量子コンピュータのエラー訂正・耐性と時空の創発

1. QuantumTokyo
Qt
量子コンピュータのエラー訂正・耐性と時空の創発
Kenji Tanaka
IT architect

2. QuantumTokyo
概要
量子コンピュータは、エラー訂正できないので使い物にならないと言われていた (1980年頃) が、
エラー訂正の研究が進み理論的に可能であることがわかった (2000年頃)。
現在、実機での実現を目指して研究されている。

3. QuantumTokyo
エラー訂正とエラー耐性
Error Correction : エラー訂正、Fault Tolerance: エラー耐性
– Fault Tolerance は直訳すると ”過失容認” ?
– Fault Tolerance はエラー訂正し続けて計算すること
• エラーチェック回路にもエラーが生じる可能性があるから
→ 量子コンピュータには、エラー訂正とエラー耐性の量子版が必要

4. QuantumTokyo
FTQC のアルゴリズム
• FTQC になると量子回路は何が変わるか？ →変えなくて良い。でも T は高い
– 状態は Logical 版になる
• |0L>, |1L>
– Clifford ゲートは Logical 版になる
• XL, YL, ZL, HL, CnotL, …
– T と R(θ) の Logical 版は重い！
• T の実現にはコストがかかる。ゲートトランスポーテーションで実現する。
• R(θ) は別のゲートに展開する。T を使うとコストがかかる。

5. QuantumTokyo
ゲートトランスポーテーション
T ゲートの実装の仕方 （ザ・フライ式テレポート: テレポーターの中にハエが入っていたのでハエ人間になった）
T 以外のゲートは論理版。Tゲートを前に移動し初期値に追い出す。
T|+> は distillation (エラー訂正を繰り返す) で作る
X SX
|ψ>
|+>
|ψ>
T|+> T|ψ>
T
|Ψ>をトランスポートして T を作用する → |ψ> を T|+> にトランスポートする
→ T もエラー耐性版ができる！（コストはかかるけど）
T|ψ>

6. QuantumTokyo
エラー訂正
• エラー訂正の難しさ（古典と比べて）
– 情報が連続値（アナログ）
– コピーできない
– 観測すると壊れる
• 量子ビットではどうする？
• １Qubit では無理、複数 Qubit で守る！
• |ψ> = α|0論理>+β|1論理> の α と β を守れば良い

7. QuantumTokyo
エラー訂正
• 複数量子ビットを使ったエラー訂正
– ①エラーの離散化
• X と Z の訂正だけで良い！
– 観測によるエラー除去
• 観測しちゃう！
– エラーが無くなる。たまにフリップするが反転で直す。
• 直接観測すると、αとβが壊れてしまう
– ②シンドローム測定（パリティ測定）
• α、β を壊さない観測
• 上手いコード化＝スタビライザー符号 ならできる！
α|
+β|
>
>
（横目で）観測してふらつきを直す
たまにフリップするので反転する

8. QuantumTokyo
エラーの離散化とシンドローム測定
➀エラーの離散化
一般的なエラー
→ Y=iXZ なので、X と Z の訂正だけで良い
②シンドローム測定（パリティ測定）
アダマールテストでスタビライザーの固有値（パリティ: 1, -1) を観測する
フリップがあることのみ観測する。αとβは壊れない。
パリティを集めたものがシンドローム。シンドロームからエラーを検出・訂正する。
XXXの固有値計測 ZZZの固有値計測

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実例：Steane 7Qubit Code
スタビライザー
S1 = XIXIXIX
S2 = IXXIIXX
S3 = IIIXXXX
S4 = ZIZIZIZ
S5 = IZZIIZZ
S6 = IIIZZZZ
|0L> =1/sqrt(8) * (|0000000>+|1010101>+|0110011>+|1100110>+|0001111>+|1011010>+|011100>+|1101001>)
|1L>=1/sqrt(8) * (|1111111>+|0101010>+|1001100>+|0011001>+|111000>+|0100101>+|1000011>+|0010110>)
ゲート操作
XL = XXXXXXX
ZL = ZZZZZZZ
HL = HHHHHHH
CnotL=CnCnCnCnCnCnCn
T はゲートテレポ
Stabilizer Code
CSS Code
Steane Code
• テンソル積マークを省略しています
• Steane 7Qubit Code はスタビライザ
ーコードの一種
• [[7,1,3]] = [[物理,論理,コード距離]]
• スタビライザを |0L> |1L> に適用し
ても不変（固有値１）
• 7Qubit Code は論理ゲート操作がわ
かりやすいのが特徴
• 他に 5, 9 Qubit Code がある

10. QuantumTokyo
実例：Steane 7Qubit Code
• エラー耐性できる！
• でも、実現が難しい
• 許容するゲートエラー率が低い （0.01% 以下にしなければならない）
• 全結合が必要になるため実装が難しい
• 他に良いアイディアは？
• （別の）スタビライザー符号
• 表面符号

11. QuantumTokyo
IZZ
＋１ −１
ZZI
＋１
−１
Stabilizer Formalism と Stabilizer Code
• Stabilizer Formalism
• 演算子で状態を記述すること（表記が短くなる）
• スタビライザ状態（固有値が１の状態）
– <XX,ZZ> → Bell State (|00>+|11>)/sqrt(2)
– <ZZ> → α|00>+β|11>(スタビライザが足りないと重ね合せ)
• Stabilizer Code
• 群論を使ったうまいコード化の方法
• 作り方
• パウリ群の -1 を含まない可換部分群
– パウリ群
• エラーが起こると別のスタビライザーサブスペースに飛
ぶが、αとβは守られる！
α|000> +β |111>
α|100> +β |011>
α|001> +β |110>
α|010> +β |101>
XII エラー IXI エラー
IIX エラー
エラー無し

12. QuantumTokyo
表面符号
• パリティは近接 Qubit のみ。全結合では無い。
• X と Z の Dual Lattice
• 大きくするとエラー耐性が上がる
• 端を丸めるとトーリックコード Google の Sycamore がこの形
https://arxiv.org/abs/1208.0928
https://cems.riken.jp/en/laboratory/qitrt https://www.nature.com/articles/s41586-019-1666-5

13. QuantumTokyo
表面符号
• Heavy Hexagon code
• 6角形に 12Qubit
• Bacon-Shore code
• Improve された Stabiliser Code
https://www.ibm.com/blogs/research/2020/09/hardware-aware-quantum/

14. QuantumTokyo
最後に、Entanglement と時空の創発
It from Qubit：量子エラー訂正の話が時空の創生につながっている
• ホログラフィック原理：次元が１次元違うものの dual (cf. bra と ket は同じ次元の dual）
• ゲージ重力対応 ：量子系と一般相対論のホログラフィ対応
• AdS/CFT 対応 ：ゲージ重力対応のモデル
Entanglement から時空の創発
• CFT でエンタングルメントエントロピーの計量を考える（量子版情報幾何学?）と
• AdS/CFT 対応により、AdS 空間に幾何構造を与える
• AdS の幾何構造は一般相対論の時空の構造であり、これは重力のある空間です
→ ゼロから Qubit を増やしていけば時空が創発する！
https://www.nishina-mf.or.jp/wp/wp-content/uploads/2020/09/2019Lecture.pdf

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まとめ
• FTQC では論理バージョンの状態とゲートを使う
• Entanglement が宇宙物理やら物性物理につながっている

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参考文献
• 量子コンピュータと量子通信
• 量子コンピューティング
• 大阪大学藤井研究室量子コンピューティング
• 量子計算超入門
• 慶應大学量子コンピュータ授業
• Qiita 量子情報理論の基本：量子謝り訂正（スタビライザー符号：１）
• 量子エンタングルメントから創発する宇宙

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