囚人の帽子の問題とハミング符号

1. 死にたくない
@joisino_

2. 囚人の帽子の問題とハミング符号
@joisino_

3. 問題
囚人がN(= 2n−1
)人いる
囚人は白帽か赤帽をかぶっている
自分の帽子の色は分からないが、他人の帽子の
色は全てわかる
各人は同時に自分の色を言うか何も言わない

4. 問題
● 1人以上が発言し、発言した人全員が正解→勝
利
● 全員沈黙、または一人でも間違う→死
生存確率が高くなるような作戦を求める

5. 例
赤白
→勝利

6. 例
白白赤
→死

7. N = 3 のとき

8. 方針 : 全列挙

9. 方針 : 全列挙
● 囚人から見たパターンは2通り(他の人の色が同
じ、異なる)
● 作戦は全6通り
● この作戦を帽子の全パターンについて試す

10. 方針 : 全列挙
帽子の色の全パターンは以下の8通り
● (白、白、白)
● (白、白、赤)
● (白、赤、白)
● (白、赤、赤)
● (赤、白、白)
● (赤、白、赤)
● (赤、赤、白)
● (赤、赤、赤)

11. 答え
他の人が同じ色のときは違う色を言う。
違う色のときは黙る

12. 答え
赤赤赤
→死
勝利:0
死:1

13. 答え
→勝利
赤
勝利:1
死:1

14. 答え
赤
→勝利
勝利:2
死:1

15. 答え
→勝利
白
勝利:3
死:1

16. 答え
→勝利
赤
勝利:4
死:1

17. 答え
白
→勝利
勝利:5
死:1

18. 答え
→勝利
白
勝利:6
死:1

19. 答え
白白白
→死
勝利:6
死:2

20. 答え
8パターン中6パターン勝利(75パーセント)
何故良いか?
→各人が当てられる確率は50パーセントだ
が、皆が間違うパターンが集中している

21. 答え
白白白
→死

22. N = 7 のとき

23. N = 7 のとき
帽子のパターンは128通り、作戦のパターンは
18通り
囚人にコンピュータは与えられない
– 全列挙は難しい

24. 方針1 : 妥協

25. 方針1 : 妥協
3人選んでN = 3のときの方針をとる
他の4人は黙らせる

26. 方針1 : 妥協
赤

27. 方針1 : 妥協
勝利確率はN = 3のときと同じで75パーセント
利点 : 楽
難点 : 命を粗末にするのはダメ

28. 方針2 : ハミング符号

29. 2元ハミング符号
H7
2元ハミング符号 H7
とは？
誤り訂正符号の1つ
– 送りたい情報にノイズが混入しても訂正できるよう
な符号
3つの集合A,B,Cに対するベン図を使う
それぞれの集合は1,10,100(2進数)を表す

30. 2元ハミング符号
B
C
A
H7
u1
u2 u3
u6
u4
u5
u7

31. 2元ハミング符号
H7
使い方
4ビットの情報( a1, a2, a3, a4
)を送る
ビットをベン図の u3 , u5 , u6 , u7
に割り当てる
それぞれの集合に属するビットの和が0になるよう
に残りのビットを決める

32. 2元ハミング符号
例) = 1 , = 0 , = 1 , = 1
B
C
0 1
1
0 1
0
1
A
符号) 0110011
H7
a1 a2 a3 a4

33. 2元ハミング符号
符号) 0110011 が 符号) 0100011 になってしまった
B
C
0 1
0
0 1
0
1
A
H7

34. 2元ハミング符号
B
H7
C
0 1
0
0 1
0
1
A
A : 0 + 0 + 1 + 0 = 1(おかしい)

35. 2元ハミング符号
B
H7
C
0 1
0
0 1
0
1
A
B : 1 + 1 + 1 + 0 = 1(おかしい)

36. 2元ハミング符号
B
H7
C
0 1
0
0 1
0
1
A
A : 0 + 0 + 1 + 1 = 0(ただしい)

37. 2元ハミング符号
A : おかしい
B : おかしい
C : ただしい
H7
→間違いはA , Bに属していて、Cに属していない
→間違いは
u3

38. 2元ハミング符号
H7
誤り訂正符号としての問題点
2つ以上の間違いが混入したら修正できない
符号) 0110011 が 符号) 0100111 になってしまった
→0100101と修正してしまう

39. 答え
囚人に番号をつけておく
白帽を0,赤帽を1としてビット列をつくる
● 自分のビットを決めてハミング符号語にできるな
ら、ハミング符号語にならないように帽子の色を言
う
● ハミング符号語にできないなら何も言わない

40. 答え
全員何も言わない
– 任意の7ビット列は1ビット変更してハミング符号語にで
きるのであり得ない
間違える
– 帽子のビット列がハミング符号語のとき
– 4ビットの送る情報それぞれに1つハミング符号語があ
るので16通り
全員正解する
– それ以外の128-16=112通り
勝利確率は 112/128 (87.5パーセント)

41. ハミング符号作戦が最適である証明
ある作戦においてその作戦で勝利したとき、1人
以上が帽子の色を発言している
赤

42. ハミング符号作戦が最適である証明
もし、他の人の帽子の色が同じで、自分の帽子
の色が変わった場合、死
(自分では変わっても区別できないから)
赤

43. ハミング符号作戦が最適である証明
つまり、作戦が成功する帽子のビット列に隣接
するビット列で、失敗するビット列が存在する
成功したビット列で、発言した1人のビットを変更
すると構成できる
(隣接: 0110011 と 0100011 など)

44. ハミング符号作戦が最適である証明
失敗するビット列の集合をFとすると、Fの元xを
中心とする半径1の球B={y∈ Z2
7
| yはxに隣接し
ているまたはy = x}の和は全ての7ビット列を覆
う必要がある
覆われていない元zがあるとすると、zのとき作
戦が成功し、zに隣接する元で失敗する元が存
在しないことになるから矛盾

45. ハミング符号作戦が最適である証明
|B| = 8 なので
8|F| ≧ 2^7
|F| ≧ 16
失敗するビット列は16個以上
よって H 7 による作戦が最適となる

46. 一般( N = 2 n )の場合−1

47. 一般( N=2n−1
)の場合
2元ハミング符号による作戦が最適であることが
N = 7と同様に示せる(省略)

48. 一般( N=2n−1
)の場合
H2n−1 2n−1−n
2元ハミング符号 が伝える情報は
ビットなので失敗するパターン(ハミング符号語
の数)は 22n−1−n
通り。
帽子のパターンは 通り
勝利確率は
22n−1
1−22n−1−n
2n= N
22n−1 =1− 1
N+1
Nが大きくなると勝利確率は限りなく1に近づく

49. まとめ
人数が多いほうが死なない
符号理論を知っている方が死なない

50. ご清聴ありがとうございました