ΘΕΩΡΗΜΑ "ΤΡΙΑΜΕΣΩΝ" ΤΖΑΧΡΗΣΤΑ ΙΩΑΝΝΗ (διατύπωση και απόδειξη)

1. ΘΕΩΡΗΜΑ «ΤΡΙΑΜΕΣΩΝ» ΤΖΑΧΡΗΣΤΑ ΙΩΑΝΝΗ
Έστω τρίγωνο ABC και σημεία D, E της πλευράς AB, σημεία F, G της πλευράς BC και
σημεία H, I της πλευράς CA, τέτοια ώστε να ισχύει:
 AD = DE = EB
 BF = FG = GC
 CH = HI = IA
(i) Το τρίγωνο με κορυφές τα σημεία τομής των ΒΙ και CD, AF και CE, BH και AG είναι
όμοιο με το τρίγωνο ABC με λόγο ομοιότητας λ = 4.
(ii) Το τρίγωνο με κορυφές τα σημεία τομής των AF και BI, BH και CE, CD και AG είναι
όμοιο με το τρίγωνο ABC με λόγο ομοιότητας λ = 5.
ΑΠΟΔΕΙΞΗ (i)
Έστω M, N, W τα μέσα των AB, BC, CA αντίστοιχα. (1)
Τότε ισχύει:
MW//BC και MW=
1
2
∙ BC (2)
MN//AC και MN=
1
2
∙ AC (3)
NW//BA και NW=
1
2
∙ BA (4)
Τότε, το τρίγωνο MNW είναι όμοιο με το τρίγωνο ABC με λόγο ομοιότητας 2.
Έστω A΄, B΄, C΄ τα μέσα των MW, MN, NW αντίστοιχα. (5)
Τότε ισχύει:
A΄C΄//MN και A΄C΄=
1
2
∙ MN=
1
4
∙ AC (6)
A΄B΄//NW και A΄B΄=
1
2
∙ NW=
1
4
∙ AB (7)
B΄C΄//MW και B΄C΄=
1
2
∙ MW=
1
4
∙ BC (8)
Τότε, το τρίγωνο A΄B΄C΄ είναι όμοιο με το τρίγωνο MNW με λόγο ομοιότητας 2.
Άρα, το τρίγωνο A΄B΄C΄ είναι όμοιο με το τρίγωνο ABC με λόγο ομοιότητας λ=2∙2= 4. (9)
Αρκεί να δείξω ότι τα A΄, B΄, C΄ είναι σημεία τομής των ΒΙ και CD, AF και CE, BH και AG,
δηλαδή σημεία τομής των «τριαμέσων» του τριγώνου ABC.
Φέρνω τα CA΄, BA΄, AB΄ CB΄, AC΄ και BC΄.

2. Η προέκταση του CA΄ τέμνει την πλευρά AB στο σημείο C1.
Η προέκταση του BA΄ τέμνει την πλευρά AC στο σημείο B1.
Η προέκταση του AB΄ τέμνει την πλευρά BC στο σημείο A1.
Η προέκταση του CB΄ τέμνει την πλευρά BA στο σημείο C2.
Η προέκταση του AC΄ τέμνει την πλευρά CB στο σημείο A2.
Η προέκταση του BC΄ τέμνει την πλευρά CA στο σημείο B2.
Αρκεί να δείξω ότι:
 AC1 =
1
3
∙ AB
 AB1 =
1
3
∙ AC
 BC2 =
1
3
∙ AB
 BA1 =
1
3
∙ BC
 CB2 =
1
3
∙ AC
 CA2 =
1
3
∙ BC
Από τη (2) έχω: MA’//BC.
Άρα το τρίγωνο C1MA’ είναι όμοιο με το τρίγωνο C1BC.
Ισχύει:
𝑀𝐴′
𝐵𝐶
=
𝐶₁𝑀
𝐶₁B
=
𝐶₁𝐴′
𝐶₁𝐶
(2),(5)
⇔
1
4
=
𝐶₁𝑀
𝐶₁B
=
𝐶₁𝐴′
𝐶₁𝐶
⇔
⇔ {
4 ∙ C₁M = C₁B
4 ∙ C₁A′ = C₁C
⇔ {
4 ∙ C₁M = C₁M + MB
4 ∙ C₁A′ = C₁C
⇔ {
3 ∙ C₁M = MB
4 ∙ C₁A′ = C₁C
(1)
⇔
(1)
⇔ {
3 ∙ C₁M =
1
2
∙ AB
4 ∙ C₁A′ = C₁C
⇔ {
C₁M =
1
6
∙ AB
4 ∙ C₁A′ = C₁C
⇔ {
AM − AC₁ =
1
6
∙ AB
4 ∙ C₁A′ = C₁C
⇔
⇔ {
1
2
∙ AB −
1
6
∙ AB = AC₁
4 ∙ C₁A′ = C₁C
⇔ {
1
3
∙ AB = AC₁
4 ∙ C₁A′ = C₁C
⇔ AC1 =
𝟏
𝟑
∙ 𝐀𝐁 (10)
Ομοίως:
 AB1 =
1
3
∙ AC
 BC2 =
1
3
∙ AB
 BA1 =
1
3
∙ BC
 CB2 =
1
3
∙ AC
 CA2 =
1
3
∙ BC
τα οποία αρκούσε να αποδείξω.

3. Άρα: Το τρίγωνο με κορυφές τα σημεία τομής των ΒΙ και CD, AF και CE, BH και AG είναι
όμοιο με το τρίγωνο ABC με λόγο ομοιότητας λ =
𝑨𝑩
𝑨΄𝑩΄
=
𝑩𝑪
𝑩΄𝑪΄
=
𝐂𝐀
𝐂΄𝐀΄
= 4.

4. ΑΠΟΔΕΙΞΗ (ii)
Έστω σημεία B₃ και B4 της πλευράςAC, σημεία C3 καιC4 της πλευράςABκαι σημεία A3 καιA4
της πλευράς BC, τέτοια ώστε να ισχύει:
AB3 = B4C =
1
5
∙ AC = b (1) και
BC3 = C4A =
1
5
∙ AB = c (2) και
BA4 = A3C =
1
5
∙ BC = a (3)
Από το Θεώρημα του Θαλή ισχύει:
B4 A3 // B3A4 // AB (4) και
B4 A3 = c (5) και
B3 A4 = 4∙c (6)
Ομοίως, από το Θεώρημα του Θαλή ισχύει:
C4B3 // C3B4 // BC (7) και
C4B3 = a (8) και
C3B4 = 4∙a (9)
Ομοίως, από το Θεώρημα του Θαλή ισχύει:
A4C3 // A3C4 // CA (10) και
A4C3 = b (11) και
A3C4 = 4∙b (12)
Έστω K το σημείο τομής των A3C4 και B3A4. (13)
Έστω L το σημείο τομής των B3A4 και C3B4. (14)
Έστω P το σημείο τομής των A3C4 και C3B4. (15)
Από τις (4), (7) προκύπτει ότι το τετράπλευρο C4B3LC3 είναι παραλληλόγραμμο.
Επομένως, οι απέναντι πλευρές του είναι ανά δύο ίσες.
Άρα: C4B3 //= C3L (16)
Ακόμη, λόγω της (7) ισχύει ότι το τρίγωνο AC4B3 είναι όμοιο με το τρίγωνο ABC με λόγο
ομοιότητας
AB
AC₄
=
AC
AB₃
=
BC
C₄B₃
= 5 .

5. Άρα: C4B3 = a
(16)
⇔ C3L = a (17)
Ομοίως:
C4B3 //= PB4 =a (18)
C3A4 //= C4K = b (19)
C3A4 //= PA3 = b (20)
A3B4 //= KB3 = c (21)
A3B4 //= A4L = c (22)
Από την (4) προκύπτει ότι KL//AB
KL = B3A4 - B3K - A4L
(6),(21),(22)
⇔ KL = 4∙c – c – c = 2∙c (23)
Ομοίως:
LP // BC και LP = 2∙a (24) και
KP //AC και KP = 2∙b (25)
Από τις (23),(24), (25) προκύπτειότι το τρίγωνο KLP είναι όμοιο με το τρίγωνο ABC με λόγο
ομοιότητας
5
2
.
Έστω C΄΄, A΄΄, B΄΄ τα μέσα των KL, LP, PK αντίστοιχα.
Ισχύει:
C΄΄K = C΄΄L = c (26) και
A΄΄L = A΄΄P = a (27) και
Β΄΄Κ = B΄΄P = b (28)
Άρα,τοτρίγωνο A΄΄B΄΄C΄΄ είναιόμοιομε το τρίγωνο KLP με λόγο ομοιότητας 2. (29)
Άρα, το τρίγωνο A΄΄B΄΄C΄΄ είναι όμοιο με το τρίγωνο ABC
με λόγο ομοιότητας
𝟓
𝟐
∙ 2 = 5. (30)
Ισχύει σκόμη:
C΄΄ B΄΄=
1
2
∙ LP
(24)
⇔ C΄΄ B΄΄=
1
2
∙ 2 ∙ a = a (31)
Ομοίως:
A΄΄C΄΄= b (32) και
B΄΄A΄΄= c (33)

6. Η προέκταση του AC΄΄ τέμνει την πλευρά BC στο σημείο A1΄.
Η προέκταση του AB΄΄ τέμνει την πλευρά BC στο σημείο A2΄.
Η προέκταση του BC΄΄ τέμνει την πλευρά AC στο σημείο B1΄.
Η προέκταση του BA΄΄ τέμνει την πλευρά AC στο σημείο B2΄.
Η προέκταση του CB΄΄ τέμνει την πλευρά BA στο σημείο C1΄.
Η προέκταση του CA΄΄ τέμνει την πλευρά BA στο σημείο C2΄.
Αρκεί να δείξω ότι:
 BA1΄= A2΄C =
𝟏
𝟑
∙ BC
(3)
⇔ BA1΄= A2΄C =
5
3
∙ a
 BC2΄ = C1΄A =
𝟏
𝟑
∙ AB
(2)
⇔ BC2΄ = C1΄A =
5
3
∙ c
 AB1΄= B2΄C =
𝟏
𝟑
∙ AC
(1)
⇔ AB1΄= B2΄C =
5
3
∙ b
Από την (4) ισχύει C΄΄A4//AB.
Επομένως τα τρίγωνα A1΄C΄΄A4 και ABA1΄ είναι όμοια με λόγο ομοιότητας
λ΄ =
AB
C΄΄Α₄
(2),(22),(26)
⇔ λ΄=
AB
C΄΄Α₄
=
5∙𝑐
2∙𝑐
=
5
2
(34)
Από την (34) προκύπτει ότι
λ΄=
B𝐴₁΄
Α₄𝐴₁΄
⇔
B𝐴₁΄
Α₄𝐴₁΄
=
5
2
⇔
B Α₄+Α₄A₁΄
Α₄𝐴₁΄
=
5
2
⇔
B Α₄
Α₄𝐴₁΄
+ 1 =
5
2
⇔
B Α₄
Α₄𝐴₁΄
=
3
2
⇔
⇔ 2 ∙ B Α₄= 3 ∙Α₄𝐴₁΄
(3)
⇔ 2∙a = 3 ∙ Α₄𝐴₁΄ ⇔ Α₄𝐴₁΄ =
2
3
∙ a ⇔
⇔ B Α₄ + Α₄A₁΄ =
2
3
∙ a+ B Α₄
(3)
⇔ 𝐁 𝚨₁ ΄ =
2
3
∙ a + a =
5
3
∙ a =
𝟏
𝟑
∙ BC
Ομοίως:
A2΄C =
𝟏
𝟑
∙ BC
BC2΄ =
𝟏
𝟑
∙ AB
C1΄A =
𝟏
𝟑
∙ AB
AB1΄ =
𝟏
𝟑
∙ AC
B2΄C =
𝟏
𝟑
∙ AC
τα οποία αρκούσε να αποδείξω.

7. Άρα: Το τρίγωνο με κορυφές τα σημεία τομής των AF και BI, BH και CE, CD και AG είναι
όμοιο με το τρίγωνο ABC με λόγο ομοιότητας λ = 5.