Teorema celor trei perpendiculare

1. TEOREMATEOREMA
CELORCELOR
TREITREI
PERPENDICULAREPERPENDICULARE

2. ConstruieşteConstruieşte perpendicularperpendicularaa de la unde la un punctpunct dindin
afara unui plan laafara unui plan la dredreaaptptaa situată în plansituată în plan
LungimeaLungimea acestei perpendiculare esteacestei perpendiculare este distanţadistanţa
de la punct la dreaptăde la punct la dreaptă
Poate folosiPoate folosi lala înălţimi de triunghiuriînălţimi de triunghiuri şi deci laşi deci la
calcul de ariicalcul de arii

3. Ne ocupămNe ocupăm numai denumai de construcţieconstrucţie
Pentru calculPentru calcul, în general, se consideră, în general, se consideră triunghiultriunghiul
dreptunghic rezultat din construcţiedreptunghic rezultat din construcţie
CalcululCalculul se face pe probleme în carese face pe probleme în care
se dause dau date concretedate concrete

4. M
O Pb
d c
a
““Din piciorul perpendicularei pe plan duc perpendiculară pe dreaptă şi unesc”Din piciorul perpendicularei pe plan duc perpendiculară pe dreaptă şi unesc”
d α⊥
b a⊥
,b a α⊂
c a⊥
d α⊥
a α⊂
d a⊥ a d⊥
a b⊥
( )a MOP⊥
( )c MOP⊂ a c⊥
α
Constructiv procedez astfel:Constructiv procedez astfel:

5. A B
C
D
A’
B’
C’
D’
d [ D’, AB ]
Din picior…
A B
CD
D
Perpendicular pe … AB
Adică … DA
Şi deci … D’A' ( )D D ABC⊥
DA AB⊥
, ( )DA AB ABC⊂
3T ⊥
'D A AB⊥ ' ( ', )D A d D AB=

6. A B
C
D
A’
B’
C’
D’
d [ D’, CB ]
Din picior…
A B
CD
D
Perpendicular pe … CB
Adică … DC
Şi deci … D’C' ( )D D ABC⊥
DC BC⊥
, ( )DC BC ABC⊂
3T ⊥
'D C BC⊥ ' ( ', )D C d D BC=

7. A B
C
D
A’
B’
C’
D’
d [ D’, AC ]
Din picior…
A B
CD
D
Perpendicular pe … CA
Adică … DO
Şi deci … D’O
O
O
' ( )D D ABC⊥
DO AC⊥
, ( )DO AC ABC⊂
3T ⊥
'D O AC⊥ ' ( ', )D O d D AC=

8. A B
C
D
A’
B’
C’
D’
d [ D’, CB’ ]
Din picior…
B C
C’B’
C’
Perpendicular pe … CB’
Adică … C’O
Şi deci … D’O
O
O
' ' ( ')D C BCC⊥
' 'C O CB⊥
' , ' ( ')C O CB BCC⊂
3T ⊥
' 'C O CB⊥ ' ( ', ')D O d D CB=

9. A B
C
D
A’
B’
C’
D’
d [ A’, CB ]
Din picior…
A B
CD
A
Perpendicular pe … CB
Adică … AB
Şi deci …A’B' ( )A A ABC⊥
AB BC⊥
, ( )AB BC ABC⊂
3T ⊥
'A B BC⊥ ' ( ', )A B d A BC=

10. A B
C
D
A’
B’
C’
D’
d [ A’, DC ]
Din picior…
A B
CD
A
Perpendicular pe … DC
Adică … AD
Şi deci … A’D' ( )A A ABC⊥
AD DC⊥
, ( )AD DC ABC⊂
3T ⊥
'A D DC⊥ ' ( ', )A D d A DC=

11. A B
C
D
A’
B’
C’
D’
d [ A’, DB ]
Din picior…
A B
CD
A
Perpendicular pe … DB
Adică … AO
Şi deci … A’O
O
O
' ( )A A ABC⊥
AO DB⊥
, ( )AO DB ABC⊂
3T ⊥
'A O DB⊥ ' ( ', )A O d A DB=

12. A B
C
D
M
d [ M, CB ]
Din picior…
A B
CD
D
Perpendicular pe … CB
Adică … DC
Şi deci … MC( )MD ABC⊥
DC BC⊥
, ( )DC BC ABC⊂
3T ⊥
MC BC⊥ ( , )MC d M BC=

13. A B
C
D
M
d [ M, AB ]
Din picior…
A B
CD
D
Perpendicular pe … AB
Adică … DA
Şi deci … MA( )MD ABC⊥
DA AB⊥
, ( )DA AB ABC⊂
3T ⊥
MA AB⊥ ( , )MA d M AB=

14. A B
C
D
M
d [ M, AC ]
Din picior…
A B
CD
D
Perpendicular pe … AC
Adică … DO
Şi deci … MO
O
O
( )MD ABC⊥
DO AC⊥
, ( )DO AC ABC⊂
3T ⊥
MO AC⊥ ( , )MO d M AC=

15. A B
C
D
M
d [ M, BC ]
Din picior…
A B
CD
O
Perpendicular pe … BC
Adică … 0P
Şi deci … MP
O
O
P
P
( )MO ABC⊥
OP BC⊥
, ( )OP BC ABC⊂
3T ⊥
MP BC⊥ ( , )MP d M BC=

16. A B
C
D
M
d [ M, AB ]
Din picior…
A B
CD
O
Perpendicular pe … AB
Adică … 0P
Şi deci … MP
O
O
P
P
( )MO ABC⊥
OP AB⊥
, ( )OP AB ABC⊂
3T ⊥
MP AB⊥ ( , )MP d M AB=

17. A B
C
D
M
d [ M, AD ]
Din picior…
A B
CD
O
Perpendicular pe … AD
Adică … 0P
Şi deci … MP
O
O
P
P
( )MO ABC⊥
OP AD⊥
, ( )OP AD ABC⊂
3T ⊥
MP AD⊥ ( , )MP d M AD=

18. A
B
C
M
d [ M, BC ]
Din picior… O
Perpendicular pe … BC
Adică … 0P
Şi deci … MP
O
O
P
P
A B
C
( )MO ABC⊥
OP BC⊥
, ( )OP BC ABC⊂
3T ⊥
MP BC⊥ ( , )MP d M BC=

19. A B
C
M
d [ M, AB ]
Din picior… O
Perpendicular pe … AB
Adică … 0P
Şi deci … MP
O
O
P
P
A B
C
( )MO ABC⊥
OP AB⊥
, ( )OP AB ABC⊂
3T ⊥
MP AB⊥ ( , )MP d M AB=

20. A B
C
M
d [ M, BC ]
Din picior… A
Perpendicular pe … BC
Adică … AP
Şi deci … MP
P
P
A B
C
( )MA ABC⊥
AP BC⊥
, ( )AP BC ABC⊂
3T ⊥
MP BC⊥ ( , )MP d M BC=

21. A
B
M
d [ M, BC ]
Din picior… O
Perpendicular pe … BC
Adică … 0P
Şi deci … MP
O
O
P
P
C
C
B
( )MO ABC⊥
OP BC⊥
, ( )OP BC ABC⊂
3T ⊥
MP BC⊥ ( , )MP d M BC=

22. A
B
M
d [ M, AC ]
Din picior… O
Perpendicular pe … AC
Adică … 0P
Şi deci … MP
O
O
P
P
C
C
A
B
( )MO ABC⊥
OP AC⊥
, ( )OP AC ABC⊂
3T ⊥
MP AC⊥ ( , )MP d M AC=

23. A
B
C
D
M
d [ M, AB ]
Din picior…
A
B
CD
D
Perpendicular pe … AB
Adică … DP
Şi deci … MP
P
P

24. A
B
C
D
M
d [ M, BC ]
Din picior…
A
B
CD
D
Perpendicular pe … BC
Adică … DP
Şi deci … MP
P
P

25. A B
CD
M d [ M, BC ]
Din picior… O
Perpendicular pe … BC
Adică … 0P
Şi deci … MP
O
O
P
P
A
B
C
D

26. A B
C
D
Md [ M, BD ]
Din picior… C
Perpendicular pe … BD
Adică … CO
Şi deci … MO
O
O
A
B
C
D

27. A B
C
D
Md [ M, AD ]
Din picior… C
Perpendicular pe … AD
Adică … CP
Şi deci … MP
O
O
A
B
C
D
P
P