Successfully reported this slideshow.
Your SlideShare is downloading. ×

Teorema Pitagora

Ad
Ad
Ad
Ad
Ad
Ad
Ad
Ad
Ad
Ad
Ad
TEOREMA LUI PITAGORA
“GEOMETRIA ESTE CEA MAI BUNĂ ŞI MAI SIMPLĂ
DINTRE TOATE LOGICILE, CEA MAI POTRIVITĂ SĂ
DEA INFLEXIBIL...
OBIECTIVE OPERAŢIONALE
 să ştie ce este triunghiul dreptunghic ;
 să identifice catetele si ipotenuza unui triunghi
drep...
REACTUALIZAREA
CUNOŞTINŢELOR ANTERIOARE
TEOREMA ÎNĂLŢIMII
Într-un triunghi dreptunghic, lungimea înălţimii dusă din vârful...

YouTube videos are no longer supported on SlideShare

View original on YouTube

Loading in …3
×

Check these out next

1 of 19 Ad

More Related Content

Recently uploaded (20)

Advertisement

Teorema Pitagora

  1. 1. TEOREMA LUI PITAGORA “GEOMETRIA ESTE CEA MAI BUNĂ ŞI MAI SIMPLĂ DINTRE TOATE LOGICILE, CEA MAI POTRIVITĂ SĂ DEA INFLEXIBILITATE JUDECĂŢII ŞI RAŢIUNII.” DENIS DIDEROT Prof. Iuliana TRAȘCĂ 1
  2. 2. OBIECTIVE OPERAŢIONALE  să ştie ce este triunghiul dreptunghic ;  să identifice catetele si ipotenuza unui triunghi dreptunghic;  să identifice triunghiuri dreptunghice pe figurile geometrice învăţate şi să scrie relaţiile corespunzătoare între elementele lor ;  să cunoască şi să utilizeze corect teorema lui Pitagora şi reciproca în rezolvarea problemelor;  să identifice situaţii practice care pot fi rezolvate cu ajutorul acestei teoreme . 2
  3. 3. REACTUALIZAREA CUNOŞTINŢELOR ANTERIOARE TEOREMA ÎNĂLŢIMII Într-un triunghi dreptunghic, lungimea înălţimii dusă din vârful unghiului drept este media geometrică a lungimilor proiecţiilor ortogonale ale catetelor pe ipotenuza. 𝑨𝑫 𝟐 = 𝑩𝑫 ∙ 𝑫𝑪 TEOREMA CATETEI Într-un triunghi dreptunghic, lungimea unei catete este media geometrică a lungimii ipotenuzei și a lungimii proiecţiei ei ortogonale pe ipotenuză. 𝑨𝑩 𝟐 = 𝑩𝑪 ∙ 𝑩𝑫; 𝑨𝑪 𝟐 = 𝑩𝑪 ∙ 𝑫𝑪 A C B D 3 Problema
  4. 4. TEOREMA LUI PITAGORA: 4 PROBLEMA
  5. 5. 1. DEMONSTRAŢIE FOLOSIND TEOREMA CATETEI A C D B Δ ABC, m(<A)=90º, AD ┴ BC conform teoremei catetei, avem: AB² = BC•BD AC² = BC•CD , adunând membru cu membru obținem: AB² + AC² = BC•( BD + DC) = BC•BC = BC² Deci, BC² = AB² + AC² c.c.t.d. 5
  6. 6. 2. DEMONSTRAŢIE PE BAZA TRIUNGHIURILOR ASEMENEA A BC D xa-x b c a ΔABC ~ ΔDBA (conform cazului U.U.), avem: 1 1 x / c = c / a => c² = ax (1) ΔABC ~ΔDAC (conform cazului U.U.), avem (a-x) / b = b / a => b²= a(a-x)=a²- ax (2) Adunând membru cu membru relațiile (1) și (2) obținem: b²+c² = a²+ax – ax Deci, a² = b² + c² c.c.t.d. 6
  7. 7. 3. DEMONSTRAŢIE PE BAZA DE ARII ALE PATRATELOR A B C a b c D E F J K L Aria pătratului (ABFJ) = c² Aria pătratului (ACLK) = b² Aria pătratului (BCDE) = a² Aria (BCDE )= Aria (ACLK) + Aria (ABFJ) Deci: a² = b² + c² c. c. t. d. a b c 7
  8. 8. 8 *4. Demonstraţie dată de Euclid in ELEMENTE A B C DE I H G F M N Aria(ABE)=1/2 ∙ BE ∙ BN=1/2∙Aria(BEMN) Aria(BCI)=1/2 ∙ BI ∙ AB=1/2∙Aria(AHIB) Dar, ΔABE≡ΔBCI(LUL) => Aria (BEMN) = Aria (AHIB)(1) Aria(ACD)=1/2∙CD ∙ CN= =1/2∙Aria(CDMN) Aria(BCF)=1/2 ∙ CF ∙ CA= =1/2∙Aria(CFGA) Dar, ΔACD≡ΔBCF (LUL)=> Aria (CDMN) = Aria (CFGA) (2) Adunând relațiile (1) și (2) obținem: Aria(BEMN+CDMN)=Aria(AHIB+CFGA) Deci Aria (BCDE)=Aria (AHIB+CFGA) BC² = AB² + AC² c.c.t.d.
  9. 9. 9 *5. Demonstraţia lui Leonardo da Vinci A’ A B’ C’ B C D E a a a a bc/2 bc/2 bc/2 bc/2 (b-c)² În triunghiul dreptunghic ABC, m<(BAC)=90º AB=c, BC=a, AC=b, pe ipotenuza BC construim pătratul BCDE și ducem DB’ ┴AC, EC’┴DB’, AA’┴EC’. Pătratul BCDE se descompune în 4 triunghiuri dreptunghice congruente cu triunghiul dreptunghic ABC de catete b și c și pătratul AA’C’B’de latură AB’=AC-B’C’= b-c, deci Aria (AB’C’A’) = AB’² - (b-c)² Aria( ABC)=aria (CDB’)=aria( DC’E)=aria (EA’B)=bc/2 Avem aria (BCDE) = aria (AB’C’A’) + + 4 aria (ABC) sau a² = (b-c)² +4 bc/2 = b² -2bc + c² +2bc Adică, a² = b ²+ c² c.c.t.d.
  10. 10. PROBLEME 1.Fie triunghiul ABC dreptunghic în A: a) Dacă lungimile catetelor AB şi AC sunt 4 cm, respectiv 3 cm, determinaţi lungimea ipotenuzei BC. b) Dacă cateta AC=6 cm, iar ipotenuza BC= 10 cm, determinaţi lungimea catetei AB. 10 Problema 1: rezolvare a) Problema 1: rezolvare b)
  11. 11. 11 A B C a) Aplicăm teorema lui Pitagora astfel: BC2 =AB2 +AC2 Înlocuim: BC2= 42+32 BC2 = 16+9 BC2 = 25 𝑐𝑚2, de unde BC= 5 cm. 4 cm 3 cm Problema 1: rezolvare a) ENUNT PROBLEMA
  12. 12. 12 A B C b) Aplicăm teorema lui Pitagora astfel: AB2 = BC2 -AC2 Înlocuim: AB2= 102 -62 AB2 = 100-36 AB2 = 64 𝑐𝑚2, de unde AB= 8 cm. 6 cm 10 cm Problema 1: rezolvare b) Enunt problema
  13. 13. 2. Un triunghi dreptunghic are o catetă cu lungimea de 3 cm, şi unghiul care se opune ei de 300. Calculaţi lungimile ipotenuzei, a celeilalte catete şi a înălţimii corespunzătoare ipotenuzei. 13
  14. 14. A B CD În triunghiul dreptunghic ABC, avem: BC=2·AC (AC se opune unghiului de 300 şi BC este ipotenuza). Deci : BC= 6 cm 3cm 300 Enunt problema 14
  15. 15. În triunghiul dreptunghic ABC, aplicăm teorema lui Pitagora astfel: BC2 =AB2 +AC2 Înlocuim: 62= AB2+32; AB2 = 36-9 AB2 = 25 𝑐𝑚2, de unde AB= 5 cm. În triunghiul dreptunghic ADB: AB=2·AD AD=2,5 cm. Enunț problemă 15
  16. 16. 3. O catetă a unui triunghi dreptunghic are lungimea de 10 cm, iar înălţimea corespunzătoare ipotenuzei este de 8 cm. Să se afle lungimile celeilalte catete şi a ipotenuzei. 16
  17. 17. A BC D În triunghiul dreptunghic ADB, aplicăm teorema lui Pitagora astfel: AB2 =DB2 +AD2 Înlocuim: 102= DB2+82; DB2 = 100-64 DB2 = 36 𝑐𝑚2, de unde DB= 6 cm. 10 cm 8 cm 6 cm 17 Teorema Pitagora
  18. 18.  Aplicăm teorema catetei în triunghiul ABC astfel: AB2 =BD·BC Înlocuim: 102= 6 ·BC 100 = 6 ·BC, de unde BC = 16,(6) cm.  În triunghiul dreptunghic ABC, aplicăm teorema lui Pitagora astfel: BC2 =AB2 +AC2 Înlocuim: = 100+AC2 De unde AC2= , deci AC= 13,(6) cm 2 3 50       9 1600 18 Teorema catetei

×