НЭО

1. Государственное бюджетное
общеобразовательное учреждение средняя
школа № 457 с углублённым изучением
английского языка
Выборгского района Санкт-Петербурга
Исследовательская работа
Работу выполнил Абрамов Максим, 9 Б
Руководитель Шумкова А. В.
Заместитель директора по НЭР
Санкт-Петербург
2014

2. Простые числа играют очень важную
роль в математике. Я считаю, что
исследований, посвященных
изучению закономерности
расположения простых чисел и их
свойств, недостаточно. Поэтому,
считаю свой исследовательский
проект актуальным.

3. Объект исследования:
 Простые числа
Предмет исследования:
 Закономерность расположения
простых чисел

4.  Нахождение простых
чисел через освоение
метода «Решето
Эратосфена»
 Исследовать свойства
простых чисел

5.  Изучить материал о простых числах
 Рассмотреть закономерность
расположения и свойства простых
чисел

6. Работа с научной литературой
и ресурсами Интернета;
Работа с методом «Решето
Эратосфена»;
Наблюдение, изучение,
обобщение, сравнение и
анализ.

7. Простое число - это натуральное число,
которое имеет только два делителя
(единицу и само это число).
Всякое составное число можно разложить на простые
множители. При любом способе получается одно и то
же разложение, если не учитывать порядка записи
множителей.
Составное число - это натуральное число,
которое имеет более двух делителей.
Решето Эратосфена — алгоритм нахождения всех
простых чисел до некоторого целого числа n,
который приписывают древнегреческому математику
Эратосфену Киренскому.
Число 1 имеет только один делитель: само
это число. Поэтому его не относят ни к
составным, ни к простым числам.

8. Греческий математик Эратосфен, живший более
чем за 2000 лет до н.э., составил первую таблицу
простых чисел. Эратосфен родился в городе
Кирене, получил образование в Александрии под
руководством Каллимаха и Лисания, в Афинах
слушал философов Аристона Хиосского и
Аркесилая, тесно сблизился со школой Платона.
В 246г. до н. э., после смерти Каллимаха, царь
Птолемей Эвергет вызвал Эратосфена из Афин и
поручил ему заведовать Александрийской
библиотекой. Эратосфен работал во многих
областях науки: филология, грамматика, история,
литература, математика, хронология, астрономия,
география и музыка.
Интерес древних математиков к простым
числам связан с тем, что любое число
либо простое, либо может быть
представлено в виде произведения
простых чисел, т.е. простые числа – это
как бы кирпичики, из которых строятся
остальные натуральные числа. Понятие
простого числа было введено
математиками Древней Греции. В Древней
Греции также установили бесконечность
множества простых чисел и понимали
факт единственности разложения на
простые множители.

9. Рассмотрим алгоритм более подробно, разбив его на
несколько частей. Итак, для поиска простых чисел
методом Решета Эратосфена нужно:
 Организовать список из чисел от 2 до N
 В свободную переменную R записать число
2
 Исключить все числа кратные R, начиная с R*2
 Записать в R следующее за R незачеркнутое
число
 Повторять действия, описанные в двух
предыдущих шагах, пока это возможно
2 3 4 5 6
7 8 9 10 11
12 13 14 15 16
17 18 19 20 21
22 23 24 25 26
27 28 29 30 31
32 33 34 35 N
Теперь все незачеркнутые числа в списке — простые.

10. Количество простых чисел до 1000: 168
 Простые числа от 2 до 100: 25 чисел (2, 3, 5, 7, 11,
Числа - палиндромы: 16 чисел (11,101, 131, 151, 181, 191, 313,
13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67,71,
353, 373, 73, 383, 79, 83, 727, 89, 757, 97)
787, 797, 919, 929).
Симметричные себе простые числа: 107 – 701, 113 – 311, 149
– 941,
157 – 751, 167 – 761, 179 – 971, 199 -991, 337- 733, 347 –
743,
359 – 953, 389 – 983, 709 – 907, 739 -937, 769 – 967 (14
пар)
Простые числа от 400 до 500: 17 чисел (401, 409, 419,
421,  Простые 431, 433, числа 439, от 443, 100 449, до 200: 457, 21 461, число 463, (467, 101, 103,
479, 487,
491, 107, 499)
109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163,
Простые 167, 173, числа 179, от 181, 500 191, до 193, 600: 197, 14 чисел 199)
(503, 509, 521,
523, 541, 547, 557, 563, 569, 571, 577, 587, 593, 599)
Простые числа от 600 до 700: 16 чисел (601, 607, 613,
617, 619, 631, 641, 643, 647, 653, 659, 661, 673, 677, 683,
691)
Простые числа от 700 до 800: 14 чисел (701,709, 719,
727, 733, 739, 743, 751, 757, 761, 769, 773, 787, 797)
Простые числа от 800 до 900: 15 чисел (809, 811, 821, 823,
827, 829, 839, 853, 857, 859, 863, 877, 881, 883, 887)
Простые числа от 900 до 1000: 14 чисел (907, 911, 919, 929,
937, 941, 947, 953, 967, 971, 977, 983, 991, 997)
 Простые числа от 200 до 300: 16 чисел (211, 223,
227, 229, 233, 239, 241, 251, 257, 263, 269, 271, 277,
281, 283, 293)
 Простые числа от 300 до 400: 16 чисел (307, 311,
313, 317, 331, 337, 347, 349, 353, 359, 367, 373, 379,
383, 389, 397)
Вывод: количество простых чисел постепенно
уменьшается.

11. Существуют различные свойства простых чисел. Часть из них
доказана, другая – нет, какие-то существуют в статусе
предположений. Среди основных доказанных свойств выделим
следующие:
Недоказанные свойства простых чисел:
 Любое чётное число можно выразить в виде суммы двух
 Множество простых чисел бесконечно;
простых чисел;
 Любое большое нечётное число можно представить в виде
 Среди простых делителей составного числа есть хотя бы один,
суммы трёх простых нечётных чисел;
квадрат которого меньше или равен данному составному числу;
 Любые большие чётные числа можно представить в виде
суммы четырёх простых чётных чисел;
 Все натуральные числа можно представить в виде суммы
 Любое чётное число можно представить в виде разности двух
двадцати простых слагаемых;
простых чисел.
 «Малая теорема Ферма»: если p – простое число, такое что число
n на него не делится, то число np – 1 – 1 всегда делится на p.

12. В турбинах моторов число
лопаток ротора и статора надо
выбирать таким образом, чтобы
отношение их количества
составляло простые числа.
Простые числа (которые
делятся только на два других
простых числа) - лежат в основе
системы криптографии,
известной как RSA.
Древнегреческий учёный Евклид в
своей книге, являвшейся основным
учебником математики на протяжении
двух тысяч лет, доказал, что простых
чисел бесконечное множество. Отсюда
следует, что самого большого простого
числа не существует, так как количество
простых чисел бесконечно.