1. КОМПЛЕКСНІ ЧИСЛА,
ЯК РОЗШИРЕНЯ МНОЖИНИ ДІЙСНИХ
ЧИСЕЛ

2. •
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
Зміст
І Вступ
ІІ Основна частина
2.1 Уявна одиниця. Означення комплексного числа.
2.2 Двовимірність комплексного числа.
Геометрична інтерпретація.
2.3 Тригонометрична форма запису комплексного
числа
Модуль числа.
Аргумент.
Тригонометрична форма.
2.4 Дії над комплексними числами.
2.5 Спряжені комплексні числа.
2.6 Застосування комплексних чисел.
ІІІ Висновки
ІV Список використаних джерел інформації

3. Обчислити:
64
256
144
6,25
− 900

4. Уявна
одиниця
i – початкова буква французького слова
imaginaire – «уявний»

5. Наприклад,
36== 36 ⋅(( 1 )
−
=−−3636 ⋅36⋅−−11)===36 ⋅⋅36
( − ) 36 −
⋅ − −36 6i 1 = 6
=(−(111)== ⋅36 ⋅⋅−−−11==i6ii
36 ⋅ ) = 36
6

6. Множина дійсних чисел
Множину дійсних чисел можна подати у
вигляді числової прямої

7. Множина комплексних чисел
• Простір комплексних чисел

8. 2 ;
−i432i==−=231i−i21i==(−i1⋅1)==−−2;i22i2; = −(−
1= =1;i = (− −))ii== 2−i2;
i i3 ;
3 i3
ii44 = −31; = −1ii i−
1
33 = 2
i4 2
(
4 = 2 ii =i−i⋅⋅ii = i−i2 = ; − − 1
ii3344= 2ii33i2 = (−iii1)iii= −iiii;=2−=1;−(((−1
= −−1⋅) = −i=; = − (−1
(− ⋅ = − 2 −1 − −
− =− =
3= i
iii3i34===iii3i=iii((==1−)i1i)=i⋅ =−i=i;−i2 = −(−
3i
==i2i3=3 = (1) i = − −;; 2 22
− =−
iii54 =4=ii2i4i==−−−i))⋅ii⋅i===i−;−i = = (−(1) 1
−−1i i i− ii;i − − − =
24 i i
i4 = i43i−(=)− ⋅⋅i −i−22 i= −(−1)
iii5554i===34i4ii=⋅=(1−1i⋅i=i==−ii3i;3i===i22i−=((−−11
=ii(⋅ i== 1⋅⋅iii = i;;; 2 = i−( −1
=
4i = i 4 ⋅i = i
3 = 1
i4555=4 33 44 i =i1 = −i
= (1
−
= i ⋅⋅ i − 1 ⋅ i = ii;
−
4 = i 3 i = 1⋅ i = 2 ;
2
2
ii455=i5 ==3i4=4i−=ii=ii ⋅=i ⋅=−i−==i=;−−(−−11))= 1;;
iiii54 ==iiiiii5i==ii−=−⋅⋅1i⋅1ii==i22i2;=−− ((−1)1))==11;
i i ⋅⋅ i ii=i = i = (
⋅ ⋅ −
i == 3 4 = ⋅−−=⋅1==−−iii ;=2 −(−−1 = 1;
3 i = = i ⋅ i = 1 ⋅ i = i4;4 33
65 = 54
6i = i45 ⋅i ⋅= i ⋅ i−i i2 = −1; 1
5 =5 i
4
iii55666=5 4i4i 5554⋅ii =i1=ii = iii;;2i222==i−i1(;−−ii⋅ ⋅i
− = 1⋅⋅ = 2 = i−== −
= ;
6 =
ii56 = =i i ⋅⋅⋅⋅ii =1iii⋅⋅ii = ii = −1;;
i⋅ = i= = i−1
i 6 =i6 i=i i5i = 1=⋅= i ⋅i;i; = 22 = 1
= = ;=
iiii5i66i==ii=4⋅5⋅iii5=⋅iii=⋅=ii⋅=⋅i⋅i==i 2ii2 = 1;1;;
1 ⋅iii i= ii;;=i = = −
5
4⋅
76 = 6 ⋅ i = 1
5
47 ==ii56 ⋅ i⋅ = ⋅ =
6 = 6 ⋅=1
6
5
5
225 − 44 1
2
7 6 65
7
= ⋅− i ) = −⋅i
⋅− 2
i = =1 i
iii667i7==i=5i=ii661i⋅i=⋅=((=(−12=))i⋅i⋅=−i=;=;−i1⋅;;i;==11⋅ ⋅i
⋅=7=i5=i5⋅66⋅⋅⋅i=ii=iiii(⋅=−i1);=⋅⋅⋅ii −=;=i−i1;
i iiii ⋅=⋅i =⋅ii =ii=1i)2= i−1= −i;i;
7i
i −1 i = −
ii677i= =6i ⋅i⋅ i= =((−12) ⋅ i 1 −ii
=⋅ii = ii1 = −=;; ;
6
2
7 =5⋅
6
i5i87 ==iii76⋅ii⋅ii =i⋅((−= 1) i=i=−1 i; 5 ;
i88 =7 67 6⋅ = = − ) 2⋅ 66=1−i
⋅
1 ⋅ = i5 ⋅ i = i ⋅ i
−
7 = 7 =i
7
6
ii7888= 6=777⋅i⋅ii⋅= (=i1⋅)ii⋅⋅==i...−i1;i = i ⋅
= 6i
(−i ⋅ =1 −
−
=
1
7 ⋅ii i i ⋅ i = (− )ii =i i=;= i;⋅
= −−1⋅) i −1 − ;
1
i
= i

9. Значення степенів числа i
повторяються з періодом,
що дорівнює 4.
Знайти:
28
33
i ;i ;i
135
.

10. Розв'язання.
i ,– 1, – i , 1 ,
i, – 1, – i, 1 тощо.
Маємо, 28 = 4×7 (без остачі);
33 = 4×8 + 1 ;
135 = 4×33 + 3 .
Відповідно отримуємо:
i
28
= 1; i
33
= i; i
135
= −i.

11. Комплексні числа
Означення 1. Числа виду a + bi,
де a і b – дійсні числа,
i – уявна одиниця,
називаються комплексними.
a - дійсна частина комплексного числа,
bi – уявна частина комплексного числа,
b – коефіцієнт при уявній частині.

12. VII
сторіччя
Квадратний корінь з
додатного числа має два
значення –
додатне і від'ємне,
а з від'ємних чисел квадратні
корні вилучити не можна:
не існує такого числа х, щоб
х2 = -9.

13. XVI
сторіччя
Оскільки вивчались
кубічні рівняння, виникла
необхідність вилучення
квадратних коренів
з від'ємних чисел.
Першим вченим, що
запропонував ввести числа
нової природи, був
Джорж Кордано.

14. Він запропонував
−а⋅ −а = а
Кордано назвав такі величини
“чисто від'ємними” або навіть
“софічно від'ємними”, вважаючи їх
непотрібними і намагався не
використовувати їх.

15. У 1572
році
італійський вчений
Бомбелі
випустив книгу, в якій було
встановлено перші правила
арифметичних операцій над
комплексними числами.

16. У 1637
році
Назву
“уявні числа”
ввів французький
математик і філософ
Р. Декарт

17. У 1777
році
один із значних
математиків
XVIII сторіччя –
Л. Ейлер
запропонував
використовувати
першу букву
французького слова
imaginare (уявний)
для позначення

18. Закон 1
a + bi = c + di, якщо
a = c і b = d.

19. Наприклад.
Знайти x і y з рівності:
3y + 5xi = 15 – 7i;
Розв'язання.
Згідно умови рівності
комплексних чисел маємо
3y = 15, 5x = – 7.
7
Отже
x = − , y = 5.
5

20. Додавання
(а+bi) +(c+di)=(a+c) + (b+d)i
Віднімання
(а+bi)- (c+di) =(a-c) + (b-d)i

21. Виконати дії:
z1 = 2 + 3i, z2 = 5 – 7i.
Знайти: а) z1 + z2; б) z1 – z2;
Розв'язання.
а) z1 + z2 =(2 + 3i) + (5 – 7i) =
=(2 + 5) + (3i – 7i) = 7 – 4i;
б) z1 – z2 =(2 + 3i) – (5 – 7i) =
=(2 – 5) + (3i + 7i) = – 3 + 10i;

22. Множення
(а+bi)(c+di) =
= ac + аd i + bс i + bd i =
2
= (ac-bd) + (аd+bc)i

23. Виконати дії:
(2 + 3i)(5 – 7i) =
= (10+21) + (-14+15)i = 31+i
(5 + 3i)(5 – 3i) = 25-9i2 = 34
(2 – 7i)2 = 4 - 28i + 49i2 =-45-28i
25m2+16 = 25m2 -16i2 =
= (5m-4i)(5m+4i)

24. Означення.
Два комплексних числа
називаються спряженими, якщо
вони відрізняються один від
одного тільки знаками перед
уявною частиною.
z1= a + bi і z2= a - bi

25. Ділення
2 + 3i 2 + 3i 5 + 7i
=
5 − 7i 5 − 7i 5 + 7i
•
=
− 11 + 29i
74
=
11 29
− + i
74 74

26. Виконати дії:
(2 + 3i ) + (4 − i )
27
+ 4i
1−i
6 + 2i 1 + i
4 + 8i
⋅
− 4i =
− 4i=
1 − i 1+ i
2
=
2

27. комплексні числа
використовуються
в математиці
набагато
ширше, ніж
дійсні

28. Комплексні
числа мають
прикладне значення
в богатьох галузях
науки, являються
основновою
для розрахунків
в електротехніці та
зв’язку.

29. Застосування
при
конструюванні
ракет та літаків

30. При кресленні
географічних
карт

31. В дослідженні
течії води,
а також
в інших науках.

32. • А фрактали? Вони прекрасні і загадкові. Їх відкрили
не так давно і їх дослідження стало можливим
завдяки появі потужної обчислювальної техніки і
існуванню комплексних чисел. Існують фрактали
геометричні і алгебраїчні, для задання останніх
часто використовують комплексні числа.

33. • Класичний приклад алгебраїчного фрактала
є множина Мандельброта, яка будується за
формулою Z = Z2 + a, де Z і a — комплексні
числа у просторі R2: дійсна частина а —
координата (х) комплексної площини; уявна
частина а — координата (у) комплексної
площини; Z — циклічна змінна.

34. Висновки
• Отже, Виконуючи дану роботу, я ознайомився з поняттям
комплексних чисел, способами задання та їх
застосуванням. Я помітив, що операції над комплексними
числами суттєво відрізняються від операцій з дійсними
числами, а геометричний зміст комплексного числа
дозволяє розв’язувати задачі та теореми планіметрії за
допомогою саме комплексних чисел.
• Досліджуючи літературу з даної теми я зрозумів, що для
детального вивчення питань застосування комплексних
чисел на практиці, необхідно більш глибоке вивчення
сучасної математики: теорії матриць, диференціального
числення тощо.

35. Висновки
• Через це, в практичній частині, я обмежився
розв’язанням деяких рівнянь шкільного
курсу, розширивши при цьому множину
дійсних чисел і навчившись знаходити уявні
корені цих рівнянь. Ця робота – лише
вершина великого айсберга. З цією темою
можна пов’язувати і подальші дослідження в
галузі математики.