(z )} {a}.
Tập là một lân cận compact tương ứng với mỗi a trong . Dễ thấy
{a}. Vậy do nguyên lí so sánh ta có
(0, )
1 u
n
n
(dd c
u )n
({a }) dd c
dd c
v .
(1 )n
1
Cho 0 ta được kết quả cần chứng minh.
Hệ quả 1.6.10. Giả sử n
là miền bị chặn, a . Khi đó
(dd c
g )n
(2 )n a
.
18

CHƢƠNG 2
2.1. Xấp xỉ các condenser bởi các hàm chỉnh hình
Định nghĩa 2.1.1. [6] Một tập mở D n
gọi là siêu lồi mạnh nếu tồn tại
một hàm đa điều hòa dưới liên tục và
trên một lân cận V của D
D { 0}. Hàm được gọi là hàm vét cạn.
Một hàm âm u trên D có giá trị biên bằng 0 nếu
lim inf u(z) 0 .
zD
Định nghĩa 2.1.2. [6] Cho W {w1,..., wm } là một tập hữu hạn trong D . Ta nói
rằng một hàm đa điều hòa dưới u là cực đại ngoài W và có các cực logarit
tại các điểm của W nếu với mỗi w j W đều có một số aj 0 , gọi là trọng của u
tại w j , và một số c sao cho
a j log | z w j | c u(z ) a j log | z w j | c
gần w j , u là bị chặn địa phương trên D W và (dd c
u)n
0 trên D W .
Đối với các hàm như thế toán tử Monge-Ampère vẫn có thể được định
nghĩa hợp lý. Chẳng hạn, nguyên lý so sánh vẫn xảy ra (xem [4, Ch.6]). Ta có
m
(dd c
u )n
(2 )n
an
j w ,
j 1
j
và nếu các giá trị biên của u là lớn hơn c , thì
m
(dd c
max{u, c})n
(2 )n
an
j . (2.1)
D j 1
19

Ví dụ: Lấy các hàm chỉnh hình f1,..., fn trên D sao cho f1 ... fn 0 có các không
điểm đơn tại các điểm của W . Khi đó hàm
v log max | f1 |,...,| fn |
là cực đại ngoài W và có cực logarit có trọng bằng 1 tại mỗi điểm của W .
Định nghĩa 2.1.3. [6] Cho D là miền siêu lồi mạnh. Nếu với mỗi cách chọn các
trọng a j , đều có một hàm đa điều hòa dưới g D (z ,W ) liên tục và cực đại
ngoài W , có cực logarit với trọng a j tại các điểm của W và có giá trị biên bằng
0, thì g D (z ,W ) được gọi là hàm Green đa cực (hay gọi là hàm Green).
Định nghĩa 2.1.4. [6] Một condenser đa chính qui K (K 1,..., Km , 1,..., m ) là
một hệ các tập compact đa chính qui K m
K
m 1 ... K 1 D D K0
và các số m m 1
... 10
0 : (z ) (z , K , D ) PSH(D)
liên tục với giá trị biên bằng 0, Ki { i
}
và là cực đại trên
int K i 1 Ki với mọi 1 i m . Hàm (z , K , D) được gọi là hàm cực trị
tương đối của condenser K trong D .
Chú ý rằng, không phải mỗi cách chọn các tập Ki và các số i đều có thể
nhận được một condenser. Tuy nhiên, nếu u là một hàm đa điều hòa dưới liên
tục trên D và các tập K i {u i } là đa chính qui thì K có hàm cực trị
tương đối liên tục.
Hình cầu bán kính r tâm z được kí hiệu là B(z , r) , S (z , r ) B(z , r) ,
m(A) là độ đo Lebesgue của A .
20

Cho K (K 1,..., Km , 1,..., m ) là một condenser đa chính qui trong
một tập mở siêu lồi mạnh D với một hàm vét cạn xác định trên một lân
. Giả sử các tập compact D j
{ 1 / j} thuộc V , với mọi
cận V của D
j 1, 2,.... Lấy (z ) (z , K , D) và Dr {z D : (z ) r} .
Giả sử f ,..., f là các hàm chỉnh hình trên D j
, p là một số nguyên
1 N
dương và
v(z ) sup1 log f (z)
p
1 k N
k
. (2.2)
Ta nói rằng các hàm f1,..., fN và số nguyên p xấp xỉ K đối với 0 nếu
với mọi 1 i m đều tồn tại các số i
,
0 i , sao cho:
(1)
2
i 1
,
1 i m;
i i i
(2) v(z ) (z ), 1 k N , z ;
D
(3) Nếu Fi , 1 i m , là hợp của tất cả các thành phần liên thông của
tập hợp {v i
i
}
Ki , thì Fi D
i
2
.
i i
Đặt Gi intFi . Vì v trên D , nên K i Gi . Khi đó ta có Gi Fi .
Tập {v i i } là nửa giải tích nên có một số hữu hạn các tập
compact có giao với các thành phần liên thông giao nhau trong D j
và đặc biệt
. Vì Fi D , nên nó có một lân cận U mà không có mặt một thành
là trong D
phần nào của {v i i }. Điều đó có nghĩa là Gi là một đa diện giải tích.
Bổ đề 2.1.5. [6] Giả sử p là số nguyên và các hàm f1,..., fN chỉnh hình trên
D j
xấp xỉ K đối với 0 . Khi đó tồn tại 0 sao cho đối với các hàm
21

h ,...,h chỉnh hình trên D j
với chuẩn h , các hàm g
k
f h ,
1 N k D k k
1 k N , xấp xỉ K đối với và p .
Chứng minh. Trước hết, | f | e p
a trên với a 0 nào đó và mỗi
D
K
1 k N . Nếu a thì | gk
| ep
.
Lấy đủ bé sao cho 1
1 i m . Nếu z Gi thì
e
p (
i
i ) e b
i
p
, trong đó 0 b
i
, với mọi
i
e
p(
i i
)
với k nào đó. Bây giờ ta có
f (z )
k
g k (z )
trong đó i i bi và 0
v (z )
e
p (
i i
)
1e
p (
i i
)
ep(
i i
)
,
i i với 1 i m . Từ đó ta có
1 (z)
sup log g .
p i i
1 k N
k
Cho Gi là phần trong của hợp
F
i các thành phần liên thông của
{z D j
: v (z )
i i
} giao với K . Nếu F là một trong những thành
i
phần liên thông của Fi thì nó chứa một điểm của Ki và do đó giao với thành
phần liên thông G của Gi . Vì v i i trên Gi , nên G phải chứa F .
Như vậy Fi Gi Fi . Tương tự ta có Gi Gi . Khi đó tồn tại i i sao
cho Fi D 2 . Chọn đủ bé sao cho i i với mọi 1 i m . Khi đó
ii i
Fi D 2 , và bổ đề được chứng minh.
i ii
Bổ đề sau đây chỉ ra sự tồn tại của các xấp xỉ chỉnh hình.
Bổ đề 2.1.6. [6] Với 0 đủ bé và số nguyên j bất kì luôn p nguyên
dương và các hàm chỉnh hình f ,..., f trên D j
đối với .
xấp xỉ K trên D
1 N
22

Chứng minh. Giả sử 2
với 1 i m . Lấy số thỏa mãn
i
0 min{ 2
/ 2, } và a 0 đủ lớn sao cho a . Khi đó
1 trên D
max { , a } trên D
a trên D j
D
là hàm đa điều hòa dưới trên D j
. Theo Định lý xấp xỉ Bremermann ([7]) tồn
tại một số nguyên dương p và các hàm chỉnh hình f1,..., fN trên D j
sao cho
(z ) v(z ) sup1 log f (z )
p
1 k N
k
trên D2 j
. Nhưng trên D . Do đó
v 0 trên D và v trên D , nên v
2
trên D D , nên (z ) v(z ) (z ) trên
(z)
v trên D . Vì
trên D D . Từ v
D .
Do bất đẳng thức thứ hai, ta có
A {v i
} D 2
.
i
Từ đó, với 1 i m , hợp Fi tất cả thành phần liên thông của A có giao với
Ki cũng nằm trong D 2 . Suy ra p và f1,..., fN xấp xỉ K đối với .
i
Định lý sau đây xấp xỉ một condenser bất kỳ bởi n hàm chỉnh hình.
Định lý 2.1.7. [6] Với 0 đủ bé và số nguyên j đủ lớn tùy ý luôn tồn tại
một số nguyên p và n hàm chỉnh hình f1,..., fn trên D j
xấp xỉ một condenser
đa chính qui K đối với và hệ phương trình f1 ... fn 0 chỉ có một
nghiệm đơn trong D .
23

Chứng minh. Giả sử N n là số nhỏ nhất các hàm chỉnh hình f1,..., fN trên
D j
xấp xỉ K đối với với p nào đó. Lấy một xấp xỉ tùy ý như vậy. Theo Bổ
đề 2.1.5 xấp xỉ đó là ổn định đối với 0 nào đó. Lưu ý rằng không một
hàm nào trong các hàm đã chọn đồng nhất bằng 0. Như trong chứng minh Bổ
đề 4 trong [3], ta có thể tìm các hàm chỉnh hình h ,...,h trên Dj 1 sao cho
2 N
h 2 j và ánh xạ ( f f 1
h ,..., f f 1
h ) là tầm thường, nghĩa là, nó
k D 2 1 2 N 1 N
có các nghịch ảnh không chiều của các giá trị của mỗi điểm trên D2 j
. Vì
| f1 | 1 hàm g k
f
k
h
k
f
1
trên D , nên theo Bổ đề 2.1.5 các với
k 2,..., N và g 1 f1 xấp xỉ K đối với và p .
Thay các hàm fi bởi các hàm gi , nghĩa là fi : gi . Ta sẽ chứng minh
rằng với số nguyên q đủ lớn tồn tại một số p sao cho p và các hàm f q
f q
,
k 1
2 k N xấp xỉ K đối với . Phép chứng minh suy ra từ các bước của
Định lí 2 trong [3].
Thật vậy, lấy a 1 và j j sao cho | f | a trên j1 với mọi
D
1 k
1 k N . Từ đó, ta
có
fk
q
f1
q 1 trên D j
1 khi q lớn hơn q0 nào đó. Trên Ki ,
fk
q
f1
q 2e
pq
i e
( pq ln 2/
i
)
i e
p
i ,
trong đó p pq và là số nguyên nhỏ nhất lớn hơn ln 2 / i với
mọi 1 i m . Lưu ý rằng 0 . Giả sử q q 1 q0 , sao cho p 0 với
mọi i . Khi đó fk
q
f1
q
khi q q .
ep
trên D 1
24

Ta sẽ chỉ ra rằng D
i i
Gi . Vì i i i 1 , nên D
i
nằm trong
i
2
phần trong Vi 1 của Ki 1. Vì i 1 , nên Gi D Vi 1 .
i i i
i
2
ii
Mặt khác Gi Ki nên đạt cực đại trên Vi 1 Gi . Biên của Vi 1
G
i gồm
biên của Vi 1 , trong đó i 1 , và biên của Gi , trong đó v i
i
.
Do tính cực đại của trên Vi i , nên ta có
1 G i i trên Vi 1 Gi . Do
Gi
G
i
đó D Gi . Nhưng i i trên nên suy ra D . Từ đó ta
ii i i
có thể tìm được 0 sao cho
D
i i
Gi Gi Fi D 2
i ii
với mọi 1 i m .
Lấy tập mở U i D
i
2 sao choGi là đa diện giải tích với hệ
i i
(U , g ,..., g
Ni
), trong đó g
ki
e
p(
i i
)
f , nghĩa là,
i 1i k
Gi {z U i : g ki (z ) 1, 1 k N }
(xem [3]). Ta cũng lấy tập mở U i Ui chứa G i . Đặt Vi U i D . Vi là
i i
một lân cận của Gi . Lân cận này là tập compact tương đối trong Ui . Vì
i i
trên V G D và | f | ep
, nên ta có
i i i i k
| g
ki
| r 1
e
p(
i i
)
1 trên V G , với mọi 1 k N . Theo Định lý 2
i i i
của [3], tồn tại q 2 q1 đủ lớn sao cho với mọi q q2 và mọi 1 i m ,
hợp Ri
và mọi thành phần liên thông của tập
của D
q i i
{z Vi : ri
q
g ki
q
g Ni
q 1, 2 k N }
25

là một đa diện với hệ
giao với D
ii
(U , r q
(g q
g q
),..., r q
(g q
gq
)).
i
D
i i i 2 i 1i iNi 1i
Nhắc lại rằng p pq , 0 , và
v 1 f q
f q
sup log
p
2 k N
k 1
. Từ đó suy ra
trên D
pq( i i ) (p )( i ) p ( i )
(
i )
p ( )
( i )
p ( i )
i
p i
khi
( i i
)
.
i i p
Lấy q 3 q2 và i với mọi q q3
sao cho U i D
ii
2 và mọi i .
i
Cho F là thành phần liên thông của Fi {v i i } có giao với Ki .
Ta chỉ ra rằng F Gi . Nếu z 0 F Ki thì
g ki
q
(z 0 ) g 1
q
(z 0 )
e
pq (
i i
)
fk
q
(z 0 )f1
q
(z 0 ) e
pq (
i i
)
ep
i 1 .
Do đó z
0
thuộc một trong các thành phần R của tập Ri
. Nếu z
1
R thì
q
gq (z ) g q
(z ) 1 với số k nào đó. Từ đó ta có
ki 1 11
fk
q
(z 1 ) f1
q
(z 1 )
e pq ( i i )
[g ki
q
(z 1 ) g 1
q
(z 1 )]
e pq (
i i
)
ep (
i i
)
,

26

hoặc v (z )
i i
. Do đó F R Ri
. Vì R i
U
i
D 2 , nên các
1 q q i ii
hàm f q
f q
, 2 k N , xấp xỉ K đối với .
k 1
Do đó N n . Ta sẽ chỉ ra rằng các hàm mới có thể được điều chỉnh
sao cho hệ phương trình f1 ... fn 0 chỉ có các không điểm đơn.
Giả sử rằng hệ phương trình f1 ... fn 0 không có các không
điểm đơn. Ma trận Jacobian f ( f1,..., fn ) không đồng nhất 0, vì nếu không
thì mọi điểm của D sẽ nằm ngoài đường cong phức, ở đó v là hằng số.
Nhưng v 1 trên K1 và v 1 1 trên G1 .
Xấp xỉ của ta là ổn định với một 0 nào đó. Theo Định lý Sard, tồn
tại một điểm (c ,..., c ) n sao cho f là không suy biến tại tất cả các nghịch
1 n
ảnh của điểm đó và | ck | với mọi k . Đặt g ifi ci . Khi đó hệ phương
trình g 1 ... gn 0 chỉ có các không điểm đơn trong D , và xấp xỉ K đối
với và p .
2.2. Xấp xỉ các condenser bởi các hàm Green
Bổ đề sau đây sử dụng sự tồn tại xấp xỉ chỉnh hình của các hàm cực trị
tương đối của các condenser đa chính qui để đạt được xấp xỉ một vài loại hàm
cực trị bởi các hàm Green với độ đo Monge-Ampère được điều chỉnh.
Bổ đề 2.2.1. [6] Cho K (K 1,..., Km , 1,..., m ) là condenser đa chính qui
trong một miền siêu lồi chặt D n
. Khi đó tồn tại dãy số dương j 0 ,
hàm Green g j trên D , và với mỗi 1 i m , các số ij i hội tụ đến i
và các tập mở Vij , Wij (Wmj 0) sao cho
D
W
ij D
V
ij D ,
ij i ij
27

g
j
i trên Vij , gj ij trên Wij , các cực của g j nằm trong hợp của
i m , và
các tập Z i j Vi j Wi j , 1
(dd c
)n
j (dd c
g j )n
(ddc
)n j
.
Z
i j
Z
i j
Z
i j
Chứng minh. Với mỗi 1 i m , ta chọn một dãy tăng các số ij
i
và
ij i
. Đặt K
2 i 1,j
K
i
, K
2 i , j
i 1 ij D . Lấy 2 i 1,j
ij
2 i , j ij . Bây giờ ta sẽ xây dựng một condenser đa chính qui K j
thành bởi một họ các tập compact Kij và các số ij
.
sao cho
i và
được tạo
Chú ý rằng (z , K , D ) (z , K j
, D) với mọi j . Với mỗi j ta chọn một dãy
các hệ các hàm chỉnh hình f ,..., f và các số nguyên p
j
xấp xỉ K j
đối với
1j nj
j1 / j . Giả sử rằng các hệ f1 j ...
f
nj 0 chỉ có các nghiệm đơn và
các số j đủ nhỏ sao cho
aj
ij i 1,j j
1
1
2
j
ij i 1,j j j
với mọi 1 i 2m . Đặt
v 1
sup log f
j
1 k n
p
j kj
.
Ta thêm chỉ số j vào tất cả các tham số của xấp xỉ sao cho
2
i 1,j
, K
ij
G
ij
G
ij D 2 và
ij ij ij
ij ijij
vj ij ij trên Gij .
Lấy các hàm phụ
28

ij
(1
ij
)(
ij ij
2 ) và v v
j ij ij
.
ij ij
Khi đó trên Gij ta có vij 0 và ij 0. Vì ij trên Kij và vj trên
D , nên trên đó ta có
ij
(1
ij
)(
ij ij
2 )
ij
(
ij ij
2 )
ij
(
ij ij
2 )
ij ij
ij ij ij
(
ij
2 ) v .
ij ij
Do đó tập
F
ij {vij ij
} G
ij chứa
K
ij và compact trong
G
ij . Theo
nguyên lý so sánh, ta có
(dd c
v j )n
(dd c
v ij )n
(ddc
ij )n
.
G
ij
F
ij
F
ij
Do tính cực đại của ij trên Gij Kij nên ta nhận được
(dd c
v j )n
(dd c
ij )n
(1 j ) (ddc
)n
. (2.3)
G
ij
G
ij
G
ij
Bây giờ ta lấy tập Pij các cực của vij nằm trong Gij và lập hàm Green
gij trên D với các cực trong Pij với trọng là 1 / pj . Các hàm gij có các
i 1, j
cực với trọng tương tự vj trong Pij , và
g
ij 0 trên D . Vì vậy
i 1, j
g
ij vj i 1,j trên D .
i 1, j
Lấy ij
a
j
(
i 1,j
)
ij
v
ij 0 trên D và
i 1, j
D và vijmax {gij , ij i 1,j ij } . Khi đó
i 1, j
ij vij trên Gij , vì ở đó ij ij i 1,j
ij
.
Vì gij ij trên Gij
ij i 1,j và đạt cực đại trên DG ij , nên ta có
i 1, j
ij vij trên D i 1, j
. Theo nguyên lý so sánh, ta có
29

(dd c
v ij )n
a
j (ddc
)n
.
D D
i 1, j i 1, j
Theo (2.3), ta có
(dd c
v ij )n
(ddc
g ij )n
,
D D
i 1, j i 1, j
Do tính cực đại của gij và trên D G ij , nên ta nhận được
i 1, j
(dd c
v j )n
(dd c
g ij )n
a j (ddc
)n
. (2.4)
G
ij
G
ij
G
ij
Vì
(dd c
)n
(ddc
)n
,
G
2 i , j
G
2 i 1, j
nên theo (2.3) và (2.4) ta có
(dd c
v j )n
(dd c
v j )n
2
(ddc
)n
. (2.5)
j G
G G
2 i , j 2 i 1, j 2 i 1, j
Bây giờ với 1 i m , đặt Vij
G
2 i 1,j và Wij G2 i , j . Với mỗi j , xét
hàm Green g j trên D có các cực với trọng 1 / pj tại các cực đó của vj nằm
trong G2 m 1 (G2 i 1, j G2 i , j ), 1 i m 1. Theo định nghĩa của g j và (2.4),
(dd c
g j )n
(dd c
v j )n
1
1
(ddc
)n
.
j
V V V
ij ij ij
Mặt khác, ta có
(dd c
g j )n
(dd c
v j )n
m 1
(dd c
vj )n
.
k i G
V
ij
V
ij G2 k 1, j
2 k , j
Theo (2.3) và (2.5),
30

(dd c
g j )n
1
2m
(ddc
)n
.
j
V
ij
V
ij
Đặt j2m / j và j 2 j(ddc
)n
. Do các bất đẳng thức trên, ta có
D
(dd c
g j )n
(dd c
g j )n
(dd c
gj )n
Z
i j
V
i j
V
i 1, j
(1 j ) (dd c
)n
(1 j
)
(ddc
)n
V
i j
V
i 1, j
(ddc
)n j
.
Z
ij
Tương tự, ta có
(dd c
g j )n
(1 j ) (dd c
)n
(1 j
)
(ddc
)n
.
Z
ij
V
ij
V
i1, j
(ddc
)n
j
Z
ij
Vì g j vj trên D , nên gj i trên Vij và gj ij trên Wij . Bổ đề
được chứng minh.
Định lý 2.2.2. [6] Giả sử dãy các hàm Green g j trên D thỏa mãn các điều
kiện của Bổ đề 2.2.1. Khi đó dãy g j hội tụ đều đến (z ) (z, K , D) trên tập
compact trong D Ki , 1 i m . Hơn nữa, nếu là một hàm liên tục
i 1
trên thì
lim ( (z ))(dd c
g j )n
( (z ))(ddc
)n
.
j D D
, trong đó Zij là tập mở. Vì gj
Chứng minh. Đặt
g
ij gj Z i i j trên
i j
V
i j và gj i j trên
W
i j , nên {gi j i j j } là tập compact trong Zi j .
31

Đặt g i j max{gi j , i jj }. Khi đó hàm g j được định nghĩa tương tự gi j
trên Zi j , 1 i m , và g j là hàm đa điều hòa dưới trên D . Hơn nữa, theo
(2.3), ta có
(dd c
g j )n
(dd c
gj )n
.
Z
i j
Z
i j
Đặt
j min
i j
: 1 i m .
i j j
Ta có j hội tụ đến 1.
Đặt v j j gj . Vì vj ij
trên mỗi
ngoài của hợp của các Zij , nên nó lớn hơn
từng phần, ta nhận được
Zij , do tính cực đại của v bên
trên D . Do đó, lấy tích phân
( )(dd c
)n
( v j )(dd c
)n
( )dd c
v j (ddc
)n 1
D D D
( v j )dd c
v j (dd c
)n 1
... ( v j )(dd c
vj )n
.
D D
Do đó
0 (v j )(dd c
)n
v j (dd c
v j )n (ddc
)n
D D D
m
v j (dd c
v j )n
(ddc
)n
.
i 1
Z
i j
Z
i j
Giá của (ddc
)n
nằm trong các biên của Ki , trong đó i . Giá của
(dd c
vj )n
tại gj ij j . Do đó, từ các bất đẳng thức trên, ta có

32

m
0 (v j )(dd
c n n c n
(dd
c n
) j ij (dd g j ) i ) .
D
i 1
Z
ij
Z
ij
Do (2.3) và bất đẳng thức tích phân trong Bổ đề 2.2.1, ta có
(dd c
g j )n
(dd c
g j )n
(ddc )n j
.
Z
ij
Z
ij
Z
ij
Từ đó
m
0 (v j )(dd
c n n
i ) (dd
c n n
) (
j ij ) j j i j
.
D
i 1
Z
i j
Vì vậy,
lim (ddc
) 0
j
{v j a }
với mỗi a 0 .
Cố định một số 0 và chọn 0 sao cho | z |2
/ 2 trên D , và
đặt u j v j | z |2
. Chú ý rằng
ddc
| z |2 n
n
c dV ,
n
trong đó hằng số cn chỉ phụ thuộc vào n , và dV là dạng thể tích. Đặt
E j {z D : uj } . Vì uj / 2 trên D và
v
j / 2 trên E j ,
nên E j là tập compact trong D và E j {vj / 2} . Do tính dưới cộng
tính của toán tử Monge-Ampère và nguyên lý so sánh, ta có
(dd c
v j )n
dd c
( | z |2 )n (dd c
u j )n
(ddc
)n
E j E j E j Ej
hoặc
33

n
cn m(E j ) (ddc
)n .
{vj /2}
Do đó
lim m(E ) 0 .
j
j
Đặt Fj { v j } Ej . Lấy r 0 sao cho (z ) (w) khi
z w r , và lấy j0 sao cho m(E j ) m(B(z , r)) với mọi j j0 . Nếu
B B(z 0 , r ) D thì
v j (z 0 )
1
v j (z )dV
1
v jdV v jdV
m(B ) m(B)
B B F B F
j j
1
( )dV ( )dV (z0 ) (2m ) .
m(B) B B F
j
Vì v j (z ) (z) , nên vj hội tụ đều đến trên D . Do đó các hàm g j hội tụ
đều đến trên tập compact trong D Ki , 1 i m .
i 1
Phát biểu cuối cùng của bổ đề được suy trực tiếp từ bất đẳng thức tích phân trong
Bổ đề 2.2.1. 2.3. Xấp xỉ của các hàm đa điều hòa dƣới bởi các hàm
Green đa cực
Định lý 2.3.1. [6] Nếu D n
là một miền siêu lồi mạnh với một hàm vét
cạn và u là một hàm đa điều hòa dưới âm trên D với giá trị biên bằng 0, thì
tồn tại một dãy các hàm Green đa cực đa phức g j hội tụ đến u trong
L1
(D). Hơn nữa, nếu u liên tục trên D và C0((, 0]) , thì
lim (u(z ))(dd c
g j )n
(u(z ))(dd c
u)n
.
j D D
34

Chứng minh. Trước tiên ta chứng minh định lý đối với một hàm đa điều hòa
dưới liên tục u trên D với giá trị biên bằng 0, mà đối với nó có một tập mở
DD sao cho D là một siêu phẳng trơn, u 1
0 trên D , đạt cực
đại trên D D , thuộc lớp C 2
và là hàm đa điều hòa dưới chặt trong D . Khi
đó u có hữu hạn cực tiểu địa phương z 1,...,z p D .
Theo Định lí Sard, với mỗi j 1 ta có thể tìm được các số
m j j m j 1, j
... 2 j 1 j 1 0
0 sao cho:
(1) ij i 1,j 1 / j và hàm u không suy biến trên {u ij } , 1 i mj ;
(2) Nếu zk là một cực tiểu địa phương của u và ij u(zk ) i 1,j , thì các
thành phần liên thông của tập {u i 1,j } chứa zk thuộc một mặt cầu Bkj và
p
1
m(B ) 1 / j .
k kj
Theo điều kiện thứ nhất các tập K ij {u ij } có biên trơn do đó là
các tập đa chính qui. Vì vậy condenser
K
j được tạo bởi
K
ij và ij
,
0 i mj , có hàm cực trị tương đối liên tục j
.
Với mỗi j ta lấy một dãy các hàm Green gjm như trong Định lý 2.2.2
và chọn một dãy con g
jqm
hội tụ trongL1
(D) đến một hàm đa điều hòa dưới
loc
vj hoặc
đến j
i , vj
{
j
. Nhưng gjq không thể hội tụ đến , và bởi vì gjq hội tụ đều
m m
trên tập compact trong D D , nên g jq vj trong L1
(D). Với mỗi
m
j trên các tập { j i 1,j } Kij hoặc vj j khắp nơi trừ các tập
ij } . Tập { j ij } hoặc là một mặt trơn hoặc chứa một cực tiểu địa
35

phương zk . Trong trường hợp thứ nhất vj j trên { j ij } . Trong trường
hợp thứ hai { j ij } thuộc mặt cầu Bkj .
Đặt A là cận dưới đúng của u
Bkj , ở đó v j (z ) j (z ) A. Nếu Bkj
kính gấp hai lần bán kính của Bkj thì
p
v jdV
k 1 Bkj
Như vậy
trên D . Khi đó tồn tại một điểm thuộc
là mặt cầu có tâm tại điểm đó và có bán
p
A
Am(B ) .
k 1 j
kj
v
j j
D
dV 2A .
j
Vì j hội tụ đều đến u , nên vj hội tụ đến u trong L1
(D) và các hàm
(ddc
j )n
hội tụ yếu*
đến (dd c
u)n
.
Lấy một tập trù mật đếm được các hàm { q } trong C0(( , 0]). Khi
đó, tồn tại một dãy gjp j
hội tụ đến u trong L1
(D) và
lim (u(z ))(dd c
g )n
(u(z ))(dd c
u)n
j q jp j q
D D
với mỗi q . Định lí được chứng minh cho các hàm có dạng đặc biệt.
Giả sử được xác định trên một lận cận V của D . Lấy u là một hàm đa
điều hòa dưới liên tục trên D với giá trị biên bằng 0. Khi đó dãy các hàm đa
điều hòa dưới uk max{u, k } trên D và uk k trên V D , giảm dần trên D và hội
tụ đều đến u trên D . Đặc biệt, (dd c
uk )n
hội tụ yếu*
đến (dd c
u)n
. Do đó để
chứng minh định lý cho các hàm liên tục ta chỉ cần chứng minh cho các hàm
liên tục mà có thác triển đa điều hòa dưới liên tục đến V .
36

Nếu u là một hàm như vậy thì có một dãy giảm dần các hàm đa điều
hòa dưới u
k
trên D j
, u C (D j
) (xem [4, Định lý 2.9.2]) và hội tụ đều đến
k
u trên D . Bổ sung thêm k | z |2
k vào uk , ở đó các số k , k 0 hội tụ đến
0 và k | z |2
k0 trên D , ta có thể giả sử rằng các hàm uk là đa điều hòa
dưới chặt, uk 0 trên D , và chúng vẫn hội tụ đều đến u trên D .
Chọn một dãy các số 0 hội tụ đến 0 sao cho với mọi k , tập
1k
{uk 1k } là siêu mặt trơn compact trong D . Ta định nghĩa hàm đa điều hòa
dưới uk : uk uk trên Wk {uk 1k } , uk 0 trên D , và đạt cực đại trên D Wk . Do đó
các hàm uk hội tụ đều đến u . Vì định lý được chứng minh cho các hàm như
vậy, nên định lý được chứng minh cho các hàm đa điều hòa dưới liên tục.
Hàm đa điều hòa dưới u trên D tùy ý thuộc L1
loc (D), và nếu u có các giá trị
biên bằng 0 thì nó thuộc L1
(D).
Đặt u j max{u, j }, j 1,2,... , trên D và u j j ngoài D .
Khi đó {uj } là dãy giảm các hàm trên D hội tụ đến u . Do đó chúng hội tụ đến
u trong L1
(D). Lại áp dụng Định lý 2.9.2 [4], mỗi uj được xấp xỉ bởi
một dãy giảm {uk j } các hàm đa điều hòa dưới liên tục. Vì uj 0 trên D ,
nên dễ thấy rằng các hàm uk j có thể được sửa đổi để bằng 0 trên D và vẫn
hội tụ đến uj trong L1
(D). Kết quả trên kéo theo sự tồn tại của các hàm Green
hội tụ đến uj , do đó hội tụ đến u trong L1
(D).
37

KẾT LUẬN
Luận văn đã trình bày:
Tổng quan và hệ thống các kết quả về các tính chất của hàm đa điều
hòa dưới, hàm đa điều hòa dưới cực đại, hàm cực trị tương đối, toán tử
Monge-Ampère, nguyên lý so sánh Bedford và Taylor, hàm Green đa phức.
Một số kết quả về xấp xỉ các condenser bởi các hàm chỉnh hình (Định
lý 2.1.7), xấp xỉ các condenser bởi các hàm Green (Định lý 2.2.2), xấp xỉ của
các hàm đa điều hòa dưới bởi các hàm Green đa cực (Định lý 2.3.1).
38

TÀI LIỆU THAM KHẢO
TIẾNG VIỆT
[1]. Nguyễn Quang Diệu và Lê Mậu Hải (2009), Cơ sở lý thuyết đa thế vị ,
Nxb Đại học sư phạm.
TIẾNG ANH
[2]. Aytuna A, Rashkovskii A, and Zahariuta V.P (2002), “Width
asymptotics for a pair of Reinhardt domains”, Ann. Polon. Math., 78,
31-38.
[3]. Bishop E (1961), “Mappings of partially analytic spaces”, Amer. J.
Math., 83, 209-242.
[4]. Klimek M (1991), Pluripotential Theory, Oxford Sci. Publ. MR
93h:32021
[5]. Nivoche S (2001), “Sur une conjecture de Zahariuta et un probl_eme
de Kolmogorov”, C. R. Acad. Sci. Paris Ser. I Math. 333, 839-843.
[6]. Poletsky E.A (2002), “Approximation of plurisubharmonic functions
by multipole Green functions”, Tran. Amer Math. Soc. Vol 355, No 4,
Pag 1579-1591.
[7]. Sibony N (1975), “Prolongemant de fonctions holomorphes bornees et
metrique de Caratheodory”, Invent. Math., 29, 205-230. MR 52:6029
[8]. Zahariuta V.P (1984), Spaces of analytic functions and maximal
plurisubharmonic functions, Doc. Sci. Thesis.
[9]. Zahariuta V.P, Skiba N.P (1976), “Estimates of n-diameters of some
classes of functions analytic on Riemann surfaces”, Mat. Zametki, 19,
899-911; English transl., Math. Notes 19, 525-532. MR 54:7801.
39

Xấp xỉ hàm đa điều hòa dưới Bởi hàm green đa cực.doc

Recommended

Recommended

More Related Content

Similar to Xấp xỉ hàm đa điều hòa dưới Bởi hàm green đa cực.doc

Similar to Xấp xỉ hàm đa điều hòa dưới Bởi hàm green đa cực.doc (20)

More from DV Viết Luận văn luanvanmaster.com ZALO 0973287149

More from DV Viết Luận văn luanvanmaster.com ZALO 0973287149 (20)

Recently uploaded

Recently uploaded (20)

Xấp xỉ hàm đa điều hòa dưới Bởi hàm green đa cực.doc