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テトラヘドロン法
- 2. 目次 • テトラヘドロン法とは • 1次元の場合 • 2次元の場合 • 3次元の場合
- 3. テトラヘドロン法とは 3次元空間上に定義された関数𝐸 𝒓 があるとき、 𝐸 𝒓 がある特定の値𝐸をとる（𝐸 𝒓 = 𝐸となる）空間の体積は以下の式で与えられる。 𝐷 𝐸 = δ 𝐸 𝒓 − 𝐸 𝑑𝒓 テトラへドロン法では、空間を微小な領域に分割し、 その微小な領域では線形近似が成り立っていると仮定して、密度関数𝐷 𝐸 を計算する。
- 4. 1次元の場合
- 5. 1次元 1次元の場合の微小な領域は線分である。 線分の頂点1,2の𝐸 𝑥 の値を𝐸1 < E2とし線分上で𝐸 𝑥 ≅ 𝑎𝑥 + 𝑏とする。 その線分がつくる𝐷 𝐸 は、E1 < 𝐸 < 𝐸2のとき、 𝐷 𝐸 = δ 𝐸 𝑥 − 𝐸 𝑑𝑥 = δ 𝐸′ − 𝐸 1 𝑎 𝑑𝐸′ = 1 𝑎 ここで、式変形の2行目で変数変換𝐸′ = 𝑎𝑥 + 𝑏を用いた。 線分の長さを𝑙とおくと、以下の式が得られる。 𝐷 𝐸 = 𝑙 𝐸2 − 𝐸1
- 6. 2次元の場合
- 7. 2次元の場合 2次元の場合の微小な領域は三角形である。 三角形の頂点1,2,3の𝐸 𝑥 の値を𝐸1 < 𝐸2 < 𝐸3とし、三角形上で𝐸 𝑥 ≅ 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐とする。 このとき、面の傾きは 𝑎2 + 𝑏2である。 三角形内で𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐 = 𝐸となる部分は線分なので、その線分をLとおき、Lの長さを𝑙とする。 𝐷 𝐸 = δ 𝐸 𝒓 − 𝐸 𝑑𝒓 の計算において、座標変換してy軸がLと平行になるようにすることができる。 そのように座標変換した場合、a′ = 𝑎2 + 𝑏2, 𝑏′ = 0となる。 よって、 𝐷 𝐸 = δ 𝐸 𝒓 − 𝐸 𝑑𝒓 = 𝐿 𝑑𝑦 δ 𝐸′ − 𝐸 1 𝑎2 + 𝑏2 𝑑𝐸′ = 𝑙 𝑎2 + 𝑏2 となる。
- 8. 面の傾き まず面の傾き 𝑎2 + 𝑏2を求める。 頂点1から頂点2へ向かうベクトルを 𝑣2𝑥 𝑣2𝑦 、頂点1から頂点2へ向かうベクトルを 𝑣3𝑥 𝑣3𝑦 とおくと、 𝐸2 − 𝐸1 𝐸3 − 𝐸1 = 𝑣2𝑥 𝑣2𝑦 𝑣3𝑥 𝑣3𝑦 𝑎 𝑏 より、 𝑎 𝑏 = 𝑣2𝑥 𝑣2𝑦 𝑣3𝑥 𝑣3𝑦 −1 𝐸2 − 𝐸1 𝐸3 − 𝐸1 である。これを用いて計算すると、 𝑎2 + 𝑏2 = 𝐸2 − 𝐸1 𝒗3 − 𝐸3 − 𝐸1 𝒗2 𝑣2𝑥𝑣3𝑦 − 𝑣2𝑦𝑣3𝑥 となる。
- 9. 𝐸1 < 𝐸 < 𝐸2のとき 次に𝑙を求める。 𝐸1 < 𝐸 < 𝐸2のとき、線分1-2上の𝐸 𝒓 = 𝐸となる点は 𝒑1 + 𝐸 − 𝐸1 𝐸2 − 𝐸1 𝒗2 𝐸 𝒓 = 𝐸となる線分1-3上の点は 𝒑1 + 𝐸 − 𝐸1 𝐸3 − 𝐸1 𝒗3 となる。 𝑙はこれら2点を結ぶ距離なので、 𝑙 = 𝐸 − 𝐸1 𝐸3 − 𝐸1 𝐸2 − 𝐸1 𝐸2 − 𝐸1 𝒗3 − 𝐸3 − 𝐸1 𝒗2 となる。以上より𝐸1 < 𝐸 < 𝐸2のとき、 𝐷 𝐸 = 𝑣2𝑥𝑣3𝑦 − 𝑣2𝑦𝑣3𝑥 𝐸 − 𝐸1 𝐸3 − 𝐸1 𝐸2 − 𝐸1 となる。
- 10. 𝐸2 < 𝐸 < 𝐸3のとき 𝐸2 < 𝐸 < 𝐸3のとき、線分2-3上の𝐸 𝒓 = 𝐸となる点は 𝒑3 + 𝐸3 − 𝐸 𝐸3 − 𝐸2 𝒗2 − 𝒗3 𝐸 𝒓 = 𝐸となる線分1-2上の点は 𝒑3 − 𝐸3 − 𝐸 𝐸3 − 𝐸1 𝒗3 となる。𝑙はこれら2点を結ぶ距離なので、 𝑙 = 𝐸3 − 𝐸 𝐸3 − 𝐸1 𝐸3 − 𝐸2 𝐸2 − 𝐸1 𝒗3 − 𝐸3 − 𝐸1 𝒗2 となる。 以上より𝐸1 < 𝐸 < 𝐸2のとき、 𝐷 𝐸 = 𝑣2𝑥𝑣3𝑦 − 𝑣2𝑦𝑣3𝑥 𝐸3 − 𝐸 𝐸3 − 𝐸1 𝐸3 − 𝐸2 となる。
- 11. 2次元の場合のまとめ まとめると、 𝐷 𝐸 = 𝑣2𝑥𝑣3𝑦 − 𝑣2𝑦𝑣3𝑥 𝐸 − 𝐸1 𝐸3 − 𝐸1 𝐸2 − 𝐸1 𝐸1 < 𝐸 < 𝐸2 𝑣2𝑥𝑣3𝑦 − 𝑣2𝑦𝑣3𝑥 𝐸3 − 𝐸 𝐸3 − 𝐸1 𝐸3 − 𝐸2 𝐸2 < 𝐸 < 𝐸3 0 otherwise となる。ちなみに、 𝑣2𝑥𝑣3𝑦 − 𝑣2𝑦𝑣3𝑥 は三角形の面積の2倍である。
- 12. 3次元の場合
- 13. 3次元の場合 3次元の場合の微小な領域は4つの点が結ぶ四面体（テトラへドロン）である。 𝐸1 < 𝐸2 < 𝐸3 < 𝐸4とし、 𝐸 𝑥 ≅ 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐𝑧 + 𝑑とする。 このとき、傾きは 𝑎2 + 𝑏2 + 𝑐2である。 2次元のときと同様に、 𝐷 𝐸 は「傾きの逆数」×「四面体内の𝐸 𝒓 = 𝐸となる面の面積」となる。 傾きは、 𝑎2 + 𝑏2 + 𝑐2 = 𝐸2 − 𝐸1 𝒗3 × 𝒗4 + 𝐸3 − 𝐸1 𝒗4 × 𝒗2 + 𝐸4 − 𝐸1 𝒗2 × 𝒗3 𝒗2 ∙ 𝒗3 × 𝒗4 となる。 「四面体内の𝐸 𝒓 = 𝐸となる面」は𝐸1 < 𝐸 < 𝐸2または𝐸3 < 𝐸 < 𝐸4のとき三角形、 𝐸2 < 𝐸 < 𝐸3のとき四角形となる。
- 14. 3次元の場合 結果だけ書くと、 𝐷 𝐸 = 𝒗2 ∙ 𝒗3 × 𝒗4 2 𝐸 − 𝐸1 2 𝐸2 − 𝐸1 𝐸3 − 𝐸1 𝐸4 − 𝐸1 𝐸1 < 𝐸 < 𝐸2 𝒗2 ∙ 𝒗3 × 𝒗4 2 𝐸4 − 𝐸1 𝐸3 − 𝐸2 𝐸 − 𝐸1 𝐸3 − 𝐸 𝐸3 − 𝐸1 + 𝐸 − 𝐸2 𝐸4 − 𝐸 𝐸4 − 𝐸2 𝐸2 < 𝐸 < 𝐸3 𝒗2 ∙ 𝒗3 × 𝒗4 2 𝐸4 − 𝐸 2 𝐸4 − 𝐸2 𝐸4 − 𝐸1 𝐸4 − 𝐸3 𝐸3 < 𝐸 < 𝐸4 0 otherwise となる。ちなみに、 𝒗2 ∙ 𝒗3 × 𝒗4 は四面体の体積の6倍である。