model, matematika

1. Tugas Model
1. Menganalisis persamaan (50.1)
Persamaan diatas dengan mengasumsikan akan berubah menjadi persamaan
berikut:
Persamaan inilah yang akan dianalisis, perhatikan bahwa:
Persamaan
a. jika (populasi shark cukup besar) maka (populasi fish berkurang).
b. jika pada saat itu maka populasi fish tidak berubah.
c. Demikian juga jika , populasi fish akan bertambah.
Sementara itu:
Persamaan
a. Jika maka , populasi shark tidak berubah.
b. Jika maka , populasi shark berkurang.
Perhatikan bahwa tidak ada solusi yang sederhana untuk model
Untuk memahami paling tidak perilaku kualitatif solusi, trajektori dari solusi dalam
bidang phase akan disketsa
Hanya kuadran positif yang akan dianalisis. (
Jika maka dan jika maka . Selanjutnya diperoleh bahwa
garis dan , dua-duanya adalah isoklin dan juga merupakan suatu solusi.
Isoklin yang lain yaitu:
Isoklin ini, , bukan merupakan kurva solusi. Perpotongan antara dua
slope yang berbeda merupakan titik singular, yang juga dinamakan keseimbangan
populasi. Titik keseimbangannya yaitu:

2. a. dan 
dan
b. dan 
Jika dan , ekosistem mangsa pemangsa mencapai keseimbangan
dinamik. Akan ditunjukkan bahwa TK ini stabil. Jika populasi tidak berada pada
TK, maka bidang phase digunkan untuk menentukan perubahan populasi.
Jika selalu menaik
Jika selalu menurun
Jika
Jika
Jika
Jika
Jika
Jika
2. Menganalisis persamaan 54.3
Diperoleh TK dan jika ada
Dimana

3. Analisis untuk kestabilan TK, digunakan metode pelinearan model di sekitar TK
dengan deret Taylor.
Misalkan,
Matriks Jacobinya adalah
Selanjutnya matriks J dievaluasi pada titik TK, untuk TK (0,0) diperoleh
Persamaan karakteristik,
Karena nilai eigen positif, yang menyatakan bahwa TK (0,0) untuk model linear tidak
stabil, selanjutnya juga disimpulkan bahwa TK (0,0) untuk model nonlinear juga tidak
stabil.
a. Untuk TK TK adalah sadle point, stabil.
b. Untuk TK TK adalah sadle point, stabil.
c. Untuk TK berada pada keadaan pertama
jika
i. dan atau
ii. dan
Perhatikan bahwa dan
Misalkan dan dan diasumsikan bahwa populasi kompetitior yang
lebih kuat dari populasi , yaitu . Karena jika , maka .
Untuk kompetitor yang kuat, diasumsikan bahwa interaksi antara spesies,
dan , lebih besar dari dan , . Olehnya itu
dan . Karena maka diperoleh
Dalam kasus ini suatu TK dapat wujud seperti berikut:

4. Di sini: , ,
Selanjutnya memeriksa kestabilan TK
Dengan menggunakan bidang phase, akan disketsa trajektori dengan
memperhatikan dan .
Dari dan
Jika
Jika
Secara umum diperoleh,
jika
jika
Dipisahkan oleh isoklin yang mengakibatkan
jika
jika
Dipisahkan oleh isoklin yang mengakibatkan
Dari analisis di atas diperoleh gambar berikut, beserta dengan arahnya

5. Bagan 1 gbr: perilaku trajektori dari 2 spesies berkompetisi
Dari gambar di atas diperoleh informasi bahwa TK tidak stabil, sementara
TK dan TK adalah stabil, dan untuk TK (0,0) tidak stabil node.