1. Vektori mõiste, tehted
vektoritega

2. Vektori mõiste
 Suurusi, mida saab esitada ühe
arvuga, nimetatakse skalaarseteks
suurusteks
(nt õhutemperatuur, õpilase kaal,
vanus, kauba hind jms)
 Suurust, mille täielikuks määramiseks
on peale arvväärtuse vaja ka sihti ja
suunda, nimetatakse vektoriaalseks
suuruseks
(nt ilmateadetes tuule tugevusvektor)

3. Vektori mõiste, vektori
tähistamine
 Vektoriks nimetatakse suunatud sirglõiku
◦ sellist sirglõiku iseloomustavad siht, suund ja
pikkus:
 siht näitab, kuidas vektor asetseb
 suund näitab, kummale poole on vektor sihil
suunatud
 pikkus on vektori arvväärtuseks
B
a
AB
A

4. Vektorite kasutusvaldkondi
Fototöötlus (vektorgraafika), tugevusvektorid
liikusmisülesannetes, erinevad füüsika valdkonnad
(nt magnetväli vaakumis).

5. Vektorite võrdsus
 Vektorid on samasihilised kui nad on
paralleelsed
◦ Samasihilisus ehk kollineaarsus
a
b d
c
◦ Samasihilised vektorid on kas
samasuunalised või vastassuunalised

6. Vektorite võrdsus
 Vektorid on võrdsed, kui nad on
samasihilised, samasuunalised ja
ühepikkused
a
b
a b

7. Vektori koordinaadid
B
AB (3;4 )
A

8. Vektori koordinaadid
 Joonesta järgmised vektorid:
a (2;5)
b ( 1;2)
c ( 2; 3)
d (0; 4)

9. Vektori koordinaadid
a (2;5)
a
b b ( 1;2)
c c ( 2; 3)
d d (0; 4)

10. Vektori koordinaadid
 Olgu vektori alguspunkt M(1;2) ja
lõpp-punkt N(5;7). Joonesta antud
vektor koordinaattasandil ja märgi üles
tema koordinaadid.
N
7 MN (4;5)
6
5
4
3
2 M
1
1 2 3 4 5 6

11. Vektori koordinaadid
B(x2;y2)
AB
A(x1;y1)
Kui A(x1;y1) ja B(x2;y2), siis
AB = (x2 – x1; y2 – y1).

12. Vektori koordinaadid
 Leia vektori koordinaadid, kui on antud
vektori alguspunkt ja lõpp-punkt.
a) A(7;6), B(2;1)
AB ( 5; 5)
b) C(-2;3), D(4;2)
DC ( 6;1)

13. Vektori pikkus
Kui v = (a;b), siis selle vektori pikkus
|v|= a2 b2
Kui A(x1;y1) ja B(x2;y2), siis
AB = (x2 – x1; y2 – y1)
siis selle vektori pikkus
| AB | = (x 2 – x1 ) 2 ( y 2 – y1 ) 2
Vektorit pikkusega 1 nimetatakse ühikvektoriks.

14. Vektori pikkus
 Leia vektorite pikkus.
a)k ( 6;8)
k ( 6) 2 82 100 10
b) G(2;7), H(5;3)
GH (5 2) 2 (3 7) 2 32 ( 4) 2
25 5

15. Vektorite liitmine
 Lennuk lendas punktist A 200 km itta
ja jõudis punkti B. Sealt lendas lennuk
veel 400 km itta ja jõudis punkti C.
◦ Geomeetriline lahendus
AB BC
A B C
AC on vektorite AB ja BC summavektor.
◦ Algebraline lahendus
AB=(200;0) ja BC=(400;0)
AB+BC=(200;0)+(400;0)=(600;0)=AC

16. Vektorite liitmine
 Mees liikus punktist P 200 m lõunasse
punkti Q ja sealt 500 m põhja suunas
ning jõudis punkti R.
◦ Geomeetriline lahendus
R R
PR
P
QR P
PQ
Q
PR on vektorite PQ ja QR summavektor.
◦ Algebraline lahendus
PQ=(0;-200) ja QR=(0;500)
PQ+QR=(0;-200)+(0;500)=(0;300)=PR

17. Vektorite liitmine
 Keha liikus punktist A vektori
AB (5;3)
võrra ja seejärel vektori
BC (1;4) võrra.
◦ Geomeetriline lahendus
C
AC
BC
B
AB
◦ Algebraline lahendus
A
AB=(5;3) ja BC=(1;4)
AC on vektorite AB ja BC summavektor.
AB+BC=(5;3)+(1;4)=(6;7)=AC

18. Vektorite liitmine
Vektorite summa koordinaadid saame, kui
liidame nende vektorite vastavad
koordinaadid
u ( a; b ) v (c; d )
w u v (a c; b d)

19. Vektorite liitmine
Et liita kahte vektorit, selleks paigutame
need vektorid nii, et esimese vektori lõpp-
punkt ühtib teise algusega. Summavektor
ühendab esimese vektori algust teise
lõpuga.
Rööpkülikureegel
Kolmnurgareegel
D a C
b AC
BC b
A B
AB a

20. Nullvektor
 Vektorit O (0;0) nimetatakse
nullvektoriks
◦ Nullvektori pikkus on võrdne nulliga
◦ Nullvektori alguspunkt ja lõpp-punkt
ühtivad
◦ Nullvektori siht ja suund ei ole määratud

21. Vastandvektor
 Kui kaks vektorit on teineteise
vastandvektorid, siis on nad
ühepikkused ja samasihilised aga
vastassuunalised. 
y
 7 a (4;3)
a ( x; y )
 6
a ( x; y ) 5
   4
a a O 3 
a ( 4; 3)
2
1
1 2 3 4 5 6 x

22. Vektorite lahutamine
 Vektori lahutamine tähendab selle
vektori vastandvektori liitmist
 
u (a; b) v
(c; d );
   
u v u ( v ) (a; b) ( c; d )
(a c; b d)

23. Vektorite lahutamine
 Vektorite vahe leidmiseks paigutame
need vektorid nii, et nad lähtuksid
ühisest alguspunktist.
    
a b a a b
 
b b
 Rakendame kolmnurga reeglit: liidame
vektorid

24. Vektorite lahutamine
 Selleks, et lahutada ühest vektorist teine
vektor, paigutame need vektorid nii, et nad
lähtuksid ühisest alguspunktist.
◦ Vektorite vahe vektor lähtub lahutava vektori
lõpp-punktist ja suundub vähendatava vektori
lõpp-punkti.
 Leia vektorite

25. Vektorite lahutamine
 
a b

b 
a

26. Vektori korrutamine arvuga


27. Vektori korrutamine arvuga

saame nullvektori