Ejercicios

1. Republica Bolivariana de Venezuela
Universidad Fermin Toro
Cabudare Edo. Lara
Ejercicios Transformada
De Laplace
Alemairy Dávila
20.469.468
Matematica IV

2. Tarea de Transformada de Laplace:
1. Utilizando la definición de transformada calcule:
a) L { Cosh2t}
Solucion:
퐿 푐표푠ℎ2푡 = lim
!→!
푒!!"푐표푠ℎ2푡. 푑푡
!
!
퐿 푐표푠ℎ2푡 = lim
!→!
1
푠! − 2! 푒!!"(푠푐표푠ℎ2푡 − 2푠푒푛ℎ2푡)
푚0
퐿 푐표푠ℎ2푡 = lim
!→!
푒!!"
푠! + 4
푠푐표푠ℎ2푚 − 2푠푒푛ℎ2푚 −
1
푠! − 4
(−푠)
퐿 푐표푠ℎ2푡 = lim
!→!
푠푐표푠ℎ2푚 − 2푠푒푛ℎ2푚
푒!" 푠! − 4
+
푠
푠! − 4
퐿 푐표푠ℎ2푡 =
푠
푠! − 4
b) L {t Cosh3t}
Solucion:
퐿 푡. 푐표푠ℎ3푡 = 퐿 푡 . 퐿 푐표푠ℎ3푡
lim
!→!
푒!!"푡. 푑푡
!
!
. lim
!→!
푒!!"푐표푠ℎ3푡. 푑푡
!
!
Como se observa cada integral se resuelve por una integral por parte, hacemos esta
evaluacion en la primera integral.
Sustituyendo,
lim
!→!
푒!!"
−푠
푡 −
푒!!"
−푠
푑푡
!
!
. lim
!→!
푒!!"푐표푠ℎ3푡. 푑푡
!
!
lim
!→!
−
푒!!"
푠
푡 +
1
푠
푒!!"푑푡. lim
!→!
푒!!"푐표푠ℎ3푡. 푑푡
!
!
!
!
lim
!→!
−
푒!!"
푠
푡 −
푒!!"
푠!
푚0
. lim
!→!
푒!!"
푠! − 3! (푠푐표푠ℎ3푡 − 3푠푒푛ℎ3푡)
푚0

3. lim
!→!
−
푒!!"
푠
푚 −
푒!!"
푠! − 0 −
1
푠! . lim
!→!
푒!!"
푠! − 9
푠푐표푠ℎ3푚 − 3푠푒푛ℎ3푚 −
1
푠! − 4
(−푠)
lim
!→!
−
푒!!"
푠
푚 −
푒!!"
푠! +
1
푠! . lim
!→!
푠푐표푠ℎ3푚 − 2푠푒푛ℎ3푚
푒!" 푠! − 9
+
푠
푠! − 9
퐿 푡. 푐표푠ℎ3푡 =
1
푠! .
푠
푠! − 9
퐿 푡. 푐표푠ℎ3푡 =
1
푠 푠! − 9
2. Calcule las siguientes transformadas:
a) L{ t2 Cosh2t}
Solución:
퐿 푡! ∗ 푐표푠ℎ2푡 = 퐿 푡2 . 퐿{푐표푠ℎ2푡} 푡! = !!
!!!! ; cosh 푎푡 = !
!!!!!
퐿{푡! ∗ 푐표푠ℎ2푡} =
2
푠3 ∗
푠
푠! − 4
퐿{푡! ∗ 푐표푠ℎ2푡} =
2푠
푠5 − 4푠3
퐿{푡! ∗ 푐표푠ℎ2푡} =
2
푠! 푠! − 4
b) 푳 풆ퟒ풕풔풆풏ퟓ풕
Solución:
퐿 푒!! . 퐿{푠푒푛5푡}
Desarrolando cada uno con la tabla de transformada de laplace,
푳 풆ퟒ풕 ∗ 풔풆풏ퟓ풕 =
ퟏ
풔 − ퟒ
∗
ퟓ
풔ퟐ + ퟐퟓ

4. 푳 풆ퟒ풕 ∗ 풔풆풏ퟓ풕 =
ퟓ
풔 − ퟒ (풔ퟐ + ퟐퟓ)
푳 풆ퟒ풕 ∗ 풔풆풏ퟓ풕 =
5
푠3 − 4푠2 + 25푠 − 100
c) 푳 풕ퟐ풄풐풔ퟐퟐ풕
Solución:
퐿 푡! . 퐿 푐표푠2푡 . 퐿{푐표푠2푡}
푳 풕ퟐ풄풐풔ퟐퟐ풕 =
2
푠3 ∗
풔
풔ퟐ + ퟒ ퟐ ∗
풔
풔ퟐ + ퟒ ퟐ
푳 풕ퟐ풄풐풔ퟐퟐ풕 =
2
푠3 ∗
푠2
푠4 + 8푠2 + 16
푳 풕ퟐ풄풐풔ퟐퟐ풕 =
2
푠 ∗
1
푠4 + 8푠2 + 16
푳 풕ퟐ풄풐풔ퟐퟐ풕 =
2
푠5 + 8푠3 + 16푠
3. Utilizando fracciones parciales determine la siguiente transformada inversa:
L-1 { !!! !!!!
!!! !. !!! . !!! }
Solución:
푠! + 2푠 + 2
푠 − 1 !. 푠 + 1 . 푠 − 2
=
퐴
(푠 − 1)
+
퐵
푠 − 1 ! +
퐶
푠 + 1
+
퐷
푠 − 2
푠! + 2푠 + 2 ≡ 퐴(푠 − 1)( 푠 + 1) 푠 − 2 + 퐵 푠 + 1 푠 − 2 + 퐶 푠 − 1 ! 푠 + 2 + 퐷 푠 − 1 !(푠 + 1)
푠! + 2푠 + 2 ≡ 퐴 푠! − 1 푠 − 2 + 퐵 푠! − 푠 − 2 + 퐶 푠! − 2푠 + 1 푠 − 2 + 퐷(푠! − 2푠 + 1)(푠 + 1)
푠! + 2푠 + 2 = 퐴 푠! − 2푠! − 푠 + 2 + 퐵 푠! − 푠 − 2 + 퐶 푠!−2푠! + 푠−2푠! + 4푠 − 2 + 퐷(푠!−2푠! + 푠 + 푠! − 2푠 + 1)
푠! + 2푠 + 2 = 퐴 푠! − 2푠! − 푠 + 2 + 퐵 푠! − 푠 − 2 + 퐶 푠!−4푠! + 5푠 − 2 + 퐷(푠!−푠! − 푠 + 1)
Asi,
A+C+D=0 ⟶ 퐶 = −퐴 − 퐷
-2A+B − 4C−D=1
-A – B +5C − D=2

5. 2A − 2B – 2퐶 + 퐷 = 2
Luego sustituyendo C en las demas ecuaciones:
−2퐴 + 퐵 − −4퐴 − 4퐷 − 퐷 = 1⟹ −2퐴 + 퐵 + 4퐴 + 4퐷 − 퐷 = 1⟹ 2퐴 + 퐵 + 3퐷 = 1
−퐴 − 퐵 − 5퐴 − 5퐷 − 퐷 = 2⟹ −4퐴 − 퐵 − 6퐷 = 2
Asi,
퐴 = !"
! ; 퐵 = −!
! ; 퐶 = − !
!" ; 퐷 = !"
!
Ahora sustituimos cada uno de esos valores:
푠! + 2푠 + 2
푠 − 1 !. 푠 + 1 . 푠 − 2
=
−13
4
(푠 − 1)
+
−
52
푠 − 1 ! +
−
1
12
(푠 + 1)
+
10
3
(푠 − 2)
푠! + 2푠 + 2
푠 − 1 !. 푠 + 1 . 푠 − 2
= −
13
4
퐿!! 1
푠 − 1
−
5
2
퐿!! 1
(푠 − 1)! −
1
12
퐿!! 1
푠 + 1
+
10
3
퐿!! 1
푠 − 2
푠! + 2푠 + 2
푠 − 1 !. 푠 + 1 . 푠 − 2
= −
13
4
∗ 푒4푡 −
5
2
푡 ∗ 푒푡 −
1
12
∗ 푒−푡 +
10
3
∗ 푒−2푡
4. Utilice
el
Teorema
de
convolución
para
determinar
la
transformada
inversa:
L-­‐1
{
!
!!.(!!!)! }
Solución:
퐿!! 1
푠! .
1
(푠 + 1)!
퐿!! 1
푠! =
푡!
2!
⟹
푡!
2
퐿!!
1
(푠 + 1)! = 푡 ∗ 푒!
sustituimos,
푡!
2
∗ 푡 ∗ 푒! =
1
2
푡! ∗ 푒!

6. 1
6
푢!푒(!!!)푑푢 ⟹
!
!
1
6
푢!푒!푒!!푑푢 ⟹
1
6
!
푒! 푢!
!
푒!!
!
!
푑푢