cours sur equations et inequations

1. ‫ذ‬ ‫ا‬:1
I.‫وا‬ ‫ل‬ ‫و‬ ‫ا‬ ‫رﺝ‬ ‫ا‬ ‫ﻡ‬ ‫ت‬ ‫د‬ ‫ا‬:
‫أﻡ‬:
‫ل‬ ‫ﻡ‬1:2 22 0x − =
‫ل‬ ‫ﻡ‬2:( )3 2 5 6 8x x+ = −
‫ل‬ ‫ﻡ‬3:( ) ( )4 2 6 2 4x x x− = − +
‫ل‬ ‫ﻡ‬4:‫ا‬ ‫ت‬ ‫د‬ ‫ا‬:
( )( )
1
2 3 9 3 0
2
x x x
 
+ − − = 
 
‫ل‬ ‫ﻡ‬5:‫ا‬ ‫ت‬ ‫د‬ ‫ا‬:
2 2 1 5 2 1
3 2 2 3
x x+ −
− = +
‫ل‬ ‫ﻡ‬6:3
7 0x x− =
II.‫وا‬ ‫ل‬ ‫ا‬ ‫رﺝ‬ ‫ا‬ ‫ﻡ‬ ‫ت‬ ‫د‬ ‫ا‬:
1.‫و‬ ‫ی‬ ‫ﺕ‬:
‫ی‬ ‫ﺕ‬:‫د‬ ‫ا‬2
0ax bx c+ + =x‫ل‬ ‫ا‬ ‫ه‬‫و‬a‫و‬b‫و‬c‫أ‬‫اد‬‫ﻡ‬ ‫ﻡ‬( )0a ≠‫رﺝ‬ ‫ا‬ ‫ﻡ‬ ‫د‬ ‫ﻡ‬ ‫ﺕ‬
‫وا‬ ‫ل‬ ‫ا‬.
‫ل‬ ‫ﻡ‬1:
‫د‬ ‫ا‬1-‫د‬2
3 5 2 0x x+ + =
‫ن‬:( ) ( )
2
3 1 5 1 2 0− + − + =
‫ل‬ ‫ﻡ‬2:
‫د‬ ‫ا‬3‫د‬( )2
1 3 3 0x x+ − − =
‫ن‬:( ) ( )
2
3 1 3 3 3 3 3 3 3 0+ − − = + − − =
‫ﻡ‬:
‫د‬ ‫آ‬0x‫وی‬ ‫ا‬ ‫ی‬2
0ax bx c+ + =‫د‬ ‫ه‬2
0ax bx c+ + =‫ودی‬ ‫ر‬ ‫ﺝ‬ ‫ی‬ ‫و‬2
ax bx c+ +.
‫ی‬ ‫ﺕ‬:
‫ود‬ ‫ا‬ ‫ﺙ‬ ‫ﺙ‬( ) 2
P x ax bx c= + +.
‫ا‬ ‫د‬ ‫ا‬2
4b ac−‫د‬ ‫ا‬ ‫ﻡ‬ ‫أو‬ ‫ود‬ ‫ا‬ ‫ﺙ‬ ‫ﺙ‬ ‫ﻡ‬ ‫ی‬2
0ax bx c+ + =‫ﻡ‬ ‫ﻡ‬ ‫و‬∆.
‫ل‬ ‫ﻡ‬:
‫د‬ ‫ا‬( ) 2
:3 5 7 0E x x− + =
‫د‬ ‫ا‬ ‫ﻡ‬( )E
‫ی‬:3a =‫و‬5b = −‫و‬7c =‫أن‬:2
4b ac∆ = −
‫ن‬:( )
2
5 4 7 3 25 84 59∆ = − − × × = − = −
‫ﻡ‬:‫ﻡ‬ ‫ا‬∆‫أ‬ ‫ی‬:‫د‬delta.
2.:
‫د‬ ‫ا‬( ) 2
0 0a ax bx c≠ + + =‫و‬∆‫ه‬ ‫ﻡ‬.
‫ا‬
‫ون‬
‫ه‬ ‫ا‬
‫ك‬ ‫ﻡ‬ ‫ع‬ ‫ا‬ ‫ى‬ ‫ﻡ‬‫أ‬‫د‬
‫رس‬ ‫ا‬‫ا‬:‫ت‬ ‫ا‬ ‫و‬ ‫ت‬ ‫اﺝ‬ ‫ا‬ ‫ت‬ ‫د‬ ‫ا‬
‫ذ‬ ‫ا‬:
‫ﻗﻠﻤﻲ‬ ‫ﻣﻮﻗﻊ‬ ... ‫اﻣﺘﺤﺎﻧﺎت‬ ‫ﻤﺗﺎرﻳﻦ‬ ‫اﻟﺪروس‬ ‫ﻣﻦ‬ ‫ﳌﺰﻳﺪ‬

2. ‫ذ‬ ‫ا‬:2
‫ن‬ ‫آ‬ ‫إذا‬0∆‫د‬ ‫ا‬ ‫ن‬».
‫ن‬ ‫آ‬ ‫إذا‬0∆ =‫د‬ ‫ا‬ ‫ن‬‫ه‬ ‫ا‬ ‫وﺝ‬ ‫ﺕ‬:
2
b
a
−
‫ن‬ ‫آ‬ ‫إذا‬0∆‫ه‬ ‫ﻡ‬ ‫ﺕ‬ ‫د‬ ‫ا‬ ‫ن‬:
2
b
a
− − ∆
‫و‬
2
b
a
− + ∆
‫ﻡ‬ ‫د‬ ‫ا‬ ‫ل‬ ‫ﻡ‬S.
‫ل‬ ‫ﻡ‬1:
‫د‬ ‫ا‬2
3 2 0x x+ + =».‫ن‬( )1 4 3 2 23 0∆ = − × × = − ∆‫ه‬ ‫ﻡ‬ ‫و‬S φ=.
‫ل‬ ‫ﻡ‬2:
‫د‬ ‫ا‬2
10 25 0x x− + =‫ن‬ ‫و‬( )2
10 4 25 0 0∆ = − × = ∆ =.
‫ا‬ ‫ه‬‫ه‬ ‫د‬:5
2
b
a
− =‫ه‬ ‫ﻡ‬ ‫و‬{ }5S =.
‫ل‬ ‫ﻡ‬3:
‫د‬ ‫ا‬2
3 2 0x x− + =‫ی‬9 4 2 1∆ = − × =‫أن‬0∆‫ه‬ ‫ﺕ‬ ‫د‬ ‫ا‬ ‫ه‬ ‫ن‬:
1
3 1
1
2
x
−
= =‫و‬2
3 1
2
2
x
+
= =‫ﻡ‬ ‫و‬{ }1;2S =.
3.‫ود‬ ‫ا‬ ‫ﺙ‬ ‫ﺙ‬ ‫ﺕ‬2
ax bx c+ +:
:
‫ود‬ ‫ا‬ ‫ﺙ‬ ‫ﺙ‬2
ax bx c+ +‫و‬∆‫ه‬ ‫ﻡ‬.
1.‫ن‬ ‫آ‬ ‫إذا‬:0∆‫ن‬‫د‬ ‫ا‬2
0ax bx c+ + =‫ﻡ‬ ‫ﺕ‬1x‫و‬2x.
‫ی‬ ‫و‬:( )( )2
1 2ax bx c a x x x x+ + = − −
2.‫ن‬ ‫آ‬ ‫إذا‬:0∆ =‫ن‬:
2
2
2
b
ax bx c a x
a
 
+ + = + 
 
3.‫ن‬ ‫آ‬ ‫إذا‬:0∆‫ن‬:2
ax bx c+ +‫و‬ ‫ا‬ ‫رﺝ‬ ‫ا‬ ‫ﻡ‬ ‫ودی‬ ‫إ‬ ‫ﺕ‬ ‫ی‬.
‫ل‬ ‫ﻡ‬:
‫ودی‬ ‫ا‬( ) 2
6 1R x x x= − −‫ودی‬ ‫ا‬ ‫ﻡ‬( )R x‫ه‬1 24 25∆ = + =.
‫د‬ ‫ا‬ ‫إذن‬( ) 0R x =‫ه‬1
1 5 1
12 2
x
+
= =‫و‬2
1 5 1
12 3
x
−
= = −.‫و‬:( )
1 1
6
2 3
R x x x
  
= − +  
  
III.‫وا‬ ‫ل‬ ‫و‬ ‫ا‬ ‫رﺝ‬ ‫ا‬ ‫ﻡ‬ ‫ت‬ ‫اﺝ‬ ‫ا‬
‫ا‬ ‫ا‬ ‫رة‬ ‫إﺵ‬:ax b+0a ≠
‫ﻡ‬:
‫ل‬ ‫ﻡ‬1:‫د‬‫رة‬ ‫إ‬2 1x +
‫ی‬2 1 0x + =‫ی‬
1
2
x = −
‫أن‬ ‫و‬2a =‫و‬0a‫رة‬ ‫إ‬ ‫ول‬ ‫ﺝ‬2 1x +‫آ‬ ‫ه‬:
+∞
b
a
−−∞
x
‫رة‬ ‫إ‬a0‫رة‬ ‫إ‬aax b+
+∞
1
2
−−∞
x
+0−2 1x +

3. ‫ذ‬ ‫ا‬:3
‫ل‬ ‫ﻡ‬2:‫رة‬ ‫إ‬ ‫د‬2x− +
‫ی‬2 0x− + =‫ی‬2x =
‫أن‬ ‫و‬:1a = −‫و‬0a‫رة‬ ‫إ‬ ‫ول‬ ‫ﺝ‬ ‫ن‬2x− +‫آ‬ ‫ه‬:
‫ل‬ ‫ﻡ‬3:‫رة‬ ‫إ‬ ‫د‬:2 4x −
»‫اﺝ‬ ‫ا‬:2 4 0x − ≥
‫ل‬ ‫ﻡ‬4:‫رة‬ ‫إ‬ ‫د‬:3 9x− +
»‫اﺝ‬ ‫ا‬:3 9 0x− +
IV.‫ا‬ ‫ﻡ‬‫وا‬ ‫ل‬ ‫و‬ ‫ا‬ ‫رﺝ‬ ‫ا‬ ‫ﻡ‬ ‫ت‬ ‫اﺝ‬ ‫ﻡ‬ ‫ا‬ ‫ول‬ ‫ﺕ‬ ‫ت‬ ‫ﺝ‬:
‫ل‬ ‫ﻡ‬1:»‫ا‬ ‫ت‬ ‫اﺝ‬ ‫ا‬:
( )( )5 20 3 7 0x x− + − ≥
‫ل‬ ‫ﻡ‬2:»‫اﺝ‬ ‫ا‬:2
9 25 0x −
‫ل‬ ‫ﻡ‬3:
1.»‫د‬ ‫ا‬:2
5 6 0x x− + =
2.»‫اﺝ‬ ‫ا‬:2
5 6 0x x− + ≥
V.‫ت‬ ‫ا‬:
1.‫و‬ ‫ا‬ ‫رﺝ‬ ‫ا‬ ‫ﻡ‬ ‫ت‬ ‫د‬ ‫ﻡ‬:
‫أ‬ ‫و‬ ‫ل‬ ‫ﻡ‬:
2
»‫د‬ ‫ا‬:5 7 3 0x y+ + =
2.‫د‬ ‫ﻡ‬:
‫ی‬ ‫ا‬ ‫ی‬:
‫ل‬ ‫ﻡ‬:2
»‫ا‬ ‫ا‬:
4 10
5 2 19
x y
x y
+ =

+ = −
‫ا‬ ‫ی‬:
‫ل‬ ‫ﻡ‬:2
»‫ا‬ ‫ا‬:
4 3 1
9 5 3
x y
x y
− = −

− =
‫دة‬ ‫ا‬ ‫ی‬:
‫ل‬ ‫ﻡ‬:
2
»‫ا‬:( )
2 4
1
4 2
x y
x y
+ =

− + =
‫ا‬ ‫دة‬ ‫ﻡ‬)1(‫ه‬:
1 2
6
1 4
D = =
−
‫ا‬ ‫و‬ ‫ﺕ‬ ‫ا‬ ‫ﻡ‬ ‫و‬:
‫ه‬
4 2
2 4 12
2
6 6
x = = =‫و‬
1 4
1 2 6
1
6 6
y
−
= = =‫وج‬ ‫ا‬ ‫ه‬ ‫ا‬ ‫ﻡ‬ ‫و‬( )2,1
+∞2−∞x
+0−2x− +