Download as PDF, PPTX
![9
Лекция 1
Тема 1. Особенности физических взаимодействий в
наномасштабах. Квантовая механика нанообъектов
1.1. Особенности физических взаимодействий в наномасшта-
бах
Понятие фотоника подразумевает совокупность наук и тех-
нологий, связанных с излучением, поглощением, эмиссией, пре-
образованием света и также с их применением в различных
устройствах. Свет - это электромагнитное излучение для прямо-
го человеческого восприятия в диапазоне длин волн от прибли-
зительно 400 до приблизительно 700 нанометров. Как правило,
соседние участки в далеком ультрафиолетовом и ближнем ин-
фракрасном диапазонах также являются предметом фотоники.
Таким образом, в качестве субъекта фотоники можно назвать
приблизительный диапазон электромагнитного излучения от 100
нм до 1-2 мкм. Если пространство имеет определенные неодно-
родности на масштабе, сравнимом с длиной волны света, то из-
за многократного рассеяния и интерференции возникают изме-
нения распространения световых волн. Рассеяние света является
необходимой предпосылкой для зрения. Сияющие цвета мыль-
ных пузырей и тонких пленок бензина на мокрой дороге после
дождя являются первым опытом наблюдения интерференции в
раннем детстве. Чтобы изменять условия для распространения
света, размер неоднородностей в пространстве должен быть
сравним с длиной волны света, т.е. начиная с размера в диапа-
зоне 10-100 нм до нескольких микрометров. [15]
Материя формируется из атомов, которые, в свою очередь,
состоят из ядер и электронов. Элементарный атом водорода
имеет радиус первой орбиты 0,053 нм. Атомы
могут образовывать молекулы и твердые тела. Многие типичные
органические молекулы имеют размеры порядка 1 нм. Для ти-
пичных кристаллических твердых тел период решетки составля-
ет около 0,5 нм. Взаимодействие света с веществом сводится
фактически к процессам, связанным с электронной подсистемой
молекул и твердых тел. Поэтому, чтобы понять взаимодействие
10
света и вещества, нужно детально рассмотреть электронные
свойства. Электроны рассматриваются как объекты, обладаю-
щие волновыми свойствами в точки зрения длины волны, и кор-
пускулярные свойства с точки зрения массы и заряда. Если элек-
трон приобрел кинетическую энергию в результате ускорения в
электрическом поле между парой пластин с напряжением 1В
(например, генерируемых в кремниевых фотоэлементов), то его
кинетическая энергия 1 эВ соответствует длине волны де Брой-
ля, близкой к 1 нм. Для кинетической энергии Е=kBT = 27 мэВ,
соответствующей комнатной температуре, длина волны де
Бройля электрона в твердых телах имеет порядка 10 нм.
«Если при уменьшении объема какого-либо вещества по од-
ной, двум или трем координатам до размеров нанометрового
масштаба возникает новое качество, или это качество возникает
в композиции из таких объектов, то эти образования следует от-
нести к наноматериалам, а технологии их получения и дальней-
шую работу с ними -к нанотехнологиям.» [15]
Линейный размер структурных единиц наноматериалов из-
меняется в пределах примерно от 1 до 1000 атомных (молеку-
лярных) слоев. Объем –от 10 до 106атомов (молекул).
Наночастица (англ. nanoparticle) - изолированный твердофаз-
ный объект, имеющий отчетливо выраженную границу с окру-
жающей средой, размеры которого во всех трех измерениях со-
ставляют от 1 до 100 нм. Наночастицы - один из наиболее общих
терминов для обозначения изолированных ультрадисперсных
объектов, во многом дублирующий ранее известные термины
(коллоидные частицы, ультрадисперсные частицы), но отлича-
ющийся от них четко определенными размерными границами.
Твердые частицы размером менее 1 нм обычно относят к класте-
рам, более 100 нм — к субмикронным частицам [25]
Отнесение к нанотехнологиям (наноматериалам, нанонаукам)
отражает не только пространственный масштаб рассматривае-
мых явлений, процессов, структурированности (неоднородно-
сти) веществ. Отнесение к нанотехнологиям (наноматериалам,
нанонаукам) подразумевает наличие качественных особенностей
в закономерностях, определяющих протекание явлений и про-
цессов и отсутствующих при других характерных масштабах.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»](https://image.slidesharecdn.com/random-150926090117-lva1-app6891/85/slide-5-320.jpg)
![11
Нанотехнология - данный термин в настоящее время не имеет
единого определения. Первоначально термин «нанотехнология»
использовался в узком смысле и означал комплекс процессов,
обеспечивающих высокоточную обработку поверхности с ис-
пользованием высокоэнергетических электронных, фотонных и
ионных пучков, нанесения пленок и сверхтонкого травления. В
настоящее время термин «нанотехнология» используется в ши-
роком смысле, охватывая и объединяя технологические процес-
сы, приемы и системы машин и механизмов, предназначенные
для выполнения сверхточных операций в масштабе нескольких
нанометров. Под термином «нанотехнологии» Роснано понимает
совокупность технологических методов и приемов, используе-
мых при изучении, проектировании и производстве материалов,
устройств и систем, включающих целенаправленный контроль и
управление строением, химическим составом и взаимодействи-
ем составляющих их отдельных наномасштабных элементов (с
размерами порядка 100 нм и меньше как минимум по одному из
измерений), которые приводят к улучшению, либо появлению
дополнительных эксплуатационных и/или потребительских ха-
рактеристик и свойств получаемых продуктов [25].
Наноструктуры часто встречаются в живой природе. Струк-
турами с одномерной периодичностью, обладающими выра-
женной интерференционной окраской, являются, например, по-
крытия на крыльях некоторых бабочек, хвостовых перьях пав-
лина, панцирях некоторых жуков. Роль интерференции в окраске
перьев павлинов отмечал еще Исаак Ньютон в 1730 г.
Недавно высказано предположение, что периодическая
структура диатомовых водорослей способствует более эффек-
тивному светосбору, повышая, таким образом, продуктивность
фотосинтеза. Целесообразность интерференционной окраски не
получила однозначного толкования. Можно предположить, что
предпочтение интерференции по сравнению с абсорбционным
механизмом цветообразования у живых организмов связано с
тем, что интерференционная окраска не требует поглощения и
диссипации световой энергии, а значит, не сопровождается
нагревом и фотохимическим разрушением пигментного покры-
тия.
12
Рис.1.1. Интерференционная окраска пера павлина.
Структуры с двумерной периодичностью присутствуют в
строении глаз насекомых (например, моли), а также человека и
других млекопитающих, в строении некоторых видов водорос-
лей. Двумерная периодичность присуща натуральным жемчу-
жинам, состоящим из слоистой упаковки цилиндрических эле-
ментов. Функциональность строения живых организмов, сфор-
мировавшихся под влиянием естественного отбора, приводит к
мысли о целевом использовании оптических свойств периодиче-
ских структур в живой природе. Во многих случаях такая целе-
сообразность не вызывает сомнений. Регулярная пористая
структура глаз насекомых и роговицы глаз млекопитающих яв-
ляется эффективным антиотражающим интерфейсом, обеспечи-
вающим прохождение света без френелевского отражения с од-
новременной возможностью физико-химического обмена с
окружающей средой для внутренних тканей глаза [38].
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»](https://image.slidesharecdn.com/random-150926090117-lva1-app6891/85/slide-6-320.jpg)
![13
Рис. 1.2. Периодическая структура глаза насекомого. Микрофо-
тография
В природе существуют трехмерные периодические структуры
в виде коллоидных кристаллов. Они впервые были обнаружены
при исследовании вирусов. Полудрагоценный минерал опал
представляет собой коллоидный кристалл, состоящий из моно-
дисперсных сферических глобул оксида кремния. Именно ин-
терференцией света в трехмерной периодической структуре
определяется их искрящийся цвет, зависящий от угла падения и
наблюдения.
1.2. Описание движения наночастиц. Уравнение Шредингера
Согласно гипотезе де-Бройля поток любых материальных ча-
стиц (электронов, протонов, нейтронов, целых атомов и т.д.) об-
ладает, аналогично кванту света фотону, не только корпуску-
лярными, но и волновыми свойствами. Таким образом, если ча-
стица имеет энергию E и импульс, абсолютное значение которо-
го равно p, то с ней связана волна, частота которой
h
Е
, (1.1)
а длина волны де Бройля
14
p
h
, (1.2)
где h – постоянная Планка. Эти волны получили название волн
де Бройля. При этом волновой вектор k
этих волн определяется
их импульсом:
p
k , (1.3)
где p
- импульс частицы;
2
h
- приведенная постоян-
ная Планка.
Физический смысл волны де Бройля заключается в том, что
это не классическая материальная волна, а волна вероятности.
Т.е. это есть некая функция ψ(x,y,z,t), описывающая состояние
частицы, квадрат модуля которой определяет вероятность нахож-
дения частицы в различных точках пространства (x,y,z) и в раз-
личные моменты времени t [3].
Волна де Бройля для микрочастицы - это плоская волна вида
)(
0
)(
0
rpEt
i
rkti
ee
, (1.4)
где r
- радиус-вектор, 0 - амплитуда плоской волны.
Вместо соотношения (1.2) на практике для вычисления длины
волны де Бройля у электронов часто используют выражение
кинEm
h
2
, (1.5)
где m * - эффективная масса электрона в твердом теле; Екин- ки-
нетическая энергия электронов.
Длина волны де Бройля - это мера пространственного объема,
согласно которой квантово-механические свойства микрочастиц
(т.е. вероятностный характер их поведения) становятся определя-
ющими.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»](https://image.slidesharecdn.com/random-150926090117-lva1-app6891/85/slide-7-320.jpg)
![15
Иными словами, длина волны де Бройля - это условная гра-
ница для оценки перехода из макромира в наномир. В наномире
микрочастицы теряют привычные для макрочастиц свойства:
– микрочастицы движутся не по траекториям (механика
Ньютона для них отменяется);
– невозможно одновременно определить местоположение
и скорость микрочастицы (принцип Гейзенберга);
невозможно достоверно точно сказать, в какой точке простран-
ства находится микрочастица, а можно говорить лишь о вероят-
ности нахождения микрочастицы в данной точке пространства,
которая пропорциональна квадрату модуля волновой функции
микрочастицы и т.д.
Задачи физики наночастиц решаются методами квантовой
теории, которая принципиально отличается от классической ме-
ханики. В основе расчётов лежит уравнение Шредингера. Решив
его, мы находим набор энергетических уровней, который реали-
зуется в заданном потенциале, а также получаем информацию
статистического характера о возможном положении частицы.
Состоянию частицы в момент времени t0 в квантовой меха-
нике ставят в соответствие волновую функцию (r, t0) –
функцию координат, вообще говоря, комплексную. Соответ-
ственно, эволюцию состояния описывает функция координат и
времени (r, t). Волновую функцию (r, t) можно найти, ре-
шая уравнение Шредингера [35]
ψψ
ψ
U
mt
i
2
2
2
, (1.6)
где i – мнимая единица, т – масса частицы., 2
– оператор Лапласа,
имеющийвдекартовых координатахследующийвид
2222222
/// zyx ,
U – функция координат и времени, которая определяет силу,
действующую на частицу. Уравнение Шредингера, как законы
Ньютона и уравнения Максвелла, вывести нельзя. Оно основано
на анализе экспериментальных данных и в масштабах атомов
описывает волновые свойства частиц. Уравнение (1.6) при задан-
ном потенциале U(r) имеет бесконечное множество решений, соот-
ветствующих множеству возможных начальных состояний электрона.
16
Если задано и начальное состояние электрона (r, 0), его эволюция
(r, t) определяется уравнением (1.6) однозначно.
Еслисиловое поле, вкоторомдвижетсячастица, стационарно, то есть
функция U не зависит явно от времени. Тогда U имеет смысл потенци-
альной энергии частицы.. В этом случае волновая функция (r, t) име-
ет вид
ti
et
)(),( rr . (1.7)
При этом функция )(r находится из решения уравнения, кото-
рое называется стационарным уравнением Шредингера:
0z)y,ψ(x,)(
2
z)y,ψ(x, 2
2
UE
m
. (1.8)
ЗдесьЕ имеетсмыслполнойэнергии частицы.
В случае одномерной области движения, ее стационарное
(амплитудное) уравнение Шредингера имеет вид
0)())((
2)(
22
2
xxUE
m
dx
xd
, (1.9)
где ψ(х) – волновая функция в точке х;
Е – полная энергия микрочастицы,
a U(x) - потенциальное энергетическое поле, в котором дви-
жется микрочастица.
Для свободной микрочастицы, на которую не действуют
внешние силы, т.е. U(x)=0, ее полная энергия равна кинетиче-
ской:
2
22
22 m
h
m
p
Eкин . (1.10)
Для микрочастицы, движущейся в поле действия постоянного
потенциала Uо, функция U(x)=U0.. В этом случае уравнение (1.10)
может быть записано как
0)(
)( 2
2
2
xk
dx
xd
, (1.11)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»](https://image.slidesharecdn.com/random-150926090117-lva1-app6891/85/slide-8-320.jpg)
![17
где k - волновое число микрочастицы, рассчитываемое как
2
0 )(2
UEm
k
. (1.12)
Смысл волновой функции
В общем случае (произвольное движение частицы в произ-
вольных силовых полях) состояние частицы в квантовой меха-
нике задается волновой функцией. Она - основной носитель ин-
формации о корпускулярных и волновых свойствах микроча-
стиц. В частном случае свободного движения частицы волновая
функция - плоская волна де Бройля.
На основании статистической интерпретации вероятность
нахождения частицы в момент времени t с координатами x и
x+dx, y и y+dy, z и z+dz определяется интенсивностью волновой
функции, т.е. квадратом пси-функции. Поскольку в общем слу-
чае y - комплексная функция, а вероятность должна быть всегда
действительной и положительной величиной, то за меру интен-
сивности принимается квадрат модуля волновой функции [35] .
Вероятность dW нахождения частицы в элементе объема dV в
момент времени t
dVdW
2
. (1.13).
Плотность вероятности, т. е. вероятность нахождения части-
цы в момент времени t в окрестности данной точки пространства
2
dV
dW
w . (1.14).
Плотность вероятности — величина, наблюдаемая на опыте,
в то время как сама волновая функция, являясь комплексной,
наблюдению недоступна, В этом заключается существенное от-
личие в описании состояний частиц в квантовой и классической
механике (в классической механике величины, описывающие
состояние частиц, наблюдаемы).
Вероятность найти частицу в момент времени t в некотором
объеме V
18
v v
dVdWW
2
.
Т. к. dV
2
определяется как вероятность, то, проинтегри-
ровав это выражение в бесконечных пределах, получим вероят-
ность того, что частица в момент времени t находится где-то в
пространстве. Это есть вероятность достоверного события, а ее в
теории вероятностей считают равной 1. Отсюда следует условие
нормировки
1
2
dV
(1.15)
Волновая функция - объективная характеристика состояния
наночастиц и должна удовлетворять ряду ограничений. Она
должна быть конечной (вероятность не может быть больше еди-
ницы), однозначной (вероятность не может быть неоднозначной
величиной) и непрерывной (вероятность не может изменяться
скачком).
Принцип суперпозиции
Уравнение Шредингера линейно относительно волновой
функции. Следовательно, любая линейная комбинация
1 1 2 2C C
его решений 1 и 2 также является его решением.
Таким образом, линейная комбинация волновых функций
обязательно описывает некоторое состояние частицы (или си-
стемы частиц). В частности, при C2 = 0 получаем, что решение
уравнения Шредингера, известно с точностью до постоянного
множителя.
В итоге можно выделить следующие свойства волновой
функции [35].
Свойства волновой функции:
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»](https://image.slidesharecdn.com/random-150926090117-lva1-app6891/85/slide-9-320.jpg)
![19
1) Однозначна, конечна, непрерывна, дифференцируема.
2) Вероятность W найти частицу в конечном объёме V рав-
на (из (1.14)):
V
dVW
2
. (1.16)
3) Вероятность найти частицу хотя бы где-нибудь: неважно,
в какой точке пространства (если частица существует) равна
единице:
1
2
dV . (1.15)
Это – условие нормировки.
4) Волновую функцию можно домножить на любое
комплексное число С, и полученная функция будет описывать то
же самое состояние: и С описывают одинаковые состоя-
ния частицы.
5) Если частица может находиться в состоянии,
описываемом функциями 1 , или 2 , …, или N , то возмож-
но состояние частицы, описываемое любой линейной комбина-
цией этих функций:
6)
N
i
iiC
1
, (1.17)
где iC – комплексные числа. Это свойство называется принци-
пом суперпозиции. Именно оно легло в основу экспериментов
по квантовой телепортации.
Описание состояния частицы с помощью волновой функции
не позволяет найти ни координаты частицы, ни её траекторию.
Однако утверждается, что волновая функция даёт исчерпы-
вающее описание поведения микрочастицы. Волновая функ-
ция не даёт информации о том, чего нет: у микрочастиц нет тра-
ектории, нет точных значений координат в любой момент вре-
мени.
20
1.3. Собственные функции, собственные значения
Решение уравнения Шрёдингера существует не для любых
значений энергии Е. Значения энергии, при которых решение
существует, называются собственными значениями. Соответ-
ствующие им волновые функции тоже называются соб-
ственными функциями [35].
Совокупность собственных значений энергии – спектр
(энергетический спектр). Спектр энергии может быть дискрет-
ным (набор конкретных значений) или непрерывным, сплош-
ным. Если спектр дискретный, собственные значения можно
пронумеровать:
1E , 2E , 3E ,… iE ,…
Этим значениям соответствуют собственные функции:
11 E ,
22 E ,
…
iiE ,
… .
Возможен вариант, когда одному и тому же собственному
значению энергии соответствует несколько волновых функций;
например, три:
321 ;; nnnnE .
Тогда соответствующий уровень энергии называется вырож-
денным, причём кратность вырождения равна числу волновых
функций. В приведённом примере уровень nЕ трижды вырож-
ден.
Замечание: Квантование энергии при решении уравнения
Шрёдингера получается естественно, без привлечения ка-
ких-либо дополнительных соображений [35].
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»](https://image.slidesharecdn.com/random-150926090117-lva1-app6891/85/slide-10-320.jpg)
![23
Лекция 2
Тема 2. Квантование энергии.
2.2. Наночастица в одномерной потенциальной яме
Пусть частица движется в постоянном потенциальном поле,
причём потенциальная энергия частицы меньше её полной энер-
гии:
EconstU .
Рассмотрим одномерное движение вдоль оси Oх, тогда волно-
вая функция зависит только от координаты x ( x ), и ста-
ционарное уравнение Шрёдингера (1.9) имеет вид [35].:
0)())((
2)(
22
2
xxUE
m
dx
xd
.
Обозначим
0
2
2
2
UE
m
k
.
Тогда
02
2
2
k
dx
d
,
02
k .
Это обыкновенное дифференциальное однородное уравнение
второго порядка; его решением, в частности, будет гармониче-
ская функция:
xkAx cos . (2.1)
Здесь UE
m
k 2
2
– волновое число;
2
k .
24
Запишем общее решение, помня, что волновая функция –
комплексная:
xkixki
eBeAx
. (2.2)
Полная функция:
tixkixkiti eeBeAextx
, .
xktixkti eBeAtx
, . (2.3)
.
Получили суперпозицию двух волн: первое слагаемое пред-
ставляет собой волну, бегущую в положительном направлении
оси OX, второе – в отрицательном.
Действительная часть пси-функции – это суперпозиция двух
косинусов (по формуле Эйлера sincos iei
):
xktBxktAtx coscos,Re . (2.4)
2.3. Частица в одномерной потенциальной яме с бесконечно вы-
сокими стенками
Рассмотрим частицу в одномерной потенциальной яме ши-
риной l с бесконечно высокими стенками (рис. 2.2).
Рис. 2.2.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»](https://image.slidesharecdn.com/random-150926090117-lva1-app6891/85/slide-12-320.jpg)
![25
Потенциальная энергия частицы U обращается в бесконеч-
ность при x<0 и x>l и равна нулю при lx 0 (рис.2.2).
Найдём возможные значения энергии частицы в таком потенци-
альном поле и соответствующие волновые функции.
За пределы потенциальной ямы частица выйти не может, так
как там U . Следовательно, волновая функция равна нулю
при x<0 и x>l, а в силу непрерывности на границе интервала
также обращается в нуль:
0
0
lx
x
. (2.5)
Осталось записать и решить уравнение Шрёдингера на интер-
вале lx 0 , где U=0 [35]. :
0
2
22
2
E
m
dx
d
.
Вводим обозначение для волнового числа:
2
2
Em
k
, (2.6)
тогда
02
2
2
k
dx
d
. (2.7)
Решение этого уравнения имеет смысл записать в виде синуса;
тогда автоматически удовлетворим требованию непрерывности
волновой функции на левом конце интервала ( 00 ):
xkAx sin . (2.8)
Должно также выполняться граничное условие:
0sin lkAl ;
откуда
nlk ,
26
l
n
k
. (2.9)
Здесь n – квантовое число; оно может принимать значения
...,3,2,1n
Рис. 2.3. Энергетические уровни частицы в бесконечной
одномерной потенциальной яме, рассчитанные по формуле (2.10)
Для энергии из (2.6)
nl
Em
2
2
,
тогда
2
2
22
2
n
lm
En
. (2.10)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»](https://image.slidesharecdn.com/random-150926090117-lva1-app6891/85/slide-13-320.jpg)
![27
Получено квантование энергии: энергия частицы может при-
нимать только дискретные значения (рис.2.3), которые даёт соот-
ношение (2.10). Минимальное значение энергия принимает при
n=1:
2
22
1min
2 lm
EE
. (2.11)
Минимальное значение энергии не может быть равным нулю в
силу принципа неопределённостей.
Из (2.9) и (2.10) получим соответствующие этим уровням
энергии волновые функции:
x
l
n
Axn
sin . (2.12)
При n=1:
x
l
Ax
sin1 ;
при n=2:
x
l
Ax
2
sin2 ;
при n=3:
x
l
Ax
3
sin3 ;
и т.д.
Графики волновых функций частицы в одномерной потенци-
альной яме для разных значений n изображены на рисунке 2.4.
Амплитуду А волновой функции находим из условия норми-
ровки (1.15):
1
0
2
l
dx ;
1sin
0
22
l
dxx
l
n
A
;
28
12cos1
2
0
2
l
dxx
l
nA
;
1
2
2
sin
2
0
2
l
l
n
x
l
n
x
A
;
10
2
2
sin
2
2
l
n
l
l
n
l
A
;
1
2
2
l
A
;
l
A
2
. (2.13)
Расстояние между соседними уровнями энергии из (2.10) [35]:
2
2
22
2
2
22
1
2
1
2
n
lm
n
lm
EEE nnn
,
12
2 2
22
n
lm
En
. (2.14)
Относительное расстояние между уровнями уменьшается при
увеличении квантового числа n:
0
2
1
2
12
2
nn
n
n
n
E
E
n
n
. (2.15)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»](https://image.slidesharecdn.com/random-150926090117-lva1-app6891/85/slide-14-320.jpg)
![31
В квантовой яме электроны проводимости локализованы по
одному измерению и не локализованы по двум остальным в
плоскости, перпендикулярной этому измерению.
2.5. Потенциальный барьер. Туннельный эффект
Туннельный эффект (туннелирование) - квантовый переход
системы через область движения, запрещённую классической ме-
ханикой [20].
Туннельный эффект играет важную роль в физике твёрдого
тела: электроны движутся в периодическом потенциальном поле
кристаллической решётки, проникая за счёт туннельного эффекта
через барьеры, разделяющие потенциальные ямы.
Пусть частица налетает на прямоугольный потенциальный ба-
рьер шириной l и высотой U0, большей, чем полная энергия ча-
стицы E (рис.3.1) [35]:
0
0
;
0если,
;0если,0
UE
lxUxU
lxxxU
. (2.16)
Рис. 2.6. Отражение частицы от потенциального барьера.
Классическая частица отразится от барьера. Как будет вести
себя квантовая? Решая уравнение Шредингера, можно показать,
что с ненулевой вероятностью частица проникнет сквозь барьер
32
(решение уравнения Шредингера провести на практических заня-
тиях). Коэффициент прозрачности (или коэффициент прохож-
дения) барьера - отношение квадратов амплитуд волновых функ-
ций после и до барьера, то есть вероятность прохождения части-
цы через барьер:
2
I
III
A
A
D . (2.17)
Для рассмотренного барьера прямоугольной формы, в слу-
чае, если величиной le можно пренебречь, коэффициент про-
хождения приближенно вычисляется по формуле [35]:
)(2
2
2 0 EUm
l
l eeD
. (2.18)
Для барьера произвольной формы:
dxExUmD
b
a
2
2
exp
. (2.19)
Здесь интегрировать нужно по области, где xUE .
Из выражения (3.14) следует, что вероятность прохождения
частицы через потенциальный барьер сильно зависит от ширины
барьера l и от его превышения над Е, то есть от величины
EU 0 .
Для микрочастиц есть ещё один эффект: надбарьерное отра-
жение. Если классическая частица пролетит свободно над барье-
ром высотой, меньшей, чем её полная энергия (рис.2.7), то кван-
товая частица с ненулевой вероятностью отражается от такого
низкого барьера.
С классической точки зрения туннельный эффект невозможен.
Туннельный эффект – явление специфически квантовое, не име-
ющее аналога в классической физике.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»](https://image.slidesharecdn.com/random-150926090117-lva1-app6891/85/slide-16-320.jpg)
![33
Рис. 2.7. Надбарьерное отражение
Для удобства практических расчетов запишем коэффици-
ент прохождения через потенциальный барьер в следующей фор-
ме [3]:
)(4)(sin
)(4
00
22
0
0
UEEUEm
l
U
UEE
D
. (2.20)
Это точная формула для расчета коэффициента прохождения
(сравните с приближенной формулой (2.18)).
2.6. Применение туннельного эффекта в современных прибо-
рах
Функционирование быстродействующих электронных прибо-
ров основано на движении электронов поперек квантово-
размерных слоев. В этом случае толщина слоев должна быть до-
статочно малой, чтобы проявились квантово-механические (вол-
новые) свойства электрона. Быстродействие приборов основано
на закономерностях прохождения электронов туннелированием
34
сквозь тонкие потенциальные барьеры и на взаимодействии этих
электронов с энергетическими уровнями размерного квантования
в потенциальных ямах, разделяющих барьеры..
Дальнейший прогресс электроники связан с миниатюризаци-
ей классических микроэлектронных приборов, т.е. созданием
приборов, в которых контролируется перемещение определенно-
го количества электронов. Создание приборов на основе переме-
щения одного электрона позволяет обеспечить прогресс цифро-
вой одноэлектроники, в которой бит информации будет пред-
ставлен одним электроном. В таких приборах перемещение элек-
трона происходит посредством туннелирования. Учитывая, что
время туннелирования электрона достаточно мало, теоретический
предел быстродействия одноэлектронных приборов очень высок,
и работа, необходимая для перемещения одного электрона, также
мала.
Рис. 3.4. Сканирующий туннельный микроскоп [26]
Туннельный эффект уже на практике применяется в техно-
логии сканирующего туннельного микроскопа [34]. Действие
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»](https://image.slidesharecdn.com/random-150926090117-lva1-app6891/85/slide-17-320.jpg)
![37
Лекция 3
Тема 3. Квантово – размерные эффекты. Квантовый
конфайнмент
3.1. Плотность состояний
Все макропараметры любой электронной системы, прибо-
ра, устройства (ток, сопротивление, проводимость) обусловлены
микропараметрами, характеризующими электронный перенос в
них (подвижностью, дрейфовой скоростью, временем и длиной
свободного пробега и рядом других). Эти микропараметры опре-
деляют или точнее сами задаются кинетикой электронов. Кине-
тика, или пространственное движение электронов, — это, прежде
всего, движение под действием электрических и магнитных по-
лей в веществе, непрерывно прерываемое различными актами
рассеяния. При рассеянии направление движения электронов ме-
няется. Чаще всего это изменения направления движения хаотич-
ны, однако некоторые механизмы рассеяния, например, на ионах
примеси и электронов друг на друге, подчиняются определенным
закономерностям.
В целом рассеяние электрона определяется углом рассея-
ния . Пусть k – волновое число электрона до рассеяния, k’ – по-
сле рассеяния. Рассеяние может быть упругим, тогда k k , и
неупругим, тогда k k . Закон, определяющий соответствие
между k и k , устанавливается характером каждого механизма
рассеяния [19].
3D-состояние — это когда электрон свободен в своем
движении по всем трем направлениям (при рассеянии все компо-
ненты вектора k
меняются), 2D-состояние — это когда электрон
свободен в своем движении только по двум направлениям (меня-
ются только два компонента вектора k
— обычно в качестве ее
выбирают xk и yk ), 1D-состояние — это когда электрон свобо-
ден в своем движении только по одному направлению (меняется
только одна компонента вектора k
— обычно в качестве ее вы-
бирают xk ).
38
Плотность состояний D есть параметр, определяющий
количество энергетических состояний, которые могут занимать
электроны, приходящихся на единичный интервал энергии.
Плотность состояний имеет важный физический смысл. Она
определяет концентрацию электронов в конкретной области лю-
бого материала или прибора, а также интенсивность рассеяния
электронов в этой области (число рассеяний в единицу времени)
[19].
Каждый тип волн обладает конечным числом мод внури
ограниченного объема и конечным числом частот, волновых чи-
сел, длин волн. Соответственно для квантовой частицы внутри
данного ограниченного объема может существовать конечное
число состояний. которые характеризуются определенными зна-
чениями энергии, импульса, длины волны, волнового числа.
Используем метод Рэлея для расчета плотности состояний
[3]. Возьмем объемный прямоугольной формы образец, с разме-
рами xL , yL и zL , превышающими де-Бройлевскую длину вол-
ны электрона (см. рис. 4.1).
Рис. 3.1. Образец прямоугольной формы [19]
Для простоты можно рассмотреть образец кубической фор-
мы (Lx=Ly=Lz=L). Подсчитаем, сколько мод лежит в интервале (k,
k+dk). (Мы рассматриваем стоячие волны, образующиеся внутри
куба. Для каждой стоячей волны выполняется граничное условие:
Lx
Lz
Ly
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»](https://image.slidesharecdn.com/random-150926090117-lva1-app6891/85/slide-19-320.jpg)
![39
волна обращается в ноль на границе куба). Длина стоячей волны
принимает следующие значения:
....,3,2,1,
2
...,
4
2
;
3
2
;
2
2
;2
n
n
L
LLL
L
(3.1)
При этом волновое число
...
3
,
2
,
2
LLL
k
(3.2)
....3,2,1, n
L
nk
Волновое число вдоль каждой оси принимает значения:
L
nk
L
nk
L
nk zzyyxx
,, . (3.3)
Мы рассматриваем дискретные моды в k-пространстве. Каждая
пара соседних мод занимает пространство
L
kkk zyx
.
Следовательно, каждая мода в k-пространстве занимает объем
3
L
Vk
. (3.4)
Подсчитаем число мод для всех направлений внутри интервала
[k, k+dk], то есть число мод, которые содержатся в сферическом
слое между сферами радиусов k и k+dk. Объем такой сферы
dkkdVk
22 . (3.5)
Возьмем только положительные значения проекций ks. Тогда при
расчете следует добавить коэффициент
8
1
. Учтем, что в каждом
состоянии может находиться два электрона с разнымисспинами,
40
тогда коэффициент станет равным
4
1
8
1
2 . В результате число
мод внутри рассматриваемой сферы
2
23
3
2
2
2
4
1
dkkL
L
dkk
V
dV
N
k
k
k
. (3.6)
Найдем число мод, приходящихся на единицу объема L3
dk
k
L
Nk
2
2
3 2
. (3.7)
Введем плотность состояний D(k)следующим образом:
dk
k
dkkD
2
2
2
)(
. (3.8)
Тогда искомая плотность состояний для трехмерного случая име-
ет вид [3]:
2
2
3
2
)(
k
kD . (3.9)
Плотность состояний для двумерного случая:
2
)(2
k
kD . (3.10)
Плотность состояний для одномерного случая:
1
)(1 kD . (3.11)
Перейдем к плотности состояний, записанной в -
пространстве D(). Рассмотрим трехмерный случай
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»](https://image.slidesharecdn.com/random-150926090117-lva1-app6891/85/slide-20-320.jpg)
![43
В двумерном электронном газе свободным для движения яв-
ляется лишь два направления — например, по длинам xL и yL .
В этом случае для энергии будем имеет
2 22 2
2 2
yx
n
kk
E E
m m
. (3.15)
Наличие квантованных уровней энергии отражается на графике
плотности состояний для квантово-размерных структур (см. рис.
4.3 и.4.4). Более подробно типы квантово-размерных структур
описаны в разделе 4.2.
Рис. 3.4. Плотность состояний для квантовой нити (D1) и для
квантовой точки (D0)
44
3.2.Типы квантоворазмерных структур
Важнейшим свойством наноструктур является зависимость
их свойств от характерного размера неоднородностей. Наибо-
лее широко известное проявление этого свойства – так называе-
мый «эффект размерного квантования». Он обусловлен тем, что
пространственное ограничение движения элементарных возбуж-
дений в такой системе в области неоднородности приводит к
сильной перестройке их энергетического спектра. Как и в лю-
бом объекте конечного размера (рис. 4.5) в «объемных» однород-
ных кристаллических материалах их собственные возбуждения -
электроны, дырки, экситоны, колебания решетки и другие волны
и частицы, вообще говоря, обладают дискретным энергетическим
спектром. [39]
Рис. 3.5. Схематическое изображение энергетического спектра
электронной подсистемы объемного материала [39]
Однако характерный масштаб этой дискретности, т.е. энер-
гетическое расстояние между соседними состояниями ΔE, мал
по сравнению со спектральной шириной этих состояний, опре-
деляемой обратным временем их жизни τ. В этом смысле можно
говорить о непрерывном энергетическом спектре собственных
возбуждений объемного материала. Можно также определить
объемный материал как такой, размер которого Lz больше, чем
длина свободного пробега l его собственных возбуждений. Вве-
дение здесь длины свободного пробега в качестве характерного
масштаба вполне адекватно, поскольку собственные возбужде-
ния могут описываться бегущими волнами exp(ikz). Если размер
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»](https://image.slidesharecdn.com/random-150926090117-lva1-app6891/85/slide-22-320.jpg)
![45
материала уменьшается и становится меньше длины свободного
пробега (рис. 3.6), или более точно, энергетический зазор
между соседними состояниями превышает обратное время их
жизни, то энергетический спектр элементарных возбуждений
должен считаться дискретным. Это и есть эффект размерного
квантования, а соответствующие структуры называются кван-
товоразмерными [39]. В этом случае крайне существенным явля-
ется отражение элементарного возбуждения, представляющего
собой стоячую волну, от границ материала.
Рис. 3.6. Схематическое изображение энергетического спектра
электронной подсистемы наноструктуры [39]
На первый взгляд может показаться, что различие между объ-
емными и квантоворазмерными материалами чисто количествен-
ное. Однако такое заключение будет абсолютно неверным. Дей-
ствительно, физические свойства объемных материалов прак-
тически не зависят от их размера и формы. В частности дис-
кретность энергетического спектра их собственных возбуждений
никак экспериментально не проявляется. Совершенно иначе об-
стоит дело с квантоворазмерными структурами, в которых не
только энергетические спектры, но взаимодействие элементар-
ных возбуждений друг с другом и с внешними полями зависит от
размера и формы структуры. Среди низкоразмерных структур
можно выделить три элементарные структуры. Это квантовые
ямы, квантовые нити и квантовые точки (рис. 3.6). Эти элемен-
тарные структуры представляют собой кристаллический матери-
ал, пространственно ограниченный в одном, двух и трех измере-
ниях. Для изготовления наноструктур используют всевозможные
46
полупроводниковые соединения, а также полупроводники чет-
вертой группы Si и Ge.
Квантовая яма — это одномерная потенциальная яма, ко-
торая ограничивает подвижность частиц в одном измерении.
Квантовой ямой может служить тонкий слой материала. Толщи-
на квантовой ямы должна быть настолько мала, чтобы квантовые
эффекты были существенными. Проявление квантовых эффектов
становится существенным, если толщина квантовой ямы сравни-
ма с длиной волны де-Бройля электронов (дырок).
Квантовая нить - структура в которой движение носите-
лей ограничено по двум направлениям. Квантовая нить может
быть выполнена из металла или полупроводника в виде нити или
длинного стержня, поперечные размеры которого настолько ма-
лы, чтобы квантовые эффекты были существенными (поперечные
размеры должны быть сравнимы с длиной волны де-Бройля для
электронов (дырок)).
Квантовая яма — это одномерная потенциальная яма, ко-
торая ограничивает подвижность частиц в одном измерении.
Квантовой ямой может служить тонкий слой материала. Толщи-
на квантовой ямы должна быть настолько мала, чтобы квантовые
эффекты были существенными. Проявление квантовых эффектов
становится существенным, если толщина квантовой ямы сравни-
ма с длиной волны де-Бройля электронов (дырок).
Рис. 3.7. Квантовые ямы (a), квантовые нити (b), квантовые точки
(c).
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»](https://image.slidesharecdn.com/random-150926090117-lva1-app6891/85/slide-23-320.jpg)
![47
Пространственное ограничение или конфайнмент при-
водит к тому, что энергетический спектр объемного материала
трансформируется. Зонные спектры расщепляются на подзоны
размерного квантования для квантовых ям и нитей и на дис-
кретные уровни для квантовых точек (Рис. 3.8).
В результате, в плотности состояний низкоразмерных си-
стем возникают характерные особенности (рис.3.9, а также рис.
3.3 и 3.4).
Рис.3.8. Трансформация энергетического спектра элементарных
наноструктур.
Из элементарных наноструктур можно построить сложные
наноструктуры, например, многослойные квантовые ямы и
сверхрешетки), одномерные и двумерные массивы квантовых
нитей или двумерные и трехмерные массивы квантовых точек
(рис.3.11).
48
Рис. 3.9. Плотность состояний элементарных наноструктур.
На рисунке 3.10 представлены изображения реальных
элементарных наноструктур, полученные с помощью электрон-
ного микроскопа.
Рис. 3.10. Изображения (слева направо) квантовой нити, кванто-
вой точки CdS в SiO2, квантовой точки InAs в GaAs, полученные
с помощью просвечивающего электронного микроскопа [39]
Наличие размерных зависимостей параметров наноструктур
неоднократно подтверждалось экспериментально и, прежде
всего, оптическими методами. Еще в 1962 году Сандомирский
предсказал, что край фундаментального поглощения света в тон-
ких пленках кристаллов должен смещаться в синюю область
спектра при уменьшении их толщины Lz в соответствии с фор-
мулой [3]
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»](https://image.slidesharecdn.com/random-150926090117-lva1-app6891/85/slide-24-320.jpg)
![49
2
22
2 z
g
mL
E
. (3.16)
Рис. 3.11. Изображения (слева направо) двумерного и трехмер-
ного массива квантовых точек, полученные с помощью про-
свечивающего электронного микроскопа [39]
Вопрос о первом экспериментальном наблюдении эф-
фекта размерного квантования остается открытым. Первые
наблюдения были сделаны довольно давно, но целенаправленное
изучение этого эффекта начинается именно в 60 годы 20 века. В
настоящее время в связи с бурным развитием нанотехнологий
стало возможным изготовление оптоэлектронных приборов, ис-
пользующих квантоворазмерные эффекты.
50
Выводы
В лекции рассмотрены различные квантово-размерные
структуры: квантовые ямы, квантовые нити, квантовые точки.
Проведен вывод плотности состояний для трехмерного, двумер-
ного и одномерного случая, соответствующих квантовым ямам,
квантовым нитям, квантовым точкам. Рассмотрено образование
дополнительных уровней и подзон на зонной диаграмме вслед-
ствие проявления эффектов размерного квантования.
Вопросы и задания для самоконтроля
3.1.Что такое квантовая яма? Квантовая нить? Квантовая точ-
ка?
3.2.Вывести формулу для расчета плотности состояний в од-
номерном и двухмерном случае для частицы массой m.
3.3.Зная выражение для расчета плотности мод для трехмер-
ного случая D3(k), получить для частицы массой m зави-
симость D3(Е) от энергии Е и D3(р) от импульса р.
3.4.Начертить графики зависимости плотности состояний для
электромагнитных волн и для электронов в трехмерном
случае.
3.5.Получить оценку предельной толщины пленки, при кото-
рой возможно наблюдение квантово-размерных явлений,
если подвижность электронов в пленке 104
см2
/(Вс).
3.6.Сколько квантовых точек CdSe может уместиться на
острие иглы атомно-силового микроскопа?
3.7.Одним из достижений химии и физики полупроводнико-
вых материалов последних лет стало получение коллоид-
ных квантовых точек – полупроводниковых нанокристал-
лов, покрытых органическим стабилизатором. Наиболее
интересным свойством таких нанокристаллов является
зависимость длины волны люминесценции от размера
нанокристалла. Это делает коллоидные квантовые точки
потенциальным материалом для создания светоизлучаю-
щих устройств – светодиодов, светоизлучающих экранов.
Однако возможно создать устройства, выполняющие про-
тивоположную функцию – фотовольтаические пребразо-
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»](https://image.slidesharecdn.com/random-150926090117-lva1-app6891/85/slide-25-320.jpg)
![53
В общем случае корни дисперсионного уравнения выра-
зить в явном виде нельзя, и решение дисперсионного уравнения
проводится численными методами.
4. 2. Электроны в периодических структурах. Теорема Блоха.
Зоны Бриллюэна
Рассмотрим частицу в периодическом потенциале (рис. 6.1
), удовлетворяющем условию
)()( axUxU . (4.7)
Условие (6.1) означает, что потенциальная энергия инвариантна
относительно трансляции вдоль оси x на величину a.
Рис. 4.1. Периодический потенциал
Рассмотрим общие свойства волновых функций, удовлетворяю-
щих одночастичному стационарному уравнению Шредингера [3]
)()()()(
2 2
22
xExxUx
xd
d
m
(4.8)
с потенциалом, обладающим трансляционной симметрией. Про-
изведем преобразование x → x + a и получим уравнение
)()()()(
2 2
22
axEaxxUax
xd
d
m
(4.9)
Сопоставляя уравнения (6.8) и (6.9), легко видеть, что функции
ψ(x) и ψ(x+a) удовлетворяют одному и тому же уравнению
54
Шредингера с одним и тем же собственным значением энер-
гии E. Если это значение энергии невырождено, т. е. ему соот-
ветствует одна волновая функция, то функции ψ(x) и ψ(x + a)
могут различаться лишь постоянным множителем:
)()( xcax . (4.10)
Если обе функции нормированы, модуль c должен быть равен
единице и, следовательно,
22
)()( xax . (4.11)
Таким образом, частица имеет одинаковую вероятность
находиться в точках x и x+a.
Рис. 4.2. Периодический потенциал (а) и амплитудно-
модулированная волновая функция (б).
Рассмотрим свойства коэффициента c. Применяя два-
жды операцию трансляции на величины an1 и an2 , имеем
)()( 2121 xccaax nnnn , (4.12)
где anan , n=1, 2, 3, …..
Принимая во внимание очевидное соотношение
2121 nnnn aaa
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»](https://image.slidesharecdn.com/random-150926090117-lva1-app6891/85/slide-27-320.jpg)
![55
можем записать, что
)( 21 nn aax )( 21 nnax )(21 xc nn ,
откуда
2121 nnnn ccc . (4.13)
Уравнение (6.9) имеет решение вида
n
aki
n ec , (4.14)
где k может принимать любые значения. Таким образом, волно-
вая функция, удовлетворяющая уравнению Шредингера с пери-
одическим потенциалом, может отличаться от периодической
функции с периодом a только фазовым коэффициентом вида
eif(x)
, где f(x) – линейная функция x. Такая волновая функция
имеет вид [3]
),()( xUex k
xki (4.15)
)()( nkk axUxU .
Запись (6.15) означает, что собственная функция для случая пе-
риодического потенциала - это плоская волна, промодулирован-
ная с тем же периодом, что и потенциал. Это утверждение
известно как теорема Флоке (Floquet). Типичный вид волно-
вой функции для одномерного случая показан на рис. 6.2.
Теорема Флоке, записанная для трехмерного случая, носит
названия теоремы Блоха.
Теорема Блоха утверждает, что если потенциал является
периодической функцией
)()( arr UU ,
где 332211 nnn aaaa , 321 ,, aaa - базисные векторы кри-
сталлической решетки, n1, n2, n3 – целые числа, то решения урав-
нения Шредингера записываются в виде
)()( rr rk
k
i
k ue , (4.16)
56
где k – волновой вектор, а )(rku - периодическая функция с
периодом решетки а. Соответственно волны вида (6.16) полу-
чили названия блоховские волны.
Одно из важнейших свойств функций вида (6.15) – их
периодичность по отношению к волновому числу k. При добав-
лении к волновому числу величины kn=2πn/a значение волновой
функции не изменяется, т.е. )()( xx kkk n
. Поэтому все
волновые числа k1, k2,..., отличающиеся на величину 2πn/a,
оказываются эквивалентными. Это свойство является прямым
следствием трансляционной симметрии пространства. Все мно-
жество волновых чисел оказывается состоящим из эквива-
лентных интервалов с шириной 2π/a. Каждый из этих интерва-
лов содержит все неэквивалентные значения волнового числа k.
Эти интервалы называют зонами Бриллюэна. Выбор интервалов
может быть произвольным, например
a
k
a
,
a
k
a
3
,
a
k
a
5
3 ……
Более удобно, однако, выбирать зоны Бриллюэна в виде отрез-
ков, симметричных относительно начала координат. Множе-
ство всех неэквивалентных значений k, имеющих минимальное
абсолютное значение в интервале [-π/a <k<π/a], называют первой
зоной Бриллюэна. Зона Бриллюэна с номером n представляет два
отрезка
a
nk
a
n
)1( . (4.17)
Дисперсионные кривые для электрона в поле кристалличе-
ской решетки приведены на рис. 6.3. На рисунке видно, что раз-
рывы в дисперсионных характеристиках соответствуют запре-
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»](https://image.slidesharecdn.com/random-150926090117-lva1-app6891/85/slide-28-320.jpg)
![57
щенным зонам на зонной диаграмме, изображенной справа.
Рис. 4.3. Дисперсионные кривые для различных зон Бриллюэна.
Справа приведена соответствующая зонная диаграмма
Энергетический спектр и дисперсионная кривая E(k)
(т.е. зависимость энергии от k) для частицы в пространстве с
трансляционной симметрией также отличаются от случая сво-
бодной частицы (рис. 4.3). Дисперсионная кривая имеет разрывы
в точках
....,3,2,1, nn
a
kn
(4.18)
При этих значениях k волновая функция представляет собой
стоячую волну, что является результатом многократных от-
ражений и интерференции волн в периодической структуре.
Для каждого значения kn, удовлетворяющего условию
(6.17), существуют две стоячие волны с различными значениями
потенциальной энергии. Это приводит к возникновению разры-
вов на дисперсионной кривой в точках kn и появлению запре-
щенных интервалов энергий, для которых не существует рас-
пространяющихся волн. Поскольку каждая зона Бриллюэна со-
держит все неэквивалентные значения волновых чисел, при ана-
лизе свойств электронов в периодических структурах обычно
58
рассматривают лишь первую зону Бриллюэна. Путем переме-
щения различных ветвей зависимости E(k) на величину ± 2πn/a
вдоль оси k можно получить так называемое приведенное пред-
ставление дисперсионной кривой, показанное на рис.4.4.
Рис. 4.4. Дисперсионные кривые, приведенные к первой зоне
Бриллюэна (слева). Соответствующая зонная
диаграмма - справа.
Величина p = k для частицы в периодическом потенциале
называется квазиимпульсом. Квазиимпульс отличается от
обычного импульса своеобразным законом сохранения [39].
Закон сохранения импульса в обычном пространстве является
следствием однородности пространства: все точки простран-
ства эквивалентны. В пространстве с трансляционной симмет-
рией эквивалентны точки, координаты которых различаются на
целое число периодов. Поскольку квазиимпульс однозначно
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»](https://image.slidesharecdn.com/random-150926090117-lva1-app6891/85/slide-29-320.jpg)
![59
определяется значением волнового числа, зоны Бриллюэна,
содержащие все неэквивалентные значения k, одновременно
содержат и все неэквивалентные значения квазиимпульса.
Добавление величины nh/a к квазиимпульсу просто означает
переход в эквивалентную точку другой зоны Бриллюэна. Как
видно из рис. 6.3, зависимость E(k) для частицы в периодиче-
ском потенциале существенно отличается от зависимости E(k)
для свободной частицы. Однако по аналогии с функцией
m
k
E
2
22
, присущей свободной частице, для периодического
потенциала можно формально записать
*2
22
m
k
E
, (4.19)
где m* – функция, которую обычно называют эффективной
массой (подробнее про эффективную массу см. п.7.2).
4.3. Электрон в периодическом поле кристалла. Эффектив-
ная масса
Вследствие того что в кристалле на электрон действует пери-
одическое поле решетки, он приобретает некоторые свойства, в
корне отличающие его от классической частицы [24].
Пусть на вещество наложено внешнее электрическое поле с
напряженностью E, тогда сила, действующая на электрон, F= –
eE (здесь e – заряд электрона). Скорость движения электрона
равна групповой скорости распространения волн
dk
dE
dk
d
g
1
v
, (4.20)
т.к. E ,
E
.
За время dt внешняя сила F совершает работу по перемещению
электрона dA:
60
dt
dk
dEF
dtFdSFdA g
v . (4.21)
С учетом того, что dAdE , находим
F
td
dk
td
dk
F . (4.22)
Найдем ускорение электрона
td
vgd
a .Тогда с учетом (7.1)
td
kd
kd
Ed
dk
dE
td
d
a
2
211
. (4.23)
Подставим
td
kd
из формулы (6.3). Получим
F
kd
Ed
a
2
2
2
1
. (4.24)
Формула (6.5) является выражением второго закона Ньютона
m
F
a . Под действием внешней силы F, возникающей при
наложении поля, электрон движется в среднем так, как двигался
бы под действием этой силы свободный электрон некоторой
массы m* , определяемой соотношением
1
2
2
2*
dk
d
m
. (4.25)
Значение массы m* носит название эффективной массы
электрона в решетке.
В физике твёрдого тела, эффективной массой частицы назы-
вается динамическая масса, которая появляется при движении
частицы в периодическом потенциале кристалла. Можно пока-
зать, что электроны в кристалле реагируют на электрическое по-
ле так, как если бы они свободно двигались в вакууме, но с не-
кой эффективной массой, которую обычно определяют в едини-
цах массы покоя электрона me. По величине эффективная масса
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»](https://image.slidesharecdn.com/random-150926090117-lva1-app6891/85/slide-30-320.jpg)
![61
может быть как больше, так и меньше массы свободного элек-
трона, а по знаку – как положительной, так и отрицательной.
Для свободного электрона энергия определяется как
2
2
2
k
m
E
. В таком случае эффективная масса является посто-
янной и равна массе покоя электрона me. В кристалле ситуация
более сложна и закон дисперсии отличается от квадратичного.
Наличие анизотропии кристаллов обуславливает анизотропию
динамических свойств электронов при их движении. Вследствие
этого эффективная масса зависит от направления и является ве-
личиной тензорной [11].
Тензор эффективной массы — термин физики твёрдого тела,
характеризующий сложную природу эффективной массы ква-
зичастицы (электрона, дырки) в твёрдом теле. Тензорная приро-
да эффективной массы иллюстрирует тот факт, что в кристалли-
ческой решётке электрон движется не как частица с массой по-
коя, а как квазичастица, у которой масса зависит от направления
движения относительно кристаллографических осей кристалла.
По определению эффективную массу находят из закона
дисперсии )(k
22
2
22
1 111
k
kk
kkkkk
m
ji
ijij
, (4.26)
где k — волновой вектор, ij — символ Кронекера.
Традиционно эффективные массы носителей измерялись ме-
тодом циклотронного резонанса, в котором измеряется погло-
щение полупроводника в микроволновом диапазоне спектра в
зависимости от магнитного поля. Когда микроволновая частота
равняется циклотронной частоте c , в спектре наблюдается
острый пик. В последние годы эффективные массы более обыч-
но определялись из измерения зонной структуры с использова-
нием методов, наподобие фотоэмиссии с угловым разрешением
(ARPES) или более прямым методом: эффект де Гааза-ван Аль-
62
фена. Эффективные массы могут также быть оценены, исполь-
зуя коэффициент γ из линейного слагаемого низкотемпературно-
го электронного вклада в теплоёмкость при постоянном объёме
cv. Теплоёмкость зависит от эффективной массы через плотность
состояний на уровне Ферми [11].
Материал
Эффективная масса
электронов
Эффективная масса
дырок
Группа IV
Si (4.2K) 1.08 me 0.56 me
Ge 0.55 me 0.37 me
III-V
GaAs 0.067 me 0.45 me
InSb 0.013 me 0.6 me
II-VI
ZnSe 0.17me 1.44 me
ZnO 0.19 me 1.44 me
Таблица 4.1. Эффективная масса для некоторых
полупроводников
Как показывает таблица 4.1, полупроводниковые соедине-
ния AIII
BV
, такие как GaAs и InSb, имеют намного меньшие эф-
фективные массы, чем полупроводники из четвёртой группы
периодической системы — кремний и германий. В самой про-
стой теории электронного транспорта Друде дрейфовая скорость
носителей обратно пропорциональна эффективной массе. Быст-
родействие интегральных микросхем зависит от скорости носи-
телей, и, таким образом, малая эффективная масса — одна из
причин того, что GaAs и другие полупроводники группы AIII
BV
используются вместо кремния в приложениях, где требуется
широкая полоса пропускания.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»](https://image.slidesharecdn.com/random-150926090117-lva1-app6891/85/slide-31-320.jpg)
![65
6. Закон дисперсии обычных частиц — это данность,
которую никак не изменить. Закон дисперсии ква-
зичастиц возникает динамически, и потому может
иметь самый замысловатый вид.
7. Квазичастицы могут иметь дробный электрический
заряд или магнитный заряд.
Перечислим некоторые квазичастицы: электроны в кристалле,
дырки, фононы, экситоны, плазмоны, поляритоны, магноны и
др.
5.2. Дырки
Дырка — квазичастица, носитель положительного заряда,
равного элементарному заряду в полупроводниках. В физике
твёрдого тела, дырка — это отсутствие электрона в электронной
оболочке.
Дырка – это способ описания коллективного движения
большого числа электронов (примерно 1023
см-3
) в неполностью
заполненной валентной зоне. Электрон – это частица, дырка –
это квазичастица. Электрон можно инжектировать из полупро-
водника или металла наружу (например, с помощью фотоэффек-
та), дырка же может существовать только внутри полупроводни-
ка.
Во время разрыва связи между электроном и ядром появляет-
ся свободное место в электронной оболочке атома. Это обуслав-
ливает переход электрона с другого атома на атом со свободным
местом. На атом, откуда перешёл электрон, входит другой элек-
трон из другого атома и т. д. Это обуславливается ковалентными
связями атомов. Таким образом, происходит перемещение по-
ложительного заряда без перемещения самого атома. Этот
условный положительный заряд называют дыркой.
Для дырок валентной зоны анизотропия кристалла в
меньшей степени, чем в случае электронов, влияет на динамиче-
ские характеристики, поскольку дырки являются способом опи-
сания коллективного движения электронов в неполностью за-
полненной валентной зоне. Для дырок характерно влияние спин-
66
орбитального расщепления, которое обуславливает появление
зоны тяжелых и легких дырок.
Существование дырок является одной из наиболее интерес-
ных особенностей зонной теории твердых тел. Наиболее нагля-
ден случай, когда вблизи потолка разрешенной энергетической
зоны имеется одно свободное место, а все остальные заняты. Это
и есть дырка. Физические свойства дырки вытекают из факта
заполненности электронами всех остальных состояний валент-
ной зоны [8].
1) Если электрон удален из состояния с волновым векто-
ром ke, то полный волновой вектор системы станет равным –
ke.Значит, дырке нужно приписать волновой вектор
eh kk . (5.1)
2) Дырке следует приписать заряд положительного знака.
Эксперименты по циклотронному резонансу показали, что дыр-
ки и электроны вращаются в магнитном поле в разных направ-
лениях, как и следовало ожидать для зарядов противоположного
знака.
3) Энергия дырки h противоположна по знаку энергии
покинувшего соответствующее состояние электрона
eh . (5.2)
4) Эффективная масса дырки hm отрицательна, то есть ее
знак противоположен знаку массы электрона, уход которого был
причиной возникновения этой дырки
eh mm . (5.3)
5.3. Фононы
Фонон – квазичастица, представляющая собой квант упругих
колебаний кристаллической решетки. Введен советским учёным
Игорем Таммом.
Распространение фонона описывается волновым вектором k
и законом дисперсии )(k . Фонон во многих отношениях
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»](https://image.slidesharecdn.com/random-150926090117-lva1-app6891/85/slide-33-320.jpg)
![67
ведет себя так, как если бы он был частицей с энергией и квази-
импульсом
kp , . (5.4)
Однако в отличие от обычных частиц (электронов, протонов,
фотонов) фонон не может возникнуть в вакууме – для своего
возникновения и существования фонон нуждается в некоторой
среде. Поэтому фонон является квазичастицей.
Концепция фонона оказалась очень плодотворной в физике
твёрдого тела. В кристаллических материалах атомы находятся
на небольших расстояниях друг от друга и вследствие этого ак-
тивно взаимодействуют между собой. В результате для изуче-
ния колебаний отдельных атомов приходится рассматривать
огромные системы из триллионов связанных между собой ли-
нейных дифференциальных уравнений, аналитическое решение
которых невозможно. Колебания атомов кристалла заменяются
распространением в веществе системы звуковых волн, квантами
которых и являются фононы. Спин фонона равен нулю (в еди-
ницах ). Фонон является бозоном и описывается статистикой
Бозе-Эйнштейна. Фононы и их взаимодействие с электронами
играют фундаментальную роль в современных представлениях о
физике сверхпроводников, процессах теплопроводности, про-
цессах рассеяния в твердых телах [40].
Колебания атомов в кристаллической решетке не являются
независимыми. Смещение одного из атомов из положения рав-
новесия влечет за собой смещения других соседних с ним ато-
мов. Таким образом, кристалл представляет собой систему N
упруго связанных друг с другом атомов. Периодичность кри-
сталла приводит к существованию зонных разрешенных и за-
прещенных состояний (как электронных, так и колебательных).
Это означает, что существуют частоты, в пределах которых ме-
ханические упругие волны распространяются без затухания. В
одномерной двухатомной цепочке это акустическая и оптиче-
ская ветви.
Решая систему уравнений, описывающих движение отдель-
ных атомов, можно получить связь между частотой возбужде-
ния и волновым вектором k, которая, как известно, носит
название дисперсионного уравнения (решение системы уравне-
68
ний провести на практических занятиях). В результате решения
получается два дисперсионных соотношения [29]:
]cos2)[( 21
2
2
2
121
21
2
1 kammmmmm
mm
, (5.5)
]cos2)[( 21
2
2
2
121
21
2
2 kammmmmm
mm
. (5.6)
Рис. 5.2. Дисперсионные кривые для одномерной цепочки ато-
мов двух различных сортов [29]
Здесь волновой вектор k принимает ряд значений в соответствии
в граничными условиями задачи. Дисперсионное уравнение
имеет два корня 1, 2, так что каждому значению волнового
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»](https://image.slidesharecdn.com/random-150926090117-lva1-app6891/85/slide-34-320.jpg)
![69
вектора k соответствует две волны. Таким образом, дисперсион-
ная кривая имеет две ветви – акустическую (1, знак –) и опти-
ческую (2, знак +). Дисперсионные кривые для цепочки с мас-
сами m1=2 и m2=5 и коэффициентов упругости b=35000 приведен
на рис. 7.2.
Легко получить значения частот при k=0 и на границе зо-
ны Бриллюэна (k=p/a). Для акустических колебаний это область
от a
min
=0 до а
max
=(2/m1)1/2
, а для оптических это область от
o
min
=(2/m2)1/2
до значения o
max
=(2 (1/m1+1/m2))1/2
. Если огра-
ничиться взаимодействием лишь ближайших соседей, то ветви
внутри зоны гладки. Обе ветви идут не пересекая друг друга и
имеет место область запрещенных частот от значения (2/m1)1/2
до (2/m2)1/2
.
Колебания из запрещённых зон (зона частот между аку-
стической и оптической ветвью и область частот выше
наибольшей собственной частоты) затухают в кристалле. Волно-
вой вектор таких фононов имеет отличную от нуля мнимую
часть.
5.4. Экситоны
Экситон – водородоподобная квазичастица, представляющая
собой электронное возбуждение в диэлектрике или полупровод-
нике, мигрирующее по кристаллу и не связанное с переносом
электрического заряда и массы . Хотя экситон состоит из элек-
трона и дырки, его следует считать самостоятельной элементар-
ной (не сводимой) частицей в случаях, когда энергия взаимодей-
ствия электрона и дырки имеет тот же порядок, что и энергия их
движения, а энергия взаимодействия между двумя экситонами
мала по сравнению с энергией каждого из них. Экситон можно
считать элементарной квазичастицей в тех явлениях, в которых
он выступает как целое образование, не подвергающееся воздей-
ствиям, способным его разрушить [11].
Экситон может быть представлен в виде связанного состоя-
ния электрона проводимости и дырки, расположенных или в од-
ном узле кристаллической решётки (экситон Френкеля, a* < a0,
a* — радиус экситона, a0 — период решётки), или на расстояни-
ях, значительно больше междуатомных (экситон Ванье - Мот-
70
та, a* ≫ a0). В полупроводниках, за счёт высокой диэлектриче-
ской проницаемости, существуют только экситоны Ванье —
Мотта. Экситоны Френкеля применимы, прежде всего, к моле-
кулярным кристаллам. Экситоны Френкеля и Ванье-Мотта схе-
матично изображены на рис. 5.3.
Рис. 5.3. Экситон Ванье-Мотта (свободный экситон) и экситон
Френкеля (связанный экситон, электрон и дырка расположены в
одном узле кристаллической решетки).
Свободные экситоны (экситоны Ванье-Мотта)
Экситон большого радиуса можно рассматривать как во-
дородоподобный атом, аналогично водородоподобной модели
мелких донорных или акцепторных состояний.
Энергия связи экситона выражается в этой модели так же,
как и для атома водорода, и имеет вид [24]:
22
0
4 1
8
*
nh
em
En
, (5.7)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»](https://image.slidesharecdn.com/random-150926090117-lva1-app6891/85/slide-35-320.jpg)
![71
где
he
he
mm
mm
m
**
**
*
m* - приведенная масса электрона и дырки,
m*e - эффективная масса электрона, m*h - эффективная масса
дырки, - диэлектрическая проницаемость рассматриваемого
кристалла, n=1, 2, 3, …. – главное квантовое число экситона.
При n=1 получаем энергию связи для одного экситона.
Энергия связи для основного состояния экситона равна
2
0
4
1
8
*
h
em
EEex
. (5.8)
Полная энергия экситона, отсчитывается от потолка ва-
лентной зоны, и состоит из суммы его кинетической энергии
*2
22
m
k
Eк
, определяемой движением центра масс, и потенци-
альной энергии Eп:
*2
1
8
* 22
22
0
4
m
k
nh
em
ЕЕEЕE gпкg
, (5.9)
где Еg - ширина запрещенной зоны, k -волновой вектор экситона
как целой частицы.
Каждая из зависимостей E(k) с заданным n образует экситонную
зону (см. рис. 5.4). Как видно из рис. 5.4, появление дополни-
тельных экситонных уровней энергии внутри запрещенной зоны
приводит к уменьшению ширины запрещенной зоны до значе-
ния Egx, что приводит к уменьшению энергии кванта света, излу-
чаемого в полупроводнике.
Минимальная энергия Egx=Eg-Eex, необходимая для созда-
ния экситона, называется экситонной шириной запрещенной зо-
ны.
Энергию связи для основного состояния экситона можно
записать в следующем виде
eex R
m
m
h
em
E 2
02
0
4 *
8
*
. (5.10)
72
Здесь величина Re называется экситонным Ридбергом, по анало-
гии с постоянной Ридберга для атома водорода.
Рис. 5.4. Экситонные уровни энергии с номерами n внутри за-
прещенной зоны полупроводника. Ev -потолок валентной зоны,
Eg - ширина запрещенной зоны полупроводника, Eex - ширина
экситонной запрещенной зоны. Волнистой стрелкой показано
излучение кванта света с энергией gxE (прямой оптиче-
ский переход).
В табл. 5.1 приведены значения эффективных масс электро-
нов и дырок, диэлектрической проницаемости, энергии иониза-
ции экситона и экситонного радиуса для различных полупро-
водниковых материалов [40]. Жирным шрифтом в табл. 5.1 вы-
делены те значения энергии ионизации экситона, которые пре-
вышают значение тепловой энергии при комнатной температуре
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»](https://image.slidesharecdn.com/random-150926090117-lva1-app6891/85/slide-36-320.jpg)
![77
Лекция 6
Тема 6. Рассеяние
6.1. Виды рассеяния
В общем случае даже в однородной среде комплексный пока-
затель преломления является флуктуирующей величиной в про-
странстве. Особенно заметны такие флуктуации для газов
(например для воздуха). Однако они наблюдаются и в твердых
телах, например в оптических волокнах. Показатель преломле-
ния может быть записан в виде
)()( 0 rnnrn , (6.1)
где n0 – среднее значение показателя преломления, n(r) - флук-
туация показателя преломления. Наличие флуктуаций показате-
ля преломления приводит к рассеянию света.
Флуктуации можно разделить на два вида:
1) динамические, например, колебания решетки (фононы),
поляритоны, плазмоны, экситоны и др.;
2) статические, например, неоднородности плотности, хи-
мического состава, температуры и т.п.
Перечислим основные виды рассеяния света.
Если частота (длина волны) света не изменяется при рассея-
нии, то такое рассеяние называется упругим.
Виды упругого рассеяния света:
1) Рэлеевское рассеяние
2) Рассеяние Ми
Если частота (длина волны) света изменяется при рассеянии,
то такое рассеяние называется неупругим.
Виды неупругого рассеяния света:
1) Рассеяние Мандельштама-Бриллюэна .
2) Комбинационное (рамановское) рассеяние.
Рассеяния всегда можно представить как поглощение перво-
начального кванта с энергией i и волновым вектором ki с
одновременным испусканием другого фотона с энергией и вол-
новым вектором и kf . Если частота рассеянного света меньше
частоты падающего, то говорят о Стоксовой компоненте рассея-
ния, если же if , то рассеянное излучение называется ан-
78
тистоксовским. В первом случае часть энергии рассеиваемого
света диссипируется средой. Во втором - наоборот, при рассея-
нии энергия забирается от рассеивающей среды.
В объемных полупроводниках свет может рассеиваться
(1) на свободных носителях, включая рассеяние на флук-
туациях плотности заряда (одночастичные возбуждения и
плазмоны) и флуктуациях спиновой плотности (переходы с
переворотом спина),
(2) на фононах, оптических (рамановское, или комбинаци-
онное, рассеяние) или акустических фононах (рассеяние Ман-
дельштама-бриллюэна), и
(3) статических дефектах (релеевское рассеяние). В гете-
роструктурах с квантовыми ямами и сверхрешетках появляются
дополнительные возможности: в структурах с квантовыми
ямами вклад в рассеяние могут вносить не только внутрипод-
зонные переходы, но и переходы между электронными под-
зонами размерного квантования (рассеяние на межподзонных
флуктуациях плотности заряда или спиновой плотности); ком-
бинационное рассеяние обогащается участием размерно-
квантованных и интерфейсных оптических фононов, а также
акустических фононов со «сложенным» спектром (folded
acoustic phonons) в сверхрешетках.
6.2. Рэлеевское рассеяние
Рэлеевское рассеяние - когерентное рассеяние света на опти-
ческих неоднородностях, размеры которых значительно меньше
длины волны возбуждающего света. Приближенный критерий
выглядит следующим образом
1.0d . (6.2)
В отличие от флуоресценции, происходящей, с частотами
собственных колебаний электронов, возбуждённых световой
волной, Рэлеевское рассеяние происходит с частотами колеба-
ний возбуждающего света [40].
В экспериментально измеренном спектре рассеянного света
всегда имеется максимум на частоте рассеиваемого света. Рассе-
янный свет на частоте падающего и соответствующие крылья
линии рассеяния относят к Рэлеевскому рассеянию. Например,
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»](https://image.slidesharecdn.com/random-150926090117-lva1-app6891/85/slide-39-320.jpg)
![79
дефекты поверхности и объема кристалла, пылинки малого раз-
мера, медленно движущиеся в конвекционных потоках воздуха,
флуктуации плотности газа, связанные с флуктуациями средней
ориентации молекул в пространстве, являются примерами неод-
нородностей, вызывающих Рэлеевское рассеяние.
Рэлей исследовал рассеяние в газах и году вывел формулу
для интенсивности Рэлеевского рассеяния, согласно которой
h
c
n
N
2
3
14
4
2
( )
, (6.3)
где n - коэффициент преломления, а N - концентрация рассеива-
ющих атомов. Поскольку для газов n N 1 , коэффициент экс-
тинкции прямо пропорционален концентрации атомов.
Рис.10.1. Рэлеевское рассеяние
Интенсивность рассеянного света в зависимости от угла рас-
сеяния (диаграмма направленности) имеет вид:
)cos1()( 2
042
2
I
r
NV
AI , (6.4)
где - угол рассеяния (рис.10.1), N - концентрация рассеиваю-
щих объектов, V – средний объем одного рассеивающего объек-
та, r - расстояние от рассеивающих объектов до точки наблюде-
ния, А – некоторая функция отклонения показателя преломления
рассеивающих объектов от среднего показателя преломления
n0.
80
В соответствии с формулой (10.4) интенсивность Рэлеевского
рассеяния обратно пропорциональна длине волны в четвертой
степени
4
1
~
I .
Этим объясняется голубой цвет неба.
6.3. Рассеяние Ми
Рассеяние Ми – это упругое рассеяние на частицах сфериче-
ской формы. Рассеяние Ми наблюдается в случае, когда размеры
оптических неоднородностей d сопоставимы с длиной волны
света
~d . (6.5)
Для рассеяния Ми по сравнению с рассеянием Рэлея характерна
более слабая частотная зависимость [40]:
~~)( I , (6.6)
где 4 .
Рис.10.2. Диаграмма направленности. Рассеяние Ми ( 5,2/ d )
Диаграмма направленности в случае рассеяния Ми имеет слож-
ный вид и характеризуется наличием многочисленных экстре-
мумов, интенсивность и угловое положение которых зависит от
отношения /d . С ростом d возрастает рассеяние назад
(рис.10.2)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»](https://image.slidesharecdn.com/random-150926090117-lva1-app6891/85/slide-40-320.jpg)
![81
6.4. Рассеяние Мандельштама-Бриллюэна
Рассеяние Мандельштама-Бриллюэна - рассеяние света на
адиабатических флуктуациях плотности конденсированных
сред, сопровождающееся изменением частоты.
Данный вид неупругого рассеяния возникает при взаимодей-
ствии света с акустическими колебаниями решетки (фононами).
При дифракции на звуковой волне возникают лишь максиму-
мы первого порядка. Амплитуда дифрагированной волны изме-
няется вместе с коэффициентом пропускания и коэффициентом
преломления среды, обусловленным периодическим изменением
плотности среды в акустической волне. Следовательно, ампли-
туда изменяется гармонически с частотой звуковой волны.
Поэтому наблюдаемая в направлении дифракционных максиму-
мов напряженность )(tE электромагнитной волны равна [31]:
))cos()(cos(
2
coscos)( 0
0 tt
A
ttAtE , (6.7)
где - частота падающего света.
не диф. комп.спектр
рассеяния
стоксовый
компонент
антистоксовый
компонент
Рис. 6.3. Стоксовый и антистоксовый компоненты рассеяния
Мандельштама-Бриллюэна
Таким образом, в рассеянном свете наблюдаются две сателлит-
ные частоты, расположенные симметрично относительно основ-
ной частоты падающего света . Сателлит с частотой )(
называется стоксовым, а с )( - антистоксовым. Они явля-
ются компонентами рассеяния Мандельштама-Бриллюэна
(рис.6.3).
82
6.5. Комбинационное (рамановское) рассеяние
Комбинационное (рамановское) рассеяние света возникает
при взаимодействии света с оптическими фононами.
Комбинационное рассеяние наблюдается в различных сре-
дах – газах, жидкостях, кристаллах. Причиной изменения ча-
стоты рассеяния является комбинированный процесс, в резуль-
тате которого под действием падающего светового кванта появ-
ляется другой световой квант и одновременно в среде проис-
ходит поглощение или освобождение определенной порции
энергии. Эта энергия может быть связана с различными процес-
сами – периодическим движением атомов в молекуле или кри-
сталле около положения равновесия, переходами электронов
с одного уровня на другой, так называемыми спиновыми
волнами в магнитоупорядоченных средах, плазменными коле-
баниями в твердых телах и т. д. Однако обычно под комбина-
ционным рассеянием понимается появление дополнительных
комбинационных линий, соответствующих изменениям во
вращательном и колебательном движении атомов в молекуле
или в кристаллической решетке.
Рассеяние на размерно-квантованных оптических фононах
Микроскопически рассеяние света на фононах в нелеги-
рованном полупроводнике или полупроводниковой структуре
описывается как процесс третьего порядка.
На первой ступени трехступенчатого процесса рассеяния
первичный фотон возбуждает электронную подсистему в
промежуточное состояние n . Затем рассеяние на фононе
вызывает квантовый переход из n в другое промежуточное со-
стояние n' . На заключительном этапе электронная подсистема
возвращается в основное состояние, излучая при этом рассеян-
ный фотон.
В рассеяние n→n’ электронно-дырочного возбуждения на
продольном оптическом фононе вносят вклад два механизма:
фрелиховский, или дальнодействующий, и деформационный,
или короткодействующий. В первом механизме LO-фонон воз-
действует на электронную подсистему через скалярный потен-
циал Φ(z) электрического поля, индуцированного оптическим
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»](https://image.slidesharecdn.com/random-150926090117-lva1-app6891/85/slide-41-320.jpg)
![83
колебанием решетки. При деформационном механизме происхо-
дит индуцированное фононом смешивание состояний тяже-
лых и легких дырок, т.е. в этом случае переход n→n’ со-
вершается за счет взаимодействия дырки с оптическим фоно-
ном [19].
Рис. 6.4. Спектры нерезонансного (a) и резонансного (b)
комбинационного рассеяния на размерно-квантованных опти-
ческих фононах в толстобарьерной сверхрешетке GaAs/AlAs с
шириной слоев a=20Е, b=60Е. Пик справа от частоты фонона
LO6 обусловлен интерфейсной модой.
На рис. 6.4 показаны спектры комбинационного рассеяния
на размерно-квантованных оптических фононах, измеренные
на толстобарьерной сверхрешетке GaAs/AlAs, содержащей 400
двойных слоев шириной a=20 А, b=60 А. Фононные моды с
квантовым числом ν обозначены в виде LOν. При нерезонансном
возбуждении сечения рассеяния на фононах LO2l+1 и LO2l,
наблюдаемые соответственно в конфигурациях z(xy) z и z(xx)
z , сопоставимы по величине. В согласии с предсказаниями мик-
роскопической теории при резонансном возбуждении, когда
84
фрелиховский механизм преобладает над деформационным,
наблюдается только рассеяние на LO2l -фононах. Наличие тех же
линий LO2l, хотя и заметно меньшей интенсивности, в скрещен-
ной геометрии z(xy) z может быть связано с влиянием статиче-
ских дефектов на фрелиховское взаимодействие носителей с
оптическими фононами. Комбинационное рассеяние в сверхре-
шетках и квантовых ямах является привлекательной альтерна-
тивой неупругому рассеянию нейтронов для определения дис-
персии оптических фононов в объемном полупроводнике.
6.6. Расчет параметров рассеяния
Различают рассеяния на ионах примеси, на неоднородностях
поверхности, на акустических фононах, на оптических фононах
и электрон-электронное.
Интенсивность примесного рассеяния можно рассчитать по
формуле:
4 2D
2 2
0
2
0
1
512
I
I
k
e N S
W d
qE
, (6.7)
где Ek – кинетическая энергия электрона; 2D
IN – поверхностная
концентрация ионизированной примеси; 2oxsc – сред-
нее значение диэлектрической проницаемости на границе разде-
ла окисел/полупроводник; S – параметр экранирования, равный
2
0 T
s
B
e N
S
k
. (6.8)
При расчете интенсивности рассеяния на ионизированной
примеси для устранения расходимости интегралов при 0 в
качестве нижнего предела интегрирования необходимо выби-
рать некоторый ненулевой угол min.
Интенсивность рассеяния на шероховатостях поверхности
рассчитывается согласно [19]
22 2 2* 2 2
3 2
0
,
exp ,
42 ,T,
s
SR
s
q N qm
W k d
q N
(6.9)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»](https://image.slidesharecdn.com/random-150926090117-lva1-app6891/85/slide-42-320.jpg)
![85
где – среднеквадратическая высота шероховатостей; –
среднее расстояние между ними (корреляционная длина), а
функция sN,q при q/b>>1 равна
.
depl
s
sc
s N
Ne
N
20
2
(6.10)
Для температур, близких к комнатной, принимая во внима-
ние, что энергия акустических фононов много меньше энергии
электронов, интенсивность рассеяния на этих фононах может
быть рассчитана согласно:
2
2
3 2
* Tac B
ac i i
D m k
W U E E z z dz
u
, (6.11)
где i и i – номера, соответственно, начальной и конечной под-
зон при рассеянии, которые расположены в одной и той же до-
лине; zz ii и – волновые функции электрона для данных
подзон; acD = 9,5 эВ; – плотность материала; u – скорость зву-
ка в кремнии; EEU – cтупенчатая функция, равная нулю,
если аргумент меньше нуля, и равная единице, если аргумент
больше или равен нулю. Наличие данной функции обеспечивает
выполнение закона сохранения энергии.
Интенсивность рассеяния электронов на оптических фононах
[19]:
2
* 1 1
ρ T 2 2
opt i
opt ph
B ph
D m g
W N U E E
k
, (6.12)
где optD =91010
эВ/м – константа взаимодействия; phN – количе-
ство фононов с температурой Tph , определяемое согласно рас-
пределению Бозе – Эйнштейна; ig – параметр мультиплексно-
сти конечной при переходе подзоны. Рассеяние электронов на
оптических фононах, сопровождающееся межподзонным пере-
ходом, может являться междолинным рассеянием, если подзона,
в которую переходит электрон при этом рассеянии, расположена
86
в другой долине по отношению к первоначальной подзоне.
При электрон-электронном рассеянии необходимо различать
процессы, сопровождающиеся и не сопровождающиеся межпод-
зонными переходами. Интенсивность процессов, связанных с
межподзонными переходами, рассчитывается по формуле
2* 4 max
2D2D
3 2 2 2
02 ε ε
s sub ijmn
ee im
sc
N m e N F q
W
s
, (6.13)
а процессов без межподзонных переходов (т. е. внутриподзонно-
го рассеяния) – по формуле
* 4
2D 2D
3 2 2 2
02 ε ε
s
ee ii
sc
N m e
W
s
, (6.14)
где Nsub – число учитываемых при моделировании подзон;
max
ijmnF q – максимальная величина форм-фактора; j и n – значе-
ния начальной и конечной подзон для второго электрона; s – па-
раметр экранировки.
Выводы
В лекции рассматриваются различные механизмы. которые
вносят вклад в рассеяние излучения в твердом теле: рэлеевское
рассеяние, рассеяние Ми, рассеяние Мандельштама-Бриллюэна,
комбинационное рассеяние. Приводятся формулы для практиче-
ского расчета параметров рассеяния.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»](https://image.slidesharecdn.com/random-150926090117-lva1-app6891/85/slide-43-320.jpg)
![87
Вопросы и задания для самоконтроля
6.1.Что такое рассеяние Рэлея?
6.2.Что такое рассеяние Ми?
6.3.Является ли рассеяние Рэлея упругим рассеянием? Является
ли рассеяние Рэлея упругим рассеянием?
6.4.На каких фононах (оптических или акустических) происхо-
дит рассеяние Мандельштама-Бриллюэна и комбинацион-
ное (рамановское) рассеяние?
6.5.Каким видом рассеивания объясняется цвет неба?
6.6.Амплитуда какой компоненты (стоксовой или антистоксо-
вой) больше при рамановском рассеянии света в непогло-
щающей среде?
88
Лекция 7
Тема 7. Фотонные кристаллы
7.1. Классификация фотонных кристаллов
Фотонный кристалл - это материал, структура которого ха-
рактеризуется периодическим изменением показателя прелом-
ления в пространственных направлениях [2]. В работе [27] при-
водится более широкое определение:
«Фотонными кристаллами принято называть среды, у кото-
рых диэлектрическая проницаемость периодически меняется в
пространстве с периодом, допускающим брэгговскую дифрак-
цию света». В работе [30] приводится следующее описание фо-
тонных кристаллов:
Фотонные кристаллы – это «структуры с фотонной запре-
щённой зоной».
Мы дадим следующее определение:
Фотонный кристалл – это материал, показатель преломле-
ния которого периодически меняется в одном, двух или трех
направлениях, и вследствие этого обладающий фотонной запре-
щенной зоной.
Рис. 7.1. Схематическое изображение одномерного фотонного
кристалла, n1 и n2 — показатели преломления двух различных
материалов, Λ – период структуры
Фотонные кристаллы можно разделить на три основных
класса:
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»](https://image.slidesharecdn.com/random-150926090117-lva1-app6891/85/slide-44-320.jpg)
![89
1. Одномерные фотонные кристаллы. В одномерных кристаллах
показатель преломления периодически изменяется в одном про-
странственном направлении (см. рис. 11.1). Такие фотонные
кристаллы представляют собой тонкослоистую структуру с че-
редующимися слоями из двух или более материалов.
В оптике уже давно известно, что в таких периодических
структурах характер распространения световых волн суще-
ственно изменяется из-за явлений интерференции и дифракции.
Например, многослойные отражающие покрытия давно исполь-
зуются для изготовления диэлектрических зеркал и интерферен-
ционных фильтров, а объемные брэгговские решетки использу-
ются в качестве спектральных селекторов и фильтров [5]. На рис.
11.2 представлена электронная фотография одномерного фотон-
ного кристалла.
Рис.7.2. Электронный снимок одномерного фотонного кристалла,
используемого в лазере как брэгговское многослойное зеркало [5]
2. Двумерные фотонные кристаллы. В таких кристаллах коэф-
фициент преломления периодически изменяется в двух про-
странственных направлениях (см. рис. 11.3). Двумерные кри-
сталлы проявляют свои свойства в двух пространственных
направлениях. При этом форма областей с различными показа-
телями преломления может быть любой (окружности, эллипсы
90
и т. д.). К двумерным фотонным кристаллам можно отнести
упорядоченные массивы бесконечных по длине цилиндров (их
поперечный размер много меньше продольного) или периодиче-
ские системы цилиндрических отверстий (рис. 11.4).
Рис. 7.3. Схематическое изображение двумерного фотонного
кристалла
Рис. 7.4. Двумерный фотонный кристалл в виде упорядоченного
масссива цилиндрических тонких нитей (слева) или периодиче-
ских отверстий [6]
3. Трёхмерные фотонные кристаллы. В таких кристаллах пока-
затель преломления периодически изменяется в трёх простран-
ственных направлениях (рис.11.5, 11.6). Наиболее распростра-
ненными трехмерными фотонными кристаллами являются опа-
лы, состоящие из упорядоченных рассеивателей сферической
формы. Природные полудрагоценные опалы и крылья африкан-
ских бабочек-парусников представляют собой природные трех-
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»](https://image.slidesharecdn.com/random-150926090117-lva1-app6891/85/slide-45-320.jpg)
![91
мерные фотонные кристаллы. Фотография искусственного трех-
мерного фотонного кристалла приведена на рис. 11.6.
Рис. 7.5. Схематическое изображение трехмерного фотонного
кристалла
Рис. 11.6. Электронная фотография трехмерного фотонного кри-
сталла [4]
Фотонные запрещённые зоны
Фотонная запрещенная зона – это диапазон частот, внутри
которого электромагнитная волна (фотон) не может распростра-
няться внутри фотонного кристалла. В частности, излучение,
спектр которого лежит в фотонной запрещенной зоне, не может
проникать в фотонный кристалл и распространяться в нем, по-
этому оно полностью отражается от границы.
92
Рассмотрим образование фотонной запрещенной зоны для
случая одномерного фотонного кристалла. В таком кристалле
фотонная запрещенная зона образуется в результате интерфе-
ренции световых волн, отраженных от областей с различными
показателями преломления (рис. 7.7).
Рис.7.7. Распространение электромагнитной волны в одномер-
ном фотонном кристалле
Волны, отраженные от пары слоев, будут усиливаться в
результате интерференции при выполнении условия Брэгга:
mmdndn )(2 2211 , (7.1)
m=1, 2, 3,….
Здесь 1d и 2d - толщины слоев, m - длина волны. В таком слу-
чае волна будет испытывать полное отражение от слоистой
структуры и не будет распространяться внутри фотонного кри-
сталла, что соответствует фотонной запрещенной зоне. При этом
максимумы в спектре коэффициента отражения R и минимумы в
спектре пропускания T будут наблюдаться для длин волн, соот-
ветствующих серединам фотонных запрещенных зон:
m
dndn
m
)(2 2211
. (7.2)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»](https://image.slidesharecdn.com/random-150926090117-lva1-app6891/85/slide-46-320.jpg)
![93
Спектры отражения и пропускания для одномерного фотонного
кристалла схематически изображены на рис. 11.8.
Рис.7.8. Спектры отражения и пропускания для одномерного
фотонного кристалла. Заштрихованы фотонные запрещенные
зоны
Зачем нужны структуры с фотонной запрещенной зоной?
Ответим на этот вопрос. Задача спонтанного излучения света
имеет большое значение для систем волоконной оптики. И для
практического использования спонтанного излучения необхо-
димо его контролировать, например, при помощи полной за-
держки излучения в фотонных запрещенных зонах, в которых
сигнал не может распространяться. Наличие запрещенных для
распространения частот демонстрируют многие структуры.
Например, на рис. 7.9 изображена дисперсионная диаграмма для
моды с номером m=1, распространяющейся в плоском метал-
лическом волноводе между двумя параллельными металличе-
скими пластинами.
94
Рис.7.9. Дисперсионная кривая для плоского металлического волново-
да. Ниже частоты отсечки волна не может распространяться и не мо-
жет возникать излучение [14]
Рис.7.10. Образование запрещенных зон в кристаллах. Слева: диспер-
сионные кривые (расширенная зонная диаграмма) полупроводникового
кристалла. ЗП- зона проводимости, ЗЗ –запрещенная зона, ВЗ - валент-
ная зона. Справа: дисперсионные кривые для фотонного кристалла [14]
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»](https://image.slidesharecdn.com/random-150926090117-lva1-app6891/85/slide-47-320.jpg)
![95
Видно, что существует область частот ниже частоты отсечки,
в которой волна не может распространяться. Однако металлы не
являются удобными материалами для оптического применения,
так как обладают очень большими потерями на оптических ча-
стотах.
В оптических волокнах используются полупроводники и ди-
электрики, обладающие малыми потерями в оптическом диапа-
зоне. И вот здесь как раз использование фотонных кристаллов,
представляющих массив упорядоченных структур позволяет со-
здать фотонную запрещенную зону за счет наличия дополни-
тельной периодичности (см. рис. 11.10).
Рис. 7.11. Андерсоновская локализация света. Пики с высокой
интенсивностью излучения соответствуют позициям, на которых
строго локализуется свет, излученный в разориентированном
фотонном кристалле [13]. В остальных местах излучение не мо-
жет распространяться (фотонная запрещенная зона)
Для создания фотонного кристалла, который не пропускает
свет внутри фотонной запрещенной зоны ни в одном направле-
нии необходимо использование трехмерных структур. Получе-
ние такой полной фотонной запрещенной зоны сопряжено с не-
96
которыми трудностями, потому что трёхмерные фотонные кри-
сталлы могут демонстрировать запрещённые зоны как в одном,
двух или во всех направлениях. Полные фотонные запрещенные
зоны для всех направлений формируются в фотонном кристалле
при большой разнице показателей преломления материалов, из
которых состоит фотонный кристалл для структур с определён-
ной формой областей с разными показателями преломления.
Пример андерсовской локализации света с образованием фотон-
ных запрещенных зон в разориентированном фотонном кристал-
ле приведен на рис 11.1.
7.2. Дисперсионное уравнение для одномерного фотонного
кристалла
Метод, используемый при исследовании распространения
электромагнитных волн в слоистых структурах основан на ис-
пользовании двухсторонних граничных условий, связывающих
тангенциальные компоненты 1E , 1H и 2E , 2H полей двух
соседних сред 1 и 2 на двух близких поверхностях S1 и S2, раз-
деляющих описываемый слой с этими средами [16]. Эти гранич-
ные условия сводятся в общем случае к заданию скачков компо-
нент электромагнитного поля на некоторой условной средней
поверхности S0, лежащей между поверхностями S1 и S2
,
H
E
H
E
2
2
1
1
S
(7.3)
где элементы матрицы S
являются в общем случае интегро -
дифференциальными операторами [16]. Для большого числа по-
лей компоненты тензора S
не зависят от определяемых ими по-
лей, что существенно упрощает анализ. Применение двухсто-
ронних граничных условий позволяет существенно облегчить
аналитическое и численное решение большого числа задач, по-
скольку при выполнении некоторых не слишком жестких усло-
вий можно ограничиться рассмотрением поведения электромаг-
нитного поля в области пространства, внешней по отношению к
рассматриваемому тонкому слою, а влияние слоя на характер
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»](https://image.slidesharecdn.com/random-150926090117-lva1-app6891/85/slide-48-320.jpg)
![97
волнового процесса учитывать с помощью граничных условий
на его поверхности.
Наиболее простым примером одномерных фотонных
кристаллов являются слоистые среды, образованные при перио-
дическом чередованием двух и более материалов с различными
показателями преломления. Такие одномерные структуры име-
ют большие перспективы для практического применения, свя-
занные с простотой изготовления и отлаженной технологией по-
лучения слоистых структур, которая допускает изготовление
тонких пленок толщиной в несколько атомных слоев. Исследу-
ем наиболее общие закономерности распространения электро-
магнитных волн в одномерных фотонных кристаллах.
Рассмотрим бесконечную структуру, состоящую из чере-
дующихся слоев с показателями преломления n1 и n2 (рис. 12.1).
Толщины слоев d1 и d2, период структуры d= d1+d2.
Рис. 7.12. Схематическое представление одномерного фотонного
кристалла.
Распространение волн в каждом из слоев можно описать с
помощью волнового уравнения [17]:
98
0
t
u
v
1
u
2
2
2
, (7.4)
где u- компонента поля волны, v- её фазовая скорость в
среде. Будем предполагать, что в плоскости слоев поля зависят
только от одной координаты, и положим 0
z
. Решение урав-
нения представим в виде ])([exp)y(uu xkti x , где k x - про-
екция волнового вектора на ось х. Подставляя его в (1), получим
0=)y(u)
v
k(
y
)y(u
2
21,
2
2
x2
2
. (7.5.)
Индексы 1 и 2 обозначают принадлежность к разным сло-
ям. Множитель
2
21,
2
2
x
v
k
является периодической функцией
координаты y и принимает на периоде структуры два значения.
Таким образом, соотношение (7.5) является уравнением второго
порядка с периодическим коэффициентом (уравнением Хилла
[55]). Для ступенчатой функции его решение может быть полу-
чено следующим образом [17]. Представим поле на интервале y
= 0 d1 в виде
.k)
v
(=k
,eA+eA)(u
2
x
2
1
2
1y
yki-
2
yki
11
1y1y
y
(7.6)
В области второго слоя y = d1 d1 +d2
.k)
v
(k
,eBeB)y(u
2
x
2
2
2
2y
yki
2
yki
12
2y2y
(7.7)
Обозначим
yd
)y(ud
)z( и получим
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»](https://image.slidesharecdn.com/random-150926090117-lva1-app6891/85/slide-49-320.jpg)
![99
)eAeA(ki=)z(
yki
2
yki
11y
2y1y
. (7.8)
Выразим произвольные постоянные А1 и А2 через значе-
ния полей при y = 0 и подставим в соотношения (7.6) и (7.8).
Представим поля в начале координат через их значения в произ-
вольной точке у слоя и запишем результат в матричном виде:
.
)y(
)y(u
)y(m
)0(
)0(u
1
(7.9)
Матрица преобразования m1(d1) связывает поля в начале
слоя с полями в конце этого же слоя, матрица преобразования
второго слоя m2(d2). На плоскости раздела должны выполняться
граничные условия, состоящие в непрерывности как самого по-
ля, так и его градиента. Так на границе y = d1 :
yd
)y(ud
yd
)y(ud
;)y(u)y(u
21
21 . (7.10)
Кроме того, решение должно удовлетворять теореме Флоке
[54], то есть поля на границах периода при y = 0 и y = d мо-
гут отличаться только на фазовый множитель
dkie)d(u)0(u , (7.11)
где k - блоховское волновое число. Поэтому
,)dd(
)dd(u
m
)d(
)d(u
,
)d(
)d(u
m
)0(
)0(u
212
212
2
1
12
11
11
1
1
1
100
,21 mmm
,
)d(
)(du
m
)0(
)0(u
(7.12)
Здесь m - матрица преобразования одного периода струк-
туры:
.
mm
mm
m
2212
2111
(7.13)
Матрица преобразования mд , связывающая поля в начале
и в конце слоя диэлектрика, для Н- волны записывается следу-
ющим образом [17] :
E ( t )
H ( t )
z
x
= m д
)d+t(H
)d+t(E
1x
1z
, (7.14)
где m д =
1y1y
0
y
1y
y
0
1y
dksocdknis
ki
dknis
k
i
dksoc
,
k y - проекция волнового вектора проходящей волны на ось Оy.
С помощью матрицы преобразования m может быть найде-
но дисперсионное соотношение для безграничной структуры.
Оно имеет вид [54] :
)mm(
2
1
dkcos 2211 . (7.15)
Таким образом, в слоисто - периодической среде зависимость
от поперечной координаты определяется не волновыми числами
слоев 1yk и 2yk , а усредненным по периоду структуры попе-
речным волновым числом k . Полное решение волнового урав-
нения записывается в виде суммы пространственных гармоник :
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»](https://image.slidesharecdn.com/random-150926090117-lva1-app6891/85/slide-50-320.jpg)
![101
]y)
d
n2
+k(i[expu=)y(u
-=n
n
. (7.16)
Значение блоховского волнового числа k определяется из
соотношения (12.13) с точностью до целого числа обратных
волновых векторов 1,...0,=n,
d
n2
. Необходимо отметить, что
фазовые скорости различных гармоник могут быть сколь угодно
малыми, а при равенстве фазовой скорости и скорости движе-
ния магнитных вихрей в сверхпроводнике возможно эффектив-
ное взаимодействие электромагнитной волны с вихревой решет-
кой. Это особенно существенно для создания усилителей на ос-
нове сверхпроводящих структур.
7.3. Применение фотонных кристаллов
Фотонные кристаллы широко применяются в современной
оптоэлектронике. Наличие фотонных запрещенных зон делает
привлекательными фотонные кристаллы ля создания волнове-
дущих систем различной формы, фильтров и т.д. Для реализации
потенциала фотонно-кристаллических волноводов необходима
возможность перестройки, что достигается изменением пара-
метров кристалла.
Рис.7.13. Фотонно-кристаллический волновод [7]
102
Небольшие изменения таких параметров, как размеры и
форма структурных единиц фотонного кристалла, их показате-
лей преломления влекут смещение запрещенных зон и измене-
ние коэффициента пропускания на заданных частотах. За счет
этого можно создавать волноведущие системы с заданными
спектральными свойствами. На рис. 7.13 и 7.14 изображен фо-
тонно-кристаллический волновод, образованный в результате
нарушения периодичности в упорядоченном массиве отверстий.
Рис.7.14. Этапы создания фотонно-кристаллического волновода
[7]
Еще больше перспектив для применения фотонных кристал-
лов открывается в будущем.
В трехмерных фотонных кристаллах возможен полный
захват излучения с длиной волны, соответствующей фо-
тонной запрещенной зоне. Данный эффект используется
для создания лазеров со сверхнизкими порогами генера-
ции.
Использование сред, показатель преломления которых
можно менять под действием электрического или маг-
нитного поля, для создания фотонных кристаллов поз-
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»](https://image.slidesharecdn.com/random-150926090117-lva1-app6891/85/slide-51-320.jpg)
![105
Для нелинейной среды вектор поляризации Р можно разложить
в ряд по степеням напряженности электрического поля Е [36]:
...ЕЕЕЕ 3)3(2)2(2)2()1(
0 P . (8.3)
Здесь )1( , )2( , )3( - оптические восприимчивости. В част-
ности )2( - нелинейная оптическая восприимчивость второго
порядка, )3( - нелинейная оптическая восприимчивость треть-
его порядка. Из уравнения (13.3) непосредственной вытекает
возможность генерации оптических гармоник и других эффек-
тов. Пусть лазерное излучение представляет собой гармониче-
скую волну
)cos(EE 0 kzt . (8.4)
Тогда первый член в разложении (13.1) описывает линейную
поляризацию с частотой, равной частоте лазерного излучения.
Второй член разложения (13.3)
))(2cos1(
2
1
ЕЕ 2
0
)2(
0
2)2(
0 kztP
описывает генерацию излучения на удвоенной частоте. Можно
показать, что третий член в разложении 3)3(
0 Е P описы-
вает генерацию на утроенной частоте и, кроме того, нелинейную
добавку к показателю преломления [37].
Обычно в изотропных нелинейных средах низшей нелиней-
ностью, отличной от нуля является кубичная нелинейность.
Можно показать, что в средах с кубичной нелинейностью пока-
затель преломления зависит от интенсивности света. Этот эф-
фект приводит к самовоздействию световых волн, в частно-
сти, к таким эффектам, как самофокусировка светового пучка,
фазовая самомодуляция импульса, бистабильность резонатора,
заполненного нелинейной средой, и т. п.
106
8.2. Генерация второй гармоники и условие фазового
синхронизма
Рассмотрим второе слагаемое в разложении (13.3), описыва-
ющее возникновение за счет нелинейной восприимчивости в
среде генерации на удвоенной частоте
c
n
k
tkzPtrP
2
)),(2cos(, )2()2(
(8.5)
Будем считать что нелинейная среда занимает полпространства
z>0. Из вакуума (z<0) нормально к поверхности раздела на нее
падает электромагнитная волна частоты , которая, попав в не-
линейную среду и генерирует волну на второй гармонике. Вол-
новое уравнение, описывающее это процесс имеет вид (в систе-
ме СГС):
.
41
,4
2
2
22
2
22
2
2
2
2
2
2
2
2
t
P
ct
E
vz
E
t
P
t
E
z
E
c
(8.6)
Решение этого уравнения для второй гармоники, следуя [33],
ищем в виде суммы частного решения с правой частью и реше-
ния однородного уравнения
tzkiEtzkiEtzE 22exp)(2exp, 10 , (8.7)
где ,222, cnkcnk вообще говоря
22 kk .
На поверхности, в плоскости z=0, амплитуда второй гар-
монике равна нулю. Тогда
2
2
2
2
2
2
010
2
4
2
))(2(, P
cv
kEEE
. (8.8)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»](https://image.slidesharecdn.com/random-150926090117-lva1-app6891/85/slide-53-320.jpg)
![107
nn
P
nnn
P
nn
P
kk
P
E
22
22
2
22
22
0
2
2
2
2
4
22
24
(8.10)
Подставляя это выражение в (13.8), получаем окончательно
zkkie
nn
P
trE tkzi )(2)2(exp1
2
, 2
)2(
z
c
n
ie
nn
P tkzi 2
exp1
2 2
)2(
. (8.11)
Рис.8.1. Зависимость амплитуды колебаний от расстояния до
поверхности кристалла [33]
Если мы находимся не слишком близко к линиям поглоще-
ния, то коэффициент преломления изменяется не очень сильно,
т.е. nn . Тогда формула (8.11) очень похожа на амплитуд-
ную модуляцию – амплитуда колебаний зависит от расстояния
до поверхности кристалла. (см. рис.8.1). Интенсивность излуче-
ния на двойной частоте то нарастает то спадает., причем чем
0 10 20 30 40 50 60 70
0
20
40
60
80
100
1
0.5
0.25
0.1
I(z)
z
108
меньше различия значений коэффициента преломления на ос-
новной и удвоенной частотах тем длиннее период этих колеба-
ний, тем больше интенсивность света на двойной частоте в мак-
симуме этой зависимости. Поскольку интенсивность светового
излучения пропорциональна квадрату модуля электрического
поля световой волны имеем
c
nz
n
P
c
nz
n
P
c
nz
c
nz
n
P
trI
2
2
2
)2(
2
2
)2(
2
2
2
2
)2(
sin4
2
cos12
2
sin
2
cos1),(
. (8.12)
Таким образом, чем меньше различие в коэффициентах погло-
щения – тем эффективнее можно преобразовывать излучение,
соответствующим образом подбирая длину образца. Совсем здо-
рово было бы, если бы различия в коэффициентах поглощения
вообще отсутствовали 0n
2
2
2
)2(
0
4),(
c
zP
trI n
. (8.13)
Интенсивность излучения на двойной частоте нарастает прямо
пропорционально квадрату толщины образца.
8.3. Параметрическое преобразование и параметриче-
ские генераторы света
Когда изобрели первые лазеры, число линий, на которых по-
лучалась генерация было очень ограничено, а хотелось иметь
источники мощного когерентного излучения с плавно перестра-
ивающейся длиной волны . Это удалось сделать с помощью па-
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»](https://image.slidesharecdn.com/random-150926090117-lva1-app6891/85/slide-54-320.jpg)
![109
раметрического преобразования –эффекта обратного сложению
частот двух мощных волн.
При параметрическом преобразовании один фотон с энергией
превращается в два фотона, энергии которых удовлетворя-
ют закону сохранения 21 . Преобразование проис-
ходит наиболее эффективно, когда опять выполняется условие
фазового синхронизма 21 kkk
. Описать парамагнитное пре-
образование на классическом языке не очень то легко. Исходно
имеется мощная световая волна от лазера на частоте . Если в
среде уже имеется волна на частоте 1 , то мощная волна и за-
травочная преобразуются в излучение на частоте 2 . И наобо-
рот слабая волна на частоте 2 совместно с мощной исходной
волной преобразуются в свет на частоте 1 . Так они друг друга
раскачивают и раскачивают. Если к тому же систему поместить
в резонатор – то при удачном раскладе (большая мощность
накачки, хорошие зеркала и т.п.) то получим параметрический
генератор. Причем частоты вторичных волн можно изменять
вращая нелинейный кристалл таким образом, что условие фазо-
вого синхронизма будет выполняться для несколько различных
частот [36].
Самофокусировка
Возникает в меру зависимости от электрического поля свето-
вой волны коэффициента преломления. 2
20 Ennn . Это эф-
фект Керра в поле световой волны (высокочастотный эффект
Керра).
В линейной оптике световой пучок конечной ширины неот-
вратимо размывается по мере распространения. Но световой пу-
чок помещенный внутрь цилиндра с коэффициентом преломле-
ния, большим, чем коэффициент окружающей среды при опре-
деленных условиях оказывается захваченным таким волново-
дом. Поле световой волны экспоненциально спадает по мере
удаления от волновода. В простейшем случае такое происходит
когда световая волна падает на границу раздела двух сред под
углом большим угла полного внутреннего отражения. Но когда
110
длина волны сравнима с толщиной волновода, уже невозможно
понять что такое угол падения и надо решать стандартную зада-
чу теории поля.
В нелинейном режиме световая волна большой интенсивно-
сти сама увеличивает коэффициент преломления в области пуч-
ка и тем самым создает канал по которому сама и распространя-
ется. Ну а если ширина канала самопроизвольно сужается – мы
имеем дело с самофокусировкой.
Оценки можно провести используя представления об угле
полного внутреннего отражения. 2
2000 arccos Ennn .
Рис. 8.2. Ход луча в волноводе [33]
Лучи, 0 отклоняются от оси пучка и в конце концов ухо-
дят из канала (рис.13.2). Если же 0 То такие лучи отража-
ются и уходят в пучок. Для пучка угол определяется ди-
фракцией and 261.0 0 . Если d 0 пучок расплыва-
ется. Если d 0 размер пучка сохраняется. – этот режим
называется самоканалированием. Наконец при d 0 пучок
начинается стягиваться [33]. Происходит самофокусировка. не-
линейная среда действует как линза.
8.4. Четырехволновое смешивание
Четырехволновое смешение) – нелинейный процесс, опре-
деляемый электронной (керровской) нелинейностью, а именно,
зависимостью показателя преломления от интенсивности.
Четырехволновое смешение представляет собой нели-
нейный процесс, при котором две плоские волны накачки, рас-
a2
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»](https://image.slidesharecdn.com/random-150926090117-lva1-app6891/85/slide-55-320.jpg)
![111
пространяющиеся навстречу друг другу, взаимодействуют в не-
линейной среде с пробным полем, имеющим произвольное
направление распространения по отношению к волнам накачки,
и создают четвертую (выходную) волну. Характер нелинейной
среды при четырехволновом смешении проявляется в нелиней-
ной восприимчивости (3)
. Две волны накачки и пробная волна
связываются через (3)
, создавая четвертую волну, которая про-
порциональна комплексно сопряженной пробной волне [36].
Мощная волна накачки с частотой ω2 за счет ВКР генери-
рует симметрично расположенные боковые полосы с частотами
ω1 (стоксова, или сигнальная волна) и ω3 (антистоксова, или хо-
лостая волна) (см. рис. 13.10).
При достижении критической мощности излучения не-
линейность волокна приводит к взаимодействию трех волн с ча-
стотами ω1, ω2 и ω3 и появлению новой четвертой волны (ложно-
го сигнала) на частоте, являющейся комбинацией трех других
частот (рис. 13.11, 13.12).
За счет четырехволнового смешения в оптоволоконной
линии могут возникать нежелательные ложные сигналы в спек-
тральном диапазоне передачи информации.
Рис. 8.10. Генерация стоксовой ω1 и антистоксовой волны ω3 за
счет вынужденного комбинационного рассеяния
112
Рис.8.11. Генерация новой волны за счет четырехволнового
смешения
Рис.8.12. Спектр стоксовых и антистоксовых линий
четырехволнового смешения в одномодовом световоде [36]
Четырехволновое смешение - главный источник пересечений
и потерь в системах WDM. Взаимное влияние нескольких кана-
лов друг на друга создает новые посторонние сигналы. В худ-
шем случае равного расстояния между каналами большинство
новых частот накладываются на существующие и вызывают ин-
терференцию, в лучшем случае наблюдается уменьшение мощ-
ности каналов WDM.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»](https://image.slidesharecdn.com/random-150926090117-lva1-app6891/85/slide-56-320.jpg)
![113
Рассмотрим четыре непрерывные оптические волны с часто-
тами 1, 2, 3, и 4, линейно поляризованные вдоль оси X.
Суммарное электрическое поле Е равно [23]
сопр.компл.exp
2
1
4
1
4
1
tzki jj
j
j
j
j xEE (8.14)
Наведенная нелинейная поляризация
3)3(
0нелР Е (8.15)
может быть представлена в виде
сопр.компл.exp
2
1
4
1
нел
tzkiР jj
j
j xР (8.16)
Нелинейные поляризации Рj для j=1…4 состоят из большого
числа членов, включающих произведение трех напряженностей
электрических полей. Так, Р4 выражается как
....})exp(*2)exp(2
2{
4
3
321321
4
2
3
2
2
2
1
2
4
30
4
ii
P xxx
(8.17)
где
tzkkkk )()( 43214321 , (8.18)
tzkkkk )_()_( 43214321 . (8.19)
Первое слагаемое в (8.17) отвечает за эффекты фазовой самомо-
дуляции и фазовой кроссмодуляции. Остальные члены – за че-
тырехволновое смешение. Какие из них эффективно осуществ-
ляют параметрическую связь волн – зависит от величины отно-
сительной фазы между Е4 и Р4, равной и , и ее постоян-
ства при распространении волн по световоду. Четырехволновое
смешение становится значительным, когда относительная фаза
114
близка к /2, т. е. когда поляризация на частоте 4 опережает
электрическое поле. Для этого требуется согласование, как ча-
стот, так и волновых векторов (с учетом нелинейных эффектов).
Последнее условие называют также согласованием фаз или фа-
зовым синхронизмом [23].
В терминах квантовой механики четырехволновое смешение
описывается как уничтожение фотонов одной частоты и рожде-
ние фотонов другой частоты, причем сохраняются энергия и им-
пульс. Второй член в правой части (8.17) соответствует случаю
передачи энергии трех фотонов одному фотону частоты
3214 .Этот член отвечает за генерацию третьей
гармоники (когда 321 ). Однако при таком процессе
трудно обеспечить условие фазового синхронизма (закон сохра-
нения импульса) и, следовательно, получить высокую эффек-
тивность преобразования.
Последний член в (8.17) соответствует случаю уничтожения
двух фотонов с частотами 1 и 2 и одновременного рождения
двух фотонов с частотами 3 и 4 , так что 4321 .
Относительно легко обеспечить выполнение условия фазово-
го синхронизма в случае частично вырожденного четырехволно-
вого смешения, когда 21 .В этом случае мощная волна
накачки с частотой 1 генерирует две симметрично располо-
женные боковые полосы с частотами 3 и 4 , сдвинутыми от
частоты накачки на величину с:
1431 c , (8.20)
где для определенности 43 .
Низкочастотную ( 3 ) и высокочастотную ( 4 )спектральные
составляющие называют стоксовой и антистоксовой компонен-
тами, соответственно. Стоксову и антистоксову волны называют
также сигнальной и холостой волнами. Если в световод вводится
только излучение накачки и выполняется согласование фаз, то
генерация стоксовой и антистоксовой волн с частотами 3 и 4
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»](https://image.slidesharecdn.com/random-150926090117-lva1-app6891/85/slide-57-320.jpg)
![115
может инициироваться шумами. С другой стороны, если в све-
товод вместе с накачкой вводится слабый сигнал частоты 3 , то
он усиливается, причем одновременно генерируется новая волна
частоты 4 . Этот процесс называют параметрическим усилени-
ем.
Выводы
В лекции рассматриваются нелинейные эффекты, к которым
относятся нелинейное преломление (частным случаем которого
является фазовая самомодуляция, фазовая кросс-модуляция, па-
раметрическая модуляция, четырехволновое смешение (частным
случаем которого является генерация третьей гармоники). Рас-
сматриваются причины и условия возникновения нелинейно -
оптических эффектов, а также влияние нелинейных эффектов на
распространение электромагнитной волны.
Вопросы и задания для самоконтроля
8.1.Что такое нелинейная среда?
8.2.Какие нелинейные эффекты вы можете назвать?
8.3.В чем заключается эффект Керра?
8.4.Что такое фазовый синхронизм?
8.5.Что такое параметрическая генерация?
8.6.Что такое четырехволновое смешение?
8.7.Как влияет четырехволновое смешение на распростране-
ние сигнала в системах WDM?
116
Лекция 9
Тема 9. Применение фотонных кристаллов и
гетероструктур
9.1. Квантовые микрорезонаторы
Резонатор – колебательная система, в которой могут распро-
страняться только колебания с определенными (резонансными)
частотами. Обычно резонатор имеет дискретный спектр резо-
нансных частот. В оптике обычно используются открытые резо-
наторы. Резонатор может использоваться для накопления энер-
гии при совпадении резонансной частоты и частоты падающей
электромагнитной волны.
Простейшим микрорезонатором является резонатор Фабри-
Перо (рис. 15.1). Двумерные резонаторы на основе микродисков
изображены на рис. 15.2.
Рис. 9.1. Резонатор Фабри-Перо, состоящий из двух
плоских зеркал
Рис. 9.2. Двумерные микрорезонаторы (микродиски) [39]
В качестве квантового микрорезонатора может использовать-
ся одномерный фотонный кристалл с дефектом или брэгговски-
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»](https://image.slidesharecdn.com/random-150926090117-lva1-app6891/85/slide-58-320.jpg)
![119
номерной периодической структуры будет мала, то слои будут
представлять собой квантовые ямы. В таком случае необходимо
учитывать влияние квантово-размерных эффектов (см. лекцию
4).
Рис. 9.8. Спектр пропускании квантового резонатора, изобра-
женного на рис. 9.7
Использование экситонных уровней энергии
Естественным путем для усиления взаимодействия света с
веществом является настройка на резонансные условия возбуж-
дения и учет дополнительных уровней размерного квантова-
ния, появляющихся при возникновении экситонов в квантовой
яме. Микрорезонаторы со встроенной квантовой ямой, или
квантовые микрорезонаторы, являются перспективными устрой-
ствами для оптоэлектроники:
эти структуры перспективны для создания низкопорого-
вых вертикально излучающих лазеров,
фундаментальные вопросы взаимодействия двумерных
фотонов с веществом открыли новый раздел в кванто-
вой электродинамике,
квантовые микрорезонаторы представляют новые воз-
можности для нелинейной оптики, так как нелинейный
отклик сильнее зависит от константы экситон-фотонной
120
связи.
Рис. 9.9. Схематическое изображение полупроводникового кван-
тового микрорезонатора [39]
Рассмотрим более подробно полупроводниковый микрорезо-
натор. Он представляет собой многослойную структуру, состо-
ящую из активного слоя B толщиной Lb, заключенного между
брэгговскими зеркалами (рис. 9.9) [39]. Брэгговские зеркала со-
стоят из достаточно большого числа чередующихся слоев C1 и
C2 с различающимися показателями преломления n1 и n2 и
ширинами d1, d2. Толщины слоев удовлетворяют условиям
,
2
,
2211
d
c
nd
c
n
NL
c
n bbb
(9.2)
где nb - показатель преломления активного слоя, Nb – целое чис-
ло, λ = 2π(c/ωnb), ω – произвольно выбираемая частота, кото-
рая при выполнении условий (15.2) оказывается резонансной
частотой 2D-фотонной моды. В квантовом микрорезонаторе в
середину активной области помещается одна или несколько
квантовых ям (слой A на рис.9.9) с резонансной частотой экси-
тона ω0, близкой к частоте ω. Для простоты предположим, что
структура содержит одну квантовую яму и Nb – четное число,
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»](https://image.slidesharecdn.com/random-150926090117-lva1-app6891/85/slide-60-320.jpg)
![121
так что электрическое поле фотонной моды имеет пучность в
середине активного слоя.
Наличие экситонных и фотонных состояний в квантовом
микрорезонаторе приводит к образованию 2D-экситонных по-
ляритонов. Анализ таких связанных экситон-фотонных возбуж-
дений проведем в соответствии с работой [39] модели двух
классических осцилляторов, один из которых представляет экси-
тон в квантовой яме, а другой - фотонную моду. Роль колеблю-
щихся величин играют средняя поляризация
),()( 1 tzdzPatP exc
, индуцируемая 2D-экситоном, и электри-
ческое поле E(t) в квантовой яме. В пределах тонкого слоя
квантовой ямы зависимостью электрического поля от z можно
пренебречь. P(t) и E(t) удовлетворяют стандартной системе
уравнений для связанных осцилляторов
),(
)(
2)(
)(
),(
)(
2)(
)(
2
2
2
2
1
2
02
2
tPq
dt
tdE
tE
dt
tEd
tEq
dt
tdP
tP
dt
tPd
(9.3)
где Γ, γ – нерадиационное затухание 2D-экситона и затухание
фотонной моды, которое определяется неидеальной отражатель-
ной способностью зеркал, обусловленной конечностью числа
пар C1 и C2 в распределенных брэгговских отражателях. Соб-
ственные решения ищем в виде экспоненциальных функций P(t)
= P exp(- i ω t), E(t) = E exp(- i ω t). Если затухания Γ, γ и раз-
ность затравочных резонансных частот ω0 - ω малы по сравне-
нию с самими этими частотами, система уравнений для ампли-
туд упрощается:
.
,
2
10
PEi
EPi
(9.4)
Введем вместо q1 и q2 другие параметры qj /2ω . Для них, а так-
же для затухания γ можно получить аналитические выражения
122
qa
2
,, 21 0
, (9.5)
,, 1 jb
c
q
,
)(
2
,)1(
8
1
bb
njj
LLn
c
R
12
21
2
2
2
1 ,41
nn
nn
n
c
L
n
n
n
n
R
b
N
b
j
nj
b
.
Поясним физический смысл введенных параметров: γ j – затуха-
ние фотонной моды, обусловленное выходом фотона из микро-
резонатора в левую (j=l) или правую (j=r) внешнюю среду с
диэлектрической проницаемостью nj; Γ0 –радиационное затуха-
ние экситона в структуре с одиночной квантовой ямой, Rmj – ко-
эффициент отражения света от брэгговского зеркала j при паде-
нии на него со стороны активного слоя, Nj – число пар слоев C1
и C2 в этом зеркале, длина L определяетглубину проникнове-
ния фотонной моды в брэгговский отражатель.
Решая однородные уравнения (15.4), получим следующие
комплексные собственные частоты экситон-поляритонных мод:
2
21 00 4
1
2
1
ii . (9.6)
Проанализируем случай, когда частота фотонной моды ω
настроена на резонанс с экситонной частотой: ω = ω0. В ре-
жиме слабой связи, определяемом условием 21
2
4 ,
имеем для собственных частот
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»](https://image.slidesharecdn.com/random-150926090117-lva1-app6891/85/slide-61-320.jpg)
![123
21
2
2
,
2
ii , (9.7)
то есть их реальные части совпадают, а мнимые различаются. В
режиме сильной связи, когда 21
2
4 , у собственных
частот различаются вещественные части:
21
2
2
,
2
i . (9.8)
В этом случае разность ω+ −ω− = 2Ω называется частотой Раби.
Отметим, что обычные структуры с изолированными кванто-
выми ямами являются открытыми системами, в которых 2D-
возбуждения, экситоны, взаимодействуют с 3D-фотонами и
экситон-фотонное взаимодействие приводит в основном к ради-
ационному затуханию экситона. В квантовом микрорезонаторе
с качественными оптическими зеркалами как экситонные, так
и фотонные состояния размерноквантованы в направлении
главной оси структуры. Поэтому в этом случае возможна
сильная перенормировка энергии исходных («голых») частиц. В
реальных полупроводниковых квантовых резонаторах расщеп-
ление Раби составляет несколько миллиэлектронвольт, а в
некоторых случаях даже превышает 10 мэВ.
Рис.9.10. Спектр оптического отражения от квантового микроре-
зонатора с активной областью шириной λ , в центр которой
вставлена квантовая яма [39]
124
Для иллюстрации режима сильной связи на рис. 15.10 представ-
лен спектр отражения от квантового микрорезонатора, в ко-
тором брэгговские зеркала выращены из чередующихся слоев
AlAs (n1=2.95) и GaAs (n2=3.61), активная область шириной λ –
из GaAs, одиночная квантовая яма In0.04Ga0.96As расположена в
центре активного слоя, резонансные частоты ω и ω0 совпа-
дают. Свет на структуру падает по нормали к плоскости ин-
терфейсов. В спектре четко различимы два минимума, опреде-
ляющие положение собственных частот 2D-экситонных поля-
ритонов ω±. Расщепление Раби составляет 3 мэВ и существенно
превышает ширину спектральных провалов ω+ и ω− .
9.2. Гетероструктуры с квантовыми ямами
Рассмотрим вопрос об энергетическом спектре 2D газа на
примере гетероструктуры GaAs/InxGa1-xAs с одной квантовой
ямой, образованной путём встраивания тонкой (~110 нм) про-
слойки твердого раствора InxGa1-xAs в относительно более тол-
стый (~1 мкм) слой GaAs [12]. Поскольку ширина запрещенной
зоны твердого раствора InxGa1-xAs Eg(x) меньше ширины запре-
щенной зоны GaAs (Eg01.426 эВ) и на границе этих материалов
образуется гетеропереход так называемого «охватывающего»
типа. Разрывы зоны проводимости Ec(x) и образуют потенци-
альную яму для электронов в направлении оси z, перпендикуляр-
ной плоскости слоя (рис. 15.11). Если ширина ямы la сравнима с
дебройлевской длиной волны электронов и дырок, размерное
квантование z-компонента волнового вектора k и соответствую-
щей компоненты энергии становится существенным. Будем сле-
довать изложению, приведенному в работе [19].
Энергетический спектр электронов в яме Еn и огибающая вол-
новая функция n(z) находятся из одноэлектронного уравнения
Шредингера
)()()(
2 2
22
zEzzE
zm
nnnc
e
, (9.9)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»](https://image.slidesharecdn.com/random-150926090117-lva1-app6891/85/slide-62-320.jpg)
![125
где me - эффективная масса электронов, функция Ec(z) описывает
профиль потенциальной ямы.
В плоскости квантовой ямы движение электронов остается
неограниченным. Поэтому об электронах в квантовой яме гово-
рят как о двумерном электронном газе. Энергетический спектр x-
и y-компонент энергии 2D газа является квазинепрерывным, как
и в трехмерном материале.
GaAsGaAs InxGa1-xAs
Ee2
Ee1
0
Ec(x
)_
Eg
3D
(x) Eg
2D
(x) Eg0
Ev(x
)
Lz
0
Ehh1
Ehh2
Ehh3
Ev
Ev0
Ec0
Ec
Рис. 9.11. Энергетическая диаграмма квантовой ямы InGaAs в
GaAs
В приближении квадратичного закона дисперсии (параболи-
ческих зон) полная энергия электрона в квантовой яме может
быть записана в виде:
la
)
)
126
nyx
e
Ekk
m
E 22
2
2
. (9.10)
Для простейшего случая прямоугольной потенциальной ямы
с бесконечно высокими стенками
En= Ee1n2
, (9.11)
2
22
1
2 ae
e
lm
E
. (9.12)
Огибающие волновые функции двух связанных состояний и со-
стояния в непрерывном спектре показаны на рис 9.12.
Рис. 9.12 Огибающие волновые функции электронов в квантовой
яме [19]
Коэффициент поглощения квантовой ямы, определяемый как
отношение поглощенной мощности излучения к падающей, для
переходов из заполненного основного состояния 1 с концен-
трацией N2D в первое пустое возбужденное состояние 2 опре-
деляется выражением:
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»](https://image.slidesharecdn.com/random-150926090117-lva1-app6891/85/slide-63-320.jpg)
физические основы нанотехнологий, фотоники и оптоинформатики конспект лекций
- 1. КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ ПО УЧЕБНОЙДИСЦИПЛИНЕ ФИЗИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ НАНОТЕХНОЛОГИЙ, ФОТОНИКИ И ОПТОИНФОРМАТИКИ по направлению подготовки 200700 Самара - 2014 2 ББК 22.37 Г24 УДК 539.21 Головкина М.В. Физические основы нанотехнологий, фо- тоники и оптоинформатики. Конспект лекций. –Самара.: ФГОБУ ВПО ПГУТИ, 2014. -196 с. Книга представляет собой курс лекций по учебной дисциплине «Физические основы нанотехнологий, фотоники и оптоинформатики», рассматривающий основные явления, принципы и экспериментальные достижения нанофотоники. В книге на высоком физико – математиче- ском уровне описываются вопросы распространения и взаимодействия света в пространственно – ограниченных наноструктурах, рассматри- ваются свойства различных наноструктурированных материалов, а также вопросы их практического использования. Для магистрантов, аспирантов, изучающих вопросы оптической связи, а также для инженерно-технических работников. Рецензент: д.ф.-м.н., профессор Арефьев А.С. Федеральное государственное образовательное бюджетное учреждение высшего профессионального образования «Поволж- ский государственный университет телекоммуникаций и ин- форматики» Головкина М.В., 2014 Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
- 2. 3 Список сокращений иобозначений АСМ – атомная силовая микроскопия, ВКР –вынужденное комбинационное рассеяние, ГС – гетероструктура, КНИ – кремний-на-изоляторе, КОНОП – кремний оксид-нитрид-оксид-полупроводник, ЛВР – лазеры с вертикальным резонатором, МЛЭ – молекулярно-лучевая эпитаксия, МОП – металл – оксид –полупроводник, МП – магнитный поляритон, MOCVD (Metalorganic Chemical Vapour Deposition) – метод оса- ждения металлоорганических соединений из газообразной фазы, ПП – поверхностный плазмон, ПМСВ – поверхностные магнитостатические волны, СТМ - сканирующая туннельная микроскопия, УНТ – углеродная нанотрубка, ФЗЗ – фотонная запрещенная зона, ФК– фотонный кристалл, ФКВ – фотонно-кристаллическое волокно, ЭППЗУ - электрически перепрограммируемое постоянное запо- минающее устройство. 4 Содержание Введение....................................................................................8 Лекция 1. Тема 1. Особенности физических взаимодействий в наномасштабах. Квантовая механика нанообъектов 1.1. Особенности физических взаимодействий в нано- масштабах.......................................................................9 1.2. Описание движения наночастиц. Уравнение Шредингера .................................................................13 1.3. Собственные функции, собственные значения..20 Выводы по теме............................................................22 Вопросы и задания для самоконтроля .......................22 Лекция 2. Тема 2. Квантование энергии. Наночастица в одномерной по- тенциальной яме 2.1. Собственные функции, собственные значения..23 2.2. Наночастица в одномерной потенциальной яме23 2.3. Частица в одномерной потенциальной яме с беско- нечно высокими стенками...........................................24 2.4. Локализация электронов в простейших нано- структурах (размерное квантование) .........................29 2.5. Потенциальный барьер. Туннельный эффект ....31 2.6. Применение туннельного эффекта в современных приборах........................................................................31 Выводы по теме............................................................35 Вопросы и задания для самоконтроля .......................35 Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
- 3. 5 Лекция 3. Тема 3.Квантово – размерные эффекты. Квантовый кон- файнмент 3.1. Плотность состояний............................................37 3.2.Типы квантоворазмерных структур .....................44 Выводы по теме............................................................50 Вопросы и задания для самоконтроля .......................50 Лекция 4. Тема 4. Электроны в периодических структурах и квантовый конфайнмент. Блоховские волны 4.1. Дисперсионное уравнение....................................52 4. 2. Электроны в периодических структурах. Теорема Блоха. Зоны Бриллюэна................................53 4.3. Электрон в периодическом поле кристалла. Эффек- тивная масса .................................................................59 Выводы по теме............................................................63 Вопросы и задания для самоконтроля .......................63 Лекция 5. Тема 5. Квазичастицы 5.1. Квазичастицы ........................................................64 5.2. Дырки.....................................................................65 5.3. Фононы...................................................................66 5.4. Экситоны................................................................69 Выводы по теме............................................................75 Вопросы и задания для самоконтроля .......................76 6 Лекция 6. Тема 6. Рассеяние 6.1. Виды рассеяния.....................................................77 6.2. Рэлеевское рассеяние............................................78 6.3. Рассеяние Ми.........................................................80 6.4. Рассеяние Мадельштама-Бриллюэна ..................81 6.5. Комбинационное (рамановское) рассеяние........82 6.6. Расчет параметров рассеяния ..............................84 Выводы по теме............................................................86 Вопросы и задания для самоконтроля .......................87 Лекция 7. Тема 7. Фотонные кристаллы 7.1. Классификация фотонных кристаллов................88 7.2. Дисперсионное уравнение для одномерных фотон- ных кристаллов.............................................................96 7.3. Применение фотонных кристаллов...................101 Выводы по теме..........................................................103 Вопросы и задания для самоконтроля .....................103 Лекция 8. Тема 8. Нелинейно –оптические эффекты 8.1. Условия возникновения нелинейных оптических эффектов .....................................................................104 8.2. Генерация второй гармоники и условие фазового синхронизма ...............................................................106 8.3. Параметрическое преобразование и параметриче- ские генераторы света................................................108 8.4. Четырехволновое смешивание ..........................110 Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
- 4. 7 Выводы по теме..........................................................115 Вопросыи задания для самоконтроля .....................115 Лекция 9. Тема 9. Применение фотонных кристаллов и гетеро- структур 9.1. Квантовые микрорезонаторы ............................116 9.2. Гетероструктуры с квантовыми ямами.............124 Выводы по теме..........................................................127 Вопросы и задания для самоконтроля .....................127 Ответы на вопросы и задания для самоконтроля..............128 Список литературы .............................................................133 Глоссарий..............................................................................137 8 Введение Данная книга представляет собой курс лекций по дисци- плине «Физические основы нанотехнологий, фотоники и опто- информатики», изучаемой в рамках магистерской программы по направлению 2001700 «Фотоника и оптоиноформатика». Дан- ный курс посвящен основным вопросам нанофотоники, возник- шей на стыке фотоники, изучающей проблемы распространения света в различных средах, и нанотехнологий, развитие которых дает возможность для создания новых структур с заранее задан- ными свойствами. Совершенствование техники молекулярно- лучевой эпитаксии позволяет создавать полупроводниковые нано- и гетероструктуры толщиной в несколько атомных слоев. В таких наноструктурах, ограничивающих движение носителей зарядов в одном, двух или трех направлениях, начинают прояв- ляться квантоворазмерные эффекты, приводящие к существен- ному изменению спектральных характеристик и появлению но- вых свойств, которые не могут наблюдаться у природных мате- риалов. Данная книга подробно освещает теоретические вопро- сы, связанные с особенностями распространения света в ограни- ченных наноструктурах, вопросы размерного квантования, эле- менты наноплазмоники, а также вопросы практического приме- нения наноструктур. Каждая лекция в конце содержит вопросы и задания для самоконтроля, чтобы читатели могли следить за усвоением изученного материала. Курс лекций рассчитан на читателя, владеющего матема- тическим анализом, квантовой механикой и физикой твердого тела в объеме, изучаемом в технических университетах, а также знаниями оптической физики и основ оптоинформатики. В свою очередь, знания, полученные в рамках данного курса, использу- ются при изучении курсов по нанооптике, фемтосекундная оп- тике и фемтотехнологии, оптическим материалам фотоники и оптоинформатики. Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
- 5. 9 Лекция 1 Тема 1.Особенности физических взаимодействий в наномасштабах. Квантовая механика нанообъектов 1.1. Особенности физических взаимодействий в наномасшта- бах Понятие фотоника подразумевает совокупность наук и тех- нологий, связанных с излучением, поглощением, эмиссией, пре- образованием света и также с их применением в различных устройствах. Свет - это электромагнитное излучение для прямо- го человеческого восприятия в диапазоне длин волн от прибли- зительно 400 до приблизительно 700 нанометров. Как правило, соседние участки в далеком ультрафиолетовом и ближнем ин- фракрасном диапазонах также являются предметом фотоники. Таким образом, в качестве субъекта фотоники можно назвать приблизительный диапазон электромагнитного излучения от 100 нм до 1-2 мкм. Если пространство имеет определенные неодно- родности на масштабе, сравнимом с длиной волны света, то из- за многократного рассеяния и интерференции возникают изме- нения распространения световых волн. Рассеяние света является необходимой предпосылкой для зрения. Сияющие цвета мыль- ных пузырей и тонких пленок бензина на мокрой дороге после дождя являются первым опытом наблюдения интерференции в раннем детстве. Чтобы изменять условия для распространения света, размер неоднородностей в пространстве должен быть сравним с длиной волны света, т.е. начиная с размера в диапа- зоне 10-100 нм до нескольких микрометров. [15] Материя формируется из атомов, которые, в свою очередь, состоят из ядер и электронов. Элементарный атом водорода имеет радиус первой орбиты 0,053 нм. Атомы могут образовывать молекулы и твердые тела. Многие типичные органические молекулы имеют размеры порядка 1 нм. Для ти- пичных кристаллических твердых тел период решетки составля- ет около 0,5 нм. Взаимодействие света с веществом сводится фактически к процессам, связанным с электронной подсистемой молекул и твердых тел. Поэтому, чтобы понять взаимодействие 10 света и вещества, нужно детально рассмотреть электронные свойства. Электроны рассматриваются как объекты, обладаю- щие волновыми свойствами в точки зрения длины волны, и кор- пускулярные свойства с точки зрения массы и заряда. Если элек- трон приобрел кинетическую энергию в результате ускорения в электрическом поле между парой пластин с напряжением 1В (например, генерируемых в кремниевых фотоэлементов), то его кинетическая энергия 1 эВ соответствует длине волны де Брой- ля, близкой к 1 нм. Для кинетической энергии Е=kBT = 27 мэВ, соответствующей комнатной температуре, длина волны де Бройля электрона в твердых телах имеет порядка 10 нм. «Если при уменьшении объема какого-либо вещества по од- ной, двум или трем координатам до размеров нанометрового масштаба возникает новое качество, или это качество возникает в композиции из таких объектов, то эти образования следует от- нести к наноматериалам, а технологии их получения и дальней- шую работу с ними -к нанотехнологиям.» [15] Линейный размер структурных единиц наноматериалов из- меняется в пределах примерно от 1 до 1000 атомных (молеку- лярных) слоев. Объем –от 10 до 106атомов (молекул). Наночастица (англ. nanoparticle) - изолированный твердофаз- ный объект, имеющий отчетливо выраженную границу с окру- жающей средой, размеры которого во всех трех измерениях со- ставляют от 1 до 100 нм. Наночастицы - один из наиболее общих терминов для обозначения изолированных ультрадисперсных объектов, во многом дублирующий ранее известные термины (коллоидные частицы, ультрадисперсные частицы), но отлича- ющийся от них четко определенными размерными границами. Твердые частицы размером менее 1 нм обычно относят к класте- рам, более 100 нм — к субмикронным частицам [25] Отнесение к нанотехнологиям (наноматериалам, нанонаукам) отражает не только пространственный масштаб рассматривае- мых явлений, процессов, структурированности (неоднородно- сти) веществ. Отнесение к нанотехнологиям (наноматериалам, нанонаукам) подразумевает наличие качественных особенностей в закономерностях, определяющих протекание явлений и про- цессов и отсутствующих при других характерных масштабах. Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
- 6. 11 Нанотехнология - данныйтермин в настоящее время не имеет единого определения. Первоначально термин «нанотехнология» использовался в узком смысле и означал комплекс процессов, обеспечивающих высокоточную обработку поверхности с ис- пользованием высокоэнергетических электронных, фотонных и ионных пучков, нанесения пленок и сверхтонкого травления. В настоящее время термин «нанотехнология» используется в ши- роком смысле, охватывая и объединяя технологические процес- сы, приемы и системы машин и механизмов, предназначенные для выполнения сверхточных операций в масштабе нескольких нанометров. Под термином «нанотехнологии» Роснано понимает совокупность технологических методов и приемов, используе- мых при изучении, проектировании и производстве материалов, устройств и систем, включающих целенаправленный контроль и управление строением, химическим составом и взаимодействи- ем составляющих их отдельных наномасштабных элементов (с размерами порядка 100 нм и меньше как минимум по одному из измерений), которые приводят к улучшению, либо появлению дополнительных эксплуатационных и/или потребительских ха- рактеристик и свойств получаемых продуктов [25]. Наноструктуры часто встречаются в живой природе. Струк- турами с одномерной периодичностью, обладающими выра- женной интерференционной окраской, являются, например, по- крытия на крыльях некоторых бабочек, хвостовых перьях пав- лина, панцирях некоторых жуков. Роль интерференции в окраске перьев павлинов отмечал еще Исаак Ньютон в 1730 г. Недавно высказано предположение, что периодическая структура диатомовых водорослей способствует более эффек- тивному светосбору, повышая, таким образом, продуктивность фотосинтеза. Целесообразность интерференционной окраски не получила однозначного толкования. Можно предположить, что предпочтение интерференции по сравнению с абсорбционным механизмом цветообразования у живых организмов связано с тем, что интерференционная окраска не требует поглощения и диссипации световой энергии, а значит, не сопровождается нагревом и фотохимическим разрушением пигментного покры- тия. 12 Рис.1.1. Интерференционная окраска пера павлина. Структуры с двумерной периодичностью присутствуют в строении глаз насекомых (например, моли), а также человека и других млекопитающих, в строении некоторых видов водорос- лей. Двумерная периодичность присуща натуральным жемчу- жинам, состоящим из слоистой упаковки цилиндрических эле- ментов. Функциональность строения живых организмов, сфор- мировавшихся под влиянием естественного отбора, приводит к мысли о целевом использовании оптических свойств периодиче- ских структур в живой природе. Во многих случаях такая целе- сообразность не вызывает сомнений. Регулярная пористая структура глаз насекомых и роговицы глаз млекопитающих яв- ляется эффективным антиотражающим интерфейсом, обеспечи- вающим прохождение света без френелевского отражения с од- новременной возможностью физико-химического обмена с окружающей средой для внутренних тканей глаза [38]. Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
- 7. 13 Рис. 1.2. Периодическаяструктура глаза насекомого. Микрофо- тография В природе существуют трехмерные периодические структуры в виде коллоидных кристаллов. Они впервые были обнаружены при исследовании вирусов. Полудрагоценный минерал опал представляет собой коллоидный кристалл, состоящий из моно- дисперсных сферических глобул оксида кремния. Именно ин- терференцией света в трехмерной периодической структуре определяется их искрящийся цвет, зависящий от угла падения и наблюдения. 1.2. Описание движения наночастиц. Уравнение Шредингера Согласно гипотезе де-Бройля поток любых материальных ча- стиц (электронов, протонов, нейтронов, целых атомов и т.д.) об- ладает, аналогично кванту света фотону, не только корпуску- лярными, но и волновыми свойствами. Таким образом, если ча- стица имеет энергию E и импульс, абсолютное значение которо- го равно p, то с ней связана волна, частота которой h Е , (1.1) а длина волны де Бройля 14 p h , (1.2) где h – постоянная Планка. Эти волны получили название волн де Бройля. При этом волновой вектор k этих волн определяется их импульсом: p k , (1.3) где p - импульс частицы; 2 h - приведенная постоян- ная Планка. Физический смысл волны де Бройля заключается в том, что это не классическая материальная волна, а волна вероятности. Т.е. это есть некая функция ψ(x,y,z,t), описывающая состояние частицы, квадрат модуля которой определяет вероятность нахож- дения частицы в различных точках пространства (x,y,z) и в раз- личные моменты времени t [3]. Волна де Бройля для микрочастицы - это плоская волна вида )( 0 )( 0 rpEt i rkti ee , (1.4) где r - радиус-вектор, 0 - амплитуда плоской волны. Вместо соотношения (1.2) на практике для вычисления длины волны де Бройля у электронов часто используют выражение кинEm h 2 , (1.5) где m * - эффективная масса электрона в твердом теле; Екин- ки- нетическая энергия электронов. Длина волны де Бройля - это мера пространственного объема, согласно которой квантово-механические свойства микрочастиц (т.е. вероятностный характер их поведения) становятся определя- ющими. Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
- 8. 15 Иными словами, длинаволны де Бройля - это условная гра- ница для оценки перехода из макромира в наномир. В наномире микрочастицы теряют привычные для макрочастиц свойства: – микрочастицы движутся не по траекториям (механика Ньютона для них отменяется); – невозможно одновременно определить местоположение и скорость микрочастицы (принцип Гейзенберга); невозможно достоверно точно сказать, в какой точке простран- ства находится микрочастица, а можно говорить лишь о вероят- ности нахождения микрочастицы в данной точке пространства, которая пропорциональна квадрату модуля волновой функции микрочастицы и т.д. Задачи физики наночастиц решаются методами квантовой теории, которая принципиально отличается от классической ме- ханики. В основе расчётов лежит уравнение Шредингера. Решив его, мы находим набор энергетических уровней, который реали- зуется в заданном потенциале, а также получаем информацию статистического характера о возможном положении частицы. Состоянию частицы в момент времени t0 в квантовой меха- нике ставят в соответствие волновую функцию (r, t0) – функцию координат, вообще говоря, комплексную. Соответ- ственно, эволюцию состояния описывает функция координат и времени (r, t). Волновую функцию (r, t) можно найти, ре- шая уравнение Шредингера [35] ψψ ψ U mt i 2 2 2 , (1.6) где i – мнимая единица, т – масса частицы., 2 – оператор Лапласа, имеющийвдекартовых координатахследующийвид 2222222 /// zyx , U – функция координат и времени, которая определяет силу, действующую на частицу. Уравнение Шредингера, как законы Ньютона и уравнения Максвелла, вывести нельзя. Оно основано на анализе экспериментальных данных и в масштабах атомов описывает волновые свойства частиц. Уравнение (1.6) при задан- ном потенциале U(r) имеет бесконечное множество решений, соот- ветствующих множеству возможных начальных состояний электрона. 16 Если задано и начальное состояние электрона (r, 0), его эволюция (r, t) определяется уравнением (1.6) однозначно. Еслисиловое поле, вкоторомдвижетсячастица, стационарно, то есть функция U не зависит явно от времени. Тогда U имеет смысл потенци- альной энергии частицы.. В этом случае волновая функция (r, t) име- ет вид ti et )(),( rr . (1.7) При этом функция )(r находится из решения уравнения, кото- рое называется стационарным уравнением Шредингера: 0z)y,ψ(x,)( 2 z)y,ψ(x, 2 2 UE m . (1.8) ЗдесьЕ имеетсмыслполнойэнергии частицы. В случае одномерной области движения, ее стационарное (амплитудное) уравнение Шредингера имеет вид 0)())(( 2)( 22 2 xxUE m dx xd , (1.9) где ψ(х) – волновая функция в точке х; Е – полная энергия микрочастицы, a U(x) - потенциальное энергетическое поле, в котором дви- жется микрочастица. Для свободной микрочастицы, на которую не действуют внешние силы, т.е. U(x)=0, ее полная энергия равна кинетиче- ской: 2 22 22 m h m p Eкин . (1.10) Для микрочастицы, движущейся в поле действия постоянного потенциала Uо, функция U(x)=U0.. В этом случае уравнение (1.10) может быть записано как 0)( )( 2 2 2 xk dx xd , (1.11) Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
- 9. 17 где k -волновое число микрочастицы, рассчитываемое как 2 0 )(2 UEm k . (1.12) Смысл волновой функции В общем случае (произвольное движение частицы в произ- вольных силовых полях) состояние частицы в квантовой меха- нике задается волновой функцией. Она - основной носитель ин- формации о корпускулярных и волновых свойствах микроча- стиц. В частном случае свободного движения частицы волновая функция - плоская волна де Бройля. На основании статистической интерпретации вероятность нахождения частицы в момент времени t с координатами x и x+dx, y и y+dy, z и z+dz определяется интенсивностью волновой функции, т.е. квадратом пси-функции. Поскольку в общем слу- чае y - комплексная функция, а вероятность должна быть всегда действительной и положительной величиной, то за меру интен- сивности принимается квадрат модуля волновой функции [35] . Вероятность dW нахождения частицы в элементе объема dV в момент времени t dVdW 2 . (1.13). Плотность вероятности, т. е. вероятность нахождения части- цы в момент времени t в окрестности данной точки пространства 2 dV dW w . (1.14). Плотность вероятности — величина, наблюдаемая на опыте, в то время как сама волновая функция, являясь комплексной, наблюдению недоступна, В этом заключается существенное от- личие в описании состояний частиц в квантовой и классической механике (в классической механике величины, описывающие состояние частиц, наблюдаемы). Вероятность найти частицу в момент времени t в некотором объеме V 18 v v dVdWW 2 . Т. к. dV 2 определяется как вероятность, то, проинтегри- ровав это выражение в бесконечных пределах, получим вероят- ность того, что частица в момент времени t находится где-то в пространстве. Это есть вероятность достоверного события, а ее в теории вероятностей считают равной 1. Отсюда следует условие нормировки 1 2 dV (1.15) Волновая функция - объективная характеристика состояния наночастиц и должна удовлетворять ряду ограничений. Она должна быть конечной (вероятность не может быть больше еди- ницы), однозначной (вероятность не может быть неоднозначной величиной) и непрерывной (вероятность не может изменяться скачком). Принцип суперпозиции Уравнение Шредингера линейно относительно волновой функции. Следовательно, любая линейная комбинация 1 1 2 2C C его решений 1 и 2 также является его решением. Таким образом, линейная комбинация волновых функций обязательно описывает некоторое состояние частицы (или си- стемы частиц). В частности, при C2 = 0 получаем, что решение уравнения Шредингера, известно с точностью до постоянного множителя. В итоге можно выделить следующие свойства волновой функции [35]. Свойства волновой функции: Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
- 10. 19 1) Однозначна, конечна,непрерывна, дифференцируема. 2) Вероятность W найти частицу в конечном объёме V рав- на (из (1.14)): V dVW 2 . (1.16) 3) Вероятность найти частицу хотя бы где-нибудь: неважно, в какой точке пространства (если частица существует) равна единице: 1 2 dV . (1.15) Это – условие нормировки. 4) Волновую функцию можно домножить на любое комплексное число С, и полученная функция будет описывать то же самое состояние: и С описывают одинаковые состоя- ния частицы. 5) Если частица может находиться в состоянии, описываемом функциями 1 , или 2 , …, или N , то возмож- но состояние частицы, описываемое любой линейной комбина- цией этих функций: 6) N i iiC 1 , (1.17) где iC – комплексные числа. Это свойство называется принци- пом суперпозиции. Именно оно легло в основу экспериментов по квантовой телепортации. Описание состояния частицы с помощью волновой функции не позволяет найти ни координаты частицы, ни её траекторию. Однако утверждается, что волновая функция даёт исчерпы- вающее описание поведения микрочастицы. Волновая функ- ция не даёт информации о том, чего нет: у микрочастиц нет тра- ектории, нет точных значений координат в любой момент вре- мени. 20 1.3. Собственные функции, собственные значения Решение уравнения Шрёдингера существует не для любых значений энергии Е. Значения энергии, при которых решение существует, называются собственными значениями. Соответ- ствующие им волновые функции тоже называются соб- ственными функциями [35]. Совокупность собственных значений энергии – спектр (энергетический спектр). Спектр энергии может быть дискрет- ным (набор конкретных значений) или непрерывным, сплош- ным. Если спектр дискретный, собственные значения можно пронумеровать: 1E , 2E , 3E ,… iE ,… Этим значениям соответствуют собственные функции: 11 E , 22 E , … iiE , … . Возможен вариант, когда одному и тому же собственному значению энергии соответствует несколько волновых функций; например, три: 321 ;; nnnnE . Тогда соответствующий уровень энергии называется вырож- денным, причём кратность вырождения равна числу волновых функций. В приведённом примере уровень nЕ трижды вырож- ден. Замечание: Квантование энергии при решении уравнения Шрёдингера получается естественно, без привлечения ка- ких-либо дополнительных соображений [35]. Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
- 11. 21 Рис.1.3. Слева: энергетическиеуровни атома (собственные зна- чения энергии, полученные в результате решения уравнения Шредингера). Справа: энергетические уровни кристалла, полу- ченные в результате решения уравнения Шредингера образуют энергетические зоны. На рисунке 3.1 слева схематически изображены энергетические уровни отдельного атома (дискретный спектр). При образовании кристаллов твердого тела возникает взаимодействие между атома- ми, в результате которого разрешенные уровни энергии отдельных атомов расщепляются на N подуровней, образуя энергетические зоны (рис.3.1). При этом, как и в отдельном атоме, на одном энерге- тическом уровне не может быть более двух электронов с противо- положными спинами (сохраняется принцип Паули). Поскольку ко- личество подуровней (N) велико (в 1 см3 твердого тела находится около 1022 – 1023 атомов), то энергетическое расстояние между под- уровнями весьма мало, и электрон способен перемещаться с под- уровня на подуровень от дна зоны к потолку даже при небольших внешних энергетических воздействиях, т.е. он ведет себя, как сво- бодный. Это, однако, справедливо только в том случае, если верх- ние энергетические уровни в зоне не заняты, т.е. зона заполнена не полностью. 22 Выводы В лекции 1 рассмотрены особенности взаимодействия электромагнитных волн оптического диапазона с наноматериа- лами. Дано понятие нанотехнологий, наночастиц. Рассматрива- ются границы между макромиром и наномиром. Приводится квантовомеханическое описание поведения наночастиц на осно- ве уравнения Шредингера. Вопросы и задания для самоконтроля 1.1.Что такое фотоника? 1.2.Какой диапазон электромагнитных волн входит в пред- мет фотоники? 1.3.Что подразумевается по термином «нанотехнологии»? 1.4.Что такое наночастица? 1.5.Особенности описания движения наночастиц. Что такое волна де-Бройля ? 1.6.Каким уравнением описывается движение наночастиц? 1.7.Физический смысл волновой функции. Условие норми- ровки. 1.8.Найдите длину волны де-Бройля для свободного элек- трона, движущегося со скоростью 2106 м/с. 1.9.Найдите длину волны де-Бройля для электрона, про- шедшего ускоряющую разность потенциалов 2 МэВ. 1.10. Во сколько раз изменится длина волны свободно- го электрона, если его скорость увеличится в 3 раза? 1.11. Рассмотреть электрон и протон, движущиеся с одинаковой скоростью 104 м/с. Во сколько раз отличают- ся длины волн де-Бройля для электрона и протона? 1.12. Будет ли изменяться длина волны де-Бройля ча- стицы, если частица попадет в потенциальное поле? 1.13. Запишите уравнение Шредингера для свободного электрона. 1.14. Запишите уравнение Шредингера для электрона, находящегося в атоме водорода. Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
- 12. 23 Лекция 2 Тема 2.Квантование энергии. 2.2. Наночастица в одномерной потенциальной яме Пусть частица движется в постоянном потенциальном поле, причём потенциальная энергия частицы меньше её полной энер- гии: EconstU . Рассмотрим одномерное движение вдоль оси Oх, тогда волно- вая функция зависит только от координаты x ( x ), и ста- ционарное уравнение Шрёдингера (1.9) имеет вид [35].: 0)())(( 2)( 22 2 xxUE m dx xd . Обозначим 0 2 2 2 UE m k . Тогда 02 2 2 k dx d , 02 k . Это обыкновенное дифференциальное однородное уравнение второго порядка; его решением, в частности, будет гармониче- ская функция: xkAx cos . (2.1) Здесь UE m k 2 2 – волновое число; 2 k . 24 Запишем общее решение, помня, что волновая функция – комплексная: xkixki eBeAx . (2.2) Полная функция: tixkixkiti eeBeAextx , . xktixkti eBeAtx , . (2.3) . Получили суперпозицию двух волн: первое слагаемое пред- ставляет собой волну, бегущую в положительном направлении оси OX, второе – в отрицательном. Действительная часть пси-функции – это суперпозиция двух косинусов (по формуле Эйлера sincos iei ): xktBxktAtx coscos,Re . (2.4) 2.3. Частица в одномерной потенциальной яме с бесконечно вы- сокими стенками Рассмотрим частицу в одномерной потенциальной яме ши- риной l с бесконечно высокими стенками (рис. 2.2). Рис. 2.2. Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
- 13. 25 Потенциальная энергия частицыU обращается в бесконеч- ность при x<0 и x>l и равна нулю при lx 0 (рис.2.2). Найдём возможные значения энергии частицы в таком потенци- альном поле и соответствующие волновые функции. За пределы потенциальной ямы частица выйти не может, так как там U . Следовательно, волновая функция равна нулю при x<0 и x>l, а в силу непрерывности на границе интервала также обращается в нуль: 0 0 lx x . (2.5) Осталось записать и решить уравнение Шрёдингера на интер- вале lx 0 , где U=0 [35]. : 0 2 22 2 E m dx d . Вводим обозначение для волнового числа: 2 2 Em k , (2.6) тогда 02 2 2 k dx d . (2.7) Решение этого уравнения имеет смысл записать в виде синуса; тогда автоматически удовлетворим требованию непрерывности волновой функции на левом конце интервала ( 00 ): xkAx sin . (2.8) Должно также выполняться граничное условие: 0sin lkAl ; откуда nlk , 26 l n k . (2.9) Здесь n – квантовое число; оно может принимать значения ...,3,2,1n Рис. 2.3. Энергетические уровни частицы в бесконечной одномерной потенциальной яме, рассчитанные по формуле (2.10) Для энергии из (2.6) nl Em 2 2 , тогда 2 2 22 2 n lm En . (2.10) Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
- 14. 27 Получено квантование энергии:энергия частицы может при- нимать только дискретные значения (рис.2.3), которые даёт соот- ношение (2.10). Минимальное значение энергия принимает при n=1: 2 22 1min 2 lm EE . (2.11) Минимальное значение энергии не может быть равным нулю в силу принципа неопределённостей. Из (2.9) и (2.10) получим соответствующие этим уровням энергии волновые функции: x l n Axn sin . (2.12) При n=1: x l Ax sin1 ; при n=2: x l Ax 2 sin2 ; при n=3: x l Ax 3 sin3 ; и т.д. Графики волновых функций частицы в одномерной потенци- альной яме для разных значений n изображены на рисунке 2.4. Амплитуду А волновой функции находим из условия норми- ровки (1.15): 1 0 2 l dx ; 1sin 0 22 l dxx l n A ; 28 12cos1 2 0 2 l dxx l nA ; 1 2 2 sin 2 0 2 l l n x l n x A ; 10 2 2 sin 2 2 l n l l n l A ; 1 2 2 l A ; l A 2 . (2.13) Расстояние между соседними уровнями энергии из (2.10) [35]: 2 2 22 2 2 22 1 2 1 2 n lm n lm EEE nnn , 12 2 2 22 n lm En . (2.14) Относительное расстояние между уровнями уменьшается при увеличении квантового числа n: 0 2 1 2 12 2 nn n n n E E n n . (2.15) Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
- 15. 29 Рис. 2.4. Слева:графики волновой функции для разных n. Справа: графики квадрата модуля волновой функции, определя- ющие плотность вероятности нахождения частицы в точке с ко- ординатой х. Для больших квантовых чисел n дискретность уровней энер- гии уже не играет роли; относительное расстояние между ними уменьшается. Это – проявление принципа соответствия: при больших квантовых числах (большая энергия) законы квантовой механики дают тот же результат, что и классическая механика; энергию можно считать изменяющейся непрерывно. Основные свойства энергетического спектра электрона, находящегося в квантовой яме: 1. Минимальная энергия, которой электрон обладает в по- тенциальной яме, отлична от нуля. 2. С ростом n расстояние между уровнями увеличивается. 3. Чем меньше размер ямы (т.е. меньше область локализа- ции электрона), тем больше расстояние между уровнями. 4. При бесконечно большой ширине ямы (l→∞) дискретный спектр энергии становится сплошным. 30 2.4. Локализация электронов в простейших наноструктурах (размерное квантование) В макромасштабе свободные электроны в твердом теле пере- мещаются по любому из трех пространственных направлений. В этом случае говорят, что электронный газ трехмерен. Волна, соответствующая свободному электрону в твердом те- ле, может беспрепятственно распространяться в любом направ- лении. При уменьшении размеров полупроводникового прибора до микромасштабов это свойство также сохраняется вплоть до определенного предельного размера. Ситуация кардинально меняется, когда электрон попадает в твердотельную структуру, размер которой l, по крайней мере в одном направлении, ограничен и по своей величине сравним с длиной волны де Бройля. Эффект, возникающий при ограниче- нии или лимитировании движения электронов физическими раз- мерами области, в которой он находится, называется эффектом локализации или размерным квантованием или квантовым размерным эффектом. Рис.2.5. Квантово-размерные структуры, в которых наблюдается эффект размерного квантования Эффекты такого рода наблюдаются в таких квантовых струк- турах, как тонкие полупроводниковые или металлические плен- ки, узкие приповерхностные области пространственного заряда (узкие каналы). Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
- 16. 31 В квантовой ямеэлектроны проводимости локализованы по одному измерению и не локализованы по двум остальным в плоскости, перпендикулярной этому измерению. 2.5. Потенциальный барьер. Туннельный эффект Туннельный эффект (туннелирование) - квантовый переход системы через область движения, запрещённую классической ме- ханикой [20]. Туннельный эффект играет важную роль в физике твёрдого тела: электроны движутся в периодическом потенциальном поле кристаллической решётки, проникая за счёт туннельного эффекта через барьеры, разделяющие потенциальные ямы. Пусть частица налетает на прямоугольный потенциальный ба- рьер шириной l и высотой U0, большей, чем полная энергия ча- стицы E (рис.3.1) [35]: 0 0 ; 0если, ;0если,0 UE lxUxU lxxxU . (2.16) Рис. 2.6. Отражение частицы от потенциального барьера. Классическая частица отразится от барьера. Как будет вести себя квантовая? Решая уравнение Шредингера, можно показать, что с ненулевой вероятностью частица проникнет сквозь барьер 32 (решение уравнения Шредингера провести на практических заня- тиях). Коэффициент прозрачности (или коэффициент прохож- дения) барьера - отношение квадратов амплитуд волновых функ- ций после и до барьера, то есть вероятность прохождения части- цы через барьер: 2 I III A A D . (2.17) Для рассмотренного барьера прямоугольной формы, в слу- чае, если величиной le можно пренебречь, коэффициент про- хождения приближенно вычисляется по формуле [35]: )(2 2 2 0 EUm l l eeD . (2.18) Для барьера произвольной формы: dxExUmD b a 2 2 exp . (2.19) Здесь интегрировать нужно по области, где xUE . Из выражения (3.14) следует, что вероятность прохождения частицы через потенциальный барьер сильно зависит от ширины барьера l и от его превышения над Е, то есть от величины EU 0 . Для микрочастиц есть ещё один эффект: надбарьерное отра- жение. Если классическая частица пролетит свободно над барье- ром высотой, меньшей, чем её полная энергия (рис.2.7), то кван- товая частица с ненулевой вероятностью отражается от такого низкого барьера. С классической точки зрения туннельный эффект невозможен. Туннельный эффект – явление специфически квантовое, не име- ющее аналога в классической физике. Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
- 17. 33 Рис. 2.7. Надбарьерноеотражение Для удобства практических расчетов запишем коэффици- ент прохождения через потенциальный барьер в следующей фор- ме [3]: )(4)(sin )(4 00 22 0 0 UEEUEm l U UEE D . (2.20) Это точная формула для расчета коэффициента прохождения (сравните с приближенной формулой (2.18)). 2.6. Применение туннельного эффекта в современных прибо- рах Функционирование быстродействующих электронных прибо- ров основано на движении электронов поперек квантово- размерных слоев. В этом случае толщина слоев должна быть до- статочно малой, чтобы проявились квантово-механические (вол- новые) свойства электрона. Быстродействие приборов основано на закономерностях прохождения электронов туннелированием 34 сквозь тонкие потенциальные барьеры и на взаимодействии этих электронов с энергетическими уровнями размерного квантования в потенциальных ямах, разделяющих барьеры.. Дальнейший прогресс электроники связан с миниатюризаци- ей классических микроэлектронных приборов, т.е. созданием приборов, в которых контролируется перемещение определенно- го количества электронов. Создание приборов на основе переме- щения одного электрона позволяет обеспечить прогресс цифро- вой одноэлектроники, в которой бит информации будет пред- ставлен одним электроном. В таких приборах перемещение элек- трона происходит посредством туннелирования. Учитывая, что время туннелирования электрона достаточно мало, теоретический предел быстродействия одноэлектронных приборов очень высок, и работа, необходимая для перемещения одного электрона, также мала. Рис. 3.4. Сканирующий туннельный микроскоп [26] Туннельный эффект уже на практике применяется в техно- логии сканирующего туннельного микроскопа [34]. Действие Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
- 18. 35 этого инструмента основанона том, что очень тонкая игла-зонд с острием толщиной в один атом перемещается над поверхностью объекта на расстоянии порядка одного нанометра. При этом, со- гласно законам квантовой механики, электроны преодолевают вакуумный барьер между объектом и иглой – туннелируют, и между зондом и образцом начинает течь ток. Величина этого тока очень сильно зависит от расстояния между концом иглы и по- верхностью образца – при изменении зазора на десятые доли нанометра ток может возрасти или уменьшиться на порядок. Так что, перемещая зонд вдоль поверхности с помощью пьезоэлемен- тов и отслеживая изменение тока, можно исследовать ее рельеф практически «на ощупь». Это позволяет подробнейшим образом исследовать атомные структуры поверхностей. Выводы В лекции рассматривается картина дискретных энергетиче- ских уровней электрона в отдельном атоме, получаемая в резуль- тате решения уравнения Шредингера, а также возникновение за- прещенных и разрешенных зон в кристаллах. Рассмотрена задача нахождения энергетических уровней для частицы, находящейся в одномерной потенциальной яме. Реше- ние этой задачи необходимо в дальнейшем для рассмотрения по- ведения электронов в классических гетероструктурах, гетеро- структурах с квантовыми ямами, квантовых нитях и квантовых точках. Также в лекции приведены результаты расчета коэффициента прохождения квантовой наночастицы через потенциальный барь- ер и рассмотрено применение туннельного эффекта в приборах современной электроники. Вопросы и задания для самоконтроля 2.1.Что такое собственные функции? 2.2.В чем заключается квантование энергии? Поясните воз- никновение дискретного спектра энергии электрона в атоме и возникновение энергетических зон в кристалле. 2.3.Рассмотреть одномерную потенциальную яму шириной l. Найти вероятность того, что электрон в состоянии с n=2 36 a. находится в точке с координатой х=l/2. b. находится в точке с координатой х=l/4. 2.4.Найти расстояние между соседними энергетическими уровнями a) для свободного электрона в металле. Считать, что электрон находится в потенциальной яме с беско- нечно высокими стенками. Размеры потенциаль- ной ямы оценить самостоятельно, считая их рав- ными размеру куска металла, b) для электрона в атоме кремния. Сравнить резуль- таты, полученные в а) и b), сделать выводы. 2.5.Перечислите основные свойства энергетического спектра электрона в квантовой яме. 2.6.Что такое размерное квантование? 2.7.Что такое потенциальный барьер? Приведите пример. 2.8.От чего зависит коэффициент прохождения через потен- циальный барьер? 2.9.Где применяется туннельный эффект? 2.10. Рассмотреть прохождение электрона через потен- циальный барьер прямоугольной формы. Определите ве- роятность, того что электрон туннелирует на расстояние 0.1 нм, если разница энергий U0 – E = 1 эВ . Рассчитайте разность энергий (в эВ и кДж/моль), при которой элек- трон сможет туннелировать на расстояние 1 нм с вероят- ностью 1%. 2.11. На чем основано действие туннельного сканиру- ющего микроскопа? 2.12. Объясните, почему электронный микроскоп обла- дает большей разрешающей способностью, чем обычный. Разрешающая способность обычного микроскопа ограни- чена длиной волны используемого для освещения света. Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
- 19. 37 Лекция 3 Тема 3.Квантово – размерные эффекты. Квантовый конфайнмент 3.1. Плотность состояний Все макропараметры любой электронной системы, прибо- ра, устройства (ток, сопротивление, проводимость) обусловлены микропараметрами, характеризующими электронный перенос в них (подвижностью, дрейфовой скоростью, временем и длиной свободного пробега и рядом других). Эти микропараметры опре- деляют или точнее сами задаются кинетикой электронов. Кине- тика, или пространственное движение электронов, — это, прежде всего, движение под действием электрических и магнитных по- лей в веществе, непрерывно прерываемое различными актами рассеяния. При рассеянии направление движения электронов ме- няется. Чаще всего это изменения направления движения хаотич- ны, однако некоторые механизмы рассеяния, например, на ионах примеси и электронов друг на друге, подчиняются определенным закономерностям. В целом рассеяние электрона определяется углом рассея- ния . Пусть k – волновое число электрона до рассеяния, k’ – по- сле рассеяния. Рассеяние может быть упругим, тогда k k , и неупругим, тогда k k . Закон, определяющий соответствие между k и k , устанавливается характером каждого механизма рассеяния [19]. 3D-состояние — это когда электрон свободен в своем движении по всем трем направлениям (при рассеянии все компо- ненты вектора k меняются), 2D-состояние — это когда электрон свободен в своем движении только по двум направлениям (меня- ются только два компонента вектора k — обычно в качестве ее выбирают xk и yk ), 1D-состояние — это когда электрон свобо- ден в своем движении только по одному направлению (меняется только одна компонента вектора k — обычно в качестве ее вы- бирают xk ). 38 Плотность состояний D есть параметр, определяющий количество энергетических состояний, которые могут занимать электроны, приходящихся на единичный интервал энергии. Плотность состояний имеет важный физический смысл. Она определяет концентрацию электронов в конкретной области лю- бого материала или прибора, а также интенсивность рассеяния электронов в этой области (число рассеяний в единицу времени) [19]. Каждый тип волн обладает конечным числом мод внури ограниченного объема и конечным числом частот, волновых чи- сел, длин волн. Соответственно для квантовой частицы внутри данного ограниченного объема может существовать конечное число состояний. которые характеризуются определенными зна- чениями энергии, импульса, длины волны, волнового числа. Используем метод Рэлея для расчета плотности состояний [3]. Возьмем объемный прямоугольной формы образец, с разме- рами xL , yL и zL , превышающими де-Бройлевскую длину вол- ны электрона (см. рис. 4.1). Рис. 3.1. Образец прямоугольной формы [19] Для простоты можно рассмотреть образец кубической фор- мы (Lx=Ly=Lz=L). Подсчитаем, сколько мод лежит в интервале (k, k+dk). (Мы рассматриваем стоячие волны, образующиеся внутри куба. Для каждой стоячей волны выполняется граничное условие: Lx Lz Ly Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
- 20. 39 волна обращается вноль на границе куба). Длина стоячей волны принимает следующие значения: ....,3,2,1, 2 ..., 4 2 ; 3 2 ; 2 2 ;2 n n L LLL L (3.1) При этом волновое число ... 3 , 2 , 2 LLL k (3.2) ....3,2,1, n L nk Волновое число вдоль каждой оси принимает значения: L nk L nk L nk zzyyxx ,, . (3.3) Мы рассматриваем дискретные моды в k-пространстве. Каждая пара соседних мод занимает пространство L kkk zyx . Следовательно, каждая мода в k-пространстве занимает объем 3 L Vk . (3.4) Подсчитаем число мод для всех направлений внутри интервала [k, k+dk], то есть число мод, которые содержатся в сферическом слое между сферами радиусов k и k+dk. Объем такой сферы dkkdVk 22 . (3.5) Возьмем только положительные значения проекций ks. Тогда при расчете следует добавить коэффициент 8 1 . Учтем, что в каждом состоянии может находиться два электрона с разнымисспинами, 40 тогда коэффициент станет равным 4 1 8 1 2 . В результате число мод внутри рассматриваемой сферы 2 23 3 2 2 2 4 1 dkkL L dkk V dV N k k k . (3.6) Найдем число мод, приходящихся на единицу объема L3 dk k L Nk 2 2 3 2 . (3.7) Введем плотность состояний D(k)следующим образом: dk k dkkD 2 2 2 )( . (3.8) Тогда искомая плотность состояний для трехмерного случая име- ет вид [3]: 2 2 3 2 )( k kD . (3.9) Плотность состояний для двумерного случая: 2 )(2 k kD . (3.10) Плотность состояний для одномерного случая: 1 )(1 kD . (3.11) Перейдем к плотности состояний, записанной в - пространстве D(). Рассмотрим трехмерный случай Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
- 21. 41 2 2 3 2 )( k kD . Должновыполняться условие dkkDdD )()( . Следовательно d dk kDD )()( . Учитывая, что для свободного пространства c k , cd dk 1 , по- лучаем 32 2 3 2 )( c D . Чтобы учесть наличие двух поляризаций, умножим на коэффици- ент 2. Окончательно получаем плотность состояний 32 2 3 )( c D . (3.12) Рис. 3.2. Трехмерная плотность состояний, вычисленная по фор- муле (3.13) 3Dn E E 42 Плотность мод электромагнитных волн часто называют фо- тонной плотностью состояний. Для квантовых частиц фотонная плотность состояний 3 2 1 2 3 3 2 8 )( h Em EDe . (3.13) 3 2 3 4 )( h p pD . (3.14) Графическое изображения функции (3.13) приведено на рис. 3.2. Рис. 3.3. Плотность состояний для объемного материала (D3) и для квантовой ямы (D2) Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
- 22. 43 В двумерном электронномгазе свободным для движения яв- ляется лишь два направления — например, по длинам xL и yL . В этом случае для энергии будем имеет 2 22 2 2 2 yx n kk E E m m . (3.15) Наличие квантованных уровней энергии отражается на графике плотности состояний для квантово-размерных структур (см. рис. 4.3 и.4.4). Более подробно типы квантово-размерных структур описаны в разделе 4.2. Рис. 3.4. Плотность состояний для квантовой нити (D1) и для квантовой точки (D0) 44 3.2.Типы квантоворазмерных структур Важнейшим свойством наноструктур является зависимость их свойств от характерного размера неоднородностей. Наибо- лее широко известное проявление этого свойства – так называе- мый «эффект размерного квантования». Он обусловлен тем, что пространственное ограничение движения элементарных возбуж- дений в такой системе в области неоднородности приводит к сильной перестройке их энергетического спектра. Как и в лю- бом объекте конечного размера (рис. 4.5) в «объемных» однород- ных кристаллических материалах их собственные возбуждения - электроны, дырки, экситоны, колебания решетки и другие волны и частицы, вообще говоря, обладают дискретным энергетическим спектром. [39] Рис. 3.5. Схематическое изображение энергетического спектра электронной подсистемы объемного материала [39] Однако характерный масштаб этой дискретности, т.е. энер- гетическое расстояние между соседними состояниями ΔE, мал по сравнению со спектральной шириной этих состояний, опре- деляемой обратным временем их жизни τ. В этом смысле можно говорить о непрерывном энергетическом спектре собственных возбуждений объемного материала. Можно также определить объемный материал как такой, размер которого Lz больше, чем длина свободного пробега l его собственных возбуждений. Вве- дение здесь длины свободного пробега в качестве характерного масштаба вполне адекватно, поскольку собственные возбужде- ния могут описываться бегущими волнами exp(ikz). Если размер Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
- 23. 45 материала уменьшается истановится меньше длины свободного пробега (рис. 3.6), или более точно, энергетический зазор между соседними состояниями превышает обратное время их жизни, то энергетический спектр элементарных возбуждений должен считаться дискретным. Это и есть эффект размерного квантования, а соответствующие структуры называются кван- товоразмерными [39]. В этом случае крайне существенным явля- ется отражение элементарного возбуждения, представляющего собой стоячую волну, от границ материала. Рис. 3.6. Схематическое изображение энергетического спектра электронной подсистемы наноструктуры [39] На первый взгляд может показаться, что различие между объ- емными и квантоворазмерными материалами чисто количествен- ное. Однако такое заключение будет абсолютно неверным. Дей- ствительно, физические свойства объемных материалов прак- тически не зависят от их размера и формы. В частности дис- кретность энергетического спектра их собственных возбуждений никак экспериментально не проявляется. Совершенно иначе об- стоит дело с квантоворазмерными структурами, в которых не только энергетические спектры, но взаимодействие элементар- ных возбуждений друг с другом и с внешними полями зависит от размера и формы структуры. Среди низкоразмерных структур можно выделить три элементарные структуры. Это квантовые ямы, квантовые нити и квантовые точки (рис. 3.6). Эти элемен- тарные структуры представляют собой кристаллический матери- ал, пространственно ограниченный в одном, двух и трех измере- ниях. Для изготовления наноструктур используют всевозможные 46 полупроводниковые соединения, а также полупроводники чет- вертой группы Si и Ge. Квантовая яма — это одномерная потенциальная яма, ко- торая ограничивает подвижность частиц в одном измерении. Квантовой ямой может служить тонкий слой материала. Толщи- на квантовой ямы должна быть настолько мала, чтобы квантовые эффекты были существенными. Проявление квантовых эффектов становится существенным, если толщина квантовой ямы сравни- ма с длиной волны де-Бройля электронов (дырок). Квантовая нить - структура в которой движение носите- лей ограничено по двум направлениям. Квантовая нить может быть выполнена из металла или полупроводника в виде нити или длинного стержня, поперечные размеры которого настолько ма- лы, чтобы квантовые эффекты были существенными (поперечные размеры должны быть сравнимы с длиной волны де-Бройля для электронов (дырок)). Квантовая яма — это одномерная потенциальная яма, ко- торая ограничивает подвижность частиц в одном измерении. Квантовой ямой может служить тонкий слой материала. Толщи- на квантовой ямы должна быть настолько мала, чтобы квантовые эффекты были существенными. Проявление квантовых эффектов становится существенным, если толщина квантовой ямы сравни- ма с длиной волны де-Бройля электронов (дырок). Рис. 3.7. Квантовые ямы (a), квантовые нити (b), квантовые точки (c). Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
- 24. 47 Пространственное ограничение иликонфайнмент при- водит к тому, что энергетический спектр объемного материала трансформируется. Зонные спектры расщепляются на подзоны размерного квантования для квантовых ям и нитей и на дис- кретные уровни для квантовых точек (Рис. 3.8). В результате, в плотности состояний низкоразмерных си- стем возникают характерные особенности (рис.3.9, а также рис. 3.3 и 3.4). Рис.3.8. Трансформация энергетического спектра элементарных наноструктур. Из элементарных наноструктур можно построить сложные наноструктуры, например, многослойные квантовые ямы и сверхрешетки), одномерные и двумерные массивы квантовых нитей или двумерные и трехмерные массивы квантовых точек (рис.3.11). 48 Рис. 3.9. Плотность состояний элементарных наноструктур. На рисунке 3.10 представлены изображения реальных элементарных наноструктур, полученные с помощью электрон- ного микроскопа. Рис. 3.10. Изображения (слева направо) квантовой нити, кванто- вой точки CdS в SiO2, квантовой точки InAs в GaAs, полученные с помощью просвечивающего электронного микроскопа [39] Наличие размерных зависимостей параметров наноструктур неоднократно подтверждалось экспериментально и, прежде всего, оптическими методами. Еще в 1962 году Сандомирский предсказал, что край фундаментального поглощения света в тон- ких пленках кристаллов должен смещаться в синюю область спектра при уменьшении их толщины Lz в соответствии с фор- мулой [3] Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
- 25. 49 2 22 2 z g mL E .(3.16) Рис. 3.11. Изображения (слева направо) двумерного и трехмер- ного массива квантовых точек, полученные с помощью про- свечивающего электронного микроскопа [39] Вопрос о первом экспериментальном наблюдении эф- фекта размерного квантования остается открытым. Первые наблюдения были сделаны довольно давно, но целенаправленное изучение этого эффекта начинается именно в 60 годы 20 века. В настоящее время в связи с бурным развитием нанотехнологий стало возможным изготовление оптоэлектронных приборов, ис- пользующих квантоворазмерные эффекты. 50 Выводы В лекции рассмотрены различные квантово-размерные структуры: квантовые ямы, квантовые нити, квантовые точки. Проведен вывод плотности состояний для трехмерного, двумер- ного и одномерного случая, соответствующих квантовым ямам, квантовым нитям, квантовым точкам. Рассмотрено образование дополнительных уровней и подзон на зонной диаграмме вслед- ствие проявления эффектов размерного квантования. Вопросы и задания для самоконтроля 3.1.Что такое квантовая яма? Квантовая нить? Квантовая точ- ка? 3.2.Вывести формулу для расчета плотности состояний в од- номерном и двухмерном случае для частицы массой m. 3.3.Зная выражение для расчета плотности мод для трехмер- ного случая D3(k), получить для частицы массой m зави- симость D3(Е) от энергии Е и D3(р) от импульса р. 3.4.Начертить графики зависимости плотности состояний для электромагнитных волн и для электронов в трехмерном случае. 3.5.Получить оценку предельной толщины пленки, при кото- рой возможно наблюдение квантово-размерных явлений, если подвижность электронов в пленке 104 см2 /(Вс). 3.6.Сколько квантовых точек CdSe может уместиться на острие иглы атомно-силового микроскопа? 3.7.Одним из достижений химии и физики полупроводнико- вых материалов последних лет стало получение коллоид- ных квантовых точек – полупроводниковых нанокристал- лов, покрытых органическим стабилизатором. Наиболее интересным свойством таких нанокристаллов является зависимость длины волны люминесценции от размера нанокристалла. Это делает коллоидные квантовые точки потенциальным материалом для создания светоизлучаю- щих устройств – светодиодов, светоизлучающих экранов. Однако возможно создать устройства, выполняющие про- тивоположную функцию – фотовольтаические пребразо- Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
- 26. 51 ватели или солнечныебатареи. Одна из принципиальных схем солнечной батареи на квантовых точках следующая. На токосъемный электрод наносится тонкий плотноупа- кованный слой из квантовых точек CdTe, затем слой, со- стоящий из кавнтовых точек CdSe, затем второй электрод. a. Объясните принцип работы данной солнечной ба- тареи. За счет чего возникает фотоЭДС. Какой из слоев квантовых точек отвечает за транспорт электронов, а какой – за транспорт дырок? Какие другие пары полупроводников можно использо- вать в данной солнечной батарее? b. Какие свойства коллоидных квантовых точек по- лезны для создания солнечных батарей? Зачем нужен стабилизатор? Какой стабилизатор необхо- димо использовать для создания солнечной бата- реи указанного типа и почему? c. Начиная с какого минимального размера (радиуса) квантовых точек данная солнечная батарея начнет эффективно преобразовывать солнечный свет в электрический ток? Квантовые точки считать иде- альными, электростатическими эффектами прене- бречь. Температуру поверхности солнца считать равной 6000 К. Для объемного CdTe энергия за- прещенной зоны 1.5 эВ, эффективные массы элек- трона 0.13 m0, дырки 0.45 m0, для CdSe - 1.8 эВ, 0.14 m0, дырки 0.35 m0 соответственно. Источник: http://www.nanometer.ru/2008/05/05/1209991232204 7.html 52 Лекция 4 Тема 4. Электроны в периодических структурах и квантовый конфайнмент. Блоховские волны 4.1. Дисперсионное уравнение Дисперсионное уравнение-соотношение, связывающее циклическую частоту и волновые числа k собственных гармо- нических волн в линейных однородных системах: непрерывных средах, волноводах, передающих линиях и др. Дисперсионная кривая – графическое изображение кор- ней дисперсионного уравнения. Дисперсионное уравнение (k) дает связь между и вол- новым числом k для волны и E(р) между энергией Е и ее им- пульсом р для частицы. Для электромагнитной волны в вакууме дисперсионное уравнение будет линейным ck . (4.1) Для фотона (кванта электромагнитной волны) закон дисперсии тоже линейный: E . (4.2) Дисперсионное уравнение для фотона можно записать также в виде pcE . (4.3) В среде с показателем преломления n, в общем случае завися- щем от частоты n=n(), дисперсионные уравнения имеют вид k n c )( , (4.4) )(n c pE . (4.5) Дисперсионное соотношение для свободного электрона имеет вид m k m p E 22 222 . (4.6) Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
- 27. 53 В общем случаекорни дисперсионного уравнения выра- зить в явном виде нельзя, и решение дисперсионного уравнения проводится численными методами. 4. 2. Электроны в периодических структурах. Теорема Блоха. Зоны Бриллюэна Рассмотрим частицу в периодическом потенциале (рис. 6.1 ), удовлетворяющем условию )()( axUxU . (4.7) Условие (6.1) означает, что потенциальная энергия инвариантна относительно трансляции вдоль оси x на величину a. Рис. 4.1. Периодический потенциал Рассмотрим общие свойства волновых функций, удовлетворяю- щих одночастичному стационарному уравнению Шредингера [3] )()()()( 2 2 22 xExxUx xd d m (4.8) с потенциалом, обладающим трансляционной симметрией. Про- изведем преобразование x → x + a и получим уравнение )()()()( 2 2 22 axEaxxUax xd d m (4.9) Сопоставляя уравнения (6.8) и (6.9), легко видеть, что функции ψ(x) и ψ(x+a) удовлетворяют одному и тому же уравнению 54 Шредингера с одним и тем же собственным значением энер- гии E. Если это значение энергии невырождено, т. е. ему соот- ветствует одна волновая функция, то функции ψ(x) и ψ(x + a) могут различаться лишь постоянным множителем: )()( xcax . (4.10) Если обе функции нормированы, модуль c должен быть равен единице и, следовательно, 22 )()( xax . (4.11) Таким образом, частица имеет одинаковую вероятность находиться в точках x и x+a. Рис. 4.2. Периодический потенциал (а) и амплитудно- модулированная волновая функция (б). Рассмотрим свойства коэффициента c. Применяя два- жды операцию трансляции на величины an1 и an2 , имеем )()( 2121 xccaax nnnn , (4.12) где anan , n=1, 2, 3, ….. Принимая во внимание очевидное соотношение 2121 nnnn aaa Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
- 28. 55 можем записать, что )( 21 nn aax )( 21 nnax )(21 xc nn , откуда 2121 nnnn ccc . (4.13) Уравнение (6.9) имеет решение вида n aki n ec , (4.14) где k может принимать любые значения. Таким образом, волно- вая функция, удовлетворяющая уравнению Шредингера с пери- одическим потенциалом, может отличаться от периодической функции с периодом a только фазовым коэффициентом вида eif(x) , где f(x) – линейная функция x. Такая волновая функция имеет вид [3] ),()( xUex k xki (4.15) )()( nkk axUxU . Запись (6.15) означает, что собственная функция для случая пе- риодического потенциала - это плоская волна, промодулирован- ная с тем же периодом, что и потенциал. Это утверждение известно как теорема Флоке (Floquet). Типичный вид волно- вой функции для одномерного случая показан на рис. 6.2. Теорема Флоке, записанная для трехмерного случая, носит названия теоремы Блоха. Теорема Блоха утверждает, что если потенциал является периодической функцией )()( arr UU , где 332211 nnn aaaa , 321 ,, aaa - базисные векторы кри- сталлической решетки, n1, n2, n3 – целые числа, то решения урав- нения Шредингера записываются в виде )()( rr rk k i k ue , (4.16) 56 где k – волновой вектор, а )(rku - периодическая функция с периодом решетки а. Соответственно волны вида (6.16) полу- чили названия блоховские волны. Одно из важнейших свойств функций вида (6.15) – их периодичность по отношению к волновому числу k. При добав- лении к волновому числу величины kn=2πn/a значение волновой функции не изменяется, т.е. )()( xx kkk n . Поэтому все волновые числа k1, k2,..., отличающиеся на величину 2πn/a, оказываются эквивалентными. Это свойство является прямым следствием трансляционной симметрии пространства. Все мно- жество волновых чисел оказывается состоящим из эквива- лентных интервалов с шириной 2π/a. Каждый из этих интерва- лов содержит все неэквивалентные значения волнового числа k. Эти интервалы называют зонами Бриллюэна. Выбор интервалов может быть произвольным, например a k a , a k a 3 , a k a 5 3 …… Более удобно, однако, выбирать зоны Бриллюэна в виде отрез- ков, симметричных относительно начала координат. Множе- ство всех неэквивалентных значений k, имеющих минимальное абсолютное значение в интервале [-π/a <k<π/a], называют первой зоной Бриллюэна. Зона Бриллюэна с номером n представляет два отрезка a nk a n )1( . (4.17) Дисперсионные кривые для электрона в поле кристалличе- ской решетки приведены на рис. 6.3. На рисунке видно, что раз- рывы в дисперсионных характеристиках соответствуют запре- Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
- 29. 57 щенным зонам назонной диаграмме, изображенной справа. Рис. 4.3. Дисперсионные кривые для различных зон Бриллюэна. Справа приведена соответствующая зонная диаграмма Энергетический спектр и дисперсионная кривая E(k) (т.е. зависимость энергии от k) для частицы в пространстве с трансляционной симметрией также отличаются от случая сво- бодной частицы (рис. 4.3). Дисперсионная кривая имеет разрывы в точках ....,3,2,1, nn a kn (4.18) При этих значениях k волновая функция представляет собой стоячую волну, что является результатом многократных от- ражений и интерференции волн в периодической структуре. Для каждого значения kn, удовлетворяющего условию (6.17), существуют две стоячие волны с различными значениями потенциальной энергии. Это приводит к возникновению разры- вов на дисперсионной кривой в точках kn и появлению запре- щенных интервалов энергий, для которых не существует рас- пространяющихся волн. Поскольку каждая зона Бриллюэна со- держит все неэквивалентные значения волновых чисел, при ана- лизе свойств электронов в периодических структурах обычно 58 рассматривают лишь первую зону Бриллюэна. Путем переме- щения различных ветвей зависимости E(k) на величину ± 2πn/a вдоль оси k можно получить так называемое приведенное пред- ставление дисперсионной кривой, показанное на рис.4.4. Рис. 4.4. Дисперсионные кривые, приведенные к первой зоне Бриллюэна (слева). Соответствующая зонная диаграмма - справа. Величина p = k для частицы в периодическом потенциале называется квазиимпульсом. Квазиимпульс отличается от обычного импульса своеобразным законом сохранения [39]. Закон сохранения импульса в обычном пространстве является следствием однородности пространства: все точки простран- ства эквивалентны. В пространстве с трансляционной симмет- рией эквивалентны точки, координаты которых различаются на целое число периодов. Поскольку квазиимпульс однозначно Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
- 30. 59 определяется значением волновогочисла, зоны Бриллюэна, содержащие все неэквивалентные значения k, одновременно содержат и все неэквивалентные значения квазиимпульса. Добавление величины nh/a к квазиимпульсу просто означает переход в эквивалентную точку другой зоны Бриллюэна. Как видно из рис. 6.3, зависимость E(k) для частицы в периодиче- ском потенциале существенно отличается от зависимости E(k) для свободной частицы. Однако по аналогии с функцией m k E 2 22 , присущей свободной частице, для периодического потенциала можно формально записать *2 22 m k E , (4.19) где m* – функция, которую обычно называют эффективной массой (подробнее про эффективную массу см. п.7.2). 4.3. Электрон в периодическом поле кристалла. Эффектив- ная масса Вследствие того что в кристалле на электрон действует пери- одическое поле решетки, он приобретает некоторые свойства, в корне отличающие его от классической частицы [24]. Пусть на вещество наложено внешнее электрическое поле с напряженностью E, тогда сила, действующая на электрон, F= – eE (здесь e – заряд электрона). Скорость движения электрона равна групповой скорости распространения волн dk dE dk d g 1 v , (4.20) т.к. E , E . За время dt внешняя сила F совершает работу по перемещению электрона dA: 60 dt dk dEF dtFdSFdA g v . (4.21) С учетом того, что dAdE , находим F td dk td dk F . (4.22) Найдем ускорение электрона td vgd a .Тогда с учетом (7.1) td kd kd Ed dk dE td d a 2 211 . (4.23) Подставим td kd из формулы (6.3). Получим F kd Ed a 2 2 2 1 . (4.24) Формула (6.5) является выражением второго закона Ньютона m F a . Под действием внешней силы F, возникающей при наложении поля, электрон движется в среднем так, как двигался бы под действием этой силы свободный электрон некоторой массы m* , определяемой соотношением 1 2 2 2* dk d m . (4.25) Значение массы m* носит название эффективной массы электрона в решетке. В физике твёрдого тела, эффективной массой частицы назы- вается динамическая масса, которая появляется при движении частицы в периодическом потенциале кристалла. Можно пока- зать, что электроны в кристалле реагируют на электрическое по- ле так, как если бы они свободно двигались в вакууме, но с не- кой эффективной массой, которую обычно определяют в едини- цах массы покоя электрона me. По величине эффективная масса Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
- 31. 61 может быть какбольше, так и меньше массы свободного элек- трона, а по знаку – как положительной, так и отрицательной. Для свободного электрона энергия определяется как 2 2 2 k m E . В таком случае эффективная масса является посто- янной и равна массе покоя электрона me. В кристалле ситуация более сложна и закон дисперсии отличается от квадратичного. Наличие анизотропии кристаллов обуславливает анизотропию динамических свойств электронов при их движении. Вследствие этого эффективная масса зависит от направления и является ве- личиной тензорной [11]. Тензор эффективной массы — термин физики твёрдого тела, характеризующий сложную природу эффективной массы ква- зичастицы (электрона, дырки) в твёрдом теле. Тензорная приро- да эффективной массы иллюстрирует тот факт, что в кристалли- ческой решётке электрон движется не как частица с массой по- коя, а как квазичастица, у которой масса зависит от направления движения относительно кристаллографических осей кристалла. По определению эффективную массу находят из закона дисперсии )(k 22 2 22 1 111 k kk kkkkk m ji ijij , (4.26) где k — волновой вектор, ij — символ Кронекера. Традиционно эффективные массы носителей измерялись ме- тодом циклотронного резонанса, в котором измеряется погло- щение полупроводника в микроволновом диапазоне спектра в зависимости от магнитного поля. Когда микроволновая частота равняется циклотронной частоте c , в спектре наблюдается острый пик. В последние годы эффективные массы более обыч- но определялись из измерения зонной структуры с использова- нием методов, наподобие фотоэмиссии с угловым разрешением (ARPES) или более прямым методом: эффект де Гааза-ван Аль- 62 фена. Эффективные массы могут также быть оценены, исполь- зуя коэффициент γ из линейного слагаемого низкотемпературно- го электронного вклада в теплоёмкость при постоянном объёме cv. Теплоёмкость зависит от эффективной массы через плотность состояний на уровне Ферми [11]. Материал Эффективная масса электронов Эффективная масса дырок Группа IV Si (4.2K) 1.08 me 0.56 me Ge 0.55 me 0.37 me III-V GaAs 0.067 me 0.45 me InSb 0.013 me 0.6 me II-VI ZnSe 0.17me 1.44 me ZnO 0.19 me 1.44 me Таблица 4.1. Эффективная масса для некоторых полупроводников Как показывает таблица 4.1, полупроводниковые соедине- ния AIII BV , такие как GaAs и InSb, имеют намного меньшие эф- фективные массы, чем полупроводники из четвёртой группы периодической системы — кремний и германий. В самой про- стой теории электронного транспорта Друде дрейфовая скорость носителей обратно пропорциональна эффективной массе. Быст- родействие интегральных микросхем зависит от скорости носи- телей, и, таким образом, малая эффективная масса — одна из причин того, что GaAs и другие полупроводники группы AIII BV используются вместо кремния в приложениях, где требуется широкая полоса пропускания. Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
- 32. 63 Выводы В лекции рассматриваетсяимеющая первостепенное значение задача о движении электрона в периодическом поле кристалли- ческой решетки. Рассматриваются теорема Флоке, теорема Бло- ха и решение уравнения Шредингера в виде блоховских волн. Вводится понятие зон Бриллюэна. Рассматриваются диспер- сионные кривые, приведенные к первой зоне Бриллюэна. Мате- риал лекции важен для дальнейшего понимания процессов взаи- модействия электромагнитных волн с наноструктурами. Вопросы и задания для самоконтроля 4.1.Что такое дисперсионное уравнение? Дисперсионная ха- рактеристика? 4.2.Сформулируйте теорему Флоке. 4.3. Сформулируйте теорему Блоха. 4.4.Что такое блоховские волны? 4.5.Что такое зоны Брилллюэна? 4.6.Как нарисовать дисперсионные характеристики, приве- денные к первой зоне Бриллюэна? 4.7.Что такое эффективная масса? Чем она отличается от массы покоя? 4.8.Может ли эффективная масса быть отрицательной? 4.9.Из каких экспериментов можно найти эффективную мас- су? 64 Лекция 5 Тема 5. Квазичастицы 5.1. Квазичастицы Квазичастица — квант коллективного колебания или воз- мущения многочастичной системы, обладающий определённой энергией и, как правило, импульсом (например, фонон). Квази- частица - понятие в квантовой механике, введение которого поз- воляет существенно упростить описание сложных квантовых систем со взаимодействием, таких как твердые тела и квантовые жидкости. Между квазичастицами и обычными элементарными частицами существует ряд сходств и отличий. Во многих теори- ях не делают вообще никаких различий между частицами и ква- зичастицами 1. Как и обычная частица, квазичастица может быть более-менее локализованной в пространстве и со- хранять свою локализованность в процессе движе- ния. 2. Квазичастицы могут сталкиваться и/или взаимодей- ствовать иным образом. При столкновении низко- энергетических квазичастиц выполняются механи- ческие законы сохранения квазиимпульса и энер- гии. Квазичастицы могут также взаимодействовать и с обычными частицами (например, с фотонами). 3. Для квазичастиц с квадратичным законом диспер- сии (т. е. энергия пропорциональна квадрату им- пульса) можно ввести понятие эффективной массы. Поведение такой квазичастицы будет очень похоже на поведение обычных частиц. 4. В отличие от обычных частиц, которые существуют сами по себе, в том числе и в пустом пространстве, квазичастицы не могут существовать вне среды, ко- лебаниями которой они и являются. 5. При столкновениях, для многих квазичастиц закон сохранения квазиимпульса выполняется с точно- стью до вектора обратной решётки. Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
- 33. 65 6. Закон дисперсииобычных частиц — это данность, которую никак не изменить. Закон дисперсии ква- зичастиц возникает динамически, и потому может иметь самый замысловатый вид. 7. Квазичастицы могут иметь дробный электрический заряд или магнитный заряд. Перечислим некоторые квазичастицы: электроны в кристалле, дырки, фононы, экситоны, плазмоны, поляритоны, магноны и др. 5.2. Дырки Дырка — квазичастица, носитель положительного заряда, равного элементарному заряду в полупроводниках. В физике твёрдого тела, дырка — это отсутствие электрона в электронной оболочке. Дырка – это способ описания коллективного движения большого числа электронов (примерно 1023 см-3 ) в неполностью заполненной валентной зоне. Электрон – это частица, дырка – это квазичастица. Электрон можно инжектировать из полупро- водника или металла наружу (например, с помощью фотоэффек- та), дырка же может существовать только внутри полупроводни- ка. Во время разрыва связи между электроном и ядром появляет- ся свободное место в электронной оболочке атома. Это обуслав- ливает переход электрона с другого атома на атом со свободным местом. На атом, откуда перешёл электрон, входит другой элек- трон из другого атома и т. д. Это обуславливается ковалентными связями атомов. Таким образом, происходит перемещение по- ложительного заряда без перемещения самого атома. Этот условный положительный заряд называют дыркой. Для дырок валентной зоны анизотропия кристалла в меньшей степени, чем в случае электронов, влияет на динамиче- ские характеристики, поскольку дырки являются способом опи- сания коллективного движения электронов в неполностью за- полненной валентной зоне. Для дырок характерно влияние спин- 66 орбитального расщепления, которое обуславливает появление зоны тяжелых и легких дырок. Существование дырок является одной из наиболее интерес- ных особенностей зонной теории твердых тел. Наиболее нагля- ден случай, когда вблизи потолка разрешенной энергетической зоны имеется одно свободное место, а все остальные заняты. Это и есть дырка. Физические свойства дырки вытекают из факта заполненности электронами всех остальных состояний валент- ной зоны [8]. 1) Если электрон удален из состояния с волновым векто- ром ke, то полный волновой вектор системы станет равным – ke.Значит, дырке нужно приписать волновой вектор eh kk . (5.1) 2) Дырке следует приписать заряд положительного знака. Эксперименты по циклотронному резонансу показали, что дыр- ки и электроны вращаются в магнитном поле в разных направ- лениях, как и следовало ожидать для зарядов противоположного знака. 3) Энергия дырки h противоположна по знаку энергии покинувшего соответствующее состояние электрона eh . (5.2) 4) Эффективная масса дырки hm отрицательна, то есть ее знак противоположен знаку массы электрона, уход которого был причиной возникновения этой дырки eh mm . (5.3) 5.3. Фононы Фонон – квазичастица, представляющая собой квант упругих колебаний кристаллической решетки. Введен советским учёным Игорем Таммом. Распространение фонона описывается волновым вектором k и законом дисперсии )(k . Фонон во многих отношениях Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
- 34. 67 ведет себя так,как если бы он был частицей с энергией и квази- импульсом kp , . (5.4) Однако в отличие от обычных частиц (электронов, протонов, фотонов) фонон не может возникнуть в вакууме – для своего возникновения и существования фонон нуждается в некоторой среде. Поэтому фонон является квазичастицей. Концепция фонона оказалась очень плодотворной в физике твёрдого тела. В кристаллических материалах атомы находятся на небольших расстояниях друг от друга и вследствие этого ак- тивно взаимодействуют между собой. В результате для изуче- ния колебаний отдельных атомов приходится рассматривать огромные системы из триллионов связанных между собой ли- нейных дифференциальных уравнений, аналитическое решение которых невозможно. Колебания атомов кристалла заменяются распространением в веществе системы звуковых волн, квантами которых и являются фононы. Спин фонона равен нулю (в еди- ницах ). Фонон является бозоном и описывается статистикой Бозе-Эйнштейна. Фононы и их взаимодействие с электронами играют фундаментальную роль в современных представлениях о физике сверхпроводников, процессах теплопроводности, про- цессах рассеяния в твердых телах [40]. Колебания атомов в кристаллической решетке не являются независимыми. Смещение одного из атомов из положения рав- новесия влечет за собой смещения других соседних с ним ато- мов. Таким образом, кристалл представляет собой систему N упруго связанных друг с другом атомов. Периодичность кри- сталла приводит к существованию зонных разрешенных и за- прещенных состояний (как электронных, так и колебательных). Это означает, что существуют частоты, в пределах которых ме- ханические упругие волны распространяются без затухания. В одномерной двухатомной цепочке это акустическая и оптиче- ская ветви. Решая систему уравнений, описывающих движение отдель- ных атомов, можно получить связь между частотой возбужде- ния и волновым вектором k, которая, как известно, носит название дисперсионного уравнения (решение системы уравне- 68 ний провести на практических занятиях). В результате решения получается два дисперсионных соотношения [29]: ]cos2)[( 21 2 2 2 121 21 2 1 kammmmmm mm , (5.5) ]cos2)[( 21 2 2 2 121 21 2 2 kammmmmm mm . (5.6) Рис. 5.2. Дисперсионные кривые для одномерной цепочки ато- мов двух различных сортов [29] Здесь волновой вектор k принимает ряд значений в соответствии в граничными условиями задачи. Дисперсионное уравнение имеет два корня 1, 2, так что каждому значению волнового Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
- 35. 69 вектора k соответствуетдве волны. Таким образом, дисперсион- ная кривая имеет две ветви – акустическую (1, знак –) и опти- ческую (2, знак +). Дисперсионные кривые для цепочки с мас- сами m1=2 и m2=5 и коэффициентов упругости b=35000 приведен на рис. 7.2. Легко получить значения частот при k=0 и на границе зо- ны Бриллюэна (k=p/a). Для акустических колебаний это область от a min =0 до а max =(2/m1)1/2 , а для оптических это область от o min =(2/m2)1/2 до значения o max =(2 (1/m1+1/m2))1/2 . Если огра- ничиться взаимодействием лишь ближайших соседей, то ветви внутри зоны гладки. Обе ветви идут не пересекая друг друга и имеет место область запрещенных частот от значения (2/m1)1/2 до (2/m2)1/2 . Колебания из запрещённых зон (зона частот между аку- стической и оптической ветвью и область частот выше наибольшей собственной частоты) затухают в кристалле. Волно- вой вектор таких фононов имеет отличную от нуля мнимую часть. 5.4. Экситоны Экситон – водородоподобная квазичастица, представляющая собой электронное возбуждение в диэлектрике или полупровод- нике, мигрирующее по кристаллу и не связанное с переносом электрического заряда и массы . Хотя экситон состоит из элек- трона и дырки, его следует считать самостоятельной элементар- ной (не сводимой) частицей в случаях, когда энергия взаимодей- ствия электрона и дырки имеет тот же порядок, что и энергия их движения, а энергия взаимодействия между двумя экситонами мала по сравнению с энергией каждого из них. Экситон можно считать элементарной квазичастицей в тех явлениях, в которых он выступает как целое образование, не подвергающееся воздей- ствиям, способным его разрушить [11]. Экситон может быть представлен в виде связанного состоя- ния электрона проводимости и дырки, расположенных или в од- ном узле кристаллической решётки (экситон Френкеля, a* < a0, a* — радиус экситона, a0 — период решётки), или на расстояни- ях, значительно больше междуатомных (экситон Ванье - Мот- 70 та, a* ≫ a0). В полупроводниках, за счёт высокой диэлектриче- ской проницаемости, существуют только экситоны Ванье — Мотта. Экситоны Френкеля применимы, прежде всего, к моле- кулярным кристаллам. Экситоны Френкеля и Ванье-Мотта схе- матично изображены на рис. 5.3. Рис. 5.3. Экситон Ванье-Мотта (свободный экситон) и экситон Френкеля (связанный экситон, электрон и дырка расположены в одном узле кристаллической решетки). Свободные экситоны (экситоны Ванье-Мотта) Экситон большого радиуса можно рассматривать как во- дородоподобный атом, аналогично водородоподобной модели мелких донорных или акцепторных состояний. Энергия связи экситона выражается в этой модели так же, как и для атома водорода, и имеет вид [24]: 22 0 4 1 8 * nh em En , (5.7) Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
- 36. 71 где he he mm mm m ** ** * m* -приведенная масса электрона и дырки, m*e - эффективная масса электрона, m*h - эффективная масса дырки, - диэлектрическая проницаемость рассматриваемого кристалла, n=1, 2, 3, …. – главное квантовое число экситона. При n=1 получаем энергию связи для одного экситона. Энергия связи для основного состояния экситона равна 2 0 4 1 8 * h em EEex . (5.8) Полная энергия экситона, отсчитывается от потолка ва- лентной зоны, и состоит из суммы его кинетической энергии *2 22 m k Eк , определяемой движением центра масс, и потенци- альной энергии Eп: *2 1 8 * 22 22 0 4 m k nh em ЕЕEЕE gпкg , (5.9) где Еg - ширина запрещенной зоны, k -волновой вектор экситона как целой частицы. Каждая из зависимостей E(k) с заданным n образует экситонную зону (см. рис. 5.4). Как видно из рис. 5.4, появление дополни- тельных экситонных уровней энергии внутри запрещенной зоны приводит к уменьшению ширины запрещенной зоны до значе- ния Egx, что приводит к уменьшению энергии кванта света, излу- чаемого в полупроводнике. Минимальная энергия Egx=Eg-Eex, необходимая для созда- ния экситона, называется экситонной шириной запрещенной зо- ны. Энергию связи для основного состояния экситона можно записать в следующем виде eex R m m h em E 2 02 0 4 * 8 * . (5.10) 72 Здесь величина Re называется экситонным Ридбергом, по анало- гии с постоянной Ридберга для атома водорода. Рис. 5.4. Экситонные уровни энергии с номерами n внутри за- прещенной зоны полупроводника. Ev -потолок валентной зоны, Eg - ширина запрещенной зоны полупроводника, Eex - ширина экситонной запрещенной зоны. Волнистой стрелкой показано излучение кванта света с энергией gxE (прямой оптиче- ский переход). В табл. 5.1 приведены значения эффективных масс электро- нов и дырок, диэлектрической проницаемости, энергии иониза- ции экситона и экситонного радиуса для различных полупро- водниковых материалов [40]. Жирным шрифтом в табл. 5.1 вы- делены те значения энергии ионизации экситона, которые пре- вышают значение тепловой энергии при комнатной температуре Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
- 37. 73 (kBTкомн = 26мэВ). Из таблицы следует, что для основного спек- тра полупроводниковых материалов энергия диссоциации сво- бодных экситонов существенно меньше, чем тепловая энергия. Следовательно, экситонная рекомбинация для экситонов Ванье– Мотта при комнатной температуре не дает значительных вкла- дов в люминесценцию, из-за высокой вероятности термической диссоциации экситона. Кроме того, в случае непрямозонных по- лупроводников необходимость во взаимодействии с фононом при излучательной рекомбинации существенно уменьшает ин- тенсивность экситонной рекомбинации. Материал m* n в ед. m0 m* p в ед. m0 ε Eex мэВ радиус экситона rex нм GaN 0,20 0,80 9,3 25,2 3,1 InN 0,12 0,50 9,3 15,2 5,1 GaAs 0,063 0,50 13,2 4,4 12,5 InP 0,079 0,60 12,6 6,0 9,5 GaSb 0,041 0,28 15,7 2,0 23,2 InAs 0,024 0,41 15,2 1,3 35,5 InSb 0,014 0,42 17,3 0,6 67,5 ZnS 0,34 1,76 8,9 49,0 1,7 ZnO 0,28 0,59 7,8 60,0 2,2 ZnSe 0,16 0,78 7,1 35,9 2,8 CdS 0,21 0,68 9,4 24,7 3,1 ZnTe 0,12 0,6 8,7 18,0 4,6 CdSe 0,11 0,45 10,2 11,6 6,1 CdTe 0,096 0,63 10,2 10,9 6,5 HgTe 0,031 0,32 21,0 0,87 39,3 Таблица 5.1. Параметры экситонов в различных полупроводни- ковых материалах 74 Связанные экситоны (экситоны Френкеля) При определенных условиях неравновесные электрон и дыр- ка в кристаллах могут локализованный на дефекте экситон мало- го радиуса, являющийся связанным (экситон Френкеля). В большинстве случаев связанные экситоны образуются на нейтральных центрах, хотя в определенных условиях возможно их образование и на заряженных дефектах. С высокой вероятно- стью связанные экситоны образуются на изоэлектронных ловушках. Изоэлектронной примесью назы- вается атом такого элемента, который находится в одной группе периодической таблицы с замещаемым атомом. После того как носитель одного знака (например, электрон) будет захвачен – локализован, изоэлектронный центр приобретает заряд и затем довольно легко захватывает носитель противоположного знака (в нашем случае – дырку). Таким образом, образуется связанная электронно-дырочная пара в виде экситона, сильно локализо- ванного в пространстве. Экситон Френкеля имеет два суще- ственных отличия по сравнению с экситоном Ванье–Мотта: 1) Энергетический уровень основного состояния экситона Френкеля находится ниже аналогичного уровня экситона Ванье– Мотта, т. е. энергия диссоциации Eex для связанного экситона больше, чем для экситона Ванье–Мота. Поэтому экситон Френ- келя более стабилен при комнатной температуре по сравнению с экситоном большого радиуса. 2) Поскольку экситон Френкеля локализован в координатном пространстве, то, согласно соотношению неопределенностей Гейзенберга, он полностью делокализован в k-пространстве. Другими словами, квазиволновой вектор связанного экситона может принимать любые значения в пределах зоны Брюллена. Этот факт достаточно важный для непрямозонных полупровод- ников, поскольку не требует для связанных экситонов участия фононов в излучательной рекомбинации. Механизм излучательной рекомбинации связанных экси- тонов является весьма эффективным в полупроводниках с не- прямой структурой энергетических зон (кремний, германий, Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
- 38. 75 фосфит галлия), посколькувероятность излучательной рекомби- нации через такой центр существенно больше вероятности не- прямых межзонных переходов. Типичным примером изоэлек- тронной ловушки может служить атом азота N в фосфиде галлия (GaP) – полупроводнике с непрямой структурой энергетических зон. Атом азота N замещает атом фосфора Pв узлах решетки. Спектр излучательной рекомбинации связанных экситонов бо- лее узкий, чем спектр свободных экситонов, т. к. связанный эк- ситон локализован в координатном пространстве и его кинети- ческая энергия невелика по сравнению с таковой у свободного экситона большого радиуса. Как было отмечено выше, наличие дополнительных экси- тонных уровней внутри запрещенной зоны приводит к уменьше- нию ее ширины и к появлению дополнительных пиков на спек- тральных характеристиках, соответствующих поглощению на экситонах с энергией Eex. Плазмоны Плазмон — квант плазменных колебаний; элементарное бо- зевское возбуждение плазмы. В плазме твердого тела термины плазмон и плазменное колебание (волна) часто используют как синонимы. Подробно свойства плазмонов описаны в курсе лек- ций по дисциплине "Нанофотоника и физика наноструктур". Выводы В лекции введено понятие квазичастиц, рассмотрено поведе- ние электрона как квазичастицы в периодическом поле кристал- ла, дается понятие эффективной массы. Рассмотрены свойства таких квазичастиц, как дырки, фононы. Подробно исследованы дисперсионные характеристики оптических и акустических фо- нонов. Рассмотрены свойства экситонов и плазмонов. Рассмот- рено возникновение экситонных уровней энергии и их влияние на спектры поглощения полупроводников. 76 Вопросы и задания для самоконтроля 5.1.Что такое квазичастица? Какие квазичастицы вы знаете? 5.2.Что такое дисперсионная кривая? 5.3.Что такое дырка с точки зрения зонной теории? Какой знак у энергии дырки? Какой знак у эффективной массы дырки? 5.4.Что такое фонон? 5.5.Чем отличаются оптические фононы от акустических? 5.6.Что такое экситон? 5.7.Что такое экситон Ванье-Мотта? Экситон Френкеля? Ка- кие экситоны наблюдаются в полупроводниках? 5.8.Как влияют экситоны на спектр поглощения полупро- водника? Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
- 39. 77 Лекция 6 Тема 6.Рассеяние 6.1. Виды рассеяния В общем случае даже в однородной среде комплексный пока- затель преломления является флуктуирующей величиной в про- странстве. Особенно заметны такие флуктуации для газов (например для воздуха). Однако они наблюдаются и в твердых телах, например в оптических волокнах. Показатель преломле- ния может быть записан в виде )()( 0 rnnrn , (6.1) где n0 – среднее значение показателя преломления, n(r) - флук- туация показателя преломления. Наличие флуктуаций показате- ля преломления приводит к рассеянию света. Флуктуации можно разделить на два вида: 1) динамические, например, колебания решетки (фононы), поляритоны, плазмоны, экситоны и др.; 2) статические, например, неоднородности плотности, хи- мического состава, температуры и т.п. Перечислим основные виды рассеяния света. Если частота (длина волны) света не изменяется при рассея- нии, то такое рассеяние называется упругим. Виды упругого рассеяния света: 1) Рэлеевское рассеяние 2) Рассеяние Ми Если частота (длина волны) света изменяется при рассеянии, то такое рассеяние называется неупругим. Виды неупругого рассеяния света: 1) Рассеяние Мандельштама-Бриллюэна . 2) Комбинационное (рамановское) рассеяние. Рассеяния всегда можно представить как поглощение перво- начального кванта с энергией i и волновым вектором ki с одновременным испусканием другого фотона с энергией и вол- новым вектором и kf . Если частота рассеянного света меньше частоты падающего, то говорят о Стоксовой компоненте рассея- ния, если же if , то рассеянное излучение называется ан- 78 тистоксовским. В первом случае часть энергии рассеиваемого света диссипируется средой. Во втором - наоборот, при рассея- нии энергия забирается от рассеивающей среды. В объемных полупроводниках свет может рассеиваться (1) на свободных носителях, включая рассеяние на флук- туациях плотности заряда (одночастичные возбуждения и плазмоны) и флуктуациях спиновой плотности (переходы с переворотом спина), (2) на фононах, оптических (рамановское, или комбинаци- онное, рассеяние) или акустических фононах (рассеяние Ман- дельштама-бриллюэна), и (3) статических дефектах (релеевское рассеяние). В гете- роструктурах с квантовыми ямами и сверхрешетках появляются дополнительные возможности: в структурах с квантовыми ямами вклад в рассеяние могут вносить не только внутрипод- зонные переходы, но и переходы между электронными под- зонами размерного квантования (рассеяние на межподзонных флуктуациях плотности заряда или спиновой плотности); ком- бинационное рассеяние обогащается участием размерно- квантованных и интерфейсных оптических фононов, а также акустических фононов со «сложенным» спектром (folded acoustic phonons) в сверхрешетках. 6.2. Рэлеевское рассеяние Рэлеевское рассеяние - когерентное рассеяние света на опти- ческих неоднородностях, размеры которых значительно меньше длины волны возбуждающего света. Приближенный критерий выглядит следующим образом 1.0d . (6.2) В отличие от флуоресценции, происходящей, с частотами собственных колебаний электронов, возбуждённых световой волной, Рэлеевское рассеяние происходит с частотами колеба- ний возбуждающего света [40]. В экспериментально измеренном спектре рассеянного света всегда имеется максимум на частоте рассеиваемого света. Рассе- янный свет на частоте падающего и соответствующие крылья линии рассеяния относят к Рэлеевскому рассеянию. Например, Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
- 40. 79 дефекты поверхности иобъема кристалла, пылинки малого раз- мера, медленно движущиеся в конвекционных потоках воздуха, флуктуации плотности газа, связанные с флуктуациями средней ориентации молекул в пространстве, являются примерами неод- нородностей, вызывающих Рэлеевское рассеяние. Рэлей исследовал рассеяние в газах и году вывел формулу для интенсивности Рэлеевского рассеяния, согласно которой h c n N 2 3 14 4 2 ( ) , (6.3) где n - коэффициент преломления, а N - концентрация рассеива- ющих атомов. Поскольку для газов n N 1 , коэффициент экс- тинкции прямо пропорционален концентрации атомов. Рис.10.1. Рэлеевское рассеяние Интенсивность рассеянного света в зависимости от угла рас- сеяния (диаграмма направленности) имеет вид: )cos1()( 2 042 2 I r NV AI , (6.4) где - угол рассеяния (рис.10.1), N - концентрация рассеиваю- щих объектов, V – средний объем одного рассеивающего объек- та, r - расстояние от рассеивающих объектов до точки наблюде- ния, А – некоторая функция отклонения показателя преломления рассеивающих объектов от среднего показателя преломления n0. 80 В соответствии с формулой (10.4) интенсивность Рэлеевского рассеяния обратно пропорциональна длине волны в четвертой степени 4 1 ~ I . Этим объясняется голубой цвет неба. 6.3. Рассеяние Ми Рассеяние Ми – это упругое рассеяние на частицах сфериче- ской формы. Рассеяние Ми наблюдается в случае, когда размеры оптических неоднородностей d сопоставимы с длиной волны света ~d . (6.5) Для рассеяния Ми по сравнению с рассеянием Рэлея характерна более слабая частотная зависимость [40]: ~~)( I , (6.6) где 4 . Рис.10.2. Диаграмма направленности. Рассеяние Ми ( 5,2/ d ) Диаграмма направленности в случае рассеяния Ми имеет слож- ный вид и характеризуется наличием многочисленных экстре- мумов, интенсивность и угловое положение которых зависит от отношения /d . С ростом d возрастает рассеяние назад (рис.10.2) Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
- 41. 81 6.4. Рассеяние Мандельштама-Бриллюэна РассеяниеМандельштама-Бриллюэна - рассеяние света на адиабатических флуктуациях плотности конденсированных сред, сопровождающееся изменением частоты. Данный вид неупругого рассеяния возникает при взаимодей- ствии света с акустическими колебаниями решетки (фононами). При дифракции на звуковой волне возникают лишь максиму- мы первого порядка. Амплитуда дифрагированной волны изме- няется вместе с коэффициентом пропускания и коэффициентом преломления среды, обусловленным периодическим изменением плотности среды в акустической волне. Следовательно, ампли- туда изменяется гармонически с частотой звуковой волны. Поэтому наблюдаемая в направлении дифракционных максиму- мов напряженность )(tE электромагнитной волны равна [31]: ))cos()(cos( 2 coscos)( 0 0 tt A ttAtE , (6.7) где - частота падающего света. не диф. комп.спектр рассеяния стоксовый компонент антистоксовый компонент Рис. 6.3. Стоксовый и антистоксовый компоненты рассеяния Мандельштама-Бриллюэна Таким образом, в рассеянном свете наблюдаются две сателлит- ные частоты, расположенные симметрично относительно основ- ной частоты падающего света . Сателлит с частотой )( называется стоксовым, а с )( - антистоксовым. Они явля- ются компонентами рассеяния Мандельштама-Бриллюэна (рис.6.3). 82 6.5. Комбинационное (рамановское) рассеяние Комбинационное (рамановское) рассеяние света возникает при взаимодействии света с оптическими фононами. Комбинационное рассеяние наблюдается в различных сре- дах – газах, жидкостях, кристаллах. Причиной изменения ча- стоты рассеяния является комбинированный процесс, в резуль- тате которого под действием падающего светового кванта появ- ляется другой световой квант и одновременно в среде проис- ходит поглощение или освобождение определенной порции энергии. Эта энергия может быть связана с различными процес- сами – периодическим движением атомов в молекуле или кри- сталле около положения равновесия, переходами электронов с одного уровня на другой, так называемыми спиновыми волнами в магнитоупорядоченных средах, плазменными коле- баниями в твердых телах и т. д. Однако обычно под комбина- ционным рассеянием понимается появление дополнительных комбинационных линий, соответствующих изменениям во вращательном и колебательном движении атомов в молекуле или в кристаллической решетке. Рассеяние на размерно-квантованных оптических фононах Микроскопически рассеяние света на фононах в нелеги- рованном полупроводнике или полупроводниковой структуре описывается как процесс третьего порядка. На первой ступени трехступенчатого процесса рассеяния первичный фотон возбуждает электронную подсистему в промежуточное состояние n . Затем рассеяние на фононе вызывает квантовый переход из n в другое промежуточное со- стояние n' . На заключительном этапе электронная подсистема возвращается в основное состояние, излучая при этом рассеян- ный фотон. В рассеяние n→n’ электронно-дырочного возбуждения на продольном оптическом фононе вносят вклад два механизма: фрелиховский, или дальнодействующий, и деформационный, или короткодействующий. В первом механизме LO-фонон воз- действует на электронную подсистему через скалярный потен- циал Φ(z) электрического поля, индуцированного оптическим Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
- 42. 83 колебанием решетки. Придеформационном механизме происхо- дит индуцированное фононом смешивание состояний тяже- лых и легких дырок, т.е. в этом случае переход n→n’ со- вершается за счет взаимодействия дырки с оптическим фоно- ном [19]. Рис. 6.4. Спектры нерезонансного (a) и резонансного (b) комбинационного рассеяния на размерно-квантованных опти- ческих фононах в толстобарьерной сверхрешетке GaAs/AlAs с шириной слоев a=20Е, b=60Е. Пик справа от частоты фонона LO6 обусловлен интерфейсной модой. На рис. 6.4 показаны спектры комбинационного рассеяния на размерно-квантованных оптических фононах, измеренные на толстобарьерной сверхрешетке GaAs/AlAs, содержащей 400 двойных слоев шириной a=20 А, b=60 А. Фононные моды с квантовым числом ν обозначены в виде LOν. При нерезонансном возбуждении сечения рассеяния на фононах LO2l+1 и LO2l, наблюдаемые соответственно в конфигурациях z(xy) z и z(xx) z , сопоставимы по величине. В согласии с предсказаниями мик- роскопической теории при резонансном возбуждении, когда 84 фрелиховский механизм преобладает над деформационным, наблюдается только рассеяние на LO2l -фононах. Наличие тех же линий LO2l, хотя и заметно меньшей интенсивности, в скрещен- ной геометрии z(xy) z может быть связано с влиянием статиче- ских дефектов на фрелиховское взаимодействие носителей с оптическими фононами. Комбинационное рассеяние в сверхре- шетках и квантовых ямах является привлекательной альтерна- тивой неупругому рассеянию нейтронов для определения дис- персии оптических фононов в объемном полупроводнике. 6.6. Расчет параметров рассеяния Различают рассеяния на ионах примеси, на неоднородностях поверхности, на акустических фононах, на оптических фононах и электрон-электронное. Интенсивность примесного рассеяния можно рассчитать по формуле: 4 2D 2 2 0 2 0 1 512 I I k e N S W d qE , (6.7) где Ek – кинетическая энергия электрона; 2D IN – поверхностная концентрация ионизированной примеси; 2oxsc – сред- нее значение диэлектрической проницаемости на границе разде- ла окисел/полупроводник; S – параметр экранирования, равный 2 0 T s B e N S k . (6.8) При расчете интенсивности рассеяния на ионизированной примеси для устранения расходимости интегралов при 0 в качестве нижнего предела интегрирования необходимо выби- рать некоторый ненулевой угол min. Интенсивность рассеяния на шероховатостях поверхности рассчитывается согласно [19] 22 2 2* 2 2 3 2 0 , exp , 42 ,T, s SR s q N qm W k d q N (6.9) Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
- 43. 85 где –среднеквадратическая высота шероховатостей; – среднее расстояние между ними (корреляционная длина), а функция sN,q при q/b>>1 равна . depl s sc s N Ne N 20 2 (6.10) Для температур, близких к комнатной, принимая во внима- ние, что энергия акустических фононов много меньше энергии электронов, интенсивность рассеяния на этих фононах может быть рассчитана согласно: 2 2 3 2 * Tac B ac i i D m k W U E E z z dz u , (6.11) где i и i – номера, соответственно, начальной и конечной под- зон при рассеянии, которые расположены в одной и той же до- лине; zz ii и – волновые функции электрона для данных подзон; acD = 9,5 эВ; – плотность материала; u – скорость зву- ка в кремнии; EEU – cтупенчатая функция, равная нулю, если аргумент меньше нуля, и равная единице, если аргумент больше или равен нулю. Наличие данной функции обеспечивает выполнение закона сохранения энергии. Интенсивность рассеяния электронов на оптических фононах [19]: 2 * 1 1 ρ T 2 2 opt i opt ph B ph D m g W N U E E k , (6.12) где optD =91010 эВ/м – константа взаимодействия; phN – количе- ство фононов с температурой Tph , определяемое согласно рас- пределению Бозе – Эйнштейна; ig – параметр мультиплексно- сти конечной при переходе подзоны. Рассеяние электронов на оптических фононах, сопровождающееся межподзонным пере- ходом, может являться междолинным рассеянием, если подзона, в которую переходит электрон при этом рассеянии, расположена 86 в другой долине по отношению к первоначальной подзоне. При электрон-электронном рассеянии необходимо различать процессы, сопровождающиеся и не сопровождающиеся межпод- зонными переходами. Интенсивность процессов, связанных с межподзонными переходами, рассчитывается по формуле 2* 4 max 2D2D 3 2 2 2 02 ε ε s sub ijmn ee im sc N m e N F q W s , (6.13) а процессов без межподзонных переходов (т. е. внутриподзонно- го рассеяния) – по формуле * 4 2D 2D 3 2 2 2 02 ε ε s ee ii sc N m e W s , (6.14) где Nsub – число учитываемых при моделировании подзон; max ijmnF q – максимальная величина форм-фактора; j и n – значе- ния начальной и конечной подзон для второго электрона; s – па- раметр экранировки. Выводы В лекции рассматриваются различные механизмы. которые вносят вклад в рассеяние излучения в твердом теле: рэлеевское рассеяние, рассеяние Ми, рассеяние Мандельштама-Бриллюэна, комбинационное рассеяние. Приводятся формулы для практиче- ского расчета параметров рассеяния. Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
- 44. 87 Вопросы и заданиядля самоконтроля 6.1.Что такое рассеяние Рэлея? 6.2.Что такое рассеяние Ми? 6.3.Является ли рассеяние Рэлея упругим рассеянием? Является ли рассеяние Рэлея упругим рассеянием? 6.4.На каких фононах (оптических или акустических) происхо- дит рассеяние Мандельштама-Бриллюэна и комбинацион- ное (рамановское) рассеяние? 6.5.Каким видом рассеивания объясняется цвет неба? 6.6.Амплитуда какой компоненты (стоксовой или антистоксо- вой) больше при рамановском рассеянии света в непогло- щающей среде? 88 Лекция 7 Тема 7. Фотонные кристаллы 7.1. Классификация фотонных кристаллов Фотонный кристалл - это материал, структура которого ха- рактеризуется периодическим изменением показателя прелом- ления в пространственных направлениях [2]. В работе [27] при- водится более широкое определение: «Фотонными кристаллами принято называть среды, у кото- рых диэлектрическая проницаемость периодически меняется в пространстве с периодом, допускающим брэгговскую дифрак- цию света». В работе [30] приводится следующее описание фо- тонных кристаллов: Фотонные кристаллы – это «структуры с фотонной запре- щённой зоной». Мы дадим следующее определение: Фотонный кристалл – это материал, показатель преломле- ния которого периодически меняется в одном, двух или трех направлениях, и вследствие этого обладающий фотонной запре- щенной зоной. Рис. 7.1. Схематическое изображение одномерного фотонного кристалла, n1 и n2 — показатели преломления двух различных материалов, Λ – период структуры Фотонные кристаллы можно разделить на три основных класса: Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
- 45. 89 1. Одномерные фотонныекристаллы. В одномерных кристаллах показатель преломления периодически изменяется в одном про- странственном направлении (см. рис. 11.1). Такие фотонные кристаллы представляют собой тонкослоистую структуру с че- редующимися слоями из двух или более материалов. В оптике уже давно известно, что в таких периодических структурах характер распространения световых волн суще- ственно изменяется из-за явлений интерференции и дифракции. Например, многослойные отражающие покрытия давно исполь- зуются для изготовления диэлектрических зеркал и интерферен- ционных фильтров, а объемные брэгговские решетки использу- ются в качестве спектральных селекторов и фильтров [5]. На рис. 11.2 представлена электронная фотография одномерного фотон- ного кристалла. Рис.7.2. Электронный снимок одномерного фотонного кристалла, используемого в лазере как брэгговское многослойное зеркало [5] 2. Двумерные фотонные кристаллы. В таких кристаллах коэф- фициент преломления периодически изменяется в двух про- странственных направлениях (см. рис. 11.3). Двумерные кри- сталлы проявляют свои свойства в двух пространственных направлениях. При этом форма областей с различными показа- телями преломления может быть любой (окружности, эллипсы 90 и т. д.). К двумерным фотонным кристаллам можно отнести упорядоченные массивы бесконечных по длине цилиндров (их поперечный размер много меньше продольного) или периодиче- ские системы цилиндрических отверстий (рис. 11.4). Рис. 7.3. Схематическое изображение двумерного фотонного кристалла Рис. 7.4. Двумерный фотонный кристалл в виде упорядоченного масссива цилиндрических тонких нитей (слева) или периодиче- ских отверстий [6] 3. Трёхмерные фотонные кристаллы. В таких кристаллах пока- затель преломления периодически изменяется в трёх простран- ственных направлениях (рис.11.5, 11.6). Наиболее распростра- ненными трехмерными фотонными кристаллами являются опа- лы, состоящие из упорядоченных рассеивателей сферической формы. Природные полудрагоценные опалы и крылья африкан- ских бабочек-парусников представляют собой природные трех- Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
- 46. 91 мерные фотонные кристаллы.Фотография искусственного трех- мерного фотонного кристалла приведена на рис. 11.6. Рис. 7.5. Схематическое изображение трехмерного фотонного кристалла Рис. 11.6. Электронная фотография трехмерного фотонного кри- сталла [4] Фотонные запрещённые зоны Фотонная запрещенная зона – это диапазон частот, внутри которого электромагнитная волна (фотон) не может распростра- няться внутри фотонного кристалла. В частности, излучение, спектр которого лежит в фотонной запрещенной зоне, не может проникать в фотонный кристалл и распространяться в нем, по- этому оно полностью отражается от границы. 92 Рассмотрим образование фотонной запрещенной зоны для случая одномерного фотонного кристалла. В таком кристалле фотонная запрещенная зона образуется в результате интерфе- ренции световых волн, отраженных от областей с различными показателями преломления (рис. 7.7). Рис.7.7. Распространение электромагнитной волны в одномер- ном фотонном кристалле Волны, отраженные от пары слоев, будут усиливаться в результате интерференции при выполнении условия Брэгга: mmdndn )(2 2211 , (7.1) m=1, 2, 3,…. Здесь 1d и 2d - толщины слоев, m - длина волны. В таком слу- чае волна будет испытывать полное отражение от слоистой структуры и не будет распространяться внутри фотонного кри- сталла, что соответствует фотонной запрещенной зоне. При этом максимумы в спектре коэффициента отражения R и минимумы в спектре пропускания T будут наблюдаться для длин волн, соот- ветствующих серединам фотонных запрещенных зон: m dndn m )(2 2211 . (7.2) Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
- 47. 93 Спектры отражения ипропускания для одномерного фотонного кристалла схематически изображены на рис. 11.8. Рис.7.8. Спектры отражения и пропускания для одномерного фотонного кристалла. Заштрихованы фотонные запрещенные зоны Зачем нужны структуры с фотонной запрещенной зоной? Ответим на этот вопрос. Задача спонтанного излучения света имеет большое значение для систем волоконной оптики. И для практического использования спонтанного излучения необхо- димо его контролировать, например, при помощи полной за- держки излучения в фотонных запрещенных зонах, в которых сигнал не может распространяться. Наличие запрещенных для распространения частот демонстрируют многие структуры. Например, на рис. 7.9 изображена дисперсионная диаграмма для моды с номером m=1, распространяющейся в плоском метал- лическом волноводе между двумя параллельными металличе- скими пластинами. 94 Рис.7.9. Дисперсионная кривая для плоского металлического волново- да. Ниже частоты отсечки волна не может распространяться и не мо- жет возникать излучение [14] Рис.7.10. Образование запрещенных зон в кристаллах. Слева: диспер- сионные кривые (расширенная зонная диаграмма) полупроводникового кристалла. ЗП- зона проводимости, ЗЗ –запрещенная зона, ВЗ - валент- ная зона. Справа: дисперсионные кривые для фотонного кристалла [14] Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
- 48. 95 Видно, что существуетобласть частот ниже частоты отсечки, в которой волна не может распространяться. Однако металлы не являются удобными материалами для оптического применения, так как обладают очень большими потерями на оптических ча- стотах. В оптических волокнах используются полупроводники и ди- электрики, обладающие малыми потерями в оптическом диапа- зоне. И вот здесь как раз использование фотонных кристаллов, представляющих массив упорядоченных структур позволяет со- здать фотонную запрещенную зону за счет наличия дополни- тельной периодичности (см. рис. 11.10). Рис. 7.11. Андерсоновская локализация света. Пики с высокой интенсивностью излучения соответствуют позициям, на которых строго локализуется свет, излученный в разориентированном фотонном кристалле [13]. В остальных местах излучение не мо- жет распространяться (фотонная запрещенная зона) Для создания фотонного кристалла, который не пропускает свет внутри фотонной запрещенной зоны ни в одном направле- нии необходимо использование трехмерных структур. Получе- ние такой полной фотонной запрещенной зоны сопряжено с не- 96 которыми трудностями, потому что трёхмерные фотонные кри- сталлы могут демонстрировать запрещённые зоны как в одном, двух или во всех направлениях. Полные фотонные запрещенные зоны для всех направлений формируются в фотонном кристалле при большой разнице показателей преломления материалов, из которых состоит фотонный кристалл для структур с определён- ной формой областей с разными показателями преломления. Пример андерсовской локализации света с образованием фотон- ных запрещенных зон в разориентированном фотонном кристал- ле приведен на рис 11.1. 7.2. Дисперсионное уравнение для одномерного фотонного кристалла Метод, используемый при исследовании распространения электромагнитных волн в слоистых структурах основан на ис- пользовании двухсторонних граничных условий, связывающих тангенциальные компоненты 1E , 1H и 2E , 2H полей двух соседних сред 1 и 2 на двух близких поверхностях S1 и S2, раз- деляющих описываемый слой с этими средами [16]. Эти гранич- ные условия сводятся в общем случае к заданию скачков компо- нент электромагнитного поля на некоторой условной средней поверхности S0, лежащей между поверхностями S1 и S2 , H E H E 2 2 1 1 S (7.3) где элементы матрицы S являются в общем случае интегро - дифференциальными операторами [16]. Для большого числа по- лей компоненты тензора S не зависят от определяемых ими по- лей, что существенно упрощает анализ. Применение двухсто- ронних граничных условий позволяет существенно облегчить аналитическое и численное решение большого числа задач, по- скольку при выполнении некоторых не слишком жестких усло- вий можно ограничиться рассмотрением поведения электромаг- нитного поля в области пространства, внешней по отношению к рассматриваемому тонкому слою, а влияние слоя на характер Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
- 49. 97 волнового процесса учитыватьс помощью граничных условий на его поверхности. Наиболее простым примером одномерных фотонных кристаллов являются слоистые среды, образованные при перио- дическом чередованием двух и более материалов с различными показателями преломления. Такие одномерные структуры име- ют большие перспективы для практического применения, свя- занные с простотой изготовления и отлаженной технологией по- лучения слоистых структур, которая допускает изготовление тонких пленок толщиной в несколько атомных слоев. Исследу- ем наиболее общие закономерности распространения электро- магнитных волн в одномерных фотонных кристаллах. Рассмотрим бесконечную структуру, состоящую из чере- дующихся слоев с показателями преломления n1 и n2 (рис. 12.1). Толщины слоев d1 и d2, период структуры d= d1+d2. Рис. 7.12. Схематическое представление одномерного фотонного кристалла. Распространение волн в каждом из слоев можно описать с помощью волнового уравнения [17]: 98 0 t u v 1 u 2 2 2 , (7.4) где u- компонента поля волны, v- её фазовая скорость в среде. Будем предполагать, что в плоскости слоев поля зависят только от одной координаты, и положим 0 z . Решение урав- нения представим в виде ])([exp)y(uu xkti x , где k x - про- екция волнового вектора на ось х. Подставляя его в (1), получим 0=)y(u) v k( y )y(u 2 21, 2 2 x2 2 . (7.5.) Индексы 1 и 2 обозначают принадлежность к разным сло- ям. Множитель 2 21, 2 2 x v k является периодической функцией координаты y и принимает на периоде структуры два значения. Таким образом, соотношение (7.5) является уравнением второго порядка с периодическим коэффициентом (уравнением Хилла [55]). Для ступенчатой функции его решение может быть полу- чено следующим образом [17]. Представим поле на интервале y = 0 d1 в виде .k) v (=k ,eA+eA)(u 2 x 2 1 2 1y yki- 2 yki 11 1y1y y (7.6) В области второго слоя y = d1 d1 +d2 .k) v (k ,eBeB)y(u 2 x 2 2 2 2y yki 2 yki 12 2y2y (7.7) Обозначим yd )y(ud )z( и получим Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
- 50. 99 )eAeA(ki=)z( yki 2 yki 11y 2y1y .(7.8) Выразим произвольные постоянные А1 и А2 через значе- ния полей при y = 0 и подставим в соотношения (7.6) и (7.8). Представим поля в начале координат через их значения в произ- вольной точке у слоя и запишем результат в матричном виде: . )y( )y(u )y(m )0( )0(u 1 (7.9) Матрица преобразования m1(d1) связывает поля в начале слоя с полями в конце этого же слоя, матрица преобразования второго слоя m2(d2). На плоскости раздела должны выполняться граничные условия, состоящие в непрерывности как самого по- ля, так и его градиента. Так на границе y = d1 : yd )y(ud yd )y(ud ;)y(u)y(u 21 21 . (7.10) Кроме того, решение должно удовлетворять теореме Флоке [54], то есть поля на границах периода при y = 0 и y = d мо- гут отличаться только на фазовый множитель dkie)d(u)0(u , (7.11) где k - блоховское волновое число. Поэтому ,)dd( )dd(u m )d( )d(u , )d( )d(u m )0( )0(u 212 212 2 1 12 11 11 1 1 1 100 ,21 mmm , )d( )(du m )0( )0(u (7.12) Здесь m - матрица преобразования одного периода струк- туры: . mm mm m 2212 2111 (7.13) Матрица преобразования mд , связывающая поля в начале и в конце слоя диэлектрика, для Н- волны записывается следу- ющим образом [17] : E ( t ) H ( t ) z x = m д )d+t(H )d+t(E 1x 1z , (7.14) где m д = 1y1y 0 y 1y y 0 1y dksocdknis ki dknis k i dksoc , k y - проекция волнового вектора проходящей волны на ось Оy. С помощью матрицы преобразования m может быть найде- но дисперсионное соотношение для безграничной структуры. Оно имеет вид [54] : )mm( 2 1 dkcos 2211 . (7.15) Таким образом, в слоисто - периодической среде зависимость от поперечной координаты определяется не волновыми числами слоев 1yk и 2yk , а усредненным по периоду структуры попе- речным волновым числом k . Полное решение волнового урав- нения записывается в виде суммы пространственных гармоник : Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
- 51. 101 ]y) d n2 +k(i[expu=)y(u -=n n . (7.16) Значение блоховскоговолнового числа k определяется из соотношения (12.13) с точностью до целого числа обратных волновых векторов 1,...0,=n, d n2 . Необходимо отметить, что фазовые скорости различных гармоник могут быть сколь угодно малыми, а при равенстве фазовой скорости и скорости движе- ния магнитных вихрей в сверхпроводнике возможно эффектив- ное взаимодействие электромагнитной волны с вихревой решет- кой. Это особенно существенно для создания усилителей на ос- нове сверхпроводящих структур. 7.3. Применение фотонных кристаллов Фотонные кристаллы широко применяются в современной оптоэлектронике. Наличие фотонных запрещенных зон делает привлекательными фотонные кристаллы ля создания волнове- дущих систем различной формы, фильтров и т.д. Для реализации потенциала фотонно-кристаллических волноводов необходима возможность перестройки, что достигается изменением пара- метров кристалла. Рис.7.13. Фотонно-кристаллический волновод [7] 102 Небольшие изменения таких параметров, как размеры и форма структурных единиц фотонного кристалла, их показате- лей преломления влекут смещение запрещенных зон и измене- ние коэффициента пропускания на заданных частотах. За счет этого можно создавать волноведущие системы с заданными спектральными свойствами. На рис. 7.13 и 7.14 изображен фо- тонно-кристаллический волновод, образованный в результате нарушения периодичности в упорядоченном массиве отверстий. Рис.7.14. Этапы создания фотонно-кристаллического волновода [7] Еще больше перспектив для применения фотонных кристал- лов открывается в будущем. В трехмерных фотонных кристаллах возможен полный захват излучения с длиной волны, соответствующей фо- тонной запрещенной зоне. Данный эффект используется для создания лазеров со сверхнизкими порогами генера- ции. Использование сред, показатель преломления которых можно менять под действием электрического или маг- нитного поля, для создания фотонных кристаллов поз- Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
- 52. 103 воляет использовать ихв качестве управляемых элемен- тов оптических усилителей, переключателей и транзи- сторов, что дает возможность для построения быстро- действующих оптических устройств обработки инфор- мации. Еще одно применение фотонных кристаллов связано с возможностью контроля законов дисперсии для света вблизи края фотонной зоны. Фотонные кристаллы с кон- тролируемым законом дисперсии дают возможность для реализации эффективных волновых нелинейно- оптических взаимодействий. Фотонные кристаллы могут использоваться для создания сред с отрицательным показателем преломления и дру- гих искусственных метаматериалов. Выводы Лекция посвящена фотонным кристаллам. Дается определе- ние фотонных кристаллов, рассматривается механизм образова- ния фотонных запрещенных зон. Рассматривается применение фотонных кристаллов в оптоэлектронике и перспективы их при- менения в будущем. Вопросы и задания для самоконтроля 7.1.Что такое фотонный кристалл? 7.2.Какие типы фотонных кристаллов вы знаете? 7.3.Что такое фотонная запрещенная зона? 7.4.В чем заключается условие Брэгга? 7.5.Чем отличается запрещенная зона в полупроводнике от фотонной запрещенной зоны в фотонном кристалле? 7.6.Для чего могут использоваться фотонные кристаллы? 104 Лекция 8 Тема 8. Нелинейно – оптические эффекты 8.1. Условия возникновения нелинейных оптических эффек- тов Нелинейная среда - среда, в которой распространение света зависит от интенсивности (амплитуды) световой волны. В нели- нейной среде не выполняется принцип суперпозиции : волны распространяются не независимо, а взаимодействуют между со- бой. Вследствие этого в нелинейной среде возбуждаются волны отличающиеся частотами и направлением распространения от падающей волны. Среда, линейная в обычных условиях, т.е. при обычных ин- тенсивностях света, становится нелинейной, когда напряжен- ность электрического поля световой волны сравнима с внутриа- томным электрическим полем Ea. В лазерном луче напряжен- ность электрического поля световой волны достигает 108 В/см, что сравнимо с внутриатомными полями и достаточно для наблюдения нелинейных эффектов в оптическом волокне. К нелинейным эффектам, при изучении которых в качестве нелинейной среды широко использовались оптические волокна, относятся нелинейное преломление (частным случаем которого является фазовая самомодуляция (ФСМ)), фазовая кросс- модуляция (ФКМ), четырехволновое смешение (ЧВС) (частным случаем которого является генерация третьей гармоники), вы- нужденное комбинационное рассеяние (ВКР) и вынужденное рассеяние Мандельштама–Бриллюэна (ВРМБ). Вектор электрической индукции РЕD 0 . (8.1) Диэлектрическая проницаемость среды 1 , (8.2) где - диэлектрическая восприимчивость. Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
- 53. 105 Для нелинейной средывектор поляризации Р можно разложить в ряд по степеням напряженности электрического поля Е [36]: ...ЕЕЕЕ 3)3(2)2(2)2()1( 0 P . (8.3) Здесь )1( , )2( , )3( - оптические восприимчивости. В част- ности )2( - нелинейная оптическая восприимчивость второго порядка, )3( - нелинейная оптическая восприимчивость треть- его порядка. Из уравнения (13.3) непосредственной вытекает возможность генерации оптических гармоник и других эффек- тов. Пусть лазерное излучение представляет собой гармониче- скую волну )cos(EE 0 kzt . (8.4) Тогда первый член в разложении (13.1) описывает линейную поляризацию с частотой, равной частоте лазерного излучения. Второй член разложения (13.3) ))(2cos1( 2 1 ЕЕ 2 0 )2( 0 2)2( 0 kztP описывает генерацию излучения на удвоенной частоте. Можно показать, что третий член в разложении 3)3( 0 Е P описы- вает генерацию на утроенной частоте и, кроме того, нелинейную добавку к показателю преломления [37]. Обычно в изотропных нелинейных средах низшей нелиней- ностью, отличной от нуля является кубичная нелинейность. Можно показать, что в средах с кубичной нелинейностью пока- затель преломления зависит от интенсивности света. Этот эф- фект приводит к самовоздействию световых волн, в частно- сти, к таким эффектам, как самофокусировка светового пучка, фазовая самомодуляция импульса, бистабильность резонатора, заполненного нелинейной средой, и т. п. 106 8.2. Генерация второй гармоники и условие фазового синхронизма Рассмотрим второе слагаемое в разложении (13.3), описыва- ющее возникновение за счет нелинейной восприимчивости в среде генерации на удвоенной частоте c n k tkzPtrP 2 )),(2cos(, )2()2( (8.5) Будем считать что нелинейная среда занимает полпространства z>0. Из вакуума (z<0) нормально к поверхности раздела на нее падает электромагнитная волна частоты , которая, попав в не- линейную среду и генерирует волну на второй гармонике. Вол- новое уравнение, описывающее это процесс имеет вид (в систе- ме СГС): . 41 ,4 2 2 22 2 22 2 2 2 2 2 2 2 2 t P ct E vz E t P t E z E c (8.6) Решение этого уравнения для второй гармоники, следуя [33], ищем в виде суммы частного решения с правой частью и реше- ния однородного уравнения tzkiEtzkiEtzE 22exp)(2exp, 10 , (8.7) где ,222, cnkcnk вообще говоря 22 kk . На поверхности, в плоскости z=0, амплитуда второй гар- монике равна нулю. Тогда 2 2 2 2 2 2 010 2 4 2 ))(2(, P cv kEEE . (8.8) Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
- 54. 107 nn P nnn P nn P kk P E 22 22 2 22 22 0 2 2 2 2 4 22 24 (8.10) Подставляя это выражение в (13.8), получаем окончательно zkkie nn P trE tkzi )(2)2(exp1 2 , 2 )2( z c n ie nn P tkzi 2 exp1 2 2 )2( . (8.11) Рис.8.1. Зависимость амплитуды колебаний от расстояния до поверхности кристалла [33] Если мы находимся не слишком близко к линиям поглоще- ния, то коэффициент преломления изменяется не очень сильно, т.е. nn . Тогда формула (8.11) очень похожа на амплитуд- ную модуляцию – амплитуда колебаний зависит от расстояния до поверхности кристалла. (см. рис.8.1). Интенсивность излуче- ния на двойной частоте то нарастает то спадает., причем чем 0 10 20 30 40 50 60 70 0 20 40 60 80 100 1 0.5 0.25 0.1 I(z) z 108 меньше различия значений коэффициента преломления на ос- новной и удвоенной частотах тем длиннее период этих колеба- ний, тем больше интенсивность света на двойной частоте в мак- симуме этой зависимости. Поскольку интенсивность светового излучения пропорциональна квадрату модуля электрического поля световой волны имеем c nz n P c nz n P c nz c nz n P trI 2 2 2 )2( 2 2 )2( 2 2 2 2 )2( sin4 2 cos12 2 sin 2 cos1),( . (8.12) Таким образом, чем меньше различие в коэффициентах погло- щения – тем эффективнее можно преобразовывать излучение, соответствующим образом подбирая длину образца. Совсем здо- рово было бы, если бы различия в коэффициентах поглощения вообще отсутствовали 0n 2 2 2 )2( 0 4),( c zP trI n . (8.13) Интенсивность излучения на двойной частоте нарастает прямо пропорционально квадрату толщины образца. 8.3. Параметрическое преобразование и параметриче- ские генераторы света Когда изобрели первые лазеры, число линий, на которых по- лучалась генерация было очень ограничено, а хотелось иметь источники мощного когерентного излучения с плавно перестра- ивающейся длиной волны . Это удалось сделать с помощью па- Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
- 55. 109 раметрического преобразования –эффектаобратного сложению частот двух мощных волн. При параметрическом преобразовании один фотон с энергией превращается в два фотона, энергии которых удовлетворя- ют закону сохранения 21 . Преобразование проис- ходит наиболее эффективно, когда опять выполняется условие фазового синхронизма 21 kkk . Описать парамагнитное пре- образование на классическом языке не очень то легко. Исходно имеется мощная световая волна от лазера на частоте . Если в среде уже имеется волна на частоте 1 , то мощная волна и за- травочная преобразуются в излучение на частоте 2 . И наобо- рот слабая волна на частоте 2 совместно с мощной исходной волной преобразуются в свет на частоте 1 . Так они друг друга раскачивают и раскачивают. Если к тому же систему поместить в резонатор – то при удачном раскладе (большая мощность накачки, хорошие зеркала и т.п.) то получим параметрический генератор. Причем частоты вторичных волн можно изменять вращая нелинейный кристалл таким образом, что условие фазо- вого синхронизма будет выполняться для несколько различных частот [36]. Самофокусировка Возникает в меру зависимости от электрического поля свето- вой волны коэффициента преломления. 2 20 Ennn . Это эф- фект Керра в поле световой волны (высокочастотный эффект Керра). В линейной оптике световой пучок конечной ширины неот- вратимо размывается по мере распространения. Но световой пу- чок помещенный внутрь цилиндра с коэффициентом преломле- ния, большим, чем коэффициент окружающей среды при опре- деленных условиях оказывается захваченным таким волново- дом. Поле световой волны экспоненциально спадает по мере удаления от волновода. В простейшем случае такое происходит когда световая волна падает на границу раздела двух сред под углом большим угла полного внутреннего отражения. Но когда 110 длина волны сравнима с толщиной волновода, уже невозможно понять что такое угол падения и надо решать стандартную зада- чу теории поля. В нелинейном режиме световая волна большой интенсивно- сти сама увеличивает коэффициент преломления в области пуч- ка и тем самым создает канал по которому сама и распространя- ется. Ну а если ширина канала самопроизвольно сужается – мы имеем дело с самофокусировкой. Оценки можно провести используя представления об угле полного внутреннего отражения. 2 2000 arccos Ennn . Рис. 8.2. Ход луча в волноводе [33] Лучи, 0 отклоняются от оси пучка и в конце концов ухо- дят из канала (рис.13.2). Если же 0 То такие лучи отража- ются и уходят в пучок. Для пучка угол определяется ди- фракцией and 261.0 0 . Если d 0 пучок расплыва- ется. Если d 0 размер пучка сохраняется. – этот режим называется самоканалированием. Наконец при d 0 пучок начинается стягиваться [33]. Происходит самофокусировка. не- линейная среда действует как линза. 8.4. Четырехволновое смешивание Четырехволновое смешение) – нелинейный процесс, опре- деляемый электронной (керровской) нелинейностью, а именно, зависимостью показателя преломления от интенсивности. Четырехволновое смешение представляет собой нели- нейный процесс, при котором две плоские волны накачки, рас- a2 Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
- 56. 111 пространяющиеся навстречу другдругу, взаимодействуют в не- линейной среде с пробным полем, имеющим произвольное направление распространения по отношению к волнам накачки, и создают четвертую (выходную) волну. Характер нелинейной среды при четырехволновом смешении проявляется в нелиней- ной восприимчивости (3) . Две волны накачки и пробная волна связываются через (3) , создавая четвертую волну, которая про- порциональна комплексно сопряженной пробной волне [36]. Мощная волна накачки с частотой ω2 за счет ВКР генери- рует симметрично расположенные боковые полосы с частотами ω1 (стоксова, или сигнальная волна) и ω3 (антистоксова, или хо- лостая волна) (см. рис. 13.10). При достижении критической мощности излучения не- линейность волокна приводит к взаимодействию трех волн с ча- стотами ω1, ω2 и ω3 и появлению новой четвертой волны (ложно- го сигнала) на частоте, являющейся комбинацией трех других частот (рис. 13.11, 13.12). За счет четырехволнового смешения в оптоволоконной линии могут возникать нежелательные ложные сигналы в спек- тральном диапазоне передачи информации. Рис. 8.10. Генерация стоксовой ω1 и антистоксовой волны ω3 за счет вынужденного комбинационного рассеяния 112 Рис.8.11. Генерация новой волны за счет четырехволнового смешения Рис.8.12. Спектр стоксовых и антистоксовых линий четырехволнового смешения в одномодовом световоде [36] Четырехволновое смешение - главный источник пересечений и потерь в системах WDM. Взаимное влияние нескольких кана- лов друг на друга создает новые посторонние сигналы. В худ- шем случае равного расстояния между каналами большинство новых частот накладываются на существующие и вызывают ин- терференцию, в лучшем случае наблюдается уменьшение мощ- ности каналов WDM. Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
- 57. 113 Рассмотрим четыре непрерывныеоптические волны с часто- тами 1, 2, 3, и 4, линейно поляризованные вдоль оси X. Суммарное электрическое поле Е равно [23] сопр.компл.exp 2 1 4 1 4 1 tzki jj j j j j xEE (8.14) Наведенная нелинейная поляризация 3)3( 0нелР Е (8.15) может быть представлена в виде сопр.компл.exp 2 1 4 1 нел tzkiР jj j j xР (8.16) Нелинейные поляризации Рj для j=1…4 состоят из большого числа членов, включающих произведение трех напряженностей электрических полей. Так, Р4 выражается как ....})exp(*2)exp(2 2{ 4 3 321321 4 2 3 2 2 2 1 2 4 30 4 ii P xxx (8.17) где tzkkkk )()( 43214321 , (8.18) tzkkkk )_()_( 43214321 . (8.19) Первое слагаемое в (8.17) отвечает за эффекты фазовой самомо- дуляции и фазовой кроссмодуляции. Остальные члены – за че- тырехволновое смешение. Какие из них эффективно осуществ- ляют параметрическую связь волн – зависит от величины отно- сительной фазы между Е4 и Р4, равной и , и ее постоян- ства при распространении волн по световоду. Четырехволновое смешение становится значительным, когда относительная фаза 114 близка к /2, т. е. когда поляризация на частоте 4 опережает электрическое поле. Для этого требуется согласование, как ча- стот, так и волновых векторов (с учетом нелинейных эффектов). Последнее условие называют также согласованием фаз или фа- зовым синхронизмом [23]. В терминах квантовой механики четырехволновое смешение описывается как уничтожение фотонов одной частоты и рожде- ние фотонов другой частоты, причем сохраняются энергия и им- пульс. Второй член в правой части (8.17) соответствует случаю передачи энергии трех фотонов одному фотону частоты 3214 .Этот член отвечает за генерацию третьей гармоники (когда 321 ). Однако при таком процессе трудно обеспечить условие фазового синхронизма (закон сохра- нения импульса) и, следовательно, получить высокую эффек- тивность преобразования. Последний член в (8.17) соответствует случаю уничтожения двух фотонов с частотами 1 и 2 и одновременного рождения двух фотонов с частотами 3 и 4 , так что 4321 . Относительно легко обеспечить выполнение условия фазово- го синхронизма в случае частично вырожденного четырехволно- вого смешения, когда 21 .В этом случае мощная волна накачки с частотой 1 генерирует две симметрично располо- женные боковые полосы с частотами 3 и 4 , сдвинутыми от частоты накачки на величину с: 1431 c , (8.20) где для определенности 43 . Низкочастотную ( 3 ) и высокочастотную ( 4 )спектральные составляющие называют стоксовой и антистоксовой компонен- тами, соответственно. Стоксову и антистоксову волны называют также сигнальной и холостой волнами. Если в световод вводится только излучение накачки и выполняется согласование фаз, то генерация стоксовой и антистоксовой волн с частотами 3 и 4 Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
- 58. 115 может инициироваться шумами.С другой стороны, если в све- товод вместе с накачкой вводится слабый сигнал частоты 3 , то он усиливается, причем одновременно генерируется новая волна частоты 4 . Этот процесс называют параметрическим усилени- ем. Выводы В лекции рассматриваются нелинейные эффекты, к которым относятся нелинейное преломление (частным случаем которого является фазовая самомодуляция, фазовая кросс-модуляция, па- раметрическая модуляция, четырехволновое смешение (частным случаем которого является генерация третьей гармоники). Рас- сматриваются причины и условия возникновения нелинейно - оптических эффектов, а также влияние нелинейных эффектов на распространение электромагнитной волны. Вопросы и задания для самоконтроля 8.1.Что такое нелинейная среда? 8.2.Какие нелинейные эффекты вы можете назвать? 8.3.В чем заключается эффект Керра? 8.4.Что такое фазовый синхронизм? 8.5.Что такое параметрическая генерация? 8.6.Что такое четырехволновое смешение? 8.7.Как влияет четырехволновое смешение на распростране- ние сигнала в системах WDM? 116 Лекция 9 Тема 9. Применение фотонных кристаллов и гетероструктур 9.1. Квантовые микрорезонаторы Резонатор – колебательная система, в которой могут распро- страняться только колебания с определенными (резонансными) частотами. Обычно резонатор имеет дискретный спектр резо- нансных частот. В оптике обычно используются открытые резо- наторы. Резонатор может использоваться для накопления энер- гии при совпадении резонансной частоты и частоты падающей электромагнитной волны. Простейшим микрорезонатором является резонатор Фабри- Перо (рис. 15.1). Двумерные резонаторы на основе микродисков изображены на рис. 15.2. Рис. 9.1. Резонатор Фабри-Перо, состоящий из двух плоских зеркал Рис. 9.2. Двумерные микрорезонаторы (микродиски) [39] В качестве квантового микрорезонатора может использовать- ся одномерный фотонный кристалл с дефектом или брэгговски- Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
- 59. 117 ми зеркалами (рис.15.3). Рис.9.3. Квантовый микрорезонатор с брэгговскими зеркалами На рис. 15.4 изображена многослойная структура на основе фотонного кристалла при выполнении условия 4/2211 dndn . (9.1) Рис. 9.4. Одномерная слоистая структура Соответствующий спектр пропускания представлен на рисунке 15.5. Хорошо видно, что при выполнении условия Брэгга струк- тура демонстрирует фотонную запрещенную зону вблизи отн. частоты, равной единице (коэффициент пропускания равен ну- лю). 118 Рис. 9.5. Спектр пропускания структуры, изображенной на рис. 9.4. На рис. 15.6 изображена та же одномерная слоистая структура с дефектом в виде нарушенной периодичности при выполнении условия 2/nd . (9.2) Рис. 9.7. Квантовый микрорезонатор с брэгговскими зеркалами При нарушении периодичности такая структура работает как квантовый микрорезонатор. Соответствующий спектр пропуска- ния изображен на рис. 9.8. Хорошо видно, что в зоне непропус- кания в результате нарушения периодичности возникает новая узкая резонансная частота, на которой возможно пропускание и накопление энергии. Следует отметить, что в том случае, когда толщина слоев од- Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
- 60. 119 номерной периодической структурыбудет мала, то слои будут представлять собой квантовые ямы. В таком случае необходимо учитывать влияние квантово-размерных эффектов (см. лекцию 4). Рис. 9.8. Спектр пропускании квантового резонатора, изобра- женного на рис. 9.7 Использование экситонных уровней энергии Естественным путем для усиления взаимодействия света с веществом является настройка на резонансные условия возбуж- дения и учет дополнительных уровней размерного квантова- ния, появляющихся при возникновении экситонов в квантовой яме. Микрорезонаторы со встроенной квантовой ямой, или квантовые микрорезонаторы, являются перспективными устрой- ствами для оптоэлектроники: эти структуры перспективны для создания низкопорого- вых вертикально излучающих лазеров, фундаментальные вопросы взаимодействия двумерных фотонов с веществом открыли новый раздел в кванто- вой электродинамике, квантовые микрорезонаторы представляют новые воз- можности для нелинейной оптики, так как нелинейный отклик сильнее зависит от константы экситон-фотонной 120 связи. Рис. 9.9. Схематическое изображение полупроводникового кван- тового микрорезонатора [39] Рассмотрим более подробно полупроводниковый микрорезо- натор. Он представляет собой многослойную структуру, состо- ящую из активного слоя B толщиной Lb, заключенного между брэгговскими зеркалами (рис. 9.9) [39]. Брэгговские зеркала со- стоят из достаточно большого числа чередующихся слоев C1 и C2 с различающимися показателями преломления n1 и n2 и ширинами d1, d2. Толщины слоев удовлетворяют условиям , 2 , 2211 d c nd c n NL c n bbb (9.2) где nb - показатель преломления активного слоя, Nb – целое чис- ло, λ = 2π(c/ωnb), ω – произвольно выбираемая частота, кото- рая при выполнении условий (15.2) оказывается резонансной частотой 2D-фотонной моды. В квантовом микрорезонаторе в середину активной области помещается одна или несколько квантовых ям (слой A на рис.9.9) с резонансной частотой экси- тона ω0, близкой к частоте ω. Для простоты предположим, что структура содержит одну квантовую яму и Nb – четное число, Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
- 61. 121 так что электрическоеполе фотонной моды имеет пучность в середине активного слоя. Наличие экситонных и фотонных состояний в квантовом микрорезонаторе приводит к образованию 2D-экситонных по- ляритонов. Анализ таких связанных экситон-фотонных возбуж- дений проведем в соответствии с работой [39] модели двух классических осцилляторов, один из которых представляет экси- тон в квантовой яме, а другой - фотонную моду. Роль колеблю- щихся величин играют средняя поляризация ),()( 1 tzdzPatP exc , индуцируемая 2D-экситоном, и электри- ческое поле E(t) в квантовой яме. В пределах тонкого слоя квантовой ямы зависимостью электрического поля от z можно пренебречь. P(t) и E(t) удовлетворяют стандартной системе уравнений для связанных осцилляторов ),( )( 2)( )( ),( )( 2)( )( 2 2 2 2 1 2 02 2 tPq dt tdE tE dt tEd tEq dt tdP tP dt tPd (9.3) где Γ, γ – нерадиационное затухание 2D-экситона и затухание фотонной моды, которое определяется неидеальной отражатель- ной способностью зеркал, обусловленной конечностью числа пар C1 и C2 в распределенных брэгговских отражателях. Соб- ственные решения ищем в виде экспоненциальных функций P(t) = P exp(- i ω t), E(t) = E exp(- i ω t). Если затухания Γ, γ и раз- ность затравочных резонансных частот ω0 - ω малы по сравне- нию с самими этими частотами, система уравнений для ампли- туд упрощается: . , 2 10 PEi EPi (9.4) Введем вместо q1 и q2 другие параметры qj /2ω . Для них, а так- же для затухания γ можно получить аналитические выражения 122 qa 2 ,, 21 0 , (9.5) ,, 1 jb c q , )( 2 ,)1( 8 1 bb njj LLn c R 12 21 2 2 2 1 ,41 nn nn n c L n n n n R b N b j nj b . Поясним физический смысл введенных параметров: γ j – затуха- ние фотонной моды, обусловленное выходом фотона из микро- резонатора в левую (j=l) или правую (j=r) внешнюю среду с диэлектрической проницаемостью nj; Γ0 –радиационное затуха- ние экситона в структуре с одиночной квантовой ямой, Rmj – ко- эффициент отражения света от брэгговского зеркала j при паде- нии на него со стороны активного слоя, Nj – число пар слоев C1 и C2 в этом зеркале, длина L определяетглубину проникнове- ния фотонной моды в брэгговский отражатель. Решая однородные уравнения (15.4), получим следующие комплексные собственные частоты экситон-поляритонных мод: 2 21 00 4 1 2 1 ii . (9.6) Проанализируем случай, когда частота фотонной моды ω настроена на резонанс с экситонной частотой: ω = ω0. В ре- жиме слабой связи, определяемом условием 21 2 4 , имеем для собственных частот Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
- 62. 123 21 2 2 , 2 ii , (9.7) то есть их реальные части совпадают, а мнимые различаются. В режиме сильной связи, когда 21 2 4 , у собственных частот различаются вещественные части: 21 2 2 , 2 i . (9.8) В этом случае разность ω+ −ω− = 2Ω называется частотой Раби. Отметим, что обычные структуры с изолированными кванто- выми ямами являются открытыми системами, в которых 2D- возбуждения, экситоны, взаимодействуют с 3D-фотонами и экситон-фотонное взаимодействие приводит в основном к ради- ационному затуханию экситона. В квантовом микрорезонаторе с качественными оптическими зеркалами как экситонные, так и фотонные состояния размерноквантованы в направлении главной оси структуры. Поэтому в этом случае возможна сильная перенормировка энергии исходных («голых») частиц. В реальных полупроводниковых квантовых резонаторах расщеп- ление Раби составляет несколько миллиэлектронвольт, а в некоторых случаях даже превышает 10 мэВ. Рис.9.10. Спектр оптического отражения от квантового микроре- зонатора с активной областью шириной λ , в центр которой вставлена квантовая яма [39] 124 Для иллюстрации режима сильной связи на рис. 15.10 представ- лен спектр отражения от квантового микрорезонатора, в ко- тором брэгговские зеркала выращены из чередующихся слоев AlAs (n1=2.95) и GaAs (n2=3.61), активная область шириной λ – из GaAs, одиночная квантовая яма In0.04Ga0.96As расположена в центре активного слоя, резонансные частоты ω и ω0 совпа- дают. Свет на структуру падает по нормали к плоскости ин- терфейсов. В спектре четко различимы два минимума, опреде- ляющие положение собственных частот 2D-экситонных поля- ритонов ω±. Расщепление Раби составляет 3 мэВ и существенно превышает ширину спектральных провалов ω+ и ω− . 9.2. Гетероструктуры с квантовыми ямами Рассмотрим вопрос об энергетическом спектре 2D газа на примере гетероструктуры GaAs/InxGa1-xAs с одной квантовой ямой, образованной путём встраивания тонкой (~110 нм) про- слойки твердого раствора InxGa1-xAs в относительно более тол- стый (~1 мкм) слой GaAs [12]. Поскольку ширина запрещенной зоны твердого раствора InxGa1-xAs Eg(x) меньше ширины запре- щенной зоны GaAs (Eg01.426 эВ) и на границе этих материалов образуется гетеропереход так называемого «охватывающего» типа. Разрывы зоны проводимости Ec(x) и образуют потенци- альную яму для электронов в направлении оси z, перпендикуляр- ной плоскости слоя (рис. 15.11). Если ширина ямы la сравнима с дебройлевской длиной волны электронов и дырок, размерное квантование z-компонента волнового вектора k и соответствую- щей компоненты энергии становится существенным. Будем сле- довать изложению, приведенному в работе [19]. Энергетический спектр электронов в яме Еn и огибающая вол- новая функция n(z) находятся из одноэлектронного уравнения Шредингера )()()( 2 2 22 zEzzE zm nnnc e , (9.9) Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
- 63. 125 где me -эффективная масса электронов, функция Ec(z) описывает профиль потенциальной ямы. В плоскости квантовой ямы движение электронов остается неограниченным. Поэтому об электронах в квантовой яме гово- рят как о двумерном электронном газе. Энергетический спектр x- и y-компонент энергии 2D газа является квазинепрерывным, как и в трехмерном материале. GaAsGaAs InxGa1-xAs Ee2 Ee1 0 Ec(x )_ Eg 3D (x) Eg 2D (x) Eg0 Ev(x ) Lz 0 Ehh1 Ehh2 Ehh3 Ev Ev0 Ec0 Ec Рис. 9.11. Энергетическая диаграмма квантовой ямы InGaAs в GaAs В приближении квадратичного закона дисперсии (параболи- ческих зон) полная энергия электрона в квантовой яме может быть записана в виде: la ) ) 126 nyx e Ekk m E 22 2 2 . (9.10) Для простейшего случая прямоугольной потенциальной ямы с бесконечно высокими стенками En= Ee1n2 , (9.11) 2 22 1 2 ae e lm E . (9.12) Огибающие волновые функции двух связанных состояний и со- стояния в непрерывном спектре показаны на рис 9.12. Рис. 9.12 Огибающие волновые функции электронов в квантовой яме [19] Коэффициент поглощения квантовой ямы, определяемый как отношение поглощенной мощности излучения к падающей, для переходов из заполненного основного состояния 1 с концен- трацией N2D в первое пустое возбужденное состояние 2 опре- деляется выражением: Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
- 64. 127 )()2,1(cos 2 212 22 2 hNv c q a D , (9.13) где θ – угол между направлением электрического поля электро- магнитной волны E и единичным вектором по оси z ez, )2,1(v - матричный элемент перехода. Из (15.3) следует, что при внутри- зонных переходах, в отличие от межзонных переходов, кванто- вая яма не поглощает излучение, падающее по нормали к плос- кости ямы. Поскольку освещение образца через боковой скол малоэффективно, то обычно в таких приборах ввод излучения осуществляется под углом к плоскости квантовой ямы через ям- ки травления. Пик межподзонного поглощения имеет конечную ширину. Величина поглощения в пике для одной квантовой ямы может достигать нескольких процентов. Выводы В лекции рассматриваются вопросы использования кван- товых микрорезонаторов на основе одномерного фотонного кри- сталла с квантовой ямой, рассматривается учет внутризонных переходов в квантовой яме, а также учет наличия экситонных уровней энергии. Вопросы и задания для самоконтроля 9.1.Что такое резонатор? Какие типы микрорезонаторов Вы можете назвать? 9.2.Что такое зеркало Брэгга? 9.3.Что такое квантовый микрорезонатор? 9.4.Как влияют экситонные уровни энергии на спектр кван- тового микрорезонатора? 9.5.Что такое режим сильной и слабой связи? 128 Ответы на вопросы и задания для самоконтроля 1.10. Уменьшится в 3 раза 1.11. в 1000 раз. 1.12. При попадании частицы в потенциальное поле в соответствии с законом сохранения энергии часть кинетической энергии части- цы перейдет в потенциальную. Следовательно, длина волны де- Бройля частицы изменится. 2.12. В электронном микроскопе для создания изображения исполь- зуются электроны, ускоряемые напряжением до U=400 кВ. Найдем длину волны де-Бройля такого электрона. кинEm h 2 бр . Кинетическая энергия электрона qUE кин , где U – ускоряю- щее напряжение. Проведем расчет: Екин=1,610-19 Кл400000 В=6,410-14 Дж. Длина волны де-Бройля: .1094,1 104,6109,12 сДж1062,6 12 1431- 34 бр м Джкг Длина волны видимого света =310-7 м. Таким образом, разрешающая способность электронного микро- скопа превышает разрешающую способность обычного оптиче- ского микроскопа приблизительно в Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
- 65. 129 5105,1 бр раз. 3.7. Предложенная взадаче солнечная батарея является действую- щей и предложена в статье Gur I., Fromer N.A., Geier M.L., Alivisatos A.P. Air-Stable All-Inorganic Nanocrystal Solar Cells Processed from Solution // Science. 2005. V. 310, P. 462-465. Меха- низм работы солнечной батареи на квантовых точках относится к так называемому донорно-акцепторному типу, когда на энер- гетической диаграмме нижний незаполненный уровень донор- ной молекулы (или квантоворазмерный уровень в зоне проводи- мости квантовой точки CdTe) лежит выше по энергии (относи- тельно вакуума) по отношению к соответсвующему уровню ак- цепторной молекулы (квантовой точки CdSe). Для верхнего за- полненного уровня (или квантоворазменого уровня в валентной зоне) ситуация обратная. (рис.1) Рис. 1. 130 ФотоЭДС будет возникать за счет разного энергетического положения соответствующих квантоворазмерных уровней для зоны проводимости или для валентной зоны квантовых точек CdTe и CdSe. Для объемных CdTe и CdSe сродство к электрону, определяющее положение края зоны проводимости, равно 4.2 и 4.8 эВ соответственно. Разное энергетическое положение уров- ней приведет к пространственному разделению фотовозбужден- ных носителей заряда. Необходимо отметить отличие от стан- дартных солнечных батарей на полупроводниковых p-n перехо- дах, в которых есть встроенное электрическое поле в области p-n перехода. В рассмотренной батарее на квантовых точках такого поля изначально нет. Фотовозбужденные электроны будут переходить в слой квантовых точек CdSe, где они имеют меньшую энергию, фото- возбужденные дырки – в слой CdTe. Соответственно за транс- порт электронов будет отвечать слой квантовых точек CdSe, за транспорт дырок – слой CdTe. Рис. 2. Другими материалами могут быть полупроводники с раз- личным сродством к электрону, которое определяет разность энергий квантоворазмерных уровней в зоне проводимости. Раз- рыв краев зон в зоне проводимости должен иметь такой же знак (рис. 2). К таким материалам относятся CdS-CdTe (сродство к электрону 4.7 и 4.2 эВ), CdS-ZnSe (4.7 и 4.0 эВ). Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
- 66. 131 b. Для созданиясолнечных батарей привлекательны следующие свойства коллоидных квантовых точек: возможность контроля эффективной ширины запрещенной зоны, т.е. возможность под- стройки спектральных характеристик квантовых точек при варь- ировании размера под требуемые длины волн; высокая фотоста- бильность, свойственная неорганическим материалам; раство- римость с образованием золей, что позволяет легко манипулиро- вать квантовыми точками. В работах Климова из Лос-Аламоса указывается также возможность мультипликации фотовозбуж- денных электрон-дырочных пар в квантовых точках, т.е. когда 1 фотон с высокой энергией рождает более 1 электрон-дырочной пары. Стабилизатор пассивирует поверхностные дефекты в кван- товых точек, препятствует их агрегации и делает квантовые точ- ки растворимыми. Как правило стабилизаторы – это длинноце- почечные органические молекулы, одним концом привязанные к поверхности квантовой точки, например, олеиновая кислота, триоктилфосфиноксид. Для солнечной батареи стабилизатор должен быть кортко- цепочечным, чтобы обеспечить минимальное расстояние между квантовыми точками в слое, и обеспечить возможность транс- порта электронов и дырок по прыжковому механизму. Напри- мер, пиридин, бутиламин. c. Длину волны максимума излучения солнца можно рассчи- тать по формуле Вина для излучения абсолютно черного тела l(мкм) = 2898/Т(К) – 0.483 мкм = 483 нм, что несколько отлича- ется от реального максимума 560 нм (можно принять решения и тех кто даст расчеты для 560 нм!). Энергия фотона с длиной волны 483 нм при этом равна 2.56 эВ. Для приведенных значений ширин запрещенной зоны и эффек- тивных масс получаем для CdSe (3) , таким образом R(CdSe)= 2.2 нм для CdTe (4), таким образом R(CdTe)= 1.9 нм 132 Здесь me, mh – эффективные массы электрона и дырки, Eg- ши- рина запрещенной зоны объемного материала, R – радиус кван- товой точки. Источник: http://www.nanometer.ru/2008/05/05/12099912322047.html 6.5. Рэлеевским рассеянием. Интенсивность Рэлеевского рассеяния обратно пропорциональна длине волны в четвертой степени: 4 1 ~ I . Синие лучи имеют меньшую длину волны по сравнению с дру- гими спектральными составляющими и, следовательно, рассеи- ваются лучше других составляющих, что и приводит к окраске неба в голубой цвет. Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
- 67. 133 Список литературы 1. BandyopadhyayA., Acharya S. A 16-bit parallel processing in a molecular assembly // Proceedings of the National Academy of Sciences. – 2008. -V. 105. -N. 10. -P. 3668– 3672. 2. Benisty H., Berger V., Gerard J.-M., Maystre D., Tch- elnokov A. Photonic Crystals. N.-Y.: Springer. 2005. 520 p. 3. Gaponenko S.V. Optical properties of semiconductor nano- crystals. Cambridge: Cambridge University Press. 2008. 260 p. 4. Hu X.H., Hang Z.H., Li J.S., Zi J., Chan C.T. Anomalous Doppler effects in phononic band gaps // Physical Review E. 2006. V. 73 (1). P. 015602- 015607.. 5. Joannopoulos J. D., G.Johnson S., Winn J. N., Meade R. D. Photonic Crystals: Molding the Flow of Light. Princeton: Princeton Univ. Press. 2008. 480 p. 6. Nozaki K., Kita S., Baba T. Room temperature continuous wave operation and controlled spontaneous emission in ul- trasmall photonic crystal nanolaser // Optics Express. 2007. V. 15. Iss. 12. Р. 7506-7514. 7. Lončar M., Nedeljković D., Doll T., Vučković J., Scherer A., Pearsal T. P.. Waveguiding in planar photonic crystals // Appl. Phys. Lett. -2000. V. 77, P. 1937 -1940. 8. Patterson J.D., Bailey B. Solid-State Physics: Introduction to the Theory. New York.: Springer. 2011. 800 p. 9. Shur M. GaAs Devices and Circuits. New York: Plenum Press. 1997. 550 p. 10.Stafford C. A., Cardamone D. M., Mazumdar S. The quan- tum interference effect transistor // Nanotechnology. 2007. V.18. N. 42. P. 424014-424020. 11.Sze S. M., Ng Kwok K. Physics of Semiconductor Devic- es. 2006. New York.: Wiley. 832 p. 134 12.Vasko F. T., Kuznetsov A.V.. Electronic states and optical transitions in semiconductor heterostructures. New York: Springer. 1998. 360 p. 13.Wiersma D. S., Bartolini P., Lagendijk A., Righini R. . Lo- calization of light in a disordered medium // Nature. 1997. V. 390. P. 671-673. 14.Yablonovitch E.. Photonic band-gap structures // J. Opt. Soc. Am. B . 1993. V. 10, No. 2 Р.283-295. 15.Алферов Ж.И., Асеев А.Л., Гапонов С.В., Копьев П.С., Панов В.И., Полторацкий Э.А., Сибельдин Н.Н., Сурис Р.А. Наноматериалы и нанотехнологии // Микросистемная техника. 2003. № 8. С. 3 –13. 16.Барыбин А. А. Электродинамика волноведущих струк- тур. М.: Физматлит. 2007. 512 с. 17.Басс Ф.Г., Булгаков А.А., Тетервов А.П. Высокочастот- ные свойства полупроводников со сверхрешетками. М.: Наука. 1989. 288 с. 18.Белов П. А., Беспалов В. Г., Васильев В. Н., Козлов С. А., Павлов А. В., Симовский К. Р., Шполянский Ю. А. Оптические процессоры: достижения и новые идеи. В кн.: Проблемы когерентной и нелинейной оптики. СПб. 2006. С. 6 - 36. 19.Борздов В.М., Жевняк О.Г., Комаров Ф.Ф., Галенчик В.О. Моделирование методом Монте-Карло приборных структур интегральной электроники. Минск: БГУ. 2007. 17 с. 20.Васильев А.Н. Классическая электродинамика. Краткий курс лекций. СПб: БХВ-Петербург. 2010. -288 с. 21.Словарь нанотехнологических и связанных с нанотех- нологиями терминов. URL. http://thesaurus.rusnano.com/ (дата обращения 1.09.2013). Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
- 68. 135 22.Власов Д.В., ДайнекоА.Н., Фадеев А.В. Оптический процессор. URL. http://nashaucheba.ru/v20853/?cc=1 (да- та обращения 1.09.2013). 23.Воронин В.Г., Наний О.Е. Основы нелинейной воло- конной оптики : учебное пособие. М. : Университетская книга. 2011. 128 с. 24.Гуртов В. А., Осауленко Р. Н.. Физика твердого тела для инженеров. М.: Техносфера. 2007. 520 с. 25.Гусев А.И. Наноматериалы, наноструктуры, нанотехно- логии. М.: Физматлит. 2007. 416 с. 26. Мамонтов Д. Наука. Десять в минус девятой// Попу- лярная механика. 2009. № 4. С. 33-44. 27.Ивченко Л., Поддубный А.Н. Резонансные трёхмерные фотонные кристаллы // Физика твёрдого тела 2006 Т. 48. Вып. 3. С 540-547. 28.Кардона М. Основы физики полупроводников. М.: Физматлит. 2002. 560 с. 29.Карпов С.В. Фононы в нанокристаллах. СПб.: Из-во СПбГУ. 2011. 48 С. 30.Кособукин В. А. Фотонные кристаллы // Окно в микро- мир. No. 4. 2002. С.34-40. 31.Ковалевская Т.Е. Фотоника: словарь терминов. Новоси- бирск: Издательство СО РАН. 2004. 342 с. 32.Майер С. А. Плазмоника: Теория и приложения. М.- Ижевск: РХД. 2011. 296 с. 33.Меркулов И.А. Лекции по оптической физике. URL. www.ioffe.ru/coherent/index.html/Lectures/forwave.do c (дата обращения 1.09.2013). 34.Миронов В. Л. Основы сканирующей зондовой микро- скопии. Нижний Новгород: Институт физики микро- структур. 2004. 450 с. 136 35.Савельев И.В. Курс общей физики . Т.3. М.: КноРус. 2012. 368 с. 36.Скалли М.О., Зубайри М.С. Квантовая оптика. М.: Физ- матлит. 2003. 512 с. 37.Слабко В. В., Закарлюка А.В., Лямкина Н.Э.. Нелиней- ная оптика.: конспект лекций. Красноярск: ИПК СФУ. 2008. 104 с. 38.Словарь нанотехнологических и связанных с нанотех- нологиями терминов / под ред. С. В. Калюжного. М.: Физматлит. 2010. 528 с. 39.Федоров А.В. Физика и технология гетероструктур, оптика квантовых наноструктур. Учебное пособие. СПб: СПбГУ ИТМО., 2009. 195 с. 40.Физическая энциклопедия / гл. ред. А.М. Прохоров. Т.1- 5. 1988. 704 с. 41.Шабанов В.Ф., Ветров С.Я., Шабанов А.В. Оптика ре- альных фотонных кристаллов. Жидкокристаллические дефекты, неоднородности. Новосибирск: Издательство СО РАН. 2005. 209 с. Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
- 69. 137 Глоссарий Блоховская волна -волновая функция частицы (обычно элек- трона), находящейся в периодическом потенциале. Названа в честь Феликса Блоха. Блоховская волна состоит из произведе- ния плоской волны rkie на некоторую периодическую функ- цию (блоховская функция) uk(r), имеющую ту же периодич- ность, что и потенциал: )()( rr rk k i k ue . Гетероструктура - выращенная на подложке слоистая структура из различных полупроводников, в общем случае отличающихся шириной запрещённой зоны. Между двумя различными матери- алами формируется гетеропереход, на котором возможно фор- мирование вырожденного двумерного электронного газа. Гетеропереход - контакт двух различных по химическому со- ставу полупроводников. На границе гетероперехода происходит изменение свойств полупроводникового материала: структуры энергетических зон, ширины запрещённой зоны, эффективных масс носителей заряда, их подвижности и т. д. Для получения идеальных монокристаллических гетеропереходов(без дефектов решётки и поверхностных состояний на границе раздела) необ- ходимо, чтобы у полупроводников совпадали типы кристалличе- ских решёток, их периоды (изопериодичность) и коэффициенты термического расширения. Дисперсионное уравнение - соотношение, связывающее цикли- ческую частоту и волновые векторы k собственных гармони- ческих волн в линейных однородных системах: непрерывных средах, волноводах, передающих линиях и др. Квазичастица - понятие в квантовой механике, введение кото- рого позволяет существенно упростить описание сложных кван- товых систем со взаимодействием, таких как твердые тела и квантовые жидкости. Квазичастица - квант коллективного коле- бания или возмущения многочастичной системы, обладающий 138 определённой энергией и, как правило, импульсом. К квазича- стицам относятся электроны в кристалле, дырки, фононы, экси- тоны, плазмоны, поляритоны. Квантовая нить - структура в которой движение носителей ограничено по двум направлениям. Квантовая нить может быть выполнена из металла или полупроводника в виде нити или длинного стержня, поперечные размеры которого настолько ма- лы, чтобы квантовые эффекты были существенными (попереч- ные размеры должны быть сравнимы с длиной волны де-Бройля для электронов (дырок)). Квантовая точка (англ. quantum dot)- частица материала с ма- лыми размерами (обычно 1–10 нм), в которой движение элек- трона ограничено во всех трех измерениях. Квантовой точкой может служить любой достаточно маленький кусочек металла или полупроводника. Размер квантовой точки должен быть настолько мал, чтобы квантовые эффекты были существенными. Квантовая яма — это одномерная потенциальная яма, которая ограничивает подвижность частиц в одном измерении. Кванто- вой ямой может служить тонкий слой материала. Толщина квантовой ямы должна быть настолько мала, чтобы квантовые эффекты были существенными. Проявление квантовых эффек- тов становится существенным, если толщина квантовой ямы сравнима с длиной волны де-Бройля электронов (дырок). Квантовый конфайнмент – ограничение элементарных воз- буждений в квантово-размерных структурах (квантовых ямах, квантовых нитях, квантовых точках). Литография - технология переноса рисунка с шаблона на кон- кретную поверхность (полимерную пластину, полупроводнико- вую подложку и т.д.) с помощью светового излучения (фотоли- тография), рентгеновского излучения (рентгенолитография), по- тока электронов/ионов (электронно-лучевая/ионно-лучевая ли- тография), а также непосредственно методами сканирующей Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
- 70. 139 зондовой микроскопии, атомнойсиловой микроскопии или кон- тактной печати. Метаматериал - искусственный композитный структурирован- ный материал, электромагнитные свойства которого существен- но отличаются от свойств компонентов, входящих в его состав, и определяются особым упорядочением и структурой компонен- тов (кольцеподобной, рулонной, проводной и т. д.). Метод осаждения металлоорганических соединений из газообразной фазы MOCVD (Metalorganic Chemical Vapour Deposition) – эпитаксиальный рост материалов путем осаждения на подложку продуктов термического разложения (пиролиз) молекул органических газов, со- держащих необходимые химические элементы. Молекулярно-лучевая эпитаксия - эпитаксиальный рост в условиях сверхвысокого вакуума - наращивание на подложке монокристаллических слоев полупроводниковых веществ, за- ключающееся в осаждении испаренных компонентов на нагре- ваемую монокристаллическую подложку с одновременным вза- имодействием между ними. Позволяет выращивать гетерострук- туры заданной толщины с моноатомно гладкими гетерограница- ми и с заданным профилем легирования. Наноструктура - совокупность наноразмерных объектов ис- кусственного или естественного происхождения, свойства кото- рой определяются не только размером структурных элементов, но и их взаимным расположением в пространстве. Нанотрубка, углеродная - полая цилиндрическая структура диаметром от десятых до нескольких десятков нм и длиной от одного до нескольких сотен микрометров и более, образованная атомами углерода и представляющая собой свернутую в ци- линдр графеновую плоскость. Нанотрубки обладают уникаль- ными электрическими, магнитными, оптическими и механиче- 140 скими свойствами. В частности, УНТ на порядок прочнее стали. На основе нанотрубок создаются диоды и полевые транзисторы, сверхпрочные и сверхлегкие композиционныематериалы. Нано- трубки используются в качестве игл в сканирующей туннельной и атомно-силовой микроскопии, а также для создания полупро- водниковых гетероструктур. Наночастица - один из наиболее общих терминов для обозначе- ния изолированных ультрадисперсных объектов, во многом дуб- лирующий ранее известные термины (коллоидные частицы), но отличающийся от них чётко определёнными размерными грани- цами. Размеры наночастицы составляют от 1 до 100 нм. Твердые наночастицы размером менее 1 нм обычно относят к кластерам, более 100 нм — к субмикронным частицам. Плазменная частота - частота собственных продольных коле- баний пространственного заряда в однородной плазме (в элек- тронном газе) в отсутствие магнитного поля. Плазменная часто- та электронного газа в пренебрежении движением ионов равна *0 2 m en p . Здесь n -концентрация электронов, e - заряд, , m* - эффективная масса электронов. Выражение записано в системе СИ. Плазмон - квазичастица, квант плазменных колебаний, которые представляют собой коллективные колебания свободного элек- тронного газа. Плазмоны играют большую роль в оптических свойствах металлов. В большинстве металлов плазменная часто- та находится в ультрафиолетовой области спектра, делая их бле- стящими в видимом диапазоне. В легированных полупроводни- ках плазменная частота находится обычно в ультрафиолетовой области. Плазмонный резонанс - возбуждение поверхностного плазмона внешней электромагнитной волной при совпадении частоты волны с резонансной частотой для поверхностного плазмона. Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
- 71. 141 Резонансная частота поверхностногоплазмона зависит как от свойств Поляритон - квазичастица, возникающая при взаимодействии фотонов и элементарных возбуждений среды. Взаимодействие электромагнитных волн с возбуждениями среды, приводящее к их связи, становится особенно сильным, когда одновременно их частоты и волновые векторы k совпадают (резонанс). В этой области образуются связанные волны, то есть поляритоны. Поляритоны, образующиеся в результате взаимодействия фотонов с различными возбуждениями среды — оптическими фононами, экситонами, плазмонами и так далее, называют фо- нонными поляритонами, экситонными поляритонами, плазмон- поляритонами. Поверхностный плазмон – квант плазменных колебаний элек- тронной подсистемы. Возникает на границе раздела двух сред в том случае, когда диэлектрическая проницаемость одной из сред меняет свой знак ( например, на границе раздела металла и воз- духа). В случае взаимодействия поверхностного плазмона и фо- тона образуется составная квазичастица – поверхностный поля- ритон или плазмон-поляритон. Фонон – квазичастица, представляющая собой квант колеба- тельного движения атомов кристалла. Введен советским учёным Игорем Таммом. Фотонная запрещенная зона (полная фотонная запрещенная зона). Из-за того, что показатель преломления периодически из- меняется, в фотонном кристалле возникают разрешённые и за- прещённые зоны для энергий фотонов (аналогично запрещен- ным и разрешенным зонам для полупроводников). Существова- ние излучения с энергией фотонов, принадлежащей ФЗЗ в таких кристаллах, невозможно. В частности, излучение, спектр кото- рого принадлежит ФЗЗ, извне в ФК не проникает, существовать в нем не может и полностью отражается от границы. 142 Фотонный кристалл - это материал, в котором показатель пре- ломления периодически изменяется в одном, двух или трех про- странственных направлениях. Соответственно различают одно- мерные, двумерные и трехмерные фотонные кристаллы. Фотонные кристаллы демонстрируют наличие фотонной запрещенной зоны. Фотонно-кристаллическое волокно - это оптическое волокно, оболочка которого имеет структуру двумерного фотонного кри- сталла. По физическому механизму удержания света в сердце- вине волокна ФКВ можно разделить на два класса. Первый класс образуют ФКВ, локализация света в сердце- вине которых происходит благодаря зеркальному отражению от оболочки, обладающей фотонными запрещенными зонами (ФЗЗ). Особенно важно, что сердцевина ФКВ с ФЗЗ может быть полой, что позволяет на несколько порядков увеличить мощ- ность вводимого в них излучения, уменьшить потери и нелиней- ные эффекты. Механизм удержания света в ФКВ второго класса вполне традиционен для оптического волокна — полное внутреннее от- ражение. Однако в них используется новый принцип управления показателем преломления оболочки, основанный на его зависи- мости от структуры оболочки. Возможность управления показа- телем преломления оболочки позволяет создавать так называе- мые неограниченно одномодовые волокна. В них на любой длине волны распространяется только одна мода. Еще одна осо- бенность ФКВ — существование одномодового режима в волок- нах с большим диаметром сердцевины. Фоторезист - свето- или рентгеночувствительный материал на полимерной основе, используемый для нанесения пленочного покрытия на подложку в литографическом процессе путем его облучения (экспонирования) через маску с проекциями элемен- тов электронной схемы и последующего проявления (травления в растворителе) так, что изображение схемы переносится на подложку. Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
- 72. 143 Экситон - квазичастица,состоящая из электрона и дырки. Экси- тон представляет собой электронное возбуждение в диэлектрике или полупроводнике, мигрирующее по кристаллу и не связанное с переносом электрического заряда и массы. Экситон можно считать элементарной квазичастицей в тех явлениях, в которых он выступает как целое образование, не подвергающееся воздей- ствиям, способным его разрушить. Эпитаксия - это ориентированный рост одного кристалла на поверхности другого (подложки). Различают гетероэпитаксию, когда вещества подложки и нарастающего кристалла различны (процесс возможен только для химически не взаимодействую- щих веществ, например так изготавливают интегральные преоб- разователи со структурой кремний на сапфире), и гомоэпитак- сию, когда они одинаковы. Эпитаксия особенно легко осуществ- ляется, если различие постоянных решёток не превышает 10 %. Эффективная масса - динамическая масса частицы, которая появляется при движении частицы в периодическом потенциале кристалла. Можно показать, что электроны и дырки в кристалле двигаются в электрическом поле кристалла так, как если бы они свободно двигались в вакууме, но с некой эффективной массой. Эффективная масса находится по формуле, 1 2 2 2* dk d m где - энергия частицы, k – волновое число. Эффективную массу часто выражают единицах массы покоя электрона me 144 Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»