функционал

1. Функционал
Пусть Е – вещественная (комплексная) линейная система. Если каждому элементу xE
Поставлено в соответствие некоторое вещественное (комплексное) число f(x), то говорят,
что на E определен функционал.
Функционал f(x) называется линейным, если
f(x + y) = f(x) + f(y) (x,yE)
Если f(x) – линейный функционал, то совокупность элементов, для которых f(x)=0,
образует минимальное многообразие.
Непустое подмножество M линейной системы E называется линейным многообразием,
если всякая линейная комбинация 1x1 + 2x2 для x1,x2M также принадлежит M
Гиперплоскостью называется совокупность элементов, для которых f(x)-C.  получается
из максимального линейного многообразия M сдвигом на некоторый элемент.
L = x0 + M
Непрерывные линейные функционалы.
Функционал f(x), определенный на линейном нормированном пространстве E, называется
непрерывным в точке x0E, если f(xn)  f(x0).
Функционал f(x) называется непрерывным линейным функционалом, если он
одновременно является линейным и непрерывным на E.
Из непрерывности линейного функционала в одной точке следует его непрерывность
всюду.
Говорят, что линейный функционал ограничен на E если С>0 что для xE
f(x)C x
Наименьшее из чисел С, удовлетворяющее этому неравенству, называется нормой
ограниченного линейного функционала f(x)
x
xf
f
Ex
)(
sup


Примеры линейных функционалов.
На функциональных пространствах Lp(0,1), С(0,1) примером непрерывного линейного
функционала служит определенный интеграл

1
0
)()( dttxxf
Более общий вид

2. 
1
0
)()()( dtttxxP 
где (t) - ограниченная измеряемая функция (финитная).
В пространстве С(0,1) значение функции x(t) в фиксированной точке t0 будет
непрерывным линейным функционалом с нормой равной единице
f(x) = x(t0), f = 1.