2. 2
•ПЛАНИМЕТРИЯ
Планиметрия-это
раздел геометрии, в
котором изучаются
свойства
геометрических фигур
на плоскости.
•СТЕРЕОМЕТРИЯ
Стереометрия-это
раздел геометрии, в
котором изучаются
свойства фигур
в пространстве.
Слово «стереометрия» происходит от
греческих слов «стереос» - объемный,
пространственный
и «метрео» - измерять.
3. 3
Основные фигуры
Планиметрии
(на плоскости)
• Точка
• Прямая
Стереометрии
(в пространстве)
•Точка
•Прямая
•Плоскость
Плоскость представляет с собой
геометрическую фигуру простирающуюся
неограниченно во все стороны.
4. 4
Наряду с точками, прямыми, плоскостями
в стереометрии
рассматриваются геометрические тела,
изучаются их свойства,
вычисляются площади их поверхностей,
а также вычисляются объёмы тел.
шар
куб цилиндр
6. 6
Точки обозначаются прописными
латинскими буквами А, В, С, D, Е, К,…
Прямые обозначаются строчными
латинскими буквами a, b, c, d, e, k,…
Плоскости обозначаются греческими
буквами α, β, γ, λ, π, ω,…
А В С Е
a b d
α
β
γ
7. 7
Ясно, что в каждой плоскости лежат какие-то точки
пространства, но не все точки пространства лежат в
одной и той же плоскости.
М
А
N P
B
Aє, Bє,
Mє, Nє, Pє
8. 8
Некоторые аксиомы стереометрии
Аксиома1
Через любые три
точки , не
лежащие на одной
прямой, проходит
плоскость, и
притом только
одна.
Аксиома2
Если две точки
прямой лежат в
плоскости, то все
точки прямой
лежат в этой
плоскости.
Аксиома3
Если две
плоскости имеют
общую точку, то
они имеют
прямую, на
которой лежат все
общие точки этих
плоскостей.
А
В
С
А
В
С
а
α
А
Вся система аксиом стереометрии состоит из ряда аксиом, большая часть
которых нам известна из курса планиметрии
Доказательство Доказательство
9. 9
Некоторые следствия из аксиом
Теорема1.Через прямую и не лежащую на
ней точку проходит плоскость, и
притом только одна.
P
а
Q
M
α
Дано: прямая а, Мєа,
Доказать: Мєα, аєα,
Доказательство: 1)Возьмем две точки Рєа и Qєа.(нажмите на пробел)
2)Через три точки, не лежащие на одной прямой М, Р, Q по аксиоме А1 можно
провести плоскость, притом только одну.(нажмите на пробел)
3)Так как две точки Рєα и Qєα, то по аксиоме А2 прямая аєα , значит Мєα, аєα.
4)Существование единственной плоскости следует из А1.
Теорема доказана.
10. 10
Теорема2. Через две пересекающиеся прямые
проходит плоскость, и притом только
одна.
M N
b
a
α Дано: прямые а∩b=М,
Доказать: аєα, bєα,
Доказательство: 1) Возьмем точку Nєb.(нажмите на пробел)
2) По теореме1, через прямую и не лежащую в ней точку, проведем плоскость α,
получим аєα и Nєα .(нажмите на пробел)
3)Имеем Мєb( по условию) и Nєb , следовательно bєα по аксиоме А2.
4)Значит аєα и bєα..
5)Существование единственной плоскости следует из теоремы1.
Теорема доказана.
