2018年5月12日に行われた「数理空間“τόπος” （トポス）」の説明会において、グレブナー基底大好きbotによる発表のスライドです。 連立方程式の解き方について、「行列」という線形代数の手法と、「グレブナー基底」という計算機代数の手法を用いて説明しています。 「数理空間“τόπος” （トポス）」とは、数学に興味のある中学生・高校生が無料で、大学数学を学び楽しみ、交流できる場です。 一冊の数学書をグループでセミナー形式で勉強したり、進んだ知識のあるチューターと数学について話したり、トポスにある数学書を読んだり、とても面白い空間だと思うので、興味のある中高生はぜひお越しください。グレbotもチューターとして参加しています。 詳細は http://mspacetopos.peatix.com や Twitter @mspacetopos をご覧ください。

1. 連立方程式の解き方
〜線形代数とグレブナー基底〜
グレブナー基底大好きbot
2018/05/12 数理空間トポス

2. 自己紹介
• グレブナー基底が大好きなbot
• ツイートはすべて手動
• グレブナー基底についてツイート
することでグレブナー基底を普及する
bot
• 数学ラノベ「最近、妹がグレブナー基底
に興味を持ち始めたのだが。」（数理学院
出版）の著者
• 「グレブナー基底にはポン酢が合う」の生みの親
グレブナー基底大好きbotとは？

3. 連立方程式とは？
• 複数の方程式からなる組
• この連立方程式を解く
=(1)と(2)を同時に満たすxとyを見つけること
(本発表では解の個数が有限個のものを考える)

4. 連立方程式を解く
• 加減法
（１）を2倍して（２）を引く。つまり、（１）×2-（2） を計算。
よって、 を（1）に代入して、
答えは、

5. 連立方程式についての疑問
• 加減法でどんな連立方程式も必ず解ける？

6. 連立方程式についての疑問
• 加減法でどんな連立方程式も必ず解ける？
⇒解けるとしたらどうやって証明する？

7. 連立方程式についての疑問
• 加減法でどんな連立方程式も必ず解ける？
⇒解けるとしたらどうやって証明する？
• 連立方程式を解く「操作」を数学的に考察できる？

8. 連立方程式についての疑問
• 加減法でどんな連立方程式も必ず解ける？
⇒解けるとしたらどうやって証明する？
• 連立方程式を解く「操作」を数学的に考察できる？
⇒「解き方」を数学的に定義できる？

9. 連立方程式についての疑問
• 加減法でどんな連立方程式も必ず解ける？
⇒解けるとしたらどうやって証明する？
• 連立方程式を解く「操作」を数学的に考察できる？
⇒「解き方」を数学的に定義できる？
• ２次以上の連立方程式はどうすれば解ける？

10. 連立方程式についての疑問
• 加減法でどんな連立方程式も必ず解ける？
⇒解けるとしたらどうやって証明する？
• 連立方程式を解く「操作」を数学的に考察できる？
⇒「解き方」を数学的に定義できる？
• ２次以上の連立方程式はどうすれば解ける？
⇒
はどうやって解く？

11. 連立方程式についての疑問
• 加減法でどんな連立方程式も必ず解ける？
⇒解けるとしたらどうやって証明する？
• 連立方程式を解く「操作」を数学的に考察できる？
⇒「解き方」を数学的に定義できる？
• ２次以上の連立方程式はどうすれば解ける？
⇒
はどうやって解く？
線形代数
グレブナー基底

12. 連立方程式の係数を抜き出す

13. 行列
• 右のように縦と横に数字を
並べたものは行列と呼ばれる。
• 横に並ぶ方を行、縦に並ぶ方を列と呼ぶ。
1行目
2行目
1
列
目
2
列
目
3
列
目
行 列

14. 色々な行列

15. 行列で連立方程式を解く
1行目
2行目
・行の定数倍（１行目×2など）
・行を足す（1行目+2行目など）
を何回か行って、行列を変形し
ていく
目標： に変形する

16. 行列と連立方程式の対応
変形

17. どんな操作が許されるか？
• １つの行の定数倍する
1行目
2行目
2倍
解は変化
しない

18. どんな操作が許されるか？
• １つの行(の定数倍)を他の行に足す
1行目
2行目
足す
解は変化
しない

19. 行列と連立方程式の対応
変形

20. ガウスの消去法①
• ① 1行目の-2倍を2行目に足す
1行目
2行目
-2倍
2行目に加える
各項を計算

21. ガウスの消去法②
• ② 2行目を 倍する
• ③ 2行目の-2倍を1行目に加える
2行目を 倍
-2倍

22. 行列と連立方程式の対応
変形

23. 連立方程式と行列
• 連立方程式を行列で表した
⇒係数を行と列に並べる
• 連立方程式を解く操作は、行の操作（行基本変形）に対応す
る
⇒行を定数倍する、行を足す操作は加減法に対応している
• 行基本変形で（線形）連立方程式が解けることは数学的に証
明できる
• 「線形代数」では、行列の様々な計算について考察する

24. 連立方程式とグレブナー基底
• 右の連立方程式のように、
次数が2次以上の場合には
行列による「ガウスの消去法」は
そのまま適用できない。
グレブナー基底を使うと、どんな連立方程式も解くことができる。
グレブナー基底を計算
から 答えは

25. 複雑な式もグレブナー基底で解ける
グレブナー基底を計算

26. 連立方程式の重要性
• 解が有限個とは限らない連立方程式も考えられる。
これらは代数幾何学の言葉で代数多様体（アフィン多様体）と
呼ばれる。
多くの数学者によって、代数多様体は研究されてきている。

27. 数学とコンピュータ
• 行列の計算やグレブナー基底はコンピュータで計算すること
ができる
• 行列は純粋数学以外にも、人工知能や暗号理論にも用いら
れる
• 近年ではコンピュータを用いた数学の研究も盛んになってきて
いる

28. まとめ
• 連立方程式は行列を使って解くことができる
• 行列は線形代数において重要な概念である
• 連立方程式は代数幾何学などで扱われる
• 次数が大きい連立方程式はグレブナー基底を使って解ける