SlideShare a Scribd company logo

so hocthuattoan hahuykhoai

‱
‱
T
Tuáș„n Minh

so hocthuattoan hahuykhoai

Education
1 of 135
Download to read offline
[toankho.com]: Sharing nice and hard problems. Get more books at http://book.toankho.com
i LĂȘi nĂŁi ¼Çu Trong nhĂ·ng nšm gÇn Ÿ©y, sĂč phžt triÓn cña Tin hĂ€c Ÿ· l”m thay ŸÊi nhiÒu ng”nh truyÒn thĂšng cña LÝ thuyÕt sĂš (trong cuĂšn sžch n”y, chĂłng ta th−ĂȘng dĂŻng tĂ” “SĂš hĂ€c”). NÕu nh− tr−íc thËp kĂ» 70, sĂš hĂ€c vÉn ¼−üc xem l” mĂ©t trong nhĂ·ng ng”nh lÝ thuyÕt xa rĂȘi thĂčc tiÔn nhÊt, th× ng”y nay, nhiÒu th”nh tĂču mĂ­i nhÊt cña sĂš hĂ€c cĂŁ Ăžng dĂŽng trĂčc tiÕp v”o cžc vÊn ¼Ò cña ÂźĂȘi sĂšng, nh− th«ng tin, mËt m·, kÜ thuËt mžy tÝnh. MĂ©t ph−¬ng h−íng mĂ­i cña sĂš hĂ€c ra ÂźĂȘi v” phžt triÓn mÂčnh mÏ: sĂš hĂ€c thuËt tožn. CĂŁ thÓ nĂŁi, Ÿã l” chiÕc cÇu nĂši giĂ·a sĂš hĂ€c vĂ­i tin hĂ€c. VĂ­i viÖc sö dĂŽng rĂ©ng r·i mžy tÝnh trong nghiÂȘn cĂžu sĂš hĂ€c, nhiÒu ng−ĂȘi cho r»ng, sĂš hĂ€c ng”y nay Ÿ· th”nh mĂ©t khoa hĂ€c thĂčc nghiÖm! §iÒu Ÿã thÓ hiÖn khž rĂą trong nhĂ·ng “thuËt tožn xžc suÊt” ¼−üc ¼Ò cËp ¼Õn trong cuĂšn sžch n”y. MĂŽc ¼Ých cña cuĂšn sžch nhĂĄ n”y l” cung cÊp cho ng−ĂȘi ŸÀc mĂ©t sĂš kiÕn thĂžc sÂŹ bĂ© vÒ sĂš hĂ€c thuËt tožn. CuĂšn sžch kh«ng ¼ßi hĂĄi Ă« ng−ĂȘi ŸÀc mĂ©t kiÕn thĂžc chuÈn bÞ n”o vÒ lĂœ thuyÕt sĂš. V× thÕ cĂČng cĂŁ thÓ gĂ€i nĂŁ l” “NhËp m«n thuËt tožn v”o sĂš hĂ€c”. §iÒu Ÿã cĂŁ nghÜa l”, trong nhiÒu con ¼−ĂȘng khžc nhau ¼Ó Âźi v”o sĂš hĂ€c, ta chĂ€n con ¼−ĂȘng thuËt tožn: cžc ¼Þnh lÝ, khži niÖm cña sĂš hĂ€c ¼−üc tr×nh b”y cĂŻng vĂ­i cžc thuËt tožn x©y dĂčng chĂłng. Trong nhiÒu tr−ĂȘng hĂźp, cžc thuËt tožn cĂŁ kÌm theo Ÿžnh giž sÂŹ bĂ© vÒ Ÿé phĂžc tÂčp. CuĂšn sžch nh»m mĂ©t sĂš ŸÚi t−üng khž rĂ©ng r·i: nhĂ·ng sinh viÂȘn, nghiÂȘn cĂžu sinh vÒ sĂš hĂ€c v” tin hĂ€c, nhĂ·ng ng−ĂȘi quan t©m ¼Õn lÝ thuyÕt v” Ăžng dĂŽng cña sĂš hĂ€c hiÖn ÂźÂči. NhiÒu phÇn cña cuĂšn sžch cĂŁ thÓ cĂŁ Ých cho hĂ€c sinh cžc lĂ­p chuyÂȘn tožn v” chuyÂȘn tin hĂ€c. Ch−¬ng ¼Çu tiÂȘn cña cuĂšn sžch ¼−üc d”nh ¼Ó giĂ­i thiÖu v”i ¼Þnh nghÜa cÂŹ b¶n nhÊt cña lÝ thuyÕt thuËt tožn. Ba ch−¬ng tiÕp theo tr×nh b”y nhĂ·ng vÊn ¼Ò cÂŹ sĂ« cña sĂš hĂ€c. Ch−¬ng 5, ngo”i viÖc chuÈn bÞ kiÕn thĂžc cho nhĂ·ng phÇn tiÕp theo, cĂŁ b×nh luËn Ýt nhiÒu vÒ vai trß cña sĂč t−¬ng tĂč giĂ·a sĂš v” Âźa thĂžc trong sĂč phžt triÓn cña sĂš hĂ€c hiÖn ÂźÂči. §Ó ng−ĂȘi ŸÀc cĂŁ thÓ h×nh dung phÇn n”o cžc Ăžng dĂŽng cña sĂš hĂ€c thuËt tožn, cuĂšn sžch d”nh ch−¬ng 6 ¼Ó nĂŁi vÒ lÝ thuyÕt mËt m·. MĂ©t v”i Ăžng dĂŽng gÇn Ÿ©y cña lÝ thuyÕt ¼−ĂȘng cong elliptic v”o mËt m· ¼−üc tr×nh b”y trong ch−¬ng 7. CĂČng cĂŁ thÓ xem Ch−¬ng 7 l” mĂ©t nhËp m«n ngŸn v” sÂŹ cÊp v”o lÝ thuyÕt ¼−ĂȘng cong elliptic, mĂ©t trong nhĂ·ng lÝ thuyÕt phong phĂł nhÊt cña H×nh hĂ€c ÂźÂči sĂš sĂš hĂ€c. CuĂši mçi ch−¬ng ¼Òu cĂŁ mĂ©t sĂš b”i tËp d”nh cho Ÿéc gi¶ muĂšn ŸÀc cuĂšn sžch “mĂ©t cžch tÝch cĂčc”. MĂ©t sĂš b”i tËp mang tÝnh chÊt luyÖn tËp v” tÝnh tožn thĂčc h”nh, mĂ©t sĂš khžc l” mĂ« rĂ©ng lÝ thuyÕt. TrĂ” ch−¬ng cuĂši vÒ ¼−ĂȘng cong elliptic, cžc ch−¬ng cßn lÂči ¼Òu cĂŁ kÌm theo h−íng dÉn thĂčc h”nh tÝnh tožn b»ng ch−¬ng tr×nh MAPLE. PhÇn h−íng dÉn thĂčc h”nh n”y do TÂč ThÞ Ho”i An biÂȘn soÂčn. CuĂši cuĂšn sžch cĂŁ phÇn tĂč kiÓm tra kiÕn thĂžc d”nh cho nhĂ·ng Ÿéc gi¶ hĂ€c gižo tr×nh n”y vĂ­i sĂč trĂź giĂłp cña mžy tÝnh. Do nhiÒu nguyÂȘn nh©n khžc nhau, cuĂšn sžch chŸc chŸn cßn rÊt nhiÒu thiÕu sĂŁt. Tžc gi¶ hy vĂ€ng nhËn ¼−üc nhĂ·ng lĂȘi phÂȘ b×nh cña bÂčn ŸÀc. H” nĂ©i, 1998 H” Huy Khoži V n M a th .C o m V n M a th .C o m
1 Ch−¬ng 1. thuËt tožn §1. §Þnh nghÜa. CĂŁ thÓ ¼Þnh nghÜa thuËt tožn theo nhiÒu cžch khžc nhau. Ă« Ÿ©y chĂłng t«i kh«ng cĂŁ Ăœ ¼Þnh tr×nh b”y chÆt chÏ vÒ thuËt tožn nh− trong mĂ©t gižo tr×nh logic, m” sÏ hiÓu khži niÖm thuËt tožn theo mĂ©t cžch th«ng th−ĂȘng nhÊt. ThuËt tožn l” mĂ©t qui tŸc ¼Ó, vĂ­i nhĂ·ng dĂ· liÖu ban ¼Çu Ÿ· cho, t×m ¼−üc lĂȘi gi¶i sau mĂ©t kho¶ng thĂȘi gian hĂ·u hÂčn. §Ó minh hoÂč cžch ghi mĂ©t thuËt tožn, cĂČng nh− t×m hiÓu cžc yÂȘu cÇu ¼Ò ra cho thuËt tožn, ta xÐt trÂȘn cžc vÝ dĂŽ cĂŽ thÓ sau Ÿ©y. Cho n sĂš X[1], X[2],..., X[n], ta cÇn t×m m v” j sao cho m=X[j] = max 1≀ ≀k n X[k], v” j l” lĂ­n nhÊt cĂŁ thÓ. §iÒu Ÿã cĂŁ nghÜa l” cÇn t×m cĂčc ÂźÂči cña cžc sĂš Ÿ· cho, v” chØ sĂš lĂ­n nhÊt trong cžc sĂš ÂźÂčt cĂčc ÂźÂči. VĂ­i mĂŽc tiÂȘu t×m sĂš cĂčc ÂźÂči vĂ­i chØ sĂš lĂ­n nhÊt, ta xuÊt phžt tĂ” giž trÞ X[n]. B−íc thĂž nhÊt, v× mĂ­i chØ cĂŁ mĂ©t sĂš, ta cĂŁ thÓ tÂčm thĂȘi xem m=X[n] v” j=n. TiÕp theo , ta so sžnh X[n] vĂ­i X[n-1]. Trong tr−ĂȘng hĂźp n-1=0, tĂžc n=1, thuËt tožn kÕt thĂłc. NÕu X[n-1] ≀ X[n] , ta chuyÓn sang so sžnh X[n] vĂ­i X[n-2] .Trong tr−ĂȘng hĂźp ng−üc lÂči, X[n-1] chÝnh l” sĂš cĂčc ÂźÂči trong hai sĂš Ÿ· xÐt, v” ta ph¶i thay ŸÊi m v” j: ¼Æt m= X[n-1], j=n-1. VĂ­i cžch l”m nh− trÂȘn, Ă« mçi b−íc, ta lu«n nhËn ¼−üc sĂš cĂčc ÂźÂči trong nhĂ·ng sĂš Ÿ· xÐt. B−íc tiÕp theo l” so sžnh nĂŁ vĂ­i nhĂ·ng sĂš ŸÞng tr−íc, hoÆc kÕt thĂłc thuËt tožn trong tr−ĂȘng hĂźp kh«ng cßn sĂš n”o ŸÞng tr−íc nĂŁ. ThuËt tožn m« t¶ trÂȘn Ÿ©y ¼−üc ghi lÂči nh− sau: ThuËt tožn t×m cĂčc ÂźÂči. M1. [B−íc xuÊt phžt ] §Æt j←n, k←n-1, m← X[n]. M2. [§· kiÓm tra xong?] NÕu k=0, thuËt tožn kÕt thĂłc. M3. [So sžnh] NÕu X[k]≀m,chuyÓn sang M5. M4. [Thay ŸÊi m] §Æt j ← k, m ← X[k]. (TÂčm thĂȘi m Âźang l” cĂčc ÂźÂči) M5. [Gi¶m k] §Æt k ← k-1, quay vÒ M2. DÊu “←“ dĂŻng ¼Ó chØ mĂ©t phÐp tožn quan trĂ€ng l” phÐp thay chç (replacement). V n M a th .C o m V n M a th .C o m
2 TrÂȘn Ÿ©y ta ghi mĂ©t thuËt tožn b»ng ng«n ngĂ· th«ng th−ĂȘng. Trong tr−ĂȘng hĂźp thuËt tožn ¼−üc viÕt b»ng ng«n ngĂ· cña mžy tÝnh, ta cĂŁ mĂ©t ch−¬ng tr×nh. Trong thuËt tožn cĂŁ nhĂ·ng sĂš liÖu ban ¼Çu, ¼−üc cho tr−íc khi thuËt tožn bŸt ¼Çu l”m viÖc: cžc ¼Çu v”o (input). Trong thuËt tožn M, ¼Çu v”o l” cžc sĂš X[1], X[2],..., X[n]. MĂ©t thuËt tožn cĂŁ thÓ cĂŁ mĂ©t hoÆc nhiÒu ¼Çu ra (ouput). Trong thuËt tožn M, cžc ¼Çu ra l” m v” j. CĂŁ thÓ thÊy r»ng thuËt tožn vĂ”a m« t¶ tho¶ m·n cžc yÂȘu cÇu cña mĂ©t thuËt tožn nĂŁi chung, Ÿã l”: 1. TÝnh hĂ·u hÂčn.ThuËt tožn cÇn ph¶i kÕt thĂłc sau mĂ©t sĂš hĂ·u hÂčn b−íc. Khi thuËt tožn ngĂ”ng l”m viÖc, ta ph¶i thu ¼−üc c©u tr¶ lĂȘi cho vÊn ¼Ò ¼Æt ra. ThuËt tožn M rĂą r”ng tho¶ m·n ÂźiÒu kiÖn n”y, v× Ă« mçi b−íc, ta lu«n chuyÓn tĂ” viÖc xÐt mĂ©t sĂš sang sĂš ŸÞng tr−íc nĂŁ, v” sĂš cžc sĂš l” hĂ·u hÂčn. 2. TÝnh xžc ¼Þnh. Ă« mçi b−íc, thuËt tožn cÇn ph¶i xžc ¼Þnh, nghÜa l” chØ rĂą viÖc cÇn l”m. NÕu ŸÚi vĂ­i ng−ĂȘi ŸÀc, thuËt tožn M ch−a tho¶ m·n ÂźiÒu kiÖn n”y th× Ÿã l” lçi cña ng−ĂȘi viÕt! Ngo”i nhĂ·ng yÕu tĂš kÓ trÂȘn, ta cßn ph¶i xÐt ¼Õn tÝnh hiÖu qu¶ cña thuËt tožn. CĂŁ rÊt nhiÒu thuËt tožn, vÒ mÆt lÝ thuyÕt l” kÕt thĂłc sau hĂ·u hÂčn b−íc, tuy nhiÂȘn thĂȘi gian “hĂ·u hÂčn” Ÿã v−üt quž kh¶ nšng l”m viÖc cña chĂłng ta. NhĂ·ng thuËt tožn Ÿã sÏ kh«ng ¼−üc xÐt ¼Õn Ă« Ÿ©y, v× chĂłng ta chØ quan t©m nhĂ·ng thuËt tožn cĂŁ thÓ sö dĂŽng thËt sĂč trÂȘn mžy tÝnh. CĂČng do mĂŽc tiÂȘu nĂŁi trÂȘn, ta cßn ph¶i chĂł Ăœ ¼Õn Ÿé phĂžc tÂčp cña cžc thuËt tožn. §é phĂžc tÂčp cña mĂ©t thuËt tožn cĂŁ thÓ Âźo b»ng kh«ng gian, tĂžc l” dung l−üng bĂ© nhĂ­ cña mžy tÝnh cÇn thiÕt ¼Ó thĂčc hiÖn thuËt tožn, v” b»ng thĂȘi gian, tĂžc l” thĂȘi gian mžy tÝnh l”m viÖc. Trong cuĂšn sžch n”y, khi nĂŁi ¼Õn Ÿé phĂžc tÂčp cña thuËt tožn, ta lu«n hiÓu l” Ÿé phĂžc tÂčp thĂȘi gian. §2. §é phĂžc tÂčp thuËt tožn. DÜ nhiÂȘn, thĂȘi gian l”m viÖc cña mžy tÝnh khi chÂčy mĂ©t thuËt tožn n”o Ÿã kh«ng chØ phĂŽ thuĂ©c v”o thuËt tožn, m” cßn phĂŽ thuĂ©c v”o mžy tÝnh ¼−üc sö dĂŽng. V× thÕ, ¼Ó cĂŁ mĂ©t tiÂȘu chuÈn chung, ta sÏ Âźo Ÿé phĂžc tÂčp cña mĂ©t thuËt tožn b»ng sĂš cžc phÐp tÝnh ph¶i l”m khi thĂčc hiÖn thuËt tožn. Khi tiÕn h”nh cĂŻng mĂ©t thuËt tožn, sĂš cžc phÐp tÝnh ph¶i thĂčc hiÖn cßn phĂŽ thuĂ©c v”o cĂŹ cña b”i tožn, tĂžc l” Ÿé lĂ­n cña ¼Çu v”o. V× thÕ, Ÿé phĂžc tÂčp cña thuËt tožn sÏ l” mĂ©t h”m sĂš cña Ÿé lĂ­n cña ¼Çu v”o. Trong nhĂ·ng Ăžng dĂŽng thĂčc tiÔn, chĂłng ta kh«ng cÇn biÕt chÝnh xžc h”m n”y, m” chØ cÇn biÕt “ cì” cña chĂłng, tĂžc l” cÇn cĂŁ mĂ©t −íc l−üng Ÿñ tĂšt cña chĂłng. Khi l”m viÖc, mžy tÝnh th−ĂȘng ghi cžc chĂ· sĂš b»ng nhĂ·ng bĂŁng ¼Ìn “sžng, tŸt”: bĂŁng ¼Ìn sžng chØ sĂš 1, bĂŁng ¼Ìn tŸt chØ sĂš 0. V× thÕ thuËn tiÖn nhÊt l” dĂŻng hÖ ¼Õm cÂŹ sĂš 2, trong Ÿã ¼Ó biÓu diÔn mĂ©t sĂš, ta chØ cÇn dĂŻng hai kÝ hiÖu 0 v” 1. MĂ©t kÝ hiÖu 0 hoÆc 1 ¼−üc gĂ€i l” mĂ©t bit (viÕt tŸt cña chĂ· “binary digit”). MĂ©t sĂš nguyÂȘn n biÓu diÔn bĂ«i k chĂ· sĂš 1 v” 0 d−üc gĂ€i l” mĂ©t sĂš k-bit. Trong ch−¬ng tiÕp theo, ta sÏ thÊy r»ng, sĂš tĂč nhiÂȘn n sÏ l” mĂ©t sĂš k-bit vĂ­i k=[log2n] ( dÊu[ ] kÝ hiÖu phÇn nguyÂȘn cña mĂ©t sĂš). V n M a th .C o m V n M a th .C o m
3 §é phĂžc tÂčp cña mĂ©t thuËt tožn ¼−üc Âźo b»ng sĂš cžc phÐp tÝnh bit. PhÐp tÝnh bit l” mĂ©t phÐp tÝnh logic hay sĂš hĂ€c thĂčc hiÖn trÂȘn cžc sĂš 1-bit 0 v” 1. §Ó −íc l−üng Ÿé phĂžc tÂčp cña thuËt tožn, ta dĂŻng khži niÖm bËc O-lĂ­n. §Þnh nghÜa 1.1: Gi¶ sö f(n) v” g(n) l” hai h”m xžc ¼Þnh trÂȘn tËp hĂźp cžc sĂš nguyÂȘn d−¬ng. Ta nĂŁi f(n) cĂŁ bËc O-lĂ­n cña g(n), v” viÕt f(n)=O(g(n)) hoÆc f=O(g), nÕu tĂ„n tÂči mĂ©t sĂš C >0 sao cho vĂ­i n Ÿñ lĂ­n, cžc h”m f(n) v” g(n) ¼Òu d−¬ng, ŸÄng thĂȘi f(n) < Cg(n). VÝ dĂŽ. 1) Gi¶ sö f(n) l” Âźa thĂžc; f(n)=adnd + ad-1nd-1 + ...+a1n+a0, trong Ÿã ad > 0. DÔ chĂžng minh r»ng f(n)=O(nd ). 2) NÕu f1(n)=O(g(n)), f2(n)=O(g(n)) th× f1+f2=O(g). 3) NÕu f1=O(g1), f2=O(g2), th× f1.f2=O(g1.g2). 4) NÕu tĂ„n tÂči giĂ­i hÂčn hĂ·u hÂčn lim n→∞ f n g n ( ) ( ) th× f=O(g). 5)VĂ­i mĂ€i sĂš Δ >0, log n=O(nΔ ). §Þnh nghÜa 1.2. MĂ©t thuËt tožn ¼−üc gĂ€i l” cĂŁ Ÿé phĂžc tÂčp Âźa thĂžc, hoÆc cĂŁ thĂȘi gian Âźa thĂžc, nÕu sĂš cžc phÐp tÝnh cÇn thiÕt khi thĂčc hiÖn thuËt tožn kh«ng v−üt quž O (logd n), trong Ÿã n l” Ÿé lĂ­n cña ¼Çu v”o, v” d l” sĂš nguyÂȘn d−¬ng n”o Ÿã. NĂŁi cžch khžc, nÕu ¼Çu v”o l” cžc sĂš k-bit th× thĂȘi gian thĂčc hiÖn thuËt tožn l” O(kd ), tĂžc l” t−¬ng ¼−¬ng vĂ­i mĂ©t Âźa thĂžc cña k. Cžc thuËt tožn vĂ­i thĂȘi gian O(nα ), α >0, ¼−üc gĂ€i l” cžc thuËt tožn vĂ­i Ÿé phĂžc tÂčp mĂČ, hoÆc thĂȘi gian mĂČ. ChĂł Ăœ r»ng, nÕu mĂ©t thuËt tožn n”o Ÿã cĂŁ Ÿé phĂžc tÂčp O(g), th× cĂČng cĂŁ thÓ nĂŁi nĂŁ Ÿé phĂžc tÂčp O(h) vĂ­i mĂ€i h”m h > g. Tuy nhiÂȘn, ta lu«n lu«n cĂš gŸng t×m −íc l−üng tĂšt nhÊt cĂŁ thÓ ¼−üc ¼Ó tržnh hiÓu sai vÒ Ÿé phĂžc tÂčp thĂčc sĂč cña thuËt tožn. CĂČng cĂŁ nhĂ·ng thuËt tožn cĂŁ Ÿé phĂžc tÂčp trung gian giĂ·a Âźa thĂžc v” mĂČ. Ta th−ĂȘng gĂ€i Ÿã l” thuËt tožn d−íi mĂČ. ChÂŒng hÂčn, thuËt tožn nhanh nhÊt ¼−üc biÕt hiÖn nay ¼Ó ph©n tÝch mĂ©t sĂš nguyÂȘn n ra thĂ”a sĂš l” thuËt tožn cĂŁ Ÿé phĂžc tÂčp exp( log loglogn n ). Khi gi¶i mĂ©t b”i tožn, kh«ng nhĂ·ng ta chØ cĂš gŸng t×m ra mĂ©t thuËt tožn n”o Ÿã, m” cßn muĂšn t×m ra thuËt tožn “ tĂšt nhÊt”. §žnh giž Ÿé phĂžc tÂčp l” mĂ©t trong nhĂ·ng cžch ¼Ó ph©n tÝch, so sžnh v” t×m ra thuËt tožn tĂši −u. Tuy nhiÂȘn, Ÿé phĂžc tÂčp kh«ng ph¶i l” tiÂȘu chuÈn duy nhÊt ¼Ó Ÿžnh giž thuËt tožn. CĂŁ nhĂ·ng thuËt tožn, vÒ lÝ thuyÕt th× cĂŁ Ÿé phĂžc tÂčp cao hÂŹn mĂ©t thuËt tožn khžc, nh−ng khi sö dĂŽng lÂči cĂŁ kÕt qu¶ V n M a th .C o m V n M a th .C o m
4 (gÇn Ÿóng) nhanh hÂŹn nhiÒu. §iÒu n”y cßn tuĂș thuĂ©c nhĂ·ng b”i tožn cĂŽ thÓ, nhĂ·ng mĂŽc tiÂȘu cĂŽ thÓ, v” c¶ kinh nghiÖm cña ng−ĂȘi sö dĂŽng. ChĂłng ta cÇn l−u Ăœ thÂȘm mĂ©t ÂźiÓm sau Ÿ©y. MÆc dĂŻ ¼Þnh nghÜa thuËt tožn m” chĂłng ta ¼−a ra ch−a ph¶i l” chÆt chÏ, nĂŁ vÉn quž “cĂžng nhŸc “ trong nhĂ·ng Ăžng dĂŽng thĂčc tÕ! BĂ«i vËy, chĂłng ta cßn cÇn ¼Õn cžc thuËt tožn “xžc suÊt “, tĂžc l” cžc thuËt tožn phĂŽ thuĂ©c v”o mĂ©t hay nhiÒu tham sĂš ngÉu nhiÂȘn. NhĂ·ng “thuËt tožn” n”y, vÒ nguyÂȘn tŸc kh«ng ¼−üc gĂ€i l” thuËt tožn, v× chĂłng cĂŁ thÓ, vĂ­i xžc suÊt rÊt bÐ, kh«ng bao giĂȘ kÕt thĂłc. Tuy nhiÂȘn, thĂčc nghiÖm chØ ra r»ng, cžc thuËt tožn xžc suÊt th−ĂȘng hĂ·u hiÖu hÂŹn cžc thuËt tožn kh«ng xžc suÊt. ThËm chÝ, trong rÊt nhiÒu tr−ĂȘng hĂźp, chØ cĂŁ cžc thuËt tožn nh− thÕ l” sö dĂŽng ¼−üc. Khi l”m viÖc vĂ­i cžc thuËt tožn xžc suÊt, ta th−ĂȘng hay ph¶i sö dĂŽng cžc sĂš “ngÉu nhiÂȘn”. Khži niÖm chĂ€n sĂš ngÉu nhiÂȘn cĂČng cÇn ¼−üc chÝnh xžc hož. Th−ĂȘng th× ng−ĂȘi ta sö dĂŽng mĂ©t “mžy” s¶n xuÊt sĂš gi¶ ngÉu nhiÂȘn n”o Ÿã. Tuy nhiÂȘn, trong cuĂšn sžch n”y, chĂłng t«i kh«ng ¼Ò cËp ¼Õn vÊn ¼Ò nĂŁi trÂȘn, m” mçi lÇn nĂŁi ¼Õn viÖc chĂ€n sĂš ngÉu nhiÂȘn, ta sÏ hiÓu l” ÂźiÒu Ÿã thĂčc hiÖn ¼−üc trÂȘn mžy. CĂČng cÇn l−u Ăœ ngay r»ng, ŸÚi vĂ­i cžc thuËt tožn xžc suÊt, kh«ng thÓ nĂŁi ¼Õn thĂȘi gian tuyÖt ŸÚi, m” chØ cĂŁ thÓ nĂŁi ¼Õn thĂȘi gian hy vĂ€ng (expected ). §Ó h×nh dung ¼−üc phÇn n”o â€œÂźĂ© phĂžc tÂčp” cña cžc thuËt tožn khi l”m viÖc vĂ­i nhĂ·ng sĂš lĂ­n, ta xem b¶ng d−íi Ÿ©y cho kho¶ng thĂȘi gian cÇn thiÕt ¼Ó ph©n tÝch mĂ©t sĂš nguyÂȘn n ra thĂ”a sĂš b»ng thuËt tožn nhanh nhÊt ¼−üc biÕt hiÖn nay (ta xem mžy tÝnh sö dĂŽng v”o viÖc n”y cĂŁ tĂšc Ÿé 1 triÖu phÐp tÝnh trong 1 gi©y) SĂš chĂ· sĂš thËp ph©n SĂš phÐp tÝnh bit ThĂȘi gian 50 1,4.1010 3,9 giĂȘ 75 9,0.1012 104 ng”y 100 2,3.1015 74 nšm 200 1,2.1023 3,8.109 nšm 300 1,5.1029 4,9.1015 nšm 500 1,3.1039 4,2.1025 nšm TĂ” b¶ng trÂȘn Ÿ©y, ta thÊy r»ng, ngay vĂ­i mĂ©t thuËt tožn d−íi mĂČ, thĂȘi gian l”m viÖc vĂ­i cžc sĂš nguyÂȘn lĂ­n l” quž l©u. V× thÕ nĂŁi chung ng−ĂȘi ta lu«n cĂš gŸng t×m nhĂ·ng thuËt tožn Âźa thĂžc. LÝ thuyÕt vÒ Ÿé phĂžc tÂčp thuËt tožn l” mĂ©t lÝ thuyÕt rÊt phong phĂł. Trong cuĂšn sžch n”y, chĂłng t«i kh«ng lÊy mĂŽc tiÂȘu tr×nh b”y lÝ thuyÕt Ÿã l”m trĂ€ng t©m. §éc gi¶ quan t©m ¼Õn lÝ thuyÕt thuËt tožn cĂŁ thÓ t×m ŸÀc cžc sžch trong phÇn T”i liÖu tham kh¶o. V n M a th .C o m V n M a th .C o m
5 Ch−¬ng 2. SĂš nguyÂȘn §1. BiÓu diÔn sĂš nguyÂȘn v” cžc phÐp tÝnh sĂš hĂ€c 1.1 HÖ cÂŹ sĂš. MÆc dĂŻ hÇu hÇu hÕt Ÿéc gi¶ Ÿ· quen thuĂ©c vĂ­i cžch biÓu diÔn sĂš nguyÂȘn trong cÂŹ sĂš tuĂș Ăœ, chĂłng t«i nhŸc lÂči sÂŹ qua vÊn ¼Ò Ÿã Ă« phÇn n”y, ¼Ó thuËn tiÖn cho viÖc tr×nh b”y cžc thuËt tožn vÒ sĂš nguyÂȘn. §Þnh lÝ 2.1. Gi¶ sö b l” mĂ©t sĂš nguyÂȘn lĂ­n hÂŹn 1. Khi Ÿã mĂ€i sĂš nguyÂȘn n cĂŁ thÓ viÕt duy nhÊt d−íi dÂčng n=akbk + ak-1bk-1 +...+ a1b1 +a0, trong Ÿã aj l” sĂš nguyÂȘn, 0≀aj ≀k-1, vĂ­i j=0,1,...,k v” hÖ sĂš ¼Çu tiÂȘn ak ≠ 0. ChĂžng minh. Ta chØ cÇn thĂčc hiÖn liÂȘn tiÕp phÐp chia n cho b: n=bq0 +a0, 0≀a0 ≀b-1. NÕu q0 >b, ta tiÕp tĂŽc chia q0 cho b ¼Ó ¼−üc q0=bq1 +a1, 0≀a1 ≀b-1. TiÕp tĂŽc quž tr×nh Ÿã, ta cĂŁ: q1=bq2 +a2, 0≀ a2 ≀b-1 q2=bq3 +a3, 0≀ a3 ≀b-1 ... ... ... qk-1=b.0 +ak, 0≀ ak ≀b-1. Quž tr×nh kÕt thĂłc v× ta lu«n cĂŁ: n>q0>q1>...≄0. ChĂłng t«i d”nh cho Ÿéc gi¶ viÖc chĂžng minh n cĂŁ dÂčng nh− trong phžt biÓu cña ¼Þnh lÝ, v” biÓu diÔn Ÿã l” duy nhÊt. SĂš b nĂŁi trong ¼Þnh lÝ ¼−üc gĂ€i l” cÂŹ sĂš cña biÓu diÔn. Cžc hÖ biÓu diÔn cÂŹ sĂš 10 v” 2 t−¬ng Ăžng ¼−üc gĂ€i l” hÖ thËp ph©n v” nhÞ ph©n. Cžc hÖ sĂš aj ¼−üc gĂ€i l” cžc chĂ· sĂš. VÒ sau ta dĂŻng bit ¼Ó chØ chĂ· sĂš nhÞ ph©n. NÕu sĂš nguyÂȘn n biÓu diÔn trong cÂŹ sĂš b cĂŁ k chĂ· sĂš, th× tĂ” chĂžng minh trÂȘn, ta cĂŁ : bk-1 ≀n≀bk . Nh− vËy sĂš chĂ· sĂš cña n ¼−üc tÝnh theo c«ng thĂžc: V n M a th .C o m V n M a th .C o m
6 k=[logb n]+1=[log n / log b]+1, trong Ÿã, kÝ hiÖu log dĂŻng ¼Ó chØ logarit cÂŹ sĂš e. Trong cÂŹ sĂš tuĂș Ăœ, ta cĂŁ: k=O(logn). §Ó ph©n biÖt cžc biÓu diÔn cña sĂš nguyÂȘn trong nhĂ·ng hÖ cÂŹ sĂš khžc nhau, ta th−ĂȘng dĂŻng cžch viÕt (akak-1...a1a0)b ¼Ó chØ sĂš n= akbk + ak-1bk-1 +...+ a1b1 +a0, VÝ dĂŽ. 1). §Úi vĂ­i sĂš 1994 trong hÖ thËp ph©n, ta cĂŁ (1994)10=(11111001010)2. 2). Trong mžy tÝnh, bÂȘn cÂčnh hÖ cÂŹ sĂš 2, ng−ĂȘi ta cĂČng th−ĂȘng dĂŻng hÖ cÂŹ sĂš 8 hoÆc 16. LÝ do chñ yÕu l” v× viÖc chuyÓn mĂ©t sĂš viÕt Ă« cÂŹ sĂš n”y sang cÂŹ sĂš kia trong 3 cÂŹ sĂš Ÿã ¼−üc thĂčc hiÖn mĂ©t cžch dÔ d”ng. VÝ dĂŽ, muĂšn chuyÓn mĂ©t sĂš cho trong cÂŹ sĂš 2 sang cÂŹ sĂš 8, ta chØ viÖc nhĂŁm tĂ” ph¶i sang trži tĂ”ng khĂši 3 chĂ· sĂš, rĂ„i chuyÓn sĂš ¼−üc viÕt trong khĂši Ÿã sang dÂčng thËp ph©n. ChÂŒng hÂčn, sĂš (1110010100110)2 ¼−üc tžch th”nh cžc nhĂŁm 1,110,010,100,110. TĂ” Ÿã ta ¼−üc: (1110010100110)2=(16246)8. Ta cĂŁ thÓ l”m t−¬ng tĂč ¼Ó chuyÓn sĂš Ÿ· cho th”nh sĂš viÕt trong cÂŹ sĂš 16, chØ cÇn nhĂŁm th”nh tĂ”ng bĂ© 4 chĂ· sĂš. ChĂł Ăœ r»ng, trong tr−ĂȘng hĂźp n”y, cÇn thÂȘm v”o cžc kÝ hiÖu mĂ­i ¼Ó chØ cžc “chĂ· sĂš “ tĂ” 10 ¼Õn 15. Ta nhŸc lÂči r»ng mžy tÝnh sö dĂŽng cžch viÕt nhÞ ph©n, hoÆc l” cžc “bit”. Mžy tÝnh n”o cĂČng cĂŁ giĂ­i hÂčn vÒ Ÿé lĂ­n cña cžc sĂš cĂŁ thÓ ¼−a v”o tÝnh tožn. GiĂ­i hÂčn Ÿã ¼−üc gĂ€i l” cĂŹ tĂ” cña mžy, kÝ hiÖu qua w. CĂŹ tĂ” th−ĂȘng l” mĂ©t luĂŒ thĂ”a cña 2, chÂŒng hÂčn 235 . §Ó thĂčc hiÖn cžc phÐp tÝnh sĂš hĂ€c vĂ­i nhĂ·ng sĂš nguyÂȘn lĂ­n hÂŹn cĂŹ tĂ”, ta l”m nh− sau. MuĂšn ¼−a mĂ©t sĂš n > w v”o mžy, ta viÕt n d−íi dÂčng cÂŹ sĂš w, v” khi Ÿã n ¼−üc biÓu diÔn b»ng nhĂ·ng sĂš kh«ng v−üt quž cĂŹ tĂ”. VÝ dĂŽ, nÕu cĂŹ tĂ” cña mžy l” 235 , th× ¼Ó ¼−a v”o mĂ©t sĂš cĂŁ Ÿé lĂ­n cĂŹ 2350 -1, ta chØ cÇn dĂŻng 10 sĂš nhĂĄ nhĂĄ hÂŹn cĂŹ tĂ” cña mžy, b»ng cžch biÓu diÔn n trong cÂŹ sĂš 235 . Nh− Ÿ· nĂŁi trong vÝ dĂŽ Ă« 1, viÖc chuyÓn mĂ©t sĂš tĂ” cÂŹ sĂš 2 sang cÂŹ sĂš 235 ¼−üc thĂčc hiÖn dÔ d”ng b»ng cžch nhĂŁm tĂ”ng khĂši 35 chĂ· sĂš. TĂ” qui tŸc cña cžc phÐp tÝnh sĂš hĂ€c, ta thÊy r»ng: 1) §Ó cĂ©ng hoÆc trĂ” hai sĂš nguyÂȘn k bit, ta cÇn O(k) phÐp tÝnh bit. 2) §Ó nh©n hoÆc chia hai sĂš k bit theo qui tŸc th«ng th−ĂȘng, ta cÇn O(k2 ) phÐp tÝnh bit. Trong nhĂ·ng thËp kØ gÇn Ÿ©y, ng−ĂȘi ta t×m ra nhĂ·ng thuËt tožn nh©n vĂ­i Ÿé phĂžc tÂčp bÐ hÂŹn nhiÒu so vĂ­i cžch nh©n th«ng th−ßng. §iÒu thĂł vÞ l”, nÕu thoÂčt nh×n th× cžc thuËt tožn Ÿã “phĂžc tÂčp” hÂŹn quy tŸc nh©n th«ng th−ĂȘng. Tuy nhiÂȘn, khi l”m viÖc vĂ­i nhĂ·ng sĂš rÊt lĂ­n, cžc thuËt tožn n”y cho phÐp thĂčc hiÖn viÖc nh©n hai sĂš vĂ­i mĂ©t thĂȘi gian bÐ hÂŹn hÂŒn so vĂ­i quy tŸc th«ng th−ĂȘng. 1.2 ThuËt tožn nh©n nhanh hai sĂš. Ta sö dĂŽng tÝnh chÊt hÕt sĂžc Ÿn gi¶n cña phÐp nh©n: nÕu a=a1+a2, b=b1+b2, th× ab=a1b1+a2b2+a2b1+a1b2. §iÒu Ÿžng chĂł Ăœ Ă« Ÿ©y l”, thay cho viÖc nh©n hai sĂš nguyÂȘn n bit, ta thĂčc hiÖn viÖc nh©n cžc sĂš cĂŁ chĂ· sĂš nhĂĄ hÂŹn, cĂŻng vĂ­i mĂ©t sĂš phÐp V n M a th .C o m V n M a th .C o m
7 cĂ©ng (¼ßi hĂĄi sĂš phÐp tÝnh bit Ýt hÂŹn l” phÐp nh©n). ThĂčc ra ÂźiÒu n”y kh«ng cĂŁ g× mĂ­i: ngay trong quan niÖm ban ¼Çu, phÐp nh©n a vĂ­i b Ÿ· l” phÐp cĂ©ng b lÇn sĂš a!. Tuy nhiÂȘn ¼Ó cĂŁ mĂ©t thuËt tožn nh©n nhanh, ta kh«ng thÓ cĂ©ng b lÇn sĂš a, m” ph¶i t×m ¼−üc mĂ©t cžch tĂši −u n”o Ÿã ¼Ó tžch b v” a th”nh nhĂ·ng phÇn nhĂĄ hÂŹn. NhĂ·ng thuËt tožn tr×nh b”y d−íi Ÿ©y cho chĂłng ta mĂ©t sĂš cžch ¼Ó l”m viÖc ph©n chia nh− vËy. Gi¶ sö muĂšn nh©n hai sĂš nguyÂȘn 2n bit, a=(a2n-1a2n-2...a1a0)2, b=(b2n-1b2n-2...b1b0)2. Ta viÕt a=2n A1+A0, b=2n B1+B0, trong Ÿã A1=(a2n-1a2n-2...an)2, A0=(an-1an-2...a1a0)2, B1=(b2n-1b2n-2...bn)2, B0=(bn-1bn-2...b1b0)2. Khi Ÿã ta cĂŁ: ab=(22n +2n )A1B1+2n (A1 - A0)+(2n +1)A0B0. (1.1) Nh− vËy, viÖc nh©n hai sĂš a,b 2n bit ¼−üc ¼−a vÒ viÖc nh©n cžc sĂš n bit, cĂŻng vĂ­i cžc phÐp cĂ©ng, trĂ” v” dÞch chuyÓn (nh©n mĂ©t sĂš vĂ­i mĂ©t luĂŒ thĂ”a bËc n cña 2 ¼−üc thĂčc hiÖn b»ng cžch dÞch sĂš Ÿã sang trži n vÞ trÝ). §Þnh lÝ 2.2. ThuËt tožn 2.1 cĂŁ Ÿé phĂžc tÂčp l” O(nlog 2 3 ). ChĂžng minh. GĂ€i M(n) l” sĂš cžc phÐp tÝnh bit tĂši Âźa cÇn thiÕt khi thĂčc hiÖn nh©n hai sĂš nguyÂȘn n bit b»ng thuËt tožn 2.1. TĂ” c«ng thĂžc (1.1) ta cĂŁ: M(2n)≀3M(n)+Cn, trong Ÿã C l” mĂ©t h»ng sĂš kh«ng phĂŽ thuĂ©c n. §Æt c=max(C,M(2)). B»ng quy nÂčp, dÔ chĂžng minh ¼−üc r»ng M(2k ) ≀ c(3k -2k ). TĂ” Ÿã ta cĂŁ M(n)=M(2log 2 n ) ≀M(2[log 2 n]+1 ) ≀c(3[log 2 n]+1 -2[log 2 n]+1 ) ≀3c.3[log 2 n] ≀3c.3log 2 n =3cnlog 2 3 . §Þnh lÝ Ÿ· ¼−üc chĂžng minh. VĂ­i thuËt tožn 2.1, ta thÊy r»ng, ngay chØ vĂ­i cžch ph©n chia Ÿn gi¶n sĂš nguyÂȘn th”nh hai phÇn vĂ­i sĂš chĂ· sĂš b»ng nhau, ta Ÿ· nhËn ¼−üc mĂ©t thuËt tožn gi¶m Ÿžng kÓ thĂȘi gian thĂčc hiÖn phÐp nh©n. DÜ nhiÂȘn, cžch ph©n chia nh− vËy cßn xa vĂ­i cžch ph©n chia tĂši −u. Ta sÏ chĂžng tĂĄ r»ng cžch ph©n chia nh− trÂȘn cĂŁ thÓ tĂŠng qužt hož ¼Ó nhËn ¼−üc nhĂ·ng thuËt tožn nh©n vĂ­i Ÿé phĂžc tÂčp nhĂĄ hÂŹn nhiÒu. V n M a th .C o m V n M a th .C o m
8 CĂČng nh− tr−íc Ÿ©y, ta sÏ kÝ hiÖu qua M(n) sĂš cžc phÐp tÝnh bit cÇn thiÕt ¼Ó thĂčc hiÖn phÐp nh©n hai sĂš nguyÂȘn n bit. Tr−íc tiÂȘn, ta chĂžng minh c«ng thĂžc sau: vĂ­i mĂ€i sĂš tĂč nhiÂȘn n, tĂ„n tÂči thuËt tožn sao cho: M((r+1)n) ≀(2r+1)M(n)+Cn, (1.2) vĂ­i C l” mĂ©t h»ng sĂš n”o Ÿã. Nh− vËy, §Þnh lÝ 2.2 l” tr−ĂȘng hĂźp riÂȘng vĂ­i r=1. Gi¶ sö cÇn nh©n hai sĂš (r+1)n bit: a=(a(r+1)n-1...a1a0)2, b=(b(r+1)n-1...b1b0)2. Ta tžch mçi sĂš a,b th”nh r+1 sĂš hÂčng: a=Ar2rn +...+A12n +A0 b=Br2rn +...+B12n +B0, trong Ÿã Aj,Bj l” cžc sĂš n bit. Ta nhËn xÐt r»ng, viÖc biÓu diÔn mĂ©t sĂš nguyÂȘn d−íi dÂčng cÂŹ sĂš n”o Ÿã cĂČng gÇn giĂšng nh− viÕt sĂš Ÿã d−íi dÂčng Âźa thĂžc, trong Ÿã cžc chĂ· sĂš chÝnh l” cžc hÖ sĂš cña Âźa thĂžc. V× vËy viÖc nh©n hai sĂš cĂŁ thÓ thĂčc hiÖn t−¬ng tĂč nh− viÖc nh©n Âźa thĂžc. Ta xÐt cžc Âźa thĂžc sau: A(x)=Arxr +...+A1x+A0, B(x)=Brxr +...+B1x+B0, W(x)=A(x)B(x)=W2rx2r +...+W1x+W0. TĂ” ¼Þnh nghÜa cžc Âźa thĂžc trÂȘn ta ÂźĂčÂŹc: a=A(2n ),b=B(2n ), ab= W(2n ). Nh− vËy, ta dÔ d”ng tÝnh ¼−üc tÝch ab nÕu biÕt ¼−üc cžc hÖ sĂš cña Âźa thĂžc W(x). C«ng thĂžc (1.2) sÏ ¼−üc chĂžng minh nÕu ta t×m ¼−üc mĂ©t thuËt tožn tÝnh cžc hÖ sĂš cña W(x) m” chØ sö dĂŽng 2r+1 phÐp nh©n cžc sĂš n bit v” mĂ©t sĂš phÐp tÝnh khžc vĂ­i Ÿé phĂžc tÂčp O(n). §iÒu Ÿã cĂŁ thÓ l”m b»ng cžch tÝnh giž trÞ cña Âźa thĂžc W(x) tÂči 2r+1 ÂźiÓm sau Ÿ©y: W(0)=A(0)B(0), W(1)=A(1)B(1),..., W(2r)=A(2r)B(2r). ChĂł Ăœ r»ng, cžc sĂš Aj,Bj kh«ng nhÊt thiÕt l” cžc sĂš n bit, nh−ng vĂ­i r cĂš ¼Þnh, chĂłng cĂŁ sĂš chĂ· sĂš nhiÒu nhÊt l” r+t, vĂ­i mĂ©t t cĂš ¼Þnh n”o Ÿã. DÔ thÊy r»ng, cĂŁ thÓ nh©n hai sĂš (r+t)-bit vĂ­i kh«ng quž M(n)+c1n phÐp tÝnh bit, trong Ÿã c1 l” h»ng sĂš (chØ cÇn tžch sĂš (n+t)-bit th”nh hai phÇn n-bit v” t-bit, v” nhËn xÐt r»ng, khi t cĂš ¼Þnh, viÖc nh©n sĂš t-bit vĂ­i sĂš n-bit ¼ßi hĂĄi kh«ng quž cn phÐp tÝnh bit). Khi Ÿ· cĂŁ cžc giž trÞ W(j),(j=0,1,...2r), ta t×m ¼−üc Âźa thĂžc W(x) theo c«ng thĂžc Lagrange: W(x)= ( )−∑ 1 2 j r j=0 W(j) x(x -1)...(x - j +1)(x - j-1)...(x - 2r) j!(2r - j)! . V n M a th .C o m V n M a th .C o m
9 Nh− vËy, cžc hÖ sĂš cña W(x) sÏ l” tĂŠ hĂźp tuyÕn tÝnh (vĂ­i hÖ sĂš kh«ng phĂŽ thuĂ©c n) cña cžc giž trÞ W(j), v” do Ÿã, tÝnh ÂźĂčoc b»ng O(n) phÐp tÝnh bit. Ta Ÿ· chĂžng minh ¼−üc c«ng thĂžc sau: M((r+1)n) ≀(2r+1)M(n)+Cn. LËp luËn t−¬ng tĂč nh− trong chĂžng minh ¼Þnh lÝ 2.1 ta cĂŁ: M(n) ≀C3nlog r+1 (2r+1) <C3n1+log r+1 2 . VĂ­i mĂ€i Δ >0 bÐ tuĂș Ăœ, khi cžc thĂ”a sĂš cĂŁ sĂš chĂ· sĂš rÊt lĂ­n, ta cĂŁ thÓ chĂ€n r Ÿñ lĂ­n sao cho logr+12<Δ . Ta cĂŁ ¼Þnh lÝ sau: §Þnh lÝ 2.3. VĂ­i mĂ€i Δ >0, tĂ„n tÂči thuËt tožn nh©n sao cho sĂš phÐp tÝnh bit M(n) cÇn thiÕt ¼Ó nh©n hai sĂš n bit tho¶ m·n bÊt ÂźÂŒng thĂžc M(n)<C(Δ )n1+ Δ , vĂ­i h»ng sĂš C(Δ ) n”o Ÿã Ÿéc lËp vĂ­i n. NhËn xÐt. CĂŁ thÓ chĂžng minh ¼−üc r»ng, vĂ­i cžch chĂ€n r â€œÂźĂ± tĂšt”, ta cĂŁ thuËt tožn nh©n hai sĂš n-bit sao cho M(n)=O(nlog2nloglog2n). ChĂžng minh ¼Þnh lÝ Ÿã kh«ng khĂŁ, nh−ng khž d”i (xem [Kr]). §2. SĂš nguyÂȘn tĂš. §Þnh nghÜa 2.4. SĂš nguyÂȘn tĂš l” sĂš nguyÂȘn lĂ­n hÂŹn 1, kh«ng chia hÕt cho sĂš nguyÂȘn d−¬ng n”o ngo”i 1 v” chÝnh nĂŁ. SĂš nguyÂȘn lĂ­n hÂŹn 1 kh«ng ph¶i l” sĂš nguyÂȘn tĂš ¼−üc gĂ€i l” hĂźp sĂš. DÔ chĂžng minh ¼−üc r»ng, sĂš cžc sĂš nguyÂȘn tĂš l” v« hÂčn (B”i tËp 2.14). Nh− ta sÏ thÊy trong nhĂ·ng ch−¬ng tiÕp theo, b”i tožn xžc ¼Þnh mĂ©t sĂš cho tr−íc cĂŁ ph¶i l” sĂš nguyÂȘn tĂš hay kh«ng cĂŁ nhiÒu Ăžng dĂŽng trong thĂčc tiÔn. §Úi vĂ­i nhĂ·ng sĂš nhĂĄ, b”i tožn Ÿã dÜ nhiÂȘn kh«ng cĂŁ g× khĂŁ. Tuy nhiÂȘn, khi l”m viÖc vĂ­i nhĂ·ng sĂš lĂ­n, ta cÇn ph¶i t×m ra nhĂ·ng thuËt tožn hĂ·u hiÖu, nghÜa l” cĂŁ thÓ thĂčc hiÖn ¼−üc trÂȘn mžy tÝnh trong mĂ©t kho¶ng thĂȘi gian chÊp nhËn ¼−üc. Khi nĂŁi ¼Õn “nhĂ·ng sĂš lĂ­n”, ta th−ĂȘng hiÓu l” nhĂ·ng sĂš nguyÂȘn d−¬ng cĂŁ kho¶ng 100 chĂ· sĂš thËp ph©n trĂ« lÂȘn. §Ó cĂŁ thÓ t×m ra nhĂ·ng thuËt tožn xžc ¼Þnh nhanh mĂ©t sĂš cĂŁ ph¶i l” sĂš nguyÂȘn tĂš hay kh«ng, ta cÇn hiÓu s©u sŸc tÝnh chÊt cžc sĂš nguyÂȘn tĂš. Trong ch−¬ng n”y, ta chØ Âźi v”o cžc tÝnh chÊt cÂŹ b¶n nhÊt. §Þnh lÝ sau Ÿ©y cho mĂ©t thuËt tožn Ÿn gi¶n ¼Ó xžc ¼Þnh cžc sĂš nguyÂȘn tĂš. §Þnh lÝ 2.5. MĂ€i hĂźp sĂš n ¼Òu cĂŁ −íc nguyÂȘn tĂš nhĂĄ hÂŹn n . V n M a th .C o m V n M a th .C o m
10 ThËt vËy, v× n l” mĂ©t hĂźp sĂš nÂȘn ta cĂŁ thÓ viÕt n=ab, trong Ÿã a v” b l” cžc sĂš nguyÂȘn vĂ­i 1<a≀b<n. RĂą r”ng ta ph¶i cĂŁ a hoÆc b kh«ng v−üt quž n , gi¶ sö Ÿã l” a. Šíc nguyÂȘn tĂš cña a cĂČng ŸÄng thĂȘi l” −íc nguyÂȘn tĂš cña n. TĂ” ¼Þnh lÝ trÂȘn, ta cĂŁ thuËt tožn sau Ÿ©y ¼Ó t×m ra cžc sĂš nguyÂȘn tĂš nhĂĄ hÂŹn hoÆc b»ng sĂš n cho tr−íc. S”ng Eratosthenes. Tr−íc tiÂȘn, ta viÕt d·y cžc sĂš tĂč nhiÂȘn tĂ” 1 ¼Õn n. Trong d·y Ÿã gÂčch Âźi sĂš 1, v× nĂŁ kh«ng ph¶i l” sĂš nguyÂȘn tĂš. SĂš nguyÂȘn tĂš ¼Çu tiÂȘn cña d·y l” 2. TiÕp theo Ÿã ta gÂčch khĂĄi d·y sĂš tÊt c¶ nhĂ·ng sĂš chia hÕt cho 2. SĂš ¼Çu tiÂȘn kh«ng chia hÕt cho 2 l” 3: Ÿã chÝnh l” sĂš nguyÂȘn tĂš. Ta lÂči gÂčch khĂĄi d·y cßn lÂči nhĂ·ng sĂš n”o chia hÕt cho 3. TiÕp tĂŽc nh− thÕ, ta gÂčch khĂĄi d·y nhĂ·ng sĂš chia hÕt cho mĂ€i sĂš nguyÂȘn tĂš bÐ hÂŹn n . Theo ¼Þnh lÝ trÂȘn, nhĂ·ng sĂš cßn lÂči cña d·y l” tÊt c¶ cžc sĂš nguyÂȘn tĂš kh«ng v−üt quž n. ThËt vËy, cžc hĂźp sĂš kh«ng v−üt quž n, theo ¼Þnh lÝ trÂȘn, ¼Òu ph¶i cĂŁ −íc nguyÂȘn tĂš nhĂĄ hÂŹn n , v” do Ÿã Ÿ· bÞ gÂčch khĂĄi d·y sĂš trong mĂ©t b−íc n”o Ÿã cña thuËt tožn. S”ng Eratosthenes, mÆc dĂŻ cho ta thuËt tožn xžc ¼Þnh mĂ€i sĂš nguyÂȘn tĂš kh«ng v−üt quž mĂ©t sĂš cho tr−íc, rÊt Ýt ¼−üc sö dĂŽng ¼Ó xžc ¼Þnh xem mĂ©t sĂš Ÿ· cho cĂŁ ph¶i l” sĂš nguyÂȘn tĂš hay kh«ng. NguyÂȘn nh©n l” v× thuËt tožn cĂŁ Ÿé phĂžc tÂčp quž lĂ­n: ¼Ó kiÓm tra n, ta ph¶i thĂčc hiÖn phÐp chia cho tÊt c¶ cžc sĂš nguyÂȘn tĂš kh«ng v−üt quž n . Ta h·y xÐt sÂŹ qua vÒ Ÿé phĂžc tÂčp cña thuËt tožn nĂŁi trÂȘn. VĂ­i mçi sĂš thĂčc d−¬ng x cho tr−íc ta kÝ hiÖu π (x) sĂš cžc sĂš nguyÂȘn tĂš kh«ng v−üt quž x. Khi Ÿã, theo ¼Þnh lÝ Hadamard-ValÐe-Poussin ta cĂŁ: lim ( ) / logx x x x→∞ π = 1. Nh− vËy, sĂš cžc sĂš nguyÂȘn tĂš kh«ng v−üt quž n l” v”o kho¶ng n /log n =2 n /logn. §Ó chia n cho m, ta cÇn O(log2n. log2m) phÐp tÝnh bit. Nh− vËy, sĂš cžc phÐp tÝnh bit cÇn thiÕt ¼Ó kiÓm tra n cĂŁ ph¶i l” sĂš nguyÂȘn tĂš hay kh«ng Ýt nhÊt l” (2 n /logn)(Clog2n)=C n ( Ă« Ÿ©y ta dĂŻng −íc l−üng rÊt sÂŹ l−üc log2 m ≄1). Nh− vËy, nÕu n v”o cĂŹ kho¶ng 100 chĂ· sĂš thËp ph©n, sĂš cžc phÐp tÝnh bit ph¶i dĂŻng sÏ v”o cĂŹ 1050 . VĂ­i nhĂ·ng mžy tÝnh thĂčc hiÖn mĂ©t triÖu phÐp tÝnh trong mĂ©t gi©y, thĂȘi gian cÇn thiÕt sÏ v”o kho¶ng 3,1.1036 nšm! Ta kÕt thĂłc tiÕt n”y b»ng ¼Þnh lĂœ quan trĂ€ng sau Ÿ©y, th−ĂȘng ¼−üc gĂ€i l” ¼Þnh lĂœ cÂŹ b¶n cña sĂš hĂ€c . §Þnh lÝ 2.6. MĂ€i sĂš nguyÂȘn tĂš lĂ­n hÂŹn 1 ¼Òu ph©n tÝch ¼−üc mĂ©t cžch duy nhÊt th”nh tÝch cžc sĂš nguyÂȘn tĂš, trong Ÿã cžc thĂ”a sĂš ¼−üc viÕt vĂ­i thĂž tĂč kh«ng gi¶m. ChĂžng minh. Gi¶ sö tĂ„n tÂči nhĂ·ng sĂš kh«ng viÕt ¼−üc th”nh tÝch cžc sĂš nguyÂȘn tĂš. GĂ€i n l” sĂš bÐ nhÊt trong cžc sĂš Ÿã. Nh− vËy, n ph¶i l” hĂźp sĂš, n=a.b, vĂ­i a, b<n. Do ¼Þnh nghÜa cña n cžc sĂš a v” b ph©n tÝch ¼−üc th”nh tÝch cžc sĂš nguyÂȘn tĂš, nghÜa l” n cĂČng ph©n tÝch ¼−üc. M©u thuÉn vĂ­i gi¶ thiÕt. Cßn ph¶i chĂžng minh ph©n tÝch l” duy nhÊt. Gi¶ sö ta cĂŁ: V n M a th .C o m V n M a th .C o m
11 n=p1 p2 ...ps=q1q2...qr, trong Ÿã pi, qj l” cžc sĂš nguyÂȘn tĂš. Gi¶n −íc nhĂ·ng sĂš nguyÂȘn tĂš b»ng nhau cĂŁ mÆt trong hai vÕ, ta ¼−üc ÂźÂŒng thĂžc pi1pi2...piu=qj1qj2...qjv,, trong Ÿã kh«ng cĂŁ sĂš nguyÂȘn tĂš n”o cĂŁ mÆt c¶ hai vÕ. Nh− vËy, vÕ trži chia hÕt cho qj1, v” do Ÿã ph¶i tĂ„n tÂči mĂ©t thĂ”a sĂš cña tÝch chia hÕt cho qj1: ÂźiÒu Ÿã v« lĂœ, v× Ÿ©y l” tÝch cžc sĂš nguyÂȘn tĂš khžc vĂ­i qj1. Ph©n tÝch nh− trÂȘn cña cžc sĂš nguyÂȘn ¼−üc gĂ€i l” ph©n tÝch ra thĂ”a sĂš nguyÂȘn tĂš. Khi n l” mĂ©t sĂš rÊt lĂ­n, viÖc kiÓm tra xem n l” sĂš nguyÂȘn tĂš hay hĂźp sĂš, v” nÕu l” hĂźp sĂš th× t×m ph©n tÝch cña nĂŁ ra thĂ”a sĂš nguyÂȘn tĂš, l” mĂ©t b”i tožn hÕt sĂžc khĂŁ khšn. Trong nhĂ·ng phÇn tiÕp theo cña cuĂšn sžch, ta sÏ t×m hiÓu nhiÒu thuËt tožn ¼Ó l”m viÖc Ÿã, cĂČng nh− cžc Ăžng dĂŽng cña nĂŁ trong thĂčc tiÔn. §3. ThuËt tožn Euclid. MĂ©t trong nhĂ·ng thuËt tožn cÂŹ b¶n v” l©u ÂźĂȘi nhÊt cña tožn hĂ€c l” thuËt tožn Euclid. ThuËt tožn Ÿã cho phÐp xžc ¼Þnh −íc chung lĂ­n nhÊt cña hai sĂš nguyÂȘn cho tr−íc. Khi tr×nh b”y thuËt tožn Euclid, ta nhŸc lÂči sÂŹ qua khži niÖm ŸÄng d−. NhĂ·ng tÝnh chÊt cÇn dĂŻng cña ŸÄng d− v” cžc tÝnh chÊt cÂŹ b¶n cña −íc chung lĂ­n nhÊt ¼−üc cho trong cžc b”i tËp cña ch−¬ng n”y. Gi¶ sö m l” mĂ©t sĂš nguyÂȘn d−¬ng. Ta nĂŁi hai sĂš nguyÂȘn a v” b l” ŸÄng d− vĂ­i nhau modulo m nÕu m chia hÕt hiÖu a-b ( ta dĂŻng cžch viÕt m | (a-b)). §Ó chØ quan hÖ ŸÄng d−, ta dĂŻng kĂœ hiÖu a ≡ b (mod m). Nh− vËy, a ≡ b (mod m) khi v” chØ khi tĂ„n tÂči sĂš nguyÂȘn k sao cho a=b+km. Quan hÖ ŸÄng d− l” mĂ©t trong nhĂ·ng quan hÖ cÂŹ b¶n cña sĂš hĂ€c, v” ta sÏ gÆp th−ĂȘng xuyÂȘn trong nhĂ·ng phÇn tiÕp theo cña cuĂšn sžch. Trong thuËt tožn Euclid, ta chØ dĂŻng quan hÖ Ÿã ¼Ó diÔn ÂźÂčt ngŸn gĂ€n vÒ phÇn d− cña phÐp chia. ThuËt tožn sau Ÿ©y cho phÐp tÝnh −íc chung lĂ­n nhÊt (ŠCLN) d cña hai sĂš nguyÂȘn kh«ng ©m a v” b (kĂœ hiÖu l” d=(a,b)). ThuËt tožn Euclid E1. [KÕt thĂłc?] NÕu b=0, in ra a v” kÕt thĂłc thuËt tožn. E2. [Chia Euclid] §Æt r←a mod b, a←b, b←r v” quay vÒ b−íc 1. VÝ dĂŽ: tÝnh d=(24,63) b»ng thuËt tožn Euclid. Ta cĂŁ: d=(24,63) = (15,24)=(9,15)=(6,9)=(3,6)=(0,3)=3. V n M a th .C o m V n M a th .C o m
12 §Þnh lĂœ sau Ÿ©y vĂ”a cho ta mĂ©t chĂžng minh tÝnh Ÿóng ÂźÂŸn cña thuËt tožn Euclid, vĂ”a cho mĂ©t −íc l−üng vÒ Ÿé phĂžc tÂčp cña nĂŁ. §Þnh lÝ LamÐ. SĂš phÐp chia cÇn thiÕt ¼Ó t×m ŠCLN cña hai sĂš nguyÂȘn d−¬ng b»ng thuËt tožn Euclid kh«ng v−üt quž 5 lÇn sĂš chĂ· sĂš thËp ph©n cña sĂš bÐ trong hai sĂš Ÿ· cho. ChĂžng minh. Gi¶ sö a>b l” hai sĂš nguyÂȘn d−¬ng cho tr−íc. B»ng thuËt tožn Euclid, ta cĂŁ: a=r0, b=r1 v”: r0=r1q1+r2, 0≀r2<r1 r1=r2q2+r3, 0≀r3<r2 . . . . . . . . . . . . . . . rn-2=rn-1qn-1+rn, 0≀rn<rn-1 rn-1=rnqn Nh− vËy, ta Ÿ· l”m n phÐp chia. Trong cžc phÐp chia Ÿã, ta cĂŁ: q1, q2, ...,qn-1 ≄1, qn ≄2, rn <rn-1. TĂ” Ÿã suy ra: rn ≄1=f2, rn-1 ≄2rn ≄2f2=f3 rn-2 ≄ rn-1+ rn ≄f3+f2=f4 rn-3 ≄ rn-2+ rn-1 ≄f4+f5=f6 . . . . . . . . . . . . . . . . . r2 ≄r3+ r4 ≄fn-1+fn-2=fn b=r1 ≄ r2+ r3 ≄ fn+fn-1=fn+1 ChĂł Ăœ r»ng, d·y sĂš {fn} nhËn ¼−üc chÝnh l” d·y sĂš Fibonaci quen thuĂ©c trong sĂš hĂ€c. §Úi vĂ­i d·y sĂš n”y, b»ng quy nÂčp, dÔ chĂžng minh −íc l−üng sau Ÿ©y: fn>( 1 5 2 + )n-2 . TĂ” bÊt ÂźÂŒng thĂžc b≄fn+1 ta cĂŁ: log10b≄ (n-1)log10( 1 5 2 + )>(n-1)/5 §Þnh lÝ ¼−üc chĂžng minh. HÖ qu¶ 2.6. Gi¶ sö a<b, khi Ÿã sĂš cžc phÐp tÝnh bit cÇn thiÕt ¼Ó thĂčc hiÖn thuËt tožn Euclid l” O((log2a)3 ). V n M a th .C o m V n M a th .C o m
13 ThËt vËy, sĂš phÐp chia ph¶i l”m l” O(log2a), v” mçi phÐp chia cÇn O((log2a)2 ) phÐp tÝnh bit. ThuËt tožn Euclid, mÆc dĂŻ Ÿ· ra ÂźĂȘi h”ng ngh×n nšm, vÉn l” thuËt tožn tĂšt nhÊt ¼Ó t×m ŠCLN cña hai sĂš nguyÂȘn cho tr−íc! Cho ¼Õn nšm 1967, J.Stein x©y dĂčng ¼−üc mĂ©t thuËt tožn khž thuËn tiÖn ¼Ó t×m ŠCLN trong tr−ĂȘng hĂźp cžc sĂš Ÿ· cho ¼−üc viÕt d−íi dÂčng nhÞ ph©n. Šu ÂźiÓm chñ yÕu cña thuËt tožn n”y l” ta kh«ng cÇn l”m cžc phÐp tÝnh chia (thĂčc ra ta cĂŁ l”m phÐp chia sĂš chÂœn cho 2, nh−ng trong cÂŹ sĂš 2 th× Ÿã l” phÐp dÞch chuyÓn sĂš Ÿ· cho sang ph¶i mĂ©t vÞ trÝ). ThuËt tožn dĂča trÂȘn nhĂ·ng nhËn xÐt Ÿn gi¶n sau (xem phÇn b”i tËp cuĂši ch−¬ng): 1) NÕu a,b l” cžc sĂš chÂœn, th× (a,b)=2(a/2,b/2). 2) NÕu a chÂœn, b lÎ, th× (a,b)=(a/2,b). 3) NÕu a,b ¼Òu lÎ th× a-b chÂœn v” |a-b|<max(a,b). 4) (a,b)=(a-b,b). ThuËt tožn Ÿã ¼−üc m« t¶ nh− sau ( chĂłng t«i d”nh phÇn chĂžng minh cho Ÿéc gi¶). ThuËt tožn t×m ŠCLN cña hai sĂš nguyÂȘn d−¬ng a,b. E’1. (T×m luĂŒ thĂ”a cña 2) §Æt k←0 v” lËp liÂȘn tiÕp phÐp tÝnh sau cho ¼Õn khi Ýt nhÊt mĂ©t trong hai sĂš a, b lÎ: ¼Æt k←k+1, a←a/2, b←b/2. E’2. (XuÊt phžt). (Ă« b−íc xuÊt phžt n”y, a, b ¼Òu Ÿ· ¼−üc chia cho 2k , v” cĂŁ Ýt nhÊt mĂ©t trong hai sĂš l” lÎ). NÕu a lÎ, ¼Æt t←-b v” chuyÓn sang E’4. NÕu ng−üc lÂči, ¼Æt t←a. E’3. (Chia Ÿ«i t). (TÂči thĂȘi ÂźiÓm n”y, t chÂœn, khžc 0). §Æt t←t/2. E’4. (t cĂŁ chÂœn hay kh«ng?) NÕu t chÂœn quay vÒ E’3. E’5. (SŸp xÕp lÂči max(a,b)). NÕu t>0, ¼Æt a←t; nÕu ng−üc lÂči, ¼Æt b←-t. Nh− vËy, sĂš lĂ­n nhÊt trong hai sĂš Ÿ· ¼−üc thay bĂ«i |t|. E’6. (TrĂ”) §Æt t←a-b. NÕu t ≠ 0, quay lÂči E’3. NÕu ng−üc lÂči thuËt tožn kÕt thĂłc v” in ra a.2k . Ngo”i thuËt tožn Euclid nĂŁi trÂȘn, trong nhiÒu tr−ĂȘng hĂźp, ta cÇn ¼Õn thuËt tožn Euclid mĂ« rĂ©ng. ThuËt tožn n”y kh«ng nhĂ·ng cho ta thuËt tožn t×m ŠCLN cña hai sĂš a, b, m” cßn cho ta biÓu diÔn d=(a,b) d−íi dÂčng tĂŠ hĂźp tuyÕn tÝnh cña a, b: d=ma+nb, trong Ÿã m, n l” cžc sĂš nguyÂȘn. Tr−íc hÕt, ta chĂžng minh bĂŠ ¼Ò sau: BĂŠ ¼Ò 2.7: ŠCLN cña cžc sĂš nguyÂȘn a v” b l” sĂš d d−¬ng nhĂĄ nhÊt biÓu diÔn ¼−üc d−íi dÂčng tĂŠ hĂźp tuyÕn tÝnh cña a v” b. V n M a th .C o m V n M a th .C o m
14 ThËt vËy, gi¶ sö d l” sĂš nguyÂȘn d−¬ng nhĂĄ nhÊt biÓu diÔn ¼−üc d−íi dÂčng d=ma+nb. Ta chĂžng tĂĄ d l” −íc chung cña a v” b. XÐt phÐp chia a=dq+r, trong Ÿã 0≀r<d. RĂą r”ng r cĂČng l” mĂ©t tĂŠ hĂźp tuyÕn tÝnh cña a v” b, nÂȘn do d l” sĂš nguyÂȘn d−¬ng nhĂĄ nhÊt cĂŁ tÝnh chÊt Ÿã, r=0. T−¬ng tĂč, d l” −íc cña b. DÔ thÊy r»ng, mĂ€i −íc chung khžc cña a v” b cĂČng l” −íc cña d: vËy d chÝnh l” −íc chung lĂ­n nhÊt. Khi cho hai sĂš a, b, ¼Ó t×m biÓu diÔn cña d nh− trong bĂŠ ¼Ò, ta th−ĂȘng l” nh− sau: viÕt a=bv+q, 0≀q<b. Sau Ÿã,lÂči viÕt b=uq+r=u(a-bv)+r, 0≀r<q. TiÕp tĂŽc quž tr×nh Ÿã, do cžc sĂš d− q, r gi¶m dÇn nÂȘn ta thu ¼−üc biÓu diÔn cÇn thiÕt. §iÒu vĂ”a nĂŁi ¼−üc thÓ hiÖn trong thuËt tožn sau Ÿ©y, m” chĂžng minh chÆt chÏ ¼−üc d”nh cho Ÿéc gi¶. ThuËt tožn Euclid mĂ« rĂ©ng. Cho hai sĂš nguyÂȘn kh«ng ©m u, v, t×m (u1,u2,u3) sao cho (u,v)=u3=uu1+vu2. Trong tÝnh tožn, ta thÂȘm v”o cžc Èn phĂŽ (v1,v2,v3), (t1,t2,t3) v” lu«n cĂŁ trong mĂ€i b−íc cžc ÂźÂŒng thĂžc sau Ÿ©y: ut1+vt2=t3, uv1+vv2=v3, uu1+vu2=u3. Ed1.(XuÊt phžt). §Æt (u1,u2,u3)←(1,0,u), (v1,v2,v3) ←(0,1,v). Ed2. (KiÓm tra v3=0?) NÕu v3=0, thuËt tožn kÕt thĂłc. Ed3. (Chia, trĂ”). §Æt q← [u3/v3], v” sau Ÿã ¼Æt (t1,t2,t3)←(u1,u2,u3)-q(v1,v2,v3), (v1,v2,v3)←(t1,t2,t3) v” quay vÒ b−íc 2. VÝ dĂŽ. Cho a=63, b=24. DĂŻng thuËt tožn Euclid ta cĂŁ: - B−íc 1. u1=1, u2=0, u3=63, v1=0, v2=1, v3 =24. - B−íc 2. q=2, u1 =0, u2=1, u3=24, v1=1, v2=-2, v3=15. - B−íc 3. q=1, u1=1, u2=-2, u3=15, v1=-1, v2=3, v3=9. - B−íc 4. q=1, u1=-1, u2=3, u3=9, v1=2, v2=-5, v3=6. - B−íc 5. q=1, u1=2, u2=-5, u3=6, v1=-3, v2=8, v3=3. - B−íc 6. q=2, u1=-3, u2=8, u3=3, v1=8, v2=-21, v3=0. Ta cĂŁ biÓu diÔn: 3=(-3)64+8.24. §4. §Þnh lÝ Trung QuĂšc vÒ phÇn d−: Gi¶ sö m1,m2,...,mr l” cžc sĂš nguyÂȘn d−¬ng nguyÂȘn tĂš cĂŻng nhau tĂ”ng cÆp. Khi Ÿã hÖ ŸÄng d−: x1 ≡ a1(mod m1), x2 ≡ a2(mod m2), V n M a th .C o m V n M a th .C o m
15 ... ... ... xr ≡ ar(mod mr). CĂŁ nghiÖm duy nhÊt modulo M=m1m2...mr. ChĂžng minh. Tr−íc hÕt ta x©y dĂčng mĂ©t nghiÖm cña hÖ. Gi¶ sö Mk=M/mk= m1m2...mk-1mk+1...mr. Ta biÕt r»ng (Mk,mk)=1 v× (mj,mk)=1 vĂ­i mĂ€i j ≠ k. Nh− vËy, theo b”i tËp 2.18 ta cĂŁ thÓ t×m mĂ©t nghÞch ٦o yk cña Mk modulo mk, tĂžc l” Mkyk ≡ 1 (mod mk). §Æt x=a1M1y1+ a2M2y2 +...+ arMryr . Ta thÊy r»ng x ≡ ak(mod mk) vĂ­i mĂ€i k v× mk |Mj vĂ­i j ≠ k nÂȘn Mj ≡ 0 (mod mk) khi j ≠ k. Nh− vËy, x chÝnh l” mĂ©t nghiÖm cña hÖ Âźang xÐt. Ta chĂžng tĂĄ r»ng nghiÖm vĂ”a x©y dĂčng l” duy nhÊt modulo M. Gi¶ sö x0, x1 l” hai nghiÖm cña hÖ. Khi Ÿã, vĂ­i mçi k, x0 ≡ x1 ≡ ak (mod mk), cho nÂȘn mk | (x0-x1). Theo b”i tËp 2.17, M | (x0-x1). §Þnh lÝ ¼−üc chĂžng minh. §Þnh lÝ Trung QuĂšc vÒ phÇn d− liÂȘn quan b”i tožn nĂŠi tiÕng “H”n TÝn ÂźiÓm binh”. T−¬ng truyÒn r»ng, ¼Ó kiÓm tra qu©n sĂš, H”n TÝn th−ĂȘng ra lÖnh cho qu©n sÜ xÕp th”nh h”ng 3, h”ng 5, h”ng 7 v” th«ng bžo cho «ng cžc sĂš d−. Khi biÕt cžc sĂš d− v” Ÿ· cĂŁ sÂœn th«ng tin gÇn Ÿóng vÒ sĂš qu©n cña m×nh, H”n TÝn dĂŻng ¼Þnh lÝ trÂȘn Ÿ©y ¼Ó suy ra sĂš qu©n chÝnh xžc. §Þnh lÝ Trung QuĂšc vÒ phÇn d− ¼−üc sö dĂŽng trong mžy tÝnh ¼Ó l”m viÖc vĂ­i nhĂ·ng sĂš lĂ­n. §Ó ¼−a mĂ©t sĂš nguyÂȘn lĂ­n tuĂș Ăœ v”o mžy tÝnh v” l”m cžc phÐp tÝnh sĂš hĂ€c vĂ­i chĂłng, ta cÇn cĂŁ nhĂ·ng kÜ thuËt ¼Æc biÖt. Theo ¼Þnh lÝ Trung quĂšc vÒ phÇn d−, khi cho tr−íc cžc modun nguyÂȘn tĂš cĂŻng nhau m1,m2,...,mr, mĂ©t sĂš d−¬ng n<M= m1m2...mr ¼−üc xžc ¼Þnh duy nhÊt bĂ«i cžc thÆng d− d−¬ng bÐ nhÊt cña nĂŁ theo modulo mj vĂ­i j=1,2,...,r. Gi¶ sö r»ng cĂŹ tĂ” cña mžy chØ l” 100, nh−ng ta cÇn l”m cžc phÐp tÝnh sĂš hĂ€c vĂ­i nhĂ·ng sĂš nguyÂȘn cĂŹ 106 . Tr−íc tiÂȘn ta t×m cžc sĂš nguyÂȘn nhĂĄ hÂŹn 100, nguyÂȘn tĂš cĂŻng nhau tĂ”ng cÆp, sao cho tÝch cña chĂłng v−üt quž 106 . ChÂŒng hÂčn, ta cĂŁ thÓ lÊy m1=99, m2=98, m3=97, m4=95. Ta chuyÓn cžc sĂš nguyÂȘn bÐ hÂŹn 106 th”nh nhĂ·ng bĂ© 4 sĂš theo thÆng d− d−¬ng bÐ nhÊt modulo m1,m2,m3,m4 (¼Ó l”m ¼−üc ÂźiÒu n”y, ta cĂČng ph¶i l”m viÖc vĂ­i nhĂ·ng sĂš nguyÂȘn lĂ­n! Tuy nhiÂȘn ÂźiÒu Ÿã chØ cÇn l”m mĂ©t lÇn vĂ­i input, v” mĂ©t lÇn nĂ·a vĂ­i ouput). Nh− vËy, chÂŒng hÂčn ¼Ó cĂ©ng cžc sĂš nguyÂȘn, ta chØ cÇn cĂ©ng cžc thÆng d− d−¬ng bÐ nhÊt cña chĂłng modulo m1,m2,m3,m4. Sau Ÿã lÂči dĂŻng ¼Þnh lÝ Trung QuĂšc vÒ phÇn d− ¼Ó t×m bĂ© 4 sĂš t−¬ng Ăžng vĂ­i tĂŠng. VÝ dĂŽ. Ta muĂšn tÝnh tĂŠng x=123684, y=413456 vĂ­i mĂ©t mžy tÝnh cĂŹ tĂ” l” 100. Ta cĂŁ: x ≡ 33(mod 99), 8(mod 98), 9(mod 97), 89(mod 95) y ≡ 32(mod 99), 92(mod 98), 42(mod 97), 16(mod 95) Nh− vËy, x+y ≡ 65(mod 99), 2(mod 98), 51(mod 97), 10(mod 95) V n M a th .C o m V n M a th .C o m
16 B©y giĂȘi ta dĂŻng ¼Þnh lÝ Trung QuĂšc vÒ phÇn d− ¼Ó t×m x+y modulo M=99.98.97.95=89403930. Ta cĂŁ: M1=M/99=903070, M2=M/98=912288, M3=M/97=921690, M4=M/95=941094. Ta cÇn t×m ng−üc cña Mi(mod yi) vĂ­i i=1,2,3,4, tĂžc l” gi¶i hÖ ph−¬ng tr×nh ŸÄng d− sau Ÿ©y (B»ng thuËt chia Euclid): 903070y1 ≡ 91y1 ≡ 1(mod 99) 912285y2 ≡ 3y2 ≡ 1(mod 98) 921690y3 ≡ 93y3 ≡ 1(mod 97) Ta t×m ¼−üc: y1 ≡ 37(mod 99), y2 ≡ 38(mod 98), y3 ≡ 24(mod 97), y4 ≡ 4(mod 95). Nh− vËy, x+y=65.903070.37+2.912285.33+51.921690.24+10.941094.4=3397886480 ≡ 537140(mod 89403930) V× 0<x+y<89403930, ta suy ra x+y=537140. RÊt cĂŁ thÓ Ÿéc gi¶ cho r»ng, cžch cĂ©ng hai sĂš sö dĂŽng ¼Þnh lÝ Trung QuĂšc vÒ phÇn d− quž phĂžc tÂčp so vĂ­i cžch cĂ©ng th«ng th−ĂȘng. Tuy nhiÂȘn, cÇn chĂł Ăœ r»ng, trong vÝ dĂŽ trÂȘn Ÿ©y, ta l”m viÖc vĂ­i cžc sĂš nhĂĄ. Khi cžc sĂš cÇn cĂ©ng cĂŁ Ÿé lĂ­n v−üt xa cĂŹ tĂ” cña mžy, cžc quy tŸc cĂ©ng “th«ng th−ĂȘng” kh«ng cßn žp dĂŽng ¼−üc nĂ·a. NĂŁi chung cĂŹ tĂ” cña mžy tÝnh l” luĂŒ thĂ”a rÊt lĂ­n cña 2, chÂŒng hÂčn 235 . Nh− vËy, ¼Ó sö dĂŽng ¼Þnh lÝ Trung QuĂšc vÒ phÇn d−, ta cÇn cžc sĂš nhĂĄ hÂŹn 235 nguyÂȘn tĂš cĂŻng nhau tĂ”ng cÆp. §Ó t×m cžc sĂš nguyÂȘn nh− vËy, thuËn tiÖn nhÊt l” dĂŻng cžc sĂš dÂčng 2m -1, trong Ÿã m l” sĂš nguyÂȘn d−¬ng. Cžc phÐp tÝnh sĂš hĂ€c vĂ­i nhĂ·ng sĂš cĂŁ dÂčng nh− vËy t−¬ng ŸÚi Ÿn gi¶n dĂča v”o bĂŠ ¼Ò sau. BĂŠ ¼Ò 2.8. NÕu a v” b l” cžc sĂš nguyÂȘn d−¬ng th× thÆng d− d−¬ng bÐ nhÊt modulo 2b - 1 cña 2a -1 l” 2r -1, trong Ÿã r l” thÆng d− d−¬ng bÐ nhÊt cña a modulo b. ThËt vËy, nÕu a=bq+r, trong Ÿã r l” thÆng d− d−¬ng bÐ nhÊt cña a modulo b, th× ta cĂŁ (2a -1)=(2bq+r -1)=(2b -1)(2b(q-1)+r+...+2b+r +2r )+(2r -1). HÖ qu¶ 2.9. NÕu a v” b l” cžc sĂš nguyÂȘn d−¬ng, th× −íc chung lĂ­n nhÊt cña 2a -1 v” 2b -1 l” 2(a,b) -1. HÖ qu¶ 2.10. Cžc sĂš nguyÂȘn 2a -1 v” 2b -1 nguyÂȘn tĂš cĂŻng nhau khi v” chØ khi a v” b nguyÂȘn tĂš cĂŻng nhau. ChĂłng t«i d”nh viÖc chĂžng minh hai bĂŠ ¼Ò n”y cho Ÿéc gi¶. Ta cĂŁ thÓ sö dĂŽng hÖ qu¶ trÂȘn Ÿ©y ¼Ó t×m cžc sĂš nhĂĄ hÂŹn 235 , nguyÂȘn tĂš cĂŻng nhau tĂ”ng cÆp, sao cho tÝch cña chĂłng lĂ­n hÂŹn mĂ©t sĂš Ÿ· cho. Gi¶ sö ta cÇn l”m cžc phÐp tÝnh sĂš hĂ€c vĂ­i nhĂ·ng sĂš nguyÂȘn cĂŁ cĂŹ 2184 . Ta ¼Æt: m1=235 -1, m2=234 -1, m3=233 -1, m4=231 -1, m5=229 -1, m6=223 -1. V× sĂš mĂČ cña 2 trong cžc sĂš trÂȘn nguyÂȘn tĂš vĂ­i nhau tĂ”ng cÆp, nÂȘn theo hÖ qu¶ trÂȘn, cžc sĂš Ÿ· chĂ€n cĂČng nguyÂȘn tĂš vĂ­i nhsu tĂ”ng cÆp. Ta cĂŁ tÝch m1 m2 m3 m4 m5 m6>2184 . B©y giĂȘ ta cĂŁ thÓ l”m cžc phÐp tÝnh sĂš hĂ€c vĂ­i nhĂ·ng sĂš cĂŹ ¼Õn 2184 . V n M a th .C o m V n M a th .C o m
17 Trong cžc mžy tÝnh hiÖn ÂźÂči, viÖc thĂčc hiÖn nhiÒu phÐp tÝnh ¼−üc tiÕn h”nh ŸÄng thĂȘi. V× thÕ viÖc sö dĂŽng ¼Þnh lÝ Trung QuĂšc vÒ phÇn d− nh− trÂȘn lÂči c”ng tiÖn lĂźi: thay cho viÖc l”m cžc phÐp tÝnh vĂ­i cžc sĂš nguyÂȘn lĂ­n, ta l”m nhiÒu phÐp tÝnh ŸÄng thĂȘi vĂ­i nhĂ·ng sĂš nguyÂȘn bÐ hÂŹn. §iÒu Ÿã gi¶m Ÿžng kÓ thĂȘi gian tÝnh tožn. V n M a th .C o m V n M a th .C o m
18 ThuËt tožn gi¶i ph−¬ng tr×nh ŸÄng d− b»ng ¼Þnh lÝ Trung QuĂšc TĂ” chĂžng minh ¼Þnh lÝ Trung QuĂšc vÒ phÇn d−, ta cĂŁ thuËt tožn sau Ÿ©y ¼Ó gi¶i hÖ ph−¬ng tr×nh ŸÄng d− x ≡ xi (mod mi), trong Ÿã mi, 1≀ i≀k l” cžc sĂš nguyÂȘn tĂš vĂ­i nhau tĂ”ng cÆp, xi l” cžc sĂš nguyÂȘn cho tr−íc. Trong thuËt tožn tr×nh b”y sau Ÿ©y, chĂłng ta Ÿ· t×m ra cžch ¼Ó tržnh ph¶i l”m viÖc vĂ­i cžc sĂš lĂ­n nh− Mi v” aiMi. ThuËt tožn. 1. (XuÊt phžt). §Æt j←2, C1 ←1. HÂŹn nĂ·a ta sŸp xÕp lÂči cžc sĂš mi theo thĂž tĂč tšng dÇn. 2. (TÝnh tožn sÂŹ bĂ©). §Æt p←m1m2...mj-1(mod mj). TÝnh (u,v,d) sao cho up+vmj=d=UCLN(p,mj) b»ng thuËt tožn Euclid mĂ« rĂ©ng. Ed. NÕu d>0, in ra th«ng bžo: cžc mi kh«ng nguyÂȘn tĂš cĂŻng nhau tĂ”ng cÆp. NÕu ng−üc lÂči, ¼Æt Cj ←u, j←j+1 v” chuyÓn sang b−íc 3 nÕu j≀k. 3. (TÝnh cžc h»ng sĂš phĂŽ). §Æt y1 ←x1 mod m1, v” mçi j=2,...,k tÝnh: yj ←(xj-(y1+m1(y2+m2(y3+...+mj-2yj-1)...))Cjmod mj. 4. (KÕt thĂłc). In ra x← y1+m1(y2+m2(y3+...+mk-1yk)...), v” kÕt thĂłc thuËt tožn. §5. MĂ©t sĂš ŸÄng d− ¼Æc biÖt. §Þnh lÝ Wilson. p l” sĂš nguyÂȘn tĂš khi v” chØ khi (p-1)! ≡ -1 (mod p). ChĂžng minh. Tr−íc tiÂȘn, gi¶ sö p l” sĂš nguyÂȘn tĂš. Khi p=2, ta cĂŁ (p-1)! ≡ 1 ≡ -1(mod 2). B©y giĂȘ gi¶ sö p l” sĂš nguyÂȘn tĂš lĂ­n hÂŹn 2. Theo b”i tËp 2.18, vĂ­i mçi sĂš nguyÂȘn a vĂ­i 1≀a≀p-1, tĂ„n tÂči nghÞch ٦o a , 1≀ a ≀p-1, vĂ­i aa ≡ 1(mod p). Theo b”i tËp 2.13, trong sĂš cžc sĂš nguyÂȘn d−¬ng nhĂĄ hÂŹn p, chØ cĂŁ 1 v” p-1 l” nghÞch ٦o vĂ­i chÝnh nĂŁ. Nh− vËy ta cĂŁ thÓ nhĂŁm cžc sĂš nguyÂȘn tĂ” 2 ¼Õn p-2 th”nh (p-3)/2 cÆp sĂš nguyÂȘn, tÝch cña mçi cÆp ŸÄng d− vĂ­i 1 modulo p. Nh− vËy ta cĂŁ: 2.3.....(p-3)(p-2) ≡ 1 (mod p) Nh©n hai vÕ vĂ­i 1 v” p-1 ta ¼−üc: (p-1)! ≡ 1.2.3...(p-2)(p-1) ≡ 1(p-1) ≡ -1(mod p) Ng−üc lÂči gi¶ sö p tho¶ m·n ŸÄng d− phžt biÓu trong ¼Þnh lÝ v” a l” mĂ©t −íc sĂš cña p, a<p. Khi Ÿã, a | (p-1)!. Nh−ng theo gi¶ thiÕt, p | (p-1)!+1, tĂ” Ÿã suy ra a=1, v× l” −íc chung cña p v” (p-1)!. VËy p l” sĂš nguyÂȘn tĂš, ¼Þnh lÝ ¼−üc chĂžng minh. V n M a th .C o m V n M a th .C o m
19 §Þnh lÝ Wilson cĂŁ thÓ ¼−üc dĂŻng ¼Ó kiÓm tra mĂ©t sĂš cĂŁ ph¶i l” sĂš nguyÂȘn tĂš hay kh«ng. Tuy nhiÂȘn , dÔ thÊy r»ng, thuËt tožn dĂča theo ¼Þnh lÝ Wilson khĂŁ cĂŁ thÓ sö dĂŽng vĂ­i nhĂ·ng sĂš nguyÂȘn lĂ­n, bĂ«i v× sĂš cžc phÐp tÝnh bit ¼ßi hĂĄi quž cao. §Ó Ÿn gi¶n, ta gĂ€i c«ng viÖc xem xÐt mĂ©t sĂš Ÿ· cho cĂŁ ph¶i l” sĂš nguyÂȘn tĂš hay kh«ng l” kiÓm tra nguyÂȘn tĂš. §Þnh lÝ sau Ÿ©y cĂŁ nhiÒu Ăžng dĂŽng trong kiÓm tra nguyÂȘn tĂš. §Þnh lÝ Fermat bÐ. NÕu p l” sĂš nguyÂȘn tĂš v” a l” sĂš kh«ng chia hÕt cho p th× ap-1 ≡ 1(mod p). ChĂžng minh. XÐt p-1 sĂš nguyÂȘn a, 2a,..., (p-1)a. Cžc sĂš Ÿã ¼Òu kh«ng chia hÕt cho p v” kh«ng cĂŁ hai sĂš n”o ŸÄng d− modulo p. Nh− vËy, cžc thÆng d− d−¬ng bÐ nhÊt cña chĂłng ph¶i l” 1, 2,... p-1, xÕp theo thĂž tĂč n”o Ÿã. TĂ” Ÿã ta cĂŁ: a.2a.....(p-1) ≡ 1...(p-1) ≡ (p-1)!(mod p) tĂžc l” ap-1 (p-1)! ≡ 1(mod p) V× ((p-1)!,p)=1 nÂȘn ta cĂŁ ap-1 ≡ 1(mod p). HÖ qu¶ 2.11. NÕu p l” sĂš nguyÂȘn tĂš v” a l” sĂš nguyÂȘn d−¬ng th× ap ≡ a(mod p). HÖ qu¶ 2.12. NÕu p l” sĂš nguyÂȘn tĂš v” a l” sĂš nguyÂȘn kh«ng chia hÕt cho p th× ap-2 l” nghÞch ٦o cña a modulo p. HÖ qu¶ 2.13. NÕu a v” b l” cžc sĂš nguyÂȘn d−¬ng, p nguyÂȘn tĂš, p|a th× cžc nghiÖm cña ŸÄng d− thĂžc tuyÕn tÝnh ax ≡ b(mod p) l” cžc sĂš nguyÂȘn x sao cho x ≡ ap-2 b(mod p). §6. SĂš gi¶ nguyÂȘn tĂš. Theo ¼Þnh lÝ Fermat, nÕu n l” sĂš nguyÂȘn tĂš v” b l” sĂš nguyÂȘn tuĂș Ăœ, th× bn ≡ b(mod n). Do Ÿã nÕu tĂ„n tÂči sĂš b sao cho bn /≡ b(mod n) th× n ph¶i l” hĂźp sĂš. Trong nhiÒu Ăžng dĂŽng , chĂłng ta lÂči cÇn ¼Õn cžc thuËt tožn ¼Ó chØ ra mĂ©t sĂš n l” sĂš nguyÂȘn tĂš. Trong tr−ĂȘng hĂźp n”y, ta kh«ng thÓ dĂŻng ¼Þnh lÝ Fermat bÐ, v× ¼Þnh lÝ ng−üc cña nĂŁ kh«ng Ÿóng. Tuy nhiÂȘn, nÕu mĂ©t sĂš nguyÂȘn tho¶ m·n cžc gi¶ thiÕt cña ¼Þnh lÝ Fermat bÐ th× “cĂŁ nhiÒu kh¶ nšng” nĂŁ l” mĂ©t sĂš nguyÂȘn tĂš! Ta cĂŁ ¼Þnh nghÜa sau Ÿ©y. §Þnh nghÜa 2.14. Gi¶ sö b l” mĂ©t sĂš nguyÂȘn d−¬ng. NÕu n l” hĂźp sĂš nguyÂȘn d−¬ng v” bn ≡ b(mod n) th× n ¼−üc gĂ€i l” sĂš gi¶ nguyÂȘn tĂš cÂŹ sĂ« b. Trong tr−ĂȘng hĂźp (n,b)=1, ta th−ĂȘng dĂŻng ¼Þnh nghÜa t−¬ng ¼−¬ng: bn-1 ≡ b(mod n). VÝ dĂŽ. SĂš nguyÂȘn 561=3.11.17 l” sĂš gi¶ nguyÂȘn tĂš cÂŹ sĂ« 2. ThËt vËy, žp dĂŽng ¼Þnh lÝ Fermat bÐ, ta cĂŁ 2560 =(22 )280 ≡ 1(mod 3), 2560 =(210 )56 ≡ 1(mod 11), 2560 =(216 )35 ≡ 1(mod 17). TĂ” Ÿã suy ra (b”i tËp 2.12) 2560 ≡ 1(mod 561). V n M a th .C o m V n M a th .C o m
20 NĂŁi chung cžc sĂš gi¶ nguyÂȘn tĂš Ýt hÂŹn nhiÒu so vĂ­i cžc sĂš nguyÂȘn tĂš. ChÂŒng hÂčn, cĂŁ tÊt c¶ 4550525112 sĂš nguyÂȘn tĂš bÐ hÂŹn 1010 , nh−ng chØ cĂŁ 14884 sĂš gi¶ nguyÂȘn tĂš cÂŹ sĂ« 2 trong kho¶ng Ÿã. SĂč kiÖn n”y gi¶i thÝch cžch nĂŁi Ă« trÂȘn: Cžc sĂš tho¶ m·n ¼Þnh lÝ Fermat bÐ cĂŁ nhiÒu kh¶ nšng l” sĂš nguyÂȘn tĂš. Tuy nhiÂȘn ŸÚi vĂ­i mĂ€i cÂŹ sĂ« tuĂș Ăœ, sĂš cžc sĂš gi¶ nguyÂȘn tĂš l” v« hÂčn. ChÂŒng hÂčn, ta chĂžng minh ÂźiÒu Ÿã ŸÚi vĂ­i cÂŹ sĂ« 2. §Þnh lÝ 2.15. CĂŁ v« sĂš sĂš gi¶ nguyÂȘn tĂš cÂŹ sĂ« 2. ChĂžng minh. Gi¶ sö n l” mĂ©t sĂš gi¶ nguyÂȘn tĂš cÂŹ sĂ« 2, ta sÏ chĂžng tĂĄ r»ng, m=2n -1 cĂČng l” sĂš gi¶ nguyÂȘn tĂš cÂŹ sĂ« 2. Theo gi¶ thiÕt, n l” hĂźp sĂš, chÂŒng hÂčn n=dt (1<d,t<n), v” 2n-1 ≡ 1(mod n). DÔ thÊy r»ng m l” hĂźp sĂš, v× (2d -1) | (2n -1)=m. Do n l” gi¶ nguyÂȘn tĂš, tĂ„n tÂči k sao cho 2n -2=kn. Ta cĂŁ 2m-1 =2kn , v” do Ÿã, m=(2n -1)|(2nk -1)=2m-1 -1, tĂžc l” 2m-1 ≡ 1(mod m). VËy sĂš m l” gi¶ nguyÂȘn tĂš cÂŹ sĂ« 2. Nh− vËy, ¼Ó kiÓm tra mĂ©t sĂš cĂŁ ph¶i l” sĂš nguyÂȘn tĂš hay kh«ng, tr−íc tiÂȘn ta xem nĂŁ cĂŁ l” gi¶ nguyÂȘn tĂš cÂŹ sĂ« 2 hay kh«ng, sau Ÿã cĂŁ thÓ tiÕp tĂŽc kiÓm tra ŸÚi vĂ­i cžc cÂŹ sĂ« khžc. Tuy nhiÂȘn, tĂ„n tÂči cžc sĂš gi¶ nguyÂȘn tĂš vĂ­i mĂ€i cÂŹ sĂ«, Ÿã l” cžc sĂš Carmichael. §Þnh nghÜa 2.16. HĂźp sĂš nguyÂȘn n tho¶ m·n bn-1 ≡ 1(mod n) vĂ­i mĂ€i sĂš nguyÂȘn d−¬ng b sao cho (n,b)=1 ¼−üc gĂ€i l” sĂš Carmichael. VÝ dĂŽ. SĂš nguyÂȘn 561=3.11.17 l” mĂ©t sĂš Carmichael. ThËt vËy, nÕu (b,561)=1 th× (b,3)=(b,11)=(b,17)=1. Theo ¼Þnh lÝ Fermat bÐ, ta cĂŁ b2 ≡ 1(mod 3), b10 ≡ 1(mod 11), b16 ≡ 1(mod 17). Do Ÿã, viÕt 560=2.280=10.56=16.35 ta ¼−üc: b560 =(b2 )280 ≡ 1(mod 3), b560 =(b10 )56 ≡ 1(mod 11), b560 =(b16 )35 ≡ 1(mod 17). TĂ” Ÿã suy ra (b”i tËp 2.12): b560 ≡ 1(mod 561). Gi¶ thuyÕt sau Ÿ©y mĂ­i ¼−üc chĂžng minh rÊt gÇn Ÿ©y ([AGP]): tĂ„n tÂči v« hÂčn sĂš Carmichael. §Þnh lÝ sau Ÿ©y cho mĂ©t cžch t×m sĂš Carmichael. §Þnh lÝ 2.17. NÕu n=q1q2...qk, trong Ÿã qj l” cžc sĂš nguyÂȘn tĂš khžc nhau tho¶ m·n (qj-1) |(n-1), th× n l” sĂš Carmichael. ThËt vËy, gi¶ sö b l” sĂš nguyÂȘn d−¬ng, (b,n)=1. Khi Ÿã, (b,qj)=1 vĂ­i mĂ€i j, v” b q q j j − ≡ 1 1(mod ) . V× (qj-1) |(n-1) nÂȘn bn-1 ≡ 1(mod qj), v” do Ÿã, bn-1 ≡ 1(mod n). PhÇn ٦o cña ¼Þnh lÝ trÂȘn Ÿ©y cĂČng Ÿóng, tuy nhiÂȘn ¼−üc chĂžng minh hÂŹi d”i nÂȘn ta sÏ bĂĄ qua. §éc gi¶ n”o quan t©m cĂŁ thÓ t×m ŸÀc trong [Ro]. Nh− vËy, viÖc kiÓm tra nguyÂȘn tĂš sÏ khĂŁ khšn khi gÆp ph¶i cžc sĂš Carmicheal. Tuy nhiÂȘn, ta cĂŁ thÓ khŸc phĂŽc b»ng cžch sau Ÿ©y. NÕu gÆp ŸÄng d− bn-1 ≡ 1(mod n), ta chuyÓn sang xÐt ŸÄng d− b(n--1)/2 ≡ x(mod n). NÕu n l” sĂš nguyÂȘn tĂš th× x ≡ 1 hoÆc x ≡ -1(mod n), ng−üc lÂči th× n ph¶i l” hĂźp sĂš (b”i tËp 2.22). V n M a th .C o m V n M a th .C o m
21 VÝ dĂŽ, vĂ­i sĂš Carmicheal bÐ nhÊt 561 ta cĂŁ: 5(561-1)/2 =5280 ≡ 67(mod 561). VËy, 561 l” hĂźp sĂš. VÒ sau, ta sÏ ¼Ò cËp ¼Õn nhĂ·ng thuËt tožn kiÓm tra nguyÂȘn tĂš hiÖn ÂźÂči. Trong phÇn n”y, ¼Ó thÊy thÂȘm Ăžng dĂŽng cña cžc ¼Þnh lÝ ŸÄng d− vĂ”a tr×nh b”y, ta t×m hiÓu v”i thuËt tožn Ÿn gi¶n. §Þnh nghÜa 2.18. Gi¶ sö n l” sĂš nguyÂȘn d−¬ng lÎ, n-1=2s t, trong Ÿã s l” sĂš nguyÂȘn kh«ng ©m, t l” sĂš nguyÂȘn d−¬ng lÎ. Ta nĂŁi n tr¶i qua ¼−üc kiÓm tra Miller cÂŹ sĂ« b, nÕu hoÆc bt ≡ 1(mod n), hoÆc b2 j t ≡ -1(mod n), vĂ­i j n”o Ÿã, 0≀j≀s-1. Ta chĂžng tĂĄ r»ng, nÕu n l” sĂš nguyÂȘn tĂš th× n tr¶i qua ¼−üc kiÓm tra Miller cÂŹ sĂ« b vĂ­i mĂ€i sĂš b sao cho n|b. ThËt vËy, gi¶ sö n-1=2s t. §Æt xk=b(n-1)/2 k =b2 s kt− , vĂ­i k=0,1,...,s. V× n l” sĂš nguyÂȘn tĂš nÂȘn x0 ≡ 1(mod n). Do Ÿã x1 2 ≡ 1(mod n), tĂžc l” x1 ≡ 1(mod n) hoÆc x1 ≡ -1(mod n). TiÕp tĂŽc quž tr×nh nh− vËy ta sÏ Âźi ¼Õn kÕt luËn r»ng, hoÆc xk ≡ 1(mod n) vĂ­i k=0,1,...,s, hoÆc xk ≡ -1(mod n) vĂ­i mĂ©t sĂš nguyÂȘn k n”o Ÿã. Nh− vËy n tr¶i qua ¼−üc kiÓm tra Miller cÂŹ sĂ« b. DÔ thÊy r»ng, nÕu n tr¶i qua ¼−üc kiÓm tra Miller cÂŹ sĂ« b th× n sÏ l” sĂš gi¶ nguyÂȘn tĂš cÂŹ sĂ« b. Ta cĂŁ ¼Þnh nghÜa sau. §Þnh nghÜa 2.19. n ¼−üc gĂ€i l” sĂš gi¶ nguyÂȘn tĂš mÂčnh cÂŹ sĂ« b nÕu nĂŁ l” hĂźp sĂš v” tr¶i qua ¼−üc kiÓm tra Miller cÂŹ sĂ« b. Nh− vËy cžc sĂš gi¶ nguyÂȘn tĂš mÂčnh lÂči cßn Ýt hÂŹn cžc sĂš gi¶ nguyÂȘn tĂš. Tuy nhiÂȘn, ta cĂŁ ¼Þnh lÝ sau. §Þnh lÝ 2.20. TĂ„n tÂči v« sĂš sĂš gi¶ nguyÂȘn tĂš mÂčnh cÂŹ sĂ« 2. ThËt vËy, gi¶ sö n l” mĂ©t sĂš gi¶ nguyÂȘn tĂš cÂŹ sĂ« 2. Khi Ÿã, 2n-1 =nk vĂ­i sĂš nguyÂȘn lÎ k n”o Ÿã. §Æt N=2n -1, ta cĂŁ N-1=2n -2=2(2n-1 -1)=2nk; nghÜa l” n l” hĂźp sĂš. MÆt khžc, 2(N-1)/2 =2nk =(2n )k ≡ 1(mod N). VËy vĂ­i mçi sĂš gi¶ nguyÂȘn tĂš n, ta x©y dĂčng ¼−üc sĂš gi¶ nguyÂȘn tĂš mÂčnh N v” cžc sĂš n khžc nhau cho ta cžc sĂš N khžc nhau: ¼Þnh lÝ ¼−üc chĂžng minh, bĂ«i v× cĂŁ v« sĂš gi¶ nguyÂȘn tĂš cÂŹ sĂ« 2. Ta cĂŁ thÓ dĂŻng kiÓm tra Miller ¼Ó kiÓm tra nguyÂȘn tĂš nhĂ·ng sĂš kh«ng lĂ­n lŸm. Ta biÕt r»ng, sĂš gi¶ nguyÂȘn tĂš mÂčnh lÎ cĂŁ sĂ« 2 bÐ nhÊt l” 2047. Nh− vËy, nÕu n lÎ v” n<2047, th× n l” nguyÂȘn tĂš nÕu nĂŁ tr¶i qua kiÓm tra Miller. T−¬ng tĂč nh− vËy, sĂš 1373653, l” sĂš gi¶ nguyÂȘn tĂš mÂčnh lÎ bÐ nhÊt cÂŹ sĂ« 2 v” 3, ¼−üc dĂŻng ¼Ó kiÓm tra nguyÂȘn tĂš nhĂ·ng sĂš bÐ hÂŹn nĂŁ. §Úi vĂ­i cÂŹ sĂ« 2,3 v” 5, sĂš gi¶ nguyÂȘn tĂš mÂčnh lÎ bÐ nhÊt l” 25326001, trong tr−ĂȘng hĂźp cÂŹ sĂ« 2,3,5,7,sĂš t−¬ng Ăžng l” 3215031751. Trong nhĂ·ng sĂš nhĂĄ hÂŹn 25.109 , chØ cĂŁ mĂ©t sĂš gi¶ nguyÂȘn tĂš lÎ vĂ­i cÂŹ sĂ« 2,3,5,7, Ÿã l” 3251031751. Nh− vËy, nÕu n<25.109 l” sĂš lÎ tr¶i qua kiÓm tra Miller, th× n l” sĂš nguyÂȘn tĂš nÕu nĂŁ khžc vĂ­i 3251031751. V n M a th .C o m V n M a th .C o m
22 Cžch l”m trÂȘn Ÿ©y chØ žp dĂŽng ¼−üc khi cÇn kiÓm tra nguyÂȘn tĂš nhĂ·ng sĂš kh«ng lĂ­n. §Úi vĂ­i nhĂ·ng sĂš lĂ­n, ta cĂŁ thÓ dĂŻng thuËt tožn xžc suÊt dĂča trÂȘn ¼Þnh lÝ sau Ÿ©y: §Þnh lÝ 2.21. NÕu n l” mĂ©t hĂźp sĂš d−¬ng lÎ th× tĂ„n tÂči kh«ng quž (n-1)/4 cÂŹ sĂ« b, 1≀b≀n-1, sao cho n tr¶i qua ¼−üc kiÓm tra Miller ŸÚi vĂ­i cžc cÂŹ sĂ« Ÿã. §Þnh lÝ trÂȘn Ÿ©y ¼−üc chĂžng minh dĂča v”o khži niÖm chØ sĂš m” ta kh«ng tr×nh b”y Ă« Ÿ©y. §éc gi¶ n”o quan t©m cĂŁ thÓ t×m ŸÀc trong[Ro]. NhĂȘ ¼Þnh lÝ 2.21, ta cĂŁ thÓ kÕt luËn n l” mĂ©t hĂźp sĂš nÕu thÊy nĂŁ tr¶i qua kiÓm tra Miller vĂ­i hÂŹn (n-1)/4 cÂŹ sĂ«. Tuy nhiÂȘn, viÖc kiÓm tra nh− thÕ ¼ßi hĂĄi quž nhiÒu thĂȘi gian. TĂ” ¼Þnh lÝ 2.21 suy ra r»ng, nÕu sĂš b ¼−üc chĂ€n ngÉu nhiÂȘn trong kho¶ng 1≀b≀n-1 th× n tr¶i qua kiÓm tra Miller cÂŹ sĂ« b vĂ­i xžc suÊt bÐ hÂŹn 1/4. Nh− vËy, nÕu ta chĂ€n k sĂš ngÉu nhiÂȘn th× xžc suÊt ¼Ó n tr¶i qua kiÓm tra Miller ŸÚi vĂ­i k cÂŹ sĂ« Ÿã sÏ bÐ hÂŹn 1/4k . Khi k ŸñlĂ­n, vÝ dĂŽ k=20, xžc suÊt Ÿã quž nhĂĄ, nÂȘn vĂ­i n tr¶i qua vĂ­i 20 cÂŹ sĂ« ngÉu nhiÂȘn th× cĂŁ thÓ tin “hÇu chŸc chŸn” r»ng n l” sĂš nguyÂȘn tĂš. TĂ” Ÿã ta cĂŁ thuËt tožn xžc suÊt sau Ÿ©y. ThuËt tožn Rabin-Miller (1980) Cho N≄3 lÎ, thuËt tožn sau Ÿ©y xžc ¼Þnh r»ng N l” mĂ©t hĂźp sĂš, hoÆc in ra th«ng bžo N l” sĂš nguyÂȘn tĂš vĂ­i xžc suÊt lĂ­n hÂŹn 1-1/420 . RM1. (XuÊt phžt). §Æt q←N-1, t←0, v” nÕu q chÂœn ¼Æt q←q/2, t←t+1 (b©y giĂȘ ta cĂŁ N-1=2t q, vĂ­i q lÎ). Sau Ÿã ¼Æt c←20. RM2. (ChĂ€n a mĂ­i). ChĂ€n ngÉu nhiÂȘn sĂš a trong kho¶ng 1<a<N. §Æt e←0, b←aq mod N. NÕu b=1, chuyÓn sang RM4. RM3.(B×nh ph−¬ng). NÕu b /≡ ± 1(mod N) v” e<t-2, ta ¼Æt b←b2 mod N, e←e+1. NÕu b ≠ N-1, in ra th«ng bžo “n l” hĂźp sù” v” kÕt thĂłc thuËt tožn. RM4. §Æt c←c-1. NÕu c>0, chuyÓn sang RM2. NÕu c=0, in ra th«ng bžo “N l” sĂš nguyÂȘn tù”. §7. Ph©n sĂš liÂȘn tĂŽc. Gi¶ sö a,b l” cžc sĂš nguyÂȘn d−¬ng, a>b. Khi Ÿã, ph©n sĂš a/b cĂŁ thÓ viÕt d−íi dÂčng: a b a c b a b c = + = +0 0 0 0 1 . Ph©n sĂš b/c0 lÂči cĂŁ thÓ biÓu diÔn d−íi dÂčng t−¬ng tĂč nh− vËy, v” cuĂši cĂŻng ta nhËn ¼−üc: V n M a th .C o m V n M a th .C o m
23 a b a a a a o n n = + + +− 1 1 11 1... . Cžch viÕt nh− trÂȘn ¼−üc gĂ€i l” biÓu diÔn sĂš hĂ·u tĂ» a/b d−íi dÂčng ph©n sĂš liÂȘn tĂŽc. §Ó Ÿn gi¶n kÝ hiÖu, ta th−ĂȘng dĂŻng cžch viÕt a/b=[a0;a1,a2,...,an]. Ph©n sĂš liÂȘn tĂŽc [a0;a1,a2,...,an] ¼−üc gĂ€i l” ph©n sĂš liÂȘn tĂŽc hĂ·u hÂčn. DĂŻng thuËt tožn Euclid, cĂŁ thÓ biÓu diÔn mĂ€i sĂš hĂ·u tĂ» d−íi dÂčng ph©n sĂš liÂȘn tĂŽc hĂ·u hÂčn. ThËt vËy, ta cĂŁ a=a0b+c0, b=a1c0+c1,.... Ng−üc lÂči, rĂą r”ng mçi ph©n sĂš hĂ·u hÂčn liÂȘn tĂŽc l” mĂ©t sĂš hĂ·u tĂ». Ta cĂČng cĂŁ thÓ biÓu diÔn mĂ©t sĂš thĂčc tuĂș Ăœ d−íi dÂčng ph©n sĂš liÂȘn tĂŽc. Tuy nhiÂȘn trong tr−ĂȘng hĂźp n”y, ph©n sĂš liÂȘn tĂŽc cĂŁ thÓ kh«ng hĂ·u hÂčn. Cžch l”m cĂČng ho”n to”n t−¬ng tĂč nh− khi l”m vĂ­i cžc sĂš hĂ·u tĂ». Gi¶ sö x l” sĂš thĂčc tuĂș Ăœ. §Æt a0=[x], phÇn nguyÂȘn cña x, v” x0=x-a0 l” phÇn lÎ cña x. TiÕp theo Ÿã, ta ¼Æt a1=[1/x0], x1=1/x0-a1. TĂŁm lÂči ŸÚi vĂ­i mçi sĂš i>1, ¼Æt ai=[1/xi-1], xi=1/xi-1-ai. NÕu Ă« b−íc thĂž i n”o Ÿã, xi=0 th× quž tr×nh kÕt thĂłc (§iÒu n”y x¶y ra khi v” chØ khi x l” sĂš hĂ·u tĂ»). Ng−üc lÂči, ta cĂŁ biÓu diÔn x d−íi dÂčng ph©n sĂš liÂȘn tĂŽc v« hÂčn: [a0;a1,a2,...,an,...]. NhiÒu khi ¼Ó thuËn tiÖn, ta dĂŻng cžch viÕt sau Ÿ©y: x=a a a an 0 1 2 1 1 1 + + + + + + + +... ... Cžc ph©n sĂš liÂȘn tĂŽc ¼Þnh nghÜa nh− trÂȘn vĂ­i cžc sĂš ai nguyÂȘn cßn ¼−üc gĂ€i l” cžc ph©n sĂš liÂȘn tĂŽc Ÿn gi¶n. Khi kh«ng ¼ßi hĂĄi ai l” cžc sĂš nguyÂȘn, m” cĂŁ thÓ l” cžc sĂš thĂčc tuĂș Ăœ, ta cĂČng dĂŻng cžch viÕt x=[a0;a1,a2,...,an]= a a a an 0 1 2 1 1 1 + + + + + +... . Khi cĂŁ mĂ©t ph©n sĂš liÂȘn tĂŽc x=[a0;a1,a2,...,an,...], ta gĂ€i cžc sĂš sau Ÿ©y l” cžc ph©n sĂš hĂ©i tĂŽ riÂȘng cña x: Ck= [a0;a1,a2,...,ak]. §Þnh lÝ 2.22. Gi¶ sö a0,a1,...,an l” cžc sĂš thĂčc, trong Ÿã a0,a1,...,an>0. §Æt p0=a0, q0=1, p1=a0a1+1, q1=a1, v” vĂ­i mçi k≄2, pk=akpk-1+pk-2, qk=akqk-1+qk-2. Khi Ÿã ŸÚi vĂ­i cžc ph©n sĂš hĂ©i tĂŽ riÂȘng Ck ta cĂŁ: Ck= [a0;a1,a2,...,ak]= pk/qk. ChĂžng minh. Ta chĂžng minh b»ng qui nÂčp. VĂ­i k=0, C0=a0=p0/q0. VĂ­i k=1, C1=[a0;a1]=a0+ 1 1a =p1/q1. V n M a th .C o m V n M a th .C o m
24 Ta cĂŁ: Ck+1=[a0;a1,a2,...,ak+1]=a a a ak 0 1 2 1 1 1 1 + + + + + + + ... =[a0;a1,a2,...,ak-1,ak+ 1 1ak+ ]= ( ) ( ) a a p p a a q q k k k k k k k k + + + + + − − + − − 1 1 1 1 2 1 1 2 . theo gi¶ thiÕt qui nÂčp. TÝnh tožn Ÿn gi¶n dĂča v”o ¼Þnh nghÜa cžc sĂš pk,qk, ta ¼−üc: Ck+1=pk+1/qk+1. §Þnh lÝ ¼−üc chĂžng minh. §Þnh lÝ 2.23. VĂ­i mĂ€i k≄ 1,ta cĂŁ: pkqk+1-pk-1qk=(-1)k-1 . TĂ” Ÿã ta suy ra ngay r»ng, cžc sĂš pk,qk nguyÂȘn tĂš cĂŻng nhau. §Þnh lÝ 2.24. Ta cĂŁ: C1>C3>C5>... c0<C2<C4>... C2j+1>C2k, vĂ­i mĂ€i j,k lim Ck=x. ChĂžng minh cžc ¼Þnh lÝ trÂȘn (b»ng quy nÂčp) ¼−üc d”nh cho Ÿéc gi¶. CĂŁ thÓ thÊy r»ng, tÂȘn gĂ€i “ph©n sĂš liÂȘn tĂŽc riÂȘng “ ¼−üc gi¶i thÝch b»ng ¼Þnh lÝ trÂȘn Ÿ©y. §Þnh lÝ 2.25. Gi¶ sö n l” mĂ©t sĂš tĂč nhiÂȘn kh«ng chÝnh ph−¬ng v” pk,qk l” cžc ph©n sĂš hĂ©i tĂŽ riÂȘng cña n . Ta ¼Æt α 0 = n , v” cžc sĂš α k , Qk, Pk ¼−üc ¼Þnh nghÜa theo c«ng thĂžc sau: α k = (Pk+ n )/ Qk, ak=[α k ], Pk+1=akQk-Pk Qk+1=(n-Pn+1 2 )Qk Khi Ÿã ta cĂŁ: pk 2 -n qk 2 =(-1)k-1 Qk+1. ChĂžng minh. žp dĂŽng ¼Þnh lÝ vĂ”a chĂžng minh, ta cĂŁ: V n M a th .C o m V n M a th .C o m
25 n =α 0 =[a0;a1,a2,...,ak+1]= a p p a q q k k k k k k + − + − + + 1 1 1 1 . TĂ” Ÿã, v× ak+1= (Pk+1+ n )/ Qk+1, ta ¼−üc: n = ( ) ( ) P n p Q p P n q Q q k k k k k k k k + + − + + − + + + + 1 1 1 1 1 1 . VËy, nqk+(Pk+1qk+Qk+1qk-1) n =(Pk+1pk+Qk+1pk-1) +pk n . TĂ” Ÿã suy ra: nqk= Pk-1pk+ Qk+1pk-1, pk= Pk+1qk+ Qk+1qk-1. Nh©n ÂźÂŒng thĂžc thĂž nhÊt vĂ­i qk, ÂźÂŒng thĂžc thĂž hai vĂ­i pk v” trĂ” ÂźÂŒng thĂžc thĂž hai cho ÂźÂŒng thĂžc thĂž nhÊt, ta thu ¼−üc kÕt qu¶ cÇn chĂžng minh. Sau Ÿ©y ta sÏ žp dĂŽng ph©n sĂš liÂȘn tĂŽc ¼Ó t×m mĂ©t thuËt tožn ph©n tÝch sĂš nguyÂȘn ra thĂ”a sĂš nguyÂȘn tĂš. NĂŁi chÝnh xžc hÂŹn, ta sÏ x©y dĂčng mĂ©t thuËt tožn ¼Ó vĂ­i sĂš tĂč nhiÂȘn n cho tr−íc, t×m −íc sĂš kh«ng tÇm th−ĂȘng (khžc 1 v” n). Ta xuÊt phžt tĂ” nhËn xÐt Ÿn gi¶n sau Ÿ©y: NÕu ta t×m ¼−üc cžc sĂš x, y sao cho x-y ≠ 1 v” x2 -y2 =n th× ta t×m ¼−üc sĂš −íc kh«ng tÇm th−ĂȘng cña n, v× n= x2 -y2 =(x-y)(x+y). B©y giĂȘ, gi¶ sö ta cĂŁ kÕt qu¶ yÕu hÂŹn, chÂŒng hÂčn t×m ¼−üc x,y sao cho x2 ≡ y2 (mod n) v” 0<x<y<n, x+y ≠ n. Khi Ÿã n l” mĂ©t −íc cña tÝch (x-y)(x+y), v” rĂą r”ng n kh«ng l” −íc cña x+y cĂČng nh− x-y. Nh− vËy cžc −íc sĂš chung d1=(n,x-y) v” d2=(n,x+y) l” cžc −íc sĂš kh«ng tÇm th−ĂȘng cña n. Cžc −íc sĂš n”y t×m ¼−üc mĂ©t cžch nhanh chĂŁng nhĂȘ thuËt tožn Euclid. §Þnh lÝ 2.25 cho ta ph−¬ng phžp ¼Ó t×m cžc sĂš x,y cÇn thiÕt. Theo ¼Þnh lÝ 2.25 ta cĂŁ: pk 2 ≡ (-1)k-1 Qk-1 (mod n). Nh− vËy, vÊn ¼Ò l” ph¶i t×m ¼−üc cžc Qk vĂ­i chØ sĂš chÂœn, v” l” mĂ©t sĂš chÝnh ph−¬ng. Mçi lÇn t×m ¼−üc mĂ©t sĂš Q k nh− vËy, ta t×m ¼−üc mĂ©t −íc cña n (cĂČng cĂŁ thÓ x¶y ra tr−ĂȘng hĂźp −íc Ÿã l” tÇm th−ĂȘng: cžc pk,Qk kh«ng nhÊt thiÕt bÐ hÂŹn n nÂȘn ÂźiÒu kiÖn n kh«ng ph¶i l” −íc cña x+y v” x-y cĂŁ thÓ kh«ng tho¶ m·n). VÝ dĂŽ. 1). Ph©n tÝch sĂš 1037 ra thĂ”a sĂš b»ng cžch sö dĂŽng ph©n sĂš liÂȘn tĂŽc. ta cĂŁ α = 1037 =32,2..., Q1=1,Q2=49, p1=129. Nh− vËy, 1292 ≡ 49(mod 1037). Do Ÿã, 1292 -72 =(129-7)(129+7) ≡ 0(mod 1037). TÝnh cžc −íc chung lĂ­n nhÊt, ta ¼−üc: (129-7,1037)=61, (129+7,1037)=17. Ta cĂŁ hai −íc cña 1037, v” trong tr−ĂȘng hĂźp n”y cĂŁ khai triÓn 1037=61.17. V n M a th .C o m V n M a th .C o m
26 2) Ph©n tÝch 1000009. Ta tÝnh ¼−üc Q1=9, Q2=445, Q3=873, Q4=81. Nh− vËy, p3 2 ≡ 92 (mod 100009): ta kh«ng thu ¼−üc −íc kh«ng tÇm th−ĂȘng. TÝnh tožn tiÕp tĂŽc, ta cĂŁ: Q18=16 l” mĂ©t sĂš chÝnh ph−¬ng, p17=494881. B»ng thuËt tožn Ÿ· m« t¶, ta t×m ¼−üc cžc −íc sĂš 293, 3413. V n M a th .C o m V n M a th .C o m
27 B”i tËp v” tÝnh tožn thĂčc h”nh ch−¬ng 2 I. B”i tËp. 2.1. ChuyÓn sĂš (1999) tĂ” cÂŹ sĂš 10 sang cÂŹ sĂš 7, sĂš (6105) tĂ” cÂŹ sĂš 7 sang cÂŹ sĂš 10. 2.2. ChuyÓn cžc sĂš 10001110101 v” 11101001110 tĂ” cÂŹ sĂš 2 sang cÂŹ sĂš 16 (kÝ hiÖu cžc chĂ· sĂš cña cÂŹ sĂš 16 bĂ«i 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E). 2.3. ChĂžng minh r»ng mĂ€i vËt nÆng kh«ng quž 2k -1 (vĂ­i trĂ€ng l−üng l” sĂš nguyÂȘn) ¼Òu cĂŁ thÓ c©n b»ng mĂ©t cži c©n hai ¼Üa, sö dĂŽng cžc qu¶ c©n 1, 2, 22 ,...,2k-1 . 2.4. ChĂžng minh r»ng mĂ€i sĂš nguyÂȘn ¼Òu cĂŁ thÓ biÓu diÔn duy nhÊt d−íi dÂčng ek3k +ek-13k-1 +...+e13+e0, trong Ÿã ej=-1, 0 hoÆc 1; j=0,1,...,k. 2.5. ChĂžng minh r»ng, mĂ€i sĂš thĂčc α ∈R, 0≀ α <1 ¼Òu cĂŁ thÓ biÓu diÔn duy nhÊt d−íi dÂčng cÂŹ sĂš b α = c bj j j / = ∞ ∑1 , 0≀cj ≀b-1, tho¶ m·n ÂźiÒu kiÖn: vĂ­i mĂ€i N, tĂ„n tÂči n≄N ¼Ó cn ≠ b-1. 2.6. žp dĂŽng b”i 2.5, viÕt π trong cÂŹ sĂš 2 vĂ­i 10 chĂ· sĂš sau dÊu phÈy. 2.7. a) ChĂžng minh r»ng mĂ€i sĂš nguyÂȘn d−¬ng n ¼Òu cĂŁ biÓu diÔn Cantor duy nhÊt d−íi dÂčng sau: n=amm!+am-1(m-1)!+...+a22!+a11!. b) T×m khai triÓn Cantor cña 14, 56, 384. 2.8. Gi¶ sö a l” sĂš nguyÂȘn (trong cÂŹ sĂš 10) vĂ­i bĂšn chĂ· sĂš sao cho kh«ng ph¶i mĂ€i chĂ· sĂš l” nh− nhau. a’ l” sĂš nhËn ¼−üc tĂ” a b»ng cžch viÐt cžc chĂ· sĂš theo thĂž tĂč gi¶m dÇn, a’’ l” sĂš nhËn ¼−üc b»ng cžch viÕt cžc chĂ· sĂš theo thĂž tĂč tšng dÇn. §Æt T(a)=a’-a’’. VÝ dĂŽ: T(1998)=9981-1899. a) ChĂžng minh r»ng sĂš nguyÂȘn duy nhÊt (kh«ng ph¶i 4 chĂ· sĂš ¼Òu nh− nhau) sao cho T(a)=a l” a=6174. b) ChĂžng minh r»ng nÕu a l” sĂš nguyÂȘn d−¬ng 4 chĂ· sĂš, kh«ng ph¶i mĂ€i chĂ· sĂš ¼Òu nh− nhau, th× d·y a, T(a), T(T(a)),... nhËn ¼−üc b»ng cžch lÆp phÐp tožn T, sÏ dĂ”ng Ă« sĂš 6174 (¼−üc gĂ€i l” h»ng sĂš Kapreka) 2.9. Šíc l−üng thĂȘi gian cÇn thiÕt ¼Ó tÝnh n!. 2.10. Šíc l−üng thĂȘi gian cÇn thiÕt ¼Ó chuyÓn mĂ©t sĂš k-bit sang hÖ thËp ph©n. 2.11. a) ChĂžng minh r»ng, nÕu A, B l” cžc ma trËn vu«ng cÊp n th× ¼Ó t×m tÝch AB (theo quy tŸc nh©n ma trËn th«ng th−ĂȘng) ta cÇn n3 phÐp nh©n. V n M a th .C o m V n M a th .C o m
28 b) ChĂžng minh r»ng cĂŁ thÓ nh©n hai ma trËn vu«ng cÊp hai m” chØ cÇn 7 phÐp nh©n, nÕu sö dĂŽng ŸÄng nhÊt thĂžc sau Ÿ©y: a a a a b b b b a b a b x a a b b a a a a b x a a b b a b b b b x a a b b a a b b 11 12 21 22 11 12 21 22 11 11 12 21 21 22 12 11 11 12 21 22 22 11 21 22 12 22 11 21 12 22 11 21 22 12 21 22 12 11 ïŁ« ïŁ­ ïŁŹïŁŹ ïŁ¶ ïŁž ïŁ·ïŁ· ïŁ« ïŁ­ ïŁŹïŁŹ ïŁ¶ ïŁž ïŁ·ïŁ·= ïŁ« ïŁ­ ïŁŹ ïŁ¶ ïŁž ïŁ· + + + − + + − − + − − − − − + + − − + + − ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )( ) , trong Ÿã x=a11b11-(a11-a21-a22)( b11-b12+b22). c) B»ng quy nÂčp v” tžch ma trËn 2n× 2n th”nh 4 ma trËn n× n, chĂžng minh r»ng cĂŁ thÓ nh©n hai ma trËn 2k × 2k chØ vĂ­i 7k phÐp nh©n v” kh«ng Ýt hÂŹn 7k+1 phÐp cĂ©ng. d) TĂ” c) suy ra r»ng cĂŁ thÓ nh©n hai ma trËn vu«ng cÊp n vĂ­i O(nlog c7 ) phÐp tÝnh bit nÕu mĂ€i phÇn tö cña ma trËn cĂŁ d−íi c bit, vĂ­i h»ng sĂš c n”o Ÿã. 2.12. DĂŻng s”ng Eratosthenes ¼Ó t×m mĂ€i sĂš nguyÂȘn tĂš bÐ hÂŹn 1998. 2.13. Cho Qn=p1p2...pn+1, trong Ÿã p1,p2,..., pn l” n sĂš nguyÂȘn tĂš ¼Çu tiÂȘn. T×m −íc nguyÂȘn tĂš bÐ nhÊt cña Qn, vĂ­i n=1,2,3,4,5,6. Trong d·y Qn cĂŁ v« hÂčn hay hĂ·u hÂčn sĂš nguyÂȘn tĂš? 2.14. ChĂžng minh r»ng tĂ„n tÂči v« hÂčn sĂš nguyÂȘn tĂš. 2.15. ChĂžng minh r»ng nÕu −íc nguyÂȘn tĂš bÐ nhÊt p cña mĂ©t sĂš nguyÂȘn d−¬ng n v−üt quž n3 th× n/p l” sĂš nguyÂȘn tĂš. 2.16. ChĂžng minh r»ng kh«ng tĂ„n tÂči mĂ©t “bĂ© ba nguyÂȘn tù” n”o p, p+2, p+4 ngo”i 3,5,7. 2.17. ChĂžng minh r»ng nÕu a|x, b|x v” a, b nguyÂȘn tĂš cĂŻng nhau th× a.b|x. 2.18. ChĂžng minh r»ng nÕu a,m nguyÂȘn tĂš cĂŻng nhau th× tĂ„n tÂči nghÞch ٦o m mod b. 2.19. Cho a,b,c,m l” cžc sĂš nguyÂȘn, m d−¬ng. Gi¶ sö d l” ŠCLN cña c v” m. Khi Ÿã, nÕu ac ≡ bc(mod m) th× a ≡ b(mod m/d). 2.20. Gi¶ sö r1, r2,...,rm l” mĂ©t hÖ thÆng d− ¼Çy Ÿñ modulo m, a l” mĂ©t sĂš nguyÂȘn, nguyÂȘn tĂš cĂŻng nhau vĂ­i m, b l” sĂš nguyÂȘn tuĂș Ăœ. ChĂžng minh r»ng ar1+b, ar2+b ,..., arm+b cĂČng l” mĂ©t hÖ ¼Çy Ÿñ cžc thÆng d− modulo m 2.21. Gi¶ sö a ≡ b(mod mj), j=1,2,..., k, trong Ÿã mj l” cžc sĂš nguyÂȘn tĂš cĂŻng nhau tĂ”ng cÆp. ChĂžng minh r»ng a ≡ b(mod m1m2...mk). 2.22. Cho p l” sĂš nguyÂȘn tĂš. ChĂžng minh r»ng a2 ≡ 1(mod p) khi v” chØ khi a ≡ ± 1(mod p). 2.23. ChĂžng minh r»ng vĂ­i mĂ€i sĂš nguyÂȘn kh«ng ©m m,n v” mĂ€i sĂš nguyÂȘn a>1, ta cĂŁ (am -1, an -1)=a(m,n) -1. V n M a th .C o m V n M a th .C o m
29 2.24. a) ChĂžng minh r»ng cĂŁ thÓ t×m −íc chung lĂ­n nhÊt cña hai sĂš nguyÂȘn d−¬ng b»ng thuËt tožn sau (a,b)= a a b a b a b a b a b a b b a b nÕu nÕu chÂœ n nÕu chÂœ n lÎ nÕu lÎ = − ïŁ± ïŁČ ïŁŽ ïŁŽ ïŁł ïŁŽ ïŁŽ 2 2 2 2 ( / , / ) , ( / , ) , ( , ) , b) DĂŻng thuËt tožn trÂȘn ¼Ó t×m (2106, 8318). 2.25. ChĂžng minh r»ng, vĂ­i mĂ€i n, t×m ¼−üc n sĂš tĂč nhiÂȘn liÂȘn tiÕp sao cho mçi sĂš ¼Òu cĂŁ −íc l” sĂš chÝnh ph−¬ng. 2.26. Gi¶ sö n=p1p2...pk, trong Ÿã pj l” cžc sĂš nguyÂȘn tĂš, v” n l” mĂ©t sĂš Carmichael. ChĂžng minh r»ng k≄3. žp dĂŽng kÕt qu¶ ¼Ó t×m ra sĂš Carmichael nhĂĄ nhÊt. 2.27. ChĂžng minh r»ng, nÕu 6m+1, 12m+1, 18m+1 ¼Òu l” sĂš nguyÂȘn tĂš th× (6m+1)(12m+1)(18m+1) l” sĂš Carmichael. ChĂžng minh cžc sĂš sau Ÿ©y l” sĂš Carmichael: 1729, 294409, 56052361, 118901521, 172947529. 2.28. ChĂžng minh r»ng 6601 l” mĂ©t sĂš Carmichael. 2.29. ChĂžng minh r»ng n=2047=23.89 l” sĂš gi¶ nguyÂȘn tĂš mÂčnh cÂŹ sĂ« 2. 2.30. Cho b,m l” cžc sĂš nguyÂȘn nguyÂȘn tĂš cĂŻng nhau, a,c l” cžc sĂš nguyÂȘn d−¬ng. ChĂžng minh r»ng, nÕu ba ≡ 1(mod m), bc ≡ 1(mod m) v” d=(a,c) th× bd ≡ 1(mod m). 2.31. Cho p l” sĂš nguyÂȘn tĂš, p|bm -1. ChĂžng minh r»ng, hoÆc p|bd -1 vĂ­i d n”o Ÿã l” −íc thĂčc sĂč cña m (khžc m), hoÆc d ≡ 1(mod m). NÕu p>2, m lÎ th× trong tr−ĂȘng hĂźp sau, ta cĂŁ p ≡ 1(mod 2n). 2.32. žp dĂŽng b”i tËp trÂȘn ¼Ó ph©n tÝch ra thĂ”a sĂš cžc sĂš 211 -1=2047, 213 -1=8191, 312 -1=531440, 235 -1=34355738367. 2.33. T×m ph©n sĂš liÂȘn tĂŽc cña cžc sĂš 2 , 3, 5, (1+ 5 )/2. 2.34. BiÕt ph©n sĂš liÂȘn tĂŽc cña e l” e=[2;1,2,1,1,4,1,1,6,1,1,8,...] a) T×m 8 ph©n sĂš hĂ©i tĂŽ riÂȘng ¼Çu tiÂȘn cña e. b) T×m xÊp xØ hĂ·u tĂ» tĂšt nhÊt cña e cĂŁ mÉu sĂš bÐ hÂŹn 100. 2.35. Cho α l” mĂ©t sĂš v« tĂ». ChĂžng minh r»ng, hoÆc |α -pk/qk|<1/2qk 2 , hoÆc |α -pk+1/qk+1|<1/2qk+1 2 . 2.36. Cho f(x) l” mĂ©t Âźa thĂžc tuĂș Ăœ vĂ­i hÖ sĂš nguyÂȘn. ChĂžng minh r»ng tĂ„n tÂči v« hÂčn sĂš nguyÂȘn k sao cho f(k) l” hĂźp sĂš. V n M a th .C o m V n M a th .C o m
30 II. ThĂčc h”nh tÝnh tožn trÂȘn mžy §Úi vĂ­i tÊt c¶ cžc ch−¬ng, tÝnh tožn thĂčc h”nh trÂȘn mžy tÝnh vĂ­i ch−¬ng tr×nh Maple ¼−üc bŸt ¼Çu b»ng dßng lÖnh: [>with(numtheory); Cžc phÐp tožn sĂš hĂ€c ( phÐp cĂ©ng [+], phÐp trĂ” [-], phÐp nh©n [*], phÐp chia [/], phÐp luĂŒ thĂ”a [^], khai cšn bËc hai [sqrt(.)],...) ¼−üc viÕt v” thĂčc hiÖn theo thĂž tĂč quen biÕt. Lu«n lu«n ghi nhĂ­ r»ng cuĂši dßng lÖnh ph¶i l” dÊu chÊm phÈy (;) hoÆc dÊu (:). MuĂšn thĂčc hiÖn dßng lÖnh n”o th× ph¶i ¼−a con trĂĄ vÒ dßng lÖnh Ÿã (sau dÊu chÊm phÈy) v” nhÊn phÝm [Enter]. H·y thĂčc hiÖn cžc dßng lÖnh theo Ÿóng tr×nh tĂč tr−íc sau, v× mĂ©t sĂš tÝnh tožn trong cžc b−íc sau cĂŁ thÓ yÂȘu cÇu kÕt qu¶ tĂ” cžc b−íc tr−íc. II. 1. ThĂčc h”nh kiÓm tra mĂ©t sĂš l” sĂš nguyÂȘn tĂš §Ó kiÓm tra mĂ©t sĂš n cĂŁ ph¶i l” sĂš nguyÂȘn tĂš hay kh«ng ta thĂčc hiÖn lÖnh nh− sau: [>isprime(n); Sau dÊu (;) Ên phÝm “Enter”. NÕu trÂȘn m”n h×nh hiÖn ra chĂ· “true” th× n l” sĂš nguyÂȘn tĂš, nÕu trÂȘn m”n h×nh hiÖn ra chĂ· “false” th× n l” hĂźp sĂš. ThÝ dĂŽ: SĂš 2546789 cĂŁ ph¶i l” sĂš nguyÂȘn tĂš hay kh«ng? [>isprime(n); False VËy 2546789 kh«ng ph¶i l” sĂš nguyÂȘn tĂš. II. 2. ThĂčc h”nh t×m −íc chung lĂ­n nhÊt §Ó thĂčc h”nh t×m −íc chung lĂ­n nhÊt cña hai sĂš a v” b, h·y v”o dßng lÖnh cĂŁ cĂł phžp nh− sau: [>gcd(a,b); Sau dÊu (;) Ên phÝm “Enter” th× viÖc t×m −íc chung lĂ­n nhÊt sÏ ¼−üc thĂčc hiÖn v” sÏ cĂŁ ngay kÕt qu¶. ThÝ dĂŽ: T×m −íc sĂš chung lĂ­n nhÊt cña 2 sĂš 157940 v” 78864. ThĂčc hiÖn b»ng c©u lÖnh sau: [> gcd(157940,78800); 20 VËy −íc chung lĂ­n nhÊt cña 157940 v” 78864 l” 20. II. 3. Ph©n tÝch ra thĂ”a sĂš nguyÂȘn tĂš §Ó ph©n tÝch sĂš n ra thĂ”a sĂš nguyÂȘn tĂš ta thĂčc hiÖn lÖnh sau: V n M a th .C o m V n M a th .C o m
31 [>ifactor(n); Sau dÊu (;) Ên phÝm “Enter” th× viÖc ph©n tÝch n ra thĂ”a sĂš nguyÂȘn tĂš sÏ ¼−üc thĂčc hiÖn v” sÏ cĂŁ ngay kÕt qu¶. ThÝ dĂŽ: Ph©n tÝch sĂš 122333444455555666666777777788888888999999999 ra thĂ”a sĂš nguyÂȘn tĂš. Ta thĂčc hiÖn nh− sau: [> ifactor(122333444455555666666777777788888888999999999); (3)(12241913785205210313897506033112067347143)(3331) Ta cĂČng cĂŁ thÓ dĂŻng lÖnh trÂȘn ¼Ó kiÓm tra xem mĂ©t sĂš n cĂŁ ph¶i l” sĂš nguyÂȘn tĂš hay kh«ng II. 4. ThĂčc h”nh kiÓm tra mĂ©t sĂš l” sĂš Carmichael Ta nhĂ­ lÂči §Þnh lÝ 2. 17 nh− sau: §Þnh lÝ 2.17. NÕu n=q1q2...qk, trong Ÿã qj l” cžc sĂš nguyÂȘn tĂš khžc nhau tho¶ m·n (qj-1) |(n-1), th× n l” sĂš Carmichael. Do Ÿã ¼Ó kiÓm tra xem mĂ©t sĂš n cĂŁ ph¶i l” sĂš Carmichael hay kh«ng ta thĂčc hiÖn theo cžc b−íc sau: B−íc 1: Ph©n tÝch n th”nh tÝch cžc thĂ”a sĂš nguyÂȘn tĂš, ta thĂčc hiÖn b»ng dßng lÖnh: [>ifactor(n); Sau dÊu (;) Ên phÝm “Enter” trÂȘn m”n h×nh sÏ hiÖn ra kÕt qu¶ ph©n tÝch n ra thĂ”a sĂš nguyÂȘn tĂš. NÕu n l” hĂźp sĂš v” cĂŁ dÂčng n=q1q2...qk, trong Ÿã qj l” cžc sĂš nguyÂȘn tĂš khžc nhau th× thĂčc hiÖn tiÕp b−íc kiÓm tra thĂž 2. NÕu kh«ng th× cĂŁ thÓ khÂŒng ¼Þnh n kh«ng ph¶i l” sĂš Carmichael. B−íc 2:. ThĂčc hiÖn cžc phÐp tÝnh chia (n-1):(qj-1), ta thĂčc hiÖn b»ng dßng lÖnh sau: [>(n-1)/(qj-1); Sau dÊu (;) Ên phÝm “Enter” trÂȘn m”n h×nh sÏ hiÖn ra kÕt qu¶ th−¬ng cña phÐp chia. NÕu vĂ­i mĂ€i j=1,2, ..., k cžc th−¬ng t×m ¼−üc l” cžc sĂš nguyÂȘn th× ta khÂŒng ¼Þnh n l” sĂš Carmichael, nÕu kh«ng th× tr¶ lĂȘi kh«ng ph¶i. ThÝ dĂŽ 1: SĂš 6601 cĂŁ ph¶i l” sĂš Carmichael hay kh«ng? ThĂčc hiÖn kiÓm tra nh− sau: [>ifactor(6601); (7)(23)(41) V n M a th .C o m V n M a th .C o m
32 6601 ¼−üc ph©n tÝch th”nh cžc thĂ”a sĂš nguyÂȘn tĂš khžc nhau, vËy cĂŁ thÓ nghi ngĂȘ nĂŁ l” sĂš Carmichel. §Ó kiÓm tra xem nĂŁ cĂŁ thĂčc sĂč l” sĂš Carmichel hay kh«ng, ta thĂčc hiÖn cžc lÖnh sau: [>(6601-1)/(7-1); 1100 [>(6601-1)/(23-1); 300 [>(6601-1)/(41-1); 165 VËy 6601 l” sĂš Carmichael. ThÝ dĂŽ 2: SĂš 6 cĂŁ ph¶i l” sĂš Carmichael hay kh«ng? ThĂčc hiÖn kiÓm tra nh− sau: [>ifactor(6); (2)(3) [>(6-1)/(2-1); 5 [>(6-1)/(3-1); 5 2 VËy 6 kh«ng ph¶i l” sĂš Carmichael. ThÝ dĂŽ 3: SĂš 45 cĂŁ ph¶i l” sĂš Carmichael hay kh«ng? ThĂčc hiÖn kiÓm tra nh− sau: [>ifactor(45); (3)2 (5) SĂš 45 kh«ng tho¶ m·n b−íc thĂž nhÊt. VËy 45 kh«ng ph¶i l” sĂš Carmichael. II. 5. ThĂčc h”nh kiÓm tra mĂ©t sĂš l” gi¶ nguyÂȘn tĂš Cho hai sĂš nguyÂȘn d−¬ng n, b. §Ó kiÓm tra xem n cĂŁ ph¶i l” sĂš gi¶ nguyÂȘn tĂš cÂŹ sĂ« b hay kh«ng ta thĂčc hiÖn cžc b−íc nh− sau: B−íc 1: KiÓm tra n l” hĂźp sĂš, ta thĂčc hiÖn dßng lÖnh: [>isprime(n); V n M a th .C o m V n M a th .C o m
33 Sau dÊu (;) Ên phÝm “Enter”. NÕu trÂȘn m”n h×nh hiÖn ra chĂ· “true” th× n l” sĂš nguyÂȘn tĂš, nÕu trÂȘn m”n h×nh hiÖn ra chĂ· “false” th× n l” hĂźp sĂš. NÕu n l” sĂš nguyÂȘn tĂš th× n kh«ng ph¶i l” sĂš gi¶ nguyÂȘn tĂš cÂŹ sĂ« b. NÕu ng−üc lÂči thĂčc hiÖn tiÕp b−íc 2. B−íc 2: KiÓm tra ŸÄng d− thĂžc bn -b ≡ 0(mod n), thĂčc hiÖn b»ng dßng lÖnh: [>b&^n-b mod n; Sau dÊu (;) Ên phÝm “Enter” trÂȘn m”n h×nh sÏ hiÖn ra kÕt qu¶. NÕu Ÿã l” sĂš 0 th× n l” sĂš gi¶ nguyÂȘn tĂš cÂŹ sĂ« b. ThÝ dĂŽ1: SĂš 561 cĂŁ ph¶i l” sĂš gi¶ nguyÂȘn tĂš cÂŹ sĂ« 2 hay kh«ng? Ta thĂčc hiÖn cžc lÖnh sau: [>isprime(561); false [>2&^561-2 mod 561; 0 VËy 561 l” sĂš gi¶ nguyÂȘn tĂš cÂŹ sĂ« 2. ThÝ dĂŽ 2: SĂš 12241913785205210313897506033112067347143 cĂŁ ph¶i l” sĂš gi¶ nguyÂȘn tĂš cÂŹ sĂ« 8 hay kh«ng? Ta thĂčc hiÖn cžc lÖnh sau: [>ispime(12241913785205210313897506033112067347143); true SĂš 12241913785205210313897506033112067347143 l” mĂ©t sĂš nguyÂȘn tĂš. Do Ÿã 12241913785205210313897506033112067347143 kh«ng ph¶i l” sĂš gi¶ nguyÂȘn tĂš cÂŹ sĂ« 8. ThÝ dĂŽ 3: SĂš 326 cĂŁ ph¶i l” sĂš gi¶ nguyÂȘn tĂš cÂŹ sĂ« 3 hay kh«ng? Ta thĂčc hiÖn cžc lÖnh sau: [>isprime(326); false [>3&^326-3 mod 326; 6 VËy 326 l” kh«ng ph¶i l” sĂš gi¶ nguyÂȘn tĂš cÂŹ sĂ« 3. II. 6. ThĂčc h”nh kiÓm tra mĂ©t sĂš l” sĂš gi¶ nguyÂȘn tĂš mÂčnh Cho n l” sĂš nguyÂȘn d−¬ng lÎ, b l” sĂš nguyÂȘn d−¬ng. §Ó kiÓm tra n cĂŁ ph¶i l” sĂš gi¶ nguyÂȘn tĂš mÂčnh cÂŹ sĂ« b hay kh«ng ta thĂčc hiÖn theo cžc b−íc sau: B−íc 1: KiÓm tra n l” hĂźp sĂš, ta thĂčc hiÖn b»ng dßng lÖnh: V n M a th .C o m V n M a th .C o m
34 [>isprime(n); Sau dÊu (;) Ên phÝm “Enter”. NÕu trÂȘn m”n h×nh hiÖn ra chĂ· “true” th× n l” sĂš nguyÂȘn tĂš, nÕu trÂȘn m”n h×nh hiÖn ra chĂ· “false” th× n l” hĂźp sĂš. NÕu n l” sĂš nguyÂȘn tĂš th× n kh«ng ph¶i l” sĂš gi¶ nguyÂȘn tĂš mÂčnh cÂŹ sĂ« b. NÕu ng−üc lÂči thĂčc hiÖn tiÕp b−íc 2. B−íc 2: Ph©n tÝch n-1 ra thĂ”a sĂš nguyÂȘn tĂš, ta thĂčc hiÖn b»ng dßng lÖnh: [>ifactor(n-1); Sau dÊu (;) Ên phÝm “Enter” trÂȘn m”n h×nh sÏ hiÖn ra sĂč ph©n tÝch cña n-1 v” ta thu ¼−üc kÕt qu¶ cĂŁ dÂčng n-1=2s t, trong Ÿã s l” sĂš nguyÂȘn d−¬ng, t l” sĂš nguyÂȘn d−¬ng lÎ. B−íc 3: KiÓm tra ŸÄng d− thĂžc bt -1 ≡ 0(mod n). V”o lÖnh [>b&^t-1 mod n; Sau dÊu (;) Ên phÝm “Enter” trÂȘn m”n h×nh sÏ hiÖn ra kÕt qu¶. NÕu Ÿã l” sĂš 0 th× n l” sĂš gi¶ nguyÂȘn tĂš mÂčnh cÂŹ sĂ« b, nÕu kÕt qu¶ l” mĂ©t sĂš khžc 0 ta thĂčc hiÖn tiÕp b−íc 4. B−íc 4: KiÓm tra cžc ŸÄng d− thĂžc ( )b j t2 1+ ≡ 0(mod n) vĂ­i j=0,...s-1, ta thĂčc hiÖn dßng lÖnh: [>seq (b&^((2^j)t)+1 mod n, j=0..s-1); Sau dÊu (;) Ên phÝm “Enter” trÂȘn m”n h×nh sÏ hiÖn ra d·y kÕt qu¶. NÕu trong d·y kÕt qu¶ cĂŁ mĂ©t sĂš l” sĂš 0 th× n l” sĂš gi¶ nguyÂȘn tĂš mÂčnh cÂŹ sĂ« b. ThÝ dĂŽ: SĂš 2047 cĂŁ ph¶i l” sĂš gi¶ nguyÂȘn tĂš mÂčnh cÂŹ sĂ« 2 hay kh«ng? ThĂčc hiÖn kiÓm tra nh− sau: [>isprime(2047); false Do Ÿã n l” hĂźp sĂš. TiÕp tĂŽc thĂčc hiÖn lÖnh [>ifactor(n-1); (2)(3)(11)(31) TiÕp tĂŽc thĂčc hiÖn lÖnh [>2&^(3*11*31)-1 mod 2047; 0 VËy 2047 l” sĂš gi¶ nguyÂȘn tĂš mÂčnh cÂŹ sĂ« 2. II. 7. ThĂčc h”nh biÓu diÔn mĂ©t sĂš d−íi dÂčng ph©n sĂš liÂȘn tĂŽc 1. BiÓu diÔn sĂš n d−íi dÂčng ph©n sĂš liÂȘn tĂŽc theo cžch th«ng th−ĂȘng vĂ­i sĂš th−¬ng trong biÓu diÔn l” k, ta dĂŻng lÖnh: [>cfrac(n,k); V n M a th .C o m V n M a th .C o m
35 Sau dÊu (;) Ên phÝm “Enter” trÂȘn m”n h×nh sÏ xuÊt hiÖn kÕt qu¶. ThÝ dĂŽ: BiÓu diÔn π d−íi dÂčng ph©n sĂš liÂȘn tĂŽc theo cžch th«ng th−ĂȘng vĂ­i 6 th−¬ng. Ta thĂčc hiÖn lÖnh: [> cfrac (Pi,6); 3 1 7 1 15 1 1 1 292 1 1 1 1 + + + + + + +... 2. BiÓu diÔn sĂš n d−íi dÂčng ph©n sĂš liÂȘn tĂŽc theo cžch Ÿn gi¶n vĂ­i sĂš chĂ· sĂš trong biÓu diÔn l” k, ta dĂŻng lÖnh: [>cfrac(n,k,’quotients’); Sau dÊu (;) Ên phÝm “Enter” trÂȘn m”n h×nh sÏ xuÊt hiÖn kÕt qu¶. ThÝ dĂŽ: BiÓu diÔn π d−íi dÂčng ph©n sĂš liÂȘn tĂŽc theo cžch viÕt Ÿn gi¶n vĂ­i 100 chĂ· sĂš biÓu diÔn. Ta thĂčc hiÖn lÖnh: [> cfrac (Pi,100,’quotients’); [3,7,15,1,292,1,1,1,2,1,3,1,14,2,1,1,2,2,2,2,1,84,2,1,1, 15,3,13,1,4,2,6,6,99,1,2,2,6,3,5,1,1,6,8,1,7,1,2,3,7,1, 2,1,1,12,1,1,1,3,1,1,8,1,1,2,1,6,1,1,5,2,2,3,1,2,4,4,16, 1,161,45,1,22,1,2,2,1,4,1,2,24,1,2,1,3,1,2,1,1,10,2,...] 3. BiÓu diÔn sĂš n d−íi dÂčng ph©n sĂš liÂȘn tĂŽc theo chu kĂș tuÇn ho”n, ta dĂŻng lÖnh: [>cfrac(n,’periodic’); Sau dÊu (;) Ên phÝm “Enter” trÂȘn m”n h×nh sÏ xuÊt hiÖn kÕt qu¶. ThÝ dĂŽ: BiÓu diÔn 31/2 d−íi dÂčng ph©n sĂš liÂȘn tĂŽc theo chu kĂș tuÇn ho”n. Ta thĂčc hiÖn lÖnh: [>cfrac (3^(1/2),'periodic'); 1 1 1 1 2 1 1 1 2 + + + + +... V n M a th .C o m V n M a th .C o m
36 4. BiÓu diÔn sĂš n d−íi dÂčng ph©n sĂš liÂȘn tĂŽc theo chu kĂș tuÇn ho”n Ÿn gi¶n, ta dĂŻng lÖnh: [>cfrac (n,'periodic','quotients'); Sau dÊu (;) Ên phÝm “Enter” trÂȘn m”n h×nh sÏ xuÊt hiÖn kÕt qu¶. ThÝ dĂŽ: BiÓu diÔn 31/2 d−íi dÂčng ph©n sĂš liÂȘn tĂŽc theo chu kĂș tuÇn ho”n Ÿn gi¶n. Ta thĂčc hiÖn lÖnh: [> cfrac (3^(1/2),'periodic','quotients'); [[1], [1, 2]] II. 8. ThĂčc h”nh t×m ph©n sĂš hĂ©i tĂŽ thĂž k cña mĂ©t sĂš §Ó thĂčc h”nh t×m ph©n sĂš hĂ©i tĂŽ thĂž k cña mĂ©t sĂš n, ta thĂčc hiÖn theo cžc lÖnh sau: BuĂ­c 1: BiÓu diÔn n d−íi dÂčng ph©n sĂš liÂȘn tĂŽc [> cf:= cfrac(n); Sau dÊu (;) Ên phÝm “Enter” trÂȘn m”n h×nh sÏ xuÊt hiÖn sĂč biÓu diÔn B−íc 2: TÝnh ph©n sĂš hĂ©i tĂŽ thĂž k [> nthconver(cf,k); Sau dÊu (;) Ên phÝm “Enter” trÂȘn m”n h×nh sÏ xuÊt hiÖn ra kÕt qu¶. Trong quž tr×nh thĂčc hiÖn ta kh«ng cÇn biÕt kÕt qu¶ hiÖn thÞ Ă« b−íc 1, do Ÿã cĂŁ thÓ thay dÊu (;) b»ng dÊu (:) Ă« dßng lÖnh ¼Çu tiÂȘn ([>cf:=cfrac(n):). Khi Ÿã trÂȘn m”n h×nh sÏ hiÖn ra dÊu nhŸc ([>) ¼Ó thĂčc hiÖn tiÕp lÖnh thĂž 2. ThÝ dĂŽ: TÝnh ph©n sĂš hĂ©i tĂŽ thĂž 5 cña e. Ta thĂčc hiÖn nh− sau: [> cf:= cfrac(exp(1)); cf : ... = + + + + + + + + + + 2 1 1 1 2 1 1 1 1 1 4 1 1 1 1 1 6 1 1 [> nthconver(cf,5); V n M a th .C o m V n M a th .C o m
37 87 32 Nh− vËy, ph©n sĂš hĂ©i tĂŽ thĂž 5 cña e l” 87 32 . II. 8. ThĂčc h”nh ŸÊi cÂŹ sĂš 1. §Ó thĂčc h”nh ŸÊi mĂ©t sĂš n tĂ” cÂŹ 10 sang cÂŹ sĂš b ta dĂŻng dßng lÖnh sau: [>convert(n,base,b); Sau dÊu (;) Ên phÝm “Enter” trÂȘn m”n h×nh sÏ hiÖn lÂȘn mĂ©t dßng kÕt qu¶. ChĂł Ăœ r»ng kÕt qu¶ ¼−a ra trÂȘn m”n h×nh ¼−üc viÕt theo thĂž tĂč ng−üc lÂči. ThÝ dĂŽ 1: §Êi sĂš 24564 tĂ” cÂŹ sĂš 10 sang cÂŹ sĂš 6. Ta thĂčc h”nh nh− sau: [>convert(24564,base,6); [0, 2, 4, 5, 0, 3] VËy ta ¼−üc sĂš l” (305420)6. ChĂł Ăœ: Trong tr−ĂȘng hĂźp cÂŹ sĂš b >10, ta vÉn thĂčc hiÖn dßng lÖnh ŸÊi cÂŹ sĂš nh− b×nh th−ĂȘng. Tuy nhiÂȘn, sau khi nhËn ¼−üc kÕt qu¶, ¼Ó tržnh nhÇm lÉn ta thĂčc hiÖn viÖc ¼Æt t−¬ng Ăžng cžc sĂš lĂ­n hÂŹn 10 vĂ­i cžc kÝ hiÖu n”o Ÿã. Ta xem vÝ dĂŽ sau: ThÝ dĂŽ 2: §Êi sĂš 45676 tĂ” cÂŹ sĂš 10 sang cÂŹ sĂš 15, trong Ÿã ¼Æt 10=A, 11=B,12=C,13=D,14=E. Ta thĂčc h”nh nh− sau: [>L:=convert(45676,base,6): [>subs(10=A,11=B,12=C,13=D,14=E,L); [1, 0, 8, D] VËy ta ¼−üc sĂš l” (D801)15. 2. §Ó thĂčc h”nh ŸÊi mĂ©t sĂš n tĂ” cÂŹ sĂš a sang cÂŹ sĂš b ta dĂŻng dßng lÖnh sau: [> convert(n,base,a,b); Sau dÊu (;) Ên phÝm “Enter” trÂȘn m”n h×nh sÏ hiÖn lÂȘn mĂ©t dßng kÕt qu¶. ChĂł Ăœ r»ng kÕt qu¶ ¼−a ra trÂȘn m”n h×nh ¼−üc viÕt theo thĂž tĂč ng−üc lÂči. ThÝ dĂŽ: §Êi sĂš 305420 trong cÂŹ sĂš 6 sang cÂŹ sĂš 10. Ta thĂčc hiÖn dßng lÖnh V n M a th .C o m V n M a th .C o m
38 [> convert([0,2,4,5,0,3],base,6,10); [4, 6, 5, 4, 2] VËy ta cĂŁ kÕt qu¶ l” (24564)10 V n M a th .C o m V n M a th .C o m
39 Ch−¬ng 3 Cžc h”m sĂš hĂ€c Khi nghiÂȘn cĂžu cžc sĂš nguyÂȘn, ta th−ĂȘng l”m viÖc vĂ­i cžc ÂźÂči l−üng nh−: sĂš cžc −íc cña mĂ©t sĂš nguyÂȘn tĂš cho tr−íc, tĂŠng cžc −íc cña nĂŁ, tĂŠng cžc luĂŒ thĂ”a bËc k cña cžc −íc,... Ngo”i nhĂ·ng vÝ dĂŽ Ÿã cßn cĂŁ rÊt nhiÒu h”m sĂš hĂ€c quan trĂ€ng khžc. Trong ch−¬ng n”y, ta chØ xÐt sÂŹ qua mĂ©t v”i h”m quan trĂ€ng. PhÇn lĂ­n cña ch−¬ng ¼−üc gi”nh cho h”m Euler, l” mĂ©t trong nhĂ·ng h”m sĂš hĂ€c quan trĂ€ng nhÊt. §1. §Þnh nghÜa. §Þnh nghÜa 3.1. H”m sĂš hĂ€c tĂžc l” h”m xžc ¼Þnh trÂȘn tËp hĂźp cžc sĂš nguyÂȘn d−¬ng. §Þnh nghÜa 3.2. MĂ©t h”m sĂš hĂ€c f ¼−üc gĂ€i l” nh©n tÝnh nÕu vĂ­i mĂ€i n, m nguyÂȘn tĂš cĂŻng nhau, ta cĂŁ f(mn)=f(m)f(n). Trong tr−ĂȘng hĂźp ÂźÂŒng thĂžc Ÿóng vĂ­i mĂ€i m,n (kh«ng nhÊt thiÕt nguyÂȘn tĂš cĂŻng nhau), h”m f ¼−üc gĂ€i l” nh©n tÝnh mÂčnh. NhĂ·ng vÝ dĂŽ Ÿn gi¶n nhÊt vÒ h”m nh©n tÝnh (mÂčnh) l”: f(n)=n v” f(n)=1. DÔ chĂžng minh tÝnh chÊt sau Ÿ©y: nÕu f l” mĂ©t h”m nh©n tÝnh, n l” sĂš nguyÂȘn d−¬ng cĂŁ khai triÓn th”nh thĂ”a sĂš nguyÂȘn tĂš dÂčng n=p1 a1 p2 a2 ...pk ak , th× f(n) ¼−üc tÝnh theo c«ng thĂžc f(n)=f(pa1 )f(pa2 )...f(pak ). §2. Phi h”m Euler. Trong cžc h”m sĂš hĂ€c, h”m Euler m” ta ¼Þnh nghÜa sau Ÿ©y cĂŁ vai trß rÊt quan trĂ€ng. §Þnh nghÜa 3.3. Phi- h”m Euler φ (n) l” h”m sĂš hĂ€c cĂŁ giž trÞ tÂči n b»ng sĂš cžc sĂš kh«ng v−üt quž n v” nguyÂȘn tĂš cĂŻng nhau vĂ­i n. VÝ dĂŽ. TĂ” ¼Þnh nghÜa ta cĂŁ: φ (1)=1, φ (2)=1, φ (3)=2, φ (4)=2, φ (5)=4, φ (6)=2, φ (7)=6, φ (8)=4 , φ (9)=6, φ (10)=4. TĂ” ¼Þnh nghÜa trÂȘn Ÿ©y ta cĂŁ ngay hÖ qu¶ trĂčc tiÕp: SĂš p l” nguyÂȘn tĂš khi v” chØ khi φ (p)=p-1. NÕu ¼Þnh lÝ Fermat bÐ cho ta c«ng cĂŽ nghiÂȘn cĂžu ŸÄng d− modulo mĂ©t sĂš nguyÂȘn tĂš, th× Phi-h”m Euler ¼−üc dĂŻng ¼Ó xÐt ŸÄng d− modulo mĂ©t hĂźp sĂš. Tr−íc khi Âźi v”o vÊn ¼Ò Ÿã, ta cÇn mĂ©t sĂš ¼Þnh nghÜa sau. V n M a th .C o m V n M a th .C o m
40 §Þnh nghÜa 3.4. HÖ thÆng d− thu gĂ€n modulo n l” tËp hĂźp φ (n) sĂš nguyÂȘn sao cho mçi phÇn tö cña tËp hĂźp nguyÂȘn tĂš cĂŻng nhau vĂ­i n , v” kh«ng cĂŁ hai phÇn tö n”o ŸÄng d− vĂ­i nhau modulo n. NĂŁi cžch khžc tĂ” hÖ thÆng d− ¼Çy Ÿñ modolo n, ¼Ó lËp hÖ thÆng d− thu gĂ€n, ta chØ giĂ· lÂči nhĂ·ng giž trÞ n”o nguyÂȘn tĂš cĂŻng nhau vĂ­i n. VÝ dĂŽ. Cžc sĂš 1,2,3,4,5,6 lËp th”nh hÖ thÆng d− thu gĂ€n modulo 7. §Úi vĂ­i modulo 8, ta cĂŁ thÓ lÊy 1,3,5,7. §Þnh lÝ 3.5. NÕu r1,r2,...,rφ( )n l” mĂ©t hÖ thÆng d− thu gĂ€n modulo n, v” a l” sĂš nguyÂȘn d−¬ng, (a,n)=1, th× tËp hĂźp ar1,ar2,...,arφ( )n cĂČng l” hÖ thÆng d− thu gĂ€n modulo n. ChĂłng t«i d”nh chĂžng minh ¼Þnh lÝ n”y cho Ÿéc gi¶. §Þnh lÝ trÂȘn Ÿ©y ¼−üc dĂŻng ¼Ó chĂžng minh mĂ« rĂ©ng cña ¼Þnh lÝ Fermat bÐ. §Þnh lÝ Euler. NÕu m l” sĂš nguyÂȘn d−¬ng v” a l” sĂš nguyÂȘn tĂš cĂŻng nhau vĂ­i n th× a φ( )m ≡ 1(mod m). ChĂžng minh. Ta lËp luËn ho”n to”n t−¬ng tĂč nh− trong ¼Þnh lÝ Fermat bÐ. Gi¶ sö r1,r2,...,rφ( )m modulo m, lËp nÂȘn tĂ” cžc sĂš nguyÂȘn d−¬ng kh«ng v−üt quž m v” nguyÂȘn tĂš cĂŻng nhau vĂ­i m. Theo ¼Þnh lÝ 3.5, ar1,ar2,...,a rφ( )m cĂČng l” mĂ©t hÖ thÆng d− thu gĂ€n. Khi Ÿã thÆng d− d−¬ng bÐ nhÊt cña hÖ n”y sÏ l” tËp hĂźp r1,r2,..., rφ( )m sŸp xÕp theo mĂ©t thĂž tĂč n”o Ÿã. Ta cĂŁ: ar1ar2...a rφ( )m ≡ r1r2... rφ( )m (mod m). Nh− vËy, a φ( )m r1,r2,...,rφ( )m ≡ r1r2... rφ( )m (mod m). TĂ” Ÿã suy ra ¼Þnh lÝ. §Þnh lÝ Euler cĂŁ thÓ dĂŻng ¼Ó t×m nghÞch ٦o modulo m. ChÂŒng hÂčn nÕu a v” m l” cžc sĂš nguyÂȘn tĂš cĂŻng nhau, ta cĂŁ a.aφ( )m −1 ≡ 1(mod m), tĂžc l” aφ( )m −1 chÝnh l” nghÞch ٦o cña a modulo m. TĂ” Ÿã cĂČng suy ra nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh ŸÄng d− tuyÕn tÝnh ax ≡ b(mod m), vĂ­i (a,m)=1 l” x ≡ aφ( )m −1 b(mod m). §Þnh lÝ 3.6. Phi h”m Euler l” h”m nh©n tÝnh. ChĂžng minh. Gi¶ sö m, n l” hai sĂš d−¬ng nguyÂȘn tĂš cĂŻng nhau. Ta cÇn chĂžng tĂĄ r»ng φ (mn)= φ (m)φ (n). Ta sŸp xÕp tÊt c¶ cžc sĂš nguyÂȘn d−¬ng kh«ng v−üt quž nm th”nh b¶ng sau: 1 m+1 2m+1 ... (n-1)m+1 2 m+2 2m+2 ... (n-1)m+2 ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... V n M a th .C o m V n M a th .C o m
41 r m+r 2m+r ... (n-1)m+r ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... m 2m 3m ... mn Gi¶ sö r l” sĂš nguyÂȘn kh«ng v−üt quž m, v” (m,n)=d>1. Khi Ÿã trong h”ng thĂž r kh«ng cĂŁ sĂš n”o nguyÂȘn tĂš cĂŻng nhau vĂ­i mn. V× thÕ ¼Ó tÝnh φ (mn), ta chØ cÇn quan t©m cžc sĂš trong h”ng thĂž r vĂ­i (r,m)=1. Cžc sĂš trong h”ng n”y ¼Òu nguyÂȘn tĂš cĂŻng nhau vĂ­i m. MÆt khžc dÔ thÊy r»ng cžc sĂš trong h”ng n”y lËp th”nh mĂ©t hÖ thÆng d− ¼Çy Ÿñ modulo n. Do Ÿã cĂŁ Ÿóng φ (n) sĂš trong h”ng nguyÂȘn tĂš cĂŻng nhau vĂ­i n, tĂžc l” trong h”ng cĂŁ φ (n) sĂš nguyÂȘn tĂš cĂŻng nhau vĂ­i mn. C¶ th¶y cĂŁ φ (n) h”ng nh− vËy, ¼Þnh lÝ ¼−üc chĂžng minh. NhĂȘ tÝnh chÊt n”y ta cĂŁ ngay c«ng thĂžc Phi-h”m Euler. §Þnh lÝ 3.7. Gi¶ sö n=p1 a1 p2 a2 ...pk ak l” ph©n tÝch cña n th”nh thĂ”a sĂš nguyÂȘn tĂš. Khi Ÿã ta cĂŁ: φ (n)=n(1- 1 1 1 1 1 1 2p p pk )( )...( )− − ChĂžng minh. Do Phi-h”m Euler l” h”m nh©n tÝnh nÂȘn ta chØ cÇn chĂžng minh r»ng, vĂ­i mĂ€i sĂš nguyÂȘn tĂš p, φ (pk )=pk -pk-1 . ThËt vËy, cžc sĂš nguyÂȘn d−¬ng kh«ng v−üt quž pk v” kh«ng nguyÂȘn tĂš cĂŻng nhau vĂ­i p ph¶i cĂŁ dÂčng sp vĂ­i s nguyÂȘn d−¬ng n”o Ÿã. CĂŁ Ÿóng pk-1 sĂš nh− vËy. Do Ÿã, sĂš cžc sĂš kh«ng v−üt quž pk v” nguyÂȘn tĂš cĂŻng nhau vĂ­i pk Ÿóng b»ng pk -pk-1 . TÝnh chÊt quan trĂ€ng sau Ÿ©y cña Phi-h”m th−ĂȘng d−üc sö dĂŽng vÒ sau. §Þnh lÝ 3.8. Gi¶ sö n l” mĂ©t sĂš nguyÂȘn d−¬ng. Khi Ÿã φ( ) | d d n ∑ =n trong Ÿã tĂŠng ¼−üc lÊy theo mĂ€i −íc cña n. ChĂžng minh. Ta ph©n cžc sĂš nguyÂȘn tĂ” 1 ¼Õn n th”nh tĂ”ng nhĂŁm Cd: m∈Cd khi v” chØ khi (m,n)=d, tĂžc l” khi v” chØ khi (m/d, n/d)=1. Nh− vËy, sĂš phÇn tö cña Cd Ÿóng b»ng sĂš cžc sĂš nguyÂȘn kh«ng v−üt quž n/d v” nguyÂȘn tĂš cĂŻng nhau vĂ­i n/d, tĂžc l” b»ng φ (n/d). Ta cĂŁ n= φ( / ) | n d d n ∑ Khi d chÂčy qua mĂ€i −íc cña n th× n/d cĂČng chÂčy qua mĂ€i −íc cña n: ¼Þnh lÝ ¼−üc chĂžng minh. NhËn xÐt. Cžc tÝnh chÊt cña Phi-h”m Euler ¼−üc sö dĂŽng ¼Ó tÝnh ŸÄng d− cña nhĂ·ng luĂŒ thĂ”a rÊt lĂ­n. ChÂŒng hÂčn, ta cÇn tÝnh an mod k, trong Ÿã n l” mĂ©t sĂš nguyÂȘn lĂ­n. Gi¶ sö ta cĂŁ V n M a th .C o m V n M a th .C o m
42 k= p p ps s 1 2 1 2α α α ... . Khi Ÿã a pi iφ α( ) ≡ 1(mod pi αi ). NÕu N l” bĂ©i chung nhĂĄ nhÊt cña cžc φ ( pi αi ) th× aN ≡ 1(mod k). Do Ÿã, viÕt n=Nq+r vĂ­i r<N, ta ¼−üc an ≡ ar (mod k). Ta xÐt mĂ©t vÝ dĂŽ b»ng sĂš. TÝnh 21000000 mod 77. Ta cĂŁ: 77=11.7, φ (7)=6, φ (11)=10. BĂ©i chung nhĂĄ nhÊt cña 6 v” 10 l” 30. Ta cĂŁ 230 ≡ 1(mod 77). MÆt khžc, 1000000=30.33333+10. VËy 21000000 ≡ 210 ≡ 23(mod 77). §3. SĂš ho”n h¶o v” sĂš nguyÂȘn tĂš Mersenne. TiÕt n”y d”nh ¼Ó m« t¶ mĂ©t dÂčng ¼Æc biÖt cña sĂš nguyÂȘn tĂš, cĂŁ vai trß quan trĂ€ng trong lÝ thuyÕt v” Ăžng dĂŽng. Ta bŸt ¼Çu b»ng mĂ©t sĂš h”m sĂš hĂ€c quan trĂ€ng. §Þnh nghÜa 3.9. H”m τ (n), sĂš cžc −íc, cĂŁ giž trÞ tÂči n b»ng sĂš cžc −íc d−¬ng cña n; h”m σ (n), tĂŠng cžc −íc, cĂŁ giž trÞ tÂči n b»ng tĂŠng cžc −íc d−¬ng cña n. NĂŁi cžch khžc, ta cĂŁ: τ (n)= 1 d n| ∑ , σ (n)= d d n| ∑ . VÝ dĂŽ, nÕu p l” mĂ©t sĂš nguyÂȘn tĂš th× τ (p)=2, σ (p)=p+1. §Þnh lÝ 3.10. τ (n) v” σ (n) l” cžc h”m nh©n tÝnh. DÔ thÊy r»ng, ¼Þnh lÝ trÂȘn suy ra tĂ” bĂŠ ¼Ò sau. BĂŠ ¼Ò 3.11. NÕu f l” h”m nh©n tÝnh, th× F(n)= f d d n ( ) | ∑ cĂČng l” h”m nh©n tÝnh. ThËt vËy, gi¶ sö m, n l” cžc sĂš nguyÂȘn d−¬ng nguyÂȘn tĂš cĂŻng nhau. Ta cĂŁ: F(mn)= f d d mn ( ) | ∑ . V× (m,n)=1, mçi −íc d cña mn cĂŁ thÓ viÕt duy nhÊt d−íi dÂčng d=d1d2 trong Ÿã d1,d2 t−¬ng Ăžng l” −íc cña m,n, v” d1,d2 nguyÂȘn tĂš cĂŻng nhau. Do Ÿã ta cĂŁ F(mn)= f d d d m d n ( ) | , | 1 2 1 2 ∑ V× f l” h”m nh©n tÝnh v” (d1,d2)=1 nÂȘn: V n M a th .C o m V n M a th .C o m
43 F(mn)= f d f d f d f d d m d n ( ) ( ) ( ) ( ) | | 1 2 1 2 1 2 ∑ ∑ ∑= =F(n)F(m) §Þnh lÝ ¼−üc chĂžng minh. Sö dĂŽng ¼Þnh lÝ trÂȘn, ta cĂŁ c«ng thĂžc sau Ÿ©y cho cžc h”m τ (n) v” σ (n). §Þnh lÝ 3.12. Gi¶ sö n cĂŁ ph©n tÝch sau Ÿ©y ra thĂ”a sĂš nguyÂȘn tĂš n=p1 a1 p2 a2 ...pk ak . Khi Ÿã ta cĂŁ: σ(n) = pj aj+1 j=1 k − − ∏ 1 1pj τ (n)=(a1+1)(a2+1)...(ak+1)= ( )a j j k + = ∏ 1 1 ChĂłng t«i d”nh chĂžng minh n”y cho Ÿéc gi¶. Do cžc quan niÖm thÇn bÝ, ng−ĂȘi cĂŠ Hy LÂčp quan t©m ¼Õn cžc sĂš nguyÂȘn b»ng tĂŠng tÊt c¶ cžc −íc d−¬ng thĂčc sĂč cña nĂŁ. HĂ€ gĂ€i cžc sĂš Ÿã l” cžc sĂš ho”n h¶o. §Þnh nghÜa 3.13. SĂš nguyÂȘn d−¬ng n d−üc gĂ€i l” sĂš ho”n h¶o nÕu σ (n)=2n. VÝ dĂŽ. Cžc sĂš 6, 28 l” cžc sĂš ho”n h¶o: σ (6)=1+2+3+6=12, σ (12)=1+2+4+7+14+28=56 §Þnh lÝ sau Ÿ©y ¼−üc biÕt tĂ” thĂȘi Hy lÂčp. §Þnh lÝ 3.14. SĂš nguyÂȘn d−¬ng chÂœn n l” sĂš ho”n h¶o khi v” chØ khi n=2m-1 (2m -1), trong Ÿã m l” mĂ©t sĂš nguyÂȘn sao cho m≄2 v” 2m -1 l” nguyÂȘn tĂš. ChĂžng minh. Tr−íc tiÂȘn, gi¶ sö r»ng, m cĂŁ dÂčng nh− trÂȘn. V× σ l” h”m nh©n tÝnh, ta cĂŁ: σ (n)= σ (2m-1 ) σ (2m -1). TĂ” c«ng thĂžc cña h”m σ v” gi¶ thiÕt 2m -1 l” nguyÂȘn tĂš, dÔ thÊy r»ng σ (2m-1 )=2m -1, σ (2m -1)=2m , v” do Ÿã σ (n)=2n. Ng−üc lÂči, gi¶ sö n l” sĂš ho”n h¶o chÂœn. ViÕt n=2s t, trong Ÿã s,t l” cžc sĂš nguyÂȘn d−¬ng, t lÎ, ta ¼−üc: σ (n)= σ (2s t)= σ (2s ) σ (t)=(2s+1 -1) σ (t) V× n l” sĂš ho”n h¶o, σ (n)=2n=2s+1 t. Nh− vËy, 2s+1 |σ (t), gi¶ sö σ (t)=2s+1 q. Ta cĂŁ ÂźÂŒng thĂžc (2s+1 -1)2s+1 q=2s+1 t, tĂžc l” q|t v” q ≠ t. MÆt khžc ta cĂŁ: t+q=(2s+1 -1)q+q=2s+1 q=σ (t) Ta chĂžng tĂĄ r»ng, q=1. ThËt vËy, nÕu ng−üc lÂči, t cĂŁ Ýt nhÊt 3 −íc khžc nhau l” 1, t, q, do Ÿã σ (t) ≄t+q+1, m©u thuÉn ÂźÂŒng thĂžc vĂ”a chĂžng minh. VËy σ (t)=t+1, nghÜa l” t l” sĂš nguyÂȘn tĂš. §Þnh lÝ ¼−üc chĂžng minh. Nh− vËy ¼Ó t×m cžc sĂš ho”n h¶o, ta cÇn t×m cžc sĂš nguyÂȘn tĂš dÂčng 2m -1. V n M a th .C o m V n M a th .C o m
44 §Þnh nghÜa 3.15. Gi¶ sö m l” mĂ©t sĂš nguyÂȘn d−¬ng, khi Ÿã Mm=2m -1 ¼−üc gĂ€i l” sĂš Mersenne thĂž m. NÕu p l” sĂš nguyÂȘn tĂš, v” Mp cĂČng nguyÂȘn tĂš, th× Mp ¼−üc gĂ€i l” sĂš nguyÂȘn tĂš Mersenne. VÝ dĂŽ. M2,M3,M5,M7 l” cžc sĂš nguyÂȘn tĂš Mersenne, trong khi M11 l” hĂźp sĂš. CĂŁ nhiÒu ¼Þnh lÝ khžc nhau dĂŻng ¼Ó xžc ¼Þnh sĂš nguyÂȘn tĂš Mersenne. ChÂŒng hÂčn nhĂȘ ¼Þnh lÝ sau Ÿ©y, ta cĂŁ thÓ kiÓm tra nhanh chĂŁng dĂča v”o dÂčng cña cžc −íc sĂš cña sĂš nguyÂȘn tĂš Mersenne. §Þnh lÝ 3.16. NÕu p l” mĂ©t sĂš nguyÂȘn tĂš lÎ, th× mĂ€i −íc cña sĂš nguyÂȘn tĂš Mersenne Mp ¼Òu cĂŁ dÂčng 2kp+1, trong Ÿã k l” sĂš nguyÂȘn d−¬ng. ChĂžng minh. Gi¶ sö q l” mĂ©t sĂš nguyÂȘn tĂš cña Mp. Theo ¼Þnh lÝ Fermat bÐ, q|(2q- 1 -1). Theo hÖ qu¶ 1.9, (2p -1,2q-1 -1)=2(p,q-1) -1. Šíc chung n”y lĂ­n hÂŹn 1, v× nĂŁ l” mĂ©t bĂ©i cña q. Do Ÿã, (p,q-1)=p, v× p l” mĂ©t sĂš nguyÂȘn tĂš. Ta cĂŁ q=mp+1, v” v× q lÎ nÂȘn m=2k, ¼Þnh lÝ ¼−üc chĂžng minh. Sau Ÿ©y l” v”i vÝ dĂŽ cho thÊy Ăžng dĂŽng cña ¼Þnh lÝ trÂȘn. VÝ dĂŽ 1. §Ó xÐt xem M13=213 -1=8191 cĂŁ ph¶i l” sĂš nguyÂȘn tĂš hay kh«ng, ta cÇn xem cžc phÐp chia cho nhĂ·ng sĂš nguyÂȘn tĂš kh«ng v−üt quž 8191=90,504... MÆt khžc, theo ¼Þnh lÝ trÂȘn, mĂ€i −íc nguyÂȘn tĂš ¼Òu ph¶i cĂŁ dÂčng 26k+1. Nh− vËy chØ cÇn thö vĂ­i hai sĂš 53 v” 79: ta thÊy M13 l” sĂš nguyÂȘn tĂš. VÝ dĂŽ 2. XÐt M23=8388607. Ta cÇn xÐt cžc phÐp chia cña nĂŁ cho cžc sĂš nguyÂȘn tĂš dÂčng 46k+1. SĂš ¼Çu tiÂȘn 47 l” −íc cña nĂŁ: M23 l” hĂźp sĂš. CĂŁ nhiÒu thuËt tožn ¼Æc biÖt ¼Ó kiÓm tra nguyÂȘn tĂš cžc sĂš Mersenne. NhĂȘ Ÿã, ng−ĂȘi ta phžt hiÖn ¼−üc nhĂ·ng sĂš nguyÂȘn tĂš rÊt lĂ­n. Mçi lÇn cĂŁ mĂ©t sĂš nguyÂȘn tĂš Mersenne, ta lÂči ¼−üc mĂ©t sĂš ho”n h¶o. Cho ¼Õn nay, ng−ĂȘi ta Ÿ· biÕt ¼−üc r»ng, vĂ­i p≀132049, chØ cĂŁ 30 sĂš nguyÂȘn tĂš Mersenne, v” tÝnh ¼−üc chĂłng. SĂš nguyÂȘn tĂš Mersenne t×m ¼−üc gÇn Ÿ©y nhÊt l” sĂš M216091, gĂ„m 65050 chĂ· sĂš. Gi¶ thuyÕt sau Ÿ©y vÉn cßn ch−a ¼−üc chĂžng minh. Gi¶ thuyÕt 3.17. TĂ„n tÂči v« hÂčn sĂš nguyÂȘn tĂš Mersenne. Ng−ĂȘi ta Ÿ· biÕt ¼−üc r»ng, trong kho¶ng tĂ” 1 ¼Õn 10200 kh«ng cĂŁ sĂš ho”n h¶o lÎ. Tuy nhiÂȘn c©u hĂĄi sau Ÿ©y vÉn ch−a ¼−üc tr¶ lĂȘi. C©u hĂĄi 3.18. TĂ„n tÂči hay kh«ng cžc sĂš ho”n h¶o lÎ? §4. Cšn nguyÂȘn thuĂ». Khi xÐt cžc sĂš phĂžc l” cšn bËc n cña Ÿn vÞ, ta th−ĂȘng chĂł Ăœ nhĂ·ng sĂš n”o kh«ng ph¶i l” cšn cña Ÿn vÞ vĂ­i bËc thÊp hÂŹn. NhĂ·ng sĂš Ÿã gĂ€i l” cšn nguyÂȘn thuĂ» cña Ÿn vÞ. §Úi vĂ­i cžc sĂš nguyÂȘn, ta cĂČng cĂŁ khži niÖm ho”n to”n t−¬ng tĂč vÒ “cšn” v” “cšn nguyÂȘn thuĂ»â€ cña Ÿn vÞ. V n M a th .C o m V n M a th .C o m
45 §Þnh nghÜa 3.19. Gi¶ sö a v” m l” cžc sĂš nguyÂȘn d−¬ng nguyÂȘn tĂš cĂŻng nhau. Khi Ÿã sĂš nguyÂȘn nhĂĄ nhÊt x tho¶ m·n ŸÄng d− ax ≡ 1(mod m) ¼−üc gĂ€i l” bËc cña a modulo m. Ta viÕt x= ordma. Ta chĂł Ăœ r»ng, sĂš x nh− vËy tĂ„n tÂči v× theo ¼Þnh lÝ Euler, aφ (m) ≡ 1(mod m). §Þnh lÝ 3.20. Gi¶ sö a v” n l” cžc sĂš nguyÂȘn tĂš cĂŻng nhau, n>0. Khi Ÿã sĂš nguyÂȘn x l” nghiÖm cña ŸÄng d− ax ≡ 1(mod m) khi v” chØ khi x l” mĂ©t bĂ©i cña bËc cña a modulo n. ChĂžng minh. Gi¶ sö x tho¶ m·n ŸÄng d− trÂȘn. Ta viÕt x=q ordna+r, trong Ÿã 0≀r<x. TĂ” Ÿã ta cĂŁ ar ≡ 1(mod m). V× ordna l” sĂš d−¬ng nhĂĄ nhÊt cĂŁ tÝnh chÊt Ÿã nÂȘn r=0: x l” mĂ©t bĂ©i cña bËc cña a modulo n. §iÒu ng−üc lÂči l” rĂą r”ng. HÖ qu¶ 3.21. NÕu a v” n l” cžc sĂš nguyÂȘn tĂš cĂŻng nhau, n>0, th× ordna |φ (n). HÖ qu¶ 3.22. NÕu a v” n l” cžc sĂš nguyÂȘn tĂš cĂŻng nhau, n>0, th× ai ≡ aj (mod n) khi v” chØ khi i ≡ j(mod n). ChĂžng minh cžc hÖ qu¶ trÂȘn ¼−üc d”nh cho Ÿéc gi¶. Do hÖ qu¶ 3.21, nÕu r v” n l” nguyÂȘn tĂš cĂŻng nhau th× bËc cña r kh«ng v−üt quž φ (n). Cžc sĂš cĂŁ bËc Ÿóng b»ng φ (n) giĂ· vai trß quan trĂ€ng trong nhiÒu vÊn ¼Ò khžc nhau cña sĂš hĂ€c. Ta cĂŁ ¼Þnh nghÜa sau. §Þnh nghÜa 3.23. NÕu r v” n l” cžc sĂš nguyÂȘn tĂš cĂŻng nhau, n>0, v” nÕu ordnr =φ (n) th× r ¼−üc gĂ€i l” cšn nguyÂȘn thuĂ» modulo n. ChĂł Ăœ r»ng kh«ng ph¶i mĂ€i sĂš ¼Òu cĂŁ cšn nguyÂȘn thuĂ». ChÂŒng hÂčn, xÐt n=8. Cžc sĂš nhĂĄ hÂŹn 8 v” nguyÂȘn tĂš cĂŻng nhau vĂ­i 8 l” 1, 3, 5, 7, ŸÄng thĂȘi ta cĂŁ ord81=1, bËc cña cžc sĂš cßn lÂči b»ng 2, trong khi φ (8)=4. VÊn ¼Ò nhĂ·ng sĂš nguyÂȘn n”o th× cĂŁ cšn nguyÂȘn thuĂ» sÏ ¼−üc xÐt vÒ sau. §Þnh lÝ 3.24. NÕu r, n nguyÂȘn tĂš cĂŻng nhau, n>0, v” nÕu r l” cšn nguyÂȘn thuĂ» modulo n, th× cžc sĂš sau Ÿ©y lËp th”nh hÖ thÆng d− thu gĂ€n modulo n: r1 ,r2 ,...,rφ (n) . ChĂžng minh. V× (r,n)=1, cžc sĂš trÂȘn nguyÂȘn tĂš cĂŻng nhau vĂ­i n. Ta chØ cÇn chĂžng tĂĄ r»ng, kh«ng cĂŁ hai sĂš n”o ŸÄng d− vĂ­i nhau modulo n. Gi¶ sö ri ≡ rj (mod n). Theo hÖ qu¶ 3.22, i ≡ j(mod φ (n)). TĂ” Ÿã suy ra i=j, v× i, j kh«ng v−üt quž φ (n). §Þnh lÝ ¼−üc chĂžng minh. §Þnh lÝ 3.25. NÕu ordma=t v” u l” sĂš nguyÂȘn d−¬ng, th× ordm(au )= t / (t,u). ChĂžng minh. §Æt v=(t,u), t=t1v, u=u1v, s= ordm(au ). Ta cĂŁ (au )t 1 =(au1v )t/v =(at )u1 ≡ 1(mod m). Do Ÿã, s|t1. MÆt khžc, (au )s =aus ≡ 1(mod m) nÂȘn t|su. Nh− vËy, t1v | u1vs, do Ÿã, t1|u1s. V× (u1, t1)=1, ta cĂŁ t1|s. CuĂši cĂŻng, v× s|t1, t1|s nÂȘn s=t1=t/v=t/(t, u), chĂžng minh xong. V n M a th .C o m V n M a th .C o m
so hocthuattoan hahuykhoai
so hocthuattoan hahuykhoai
so hocthuattoan hahuykhoai
so hocthuattoan hahuykhoai
so hocthuattoan hahuykhoai
so hocthuattoan hahuykhoai
so hocthuattoan hahuykhoai
so hocthuattoan hahuykhoai
so hocthuattoan hahuykhoai
so hocthuattoan hahuykhoai
so hocthuattoan hahuykhoai
so hocthuattoan hahuykhoai
so hocthuattoan hahuykhoai
so hocthuattoan hahuykhoai
so hocthuattoan hahuykhoai
so hocthuattoan hahuykhoai
so hocthuattoan hahuykhoai
so hocthuattoan hahuykhoai
so hocthuattoan hahuykhoai
so hocthuattoan hahuykhoai
so hocthuattoan hahuykhoai
so hocthuattoan hahuykhoai
so hocthuattoan hahuykhoai
so hocthuattoan hahuykhoai
so hocthuattoan hahuykhoai
so hocthuattoan hahuykhoai
so hocthuattoan hahuykhoai
so hocthuattoan hahuykhoai
so hocthuattoan hahuykhoai
so hocthuattoan hahuykhoai
so hocthuattoan hahuykhoai
so hocthuattoan hahuykhoai
so hocthuattoan hahuykhoai
so hocthuattoan hahuykhoai
so hocthuattoan hahuykhoai
so hocthuattoan hahuykhoai
so hocthuattoan hahuykhoai
so hocthuattoan hahuykhoai
so hocthuattoan hahuykhoai
so hocthuattoan hahuykhoai
so hocthuattoan hahuykhoai
so hocthuattoan hahuykhoai
so hocthuattoan hahuykhoai
so hocthuattoan hahuykhoai
so hocthuattoan hahuykhoai
so hocthuattoan hahuykhoai
so hocthuattoan hahuykhoai
so hocthuattoan hahuykhoai
so hocthuattoan hahuykhoai
so hocthuattoan hahuykhoai
so hocthuattoan hahuykhoai
so hocthuattoan hahuykhoai
so hocthuattoan hahuykhoai
so hocthuattoan hahuykhoai
so hocthuattoan hahuykhoai
so hocthuattoan hahuykhoai
so hocthuattoan hahuykhoai
so hocthuattoan hahuykhoai
so hocthuattoan hahuykhoai
so hocthuattoan hahuykhoai
so hocthuattoan hahuykhoai
so hocthuattoan hahuykhoai
so hocthuattoan hahuykhoai
so hocthuattoan hahuykhoai
so hocthuattoan hahuykhoai
so hocthuattoan hahuykhoai
so hocthuattoan hahuykhoai
so hocthuattoan hahuykhoai
so hocthuattoan hahuykhoai
so hocthuattoan hahuykhoai
so hocthuattoan hahuykhoai
so hocthuattoan hahuykhoai
so hocthuattoan hahuykhoai
so hocthuattoan hahuykhoai
so hocthuattoan hahuykhoai
so hocthuattoan hahuykhoai
so hocthuattoan hahuykhoai
so hocthuattoan hahuykhoai
so hocthuattoan hahuykhoai
so hocthuattoan hahuykhoai
so hocthuattoan hahuykhoai
so hocthuattoan hahuykhoai
so hocthuattoan hahuykhoai
so hocthuattoan hahuykhoai
so hocthuattoan hahuykhoai
so hocthuattoan hahuykhoai
so hocthuattoan hahuykhoai
so hocthuattoan hahuykhoai

Recommended

Tuoitrebentre.vn-giao trinh-cong-nghe-che-tao-may-bk-da-nang
Tuoitrebentre.vn-giao trinh-cong-nghe-che-tao-may-bk-da-nangTuoitrebentre.vn-giao trinh-cong-nghe-che-tao-may-bk-da-nang
Tuoitrebentre.vn-giao trinh-cong-nghe-che-tao-may-bk-da-nang
NgĂŽ ChĂ­ TĂąm
 
Chuyen+de+bat+dang+thuc +www.vnmath.com
Chuyen+de+bat+dang+thuc +www.vnmath.comChuyen+de+bat+dang+thuc +www.vnmath.com
Chuyen+de+bat+dang+thuc +www.vnmath.com
buiconghuy
 
Thiáșżt káșż hệ truyền động cho mĂĄy bĂ o giường
Thiáșżt káșż hệ truyền động cho mĂĄy bĂ o giườngThiáșżt káșż hệ truyền động cho mĂĄy bĂ o giường
Thiáșżt káșż hệ truyền động cho mĂĄy bĂ o giườngHuynh Loc
 
hoccokhi.vn CĂŽng Nghệ Cháșż TáșĄo MĂĄy 1 - LÆ°u Đức BĂŹnh, 197 Trang
hoccokhi.vn CĂŽng Nghệ Cháșż TáșĄo MĂĄy 1 - LÆ°u Đức BĂŹnh, 197 Tranghoccokhi.vn CĂŽng Nghệ Cháșż TáșĄo MĂĄy 1 - LÆ°u Đức BĂŹnh, 197 Trang
hoccokhi.vn CĂŽng Nghệ Cháșż TáșĄo MĂĄy 1 - LÆ°u Đức BĂŹnh, 197 Trang
Học CÆĄ KhĂ­
 
2.trinh sinh
2.trinh sinh2.trinh sinh
2.trinh sinhanthao1
 
Ch03 (1)
Ch03 (1)Ch03 (1)
Ch03 (1)lengochan
 
Luáș­n văn tốt nghiệp: Trung tĂąm giao dịch quốc táșż, HAY
Luáș­n văn tốt nghiệp: Trung tĂąm giao dịch quốc táșż, HAYLuáș­n văn tốt nghiệp: Trung tĂąm giao dịch quốc táșż, HAY
Luáș­n văn tốt nghiệp: Trung tĂąm giao dịch quốc táșż, HAY
Dịch vỄ viáșżt bĂ i trọn gĂłi ZALO: 0909232620
 
Noi dung on tap cohocdat
Noi dung on tap cohocdatNoi dung on tap cohocdat
Noi dung on tap cohocdat
vudat11111
 

Recommended

Tuoitrebentre.vn-giao trinh-cong-nghe-che-tao-may-bk-da-nang
Tuoitrebentre.vn-giao trinh-cong-nghe-che-tao-may-bk-da-nangTuoitrebentre.vn-giao trinh-cong-nghe-che-tao-may-bk-da-nang
Tuoitrebentre.vn-giao trinh-cong-nghe-che-tao-may-bk-da-nang
NgĂŽ ChĂ­ TĂąm
 
Chuyen+de+bat+dang+thuc +www.vnmath.com
Chuyen+de+bat+dang+thuc +www.vnmath.comChuyen+de+bat+dang+thuc +www.vnmath.com
Chuyen+de+bat+dang+thuc +www.vnmath.com
buiconghuy
 
Thiáșżt káșż hệ truyền động cho mĂĄy bĂ o giường
Thiáșżt káșż hệ truyền động cho mĂĄy bĂ o giườngThiáșżt káșż hệ truyền động cho mĂĄy bĂ o giường
Thiáșżt káșż hệ truyền động cho mĂĄy bĂ o giườngHuynh Loc
 
hoccokhi.vn CĂŽng Nghệ Cháșż TáșĄo MĂĄy 1 - LÆ°u Đức BĂŹnh, 197 Trang
hoccokhi.vn CĂŽng Nghệ Cháșż TáșĄo MĂĄy 1 - LÆ°u Đức BĂŹnh, 197 Tranghoccokhi.vn CĂŽng Nghệ Cháșż TáșĄo MĂĄy 1 - LÆ°u Đức BĂŹnh, 197 Trang
hoccokhi.vn CĂŽng Nghệ Cháșż TáșĄo MĂĄy 1 - LÆ°u Đức BĂŹnh, 197 Trang
Học CÆĄ KhĂ­
 
2.trinh sinh
2.trinh sinh2.trinh sinh
2.trinh sinhanthao1
 
Ch03 (1)
Ch03 (1)Ch03 (1)
Ch03 (1)lengochan
 
Luáș­n văn tốt nghiệp: Trung tĂąm giao dịch quốc táșż, HAY
Luáș­n văn tốt nghiệp: Trung tĂąm giao dịch quốc táșż, HAYLuáș­n văn tốt nghiệp: Trung tĂąm giao dịch quốc táșż, HAY
Luáș­n văn tốt nghiệp: Trung tĂąm giao dịch quốc táșż, HAY
Dịch vỄ viáșżt bĂ i trọn gĂłi ZALO: 0909232620
 
Noi dung on tap cohocdat
Noi dung on tap cohocdatNoi dung on tap cohocdat
Noi dung on tap cohocdat
vudat11111
 
Giao trinh tri_tue_nhan_tao___dinh_manh_tuong
Giao trinh tri_tue_nhan_tao___dinh_manh_tuongGiao trinh tri_tue_nhan_tao___dinh_manh_tuong
Giao trinh tri_tue_nhan_tao___dinh_manh_tuong
tranhason1705
 
Doi dieu ve pt-hpt
Doi dieu ve pt-hptDoi dieu ve pt-hpt
Doi dieu ve pt-hptVui LĂȘn BáșĄn NhĂ©
 
Truyen dong dien
Truyen dong dienTruyen dong dien
Truyen dong dienQuang VĂ”
 
Ká»č thuáș­t nhiệt trịnh văn quang (dĂ nh cho sinh viĂȘn ngĂ nh cĂŽng trĂŹnh)
Ká»č thuáș­t nhiệt trịnh văn quang (dĂ nh cho sinh viĂȘn ngĂ nh cĂŽng trĂŹnh)Ká»č thuáș­t nhiệt trịnh văn quang (dĂ nh cho sinh viĂȘn ngĂ nh cĂŽng trĂŹnh)
Ká»č thuáș­t nhiệt trịnh văn quang (dĂ nh cho sinh viĂȘn ngĂ nh cĂŽng trĂŹnh)
Trinh Van Quang
 
Slide van hoa_doanh_nghiep
Slide van hoa_doanh_nghiepSlide van hoa_doanh_nghiep
Slide van hoa_doanh_nghiep
CĂŽng Luáș­n Official
 
Phuong phap don bien CM BDT
Phuong phap don bien CM BDTPhuong phap don bien CM BDT
Phuong phap don bien CM BDT
Vui LĂȘn BáșĄn NhĂ©
 
Download here
Download hereDownload here
Download hereOFFSHORE VN
 
Ai giao trinh tri tue nhan tao
Ai giao trinh tri tue nhan taoAi giao trinh tri tue nhan tao
Ai giao trinh tri tue nhan tao
Quoc Nguyen
 
Giao trinh thiet_ke_dien_tu_cong_suat_6346
Giao trinh thiet_ke_dien_tu_cong_suat_6346Giao trinh thiet_ke_dien_tu_cong_suat_6346
Giao trinh thiet_ke_dien_tu_cong_suat_6346
GiaHuNguynH
 
Ky thuat lap trinh
Ky thuat lap trinhKy thuat lap trinh
Ky thuat lap trinhptquang160492
 
Giao trinh cap thoat nuoc nguyen dinh huan
Giao trinh cap thoat nuoc nguyen dinh huanGiao trinh cap thoat nuoc nguyen dinh huan
Giao trinh cap thoat nuoc nguyen dinh huan
Haidang1807
 
Lythuyetmatma
LythuyetmatmaLythuyetmatma
Lythuyetmatma
Quốc HoĂ ng
 
Chuong 14 16
Chuong 14 16Chuong 14 16
Chuong 14 16Vcoi Vit
 
Trg123
Trg123Trg123
Trg123
vudat11111
 
GiĂĄo ĂĄn dáșĄy thĂȘm ngữ văn lớp 8
GiĂĄo ĂĄn dáșĄy thĂȘm ngữ văn lớp 8GiĂĄo ĂĄn dáșĄy thĂȘm ngữ văn lớp 8
GiĂĄo ĂĄn dáșĄy thĂȘm ngữ văn lớp 8
mcbooksjsc
 
Huong dan dieu toc pkm 150
Huong dan dieu toc pkm 150Huong dan dieu toc pkm 150
Huong dan dieu toc pkm 150
Ngọc TĂąm
 
Huong dan do_an_mon_hoc_dong_co_dot_trong_ts_vy_huu_thanh_ths_vu_anh_tuan_9668
Huong dan do_an_mon_hoc_dong_co_dot_trong_ts_vy_huu_thanh_ths_vu_anh_tuan_9668Huong dan do_an_mon_hoc_dong_co_dot_trong_ts_vy_huu_thanh_ths_vu_anh_tuan_9668
Huong dan do_an_mon_hoc_dong_co_dot_trong_ts_vy_huu_thanh_ths_vu_anh_tuan_9668
VIET LY
 
Qui dinh kt_khai_thac_cau_cang-2003___cong_trinhbien.net
Qui dinh kt_khai_thac_cau_cang-2003___cong_trinhbien.netQui dinh kt_khai_thac_cau_cang-2003___cong_trinhbien.net
Qui dinh kt_khai_thac_cau_cang-2003___cong_trinhbien.netOFFSHORE VN
 
Bt duc
Bt ducBt duc
Bt duc
tranquocanh09103006
 
bctntlvn (65).pdf
bctntlvn (65).pdfbctntlvn (65).pdf
bctntlvn (65).pdfLuanvan84
 
GiáșŁi tĂ­ch 1.pdf
GiáșŁi tĂ­ch 1.pdfGiáșŁi tĂ­ch 1.pdf
GiáșŁi tĂ­ch 1.pdf
Man_Ebook
 
Giao trinhcambiencongnghiep
Giao trinhcambiencongnghiepGiao trinhcambiencongnghiep
Giao trinhcambiencongnghiep
Huy BK
 

More Related Content

What's hot

Giao trinh tri_tue_nhan_tao___dinh_manh_tuong
Giao trinh tri_tue_nhan_tao___dinh_manh_tuongGiao trinh tri_tue_nhan_tao___dinh_manh_tuong
Giao trinh tri_tue_nhan_tao___dinh_manh_tuong
tranhason1705
 
Truyen dong dien
Truyen dong dienTruyen dong dien
Truyen dong dienQuang VĂ”
 
Ká»č thuáș­t nhiệt trịnh văn quang (dĂ nh cho sinh viĂȘn ngĂ nh cĂŽng trĂŹnh)
Ká»č thuáș­t nhiệt trịnh văn quang (dĂ nh cho sinh viĂȘn ngĂ nh cĂŽng trĂŹnh)Ká»č thuáș­t nhiệt trịnh văn quang (dĂ nh cho sinh viĂȘn ngĂ nh cĂŽng trĂŹnh)
Ká»č thuáș­t nhiệt trịnh văn quang (dĂ nh cho sinh viĂȘn ngĂ nh cĂŽng trĂŹnh)
Trinh Van Quang
 
Slide van hoa_doanh_nghiep
Slide van hoa_doanh_nghiepSlide van hoa_doanh_nghiep
Slide van hoa_doanh_nghiep
CĂŽng Luáș­n Official
 
Phuong phap don bien CM BDT
Phuong phap don bien CM BDTPhuong phap don bien CM BDT
Phuong phap don bien CM BDT
Vui LĂȘn BáșĄn NhĂ©
 
Download here
Download hereDownload here
Download hereOFFSHORE VN
 
Ai giao trinh tri tue nhan tao
Ai giao trinh tri tue nhan taoAi giao trinh tri tue nhan tao
Ai giao trinh tri tue nhan tao
Quoc Nguyen
 
Giao trinh thiet_ke_dien_tu_cong_suat_6346
Giao trinh thiet_ke_dien_tu_cong_suat_6346Giao trinh thiet_ke_dien_tu_cong_suat_6346
Giao trinh thiet_ke_dien_tu_cong_suat_6346
GiaHuNguynH
 
Ky thuat lap trinh
Ky thuat lap trinhKy thuat lap trinh
Ky thuat lap trinhptquang160492
 
Giao trinh cap thoat nuoc nguyen dinh huan
Giao trinh cap thoat nuoc nguyen dinh huanGiao trinh cap thoat nuoc nguyen dinh huan
Giao trinh cap thoat nuoc nguyen dinh huan
Haidang1807
 
Lythuyetmatma
LythuyetmatmaLythuyetmatma
Lythuyetmatma
Quốc HoĂ ng
 
Chuong 14 16
Chuong 14 16Chuong 14 16
Chuong 14 16Vcoi Vit
 
Trg123
Trg123Trg123
Trg123
vudat11111
 
GiĂĄo ĂĄn dáșĄy thĂȘm ngữ văn lớp 8
GiĂĄo ĂĄn dáșĄy thĂȘm ngữ văn lớp 8GiĂĄo ĂĄn dáșĄy thĂȘm ngữ văn lớp 8
GiĂĄo ĂĄn dáșĄy thĂȘm ngữ văn lớp 8
mcbooksjsc
 
Huong dan dieu toc pkm 150
Huong dan dieu toc pkm 150Huong dan dieu toc pkm 150
Huong dan dieu toc pkm 150
Ngọc TĂąm
 
Huong dan do_an_mon_hoc_dong_co_dot_trong_ts_vy_huu_thanh_ths_vu_anh_tuan_9668
Huong dan do_an_mon_hoc_dong_co_dot_trong_ts_vy_huu_thanh_ths_vu_anh_tuan_9668Huong dan do_an_mon_hoc_dong_co_dot_trong_ts_vy_huu_thanh_ths_vu_anh_tuan_9668
Huong dan do_an_mon_hoc_dong_co_dot_trong_ts_vy_huu_thanh_ths_vu_anh_tuan_9668
VIET LY
 
Qui dinh kt_khai_thac_cau_cang-2003___cong_trinhbien.net
Qui dinh kt_khai_thac_cau_cang-2003___cong_trinhbien.netQui dinh kt_khai_thac_cau_cang-2003___cong_trinhbien.net
Qui dinh kt_khai_thac_cau_cang-2003___cong_trinhbien.netOFFSHORE VN
 
Bt duc
Bt ducBt duc
Bt duc
tranquocanh09103006
 

What's hot (19)

Giao trinh tri_tue_nhan_tao___dinh_manh_tuong
Giao trinh tri_tue_nhan_tao___dinh_manh_tuongGiao trinh tri_tue_nhan_tao___dinh_manh_tuong
Giao trinh tri_tue_nhan_tao___dinh_manh_tuong
 
Doi dieu ve pt-hpt
Doi dieu ve pt-hptDoi dieu ve pt-hpt
Doi dieu ve pt-hpt
 
Truyen dong dien
Truyen dong dienTruyen dong dien
Truyen dong dien
 
Ká»č thuáș­t nhiệt trịnh văn quang (dĂ nh cho sinh viĂȘn ngĂ nh cĂŽng trĂŹnh)
Ká»č thuáș­t nhiệt trịnh văn quang (dĂ nh cho sinh viĂȘn ngĂ nh cĂŽng trĂŹnh)Ká»č thuáș­t nhiệt trịnh văn quang (dĂ nh cho sinh viĂȘn ngĂ nh cĂŽng trĂŹnh)
Ká»č thuáș­t nhiệt trịnh văn quang (dĂ nh cho sinh viĂȘn ngĂ nh cĂŽng trĂŹnh)
 
Slide van hoa_doanh_nghiep
Slide van hoa_doanh_nghiepSlide van hoa_doanh_nghiep
Slide van hoa_doanh_nghiep
 
Phuong phap don bien CM BDT
Phuong phap don bien CM BDTPhuong phap don bien CM BDT
Phuong phap don bien CM BDT
 
Download here
Download hereDownload here
Download here
 
Ai giao trinh tri tue nhan tao
Ai giao trinh tri tue nhan taoAi giao trinh tri tue nhan tao
Ai giao trinh tri tue nhan tao
 
Giao trinh thiet_ke_dien_tu_cong_suat_6346
Giao trinh thiet_ke_dien_tu_cong_suat_6346Giao trinh thiet_ke_dien_tu_cong_suat_6346
Giao trinh thiet_ke_dien_tu_cong_suat_6346
 
Ky thuat lap trinh
Ky thuat lap trinhKy thuat lap trinh
Ky thuat lap trinh
 
Giao trinh cap thoat nuoc nguyen dinh huan
Giao trinh cap thoat nuoc nguyen dinh huanGiao trinh cap thoat nuoc nguyen dinh huan
Giao trinh cap thoat nuoc nguyen dinh huan
 
Lythuyetmatma
LythuyetmatmaLythuyetmatma
Lythuyetmatma
 
Chuong 14 16
Chuong 14 16Chuong 14 16
Chuong 14 16
 
Trg123
Trg123Trg123
Trg123
 
GiĂĄo ĂĄn dáșĄy thĂȘm ngữ văn lớp 8
GiĂĄo ĂĄn dáșĄy thĂȘm ngữ văn lớp 8GiĂĄo ĂĄn dáșĄy thĂȘm ngữ văn lớp 8
GiĂĄo ĂĄn dáșĄy thĂȘm ngữ văn lớp 8
 
Huong dan dieu toc pkm 150
Huong dan dieu toc pkm 150Huong dan dieu toc pkm 150
Huong dan dieu toc pkm 150
 
Huong dan do_an_mon_hoc_dong_co_dot_trong_ts_vy_huu_thanh_ths_vu_anh_tuan_9668
Huong dan do_an_mon_hoc_dong_co_dot_trong_ts_vy_huu_thanh_ths_vu_anh_tuan_9668Huong dan do_an_mon_hoc_dong_co_dot_trong_ts_vy_huu_thanh_ths_vu_anh_tuan_9668
Huong dan do_an_mon_hoc_dong_co_dot_trong_ts_vy_huu_thanh_ths_vu_anh_tuan_9668
 
Qui dinh kt_khai_thac_cau_cang-2003___cong_trinhbien.net
Qui dinh kt_khai_thac_cau_cang-2003___cong_trinhbien.netQui dinh kt_khai_thac_cau_cang-2003___cong_trinhbien.net
Qui dinh kt_khai_thac_cau_cang-2003___cong_trinhbien.net
 
Bt duc
Bt ducBt duc
Bt duc
 

Similar to so hocthuattoan hahuykhoai

bctntlvn (65).pdf
bctntlvn (65).pdfbctntlvn (65).pdf
bctntlvn (65).pdfLuanvan84
 
GiáșŁi tĂ­ch 1.pdf
GiáșŁi tĂ­ch 1.pdfGiáșŁi tĂ­ch 1.pdf
GiáșŁi tĂ­ch 1.pdf
Man_Ebook
 
Giao trinhcambiencongnghiep
Giao trinhcambiencongnghiepGiao trinhcambiencongnghiep
Giao trinhcambiencongnghiep
Huy BK
 
Gs Nguyễn ĐÏnh Cống: GiĂĄo trĂŹnh Phong Thủy Căn BáșŁn
Gs Nguyễn ĐÏnh Cống: GiĂĄo trĂŹnh Phong Thủy Căn BáșŁnGs Nguyễn ĐÏnh Cống: GiĂĄo trĂŹnh Phong Thủy Căn BáșŁn
Gs Nguyễn ĐÏnh Cống: GiĂĄo trĂŹnh Phong Thủy Căn BáșŁn
Đáș·ng Duy Linh
 
hoccokhi.vn GiĂĄo TrĂŹnh CÆĄ KhĂ­ ĐáșĄi CÆ°ÆĄng - Nhiều TĂĄc GiáșŁ, 124 Trang
hoccokhi.vn GiĂĄo TrĂŹnh CÆĄ KhĂ­ ĐáșĄi CÆ°ÆĄng - Nhiều TĂĄc GiáșŁ, 124 Tranghoccokhi.vn GiĂĄo TrĂŹnh CÆĄ KhĂ­ ĐáșĄi CÆ°ÆĄng - Nhiều TĂĄc GiáșŁ, 124 Trang
hoccokhi.vn GiĂĄo TrĂŹnh CÆĄ KhĂ­ ĐáșĄi CÆ°ÆĄng - Nhiều TĂĄc GiáșŁ, 124 Trang
Học CÆĄ KhĂ­
 
GiĂĄo trĂŹnh mĂŽn học thiáșżt káșż nhanh
GiĂĄo trĂŹnh mĂŽn học thiáșżt káșż nhanhGiĂĄo trĂŹnh mĂŽn học thiáșżt káșż nhanh
GiĂĄo trĂŹnh mĂŽn học thiáșżt káșż nhanhViet Nam
 
Phan hai vl12
Phan hai vl12Phan hai vl12
Phan hai vl12hoangtv
 
Tong quan ve tong dai
Tong quan ve tong daiTong quan ve tong dai
Tong quan ve tong daivanliemtb
 
549_tdh_thuy_khi_4236.pdf
549_tdh_thuy_khi_4236.pdf549_tdh_thuy_khi_4236.pdf
549_tdh_thuy_khi_4236.pdf
MinhTrnh42
 
Baigiang mtb chuong2
Baigiang mtb chuong2Baigiang mtb chuong2
Baigiang mtb chuong2luuguxd
 
An toanbaomatthongtin
An toanbaomatthongtinAn toanbaomatthongtin
An toanbaomatthongtin
Ninh Thanh Tam
 
Những bĂ i văn máș«u dĂ nh cho học sinh lớp 10truonghocso.com
Những bĂ i văn máș«u dĂ nh cho học sinh lớp 10truonghocso.comNhững bĂ i văn máș«u dĂ nh cho học sinh lớp 10truonghocso.com
Những bĂ i văn máș«u dĂ nh cho học sinh lớp 10truonghocso.comTháșż Giới Tinh Hoa
 
Đề tĂ i: Chung cÆ° ở phường Dịch Vọng Cáș§u táșĄi HĂ  Nội, HOT
Đề tĂ i: Chung cÆ° ở phường Dịch Vọng Cáș§u táșĄi HĂ  Nội, HOTĐề tĂ i: Chung cÆ° ở phường Dịch Vọng Cáș§u táșĄi HĂ  Nội, HOT
Đề tĂ i: Chung cÆ° ở phường Dịch Vọng Cáș§u táșĄi HĂ  Nội, HOT
Dịch vỄ viáșżt bĂ i trọn gĂłi ZALO: 0909232620
 
01 huong dan_tn_co_dat_chinh quy_2016
01 huong dan_tn_co_dat_chinh quy_201601 huong dan_tn_co_dat_chinh quy_2016
01 huong dan_tn_co_dat_chinh quy_2016
dinhdat12
 
BĂ i giáșŁng trang bị điện trong mĂĄy Ths.nguyễn bĂȘ
BĂ i giáșŁng trang bị điện trong mĂĄy Ths.nguyễn bĂȘBĂ i giáșŁng trang bị điện trong mĂĄy Ths.nguyễn bĂȘ
BĂ i giáșŁng trang bị điện trong mĂĄy Ths.nguyễn bĂȘ
Trung Thanh Nguyen
 
Sổ tay váș­t lĂœ 12
Sổ tay váș­t lĂœ 12Sổ tay váș­t lĂœ 12
Sổ tay váș­t lĂœ 12Adagio Huynh
 
Ky thuat lap_trinh
Ky thuat lap_trinhKy thuat lap_trinh
Ky thuat lap_trinh
tienhien110293
 

Similar to so hocthuattoan hahuykhoai (20)

bctntlvn (65).pdf
bctntlvn (65).pdfbctntlvn (65).pdf
bctntlvn (65).pdf
 
GiáșŁi tĂ­ch 1.pdf
GiáșŁi tĂ­ch 1.pdfGiáșŁi tĂ­ch 1.pdf
GiáșŁi tĂ­ch 1.pdf
 
Giao trinhcambiencongnghiep
Giao trinhcambiencongnghiepGiao trinhcambiencongnghiep
Giao trinhcambiencongnghiep
 
Gs Nguyễn ĐÏnh Cống: GiĂĄo trĂŹnh Phong Thủy Căn BáșŁn
Gs Nguyễn ĐÏnh Cống: GiĂĄo trĂŹnh Phong Thủy Căn BáșŁnGs Nguyễn ĐÏnh Cống: GiĂĄo trĂŹnh Phong Thủy Căn BáșŁn
Gs Nguyễn ĐÏnh Cống: GiĂĄo trĂŹnh Phong Thủy Căn BáșŁn
 
hoccokhi.vn GiĂĄo TrĂŹnh CÆĄ KhĂ­ ĐáșĄi CÆ°ÆĄng - Nhiều TĂĄc GiáșŁ, 124 Trang
hoccokhi.vn GiĂĄo TrĂŹnh CÆĄ KhĂ­ ĐáșĄi CÆ°ÆĄng - Nhiều TĂĄc GiáșŁ, 124 Tranghoccokhi.vn GiĂĄo TrĂŹnh CÆĄ KhĂ­ ĐáșĄi CÆ°ÆĄng - Nhiều TĂĄc GiáșŁ, 124 Trang
hoccokhi.vn GiĂĄo TrĂŹnh CÆĄ KhĂ­ ĐáșĄi CÆ°ÆĄng - Nhiều TĂĄc GiáșŁ, 124 Trang
 
GiĂĄo trĂŹnh mĂŽn học thiáșżt káșż nhanh
GiĂĄo trĂŹnh mĂŽn học thiáșżt káșż nhanhGiĂĄo trĂŹnh mĂŽn học thiáșżt káșż nhanh
GiĂĄo trĂŹnh mĂŽn học thiáșżt káșż nhanh
 
Phan hai vl12
Phan hai vl12Phan hai vl12
Phan hai vl12
 
Tong quan ve tong dai
Tong quan ve tong daiTong quan ve tong dai
Tong quan ve tong dai
 
549_tdh_thuy_khi_4236.pdf
549_tdh_thuy_khi_4236.pdf549_tdh_thuy_khi_4236.pdf
549_tdh_thuy_khi_4236.pdf
 
Baigiang mtb chuong2
Baigiang mtb chuong2Baigiang mtb chuong2
Baigiang mtb chuong2
 
An toanbaomatthongtin
An toanbaomatthongtinAn toanbaomatthongtin
An toanbaomatthongtin
 
Những bĂ i văn máș«u dĂ nh cho học sinh lớp 10truonghocso.com
Những bĂ i văn máș«u dĂ nh cho học sinh lớp 10truonghocso.comNhững bĂ i văn máș«u dĂ nh cho học sinh lớp 10truonghocso.com
Những bĂ i văn máș«u dĂ nh cho học sinh lớp 10truonghocso.com
 
Đề tĂ i: Chung cÆ° ở phường Dịch Vọng Cáș§u táșĄi HĂ  Nội, HOT
Đề tĂ i: Chung cÆ° ở phường Dịch Vọng Cáș§u táșĄi HĂ  Nội, HOTĐề tĂ i: Chung cÆ° ở phường Dịch Vọng Cáș§u táșĄi HĂ  Nội, HOT
Đề tĂ i: Chung cÆ° ở phường Dịch Vọng Cáș§u táșĄi HĂ  Nội, HOT
 
U xuong
U xuongU xuong
U xuong
 
01 huong dan_tn_co_dat_chinh quy_2016
01 huong dan_tn_co_dat_chinh quy_201601 huong dan_tn_co_dat_chinh quy_2016
01 huong dan_tn_co_dat_chinh quy_2016
 
BĂ i giáșŁng trang bị điện trong mĂĄy Ths.nguyễn bĂȘ
BĂ i giáșŁng trang bị điện trong mĂĄy Ths.nguyễn bĂȘBĂ i giáșŁng trang bị điện trong mĂĄy Ths.nguyễn bĂȘ
BĂ i giáșŁng trang bị điện trong mĂĄy Ths.nguyễn bĂȘ
 
So tay vat ly 12
So tay vat ly 12So tay vat ly 12
So tay vat ly 12
 
Sổ tay váș­t lĂœ 12
Sổ tay váș­t lĂœ 12Sổ tay váș­t lĂœ 12
Sổ tay váș­t lĂœ 12
 
Ky thuat lap_trinh
Ky thuat lap_trinhKy thuat lap_trinh
Ky thuat lap_trinh
 
Ká»č thuáș­t láș­p trĂŹnh.
Ká»č thuáș­t láș­p trĂŹnh.Ká»č thuáș­t láș­p trĂŹnh.
Ká»č thuáș­t láș­p trĂŹnh.
 

Recently uploaded

bĂ i dá»± thi chĂ­nh luáș­n 2024 đáșŁng chọn lọc.docx
bĂ i dá»± thi chĂ­nh luáș­n 2024 đáșŁng chọn lọc.docxbĂ i dá»± thi chĂ­nh luáș­n 2024 đáșŁng chọn lọc.docx
bĂ i dá»± thi chĂ­nh luáș­n 2024 đáșŁng chọn lọc.docx
HiYnThTh
 
100 DáșȘN CHỚNG NGHỊ LUáșŹN XÃ HỘiI HAY.docx
100 DáșȘN CHỚNG NGHỊ LUáșŹN XÃ HỘiI HAY.docx100 DáșȘN CHỚNG NGHỊ LUáșŹN XÃ HỘiI HAY.docx
100 DáșȘN CHỚNG NGHỊ LUáșŹN XÃ HỘiI HAY.docx
khanhthy3000
 
tráșŻc nhiệm kĂœ sinh.docxddddddddddddddddd
tráșŻc nhiệm kĂœ sinh.docxdddddddddddddddddtráșŻc nhiệm kĂœ sinh.docxddddddddddddddddd
tráșŻc nhiệm kĂœ sinh.docxddddddddddddddddd
my21xn0084
 
40 cĂąu hỏi - đáp Bộ luáș­t dĂąn sá»± năm 2015 (1).doc
40 cĂąu hỏi - đáp Bộ luáș­t dĂąn sá»± năm 2015 (1).doc40 cĂąu hỏi - đáp Bộ luáș­t dĂąn sá»± năm 2015 (1).doc
40 cĂąu hỏi - đáp Bộ luáș­t dĂąn sá»± năm 2015 (1).doc
NguynDimQunh33
 
Biểu tÆ°á»Łng trăng vĂ  báș§u trời trong tĂĄc pháș©m của Nguyễn Quang Thiều
Biểu tÆ°á»Łng trăng vĂ  báș§u trời trong tĂĄc pháș©m của Nguyễn Quang ThiềuBiểu tÆ°á»Łng trăng vĂ  báș§u trời trong tĂĄc pháș©m của Nguyễn Quang Thiều
Biểu tÆ°á»Łng trăng vĂ  báș§u trời trong tĂĄc pháș©m của Nguyễn Quang Thiều
lamluanvan.net Viáșżt thuĂȘ luáș­n văn
 
CHUYÊN ĐỀ Dáș Y THÊM HÓA HỌC LỚP 10 - SÁCH MỚI - FORM BÀI TáșŹP 2025 (DÙNG CHUNG ...
CHUYÊN ĐỀ Dáș Y THÊM HÓA HỌC LỚP 10 - SÁCH MỚI - FORM BÀI TáșŹP 2025 (DÙNG CHUNG ...CHUYÊN ĐỀ Dáș Y THÊM HÓA HỌC LỚP 10 - SÁCH MỚI - FORM BÀI TáșŹP 2025 (DÙNG CHUNG ...
CHUYÊN ĐỀ Dáș Y THÊM HÓA HỌC LỚP 10 - SÁCH MỚI - FORM BÀI TáșŹP 2025 (DÙNG CHUNG ...
Nguyen Thanh Tu Collection
 
YHocData.com-bộ-cĂąu-hỏi-mĂŽ-phĂŽi.pdf đáș§y đủ
YHocData.com-bộ-cĂąu-hỏi-mĂŽ-phĂŽi.pdf đáș§y đủYHocData.com-bộ-cĂąu-hỏi-mĂŽ-phĂŽi.pdf đáș§y đủ
YHocData.com-bộ-cĂąu-hỏi-mĂŽ-phĂŽi.pdf đáș§y đủ
duyanh05052004
 
THONG BAO nop ho so xet tuyen TS6 24-25.pdf
THONG BAO nop ho so xet tuyen TS6 24-25.pdfTHONG BAO nop ho so xet tuyen TS6 24-25.pdf
THONG BAO nop ho so xet tuyen TS6 24-25.pdf
QucHHunhnh
 
GiáșŁi pháș«u tim sau đáșĄi học- LÊ QUANG TUYỀN
GiáșŁi pháș«u tim sau đáșĄi học- LÊ QUANG TUYỀNGiáșŁi pháș«u tim sau đáșĄi học- LÊ QUANG TUYỀN
GiáșŁi pháș«u tim sau đáșĄi học- LÊ QUANG TUYỀN
linh miu
 
LỊCH Sỏ 12 - CHUYÊN ĐỀ 10 - TRáșźC NGHIỆM.pptx
LỊCH Sỏ 12 - CHUYÊN ĐỀ 10 - TRáșźC NGHIỆM.pptxLỊCH Sỏ 12 - CHUYÊN ĐỀ 10 - TRáșźC NGHIỆM.pptx
LỊCH Sỏ 12 - CHUYÊN ĐỀ 10 - TRáșźC NGHIỆM.pptx
12D241NguynPhmMaiTra
 
Smartbiz_He thong MES nganh may mac_2024june
Smartbiz_He thong MES nganh may mac_2024juneSmartbiz_He thong MES nganh may mac_2024june
Smartbiz_He thong MES nganh may mac_2024june
SmartBiz
 
insulin cho benh nhan nam vien co tang duong huyet
insulin cho benh nhan nam vien co tang duong huyetinsulin cho benh nhan nam vien co tang duong huyet
insulin cho benh nhan nam vien co tang duong huyet
lmhong80
 
BÁO CÁO CUỐI Ká»Č PHÂN TÍCH THIáșŸT KáșŸ HÆŻá»šNG ĐỐI TÆŻá»ąNG - NHÓM 7.docx
BÁO CÁO CUỐI Ká»Č PHÂN TÍCH THIáșŸT KáșŸ HÆŻá»šNG ĐỐI TÆŻá»ąNG - NHÓM 7.docxBÁO CÁO CUỐI Ká»Č PHÂN TÍCH THIáșŸT KáșŸ HÆŻá»šNG ĐỐI TÆŻá»ąNG - NHÓM 7.docx
BÁO CÁO CUỐI Ká»Č PHÂN TÍCH THIáșŸT KáșŸ HÆŻá»šNG ĐỐI TÆŻá»ąNG - NHÓM 7.docx
HngL891608
 
[NBV]-CHUYÊN ĐỀ 3. GTLN-GTNN CỊA HÀM SỐ (CÓ ĐÁP ÁN CHI TIáșŸT).pdf
[NBV]-CHUYÊN ĐỀ 3. GTLN-GTNN CỊA HÀM SỐ (CÓ ĐÁP ÁN CHI TIáșŸT).pdf[NBV]-CHUYÊN ĐỀ 3. GTLN-GTNN CỊA HÀM SỐ (CÓ ĐÁP ÁN CHI TIáșŸT).pdf
[NBV]-CHUYÊN ĐỀ 3. GTLN-GTNN CỊA HÀM SỐ (CÓ ĐÁP ÁN CHI TIáșŸT).pdf
NamNguynHi23
 
Halloween vocabulary for kids in primary school
Halloween vocabulary for kids in primary schoolHalloween vocabulary for kids in primary school
Halloween vocabulary for kids in primary school
AnhPhm265031
 
BÀI TáșŹP BỔ TRỹ TIáșŸNG ANH I-LEARN SMART WORLD 9 Cáșą NĂM CÓ TEST THEO UNIT NĂM H...
BÀI TáșŹP BỔ TRỹ TIáșŸNG ANH I-LEARN SMART WORLD 9 Cáșą NĂM CÓ TEST THEO UNIT NĂM H...BÀI TáșŹP BỔ TRỹ TIáșŸNG ANH I-LEARN SMART WORLD 9 Cáșą NĂM CÓ TEST THEO UNIT NĂM H...
BÀI TáșŹP BỔ TRỹ TIáșŸNG ANH I-LEARN SMART WORLD 9 Cáșą NĂM CÓ TEST THEO UNIT NĂM H...
Nguyen Thanh Tu Collection
 
Cau-TráșŻc-Nghiệm-TTHCM-Tham-KháșŁo-THI-CUỐI-KI.pdf
Cau-TráșŻc-Nghiệm-TTHCM-Tham-KháșŁo-THI-CUỐI-KI.pdfCau-TráșŻc-Nghiệm-TTHCM-Tham-KháșŁo-THI-CUỐI-KI.pdf
Cau-TráșŻc-Nghiệm-TTHCM-Tham-KháșŁo-THI-CUỐI-KI.pdf
HngMLTh
 
PLĐC-chÆ°ÆĄng 1 (1).ppt của trường ĐH NgoáșĄi thÆ°ÆĄng
PLĐC-chÆ°ÆĄng 1 (1).ppt của trường ĐH NgoáșĄi thÆ°ÆĄngPLĐC-chÆ°ÆĄng 1 (1).ppt của trường ĐH NgoáșĄi thÆ°ÆĄng
PLĐC-chÆ°ÆĄng 1 (1).ppt của trường ĐH NgoáșĄi thÆ°ÆĄng
hieutrinhvan27052005
 
Văn 7. Truyện ngỄ ngĂŽn RĂča vĂ  thỏ+ Viáșżt PT nhĂąn váș­t.docx
Văn 7. Truyện ngỄ ngĂŽn RĂča vĂ  thỏ+ Viáșżt PT nhĂąn váș­t.docxVăn 7. Truyện ngỄ ngĂŽn RĂča vĂ  thỏ+ Viáșżt PT nhĂąn váș­t.docx
Văn 7. Truyện ngỄ ngĂŽn RĂča vĂ  thỏ+ Viáșżt PT nhĂąn váș­t.docx
metamngoc123
 

Recently uploaded (19)

bĂ i dá»± thi chĂ­nh luáș­n 2024 đáșŁng chọn lọc.docx
bĂ i dá»± thi chĂ­nh luáș­n 2024 đáșŁng chọn lọc.docxbĂ i dá»± thi chĂ­nh luáș­n 2024 đáșŁng chọn lọc.docx
bĂ i dá»± thi chĂ­nh luáș­n 2024 đáșŁng chọn lọc.docx
 
100 DáșȘN CHỚNG NGHỊ LUáșŹN XÃ HỘiI HAY.docx
100 DáșȘN CHỚNG NGHỊ LUáșŹN XÃ HỘiI HAY.docx100 DáșȘN CHỚNG NGHỊ LUáșŹN XÃ HỘiI HAY.docx
100 DáșȘN CHỚNG NGHỊ LUáșŹN XÃ HỘiI HAY.docx
 
tráșŻc nhiệm kĂœ sinh.docxddddddddddddddddd
tráșŻc nhiệm kĂœ sinh.docxdddddddddddddddddtráșŻc nhiệm kĂœ sinh.docxddddddddddddddddd
tráșŻc nhiệm kĂœ sinh.docxddddddddddddddddd
 
40 cĂąu hỏi - đáp Bộ luáș­t dĂąn sá»± năm 2015 (1).doc
40 cĂąu hỏi - đáp Bộ luáș­t dĂąn sá»± năm 2015 (1).doc40 cĂąu hỏi - đáp Bộ luáș­t dĂąn sá»± năm 2015 (1).doc
40 cĂąu hỏi - đáp Bộ luáș­t dĂąn sá»± năm 2015 (1).doc
 
Biểu tÆ°á»Łng trăng vĂ  báș§u trời trong tĂĄc pháș©m của Nguyễn Quang Thiều
Biểu tÆ°á»Łng trăng vĂ  báș§u trời trong tĂĄc pháș©m của Nguyễn Quang ThiềuBiểu tÆ°á»Łng trăng vĂ  báș§u trời trong tĂĄc pháș©m của Nguyễn Quang Thiều
Biểu tÆ°á»Łng trăng vĂ  báș§u trời trong tĂĄc pháș©m của Nguyễn Quang Thiều
 
CHUYÊN ĐỀ Dáș Y THÊM HÓA HỌC LỚP 10 - SÁCH MỚI - FORM BÀI TáșŹP 2025 (DÙNG CHUNG ...
CHUYÊN ĐỀ Dáș Y THÊM HÓA HỌC LỚP 10 - SÁCH MỚI - FORM BÀI TáșŹP 2025 (DÙNG CHUNG ...CHUYÊN ĐỀ Dáș Y THÊM HÓA HỌC LỚP 10 - SÁCH MỚI - FORM BÀI TáșŹP 2025 (DÙNG CHUNG ...
CHUYÊN ĐỀ Dáș Y THÊM HÓA HỌC LỚP 10 - SÁCH MỚI - FORM BÀI TáșŹP 2025 (DÙNG CHUNG ...
 
YHocData.com-bộ-cĂąu-hỏi-mĂŽ-phĂŽi.pdf đáș§y đủ
YHocData.com-bộ-cĂąu-hỏi-mĂŽ-phĂŽi.pdf đáș§y đủYHocData.com-bộ-cĂąu-hỏi-mĂŽ-phĂŽi.pdf đáș§y đủ
YHocData.com-bộ-cĂąu-hỏi-mĂŽ-phĂŽi.pdf đáș§y đủ
 
THONG BAO nop ho so xet tuyen TS6 24-25.pdf
THONG BAO nop ho so xet tuyen TS6 24-25.pdfTHONG BAO nop ho so xet tuyen TS6 24-25.pdf
THONG BAO nop ho so xet tuyen TS6 24-25.pdf
 
GiáșŁi pháș«u tim sau đáșĄi học- LÊ QUANG TUYỀN
GiáșŁi pháș«u tim sau đáșĄi học- LÊ QUANG TUYỀNGiáșŁi pháș«u tim sau đáșĄi học- LÊ QUANG TUYỀN
GiáșŁi pháș«u tim sau đáșĄi học- LÊ QUANG TUYỀN
 
LỊCH Sỏ 12 - CHUYÊN ĐỀ 10 - TRáșźC NGHIỆM.pptx
LỊCH Sỏ 12 - CHUYÊN ĐỀ 10 - TRáșźC NGHIỆM.pptxLỊCH Sỏ 12 - CHUYÊN ĐỀ 10 - TRáșźC NGHIỆM.pptx
LỊCH Sỏ 12 - CHUYÊN ĐỀ 10 - TRáșźC NGHIỆM.pptx
 
Smartbiz_He thong MES nganh may mac_2024june
Smartbiz_He thong MES nganh may mac_2024juneSmartbiz_He thong MES nganh may mac_2024june
Smartbiz_He thong MES nganh may mac_2024june
 
insulin cho benh nhan nam vien co tang duong huyet
insulin cho benh nhan nam vien co tang duong huyetinsulin cho benh nhan nam vien co tang duong huyet
insulin cho benh nhan nam vien co tang duong huyet
 
BÁO CÁO CUỐI Ká»Č PHÂN TÍCH THIáșŸT KáșŸ HÆŻá»šNG ĐỐI TÆŻá»ąNG - NHÓM 7.docx
BÁO CÁO CUỐI Ká»Č PHÂN TÍCH THIáșŸT KáșŸ HÆŻá»šNG ĐỐI TÆŻá»ąNG - NHÓM 7.docxBÁO CÁO CUỐI Ká»Č PHÂN TÍCH THIáșŸT KáșŸ HÆŻá»šNG ĐỐI TÆŻá»ąNG - NHÓM 7.docx
BÁO CÁO CUỐI Ká»Č PHÂN TÍCH THIáșŸT KáșŸ HÆŻá»šNG ĐỐI TÆŻá»ąNG - NHÓM 7.docx
 
[NBV]-CHUYÊN ĐỀ 3. GTLN-GTNN CỊA HÀM SỐ (CÓ ĐÁP ÁN CHI TIáșŸT).pdf
[NBV]-CHUYÊN ĐỀ 3. GTLN-GTNN CỊA HÀM SỐ (CÓ ĐÁP ÁN CHI TIáșŸT).pdf[NBV]-CHUYÊN ĐỀ 3. GTLN-GTNN CỊA HÀM SỐ (CÓ ĐÁP ÁN CHI TIáșŸT).pdf
[NBV]-CHUYÊN ĐỀ 3. GTLN-GTNN CỊA HÀM SỐ (CÓ ĐÁP ÁN CHI TIáșŸT).pdf
 
Halloween vocabulary for kids in primary school
Halloween vocabulary for kids in primary schoolHalloween vocabulary for kids in primary school
Halloween vocabulary for kids in primary school
 
BÀI TáșŹP BỔ TRỹ TIáșŸNG ANH I-LEARN SMART WORLD 9 Cáșą NĂM CÓ TEST THEO UNIT NĂM H...
BÀI TáșŹP BỔ TRỹ TIáșŸNG ANH I-LEARN SMART WORLD 9 Cáșą NĂM CÓ TEST THEO UNIT NĂM H...BÀI TáșŹP BỔ TRỹ TIáșŸNG ANH I-LEARN SMART WORLD 9 Cáșą NĂM CÓ TEST THEO UNIT NĂM H...
BÀI TáșŹP BỔ TRỹ TIáșŸNG ANH I-LEARN SMART WORLD 9 Cáșą NĂM CÓ TEST THEO UNIT NĂM H...
 
Cau-TráșŻc-Nghiệm-TTHCM-Tham-KháșŁo-THI-CUỐI-KI.pdf
Cau-TráșŻc-Nghiệm-TTHCM-Tham-KháșŁo-THI-CUỐI-KI.pdfCau-TráșŻc-Nghiệm-TTHCM-Tham-KháșŁo-THI-CUỐI-KI.pdf
Cau-TráșŻc-Nghiệm-TTHCM-Tham-KháșŁo-THI-CUỐI-KI.pdf
 
PLĐC-chÆ°ÆĄng 1 (1).ppt của trường ĐH NgoáșĄi thÆ°ÆĄng
PLĐC-chÆ°ÆĄng 1 (1).ppt của trường ĐH NgoáșĄi thÆ°ÆĄngPLĐC-chÆ°ÆĄng 1 (1).ppt của trường ĐH NgoáșĄi thÆ°ÆĄng
PLĐC-chÆ°ÆĄng 1 (1).ppt của trường ĐH NgoáșĄi thÆ°ÆĄng
 
Văn 7. Truyện ngỄ ngĂŽn RĂča vĂ  thỏ+ Viáșżt PT nhĂąn váș­t.docx
Văn 7. Truyện ngỄ ngĂŽn RĂča vĂ  thỏ+ Viáșżt PT nhĂąn váș­t.docxVăn 7. Truyện ngỄ ngĂŽn RĂča vĂ  thỏ+ Viáșżt PT nhĂąn váș­t.docx
Văn 7. Truyện ngỄ ngĂŽn RĂča vĂ  thỏ+ Viáșżt PT nhĂąn váș­t.docx
 

so hocthuattoan hahuykhoai

  • 1. [toankho.com]: Sharing nice and hard problems. Get more books at http://book.toankho.com
  • 2. i LĂȘi nĂŁi ¼Çu Trong nhĂ·ng nšm gÇn Ÿ©y, sĂč phžt triÓn cña Tin hĂ€c Ÿ· l”m thay ŸÊi nhiÒu ng”nh truyÒn thĂšng cña LÝ thuyÕt sĂš (trong cuĂšn sžch n”y, chĂłng ta th−ĂȘng dĂŻng tĂ” “SĂš hĂ€c”). NÕu nh− tr−íc thËp kĂ» 70, sĂš hĂ€c vÉn ¼−üc xem l” mĂ©t trong nhĂ·ng ng”nh lÝ thuyÕt xa rĂȘi thĂčc tiÔn nhÊt, th× ng”y nay, nhiÒu th”nh tĂču mĂ­i nhÊt cña sĂš hĂ€c cĂŁ Ăžng dĂŽng trĂčc tiÕp v”o cžc vÊn ¼Ò cña ÂźĂȘi sĂšng, nh− th«ng tin, mËt m·, kÜ thuËt mžy tÝnh. MĂ©t ph−¬ng h−íng mĂ­i cña sĂš hĂ€c ra ÂźĂȘi v” phžt triÓn mÂčnh mÏ: sĂš hĂ€c thuËt tožn. CĂŁ thÓ nĂŁi, Ÿã l” chiÕc cÇu nĂši giĂ·a sĂš hĂ€c vĂ­i tin hĂ€c. VĂ­i viÖc sö dĂŽng rĂ©ng r·i mžy tÝnh trong nghiÂȘn cĂžu sĂš hĂ€c, nhiÒu ng−ĂȘi cho r»ng, sĂš hĂ€c ng”y nay Ÿ· th”nh mĂ©t khoa hĂ€c thĂčc nghiÖm! §iÒu Ÿã thÓ hiÖn khž rĂą trong nhĂ·ng “thuËt tožn xžc suÊt” ¼−üc ¼Ò cËp ¼Õn trong cuĂšn sžch n”y. MĂŽc ¼Ých cña cuĂšn sžch nhĂĄ n”y l” cung cÊp cho ng−ĂȘi ŸÀc mĂ©t sĂš kiÕn thĂžc sÂŹ bĂ© vÒ sĂš hĂ€c thuËt tožn. CuĂšn sžch kh«ng ¼ßi hĂĄi Ă« ng−ĂȘi ŸÀc mĂ©t kiÕn thĂžc chuÈn bÞ n”o vÒ lĂœ thuyÕt sĂš. V× thÕ cĂČng cĂŁ thÓ gĂ€i nĂŁ l” “NhËp m«n thuËt tožn v”o sĂš hĂ€c”. §iÒu Ÿã cĂŁ nghÜa l”, trong nhiÒu con ¼−ĂȘng khžc nhau ¼Ó Âźi v”o sĂš hĂ€c, ta chĂ€n con ¼−ĂȘng thuËt tožn: cžc ¼Þnh lÝ, khži niÖm cña sĂš hĂ€c ¼−üc tr×nh b”y cĂŻng vĂ­i cžc thuËt tožn x©y dĂčng chĂłng. Trong nhiÒu tr−ĂȘng hĂźp, cžc thuËt tožn cĂŁ kÌm theo Ÿžnh giž sÂŹ bĂ© vÒ Ÿé phĂžc tÂčp. CuĂšn sžch nh»m mĂ©t sĂš ŸÚi t−üng khž rĂ©ng r·i: nhĂ·ng sinh viÂȘn, nghiÂȘn cĂžu sinh vÒ sĂš hĂ€c v” tin hĂ€c, nhĂ·ng ng−ĂȘi quan t©m ¼Õn lÝ thuyÕt v” Ăžng dĂŽng cña sĂš hĂ€c hiÖn ÂźÂči. NhiÒu phÇn cña cuĂšn sžch cĂŁ thÓ cĂŁ Ých cho hĂ€c sinh cžc lĂ­p chuyÂȘn tožn v” chuyÂȘn tin hĂ€c. Ch−¬ng ¼Çu tiÂȘn cña cuĂšn sžch ¼−üc d”nh ¼Ó giĂ­i thiÖu v”i ¼Þnh nghÜa cÂŹ b¶n nhÊt cña lÝ thuyÕt thuËt tožn. Ba ch−¬ng tiÕp theo tr×nh b”y nhĂ·ng vÊn ¼Ò cÂŹ sĂ« cña sĂš hĂ€c. Ch−¬ng 5, ngo”i viÖc chuÈn bÞ kiÕn thĂžc cho nhĂ·ng phÇn tiÕp theo, cĂŁ b×nh luËn Ýt nhiÒu vÒ vai trß cña sĂč t−¬ng tĂč giĂ·a sĂš v” Âźa thĂžc trong sĂč phžt triÓn cña sĂš hĂ€c hiÖn ÂźÂči. §Ó ng−ĂȘi ŸÀc cĂŁ thÓ h×nh dung phÇn n”o cžc Ăžng dĂŽng cña sĂš hĂ€c thuËt tožn, cuĂšn sžch d”nh ch−¬ng 6 ¼Ó nĂŁi vÒ lÝ thuyÕt mËt m·. MĂ©t v”i Ăžng dĂŽng gÇn Ÿ©y cña lÝ thuyÕt ¼−ĂȘng cong elliptic v”o mËt m· ¼−üc tr×nh b”y trong ch−¬ng 7. CĂČng cĂŁ thÓ xem Ch−¬ng 7 l” mĂ©t nhËp m«n ngŸn v” sÂŹ cÊp v”o lÝ thuyÕt ¼−ĂȘng cong elliptic, mĂ©t trong nhĂ·ng lÝ thuyÕt phong phĂł nhÊt cña H×nh hĂ€c ÂźÂči sĂš sĂš hĂ€c. CuĂši mçi ch−¬ng ¼Òu cĂŁ mĂ©t sĂš b”i tËp d”nh cho Ÿéc gi¶ muĂšn ŸÀc cuĂšn sžch “mĂ©t cžch tÝch cĂčc”. MĂ©t sĂš b”i tËp mang tÝnh chÊt luyÖn tËp v” tÝnh tožn thĂčc h”nh, mĂ©t sĂš khžc l” mĂ« rĂ©ng lÝ thuyÕt. TrĂ” ch−¬ng cuĂši vÒ ¼−ĂȘng cong elliptic, cžc ch−¬ng cßn lÂči ¼Òu cĂŁ kÌm theo h−íng dÉn thĂčc h”nh tÝnh tožn b»ng ch−¬ng tr×nh MAPLE. PhÇn h−íng dÉn thĂčc h”nh n”y do TÂč ThÞ Ho”i An biÂȘn soÂčn. CuĂši cuĂšn sžch cĂŁ phÇn tĂč kiÓm tra kiÕn thĂžc d”nh cho nhĂ·ng Ÿéc gi¶ hĂ€c gižo tr×nh n”y vĂ­i sĂč trĂź giĂłp cña mžy tÝnh. Do nhiÒu nguyÂȘn nh©n khžc nhau, cuĂšn sžch chŸc chŸn cßn rÊt nhiÒu thiÕu sĂŁt. Tžc gi¶ hy vĂ€ng nhËn ¼−üc nhĂ·ng lĂȘi phÂȘ b×nh cña bÂčn ŸÀc. H” nĂ©i, 1998 H” Huy Khoži V n M a th .C o m V n M a th .C o m
  • 3. 1 Ch−¬ng 1. thuËt tožn §1. §Þnh nghÜa. CĂŁ thÓ ¼Þnh nghÜa thuËt tožn theo nhiÒu cžch khžc nhau. Ă« Ÿ©y chĂłng t«i kh«ng cĂŁ Ăœ ¼Þnh tr×nh b”y chÆt chÏ vÒ thuËt tožn nh− trong mĂ©t gižo tr×nh logic, m” sÏ hiÓu khži niÖm thuËt tožn theo mĂ©t cžch th«ng th−ĂȘng nhÊt. ThuËt tožn l” mĂ©t qui tŸc ¼Ó, vĂ­i nhĂ·ng dĂ· liÖu ban ¼Çu Ÿ· cho, t×m ¼−üc lĂȘi gi¶i sau mĂ©t kho¶ng thĂȘi gian hĂ·u hÂčn. §Ó minh hoÂč cžch ghi mĂ©t thuËt tožn, cĂČng nh− t×m hiÓu cžc yÂȘu cÇu ¼Ò ra cho thuËt tožn, ta xÐt trÂȘn cžc vÝ dĂŽ cĂŽ thÓ sau Ÿ©y. Cho n sĂš X[1], X[2],..., X[n], ta cÇn t×m m v” j sao cho m=X[j] = max 1≀ ≀k n X[k], v” j l” lĂ­n nhÊt cĂŁ thÓ. §iÒu Ÿã cĂŁ nghÜa l” cÇn t×m cĂčc ÂźÂči cña cžc sĂš Ÿ· cho, v” chØ sĂš lĂ­n nhÊt trong cžc sĂš ÂźÂčt cĂčc ÂźÂči. VĂ­i mĂŽc tiÂȘu t×m sĂš cĂčc ÂźÂči vĂ­i chØ sĂš lĂ­n nhÊt, ta xuÊt phžt tĂ” giž trÞ X[n]. B−íc thĂž nhÊt, v× mĂ­i chØ cĂŁ mĂ©t sĂš, ta cĂŁ thÓ tÂčm thĂȘi xem m=X[n] v” j=n. TiÕp theo , ta so sžnh X[n] vĂ­i X[n-1]. Trong tr−ĂȘng hĂźp n-1=0, tĂžc n=1, thuËt tožn kÕt thĂłc. NÕu X[n-1] ≀ X[n] , ta chuyÓn sang so sžnh X[n] vĂ­i X[n-2] .Trong tr−ĂȘng hĂźp ng−üc lÂči, X[n-1] chÝnh l” sĂš cĂčc ÂźÂči trong hai sĂš Ÿ· xÐt, v” ta ph¶i thay ŸÊi m v” j: ¼Æt m= X[n-1], j=n-1. VĂ­i cžch l”m nh− trÂȘn, Ă« mçi b−íc, ta lu«n nhËn ¼−üc sĂš cĂčc ÂźÂči trong nhĂ·ng sĂš Ÿ· xÐt. B−íc tiÕp theo l” so sžnh nĂŁ vĂ­i nhĂ·ng sĂš ŸÞng tr−íc, hoÆc kÕt thĂłc thuËt tožn trong tr−ĂȘng hĂźp kh«ng cßn sĂš n”o ŸÞng tr−íc nĂŁ. ThuËt tožn m« t¶ trÂȘn Ÿ©y ¼−üc ghi lÂči nh− sau: ThuËt tožn t×m cĂčc ÂźÂči. M1. [B−íc xuÊt phžt ] §Æt j←n, k←n-1, m← X[n]. M2. [§· kiÓm tra xong?] NÕu k=0, thuËt tožn kÕt thĂłc. M3. [So sžnh] NÕu X[k]≀m,chuyÓn sang M5. M4. [Thay ŸÊi m] §Æt j ← k, m ← X[k]. (TÂčm thĂȘi m Âźang l” cĂčc ÂźÂči) M5. [Gi¶m k] §Æt k ← k-1, quay vÒ M2. DÊu “←“ dĂŻng ¼Ó chØ mĂ©t phÐp tožn quan trĂ€ng l” phÐp thay chç (replacement). V n M a th .C o m V n M a th .C o m
  • 4. 2 TrÂȘn Ÿ©y ta ghi mĂ©t thuËt tožn b»ng ng«n ngĂ· th«ng th−ĂȘng. Trong tr−ĂȘng hĂźp thuËt tožn ¼−üc viÕt b»ng ng«n ngĂ· cña mžy tÝnh, ta cĂŁ mĂ©t ch−¬ng tr×nh. Trong thuËt tožn cĂŁ nhĂ·ng sĂš liÖu ban ¼Çu, ¼−üc cho tr−íc khi thuËt tožn bŸt ¼Çu l”m viÖc: cžc ¼Çu v”o (input). Trong thuËt tožn M, ¼Çu v”o l” cžc sĂš X[1], X[2],..., X[n]. MĂ©t thuËt tožn cĂŁ thÓ cĂŁ mĂ©t hoÆc nhiÒu ¼Çu ra (ouput). Trong thuËt tožn M, cžc ¼Çu ra l” m v” j. CĂŁ thÓ thÊy r»ng thuËt tožn vĂ”a m« t¶ tho¶ m·n cžc yÂȘu cÇu cña mĂ©t thuËt tožn nĂŁi chung, Ÿã l”: 1. TÝnh hĂ·u hÂčn.ThuËt tožn cÇn ph¶i kÕt thĂłc sau mĂ©t sĂš hĂ·u hÂčn b−íc. Khi thuËt tožn ngĂ”ng l”m viÖc, ta ph¶i thu ¼−üc c©u tr¶ lĂȘi cho vÊn ¼Ò ¼Æt ra. ThuËt tožn M rĂą r”ng tho¶ m·n ÂźiÒu kiÖn n”y, v× Ă« mçi b−íc, ta lu«n chuyÓn tĂ” viÖc xÐt mĂ©t sĂš sang sĂš ŸÞng tr−íc nĂŁ, v” sĂš cžc sĂš l” hĂ·u hÂčn. 2. TÝnh xžc ¼Þnh. Ă« mçi b−íc, thuËt tožn cÇn ph¶i xžc ¼Þnh, nghÜa l” chØ rĂą viÖc cÇn l”m. NÕu ŸÚi vĂ­i ng−ĂȘi ŸÀc, thuËt tožn M ch−a tho¶ m·n ÂźiÒu kiÖn n”y th× Ÿã l” lçi cña ng−ĂȘi viÕt! Ngo”i nhĂ·ng yÕu tĂš kÓ trÂȘn, ta cßn ph¶i xÐt ¼Õn tÝnh hiÖu qu¶ cña thuËt tožn. CĂŁ rÊt nhiÒu thuËt tožn, vÒ mÆt lÝ thuyÕt l” kÕt thĂłc sau hĂ·u hÂčn b−íc, tuy nhiÂȘn thĂȘi gian “hĂ·u hÂčn” Ÿã v−üt quž kh¶ nšng l”m viÖc cña chĂłng ta. NhĂ·ng thuËt tožn Ÿã sÏ kh«ng ¼−üc xÐt ¼Õn Ă« Ÿ©y, v× chĂłng ta chØ quan t©m nhĂ·ng thuËt tožn cĂŁ thÓ sö dĂŽng thËt sĂč trÂȘn mžy tÝnh. CĂČng do mĂŽc tiÂȘu nĂŁi trÂȘn, ta cßn ph¶i chĂł Ăœ ¼Õn Ÿé phĂžc tÂčp cña cžc thuËt tožn. §é phĂžc tÂčp cña mĂ©t thuËt tožn cĂŁ thÓ Âźo b»ng kh«ng gian, tĂžc l” dung l−üng bĂ© nhĂ­ cña mžy tÝnh cÇn thiÕt ¼Ó thĂčc hiÖn thuËt tožn, v” b»ng thĂȘi gian, tĂžc l” thĂȘi gian mžy tÝnh l”m viÖc. Trong cuĂšn sžch n”y, khi nĂŁi ¼Õn Ÿé phĂžc tÂčp cña thuËt tožn, ta lu«n hiÓu l” Ÿé phĂžc tÂčp thĂȘi gian. §2. §é phĂžc tÂčp thuËt tožn. DÜ nhiÂȘn, thĂȘi gian l”m viÖc cña mžy tÝnh khi chÂčy mĂ©t thuËt tožn n”o Ÿã kh«ng chØ phĂŽ thuĂ©c v”o thuËt tožn, m” cßn phĂŽ thuĂ©c v”o mžy tÝnh ¼−üc sö dĂŽng. V× thÕ, ¼Ó cĂŁ mĂ©t tiÂȘu chuÈn chung, ta sÏ Âźo Ÿé phĂžc tÂčp cña mĂ©t thuËt tožn b»ng sĂš cžc phÐp tÝnh ph¶i l”m khi thĂčc hiÖn thuËt tožn. Khi tiÕn h”nh cĂŻng mĂ©t thuËt tožn, sĂš cžc phÐp tÝnh ph¶i thĂčc hiÖn cßn phĂŽ thuĂ©c v”o cĂŹ cña b”i tožn, tĂžc l” Ÿé lĂ­n cña ¼Çu v”o. V× thÕ, Ÿé phĂžc tÂčp cña thuËt tožn sÏ l” mĂ©t h”m sĂš cña Ÿé lĂ­n cña ¼Çu v”o. Trong nhĂ·ng Ăžng dĂŽng thĂčc tiÔn, chĂłng ta kh«ng cÇn biÕt chÝnh xžc h”m n”y, m” chØ cÇn biÕt “ cì” cña chĂłng, tĂžc l” cÇn cĂŁ mĂ©t −íc l−üng Ÿñ tĂšt cña chĂłng. Khi l”m viÖc, mžy tÝnh th−ĂȘng ghi cžc chĂ· sĂš b»ng nhĂ·ng bĂŁng ¼Ìn “sžng, tŸt”: bĂŁng ¼Ìn sžng chØ sĂš 1, bĂŁng ¼Ìn tŸt chØ sĂš 0. V× thÕ thuËn tiÖn nhÊt l” dĂŻng hÖ ¼Õm cÂŹ sĂš 2, trong Ÿã ¼Ó biÓu diÔn mĂ©t sĂš, ta chØ cÇn dĂŻng hai kÝ hiÖu 0 v” 1. MĂ©t kÝ hiÖu 0 hoÆc 1 ¼−üc gĂ€i l” mĂ©t bit (viÕt tŸt cña chĂ· “binary digit”). MĂ©t sĂš nguyÂȘn n biÓu diÔn bĂ«i k chĂ· sĂš 1 v” 0 d−üc gĂ€i l” mĂ©t sĂš k-bit. Trong ch−¬ng tiÕp theo, ta sÏ thÊy r»ng, sĂš tĂč nhiÂȘn n sÏ l” mĂ©t sĂš k-bit vĂ­i k=[log2n] ( dÊu[ ] kÝ hiÖu phÇn nguyÂȘn cña mĂ©t sĂš). V n M a th .C o m V n M a th .C o m
  • 5. 3 §é phĂžc tÂčp cña mĂ©t thuËt tožn ¼−üc Âźo b»ng sĂš cžc phÐp tÝnh bit. PhÐp tÝnh bit l” mĂ©t phÐp tÝnh logic hay sĂš hĂ€c thĂčc hiÖn trÂȘn cžc sĂš 1-bit 0 v” 1. §Ó −íc l−üng Ÿé phĂžc tÂčp cña thuËt tožn, ta dĂŻng khži niÖm bËc O-lĂ­n. §Þnh nghÜa 1.1: Gi¶ sö f(n) v” g(n) l” hai h”m xžc ¼Þnh trÂȘn tËp hĂźp cžc sĂš nguyÂȘn d−¬ng. Ta nĂŁi f(n) cĂŁ bËc O-lĂ­n cña g(n), v” viÕt f(n)=O(g(n)) hoÆc f=O(g), nÕu tĂ„n tÂči mĂ©t sĂš C >0 sao cho vĂ­i n Ÿñ lĂ­n, cžc h”m f(n) v” g(n) ¼Òu d−¬ng, ŸÄng thĂȘi f(n) < Cg(n). VÝ dĂŽ. 1) Gi¶ sö f(n) l” Âźa thĂžc; f(n)=adnd + ad-1nd-1 + ...+a1n+a0, trong Ÿã ad > 0. DÔ chĂžng minh r»ng f(n)=O(nd ). 2) NÕu f1(n)=O(g(n)), f2(n)=O(g(n)) th× f1+f2=O(g). 3) NÕu f1=O(g1), f2=O(g2), th× f1.f2=O(g1.g2). 4) NÕu tĂ„n tÂči giĂ­i hÂčn hĂ·u hÂčn lim n→∞ f n g n ( ) ( ) th× f=O(g). 5)VĂ­i mĂ€i sĂš Δ >0, log n=O(nΔ ). §Þnh nghÜa 1.2. MĂ©t thuËt tožn ¼−üc gĂ€i l” cĂŁ Ÿé phĂžc tÂčp Âźa thĂžc, hoÆc cĂŁ thĂȘi gian Âźa thĂžc, nÕu sĂš cžc phÐp tÝnh cÇn thiÕt khi thĂčc hiÖn thuËt tožn kh«ng v−üt quž O (logd n), trong Ÿã n l” Ÿé lĂ­n cña ¼Çu v”o, v” d l” sĂš nguyÂȘn d−¬ng n”o Ÿã. NĂŁi cžch khžc, nÕu ¼Çu v”o l” cžc sĂš k-bit th× thĂȘi gian thĂčc hiÖn thuËt tožn l” O(kd ), tĂžc l” t−¬ng ¼−¬ng vĂ­i mĂ©t Âźa thĂžc cña k. Cžc thuËt tožn vĂ­i thĂȘi gian O(nα ), α >0, ¼−üc gĂ€i l” cžc thuËt tožn vĂ­i Ÿé phĂžc tÂčp mĂČ, hoÆc thĂȘi gian mĂČ. ChĂł Ăœ r»ng, nÕu mĂ©t thuËt tožn n”o Ÿã cĂŁ Ÿé phĂžc tÂčp O(g), th× cĂČng cĂŁ thÓ nĂŁi nĂŁ Ÿé phĂžc tÂčp O(h) vĂ­i mĂ€i h”m h > g. Tuy nhiÂȘn, ta lu«n lu«n cĂš gŸng t×m −íc l−üng tĂšt nhÊt cĂŁ thÓ ¼−üc ¼Ó tržnh hiÓu sai vÒ Ÿé phĂžc tÂčp thĂčc sĂč cña thuËt tožn. CĂČng cĂŁ nhĂ·ng thuËt tožn cĂŁ Ÿé phĂžc tÂčp trung gian giĂ·a Âźa thĂžc v” mĂČ. Ta th−ĂȘng gĂ€i Ÿã l” thuËt tožn d−íi mĂČ. ChÂŒng hÂčn, thuËt tožn nhanh nhÊt ¼−üc biÕt hiÖn nay ¼Ó ph©n tÝch mĂ©t sĂš nguyÂȘn n ra thĂ”a sĂš l” thuËt tožn cĂŁ Ÿé phĂžc tÂčp exp( log loglogn n ). Khi gi¶i mĂ©t b”i tožn, kh«ng nhĂ·ng ta chØ cĂš gŸng t×m ra mĂ©t thuËt tožn n”o Ÿã, m” cßn muĂšn t×m ra thuËt tožn “ tĂšt nhÊt”. §žnh giž Ÿé phĂžc tÂčp l” mĂ©t trong nhĂ·ng cžch ¼Ó ph©n tÝch, so sžnh v” t×m ra thuËt tožn tĂši −u. Tuy nhiÂȘn, Ÿé phĂžc tÂčp kh«ng ph¶i l” tiÂȘu chuÈn duy nhÊt ¼Ó Ÿžnh giž thuËt tožn. CĂŁ nhĂ·ng thuËt tožn, vÒ lÝ thuyÕt th× cĂŁ Ÿé phĂžc tÂčp cao hÂŹn mĂ©t thuËt tožn khžc, nh−ng khi sö dĂŽng lÂči cĂŁ kÕt qu¶ V n M a th .C o m V n M a th .C o m
  • 6. 4 (gÇn Ÿóng) nhanh hÂŹn nhiÒu. §iÒu n”y cßn tuĂș thuĂ©c nhĂ·ng b”i tožn cĂŽ thÓ, nhĂ·ng mĂŽc tiÂȘu cĂŽ thÓ, v” c¶ kinh nghiÖm cña ng−ĂȘi sö dĂŽng. ChĂłng ta cÇn l−u Ăœ thÂȘm mĂ©t ÂźiÓm sau Ÿ©y. MÆc dĂŻ ¼Þnh nghÜa thuËt tožn m” chĂłng ta ¼−a ra ch−a ph¶i l” chÆt chÏ, nĂŁ vÉn quž “cĂžng nhŸc “ trong nhĂ·ng Ăžng dĂŽng thĂčc tÕ! BĂ«i vËy, chĂłng ta cßn cÇn ¼Õn cžc thuËt tožn “xžc suÊt “, tĂžc l” cžc thuËt tožn phĂŽ thuĂ©c v”o mĂ©t hay nhiÒu tham sĂš ngÉu nhiÂȘn. NhĂ·ng “thuËt tožn” n”y, vÒ nguyÂȘn tŸc kh«ng ¼−üc gĂ€i l” thuËt tožn, v× chĂłng cĂŁ thÓ, vĂ­i xžc suÊt rÊt bÐ, kh«ng bao giĂȘ kÕt thĂłc. Tuy nhiÂȘn, thĂčc nghiÖm chØ ra r»ng, cžc thuËt tožn xžc suÊt th−ĂȘng hĂ·u hiÖu hÂŹn cžc thuËt tožn kh«ng xžc suÊt. ThËm chÝ, trong rÊt nhiÒu tr−ĂȘng hĂźp, chØ cĂŁ cžc thuËt tožn nh− thÕ l” sö dĂŽng ¼−üc. Khi l”m viÖc vĂ­i cžc thuËt tožn xžc suÊt, ta th−ĂȘng hay ph¶i sö dĂŽng cžc sĂš “ngÉu nhiÂȘn”. Khži niÖm chĂ€n sĂš ngÉu nhiÂȘn cĂČng cÇn ¼−üc chÝnh xžc hož. Th−ĂȘng th× ng−ĂȘi ta sö dĂŽng mĂ©t “mžy” s¶n xuÊt sĂš gi¶ ngÉu nhiÂȘn n”o Ÿã. Tuy nhiÂȘn, trong cuĂšn sžch n”y, chĂłng t«i kh«ng ¼Ò cËp ¼Õn vÊn ¼Ò nĂŁi trÂȘn, m” mçi lÇn nĂŁi ¼Õn viÖc chĂ€n sĂš ngÉu nhiÂȘn, ta sÏ hiÓu l” ÂźiÒu Ÿã thĂčc hiÖn ¼−üc trÂȘn mžy. CĂČng cÇn l−u Ăœ ngay r»ng, ŸÚi vĂ­i cžc thuËt tožn xžc suÊt, kh«ng thÓ nĂŁi ¼Õn thĂȘi gian tuyÖt ŸÚi, m” chØ cĂŁ thÓ nĂŁi ¼Õn thĂȘi gian hy vĂ€ng (expected ). §Ó h×nh dung ¼−üc phÇn n”o â€œÂźĂ© phĂžc tÂčp” cña cžc thuËt tožn khi l”m viÖc vĂ­i nhĂ·ng sĂš lĂ­n, ta xem b¶ng d−íi Ÿ©y cho kho¶ng thĂȘi gian cÇn thiÕt ¼Ó ph©n tÝch mĂ©t sĂš nguyÂȘn n ra thĂ”a sĂš b»ng thuËt tožn nhanh nhÊt ¼−üc biÕt hiÖn nay (ta xem mžy tÝnh sö dĂŽng v”o viÖc n”y cĂŁ tĂšc Ÿé 1 triÖu phÐp tÝnh trong 1 gi©y) SĂš chĂ· sĂš thËp ph©n SĂš phÐp tÝnh bit ThĂȘi gian 50 1,4.1010 3,9 giĂȘ 75 9,0.1012 104 ng”y 100 2,3.1015 74 nšm 200 1,2.1023 3,8.109 nšm 300 1,5.1029 4,9.1015 nšm 500 1,3.1039 4,2.1025 nšm TĂ” b¶ng trÂȘn Ÿ©y, ta thÊy r»ng, ngay vĂ­i mĂ©t thuËt tožn d−íi mĂČ, thĂȘi gian l”m viÖc vĂ­i cžc sĂš nguyÂȘn lĂ­n l” quž l©u. V× thÕ nĂŁi chung ng−ĂȘi ta lu«n cĂš gŸng t×m nhĂ·ng thuËt tožn Âźa thĂžc. LÝ thuyÕt vÒ Ÿé phĂžc tÂčp thuËt tožn l” mĂ©t lÝ thuyÕt rÊt phong phĂł. Trong cuĂšn sžch n”y, chĂłng t«i kh«ng lÊy mĂŽc tiÂȘu tr×nh b”y lÝ thuyÕt Ÿã l”m trĂ€ng t©m. §éc gi¶ quan t©m ¼Õn lÝ thuyÕt thuËt tožn cĂŁ thÓ t×m ŸÀc cžc sžch trong phÇn T”i liÖu tham kh¶o. V n M a th .C o m V n M a th .C o m
  • 7. 5 Ch−¬ng 2. SĂš nguyÂȘn §1. BiÓu diÔn sĂš nguyÂȘn v” cžc phÐp tÝnh sĂš hĂ€c 1.1 HÖ cÂŹ sĂš. MÆc dĂŻ hÇu hÇu hÕt Ÿéc gi¶ Ÿ· quen thuĂ©c vĂ­i cžch biÓu diÔn sĂš nguyÂȘn trong cÂŹ sĂš tuĂș Ăœ, chĂłng t«i nhŸc lÂči sÂŹ qua vÊn ¼Ò Ÿã Ă« phÇn n”y, ¼Ó thuËn tiÖn cho viÖc tr×nh b”y cžc thuËt tožn vÒ sĂš nguyÂȘn. §Þnh lÝ 2.1. Gi¶ sö b l” mĂ©t sĂš nguyÂȘn lĂ­n hÂŹn 1. Khi Ÿã mĂ€i sĂš nguyÂȘn n cĂŁ thÓ viÕt duy nhÊt d−íi dÂčng n=akbk + ak-1bk-1 +...+ a1b1 +a0, trong Ÿã aj l” sĂš nguyÂȘn, 0≀aj ≀k-1, vĂ­i j=0,1,...,k v” hÖ sĂš ¼Çu tiÂȘn ak ≠ 0. ChĂžng minh. Ta chØ cÇn thĂčc hiÖn liÂȘn tiÕp phÐp chia n cho b: n=bq0 +a0, 0≀a0 ≀b-1. NÕu q0 >b, ta tiÕp tĂŽc chia q0 cho b ¼Ó ¼−üc q0=bq1 +a1, 0≀a1 ≀b-1. TiÕp tĂŽc quž tr×nh Ÿã, ta cĂŁ: q1=bq2 +a2, 0≀ a2 ≀b-1 q2=bq3 +a3, 0≀ a3 ≀b-1 ... ... ... qk-1=b.0 +ak, 0≀ ak ≀b-1. Quž tr×nh kÕt thĂłc v× ta lu«n cĂŁ: n>q0>q1>...≄0. ChĂłng t«i d”nh cho Ÿéc gi¶ viÖc chĂžng minh n cĂŁ dÂčng nh− trong phžt biÓu cña ¼Þnh lÝ, v” biÓu diÔn Ÿã l” duy nhÊt. SĂš b nĂŁi trong ¼Þnh lÝ ¼−üc gĂ€i l” cÂŹ sĂš cña biÓu diÔn. Cžc hÖ biÓu diÔn cÂŹ sĂš 10 v” 2 t−¬ng Ăžng ¼−üc gĂ€i l” hÖ thËp ph©n v” nhÞ ph©n. Cžc hÖ sĂš aj ¼−üc gĂ€i l” cžc chĂ· sĂš. VÒ sau ta dĂŻng bit ¼Ó chØ chĂ· sĂš nhÞ ph©n. NÕu sĂš nguyÂȘn n biÓu diÔn trong cÂŹ sĂš b cĂŁ k chĂ· sĂš, th× tĂ” chĂžng minh trÂȘn, ta cĂŁ : bk-1 ≀n≀bk . Nh− vËy sĂš chĂ· sĂš cña n ¼−üc tÝnh theo c«ng thĂžc: V n M a th .C o m V n M a th .C o m
  • 8. 6 k=[logb n]+1=[log n / log b]+1, trong Ÿã, kÝ hiÖu log dĂŻng ¼Ó chØ logarit cÂŹ sĂš e. Trong cÂŹ sĂš tuĂș Ăœ, ta cĂŁ: k=O(logn). §Ó ph©n biÖt cžc biÓu diÔn cña sĂš nguyÂȘn trong nhĂ·ng hÖ cÂŹ sĂš khžc nhau, ta th−ĂȘng dĂŻng cžch viÕt (akak-1...a1a0)b ¼Ó chØ sĂš n= akbk + ak-1bk-1 +...+ a1b1 +a0, VÝ dĂŽ. 1). §Úi vĂ­i sĂš 1994 trong hÖ thËp ph©n, ta cĂŁ (1994)10=(11111001010)2. 2). Trong mžy tÝnh, bÂȘn cÂčnh hÖ cÂŹ sĂš 2, ng−ĂȘi ta cĂČng th−ĂȘng dĂŻng hÖ cÂŹ sĂš 8 hoÆc 16. LÝ do chñ yÕu l” v× viÖc chuyÓn mĂ©t sĂš viÕt Ă« cÂŹ sĂš n”y sang cÂŹ sĂš kia trong 3 cÂŹ sĂš Ÿã ¼−üc thĂčc hiÖn mĂ©t cžch dÔ d”ng. VÝ dĂŽ, muĂšn chuyÓn mĂ©t sĂš cho trong cÂŹ sĂš 2 sang cÂŹ sĂš 8, ta chØ viÖc nhĂŁm tĂ” ph¶i sang trži tĂ”ng khĂši 3 chĂ· sĂš, rĂ„i chuyÓn sĂš ¼−üc viÕt trong khĂši Ÿã sang dÂčng thËp ph©n. ChÂŒng hÂčn, sĂš (1110010100110)2 ¼−üc tžch th”nh cžc nhĂŁm 1,110,010,100,110. TĂ” Ÿã ta ¼−üc: (1110010100110)2=(16246)8. Ta cĂŁ thÓ l”m t−¬ng tĂč ¼Ó chuyÓn sĂš Ÿ· cho th”nh sĂš viÕt trong cÂŹ sĂš 16, chØ cÇn nhĂŁm th”nh tĂ”ng bĂ© 4 chĂ· sĂš. ChĂł Ăœ r»ng, trong tr−ĂȘng hĂźp n”y, cÇn thÂȘm v”o cžc kÝ hiÖu mĂ­i ¼Ó chØ cžc “chĂ· sĂš “ tĂ” 10 ¼Õn 15. Ta nhŸc lÂči r»ng mžy tÝnh sö dĂŽng cžch viÕt nhÞ ph©n, hoÆc l” cžc “bit”. Mžy tÝnh n”o cĂČng cĂŁ giĂ­i hÂčn vÒ Ÿé lĂ­n cña cžc sĂš cĂŁ thÓ ¼−a v”o tÝnh tožn. GiĂ­i hÂčn Ÿã ¼−üc gĂ€i l” cĂŹ tĂ” cña mžy, kÝ hiÖu qua w. CĂŹ tĂ” th−ĂȘng l” mĂ©t luĂŒ thĂ”a cña 2, chÂŒng hÂčn 235 . §Ó thĂčc hiÖn cžc phÐp tÝnh sĂš hĂ€c vĂ­i nhĂ·ng sĂš nguyÂȘn lĂ­n hÂŹn cĂŹ tĂ”, ta l”m nh− sau. MuĂšn ¼−a mĂ©t sĂš n > w v”o mžy, ta viÕt n d−íi dÂčng cÂŹ sĂš w, v” khi Ÿã n ¼−üc biÓu diÔn b»ng nhĂ·ng sĂš kh«ng v−üt quž cĂŹ tĂ”. VÝ dĂŽ, nÕu cĂŹ tĂ” cña mžy l” 235 , th× ¼Ó ¼−a v”o mĂ©t sĂš cĂŁ Ÿé lĂ­n cĂŹ 2350 -1, ta chØ cÇn dĂŻng 10 sĂš nhĂĄ nhĂĄ hÂŹn cĂŹ tĂ” cña mžy, b»ng cžch biÓu diÔn n trong cÂŹ sĂš 235 . Nh− Ÿ· nĂŁi trong vÝ dĂŽ Ă« 1, viÖc chuyÓn mĂ©t sĂš tĂ” cÂŹ sĂš 2 sang cÂŹ sĂš 235 ¼−üc thĂčc hiÖn dÔ d”ng b»ng cžch nhĂŁm tĂ”ng khĂši 35 chĂ· sĂš. TĂ” qui tŸc cña cžc phÐp tÝnh sĂš hĂ€c, ta thÊy r»ng: 1) §Ó cĂ©ng hoÆc trĂ” hai sĂš nguyÂȘn k bit, ta cÇn O(k) phÐp tÝnh bit. 2) §Ó nh©n hoÆc chia hai sĂš k bit theo qui tŸc th«ng th−ĂȘng, ta cÇn O(k2 ) phÐp tÝnh bit. Trong nhĂ·ng thËp kØ gÇn Ÿ©y, ng−ĂȘi ta t×m ra nhĂ·ng thuËt tožn nh©n vĂ­i Ÿé phĂžc tÂčp bÐ hÂŹn nhiÒu so vĂ­i cžch nh©n th«ng th−ßng. §iÒu thĂł vÞ l”, nÕu thoÂčt nh×n th× cžc thuËt tožn Ÿã “phĂžc tÂčp” hÂŹn quy tŸc nh©n th«ng th−ĂȘng. Tuy nhiÂȘn, khi l”m viÖc vĂ­i nhĂ·ng sĂš rÊt lĂ­n, cžc thuËt tožn n”y cho phÐp thĂčc hiÖn viÖc nh©n hai sĂš vĂ­i mĂ©t thĂȘi gian bÐ hÂŹn hÂŒn so vĂ­i quy tŸc th«ng th−ĂȘng. 1.2 ThuËt tožn nh©n nhanh hai sĂš. Ta sö dĂŽng tÝnh chÊt hÕt sĂžc Ÿn gi¶n cña phÐp nh©n: nÕu a=a1+a2, b=b1+b2, th× ab=a1b1+a2b2+a2b1+a1b2. §iÒu Ÿžng chĂł Ăœ Ă« Ÿ©y l”, thay cho viÖc nh©n hai sĂš nguyÂȘn n bit, ta thĂčc hiÖn viÖc nh©n cžc sĂš cĂŁ chĂ· sĂš nhĂĄ hÂŹn, cĂŻng vĂ­i mĂ©t sĂš phÐp V n M a th .C o m V n M a th .C o m
  • 9. 7 cĂ©ng (¼ßi hĂĄi sĂš phÐp tÝnh bit Ýt hÂŹn l” phÐp nh©n). ThĂčc ra ÂźiÒu n”y kh«ng cĂŁ g× mĂ­i: ngay trong quan niÖm ban ¼Çu, phÐp nh©n a vĂ­i b Ÿ· l” phÐp cĂ©ng b lÇn sĂš a!. Tuy nhiÂȘn ¼Ó cĂŁ mĂ©t thuËt tožn nh©n nhanh, ta kh«ng thÓ cĂ©ng b lÇn sĂš a, m” ph¶i t×m ¼−üc mĂ©t cžch tĂši −u n”o Ÿã ¼Ó tžch b v” a th”nh nhĂ·ng phÇn nhĂĄ hÂŹn. NhĂ·ng thuËt tožn tr×nh b”y d−íi Ÿ©y cho chĂłng ta mĂ©t sĂš cžch ¼Ó l”m viÖc ph©n chia nh− vËy. Gi¶ sö muĂšn nh©n hai sĂš nguyÂȘn 2n bit, a=(a2n-1a2n-2...a1a0)2, b=(b2n-1b2n-2...b1b0)2. Ta viÕt a=2n A1+A0, b=2n B1+B0, trong Ÿã A1=(a2n-1a2n-2...an)2, A0=(an-1an-2...a1a0)2, B1=(b2n-1b2n-2...bn)2, B0=(bn-1bn-2...b1b0)2. Khi Ÿã ta cĂŁ: ab=(22n +2n )A1B1+2n (A1 - A0)+(2n +1)A0B0. (1.1) Nh− vËy, viÖc nh©n hai sĂš a,b 2n bit ¼−üc ¼−a vÒ viÖc nh©n cžc sĂš n bit, cĂŻng vĂ­i cžc phÐp cĂ©ng, trĂ” v” dÞch chuyÓn (nh©n mĂ©t sĂš vĂ­i mĂ©t luĂŒ thĂ”a bËc n cña 2 ¼−üc thĂčc hiÖn b»ng cžch dÞch sĂš Ÿã sang trži n vÞ trÝ). §Þnh lÝ 2.2. ThuËt tožn 2.1 cĂŁ Ÿé phĂžc tÂčp l” O(nlog 2 3 ). ChĂžng minh. GĂ€i M(n) l” sĂš cžc phÐp tÝnh bit tĂši Âźa cÇn thiÕt khi thĂčc hiÖn nh©n hai sĂš nguyÂȘn n bit b»ng thuËt tožn 2.1. TĂ” c«ng thĂžc (1.1) ta cĂŁ: M(2n)≀3M(n)+Cn, trong Ÿã C l” mĂ©t h»ng sĂš kh«ng phĂŽ thuĂ©c n. §Æt c=max(C,M(2)). B»ng quy nÂčp, dÔ chĂžng minh ¼−üc r»ng M(2k ) ≀ c(3k -2k ). TĂ” Ÿã ta cĂŁ M(n)=M(2log 2 n ) ≀M(2[log 2 n]+1 ) ≀c(3[log 2 n]+1 -2[log 2 n]+1 ) ≀3c.3[log 2 n] ≀3c.3log 2 n =3cnlog 2 3 . §Þnh lÝ Ÿ· ¼−üc chĂžng minh. VĂ­i thuËt tožn 2.1, ta thÊy r»ng, ngay chØ vĂ­i cžch ph©n chia Ÿn gi¶n sĂš nguyÂȘn th”nh hai phÇn vĂ­i sĂš chĂ· sĂš b»ng nhau, ta Ÿ· nhËn ¼−üc mĂ©t thuËt tožn gi¶m Ÿžng kÓ thĂȘi gian thĂčc hiÖn phÐp nh©n. DÜ nhiÂȘn, cžch ph©n chia nh− vËy cßn xa vĂ­i cžch ph©n chia tĂši −u. Ta sÏ chĂžng tĂĄ r»ng cžch ph©n chia nh− trÂȘn cĂŁ thÓ tĂŠng qužt hož ¼Ó nhËn ¼−üc nhĂ·ng thuËt tožn nh©n vĂ­i Ÿé phĂžc tÂčp nhĂĄ hÂŹn nhiÒu. V n M a th .C o m V n M a th .C o m
  • 10. 8 CĂČng nh− tr−íc Ÿ©y, ta sÏ kÝ hiÖu qua M(n) sĂš cžc phÐp tÝnh bit cÇn thiÕt ¼Ó thĂčc hiÖn phÐp nh©n hai sĂš nguyÂȘn n bit. Tr−íc tiÂȘn, ta chĂžng minh c«ng thĂžc sau: vĂ­i mĂ€i sĂš tĂč nhiÂȘn n, tĂ„n tÂči thuËt tožn sao cho: M((r+1)n) ≀(2r+1)M(n)+Cn, (1.2) vĂ­i C l” mĂ©t h»ng sĂš n”o Ÿã. Nh− vËy, §Þnh lÝ 2.2 l” tr−ĂȘng hĂźp riÂȘng vĂ­i r=1. Gi¶ sö cÇn nh©n hai sĂš (r+1)n bit: a=(a(r+1)n-1...a1a0)2, b=(b(r+1)n-1...b1b0)2. Ta tžch mçi sĂš a,b th”nh r+1 sĂš hÂčng: a=Ar2rn +...+A12n +A0 b=Br2rn +...+B12n +B0, trong Ÿã Aj,Bj l” cžc sĂš n bit. Ta nhËn xÐt r»ng, viÖc biÓu diÔn mĂ©t sĂš nguyÂȘn d−íi dÂčng cÂŹ sĂš n”o Ÿã cĂČng gÇn giĂšng nh− viÕt sĂš Ÿã d−íi dÂčng Âźa thĂžc, trong Ÿã cžc chĂ· sĂš chÝnh l” cžc hÖ sĂš cña Âźa thĂžc. V× vËy viÖc nh©n hai sĂš cĂŁ thÓ thĂčc hiÖn t−¬ng tĂč nh− viÖc nh©n Âźa thĂžc. Ta xÐt cžc Âźa thĂžc sau: A(x)=Arxr +...+A1x+A0, B(x)=Brxr +...+B1x+B0, W(x)=A(x)B(x)=W2rx2r +...+W1x+W0. TĂ” ¼Þnh nghÜa cžc Âźa thĂžc trÂȘn ta ÂźĂčÂŹc: a=A(2n ),b=B(2n ), ab= W(2n ). Nh− vËy, ta dÔ d”ng tÝnh ¼−üc tÝch ab nÕu biÕt ¼−üc cžc hÖ sĂš cña Âźa thĂžc W(x). C«ng thĂžc (1.2) sÏ ¼−üc chĂžng minh nÕu ta t×m ¼−üc mĂ©t thuËt tožn tÝnh cžc hÖ sĂš cña W(x) m” chØ sö dĂŽng 2r+1 phÐp nh©n cžc sĂš n bit v” mĂ©t sĂš phÐp tÝnh khžc vĂ­i Ÿé phĂžc tÂčp O(n). §iÒu Ÿã cĂŁ thÓ l”m b»ng cžch tÝnh giž trÞ cña Âźa thĂžc W(x) tÂči 2r+1 ÂźiÓm sau Ÿ©y: W(0)=A(0)B(0), W(1)=A(1)B(1),..., W(2r)=A(2r)B(2r). ChĂł Ăœ r»ng, cžc sĂš Aj,Bj kh«ng nhÊt thiÕt l” cžc sĂš n bit, nh−ng vĂ­i r cĂš ¼Þnh, chĂłng cĂŁ sĂš chĂ· sĂš nhiÒu nhÊt l” r+t, vĂ­i mĂ©t t cĂš ¼Þnh n”o Ÿã. DÔ thÊy r»ng, cĂŁ thÓ nh©n hai sĂš (r+t)-bit vĂ­i kh«ng quž M(n)+c1n phÐp tÝnh bit, trong Ÿã c1 l” h»ng sĂš (chØ cÇn tžch sĂš (n+t)-bit th”nh hai phÇn n-bit v” t-bit, v” nhËn xÐt r»ng, khi t cĂš ¼Þnh, viÖc nh©n sĂš t-bit vĂ­i sĂš n-bit ¼ßi hĂĄi kh«ng quž cn phÐp tÝnh bit). Khi Ÿ· cĂŁ cžc giž trÞ W(j),(j=0,1,...2r), ta t×m ¼−üc Âźa thĂžc W(x) theo c«ng thĂžc Lagrange: W(x)= ( )−∑ 1 2 j r j=0 W(j) x(x -1)...(x - j +1)(x - j-1)...(x - 2r) j!(2r - j)! . V n M a th .C o m V n M a th .C o m
  • 11. 9 Nh− vËy, cžc hÖ sĂš cña W(x) sÏ l” tĂŠ hĂźp tuyÕn tÝnh (vĂ­i hÖ sĂš kh«ng phĂŽ thuĂ©c n) cña cžc giž trÞ W(j), v” do Ÿã, tÝnh ÂźĂčoc b»ng O(n) phÐp tÝnh bit. Ta Ÿ· chĂžng minh ¼−üc c«ng thĂžc sau: M((r+1)n) ≀(2r+1)M(n)+Cn. LËp luËn t−¬ng tĂč nh− trong chĂžng minh ¼Þnh lÝ 2.1 ta cĂŁ: M(n) ≀C3nlog r+1 (2r+1) <C3n1+log r+1 2 . VĂ­i mĂ€i Δ >0 bÐ tuĂș Ăœ, khi cžc thĂ”a sĂš cĂŁ sĂš chĂ· sĂš rÊt lĂ­n, ta cĂŁ thÓ chĂ€n r Ÿñ lĂ­n sao cho logr+12<Δ . Ta cĂŁ ¼Þnh lÝ sau: §Þnh lÝ 2.3. VĂ­i mĂ€i Δ >0, tĂ„n tÂči thuËt tožn nh©n sao cho sĂš phÐp tÝnh bit M(n) cÇn thiÕt ¼Ó nh©n hai sĂš n bit tho¶ m·n bÊt ÂźÂŒng thĂžc M(n)<C(Δ )n1+ Δ , vĂ­i h»ng sĂš C(Δ ) n”o Ÿã Ÿéc lËp vĂ­i n. NhËn xÐt. CĂŁ thÓ chĂžng minh ¼−üc r»ng, vĂ­i cžch chĂ€n r â€œÂźĂ± tĂšt”, ta cĂŁ thuËt tožn nh©n hai sĂš n-bit sao cho M(n)=O(nlog2nloglog2n). ChĂžng minh ¼Þnh lÝ Ÿã kh«ng khĂŁ, nh−ng khž d”i (xem [Kr]). §2. SĂš nguyÂȘn tĂš. §Þnh nghÜa 2.4. SĂš nguyÂȘn tĂš l” sĂš nguyÂȘn lĂ­n hÂŹn 1, kh«ng chia hÕt cho sĂš nguyÂȘn d−¬ng n”o ngo”i 1 v” chÝnh nĂŁ. SĂš nguyÂȘn lĂ­n hÂŹn 1 kh«ng ph¶i l” sĂš nguyÂȘn tĂš ¼−üc gĂ€i l” hĂźp sĂš. DÔ chĂžng minh ¼−üc r»ng, sĂš cžc sĂš nguyÂȘn tĂš l” v« hÂčn (B”i tËp 2.14). Nh− ta sÏ thÊy trong nhĂ·ng ch−¬ng tiÕp theo, b”i tožn xžc ¼Þnh mĂ©t sĂš cho tr−íc cĂŁ ph¶i l” sĂš nguyÂȘn tĂš hay kh«ng cĂŁ nhiÒu Ăžng dĂŽng trong thĂčc tiÔn. §Úi vĂ­i nhĂ·ng sĂš nhĂĄ, b”i tožn Ÿã dÜ nhiÂȘn kh«ng cĂŁ g× khĂŁ. Tuy nhiÂȘn, khi l”m viÖc vĂ­i nhĂ·ng sĂš lĂ­n, ta cÇn ph¶i t×m ra nhĂ·ng thuËt tožn hĂ·u hiÖu, nghÜa l” cĂŁ thÓ thĂčc hiÖn ¼−üc trÂȘn mžy tÝnh trong mĂ©t kho¶ng thĂȘi gian chÊp nhËn ¼−üc. Khi nĂŁi ¼Õn “nhĂ·ng sĂš lĂ­n”, ta th−ĂȘng hiÓu l” nhĂ·ng sĂš nguyÂȘn d−¬ng cĂŁ kho¶ng 100 chĂ· sĂš thËp ph©n trĂ« lÂȘn. §Ó cĂŁ thÓ t×m ra nhĂ·ng thuËt tožn xžc ¼Þnh nhanh mĂ©t sĂš cĂŁ ph¶i l” sĂš nguyÂȘn tĂš hay kh«ng, ta cÇn hiÓu s©u sŸc tÝnh chÊt cžc sĂš nguyÂȘn tĂš. Trong ch−¬ng n”y, ta chØ Âźi v”o cžc tÝnh chÊt cÂŹ b¶n nhÊt. §Þnh lÝ sau Ÿ©y cho mĂ©t thuËt tožn Ÿn gi¶n ¼Ó xžc ¼Þnh cžc sĂš nguyÂȘn tĂš. §Þnh lÝ 2.5. MĂ€i hĂźp sĂš n ¼Òu cĂŁ −íc nguyÂȘn tĂš nhĂĄ hÂŹn n . V n M a th .C o m V n M a th .C o m
  • 12. 10 ThËt vËy, v× n l” mĂ©t hĂźp sĂš nÂȘn ta cĂŁ thÓ viÕt n=ab, trong Ÿã a v” b l” cžc sĂš nguyÂȘn vĂ­i 1<a≀b<n. RĂą r”ng ta ph¶i cĂŁ a hoÆc b kh«ng v−üt quž n , gi¶ sö Ÿã l” a. Šíc nguyÂȘn tĂš cña a cĂČng ŸÄng thĂȘi l” −íc nguyÂȘn tĂš cña n. TĂ” ¼Þnh lÝ trÂȘn, ta cĂŁ thuËt tožn sau Ÿ©y ¼Ó t×m ra cžc sĂš nguyÂȘn tĂš nhĂĄ hÂŹn hoÆc b»ng sĂš n cho tr−íc. S”ng Eratosthenes. Tr−íc tiÂȘn, ta viÕt d·y cžc sĂš tĂč nhiÂȘn tĂ” 1 ¼Õn n. Trong d·y Ÿã gÂčch Âźi sĂš 1, v× nĂŁ kh«ng ph¶i l” sĂš nguyÂȘn tĂš. SĂš nguyÂȘn tĂš ¼Çu tiÂȘn cña d·y l” 2. TiÕp theo Ÿã ta gÂčch khĂĄi d·y sĂš tÊt c¶ nhĂ·ng sĂš chia hÕt cho 2. SĂš ¼Çu tiÂȘn kh«ng chia hÕt cho 2 l” 3: Ÿã chÝnh l” sĂš nguyÂȘn tĂš. Ta lÂči gÂčch khĂĄi d·y cßn lÂči nhĂ·ng sĂš n”o chia hÕt cho 3. TiÕp tĂŽc nh− thÕ, ta gÂčch khĂĄi d·y nhĂ·ng sĂš chia hÕt cho mĂ€i sĂš nguyÂȘn tĂš bÐ hÂŹn n . Theo ¼Þnh lÝ trÂȘn, nhĂ·ng sĂš cßn lÂči cña d·y l” tÊt c¶ cžc sĂš nguyÂȘn tĂš kh«ng v−üt quž n. ThËt vËy, cžc hĂźp sĂš kh«ng v−üt quž n, theo ¼Þnh lÝ trÂȘn, ¼Òu ph¶i cĂŁ −íc nguyÂȘn tĂš nhĂĄ hÂŹn n , v” do Ÿã Ÿ· bÞ gÂčch khĂĄi d·y sĂš trong mĂ©t b−íc n”o Ÿã cña thuËt tožn. S”ng Eratosthenes, mÆc dĂŻ cho ta thuËt tožn xžc ¼Þnh mĂ€i sĂš nguyÂȘn tĂš kh«ng v−üt quž mĂ©t sĂš cho tr−íc, rÊt Ýt ¼−üc sö dĂŽng ¼Ó xžc ¼Þnh xem mĂ©t sĂš Ÿ· cho cĂŁ ph¶i l” sĂš nguyÂȘn tĂš hay kh«ng. NguyÂȘn nh©n l” v× thuËt tožn cĂŁ Ÿé phĂžc tÂčp quž lĂ­n: ¼Ó kiÓm tra n, ta ph¶i thĂčc hiÖn phÐp chia cho tÊt c¶ cžc sĂš nguyÂȘn tĂš kh«ng v−üt quž n . Ta h·y xÐt sÂŹ qua vÒ Ÿé phĂžc tÂčp cña thuËt tožn nĂŁi trÂȘn. VĂ­i mçi sĂš thĂčc d−¬ng x cho tr−íc ta kÝ hiÖu π (x) sĂš cžc sĂš nguyÂȘn tĂš kh«ng v−üt quž x. Khi Ÿã, theo ¼Þnh lÝ Hadamard-ValÐe-Poussin ta cĂŁ: lim ( ) / logx x x x→∞ π = 1. Nh− vËy, sĂš cžc sĂš nguyÂȘn tĂš kh«ng v−üt quž n l” v”o kho¶ng n /log n =2 n /logn. §Ó chia n cho m, ta cÇn O(log2n. log2m) phÐp tÝnh bit. Nh− vËy, sĂš cžc phÐp tÝnh bit cÇn thiÕt ¼Ó kiÓm tra n cĂŁ ph¶i l” sĂš nguyÂȘn tĂš hay kh«ng Ýt nhÊt l” (2 n /logn)(Clog2n)=C n ( Ă« Ÿ©y ta dĂŻng −íc l−üng rÊt sÂŹ l−üc log2 m ≄1). Nh− vËy, nÕu n v”o cĂŹ kho¶ng 100 chĂ· sĂš thËp ph©n, sĂš cžc phÐp tÝnh bit ph¶i dĂŻng sÏ v”o cĂŹ 1050 . VĂ­i nhĂ·ng mžy tÝnh thĂčc hiÖn mĂ©t triÖu phÐp tÝnh trong mĂ©t gi©y, thĂȘi gian cÇn thiÕt sÏ v”o kho¶ng 3,1.1036 nšm! Ta kÕt thĂłc tiÕt n”y b»ng ¼Þnh lĂœ quan trĂ€ng sau Ÿ©y, th−ĂȘng ¼−üc gĂ€i l” ¼Þnh lĂœ cÂŹ b¶n cña sĂš hĂ€c . §Þnh lÝ 2.6. MĂ€i sĂš nguyÂȘn tĂš lĂ­n hÂŹn 1 ¼Òu ph©n tÝch ¼−üc mĂ©t cžch duy nhÊt th”nh tÝch cžc sĂš nguyÂȘn tĂš, trong Ÿã cžc thĂ”a sĂš ¼−üc viÕt vĂ­i thĂž tĂč kh«ng gi¶m. ChĂžng minh. Gi¶ sö tĂ„n tÂči nhĂ·ng sĂš kh«ng viÕt ¼−üc th”nh tÝch cžc sĂš nguyÂȘn tĂš. GĂ€i n l” sĂš bÐ nhÊt trong cžc sĂš Ÿã. Nh− vËy, n ph¶i l” hĂźp sĂš, n=a.b, vĂ­i a, b<n. Do ¼Þnh nghÜa cña n cžc sĂš a v” b ph©n tÝch ¼−üc th”nh tÝch cžc sĂš nguyÂȘn tĂš, nghÜa l” n cĂČng ph©n tÝch ¼−üc. M©u thuÉn vĂ­i gi¶ thiÕt. Cßn ph¶i chĂžng minh ph©n tÝch l” duy nhÊt. Gi¶ sö ta cĂŁ: V n M a th .C o m V n M a th .C o m
  • 13. 11 n=p1 p2 ...ps=q1q2...qr, trong Ÿã pi, qj l” cžc sĂš nguyÂȘn tĂš. Gi¶n −íc nhĂ·ng sĂš nguyÂȘn tĂš b»ng nhau cĂŁ mÆt trong hai vÕ, ta ¼−üc ÂźÂŒng thĂžc pi1pi2...piu=qj1qj2...qjv,, trong Ÿã kh«ng cĂŁ sĂš nguyÂȘn tĂš n”o cĂŁ mÆt c¶ hai vÕ. Nh− vËy, vÕ trži chia hÕt cho qj1, v” do Ÿã ph¶i tĂ„n tÂči mĂ©t thĂ”a sĂš cña tÝch chia hÕt cho qj1: ÂźiÒu Ÿã v« lĂœ, v× Ÿ©y l” tÝch cžc sĂš nguyÂȘn tĂš khžc vĂ­i qj1. Ph©n tÝch nh− trÂȘn cña cžc sĂš nguyÂȘn ¼−üc gĂ€i l” ph©n tÝch ra thĂ”a sĂš nguyÂȘn tĂš. Khi n l” mĂ©t sĂš rÊt lĂ­n, viÖc kiÓm tra xem n l” sĂš nguyÂȘn tĂš hay hĂźp sĂš, v” nÕu l” hĂźp sĂš th× t×m ph©n tÝch cña nĂŁ ra thĂ”a sĂš nguyÂȘn tĂš, l” mĂ©t b”i tožn hÕt sĂžc khĂŁ khšn. Trong nhĂ·ng phÇn tiÕp theo cña cuĂšn sžch, ta sÏ t×m hiÓu nhiÒu thuËt tožn ¼Ó l”m viÖc Ÿã, cĂČng nh− cžc Ăžng dĂŽng cña nĂŁ trong thĂčc tiÔn. §3. ThuËt tožn Euclid. MĂ©t trong nhĂ·ng thuËt tožn cÂŹ b¶n v” l©u ÂźĂȘi nhÊt cña tožn hĂ€c l” thuËt tožn Euclid. ThuËt tožn Ÿã cho phÐp xžc ¼Þnh −íc chung lĂ­n nhÊt cña hai sĂš nguyÂȘn cho tr−íc. Khi tr×nh b”y thuËt tožn Euclid, ta nhŸc lÂči sÂŹ qua khži niÖm ŸÄng d−. NhĂ·ng tÝnh chÊt cÇn dĂŻng cña ŸÄng d− v” cžc tÝnh chÊt cÂŹ b¶n cña −íc chung lĂ­n nhÊt ¼−üc cho trong cžc b”i tËp cña ch−¬ng n”y. Gi¶ sö m l” mĂ©t sĂš nguyÂȘn d−¬ng. Ta nĂŁi hai sĂš nguyÂȘn a v” b l” ŸÄng d− vĂ­i nhau modulo m nÕu m chia hÕt hiÖu a-b ( ta dĂŻng cžch viÕt m | (a-b)). §Ó chØ quan hÖ ŸÄng d−, ta dĂŻng kĂœ hiÖu a ≡ b (mod m). Nh− vËy, a ≡ b (mod m) khi v” chØ khi tĂ„n tÂči sĂš nguyÂȘn k sao cho a=b+km. Quan hÖ ŸÄng d− l” mĂ©t trong nhĂ·ng quan hÖ cÂŹ b¶n cña sĂš hĂ€c, v” ta sÏ gÆp th−ĂȘng xuyÂȘn trong nhĂ·ng phÇn tiÕp theo cña cuĂšn sžch. Trong thuËt tožn Euclid, ta chØ dĂŻng quan hÖ Ÿã ¼Ó diÔn ÂźÂčt ngŸn gĂ€n vÒ phÇn d− cña phÐp chia. ThuËt tožn sau Ÿ©y cho phÐp tÝnh −íc chung lĂ­n nhÊt (ŠCLN) d cña hai sĂš nguyÂȘn kh«ng ©m a v” b (kĂœ hiÖu l” d=(a,b)). ThuËt tožn Euclid E1. [KÕt thĂłc?] NÕu b=0, in ra a v” kÕt thĂłc thuËt tožn. E2. [Chia Euclid] §Æt r←a mod b, a←b, b←r v” quay vÒ b−íc 1. VÝ dĂŽ: tÝnh d=(24,63) b»ng thuËt tožn Euclid. Ta cĂŁ: d=(24,63) = (15,24)=(9,15)=(6,9)=(3,6)=(0,3)=3. V n M a th .C o m V n M a th .C o m
  • 14. 12 §Þnh lĂœ sau Ÿ©y vĂ”a cho ta mĂ©t chĂžng minh tÝnh Ÿóng ÂźÂŸn cña thuËt tožn Euclid, vĂ”a cho mĂ©t −íc l−üng vÒ Ÿé phĂžc tÂčp cña nĂŁ. §Þnh lÝ LamÐ. SĂš phÐp chia cÇn thiÕt ¼Ó t×m ŠCLN cña hai sĂš nguyÂȘn d−¬ng b»ng thuËt tožn Euclid kh«ng v−üt quž 5 lÇn sĂš chĂ· sĂš thËp ph©n cña sĂš bÐ trong hai sĂš Ÿ· cho. ChĂžng minh. Gi¶ sö a>b l” hai sĂš nguyÂȘn d−¬ng cho tr−íc. B»ng thuËt tožn Euclid, ta cĂŁ: a=r0, b=r1 v”: r0=r1q1+r2, 0≀r2<r1 r1=r2q2+r3, 0≀r3<r2 . . . . . . . . . . . . . . . rn-2=rn-1qn-1+rn, 0≀rn<rn-1 rn-1=rnqn Nh− vËy, ta Ÿ· l”m n phÐp chia. Trong cžc phÐp chia Ÿã, ta cĂŁ: q1, q2, ...,qn-1 ≄1, qn ≄2, rn <rn-1. TĂ” Ÿã suy ra: rn ≄1=f2, rn-1 ≄2rn ≄2f2=f3 rn-2 ≄ rn-1+ rn ≄f3+f2=f4 rn-3 ≄ rn-2+ rn-1 ≄f4+f5=f6 . . . . . . . . . . . . . . . . . r2 ≄r3+ r4 ≄fn-1+fn-2=fn b=r1 ≄ r2+ r3 ≄ fn+fn-1=fn+1 ChĂł Ăœ r»ng, d·y sĂš {fn} nhËn ¼−üc chÝnh l” d·y sĂš Fibonaci quen thuĂ©c trong sĂš hĂ€c. §Úi vĂ­i d·y sĂš n”y, b»ng quy nÂčp, dÔ chĂžng minh −íc l−üng sau Ÿ©y: fn>( 1 5 2 + )n-2 . TĂ” bÊt ÂźÂŒng thĂžc b≄fn+1 ta cĂŁ: log10b≄ (n-1)log10( 1 5 2 + )>(n-1)/5 §Þnh lÝ ¼−üc chĂžng minh. HÖ qu¶ 2.6. Gi¶ sö a<b, khi Ÿã sĂš cžc phÐp tÝnh bit cÇn thiÕt ¼Ó thĂčc hiÖn thuËt tožn Euclid l” O((log2a)3 ). V n M a th .C o m V n M a th .C o m
  • 15. 13 ThËt vËy, sĂš phÐp chia ph¶i l”m l” O(log2a), v” mçi phÐp chia cÇn O((log2a)2 ) phÐp tÝnh bit. ThuËt tožn Euclid, mÆc dĂŻ Ÿ· ra ÂźĂȘi h”ng ngh×n nšm, vÉn l” thuËt tožn tĂšt nhÊt ¼Ó t×m ŠCLN cña hai sĂš nguyÂȘn cho tr−íc! Cho ¼Õn nšm 1967, J.Stein x©y dĂčng ¼−üc mĂ©t thuËt tožn khž thuËn tiÖn ¼Ó t×m ŠCLN trong tr−ĂȘng hĂźp cžc sĂš Ÿ· cho ¼−üc viÕt d−íi dÂčng nhÞ ph©n. Šu ÂźiÓm chñ yÕu cña thuËt tožn n”y l” ta kh«ng cÇn l”m cžc phÐp tÝnh chia (thĂčc ra ta cĂŁ l”m phÐp chia sĂš chÂœn cho 2, nh−ng trong cÂŹ sĂš 2 th× Ÿã l” phÐp dÞch chuyÓn sĂš Ÿ· cho sang ph¶i mĂ©t vÞ trÝ). ThuËt tožn dĂča trÂȘn nhĂ·ng nhËn xÐt Ÿn gi¶n sau (xem phÇn b”i tËp cuĂši ch−¬ng): 1) NÕu a,b l” cžc sĂš chÂœn, th× (a,b)=2(a/2,b/2). 2) NÕu a chÂœn, b lÎ, th× (a,b)=(a/2,b). 3) NÕu a,b ¼Òu lÎ th× a-b chÂœn v” |a-b|<max(a,b). 4) (a,b)=(a-b,b). ThuËt tožn Ÿã ¼−üc m« t¶ nh− sau ( chĂłng t«i d”nh phÇn chĂžng minh cho Ÿéc gi¶). ThuËt tožn t×m ŠCLN cña hai sĂš nguyÂȘn d−¬ng a,b. E’1. (T×m luĂŒ thĂ”a cña 2) §Æt k←0 v” lËp liÂȘn tiÕp phÐp tÝnh sau cho ¼Õn khi Ýt nhÊt mĂ©t trong hai sĂš a, b lÎ: ¼Æt k←k+1, a←a/2, b←b/2. E’2. (XuÊt phžt). (Ă« b−íc xuÊt phžt n”y, a, b ¼Òu Ÿ· ¼−üc chia cho 2k , v” cĂŁ Ýt nhÊt mĂ©t trong hai sĂš l” lÎ). NÕu a lÎ, ¼Æt t←-b v” chuyÓn sang E’4. NÕu ng−üc lÂči, ¼Æt t←a. E’3. (Chia Ÿ«i t). (TÂči thĂȘi ÂźiÓm n”y, t chÂœn, khžc 0). §Æt t←t/2. E’4. (t cĂŁ chÂœn hay kh«ng?) NÕu t chÂœn quay vÒ E’3. E’5. (SŸp xÕp lÂči max(a,b)). NÕu t>0, ¼Æt a←t; nÕu ng−üc lÂči, ¼Æt b←-t. Nh− vËy, sĂš lĂ­n nhÊt trong hai sĂš Ÿ· ¼−üc thay bĂ«i |t|. E’6. (TrĂ”) §Æt t←a-b. NÕu t ≠ 0, quay lÂči E’3. NÕu ng−üc lÂči thuËt tožn kÕt thĂłc v” in ra a.2k . Ngo”i thuËt tožn Euclid nĂŁi trÂȘn, trong nhiÒu tr−ĂȘng hĂźp, ta cÇn ¼Õn thuËt tožn Euclid mĂ« rĂ©ng. ThuËt tožn n”y kh«ng nhĂ·ng cho ta thuËt tožn t×m ŠCLN cña hai sĂš a, b, m” cßn cho ta biÓu diÔn d=(a,b) d−íi dÂčng tĂŠ hĂźp tuyÕn tÝnh cña a, b: d=ma+nb, trong Ÿã m, n l” cžc sĂš nguyÂȘn. Tr−íc hÕt, ta chĂžng minh bĂŠ ¼Ò sau: BĂŠ ¼Ò 2.7: ŠCLN cña cžc sĂš nguyÂȘn a v” b l” sĂš d d−¬ng nhĂĄ nhÊt biÓu diÔn ¼−üc d−íi dÂčng tĂŠ hĂźp tuyÕn tÝnh cña a v” b. V n M a th .C o m V n M a th .C o m
  • 16. 14 ThËt vËy, gi¶ sö d l” sĂš nguyÂȘn d−¬ng nhĂĄ nhÊt biÓu diÔn ¼−üc d−íi dÂčng d=ma+nb. Ta chĂžng tĂĄ d l” −íc chung cña a v” b. XÐt phÐp chia a=dq+r, trong Ÿã 0≀r<d. RĂą r”ng r cĂČng l” mĂ©t tĂŠ hĂźp tuyÕn tÝnh cña a v” b, nÂȘn do d l” sĂš nguyÂȘn d−¬ng nhĂĄ nhÊt cĂŁ tÝnh chÊt Ÿã, r=0. T−¬ng tĂč, d l” −íc cña b. DÔ thÊy r»ng, mĂ€i −íc chung khžc cña a v” b cĂČng l” −íc cña d: vËy d chÝnh l” −íc chung lĂ­n nhÊt. Khi cho hai sĂš a, b, ¼Ó t×m biÓu diÔn cña d nh− trong bĂŠ ¼Ò, ta th−ĂȘng l” nh− sau: viÕt a=bv+q, 0≀q<b. Sau Ÿã,lÂči viÕt b=uq+r=u(a-bv)+r, 0≀r<q. TiÕp tĂŽc quž tr×nh Ÿã, do cžc sĂš d− q, r gi¶m dÇn nÂȘn ta thu ¼−üc biÓu diÔn cÇn thiÕt. §iÒu vĂ”a nĂŁi ¼−üc thÓ hiÖn trong thuËt tožn sau Ÿ©y, m” chĂžng minh chÆt chÏ ¼−üc d”nh cho Ÿéc gi¶. ThuËt tožn Euclid mĂ« rĂ©ng. Cho hai sĂš nguyÂȘn kh«ng ©m u, v, t×m (u1,u2,u3) sao cho (u,v)=u3=uu1+vu2. Trong tÝnh tožn, ta thÂȘm v”o cžc Èn phĂŽ (v1,v2,v3), (t1,t2,t3) v” lu«n cĂŁ trong mĂ€i b−íc cžc ÂźÂŒng thĂžc sau Ÿ©y: ut1+vt2=t3, uv1+vv2=v3, uu1+vu2=u3. Ed1.(XuÊt phžt). §Æt (u1,u2,u3)←(1,0,u), (v1,v2,v3) ←(0,1,v). Ed2. (KiÓm tra v3=0?) NÕu v3=0, thuËt tožn kÕt thĂłc. Ed3. (Chia, trĂ”). §Æt q← [u3/v3], v” sau Ÿã ¼Æt (t1,t2,t3)←(u1,u2,u3)-q(v1,v2,v3), (v1,v2,v3)←(t1,t2,t3) v” quay vÒ b−íc 2. VÝ dĂŽ. Cho a=63, b=24. DĂŻng thuËt tožn Euclid ta cĂŁ: - B−íc 1. u1=1, u2=0, u3=63, v1=0, v2=1, v3 =24. - B−íc 2. q=2, u1 =0, u2=1, u3=24, v1=1, v2=-2, v3=15. - B−íc 3. q=1, u1=1, u2=-2, u3=15, v1=-1, v2=3, v3=9. - B−íc 4. q=1, u1=-1, u2=3, u3=9, v1=2, v2=-5, v3=6. - B−íc 5. q=1, u1=2, u2=-5, u3=6, v1=-3, v2=8, v3=3. - B−íc 6. q=2, u1=-3, u2=8, u3=3, v1=8, v2=-21, v3=0. Ta cĂŁ biÓu diÔn: 3=(-3)64+8.24. §4. §Þnh lÝ Trung QuĂšc vÒ phÇn d−: Gi¶ sö m1,m2,...,mr l” cžc sĂš nguyÂȘn d−¬ng nguyÂȘn tĂš cĂŻng nhau tĂ”ng cÆp. Khi Ÿã hÖ ŸÄng d−: x1 ≡ a1(mod m1), x2 ≡ a2(mod m2), V n M a th .C o m V n M a th .C o m
  • 17. 15 ... ... ... xr ≡ ar(mod mr). CĂŁ nghiÖm duy nhÊt modulo M=m1m2...mr. ChĂžng minh. Tr−íc hÕt ta x©y dĂčng mĂ©t nghiÖm cña hÖ. Gi¶ sö Mk=M/mk= m1m2...mk-1mk+1...mr. Ta biÕt r»ng (Mk,mk)=1 v× (mj,mk)=1 vĂ­i mĂ€i j ≠ k. Nh− vËy, theo b”i tËp 2.18 ta cĂŁ thÓ t×m mĂ©t nghÞch ٦o yk cña Mk modulo mk, tĂžc l” Mkyk ≡ 1 (mod mk). §Æt x=a1M1y1+ a2M2y2 +...+ arMryr . Ta thÊy r»ng x ≡ ak(mod mk) vĂ­i mĂ€i k v× mk |Mj vĂ­i j ≠ k nÂȘn Mj ≡ 0 (mod mk) khi j ≠ k. Nh− vËy, x chÝnh l” mĂ©t nghiÖm cña hÖ Âźang xÐt. Ta chĂžng tĂĄ r»ng nghiÖm vĂ”a x©y dĂčng l” duy nhÊt modulo M. Gi¶ sö x0, x1 l” hai nghiÖm cña hÖ. Khi Ÿã, vĂ­i mçi k, x0 ≡ x1 ≡ ak (mod mk), cho nÂȘn mk | (x0-x1). Theo b”i tËp 2.17, M | (x0-x1). §Þnh lÝ ¼−üc chĂžng minh. §Þnh lÝ Trung QuĂšc vÒ phÇn d− liÂȘn quan b”i tožn nĂŠi tiÕng “H”n TÝn ÂźiÓm binh”. T−¬ng truyÒn r»ng, ¼Ó kiÓm tra qu©n sĂš, H”n TÝn th−ĂȘng ra lÖnh cho qu©n sÜ xÕp th”nh h”ng 3, h”ng 5, h”ng 7 v” th«ng bžo cho «ng cžc sĂš d−. Khi biÕt cžc sĂš d− v” Ÿ· cĂŁ sÂœn th«ng tin gÇn Ÿóng vÒ sĂš qu©n cña m×nh, H”n TÝn dĂŻng ¼Þnh lÝ trÂȘn Ÿ©y ¼Ó suy ra sĂš qu©n chÝnh xžc. §Þnh lÝ Trung QuĂšc vÒ phÇn d− ¼−üc sö dĂŽng trong mžy tÝnh ¼Ó l”m viÖc vĂ­i nhĂ·ng sĂš lĂ­n. §Ó ¼−a mĂ©t sĂš nguyÂȘn lĂ­n tuĂș Ăœ v”o mžy tÝnh v” l”m cžc phÐp tÝnh sĂš hĂ€c vĂ­i chĂłng, ta cÇn cĂŁ nhĂ·ng kÜ thuËt ¼Æc biÖt. Theo ¼Þnh lÝ Trung quĂšc vÒ phÇn d−, khi cho tr−íc cžc modun nguyÂȘn tĂš cĂŻng nhau m1,m2,...,mr, mĂ©t sĂš d−¬ng n<M= m1m2...mr ¼−üc xžc ¼Þnh duy nhÊt bĂ«i cžc thÆng d− d−¬ng bÐ nhÊt cña nĂŁ theo modulo mj vĂ­i j=1,2,...,r. Gi¶ sö r»ng cĂŹ tĂ” cña mžy chØ l” 100, nh−ng ta cÇn l”m cžc phÐp tÝnh sĂš hĂ€c vĂ­i nhĂ·ng sĂš nguyÂȘn cĂŹ 106 . Tr−íc tiÂȘn ta t×m cžc sĂš nguyÂȘn nhĂĄ hÂŹn 100, nguyÂȘn tĂš cĂŻng nhau tĂ”ng cÆp, sao cho tÝch cña chĂłng v−üt quž 106 . ChÂŒng hÂčn, ta cĂŁ thÓ lÊy m1=99, m2=98, m3=97, m4=95. Ta chuyÓn cžc sĂš nguyÂȘn bÐ hÂŹn 106 th”nh nhĂ·ng bĂ© 4 sĂš theo thÆng d− d−¬ng bÐ nhÊt modulo m1,m2,m3,m4 (¼Ó l”m ¼−üc ÂźiÒu n”y, ta cĂČng ph¶i l”m viÖc vĂ­i nhĂ·ng sĂš nguyÂȘn lĂ­n! Tuy nhiÂȘn ÂźiÒu Ÿã chØ cÇn l”m mĂ©t lÇn vĂ­i input, v” mĂ©t lÇn nĂ·a vĂ­i ouput). Nh− vËy, chÂŒng hÂčn ¼Ó cĂ©ng cžc sĂš nguyÂȘn, ta chØ cÇn cĂ©ng cžc thÆng d− d−¬ng bÐ nhÊt cña chĂłng modulo m1,m2,m3,m4. Sau Ÿã lÂči dĂŻng ¼Þnh lÝ Trung QuĂšc vÒ phÇn d− ¼Ó t×m bĂ© 4 sĂš t−¬ng Ăžng vĂ­i tĂŠng. VÝ dĂŽ. Ta muĂšn tÝnh tĂŠng x=123684, y=413456 vĂ­i mĂ©t mžy tÝnh cĂŹ tĂ” l” 100. Ta cĂŁ: x ≡ 33(mod 99), 8(mod 98), 9(mod 97), 89(mod 95) y ≡ 32(mod 99), 92(mod 98), 42(mod 97), 16(mod 95) Nh− vËy, x+y ≡ 65(mod 99), 2(mod 98), 51(mod 97), 10(mod 95) V n M a th .C o m V n M a th .C o m
  • 18. 16 B©y giĂȘi ta dĂŻng ¼Þnh lÝ Trung QuĂšc vÒ phÇn d− ¼Ó t×m x+y modulo M=99.98.97.95=89403930. Ta cĂŁ: M1=M/99=903070, M2=M/98=912288, M3=M/97=921690, M4=M/95=941094. Ta cÇn t×m ng−üc cña Mi(mod yi) vĂ­i i=1,2,3,4, tĂžc l” gi¶i hÖ ph−¬ng tr×nh ŸÄng d− sau Ÿ©y (B»ng thuËt chia Euclid): 903070y1 ≡ 91y1 ≡ 1(mod 99) 912285y2 ≡ 3y2 ≡ 1(mod 98) 921690y3 ≡ 93y3 ≡ 1(mod 97) Ta t×m ¼−üc: y1 ≡ 37(mod 99), y2 ≡ 38(mod 98), y3 ≡ 24(mod 97), y4 ≡ 4(mod 95). Nh− vËy, x+y=65.903070.37+2.912285.33+51.921690.24+10.941094.4=3397886480 ≡ 537140(mod 89403930) V× 0<x+y<89403930, ta suy ra x+y=537140. RÊt cĂŁ thÓ Ÿéc gi¶ cho r»ng, cžch cĂ©ng hai sĂš sö dĂŽng ¼Þnh lÝ Trung QuĂšc vÒ phÇn d− quž phĂžc tÂčp so vĂ­i cžch cĂ©ng th«ng th−ĂȘng. Tuy nhiÂȘn, cÇn chĂł Ăœ r»ng, trong vÝ dĂŽ trÂȘn Ÿ©y, ta l”m viÖc vĂ­i cžc sĂš nhĂĄ. Khi cžc sĂš cÇn cĂ©ng cĂŁ Ÿé lĂ­n v−üt xa cĂŹ tĂ” cña mžy, cžc quy tŸc cĂ©ng “th«ng th−ĂȘng” kh«ng cßn žp dĂŽng ¼−üc nĂ·a. NĂŁi chung cĂŹ tĂ” cña mžy tÝnh l” luĂŒ thĂ”a rÊt lĂ­n cña 2, chÂŒng hÂčn 235 . Nh− vËy, ¼Ó sö dĂŽng ¼Þnh lÝ Trung QuĂšc vÒ phÇn d−, ta cÇn cžc sĂš nhĂĄ hÂŹn 235 nguyÂȘn tĂš cĂŻng nhau tĂ”ng cÆp. §Ó t×m cžc sĂš nguyÂȘn nh− vËy, thuËn tiÖn nhÊt l” dĂŻng cžc sĂš dÂčng 2m -1, trong Ÿã m l” sĂš nguyÂȘn d−¬ng. Cžc phÐp tÝnh sĂš hĂ€c vĂ­i nhĂ·ng sĂš cĂŁ dÂčng nh− vËy t−¬ng ŸÚi Ÿn gi¶n dĂča v”o bĂŠ ¼Ò sau. BĂŠ ¼Ò 2.8. NÕu a v” b l” cžc sĂš nguyÂȘn d−¬ng th× thÆng d− d−¬ng bÐ nhÊt modulo 2b - 1 cña 2a -1 l” 2r -1, trong Ÿã r l” thÆng d− d−¬ng bÐ nhÊt cña a modulo b. ThËt vËy, nÕu a=bq+r, trong Ÿã r l” thÆng d− d−¬ng bÐ nhÊt cña a modulo b, th× ta cĂŁ (2a -1)=(2bq+r -1)=(2b -1)(2b(q-1)+r+...+2b+r +2r )+(2r -1). HÖ qu¶ 2.9. NÕu a v” b l” cžc sĂš nguyÂȘn d−¬ng, th× −íc chung lĂ­n nhÊt cña 2a -1 v” 2b -1 l” 2(a,b) -1. HÖ qu¶ 2.10. Cžc sĂš nguyÂȘn 2a -1 v” 2b -1 nguyÂȘn tĂš cĂŻng nhau khi v” chØ khi a v” b nguyÂȘn tĂš cĂŻng nhau. ChĂłng t«i d”nh viÖc chĂžng minh hai bĂŠ ¼Ò n”y cho Ÿéc gi¶. Ta cĂŁ thÓ sö dĂŽng hÖ qu¶ trÂȘn Ÿ©y ¼Ó t×m cžc sĂš nhĂĄ hÂŹn 235 , nguyÂȘn tĂš cĂŻng nhau tĂ”ng cÆp, sao cho tÝch cña chĂłng lĂ­n hÂŹn mĂ©t sĂš Ÿ· cho. Gi¶ sö ta cÇn l”m cžc phÐp tÝnh sĂš hĂ€c vĂ­i nhĂ·ng sĂš nguyÂȘn cĂŁ cĂŹ 2184 . Ta ¼Æt: m1=235 -1, m2=234 -1, m3=233 -1, m4=231 -1, m5=229 -1, m6=223 -1. V× sĂš mĂČ cña 2 trong cžc sĂš trÂȘn nguyÂȘn tĂš vĂ­i nhau tĂ”ng cÆp, nÂȘn theo hÖ qu¶ trÂȘn, cžc sĂš Ÿ· chĂ€n cĂČng nguyÂȘn tĂš vĂ­i nhsu tĂ”ng cÆp. Ta cĂŁ tÝch m1 m2 m3 m4 m5 m6>2184 . B©y giĂȘ ta cĂŁ thÓ l”m cžc phÐp tÝnh sĂš hĂ€c vĂ­i nhĂ·ng sĂš cĂŹ ¼Õn 2184 . V n M a th .C o m V n M a th .C o m
  • 19. 17 Trong cžc mžy tÝnh hiÖn ÂźÂči, viÖc thĂčc hiÖn nhiÒu phÐp tÝnh ¼−üc tiÕn h”nh ŸÄng thĂȘi. V× thÕ viÖc sö dĂŽng ¼Þnh lÝ Trung QuĂšc vÒ phÇn d− nh− trÂȘn lÂči c”ng tiÖn lĂźi: thay cho viÖc l”m cžc phÐp tÝnh vĂ­i cžc sĂš nguyÂȘn lĂ­n, ta l”m nhiÒu phÐp tÝnh ŸÄng thĂȘi vĂ­i nhĂ·ng sĂš nguyÂȘn bÐ hÂŹn. §iÒu Ÿã gi¶m Ÿžng kÓ thĂȘi gian tÝnh tožn. V n M a th .C o m V n M a th .C o m
  • 20. 18 ThuËt tožn gi¶i ph−¬ng tr×nh ŸÄng d− b»ng ¼Þnh lÝ Trung QuĂšc TĂ” chĂžng minh ¼Þnh lÝ Trung QuĂšc vÒ phÇn d−, ta cĂŁ thuËt tožn sau Ÿ©y ¼Ó gi¶i hÖ ph−¬ng tr×nh ŸÄng d− x ≡ xi (mod mi), trong Ÿã mi, 1≀ i≀k l” cžc sĂš nguyÂȘn tĂš vĂ­i nhau tĂ”ng cÆp, xi l” cžc sĂš nguyÂȘn cho tr−íc. Trong thuËt tožn tr×nh b”y sau Ÿ©y, chĂłng ta Ÿ· t×m ra cžch ¼Ó tržnh ph¶i l”m viÖc vĂ­i cžc sĂš lĂ­n nh− Mi v” aiMi. ThuËt tožn. 1. (XuÊt phžt). §Æt j←2, C1 ←1. HÂŹn nĂ·a ta sŸp xÕp lÂči cžc sĂš mi theo thĂž tĂč tšng dÇn. 2. (TÝnh tožn sÂŹ bĂ©). §Æt p←m1m2...mj-1(mod mj). TÝnh (u,v,d) sao cho up+vmj=d=UCLN(p,mj) b»ng thuËt tožn Euclid mĂ« rĂ©ng. Ed. NÕu d>0, in ra th«ng bžo: cžc mi kh«ng nguyÂȘn tĂš cĂŻng nhau tĂ”ng cÆp. NÕu ng−üc lÂči, ¼Æt Cj ←u, j←j+1 v” chuyÓn sang b−íc 3 nÕu j≀k. 3. (TÝnh cžc h»ng sĂš phĂŽ). §Æt y1 ←x1 mod m1, v” mçi j=2,...,k tÝnh: yj ←(xj-(y1+m1(y2+m2(y3+...+mj-2yj-1)...))Cjmod mj. 4. (KÕt thĂłc). In ra x← y1+m1(y2+m2(y3+...+mk-1yk)...), v” kÕt thĂłc thuËt tožn. §5. MĂ©t sĂš ŸÄng d− ¼Æc biÖt. §Þnh lÝ Wilson. p l” sĂš nguyÂȘn tĂš khi v” chØ khi (p-1)! ≡ -1 (mod p). ChĂžng minh. Tr−íc tiÂȘn, gi¶ sö p l” sĂš nguyÂȘn tĂš. Khi p=2, ta cĂŁ (p-1)! ≡ 1 ≡ -1(mod 2). B©y giĂȘ gi¶ sö p l” sĂš nguyÂȘn tĂš lĂ­n hÂŹn 2. Theo b”i tËp 2.18, vĂ­i mçi sĂš nguyÂȘn a vĂ­i 1≀a≀p-1, tĂ„n tÂči nghÞch ٦o a , 1≀ a ≀p-1, vĂ­i aa ≡ 1(mod p). Theo b”i tËp 2.13, trong sĂš cžc sĂš nguyÂȘn d−¬ng nhĂĄ hÂŹn p, chØ cĂŁ 1 v” p-1 l” nghÞch ٦o vĂ­i chÝnh nĂŁ. Nh− vËy ta cĂŁ thÓ nhĂŁm cžc sĂš nguyÂȘn tĂ” 2 ¼Õn p-2 th”nh (p-3)/2 cÆp sĂš nguyÂȘn, tÝch cña mçi cÆp ŸÄng d− vĂ­i 1 modulo p. Nh− vËy ta cĂŁ: 2.3.....(p-3)(p-2) ≡ 1 (mod p) Nh©n hai vÕ vĂ­i 1 v” p-1 ta ¼−üc: (p-1)! ≡ 1.2.3...(p-2)(p-1) ≡ 1(p-1) ≡ -1(mod p) Ng−üc lÂči gi¶ sö p tho¶ m·n ŸÄng d− phžt biÓu trong ¼Þnh lÝ v” a l” mĂ©t −íc sĂš cña p, a<p. Khi Ÿã, a | (p-1)!. Nh−ng theo gi¶ thiÕt, p | (p-1)!+1, tĂ” Ÿã suy ra a=1, v× l” −íc chung cña p v” (p-1)!. VËy p l” sĂš nguyÂȘn tĂš, ¼Þnh lÝ ¼−üc chĂžng minh. V n M a th .C o m V n M a th .C o m
  • 21. 19 §Þnh lÝ Wilson cĂŁ thÓ ¼−üc dĂŻng ¼Ó kiÓm tra mĂ©t sĂš cĂŁ ph¶i l” sĂš nguyÂȘn tĂš hay kh«ng. Tuy nhiÂȘn , dÔ thÊy r»ng, thuËt tožn dĂča theo ¼Þnh lÝ Wilson khĂŁ cĂŁ thÓ sö dĂŽng vĂ­i nhĂ·ng sĂš nguyÂȘn lĂ­n, bĂ«i v× sĂš cžc phÐp tÝnh bit ¼ßi hĂĄi quž cao. §Ó Ÿn gi¶n, ta gĂ€i c«ng viÖc xem xÐt mĂ©t sĂš Ÿ· cho cĂŁ ph¶i l” sĂš nguyÂȘn tĂš hay kh«ng l” kiÓm tra nguyÂȘn tĂš. §Þnh lÝ sau Ÿ©y cĂŁ nhiÒu Ăžng dĂŽng trong kiÓm tra nguyÂȘn tĂš. §Þnh lÝ Fermat bÐ. NÕu p l” sĂš nguyÂȘn tĂš v” a l” sĂš kh«ng chia hÕt cho p th× ap-1 ≡ 1(mod p). ChĂžng minh. XÐt p-1 sĂš nguyÂȘn a, 2a,..., (p-1)a. Cžc sĂš Ÿã ¼Òu kh«ng chia hÕt cho p v” kh«ng cĂŁ hai sĂš n”o ŸÄng d− modulo p. Nh− vËy, cžc thÆng d− d−¬ng bÐ nhÊt cña chĂłng ph¶i l” 1, 2,... p-1, xÕp theo thĂž tĂč n”o Ÿã. TĂ” Ÿã ta cĂŁ: a.2a.....(p-1) ≡ 1...(p-1) ≡ (p-1)!(mod p) tĂžc l” ap-1 (p-1)! ≡ 1(mod p) V× ((p-1)!,p)=1 nÂȘn ta cĂŁ ap-1 ≡ 1(mod p). HÖ qu¶ 2.11. NÕu p l” sĂš nguyÂȘn tĂš v” a l” sĂš nguyÂȘn d−¬ng th× ap ≡ a(mod p). HÖ qu¶ 2.12. NÕu p l” sĂš nguyÂȘn tĂš v” a l” sĂš nguyÂȘn kh«ng chia hÕt cho p th× ap-2 l” nghÞch ٦o cña a modulo p. HÖ qu¶ 2.13. NÕu a v” b l” cžc sĂš nguyÂȘn d−¬ng, p nguyÂȘn tĂš, p|a th× cžc nghiÖm cña ŸÄng d− thĂžc tuyÕn tÝnh ax ≡ b(mod p) l” cžc sĂš nguyÂȘn x sao cho x ≡ ap-2 b(mod p). §6. SĂš gi¶ nguyÂȘn tĂš. Theo ¼Þnh lÝ Fermat, nÕu n l” sĂš nguyÂȘn tĂš v” b l” sĂš nguyÂȘn tuĂș Ăœ, th× bn ≡ b(mod n). Do Ÿã nÕu tĂ„n tÂči sĂš b sao cho bn /≡ b(mod n) th× n ph¶i l” hĂźp sĂš. Trong nhiÒu Ăžng dĂŽng , chĂłng ta lÂči cÇn ¼Õn cžc thuËt tožn ¼Ó chØ ra mĂ©t sĂš n l” sĂš nguyÂȘn tĂš. Trong tr−ĂȘng hĂźp n”y, ta kh«ng thÓ dĂŻng ¼Þnh lÝ Fermat bÐ, v× ¼Þnh lÝ ng−üc cña nĂŁ kh«ng Ÿóng. Tuy nhiÂȘn, nÕu mĂ©t sĂš nguyÂȘn tho¶ m·n cžc gi¶ thiÕt cña ¼Þnh lÝ Fermat bÐ th× “cĂŁ nhiÒu kh¶ nšng” nĂŁ l” mĂ©t sĂš nguyÂȘn tĂš! Ta cĂŁ ¼Þnh nghÜa sau Ÿ©y. §Þnh nghÜa 2.14. Gi¶ sö b l” mĂ©t sĂš nguyÂȘn d−¬ng. NÕu n l” hĂźp sĂš nguyÂȘn d−¬ng v” bn ≡ b(mod n) th× n ¼−üc gĂ€i l” sĂš gi¶ nguyÂȘn tĂš cÂŹ sĂ« b. Trong tr−ĂȘng hĂźp (n,b)=1, ta th−ĂȘng dĂŻng ¼Þnh nghÜa t−¬ng ¼−¬ng: bn-1 ≡ b(mod n). VÝ dĂŽ. SĂš nguyÂȘn 561=3.11.17 l” sĂš gi¶ nguyÂȘn tĂš cÂŹ sĂ« 2. ThËt vËy, žp dĂŽng ¼Þnh lÝ Fermat bÐ, ta cĂŁ 2560 =(22 )280 ≡ 1(mod 3), 2560 =(210 )56 ≡ 1(mod 11), 2560 =(216 )35 ≡ 1(mod 17). TĂ” Ÿã suy ra (b”i tËp 2.12) 2560 ≡ 1(mod 561). V n M a th .C o m V n M a th .C o m
  • 22. 20 NĂŁi chung cžc sĂš gi¶ nguyÂȘn tĂš Ýt hÂŹn nhiÒu so vĂ­i cžc sĂš nguyÂȘn tĂš. ChÂŒng hÂčn, cĂŁ tÊt c¶ 4550525112 sĂš nguyÂȘn tĂš bÐ hÂŹn 1010 , nh−ng chØ cĂŁ 14884 sĂš gi¶ nguyÂȘn tĂš cÂŹ sĂ« 2 trong kho¶ng Ÿã. SĂč kiÖn n”y gi¶i thÝch cžch nĂŁi Ă« trÂȘn: Cžc sĂš tho¶ m·n ¼Þnh lÝ Fermat bÐ cĂŁ nhiÒu kh¶ nšng l” sĂš nguyÂȘn tĂš. Tuy nhiÂȘn ŸÚi vĂ­i mĂ€i cÂŹ sĂ« tuĂș Ăœ, sĂš cžc sĂš gi¶ nguyÂȘn tĂš l” v« hÂčn. ChÂŒng hÂčn, ta chĂžng minh ÂźiÒu Ÿã ŸÚi vĂ­i cÂŹ sĂ« 2. §Þnh lÝ 2.15. CĂŁ v« sĂš sĂš gi¶ nguyÂȘn tĂš cÂŹ sĂ« 2. ChĂžng minh. Gi¶ sö n l” mĂ©t sĂš gi¶ nguyÂȘn tĂš cÂŹ sĂ« 2, ta sÏ chĂžng tĂĄ r»ng, m=2n -1 cĂČng l” sĂš gi¶ nguyÂȘn tĂš cÂŹ sĂ« 2. Theo gi¶ thiÕt, n l” hĂźp sĂš, chÂŒng hÂčn n=dt (1<d,t<n), v” 2n-1 ≡ 1(mod n). DÔ thÊy r»ng m l” hĂźp sĂš, v× (2d -1) | (2n -1)=m. Do n l” gi¶ nguyÂȘn tĂš, tĂ„n tÂči k sao cho 2n -2=kn. Ta cĂŁ 2m-1 =2kn , v” do Ÿã, m=(2n -1)|(2nk -1)=2m-1 -1, tĂžc l” 2m-1 ≡ 1(mod m). VËy sĂš m l” gi¶ nguyÂȘn tĂš cÂŹ sĂ« 2. Nh− vËy, ¼Ó kiÓm tra mĂ©t sĂš cĂŁ ph¶i l” sĂš nguyÂȘn tĂš hay kh«ng, tr−íc tiÂȘn ta xem nĂŁ cĂŁ l” gi¶ nguyÂȘn tĂš cÂŹ sĂ« 2 hay kh«ng, sau Ÿã cĂŁ thÓ tiÕp tĂŽc kiÓm tra ŸÚi vĂ­i cžc cÂŹ sĂ« khžc. Tuy nhiÂȘn, tĂ„n tÂči cžc sĂš gi¶ nguyÂȘn tĂš vĂ­i mĂ€i cÂŹ sĂ«, Ÿã l” cžc sĂš Carmichael. §Þnh nghÜa 2.16. HĂźp sĂš nguyÂȘn n tho¶ m·n bn-1 ≡ 1(mod n) vĂ­i mĂ€i sĂš nguyÂȘn d−¬ng b sao cho (n,b)=1 ¼−üc gĂ€i l” sĂš Carmichael. VÝ dĂŽ. SĂš nguyÂȘn 561=3.11.17 l” mĂ©t sĂš Carmichael. ThËt vËy, nÕu (b,561)=1 th× (b,3)=(b,11)=(b,17)=1. Theo ¼Þnh lÝ Fermat bÐ, ta cĂŁ b2 ≡ 1(mod 3), b10 ≡ 1(mod 11), b16 ≡ 1(mod 17). Do Ÿã, viÕt 560=2.280=10.56=16.35 ta ¼−üc: b560 =(b2 )280 ≡ 1(mod 3), b560 =(b10 )56 ≡ 1(mod 11), b560 =(b16 )35 ≡ 1(mod 17). TĂ” Ÿã suy ra (b”i tËp 2.12): b560 ≡ 1(mod 561). Gi¶ thuyÕt sau Ÿ©y mĂ­i ¼−üc chĂžng minh rÊt gÇn Ÿ©y ([AGP]): tĂ„n tÂči v« hÂčn sĂš Carmichael. §Þnh lÝ sau Ÿ©y cho mĂ©t cžch t×m sĂš Carmichael. §Þnh lÝ 2.17. NÕu n=q1q2...qk, trong Ÿã qj l” cžc sĂš nguyÂȘn tĂš khžc nhau tho¶ m·n (qj-1) |(n-1), th× n l” sĂš Carmichael. ThËt vËy, gi¶ sö b l” sĂš nguyÂȘn d−¬ng, (b,n)=1. Khi Ÿã, (b,qj)=1 vĂ­i mĂ€i j, v” b q q j j − ≡ 1 1(mod ) . V× (qj-1) |(n-1) nÂȘn bn-1 ≡ 1(mod qj), v” do Ÿã, bn-1 ≡ 1(mod n). PhÇn ٦o cña ¼Þnh lÝ trÂȘn Ÿ©y cĂČng Ÿóng, tuy nhiÂȘn ¼−üc chĂžng minh hÂŹi d”i nÂȘn ta sÏ bĂĄ qua. §éc gi¶ n”o quan t©m cĂŁ thÓ t×m ŸÀc trong [Ro]. Nh− vËy, viÖc kiÓm tra nguyÂȘn tĂš sÏ khĂŁ khšn khi gÆp ph¶i cžc sĂš Carmicheal. Tuy nhiÂȘn, ta cĂŁ thÓ khŸc phĂŽc b»ng cžch sau Ÿ©y. NÕu gÆp ŸÄng d− bn-1 ≡ 1(mod n), ta chuyÓn sang xÐt ŸÄng d− b(n--1)/2 ≡ x(mod n). NÕu n l” sĂš nguyÂȘn tĂš th× x ≡ 1 hoÆc x ≡ -1(mod n), ng−üc lÂči th× n ph¶i l” hĂźp sĂš (b”i tËp 2.22). V n M a th .C o m V n M a th .C o m
  • 23. 21 VÝ dĂŽ, vĂ­i sĂš Carmicheal bÐ nhÊt 561 ta cĂŁ: 5(561-1)/2 =5280 ≡ 67(mod 561). VËy, 561 l” hĂźp sĂš. VÒ sau, ta sÏ ¼Ò cËp ¼Õn nhĂ·ng thuËt tožn kiÓm tra nguyÂȘn tĂš hiÖn ÂźÂči. Trong phÇn n”y, ¼Ó thÊy thÂȘm Ăžng dĂŽng cña cžc ¼Þnh lÝ ŸÄng d− vĂ”a tr×nh b”y, ta t×m hiÓu v”i thuËt tožn Ÿn gi¶n. §Þnh nghÜa 2.18. Gi¶ sö n l” sĂš nguyÂȘn d−¬ng lÎ, n-1=2s t, trong Ÿã s l” sĂš nguyÂȘn kh«ng ©m, t l” sĂš nguyÂȘn d−¬ng lÎ. Ta nĂŁi n tr¶i qua ¼−üc kiÓm tra Miller cÂŹ sĂ« b, nÕu hoÆc bt ≡ 1(mod n), hoÆc b2 j t ≡ -1(mod n), vĂ­i j n”o Ÿã, 0≀j≀s-1. Ta chĂžng tĂĄ r»ng, nÕu n l” sĂš nguyÂȘn tĂš th× n tr¶i qua ¼−üc kiÓm tra Miller cÂŹ sĂ« b vĂ­i mĂ€i sĂš b sao cho n|b. ThËt vËy, gi¶ sö n-1=2s t. §Æt xk=b(n-1)/2 k =b2 s kt− , vĂ­i k=0,1,...,s. V× n l” sĂš nguyÂȘn tĂš nÂȘn x0 ≡ 1(mod n). Do Ÿã x1 2 ≡ 1(mod n), tĂžc l” x1 ≡ 1(mod n) hoÆc x1 ≡ -1(mod n). TiÕp tĂŽc quž tr×nh nh− vËy ta sÏ Âźi ¼Õn kÕt luËn r»ng, hoÆc xk ≡ 1(mod n) vĂ­i k=0,1,...,s, hoÆc xk ≡ -1(mod n) vĂ­i mĂ©t sĂš nguyÂȘn k n”o Ÿã. Nh− vËy n tr¶i qua ¼−üc kiÓm tra Miller cÂŹ sĂ« b. DÔ thÊy r»ng, nÕu n tr¶i qua ¼−üc kiÓm tra Miller cÂŹ sĂ« b th× n sÏ l” sĂš gi¶ nguyÂȘn tĂš cÂŹ sĂ« b. Ta cĂŁ ¼Þnh nghÜa sau. §Þnh nghÜa 2.19. n ¼−üc gĂ€i l” sĂš gi¶ nguyÂȘn tĂš mÂčnh cÂŹ sĂ« b nÕu nĂŁ l” hĂźp sĂš v” tr¶i qua ¼−üc kiÓm tra Miller cÂŹ sĂ« b. Nh− vËy cžc sĂš gi¶ nguyÂȘn tĂš mÂčnh lÂči cßn Ýt hÂŹn cžc sĂš gi¶ nguyÂȘn tĂš. Tuy nhiÂȘn, ta cĂŁ ¼Þnh lÝ sau. §Þnh lÝ 2.20. TĂ„n tÂči v« sĂš sĂš gi¶ nguyÂȘn tĂš mÂčnh cÂŹ sĂ« 2. ThËt vËy, gi¶ sö n l” mĂ©t sĂš gi¶ nguyÂȘn tĂš cÂŹ sĂ« 2. Khi Ÿã, 2n-1 =nk vĂ­i sĂš nguyÂȘn lÎ k n”o Ÿã. §Æt N=2n -1, ta cĂŁ N-1=2n -2=2(2n-1 -1)=2nk; nghÜa l” n l” hĂźp sĂš. MÆt khžc, 2(N-1)/2 =2nk =(2n )k ≡ 1(mod N). VËy vĂ­i mçi sĂš gi¶ nguyÂȘn tĂš n, ta x©y dĂčng ¼−üc sĂš gi¶ nguyÂȘn tĂš mÂčnh N v” cžc sĂš n khžc nhau cho ta cžc sĂš N khžc nhau: ¼Þnh lÝ ¼−üc chĂžng minh, bĂ«i v× cĂŁ v« sĂš gi¶ nguyÂȘn tĂš cÂŹ sĂ« 2. Ta cĂŁ thÓ dĂŻng kiÓm tra Miller ¼Ó kiÓm tra nguyÂȘn tĂš nhĂ·ng sĂš kh«ng lĂ­n lŸm. Ta biÕt r»ng, sĂš gi¶ nguyÂȘn tĂš mÂčnh lÎ cĂŁ sĂ« 2 bÐ nhÊt l” 2047. Nh− vËy, nÕu n lÎ v” n<2047, th× n l” nguyÂȘn tĂš nÕu nĂŁ tr¶i qua kiÓm tra Miller. T−¬ng tĂč nh− vËy, sĂš 1373653, l” sĂš gi¶ nguyÂȘn tĂš mÂčnh lÎ bÐ nhÊt cÂŹ sĂ« 2 v” 3, ¼−üc dĂŻng ¼Ó kiÓm tra nguyÂȘn tĂš nhĂ·ng sĂš bÐ hÂŹn nĂŁ. §Úi vĂ­i cÂŹ sĂ« 2,3 v” 5, sĂš gi¶ nguyÂȘn tĂš mÂčnh lÎ bÐ nhÊt l” 25326001, trong tr−ĂȘng hĂźp cÂŹ sĂ« 2,3,5,7,sĂš t−¬ng Ăžng l” 3215031751. Trong nhĂ·ng sĂš nhĂĄ hÂŹn 25.109 , chØ cĂŁ mĂ©t sĂš gi¶ nguyÂȘn tĂš lÎ vĂ­i cÂŹ sĂ« 2,3,5,7, Ÿã l” 3251031751. Nh− vËy, nÕu n<25.109 l” sĂš lÎ tr¶i qua kiÓm tra Miller, th× n l” sĂš nguyÂȘn tĂš nÕu nĂŁ khžc vĂ­i 3251031751. V n M a th .C o m V n M a th .C o m
  • 24. 22 Cžch l”m trÂȘn Ÿ©y chØ žp dĂŽng ¼−üc khi cÇn kiÓm tra nguyÂȘn tĂš nhĂ·ng sĂš kh«ng lĂ­n. §Úi vĂ­i nhĂ·ng sĂš lĂ­n, ta cĂŁ thÓ dĂŻng thuËt tožn xžc suÊt dĂča trÂȘn ¼Þnh lÝ sau Ÿ©y: §Þnh lÝ 2.21. NÕu n l” mĂ©t hĂźp sĂš d−¬ng lÎ th× tĂ„n tÂči kh«ng quž (n-1)/4 cÂŹ sĂ« b, 1≀b≀n-1, sao cho n tr¶i qua ¼−üc kiÓm tra Miller ŸÚi vĂ­i cžc cÂŹ sĂ« Ÿã. §Þnh lÝ trÂȘn Ÿ©y ¼−üc chĂžng minh dĂča v”o khži niÖm chØ sĂš m” ta kh«ng tr×nh b”y Ă« Ÿ©y. §éc gi¶ n”o quan t©m cĂŁ thÓ t×m ŸÀc trong[Ro]. NhĂȘ ¼Þnh lÝ 2.21, ta cĂŁ thÓ kÕt luËn n l” mĂ©t hĂźp sĂš nÕu thÊy nĂŁ tr¶i qua kiÓm tra Miller vĂ­i hÂŹn (n-1)/4 cÂŹ sĂ«. Tuy nhiÂȘn, viÖc kiÓm tra nh− thÕ ¼ßi hĂĄi quž nhiÒu thĂȘi gian. TĂ” ¼Þnh lÝ 2.21 suy ra r»ng, nÕu sĂš b ¼−üc chĂ€n ngÉu nhiÂȘn trong kho¶ng 1≀b≀n-1 th× n tr¶i qua kiÓm tra Miller cÂŹ sĂ« b vĂ­i xžc suÊt bÐ hÂŹn 1/4. Nh− vËy, nÕu ta chĂ€n k sĂš ngÉu nhiÂȘn th× xžc suÊt ¼Ó n tr¶i qua kiÓm tra Miller ŸÚi vĂ­i k cÂŹ sĂ« Ÿã sÏ bÐ hÂŹn 1/4k . Khi k ŸñlĂ­n, vÝ dĂŽ k=20, xžc suÊt Ÿã quž nhĂĄ, nÂȘn vĂ­i n tr¶i qua vĂ­i 20 cÂŹ sĂ« ngÉu nhiÂȘn th× cĂŁ thÓ tin “hÇu chŸc chŸn” r»ng n l” sĂš nguyÂȘn tĂš. TĂ” Ÿã ta cĂŁ thuËt tožn xžc suÊt sau Ÿ©y. ThuËt tožn Rabin-Miller (1980) Cho N≄3 lÎ, thuËt tožn sau Ÿ©y xžc ¼Þnh r»ng N l” mĂ©t hĂźp sĂš, hoÆc in ra th«ng bžo N l” sĂš nguyÂȘn tĂš vĂ­i xžc suÊt lĂ­n hÂŹn 1-1/420 . RM1. (XuÊt phžt). §Æt q←N-1, t←0, v” nÕu q chÂœn ¼Æt q←q/2, t←t+1 (b©y giĂȘ ta cĂŁ N-1=2t q, vĂ­i q lÎ). Sau Ÿã ¼Æt c←20. RM2. (ChĂ€n a mĂ­i). ChĂ€n ngÉu nhiÂȘn sĂš a trong kho¶ng 1<a<N. §Æt e←0, b←aq mod N. NÕu b=1, chuyÓn sang RM4. RM3.(B×nh ph−¬ng). NÕu b /≡ ± 1(mod N) v” e<t-2, ta ¼Æt b←b2 mod N, e←e+1. NÕu b ≠ N-1, in ra th«ng bžo “n l” hĂźp sù” v” kÕt thĂłc thuËt tožn. RM4. §Æt c←c-1. NÕu c>0, chuyÓn sang RM2. NÕu c=0, in ra th«ng bžo “N l” sĂš nguyÂȘn tù”. §7. Ph©n sĂš liÂȘn tĂŽc. Gi¶ sö a,b l” cžc sĂš nguyÂȘn d−¬ng, a>b. Khi Ÿã, ph©n sĂš a/b cĂŁ thÓ viÕt d−íi dÂčng: a b a c b a b c = + = +0 0 0 0 1 . Ph©n sĂš b/c0 lÂči cĂŁ thÓ biÓu diÔn d−íi dÂčng t−¬ng tĂč nh− vËy, v” cuĂši cĂŻng ta nhËn ¼−üc: V n M a th .C o m V n M a th .C o m
  • 25. 23 a b a a a a o n n = + + +− 1 1 11 1... . Cžch viÕt nh− trÂȘn ¼−üc gĂ€i l” biÓu diÔn sĂš hĂ·u tĂ» a/b d−íi dÂčng ph©n sĂš liÂȘn tĂŽc. §Ó Ÿn gi¶n kÝ hiÖu, ta th−ĂȘng dĂŻng cžch viÕt a/b=[a0;a1,a2,...,an]. Ph©n sĂš liÂȘn tĂŽc [a0;a1,a2,...,an] ¼−üc gĂ€i l” ph©n sĂš liÂȘn tĂŽc hĂ·u hÂčn. DĂŻng thuËt tožn Euclid, cĂŁ thÓ biÓu diÔn mĂ€i sĂš hĂ·u tĂ» d−íi dÂčng ph©n sĂš liÂȘn tĂŽc hĂ·u hÂčn. ThËt vËy, ta cĂŁ a=a0b+c0, b=a1c0+c1,.... Ng−üc lÂči, rĂą r”ng mçi ph©n sĂš hĂ·u hÂčn liÂȘn tĂŽc l” mĂ©t sĂš hĂ·u tĂ». Ta cĂČng cĂŁ thÓ biÓu diÔn mĂ©t sĂš thĂčc tuĂș Ăœ d−íi dÂčng ph©n sĂš liÂȘn tĂŽc. Tuy nhiÂȘn trong tr−ĂȘng hĂźp n”y, ph©n sĂš liÂȘn tĂŽc cĂŁ thÓ kh«ng hĂ·u hÂčn. Cžch l”m cĂČng ho”n to”n t−¬ng tĂč nh− khi l”m vĂ­i cžc sĂš hĂ·u tĂ». Gi¶ sö x l” sĂš thĂčc tuĂș Ăœ. §Æt a0=[x], phÇn nguyÂȘn cña x, v” x0=x-a0 l” phÇn lÎ cña x. TiÕp theo Ÿã, ta ¼Æt a1=[1/x0], x1=1/x0-a1. TĂŁm lÂči ŸÚi vĂ­i mçi sĂš i>1, ¼Æt ai=[1/xi-1], xi=1/xi-1-ai. NÕu Ă« b−íc thĂž i n”o Ÿã, xi=0 th× quž tr×nh kÕt thĂłc (§iÒu n”y x¶y ra khi v” chØ khi x l” sĂš hĂ·u tĂ»). Ng−üc lÂči, ta cĂŁ biÓu diÔn x d−íi dÂčng ph©n sĂš liÂȘn tĂŽc v« hÂčn: [a0;a1,a2,...,an,...]. NhiÒu khi ¼Ó thuËn tiÖn, ta dĂŻng cžch viÕt sau Ÿ©y: x=a a a an 0 1 2 1 1 1 + + + + + + + +... ... Cžc ph©n sĂš liÂȘn tĂŽc ¼Þnh nghÜa nh− trÂȘn vĂ­i cžc sĂš ai nguyÂȘn cßn ¼−üc gĂ€i l” cžc ph©n sĂš liÂȘn tĂŽc Ÿn gi¶n. Khi kh«ng ¼ßi hĂĄi ai l” cžc sĂš nguyÂȘn, m” cĂŁ thÓ l” cžc sĂš thĂčc tuĂș Ăœ, ta cĂČng dĂŻng cžch viÕt x=[a0;a1,a2,...,an]= a a a an 0 1 2 1 1 1 + + + + + +... . Khi cĂŁ mĂ©t ph©n sĂš liÂȘn tĂŽc x=[a0;a1,a2,...,an,...], ta gĂ€i cžc sĂš sau Ÿ©y l” cžc ph©n sĂš hĂ©i tĂŽ riÂȘng cña x: Ck= [a0;a1,a2,...,ak]. §Þnh lÝ 2.22. Gi¶ sö a0,a1,...,an l” cžc sĂš thĂčc, trong Ÿã a0,a1,...,an>0. §Æt p0=a0, q0=1, p1=a0a1+1, q1=a1, v” vĂ­i mçi k≄2, pk=akpk-1+pk-2, qk=akqk-1+qk-2. Khi Ÿã ŸÚi vĂ­i cžc ph©n sĂš hĂ©i tĂŽ riÂȘng Ck ta cĂŁ: Ck= [a0;a1,a2,...,ak]= pk/qk. ChĂžng minh. Ta chĂžng minh b»ng qui nÂčp. VĂ­i k=0, C0=a0=p0/q0. VĂ­i k=1, C1=[a0;a1]=a0+ 1 1a =p1/q1. V n M a th .C o m V n M a th .C o m
  • 26. 24 Ta cĂŁ: Ck+1=[a0;a1,a2,...,ak+1]=a a a ak 0 1 2 1 1 1 1 + + + + + + + ... =[a0;a1,a2,...,ak-1,ak+ 1 1ak+ ]= ( ) ( ) a a p p a a q q k k k k k k k k + + + + + − − + − − 1 1 1 1 2 1 1 2 . theo gi¶ thiÕt qui nÂčp. TÝnh tožn Ÿn gi¶n dĂča v”o ¼Þnh nghÜa cžc sĂš pk,qk, ta ¼−üc: Ck+1=pk+1/qk+1. §Þnh lÝ ¼−üc chĂžng minh. §Þnh lÝ 2.23. VĂ­i mĂ€i k≄ 1,ta cĂŁ: pkqk+1-pk-1qk=(-1)k-1 . TĂ” Ÿã ta suy ra ngay r»ng, cžc sĂš pk,qk nguyÂȘn tĂš cĂŻng nhau. §Þnh lÝ 2.24. Ta cĂŁ: C1>C3>C5>... c0<C2<C4>... C2j+1>C2k, vĂ­i mĂ€i j,k lim Ck=x. ChĂžng minh cžc ¼Þnh lÝ trÂȘn (b»ng quy nÂčp) ¼−üc d”nh cho Ÿéc gi¶. CĂŁ thÓ thÊy r»ng, tÂȘn gĂ€i “ph©n sĂš liÂȘn tĂŽc riÂȘng “ ¼−üc gi¶i thÝch b»ng ¼Þnh lÝ trÂȘn Ÿ©y. §Þnh lÝ 2.25. Gi¶ sö n l” mĂ©t sĂš tĂč nhiÂȘn kh«ng chÝnh ph−¬ng v” pk,qk l” cžc ph©n sĂš hĂ©i tĂŽ riÂȘng cña n . Ta ¼Æt α 0 = n , v” cžc sĂš α k , Qk, Pk ¼−üc ¼Þnh nghÜa theo c«ng thĂžc sau: α k = (Pk+ n )/ Qk, ak=[α k ], Pk+1=akQk-Pk Qk+1=(n-Pn+1 2 )Qk Khi Ÿã ta cĂŁ: pk 2 -n qk 2 =(-1)k-1 Qk+1. ChĂžng minh. žp dĂŽng ¼Þnh lÝ vĂ”a chĂžng minh, ta cĂŁ: V n M a th .C o m V n M a th .C o m
  • 27. 25 n =α 0 =[a0;a1,a2,...,ak+1]= a p p a q q k k k k k k + − + − + + 1 1 1 1 . TĂ” Ÿã, v× ak+1= (Pk+1+ n )/ Qk+1, ta ¼−üc: n = ( ) ( ) P n p Q p P n q Q q k k k k k k k k + + − + + − + + + + 1 1 1 1 1 1 . VËy, nqk+(Pk+1qk+Qk+1qk-1) n =(Pk+1pk+Qk+1pk-1) +pk n . TĂ” Ÿã suy ra: nqk= Pk-1pk+ Qk+1pk-1, pk= Pk+1qk+ Qk+1qk-1. Nh©n ÂźÂŒng thĂžc thĂž nhÊt vĂ­i qk, ÂźÂŒng thĂžc thĂž hai vĂ­i pk v” trĂ” ÂźÂŒng thĂžc thĂž hai cho ÂźÂŒng thĂžc thĂž nhÊt, ta thu ¼−üc kÕt qu¶ cÇn chĂžng minh. Sau Ÿ©y ta sÏ žp dĂŽng ph©n sĂš liÂȘn tĂŽc ¼Ó t×m mĂ©t thuËt tožn ph©n tÝch sĂš nguyÂȘn ra thĂ”a sĂš nguyÂȘn tĂš. NĂŁi chÝnh xžc hÂŹn, ta sÏ x©y dĂčng mĂ©t thuËt tožn ¼Ó vĂ­i sĂš tĂč nhiÂȘn n cho tr−íc, t×m −íc sĂš kh«ng tÇm th−ĂȘng (khžc 1 v” n). Ta xuÊt phžt tĂ” nhËn xÐt Ÿn gi¶n sau Ÿ©y: NÕu ta t×m ¼−üc cžc sĂš x, y sao cho x-y ≠ 1 v” x2 -y2 =n th× ta t×m ¼−üc sĂš −íc kh«ng tÇm th−ĂȘng cña n, v× n= x2 -y2 =(x-y)(x+y). B©y giĂȘ, gi¶ sö ta cĂŁ kÕt qu¶ yÕu hÂŹn, chÂŒng hÂčn t×m ¼−üc x,y sao cho x2 ≡ y2 (mod n) v” 0<x<y<n, x+y ≠ n. Khi Ÿã n l” mĂ©t −íc cña tÝch (x-y)(x+y), v” rĂą r”ng n kh«ng l” −íc cña x+y cĂČng nh− x-y. Nh− vËy cžc −íc sĂš chung d1=(n,x-y) v” d2=(n,x+y) l” cžc −íc sĂš kh«ng tÇm th−ĂȘng cña n. Cžc −íc sĂš n”y t×m ¼−üc mĂ©t cžch nhanh chĂŁng nhĂȘ thuËt tožn Euclid. §Þnh lÝ 2.25 cho ta ph−¬ng phžp ¼Ó t×m cžc sĂš x,y cÇn thiÕt. Theo ¼Þnh lÝ 2.25 ta cĂŁ: pk 2 ≡ (-1)k-1 Qk-1 (mod n). Nh− vËy, vÊn ¼Ò l” ph¶i t×m ¼−üc cžc Qk vĂ­i chØ sĂš chÂœn, v” l” mĂ©t sĂš chÝnh ph−¬ng. Mçi lÇn t×m ¼−üc mĂ©t sĂš Q k nh− vËy, ta t×m ¼−üc mĂ©t −íc cña n (cĂČng cĂŁ thÓ x¶y ra tr−ĂȘng hĂźp −íc Ÿã l” tÇm th−ĂȘng: cžc pk,Qk kh«ng nhÊt thiÕt bÐ hÂŹn n nÂȘn ÂźiÒu kiÖn n kh«ng ph¶i l” −íc cña x+y v” x-y cĂŁ thÓ kh«ng tho¶ m·n). VÝ dĂŽ. 1). Ph©n tÝch sĂš 1037 ra thĂ”a sĂš b»ng cžch sö dĂŽng ph©n sĂš liÂȘn tĂŽc. ta cĂŁ α = 1037 =32,2..., Q1=1,Q2=49, p1=129. Nh− vËy, 1292 ≡ 49(mod 1037). Do Ÿã, 1292 -72 =(129-7)(129+7) ≡ 0(mod 1037). TÝnh cžc −íc chung lĂ­n nhÊt, ta ¼−üc: (129-7,1037)=61, (129+7,1037)=17. Ta cĂŁ hai −íc cña 1037, v” trong tr−ĂȘng hĂźp n”y cĂŁ khai triÓn 1037=61.17. V n M a th .C o m V n M a th .C o m
  • 28. 26 2) Ph©n tÝch 1000009. Ta tÝnh ¼−üc Q1=9, Q2=445, Q3=873, Q4=81. Nh− vËy, p3 2 ≡ 92 (mod 100009): ta kh«ng thu ¼−üc −íc kh«ng tÇm th−ĂȘng. TÝnh tožn tiÕp tĂŽc, ta cĂŁ: Q18=16 l” mĂ©t sĂš chÝnh ph−¬ng, p17=494881. B»ng thuËt tožn Ÿ· m« t¶, ta t×m ¼−üc cžc −íc sĂš 293, 3413. V n M a th .C o m V n M a th .C o m
  • 29. 27 B”i tËp v” tÝnh tožn thĂčc h”nh ch−¬ng 2 I. B”i tËp. 2.1. ChuyÓn sĂš (1999) tĂ” cÂŹ sĂš 10 sang cÂŹ sĂš 7, sĂš (6105) tĂ” cÂŹ sĂš 7 sang cÂŹ sĂš 10. 2.2. ChuyÓn cžc sĂš 10001110101 v” 11101001110 tĂ” cÂŹ sĂš 2 sang cÂŹ sĂš 16 (kÝ hiÖu cžc chĂ· sĂš cña cÂŹ sĂš 16 bĂ«i 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E). 2.3. ChĂžng minh r»ng mĂ€i vËt nÆng kh«ng quž 2k -1 (vĂ­i trĂ€ng l−üng l” sĂš nguyÂȘn) ¼Òu cĂŁ thÓ c©n b»ng mĂ©t cži c©n hai ¼Üa, sö dĂŽng cžc qu¶ c©n 1, 2, 22 ,...,2k-1 . 2.4. ChĂžng minh r»ng mĂ€i sĂš nguyÂȘn ¼Òu cĂŁ thÓ biÓu diÔn duy nhÊt d−íi dÂčng ek3k +ek-13k-1 +...+e13+e0, trong Ÿã ej=-1, 0 hoÆc 1; j=0,1,...,k. 2.5. ChĂžng minh r»ng, mĂ€i sĂš thĂčc α ∈R, 0≀ α <1 ¼Òu cĂŁ thÓ biÓu diÔn duy nhÊt d−íi dÂčng cÂŹ sĂš b α = c bj j j / = ∞ ∑1 , 0≀cj ≀b-1, tho¶ m·n ÂźiÒu kiÖn: vĂ­i mĂ€i N, tĂ„n tÂči n≄N ¼Ó cn ≠ b-1. 2.6. žp dĂŽng b”i 2.5, viÕt π trong cÂŹ sĂš 2 vĂ­i 10 chĂ· sĂš sau dÊu phÈy. 2.7. a) ChĂžng minh r»ng mĂ€i sĂš nguyÂȘn d−¬ng n ¼Òu cĂŁ biÓu diÔn Cantor duy nhÊt d−íi dÂčng sau: n=amm!+am-1(m-1)!+...+a22!+a11!. b) T×m khai triÓn Cantor cña 14, 56, 384. 2.8. Gi¶ sö a l” sĂš nguyÂȘn (trong cÂŹ sĂš 10) vĂ­i bĂšn chĂ· sĂš sao cho kh«ng ph¶i mĂ€i chĂ· sĂš l” nh− nhau. a’ l” sĂš nhËn ¼−üc tĂ” a b»ng cžch viÐt cžc chĂ· sĂš theo thĂž tĂč gi¶m dÇn, a’’ l” sĂš nhËn ¼−üc b»ng cžch viÕt cžc chĂ· sĂš theo thĂž tĂč tšng dÇn. §Æt T(a)=a’-a’’. VÝ dĂŽ: T(1998)=9981-1899. a) ChĂžng minh r»ng sĂš nguyÂȘn duy nhÊt (kh«ng ph¶i 4 chĂ· sĂš ¼Òu nh− nhau) sao cho T(a)=a l” a=6174. b) ChĂžng minh r»ng nÕu a l” sĂš nguyÂȘn d−¬ng 4 chĂ· sĂš, kh«ng ph¶i mĂ€i chĂ· sĂš ¼Òu nh− nhau, th× d·y a, T(a), T(T(a)),... nhËn ¼−üc b»ng cžch lÆp phÐp tožn T, sÏ dĂ”ng Ă« sĂš 6174 (¼−üc gĂ€i l” h»ng sĂš Kapreka) 2.9. Šíc l−üng thĂȘi gian cÇn thiÕt ¼Ó tÝnh n!. 2.10. Šíc l−üng thĂȘi gian cÇn thiÕt ¼Ó chuyÓn mĂ©t sĂš k-bit sang hÖ thËp ph©n. 2.11. a) ChĂžng minh r»ng, nÕu A, B l” cžc ma trËn vu«ng cÊp n th× ¼Ó t×m tÝch AB (theo quy tŸc nh©n ma trËn th«ng th−ĂȘng) ta cÇn n3 phÐp nh©n. V n M a th .C o m V n M a th .C o m
  • 30. 28 b) ChĂžng minh r»ng cĂŁ thÓ nh©n hai ma trËn vu«ng cÊp hai m” chØ cÇn 7 phÐp nh©n, nÕu sö dĂŽng ŸÄng nhÊt thĂžc sau Ÿ©y: a a a a b b b b a b a b x a a b b a a a a b x a a b b a b b b b x a a b b a a b b 11 12 21 22 11 12 21 22 11 11 12 21 21 22 12 11 11 12 21 22 22 11 21 22 12 22 11 21 12 22 11 21 22 12 21 22 12 11 ïŁ« ïŁ­ ïŁŹïŁŹ ïŁ¶ ïŁž ïŁ·ïŁ· ïŁ« ïŁ­ ïŁŹïŁŹ ïŁ¶ ïŁž ïŁ·ïŁ·= ïŁ« ïŁ­ ïŁŹ ïŁ¶ ïŁž ïŁ· + + + − + + − − + − − − − − + + − − + + − ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )( ) , trong Ÿã x=a11b11-(a11-a21-a22)( b11-b12+b22). c) B»ng quy nÂčp v” tžch ma trËn 2n× 2n th”nh 4 ma trËn n× n, chĂžng minh r»ng cĂŁ thÓ nh©n hai ma trËn 2k × 2k chØ vĂ­i 7k phÐp nh©n v” kh«ng Ýt hÂŹn 7k+1 phÐp cĂ©ng. d) TĂ” c) suy ra r»ng cĂŁ thÓ nh©n hai ma trËn vu«ng cÊp n vĂ­i O(nlog c7 ) phÐp tÝnh bit nÕu mĂ€i phÇn tö cña ma trËn cĂŁ d−íi c bit, vĂ­i h»ng sĂš c n”o Ÿã. 2.12. DĂŻng s”ng Eratosthenes ¼Ó t×m mĂ€i sĂš nguyÂȘn tĂš bÐ hÂŹn 1998. 2.13. Cho Qn=p1p2...pn+1, trong Ÿã p1,p2,..., pn l” n sĂš nguyÂȘn tĂš ¼Çu tiÂȘn. T×m −íc nguyÂȘn tĂš bÐ nhÊt cña Qn, vĂ­i n=1,2,3,4,5,6. Trong d·y Qn cĂŁ v« hÂčn hay hĂ·u hÂčn sĂš nguyÂȘn tĂš? 2.14. ChĂžng minh r»ng tĂ„n tÂči v« hÂčn sĂš nguyÂȘn tĂš. 2.15. ChĂžng minh r»ng nÕu −íc nguyÂȘn tĂš bÐ nhÊt p cña mĂ©t sĂš nguyÂȘn d−¬ng n v−üt quž n3 th× n/p l” sĂš nguyÂȘn tĂš. 2.16. ChĂžng minh r»ng kh«ng tĂ„n tÂči mĂ©t “bĂ© ba nguyÂȘn tù” n”o p, p+2, p+4 ngo”i 3,5,7. 2.17. ChĂžng minh r»ng nÕu a|x, b|x v” a, b nguyÂȘn tĂš cĂŻng nhau th× a.b|x. 2.18. ChĂžng minh r»ng nÕu a,m nguyÂȘn tĂš cĂŻng nhau th× tĂ„n tÂči nghÞch ٦o m mod b. 2.19. Cho a,b,c,m l” cžc sĂš nguyÂȘn, m d−¬ng. Gi¶ sö d l” ŠCLN cña c v” m. Khi Ÿã, nÕu ac ≡ bc(mod m) th× a ≡ b(mod m/d). 2.20. Gi¶ sö r1, r2,...,rm l” mĂ©t hÖ thÆng d− ¼Çy Ÿñ modulo m, a l” mĂ©t sĂš nguyÂȘn, nguyÂȘn tĂš cĂŻng nhau vĂ­i m, b l” sĂš nguyÂȘn tuĂș Ăœ. ChĂžng minh r»ng ar1+b, ar2+b ,..., arm+b cĂČng l” mĂ©t hÖ ¼Çy Ÿñ cžc thÆng d− modulo m 2.21. Gi¶ sö a ≡ b(mod mj), j=1,2,..., k, trong Ÿã mj l” cžc sĂš nguyÂȘn tĂš cĂŻng nhau tĂ”ng cÆp. ChĂžng minh r»ng a ≡ b(mod m1m2...mk). 2.22. Cho p l” sĂš nguyÂȘn tĂš. ChĂžng minh r»ng a2 ≡ 1(mod p) khi v” chØ khi a ≡ ± 1(mod p). 2.23. ChĂžng minh r»ng vĂ­i mĂ€i sĂš nguyÂȘn kh«ng ©m m,n v” mĂ€i sĂš nguyÂȘn a>1, ta cĂŁ (am -1, an -1)=a(m,n) -1. V n M a th .C o m V n M a th .C o m
  • 31. 29 2.24. a) ChĂžng minh r»ng cĂŁ thÓ t×m −íc chung lĂ­n nhÊt cña hai sĂš nguyÂȘn d−¬ng b»ng thuËt tožn sau (a,b)= a a b a b a b a b a b a b b a b nÕu nÕu chÂœ n nÕu chÂœ n lÎ nÕu lÎ = − ïŁ± ïŁČ ïŁŽ ïŁŽ ïŁł ïŁŽ ïŁŽ 2 2 2 2 ( / , / ) , ( / , ) , ( , ) , b) DĂŻng thuËt tožn trÂȘn ¼Ó t×m (2106, 8318). 2.25. ChĂžng minh r»ng, vĂ­i mĂ€i n, t×m ¼−üc n sĂš tĂč nhiÂȘn liÂȘn tiÕp sao cho mçi sĂš ¼Òu cĂŁ −íc l” sĂš chÝnh ph−¬ng. 2.26. Gi¶ sö n=p1p2...pk, trong Ÿã pj l” cžc sĂš nguyÂȘn tĂš, v” n l” mĂ©t sĂš Carmichael. ChĂžng minh r»ng k≄3. žp dĂŽng kÕt qu¶ ¼Ó t×m ra sĂš Carmichael nhĂĄ nhÊt. 2.27. ChĂžng minh r»ng, nÕu 6m+1, 12m+1, 18m+1 ¼Òu l” sĂš nguyÂȘn tĂš th× (6m+1)(12m+1)(18m+1) l” sĂš Carmichael. ChĂžng minh cžc sĂš sau Ÿ©y l” sĂš Carmichael: 1729, 294409, 56052361, 118901521, 172947529. 2.28. ChĂžng minh r»ng 6601 l” mĂ©t sĂš Carmichael. 2.29. ChĂžng minh r»ng n=2047=23.89 l” sĂš gi¶ nguyÂȘn tĂš mÂčnh cÂŹ sĂ« 2. 2.30. Cho b,m l” cžc sĂš nguyÂȘn nguyÂȘn tĂš cĂŻng nhau, a,c l” cžc sĂš nguyÂȘn d−¬ng. ChĂžng minh r»ng, nÕu ba ≡ 1(mod m), bc ≡ 1(mod m) v” d=(a,c) th× bd ≡ 1(mod m). 2.31. Cho p l” sĂš nguyÂȘn tĂš, p|bm -1. ChĂžng minh r»ng, hoÆc p|bd -1 vĂ­i d n”o Ÿã l” −íc thĂčc sĂč cña m (khžc m), hoÆc d ≡ 1(mod m). NÕu p>2, m lÎ th× trong tr−ĂȘng hĂźp sau, ta cĂŁ p ≡ 1(mod 2n). 2.32. žp dĂŽng b”i tËp trÂȘn ¼Ó ph©n tÝch ra thĂ”a sĂš cžc sĂš 211 -1=2047, 213 -1=8191, 312 -1=531440, 235 -1=34355738367. 2.33. T×m ph©n sĂš liÂȘn tĂŽc cña cžc sĂš 2 , 3, 5, (1+ 5 )/2. 2.34. BiÕt ph©n sĂš liÂȘn tĂŽc cña e l” e=[2;1,2,1,1,4,1,1,6,1,1,8,...] a) T×m 8 ph©n sĂš hĂ©i tĂŽ riÂȘng ¼Çu tiÂȘn cña e. b) T×m xÊp xØ hĂ·u tĂ» tĂšt nhÊt cña e cĂŁ mÉu sĂš bÐ hÂŹn 100. 2.35. Cho α l” mĂ©t sĂš v« tĂ». ChĂžng minh r»ng, hoÆc |α -pk/qk|<1/2qk 2 , hoÆc |α -pk+1/qk+1|<1/2qk+1 2 . 2.36. Cho f(x) l” mĂ©t Âźa thĂžc tuĂș Ăœ vĂ­i hÖ sĂš nguyÂȘn. ChĂžng minh r»ng tĂ„n tÂči v« hÂčn sĂš nguyÂȘn k sao cho f(k) l” hĂźp sĂš. V n M a th .C o m V n M a th .C o m
  • 32. 30 II. ThĂčc h”nh tÝnh tožn trÂȘn mžy §Úi vĂ­i tÊt c¶ cžc ch−¬ng, tÝnh tožn thĂčc h”nh trÂȘn mžy tÝnh vĂ­i ch−¬ng tr×nh Maple ¼−üc bŸt ¼Çu b»ng dßng lÖnh: [>with(numtheory); Cžc phÐp tožn sĂš hĂ€c ( phÐp cĂ©ng [+], phÐp trĂ” [-], phÐp nh©n [*], phÐp chia [/], phÐp luĂŒ thĂ”a [^], khai cšn bËc hai [sqrt(.)],...) ¼−üc viÕt v” thĂčc hiÖn theo thĂž tĂč quen biÕt. Lu«n lu«n ghi nhĂ­ r»ng cuĂši dßng lÖnh ph¶i l” dÊu chÊm phÈy (;) hoÆc dÊu (:). MuĂšn thĂčc hiÖn dßng lÖnh n”o th× ph¶i ¼−a con trĂĄ vÒ dßng lÖnh Ÿã (sau dÊu chÊm phÈy) v” nhÊn phÝm [Enter]. H·y thĂčc hiÖn cžc dßng lÖnh theo Ÿóng tr×nh tĂč tr−íc sau, v× mĂ©t sĂš tÝnh tožn trong cžc b−íc sau cĂŁ thÓ yÂȘu cÇu kÕt qu¶ tĂ” cžc b−íc tr−íc. II. 1. ThĂčc h”nh kiÓm tra mĂ©t sĂš l” sĂš nguyÂȘn tĂš §Ó kiÓm tra mĂ©t sĂš n cĂŁ ph¶i l” sĂš nguyÂȘn tĂš hay kh«ng ta thĂčc hiÖn lÖnh nh− sau: [>isprime(n); Sau dÊu (;) Ên phÝm “Enter”. NÕu trÂȘn m”n h×nh hiÖn ra chĂ· “true” th× n l” sĂš nguyÂȘn tĂš, nÕu trÂȘn m”n h×nh hiÖn ra chĂ· “false” th× n l” hĂźp sĂš. ThÝ dĂŽ: SĂš 2546789 cĂŁ ph¶i l” sĂš nguyÂȘn tĂš hay kh«ng? [>isprime(n); False VËy 2546789 kh«ng ph¶i l” sĂš nguyÂȘn tĂš. II. 2. ThĂčc h”nh t×m −íc chung lĂ­n nhÊt §Ó thĂčc h”nh t×m −íc chung lĂ­n nhÊt cña hai sĂš a v” b, h·y v”o dßng lÖnh cĂŁ cĂł phžp nh− sau: [>gcd(a,b); Sau dÊu (;) Ên phÝm “Enter” th× viÖc t×m −íc chung lĂ­n nhÊt sÏ ¼−üc thĂčc hiÖn v” sÏ cĂŁ ngay kÕt qu¶. ThÝ dĂŽ: T×m −íc sĂš chung lĂ­n nhÊt cña 2 sĂš 157940 v” 78864. ThĂčc hiÖn b»ng c©u lÖnh sau: [> gcd(157940,78800); 20 VËy −íc chung lĂ­n nhÊt cña 157940 v” 78864 l” 20. II. 3. Ph©n tÝch ra thĂ”a sĂš nguyÂȘn tĂš §Ó ph©n tÝch sĂš n ra thĂ”a sĂš nguyÂȘn tĂš ta thĂčc hiÖn lÖnh sau: V n M a th .C o m V n M a th .C o m
  • 33. 31 [>ifactor(n); Sau dÊu (;) Ên phÝm “Enter” th× viÖc ph©n tÝch n ra thĂ”a sĂš nguyÂȘn tĂš sÏ ¼−üc thĂčc hiÖn v” sÏ cĂŁ ngay kÕt qu¶. ThÝ dĂŽ: Ph©n tÝch sĂš 122333444455555666666777777788888888999999999 ra thĂ”a sĂš nguyÂȘn tĂš. Ta thĂčc hiÖn nh− sau: [> ifactor(122333444455555666666777777788888888999999999); (3)(12241913785205210313897506033112067347143)(3331) Ta cĂČng cĂŁ thÓ dĂŻng lÖnh trÂȘn ¼Ó kiÓm tra xem mĂ©t sĂš n cĂŁ ph¶i l” sĂš nguyÂȘn tĂš hay kh«ng II. 4. ThĂčc h”nh kiÓm tra mĂ©t sĂš l” sĂš Carmichael Ta nhĂ­ lÂči §Þnh lÝ 2. 17 nh− sau: §Þnh lÝ 2.17. NÕu n=q1q2...qk, trong Ÿã qj l” cžc sĂš nguyÂȘn tĂš khžc nhau tho¶ m·n (qj-1) |(n-1), th× n l” sĂš Carmichael. Do Ÿã ¼Ó kiÓm tra xem mĂ©t sĂš n cĂŁ ph¶i l” sĂš Carmichael hay kh«ng ta thĂčc hiÖn theo cžc b−íc sau: B−íc 1: Ph©n tÝch n th”nh tÝch cžc thĂ”a sĂš nguyÂȘn tĂš, ta thĂčc hiÖn b»ng dßng lÖnh: [>ifactor(n); Sau dÊu (;) Ên phÝm “Enter” trÂȘn m”n h×nh sÏ hiÖn ra kÕt qu¶ ph©n tÝch n ra thĂ”a sĂš nguyÂȘn tĂš. NÕu n l” hĂźp sĂš v” cĂŁ dÂčng n=q1q2...qk, trong Ÿã qj l” cžc sĂš nguyÂȘn tĂš khžc nhau th× thĂčc hiÖn tiÕp b−íc kiÓm tra thĂž 2. NÕu kh«ng th× cĂŁ thÓ khÂŒng ¼Þnh n kh«ng ph¶i l” sĂš Carmichael. B−íc 2:. ThĂčc hiÖn cžc phÐp tÝnh chia (n-1):(qj-1), ta thĂčc hiÖn b»ng dßng lÖnh sau: [>(n-1)/(qj-1); Sau dÊu (;) Ên phÝm “Enter” trÂȘn m”n h×nh sÏ hiÖn ra kÕt qu¶ th−¬ng cña phÐp chia. NÕu vĂ­i mĂ€i j=1,2, ..., k cžc th−¬ng t×m ¼−üc l” cžc sĂš nguyÂȘn th× ta khÂŒng ¼Þnh n l” sĂš Carmichael, nÕu kh«ng th× tr¶ lĂȘi kh«ng ph¶i. ThÝ dĂŽ 1: SĂš 6601 cĂŁ ph¶i l” sĂš Carmichael hay kh«ng? ThĂčc hiÖn kiÓm tra nh− sau: [>ifactor(6601); (7)(23)(41) V n M a th .C o m V n M a th .C o m
  • 34. 32 6601 ¼−üc ph©n tÝch th”nh cžc thĂ”a sĂš nguyÂȘn tĂš khžc nhau, vËy cĂŁ thÓ nghi ngĂȘ nĂŁ l” sĂš Carmichel. §Ó kiÓm tra xem nĂŁ cĂŁ thĂčc sĂč l” sĂš Carmichel hay kh«ng, ta thĂčc hiÖn cžc lÖnh sau: [>(6601-1)/(7-1); 1100 [>(6601-1)/(23-1); 300 [>(6601-1)/(41-1); 165 VËy 6601 l” sĂš Carmichael. ThÝ dĂŽ 2: SĂš 6 cĂŁ ph¶i l” sĂš Carmichael hay kh«ng? ThĂčc hiÖn kiÓm tra nh− sau: [>ifactor(6); (2)(3) [>(6-1)/(2-1); 5 [>(6-1)/(3-1); 5 2 VËy 6 kh«ng ph¶i l” sĂš Carmichael. ThÝ dĂŽ 3: SĂš 45 cĂŁ ph¶i l” sĂš Carmichael hay kh«ng? ThĂčc hiÖn kiÓm tra nh− sau: [>ifactor(45); (3)2 (5) SĂš 45 kh«ng tho¶ m·n b−íc thĂž nhÊt. VËy 45 kh«ng ph¶i l” sĂš Carmichael. II. 5. ThĂčc h”nh kiÓm tra mĂ©t sĂš l” gi¶ nguyÂȘn tĂš Cho hai sĂš nguyÂȘn d−¬ng n, b. §Ó kiÓm tra xem n cĂŁ ph¶i l” sĂš gi¶ nguyÂȘn tĂš cÂŹ sĂ« b hay kh«ng ta thĂčc hiÖn cžc b−íc nh− sau: B−íc 1: KiÓm tra n l” hĂźp sĂš, ta thĂčc hiÖn dßng lÖnh: [>isprime(n); V n M a th .C o m V n M a th .C o m
  • 35. 33 Sau dÊu (;) Ên phÝm “Enter”. NÕu trÂȘn m”n h×nh hiÖn ra chĂ· “true” th× n l” sĂš nguyÂȘn tĂš, nÕu trÂȘn m”n h×nh hiÖn ra chĂ· “false” th× n l” hĂźp sĂš. NÕu n l” sĂš nguyÂȘn tĂš th× n kh«ng ph¶i l” sĂš gi¶ nguyÂȘn tĂš cÂŹ sĂ« b. NÕu ng−üc lÂči thĂčc hiÖn tiÕp b−íc 2. B−íc 2: KiÓm tra ŸÄng d− thĂžc bn -b ≡ 0(mod n), thĂčc hiÖn b»ng dßng lÖnh: [>b&^n-b mod n; Sau dÊu (;) Ên phÝm “Enter” trÂȘn m”n h×nh sÏ hiÖn ra kÕt qu¶. NÕu Ÿã l” sĂš 0 th× n l” sĂš gi¶ nguyÂȘn tĂš cÂŹ sĂ« b. ThÝ dĂŽ1: SĂš 561 cĂŁ ph¶i l” sĂš gi¶ nguyÂȘn tĂš cÂŹ sĂ« 2 hay kh«ng? Ta thĂčc hiÖn cžc lÖnh sau: [>isprime(561); false [>2&^561-2 mod 561; 0 VËy 561 l” sĂš gi¶ nguyÂȘn tĂš cÂŹ sĂ« 2. ThÝ dĂŽ 2: SĂš 12241913785205210313897506033112067347143 cĂŁ ph¶i l” sĂš gi¶ nguyÂȘn tĂš cÂŹ sĂ« 8 hay kh«ng? Ta thĂčc hiÖn cžc lÖnh sau: [>ispime(12241913785205210313897506033112067347143); true SĂš 12241913785205210313897506033112067347143 l” mĂ©t sĂš nguyÂȘn tĂš. Do Ÿã 12241913785205210313897506033112067347143 kh«ng ph¶i l” sĂš gi¶ nguyÂȘn tĂš cÂŹ sĂ« 8. ThÝ dĂŽ 3: SĂš 326 cĂŁ ph¶i l” sĂš gi¶ nguyÂȘn tĂš cÂŹ sĂ« 3 hay kh«ng? Ta thĂčc hiÖn cžc lÖnh sau: [>isprime(326); false [>3&^326-3 mod 326; 6 VËy 326 l” kh«ng ph¶i l” sĂš gi¶ nguyÂȘn tĂš cÂŹ sĂ« 3. II. 6. ThĂčc h”nh kiÓm tra mĂ©t sĂš l” sĂš gi¶ nguyÂȘn tĂš mÂčnh Cho n l” sĂš nguyÂȘn d−¬ng lÎ, b l” sĂš nguyÂȘn d−¬ng. §Ó kiÓm tra n cĂŁ ph¶i l” sĂš gi¶ nguyÂȘn tĂš mÂčnh cÂŹ sĂ« b hay kh«ng ta thĂčc hiÖn theo cžc b−íc sau: B−íc 1: KiÓm tra n l” hĂźp sĂš, ta thĂčc hiÖn b»ng dßng lÖnh: V n M a th .C o m V n M a th .C o m
  • 36. 34 [>isprime(n); Sau dÊu (;) Ên phÝm “Enter”. NÕu trÂȘn m”n h×nh hiÖn ra chĂ· “true” th× n l” sĂš nguyÂȘn tĂš, nÕu trÂȘn m”n h×nh hiÖn ra chĂ· “false” th× n l” hĂźp sĂš. NÕu n l” sĂš nguyÂȘn tĂš th× n kh«ng ph¶i l” sĂš gi¶ nguyÂȘn tĂš mÂčnh cÂŹ sĂ« b. NÕu ng−üc lÂči thĂčc hiÖn tiÕp b−íc 2. B−íc 2: Ph©n tÝch n-1 ra thĂ”a sĂš nguyÂȘn tĂš, ta thĂčc hiÖn b»ng dßng lÖnh: [>ifactor(n-1); Sau dÊu (;) Ên phÝm “Enter” trÂȘn m”n h×nh sÏ hiÖn ra sĂč ph©n tÝch cña n-1 v” ta thu ¼−üc kÕt qu¶ cĂŁ dÂčng n-1=2s t, trong Ÿã s l” sĂš nguyÂȘn d−¬ng, t l” sĂš nguyÂȘn d−¬ng lÎ. B−íc 3: KiÓm tra ŸÄng d− thĂžc bt -1 ≡ 0(mod n). V”o lÖnh [>b&^t-1 mod n; Sau dÊu (;) Ên phÝm “Enter” trÂȘn m”n h×nh sÏ hiÖn ra kÕt qu¶. NÕu Ÿã l” sĂš 0 th× n l” sĂš gi¶ nguyÂȘn tĂš mÂčnh cÂŹ sĂ« b, nÕu kÕt qu¶ l” mĂ©t sĂš khžc 0 ta thĂčc hiÖn tiÕp b−íc 4. B−íc 4: KiÓm tra cžc ŸÄng d− thĂžc ( )b j t2 1+ ≡ 0(mod n) vĂ­i j=0,...s-1, ta thĂčc hiÖn dßng lÖnh: [>seq (b&^((2^j)t)+1 mod n, j=0..s-1); Sau dÊu (;) Ên phÝm “Enter” trÂȘn m”n h×nh sÏ hiÖn ra d·y kÕt qu¶. NÕu trong d·y kÕt qu¶ cĂŁ mĂ©t sĂš l” sĂš 0 th× n l” sĂš gi¶ nguyÂȘn tĂš mÂčnh cÂŹ sĂ« b. ThÝ dĂŽ: SĂš 2047 cĂŁ ph¶i l” sĂš gi¶ nguyÂȘn tĂš mÂčnh cÂŹ sĂ« 2 hay kh«ng? ThĂčc hiÖn kiÓm tra nh− sau: [>isprime(2047); false Do Ÿã n l” hĂźp sĂš. TiÕp tĂŽc thĂčc hiÖn lÖnh [>ifactor(n-1); (2)(3)(11)(31) TiÕp tĂŽc thĂčc hiÖn lÖnh [>2&^(3*11*31)-1 mod 2047; 0 VËy 2047 l” sĂš gi¶ nguyÂȘn tĂš mÂčnh cÂŹ sĂ« 2. II. 7. ThĂčc h”nh biÓu diÔn mĂ©t sĂš d−íi dÂčng ph©n sĂš liÂȘn tĂŽc 1. BiÓu diÔn sĂš n d−íi dÂčng ph©n sĂš liÂȘn tĂŽc theo cžch th«ng th−ĂȘng vĂ­i sĂš th−¬ng trong biÓu diÔn l” k, ta dĂŻng lÖnh: [>cfrac(n,k); V n M a th .C o m V n M a th .C o m
  • 37. 35 Sau dÊu (;) Ên phÝm “Enter” trÂȘn m”n h×nh sÏ xuÊt hiÖn kÕt qu¶. ThÝ dĂŽ: BiÓu diÔn π d−íi dÂčng ph©n sĂš liÂȘn tĂŽc theo cžch th«ng th−ĂȘng vĂ­i 6 th−¬ng. Ta thĂčc hiÖn lÖnh: [> cfrac (Pi,6); 3 1 7 1 15 1 1 1 292 1 1 1 1 + + + + + + +... 2. BiÓu diÔn sĂš n d−íi dÂčng ph©n sĂš liÂȘn tĂŽc theo cžch Ÿn gi¶n vĂ­i sĂš chĂ· sĂš trong biÓu diÔn l” k, ta dĂŻng lÖnh: [>cfrac(n,k,’quotients’); Sau dÊu (;) Ên phÝm “Enter” trÂȘn m”n h×nh sÏ xuÊt hiÖn kÕt qu¶. ThÝ dĂŽ: BiÓu diÔn π d−íi dÂčng ph©n sĂš liÂȘn tĂŽc theo cžch viÕt Ÿn gi¶n vĂ­i 100 chĂ· sĂš biÓu diÔn. Ta thĂčc hiÖn lÖnh: [> cfrac (Pi,100,’quotients’); [3,7,15,1,292,1,1,1,2,1,3,1,14,2,1,1,2,2,2,2,1,84,2,1,1, 15,3,13,1,4,2,6,6,99,1,2,2,6,3,5,1,1,6,8,1,7,1,2,3,7,1, 2,1,1,12,1,1,1,3,1,1,8,1,1,2,1,6,1,1,5,2,2,3,1,2,4,4,16, 1,161,45,1,22,1,2,2,1,4,1,2,24,1,2,1,3,1,2,1,1,10,2,...] 3. BiÓu diÔn sĂš n d−íi dÂčng ph©n sĂš liÂȘn tĂŽc theo chu kĂș tuÇn ho”n, ta dĂŻng lÖnh: [>cfrac(n,’periodic’); Sau dÊu (;) Ên phÝm “Enter” trÂȘn m”n h×nh sÏ xuÊt hiÖn kÕt qu¶. ThÝ dĂŽ: BiÓu diÔn 31/2 d−íi dÂčng ph©n sĂš liÂȘn tĂŽc theo chu kĂș tuÇn ho”n. Ta thĂčc hiÖn lÖnh: [>cfrac (3^(1/2),'periodic'); 1 1 1 1 2 1 1 1 2 + + + + +... V n M a th .C o m V n M a th .C o m
  • 38. 36 4. BiÓu diÔn sĂš n d−íi dÂčng ph©n sĂš liÂȘn tĂŽc theo chu kĂș tuÇn ho”n Ÿn gi¶n, ta dĂŻng lÖnh: [>cfrac (n,'periodic','quotients'); Sau dÊu (;) Ên phÝm “Enter” trÂȘn m”n h×nh sÏ xuÊt hiÖn kÕt qu¶. ThÝ dĂŽ: BiÓu diÔn 31/2 d−íi dÂčng ph©n sĂš liÂȘn tĂŽc theo chu kĂș tuÇn ho”n Ÿn gi¶n. Ta thĂčc hiÖn lÖnh: [> cfrac (3^(1/2),'periodic','quotients'); [[1], [1, 2]] II. 8. ThĂčc h”nh t×m ph©n sĂš hĂ©i tĂŽ thĂž k cña mĂ©t sĂš §Ó thĂčc h”nh t×m ph©n sĂš hĂ©i tĂŽ thĂž k cña mĂ©t sĂš n, ta thĂčc hiÖn theo cžc lÖnh sau: BuĂ­c 1: BiÓu diÔn n d−íi dÂčng ph©n sĂš liÂȘn tĂŽc [> cf:= cfrac(n); Sau dÊu (;) Ên phÝm “Enter” trÂȘn m”n h×nh sÏ xuÊt hiÖn sĂč biÓu diÔn B−íc 2: TÝnh ph©n sĂš hĂ©i tĂŽ thĂž k [> nthconver(cf,k); Sau dÊu (;) Ên phÝm “Enter” trÂȘn m”n h×nh sÏ xuÊt hiÖn ra kÕt qu¶. Trong quž tr×nh thĂčc hiÖn ta kh«ng cÇn biÕt kÕt qu¶ hiÖn thÞ Ă« b−íc 1, do Ÿã cĂŁ thÓ thay dÊu (;) b»ng dÊu (:) Ă« dßng lÖnh ¼Çu tiÂȘn ([>cf:=cfrac(n):). Khi Ÿã trÂȘn m”n h×nh sÏ hiÖn ra dÊu nhŸc ([>) ¼Ó thĂčc hiÖn tiÕp lÖnh thĂž 2. ThÝ dĂŽ: TÝnh ph©n sĂš hĂ©i tĂŽ thĂž 5 cña e. Ta thĂčc hiÖn nh− sau: [> cf:= cfrac(exp(1)); cf : ... = + + + + + + + + + + 2 1 1 1 2 1 1 1 1 1 4 1 1 1 1 1 6 1 1 [> nthconver(cf,5); V n M a th .C o m V n M a th .C o m
  • 39. 37 87 32 Nh− vËy, ph©n sĂš hĂ©i tĂŽ thĂž 5 cña e l” 87 32 . II. 8. ThĂčc h”nh ŸÊi cÂŹ sĂš 1. §Ó thĂčc h”nh ŸÊi mĂ©t sĂš n tĂ” cÂŹ 10 sang cÂŹ sĂš b ta dĂŻng dßng lÖnh sau: [>convert(n,base,b); Sau dÊu (;) Ên phÝm “Enter” trÂȘn m”n h×nh sÏ hiÖn lÂȘn mĂ©t dßng kÕt qu¶. ChĂł Ăœ r»ng kÕt qu¶ ¼−a ra trÂȘn m”n h×nh ¼−üc viÕt theo thĂž tĂč ng−üc lÂči. ThÝ dĂŽ 1: §Êi sĂš 24564 tĂ” cÂŹ sĂš 10 sang cÂŹ sĂš 6. Ta thĂčc h”nh nh− sau: [>convert(24564,base,6); [0, 2, 4, 5, 0, 3] VËy ta ¼−üc sĂš l” (305420)6. ChĂł Ăœ: Trong tr−ĂȘng hĂźp cÂŹ sĂš b >10, ta vÉn thĂčc hiÖn dßng lÖnh ŸÊi cÂŹ sĂš nh− b×nh th−ĂȘng. Tuy nhiÂȘn, sau khi nhËn ¼−üc kÕt qu¶, ¼Ó tržnh nhÇm lÉn ta thĂčc hiÖn viÖc ¼Æt t−¬ng Ăžng cžc sĂš lĂ­n hÂŹn 10 vĂ­i cžc kÝ hiÖu n”o Ÿã. Ta xem vÝ dĂŽ sau: ThÝ dĂŽ 2: §Êi sĂš 45676 tĂ” cÂŹ sĂš 10 sang cÂŹ sĂš 15, trong Ÿã ¼Æt 10=A, 11=B,12=C,13=D,14=E. Ta thĂčc h”nh nh− sau: [>L:=convert(45676,base,6): [>subs(10=A,11=B,12=C,13=D,14=E,L); [1, 0, 8, D] VËy ta ¼−üc sĂš l” (D801)15. 2. §Ó thĂčc h”nh ŸÊi mĂ©t sĂš n tĂ” cÂŹ sĂš a sang cÂŹ sĂš b ta dĂŻng dßng lÖnh sau: [> convert(n,base,a,b); Sau dÊu (;) Ên phÝm “Enter” trÂȘn m”n h×nh sÏ hiÖn lÂȘn mĂ©t dßng kÕt qu¶. ChĂł Ăœ r»ng kÕt qu¶ ¼−a ra trÂȘn m”n h×nh ¼−üc viÕt theo thĂž tĂč ng−üc lÂči. ThÝ dĂŽ: §Êi sĂš 305420 trong cÂŹ sĂš 6 sang cÂŹ sĂš 10. Ta thĂčc hiÖn dßng lÖnh V n M a th .C o m V n M a th .C o m
  • 40. 38 [> convert([0,2,4,5,0,3],base,6,10); [4, 6, 5, 4, 2] VËy ta cĂŁ kÕt qu¶ l” (24564)10 V n M a th .C o m V n M a th .C o m
  • 41. 39 Ch−¬ng 3 Cžc h”m sĂš hĂ€c Khi nghiÂȘn cĂžu cžc sĂš nguyÂȘn, ta th−ĂȘng l”m viÖc vĂ­i cžc ÂźÂči l−üng nh−: sĂš cžc −íc cña mĂ©t sĂš nguyÂȘn tĂš cho tr−íc, tĂŠng cžc −íc cña nĂŁ, tĂŠng cžc luĂŒ thĂ”a bËc k cña cžc −íc,... Ngo”i nhĂ·ng vÝ dĂŽ Ÿã cßn cĂŁ rÊt nhiÒu h”m sĂš hĂ€c quan trĂ€ng khžc. Trong ch−¬ng n”y, ta chØ xÐt sÂŹ qua mĂ©t v”i h”m quan trĂ€ng. PhÇn lĂ­n cña ch−¬ng ¼−üc gi”nh cho h”m Euler, l” mĂ©t trong nhĂ·ng h”m sĂš hĂ€c quan trĂ€ng nhÊt. §1. §Þnh nghÜa. §Þnh nghÜa 3.1. H”m sĂš hĂ€c tĂžc l” h”m xžc ¼Þnh trÂȘn tËp hĂźp cžc sĂš nguyÂȘn d−¬ng. §Þnh nghÜa 3.2. MĂ©t h”m sĂš hĂ€c f ¼−üc gĂ€i l” nh©n tÝnh nÕu vĂ­i mĂ€i n, m nguyÂȘn tĂš cĂŻng nhau, ta cĂŁ f(mn)=f(m)f(n). Trong tr−ĂȘng hĂźp ÂźÂŒng thĂžc Ÿóng vĂ­i mĂ€i m,n (kh«ng nhÊt thiÕt nguyÂȘn tĂš cĂŻng nhau), h”m f ¼−üc gĂ€i l” nh©n tÝnh mÂčnh. NhĂ·ng vÝ dĂŽ Ÿn gi¶n nhÊt vÒ h”m nh©n tÝnh (mÂčnh) l”: f(n)=n v” f(n)=1. DÔ chĂžng minh tÝnh chÊt sau Ÿ©y: nÕu f l” mĂ©t h”m nh©n tÝnh, n l” sĂš nguyÂȘn d−¬ng cĂŁ khai triÓn th”nh thĂ”a sĂš nguyÂȘn tĂš dÂčng n=p1 a1 p2 a2 ...pk ak , th× f(n) ¼−üc tÝnh theo c«ng thĂžc f(n)=f(pa1 )f(pa2 )...f(pak ). §2. Phi h”m Euler. Trong cžc h”m sĂš hĂ€c, h”m Euler m” ta ¼Þnh nghÜa sau Ÿ©y cĂŁ vai trß rÊt quan trĂ€ng. §Þnh nghÜa 3.3. Phi- h”m Euler φ (n) l” h”m sĂš hĂ€c cĂŁ giž trÞ tÂči n b»ng sĂš cžc sĂš kh«ng v−üt quž n v” nguyÂȘn tĂš cĂŻng nhau vĂ­i n. VÝ dĂŽ. TĂ” ¼Þnh nghÜa ta cĂŁ: φ (1)=1, φ (2)=1, φ (3)=2, φ (4)=2, φ (5)=4, φ (6)=2, φ (7)=6, φ (8)=4 , φ (9)=6, φ (10)=4. TĂ” ¼Þnh nghÜa trÂȘn Ÿ©y ta cĂŁ ngay hÖ qu¶ trĂčc tiÕp: SĂš p l” nguyÂȘn tĂš khi v” chØ khi φ (p)=p-1. NÕu ¼Þnh lÝ Fermat bÐ cho ta c«ng cĂŽ nghiÂȘn cĂžu ŸÄng d− modulo mĂ©t sĂš nguyÂȘn tĂš, th× Phi-h”m Euler ¼−üc dĂŻng ¼Ó xÐt ŸÄng d− modulo mĂ©t hĂźp sĂš. Tr−íc khi Âźi v”o vÊn ¼Ò Ÿã, ta cÇn mĂ©t sĂš ¼Þnh nghÜa sau. V n M a th .C o m V n M a th .C o m
  • 42. 40 §Þnh nghÜa 3.4. HÖ thÆng d− thu gĂ€n modulo n l” tËp hĂźp φ (n) sĂš nguyÂȘn sao cho mçi phÇn tö cña tËp hĂźp nguyÂȘn tĂš cĂŻng nhau vĂ­i n , v” kh«ng cĂŁ hai phÇn tö n”o ŸÄng d− vĂ­i nhau modulo n. NĂŁi cžch khžc tĂ” hÖ thÆng d− ¼Çy Ÿñ modolo n, ¼Ó lËp hÖ thÆng d− thu gĂ€n, ta chØ giĂ· lÂči nhĂ·ng giž trÞ n”o nguyÂȘn tĂš cĂŻng nhau vĂ­i n. VÝ dĂŽ. Cžc sĂš 1,2,3,4,5,6 lËp th”nh hÖ thÆng d− thu gĂ€n modulo 7. §Úi vĂ­i modulo 8, ta cĂŁ thÓ lÊy 1,3,5,7. §Þnh lÝ 3.5. NÕu r1,r2,...,rφ( )n l” mĂ©t hÖ thÆng d− thu gĂ€n modulo n, v” a l” sĂš nguyÂȘn d−¬ng, (a,n)=1, th× tËp hĂźp ar1,ar2,...,arφ( )n cĂČng l” hÖ thÆng d− thu gĂ€n modulo n. ChĂłng t«i d”nh chĂžng minh ¼Þnh lÝ n”y cho Ÿéc gi¶. §Þnh lÝ trÂȘn Ÿ©y ¼−üc dĂŻng ¼Ó chĂžng minh mĂ« rĂ©ng cña ¼Þnh lÝ Fermat bÐ. §Þnh lÝ Euler. NÕu m l” sĂš nguyÂȘn d−¬ng v” a l” sĂš nguyÂȘn tĂš cĂŻng nhau vĂ­i n th× a φ( )m ≡ 1(mod m). ChĂžng minh. Ta lËp luËn ho”n to”n t−¬ng tĂč nh− trong ¼Þnh lÝ Fermat bÐ. Gi¶ sö r1,r2,...,rφ( )m modulo m, lËp nÂȘn tĂ” cžc sĂš nguyÂȘn d−¬ng kh«ng v−üt quž m v” nguyÂȘn tĂš cĂŻng nhau vĂ­i m. Theo ¼Þnh lÝ 3.5, ar1,ar2,...,a rφ( )m cĂČng l” mĂ©t hÖ thÆng d− thu gĂ€n. Khi Ÿã thÆng d− d−¬ng bÐ nhÊt cña hÖ n”y sÏ l” tËp hĂźp r1,r2,..., rφ( )m sŸp xÕp theo mĂ©t thĂž tĂč n”o Ÿã. Ta cĂŁ: ar1ar2...a rφ( )m ≡ r1r2... rφ( )m (mod m). Nh− vËy, a φ( )m r1,r2,...,rφ( )m ≡ r1r2... rφ( )m (mod m). TĂ” Ÿã suy ra ¼Þnh lÝ. §Þnh lÝ Euler cĂŁ thÓ dĂŻng ¼Ó t×m nghÞch ٦o modulo m. ChÂŒng hÂčn nÕu a v” m l” cžc sĂš nguyÂȘn tĂš cĂŻng nhau, ta cĂŁ a.aφ( )m −1 ≡ 1(mod m), tĂžc l” aφ( )m −1 chÝnh l” nghÞch ٦o cña a modulo m. TĂ” Ÿã cĂČng suy ra nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh ŸÄng d− tuyÕn tÝnh ax ≡ b(mod m), vĂ­i (a,m)=1 l” x ≡ aφ( )m −1 b(mod m). §Þnh lÝ 3.6. Phi h”m Euler l” h”m nh©n tÝnh. ChĂžng minh. Gi¶ sö m, n l” hai sĂš d−¬ng nguyÂȘn tĂš cĂŻng nhau. Ta cÇn chĂžng tĂĄ r»ng φ (mn)= φ (m)φ (n). Ta sŸp xÕp tÊt c¶ cžc sĂš nguyÂȘn d−¬ng kh«ng v−üt quž nm th”nh b¶ng sau: 1 m+1 2m+1 ... (n-1)m+1 2 m+2 2m+2 ... (n-1)m+2 ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... V n M a th .C o m V n M a th .C o m
  • 43. 41 r m+r 2m+r ... (n-1)m+r ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... m 2m 3m ... mn Gi¶ sö r l” sĂš nguyÂȘn kh«ng v−üt quž m, v” (m,n)=d>1. Khi Ÿã trong h”ng thĂž r kh«ng cĂŁ sĂš n”o nguyÂȘn tĂš cĂŻng nhau vĂ­i mn. V× thÕ ¼Ó tÝnh φ (mn), ta chØ cÇn quan t©m cžc sĂš trong h”ng thĂž r vĂ­i (r,m)=1. Cžc sĂš trong h”ng n”y ¼Òu nguyÂȘn tĂš cĂŻng nhau vĂ­i m. MÆt khžc dÔ thÊy r»ng cžc sĂš trong h”ng n”y lËp th”nh mĂ©t hÖ thÆng d− ¼Çy Ÿñ modulo n. Do Ÿã cĂŁ Ÿóng φ (n) sĂš trong h”ng nguyÂȘn tĂš cĂŻng nhau vĂ­i n, tĂžc l” trong h”ng cĂŁ φ (n) sĂš nguyÂȘn tĂš cĂŻng nhau vĂ­i mn. C¶ th¶y cĂŁ φ (n) h”ng nh− vËy, ¼Þnh lÝ ¼−üc chĂžng minh. NhĂȘ tÝnh chÊt n”y ta cĂŁ ngay c«ng thĂžc Phi-h”m Euler. §Þnh lÝ 3.7. Gi¶ sö n=p1 a1 p2 a2 ...pk ak l” ph©n tÝch cña n th”nh thĂ”a sĂš nguyÂȘn tĂš. Khi Ÿã ta cĂŁ: φ (n)=n(1- 1 1 1 1 1 1 2p p pk )( )...( )− − ChĂžng minh. Do Phi-h”m Euler l” h”m nh©n tÝnh nÂȘn ta chØ cÇn chĂžng minh r»ng, vĂ­i mĂ€i sĂš nguyÂȘn tĂš p, φ (pk )=pk -pk-1 . ThËt vËy, cžc sĂš nguyÂȘn d−¬ng kh«ng v−üt quž pk v” kh«ng nguyÂȘn tĂš cĂŻng nhau vĂ­i p ph¶i cĂŁ dÂčng sp vĂ­i s nguyÂȘn d−¬ng n”o Ÿã. CĂŁ Ÿóng pk-1 sĂš nh− vËy. Do Ÿã, sĂš cžc sĂš kh«ng v−üt quž pk v” nguyÂȘn tĂš cĂŻng nhau vĂ­i pk Ÿóng b»ng pk -pk-1 . TÝnh chÊt quan trĂ€ng sau Ÿ©y cña Phi-h”m th−ĂȘng d−üc sö dĂŽng vÒ sau. §Þnh lÝ 3.8. Gi¶ sö n l” mĂ©t sĂš nguyÂȘn d−¬ng. Khi Ÿã φ( ) | d d n ∑ =n trong Ÿã tĂŠng ¼−üc lÊy theo mĂ€i −íc cña n. ChĂžng minh. Ta ph©n cžc sĂš nguyÂȘn tĂ” 1 ¼Õn n th”nh tĂ”ng nhĂŁm Cd: m∈Cd khi v” chØ khi (m,n)=d, tĂžc l” khi v” chØ khi (m/d, n/d)=1. Nh− vËy, sĂš phÇn tö cña Cd Ÿóng b»ng sĂš cžc sĂš nguyÂȘn kh«ng v−üt quž n/d v” nguyÂȘn tĂš cĂŻng nhau vĂ­i n/d, tĂžc l” b»ng φ (n/d). Ta cĂŁ n= φ( / ) | n d d n ∑ Khi d chÂčy qua mĂ€i −íc cña n th× n/d cĂČng chÂčy qua mĂ€i −íc cña n: ¼Þnh lÝ ¼−üc chĂžng minh. NhËn xÐt. Cžc tÝnh chÊt cña Phi-h”m Euler ¼−üc sö dĂŽng ¼Ó tÝnh ŸÄng d− cña nhĂ·ng luĂŒ thĂ”a rÊt lĂ­n. ChÂŒng hÂčn, ta cÇn tÝnh an mod k, trong Ÿã n l” mĂ©t sĂš nguyÂȘn lĂ­n. Gi¶ sö ta cĂŁ V n M a th .C o m V n M a th .C o m
  • 44. 42 k= p p ps s 1 2 1 2α α α ... . Khi Ÿã a pi iφ α( ) ≡ 1(mod pi αi ). NÕu N l” bĂ©i chung nhĂĄ nhÊt cña cžc φ ( pi αi ) th× aN ≡ 1(mod k). Do Ÿã, viÕt n=Nq+r vĂ­i r<N, ta ¼−üc an ≡ ar (mod k). Ta xÐt mĂ©t vÝ dĂŽ b»ng sĂš. TÝnh 21000000 mod 77. Ta cĂŁ: 77=11.7, φ (7)=6, φ (11)=10. BĂ©i chung nhĂĄ nhÊt cña 6 v” 10 l” 30. Ta cĂŁ 230 ≡ 1(mod 77). MÆt khžc, 1000000=30.33333+10. VËy 21000000 ≡ 210 ≡ 23(mod 77). §3. SĂš ho”n h¶o v” sĂš nguyÂȘn tĂš Mersenne. TiÕt n”y d”nh ¼Ó m« t¶ mĂ©t dÂčng ¼Æc biÖt cña sĂš nguyÂȘn tĂš, cĂŁ vai trß quan trĂ€ng trong lÝ thuyÕt v” Ăžng dĂŽng. Ta bŸt ¼Çu b»ng mĂ©t sĂš h”m sĂš hĂ€c quan trĂ€ng. §Þnh nghÜa 3.9. H”m τ (n), sĂš cžc −íc, cĂŁ giž trÞ tÂči n b»ng sĂš cžc −íc d−¬ng cña n; h”m σ (n), tĂŠng cžc −íc, cĂŁ giž trÞ tÂči n b»ng tĂŠng cžc −íc d−¬ng cña n. NĂŁi cžch khžc, ta cĂŁ: τ (n)= 1 d n| ∑ , σ (n)= d d n| ∑ . VÝ dĂŽ, nÕu p l” mĂ©t sĂš nguyÂȘn tĂš th× τ (p)=2, σ (p)=p+1. §Þnh lÝ 3.10. τ (n) v” σ (n) l” cžc h”m nh©n tÝnh. DÔ thÊy r»ng, ¼Þnh lÝ trÂȘn suy ra tĂ” bĂŠ ¼Ò sau. BĂŠ ¼Ò 3.11. NÕu f l” h”m nh©n tÝnh, th× F(n)= f d d n ( ) | ∑ cĂČng l” h”m nh©n tÝnh. ThËt vËy, gi¶ sö m, n l” cžc sĂš nguyÂȘn d−¬ng nguyÂȘn tĂš cĂŻng nhau. Ta cĂŁ: F(mn)= f d d mn ( ) | ∑ . V× (m,n)=1, mçi −íc d cña mn cĂŁ thÓ viÕt duy nhÊt d−íi dÂčng d=d1d2 trong Ÿã d1,d2 t−¬ng Ăžng l” −íc cña m,n, v” d1,d2 nguyÂȘn tĂš cĂŻng nhau. Do Ÿã ta cĂŁ F(mn)= f d d d m d n ( ) | , | 1 2 1 2 ∑ V× f l” h”m nh©n tÝnh v” (d1,d2)=1 nÂȘn: V n M a th .C o m V n M a th .C o m
  • 45. 43 F(mn)= f d f d f d f d d m d n ( ) ( ) ( ) ( ) | | 1 2 1 2 1 2 ∑ ∑ ∑= =F(n)F(m) §Þnh lÝ ¼−üc chĂžng minh. Sö dĂŽng ¼Þnh lÝ trÂȘn, ta cĂŁ c«ng thĂžc sau Ÿ©y cho cžc h”m τ (n) v” σ (n). §Þnh lÝ 3.12. Gi¶ sö n cĂŁ ph©n tÝch sau Ÿ©y ra thĂ”a sĂš nguyÂȘn tĂš n=p1 a1 p2 a2 ...pk ak . Khi Ÿã ta cĂŁ: σ(n) = pj aj+1 j=1 k − − ∏ 1 1pj τ (n)=(a1+1)(a2+1)...(ak+1)= ( )a j j k + = ∏ 1 1 ChĂłng t«i d”nh chĂžng minh n”y cho Ÿéc gi¶. Do cžc quan niÖm thÇn bÝ, ng−ĂȘi cĂŠ Hy LÂčp quan t©m ¼Õn cžc sĂš nguyÂȘn b»ng tĂŠng tÊt c¶ cžc −íc d−¬ng thĂčc sĂč cña nĂŁ. HĂ€ gĂ€i cžc sĂš Ÿã l” cžc sĂš ho”n h¶o. §Þnh nghÜa 3.13. SĂš nguyÂȘn d−¬ng n d−üc gĂ€i l” sĂš ho”n h¶o nÕu σ (n)=2n. VÝ dĂŽ. Cžc sĂš 6, 28 l” cžc sĂš ho”n h¶o: σ (6)=1+2+3+6=12, σ (12)=1+2+4+7+14+28=56 §Þnh lÝ sau Ÿ©y ¼−üc biÕt tĂ” thĂȘi Hy lÂčp. §Þnh lÝ 3.14. SĂš nguyÂȘn d−¬ng chÂœn n l” sĂš ho”n h¶o khi v” chØ khi n=2m-1 (2m -1), trong Ÿã m l” mĂ©t sĂš nguyÂȘn sao cho m≄2 v” 2m -1 l” nguyÂȘn tĂš. ChĂžng minh. Tr−íc tiÂȘn, gi¶ sö r»ng, m cĂŁ dÂčng nh− trÂȘn. V× σ l” h”m nh©n tÝnh, ta cĂŁ: σ (n)= σ (2m-1 ) σ (2m -1). TĂ” c«ng thĂžc cña h”m σ v” gi¶ thiÕt 2m -1 l” nguyÂȘn tĂš, dÔ thÊy r»ng σ (2m-1 )=2m -1, σ (2m -1)=2m , v” do Ÿã σ (n)=2n. Ng−üc lÂči, gi¶ sö n l” sĂš ho”n h¶o chÂœn. ViÕt n=2s t, trong Ÿã s,t l” cžc sĂš nguyÂȘn d−¬ng, t lÎ, ta ¼−üc: σ (n)= σ (2s t)= σ (2s ) σ (t)=(2s+1 -1) σ (t) V× n l” sĂš ho”n h¶o, σ (n)=2n=2s+1 t. Nh− vËy, 2s+1 |σ (t), gi¶ sö σ (t)=2s+1 q. Ta cĂŁ ÂźÂŒng thĂžc (2s+1 -1)2s+1 q=2s+1 t, tĂžc l” q|t v” q ≠ t. MÆt khžc ta cĂŁ: t+q=(2s+1 -1)q+q=2s+1 q=σ (t) Ta chĂžng tĂĄ r»ng, q=1. ThËt vËy, nÕu ng−üc lÂči, t cĂŁ Ýt nhÊt 3 −íc khžc nhau l” 1, t, q, do Ÿã σ (t) ≄t+q+1, m©u thuÉn ÂźÂŒng thĂžc vĂ”a chĂžng minh. VËy σ (t)=t+1, nghÜa l” t l” sĂš nguyÂȘn tĂš. §Þnh lÝ ¼−üc chĂžng minh. Nh− vËy ¼Ó t×m cžc sĂš ho”n h¶o, ta cÇn t×m cžc sĂš nguyÂȘn tĂš dÂčng 2m -1. V n M a th .C o m V n M a th .C o m
  • 46. 44 §Þnh nghÜa 3.15. Gi¶ sö m l” mĂ©t sĂš nguyÂȘn d−¬ng, khi Ÿã Mm=2m -1 ¼−üc gĂ€i l” sĂš Mersenne thĂž m. NÕu p l” sĂš nguyÂȘn tĂš, v” Mp cĂČng nguyÂȘn tĂš, th× Mp ¼−üc gĂ€i l” sĂš nguyÂȘn tĂš Mersenne. VÝ dĂŽ. M2,M3,M5,M7 l” cžc sĂš nguyÂȘn tĂš Mersenne, trong khi M11 l” hĂźp sĂš. CĂŁ nhiÒu ¼Þnh lÝ khžc nhau dĂŻng ¼Ó xžc ¼Þnh sĂš nguyÂȘn tĂš Mersenne. ChÂŒng hÂčn nhĂȘ ¼Þnh lÝ sau Ÿ©y, ta cĂŁ thÓ kiÓm tra nhanh chĂŁng dĂča v”o dÂčng cña cžc −íc sĂš cña sĂš nguyÂȘn tĂš Mersenne. §Þnh lÝ 3.16. NÕu p l” mĂ©t sĂš nguyÂȘn tĂš lÎ, th× mĂ€i −íc cña sĂš nguyÂȘn tĂš Mersenne Mp ¼Òu cĂŁ dÂčng 2kp+1, trong Ÿã k l” sĂš nguyÂȘn d−¬ng. ChĂžng minh. Gi¶ sö q l” mĂ©t sĂš nguyÂȘn tĂš cña Mp. Theo ¼Þnh lÝ Fermat bÐ, q|(2q- 1 -1). Theo hÖ qu¶ 1.9, (2p -1,2q-1 -1)=2(p,q-1) -1. Šíc chung n”y lĂ­n hÂŹn 1, v× nĂŁ l” mĂ©t bĂ©i cña q. Do Ÿã, (p,q-1)=p, v× p l” mĂ©t sĂš nguyÂȘn tĂš. Ta cĂŁ q=mp+1, v” v× q lÎ nÂȘn m=2k, ¼Þnh lÝ ¼−üc chĂžng minh. Sau Ÿ©y l” v”i vÝ dĂŽ cho thÊy Ăžng dĂŽng cña ¼Þnh lÝ trÂȘn. VÝ dĂŽ 1. §Ó xÐt xem M13=213 -1=8191 cĂŁ ph¶i l” sĂš nguyÂȘn tĂš hay kh«ng, ta cÇn xem cžc phÐp chia cho nhĂ·ng sĂš nguyÂȘn tĂš kh«ng v−üt quž 8191=90,504... MÆt khžc, theo ¼Þnh lÝ trÂȘn, mĂ€i −íc nguyÂȘn tĂš ¼Òu ph¶i cĂŁ dÂčng 26k+1. Nh− vËy chØ cÇn thö vĂ­i hai sĂš 53 v” 79: ta thÊy M13 l” sĂš nguyÂȘn tĂš. VÝ dĂŽ 2. XÐt M23=8388607. Ta cÇn xÐt cžc phÐp chia cña nĂŁ cho cžc sĂš nguyÂȘn tĂš dÂčng 46k+1. SĂš ¼Çu tiÂȘn 47 l” −íc cña nĂŁ: M23 l” hĂźp sĂš. CĂŁ nhiÒu thuËt tožn ¼Æc biÖt ¼Ó kiÓm tra nguyÂȘn tĂš cžc sĂš Mersenne. NhĂȘ Ÿã, ng−ĂȘi ta phžt hiÖn ¼−üc nhĂ·ng sĂš nguyÂȘn tĂš rÊt lĂ­n. Mçi lÇn cĂŁ mĂ©t sĂš nguyÂȘn tĂš Mersenne, ta lÂči ¼−üc mĂ©t sĂš ho”n h¶o. Cho ¼Õn nay, ng−ĂȘi ta Ÿ· biÕt ¼−üc r»ng, vĂ­i p≀132049, chØ cĂŁ 30 sĂš nguyÂȘn tĂš Mersenne, v” tÝnh ¼−üc chĂłng. SĂš nguyÂȘn tĂš Mersenne t×m ¼−üc gÇn Ÿ©y nhÊt l” sĂš M216091, gĂ„m 65050 chĂ· sĂš. Gi¶ thuyÕt sau Ÿ©y vÉn cßn ch−a ¼−üc chĂžng minh. Gi¶ thuyÕt 3.17. TĂ„n tÂči v« hÂčn sĂš nguyÂȘn tĂš Mersenne. Ng−ĂȘi ta Ÿ· biÕt ¼−üc r»ng, trong kho¶ng tĂ” 1 ¼Õn 10200 kh«ng cĂŁ sĂš ho”n h¶o lÎ. Tuy nhiÂȘn c©u hĂĄi sau Ÿ©y vÉn ch−a ¼−üc tr¶ lĂȘi. C©u hĂĄi 3.18. TĂ„n tÂči hay kh«ng cžc sĂš ho”n h¶o lÎ? §4. Cšn nguyÂȘn thuĂ». Khi xÐt cžc sĂš phĂžc l” cšn bËc n cña Ÿn vÞ, ta th−ĂȘng chĂł Ăœ nhĂ·ng sĂš n”o kh«ng ph¶i l” cšn cña Ÿn vÞ vĂ­i bËc thÊp hÂŹn. NhĂ·ng sĂš Ÿã gĂ€i l” cšn nguyÂȘn thuĂ» cña Ÿn vÞ. §Úi vĂ­i cžc sĂš nguyÂȘn, ta cĂČng cĂŁ khži niÖm ho”n to”n t−¬ng tĂč vÒ “cšn” v” “cšn nguyÂȘn thuĂ»â€ cña Ÿn vÞ. V n M a th .C o m V n M a th .C o m
  • 47. 45 §Þnh nghÜa 3.19. Gi¶ sö a v” m l” cžc sĂš nguyÂȘn d−¬ng nguyÂȘn tĂš cĂŻng nhau. Khi Ÿã sĂš nguyÂȘn nhĂĄ nhÊt x tho¶ m·n ŸÄng d− ax ≡ 1(mod m) ¼−üc gĂ€i l” bËc cña a modulo m. Ta viÕt x= ordma. Ta chĂł Ăœ r»ng, sĂš x nh− vËy tĂ„n tÂči v× theo ¼Þnh lÝ Euler, aφ (m) ≡ 1(mod m). §Þnh lÝ 3.20. Gi¶ sö a v” n l” cžc sĂš nguyÂȘn tĂš cĂŻng nhau, n>0. Khi Ÿã sĂš nguyÂȘn x l” nghiÖm cña ŸÄng d− ax ≡ 1(mod m) khi v” chØ khi x l” mĂ©t bĂ©i cña bËc cña a modulo n. ChĂžng minh. Gi¶ sö x tho¶ m·n ŸÄng d− trÂȘn. Ta viÕt x=q ordna+r, trong Ÿã 0≀r<x. TĂ” Ÿã ta cĂŁ ar ≡ 1(mod m). V× ordna l” sĂš d−¬ng nhĂĄ nhÊt cĂŁ tÝnh chÊt Ÿã nÂȘn r=0: x l” mĂ©t bĂ©i cña bËc cña a modulo n. §iÒu ng−üc lÂči l” rĂą r”ng. HÖ qu¶ 3.21. NÕu a v” n l” cžc sĂš nguyÂȘn tĂš cĂŻng nhau, n>0, th× ordna |φ (n). HÖ qu¶ 3.22. NÕu a v” n l” cžc sĂš nguyÂȘn tĂš cĂŻng nhau, n>0, th× ai ≡ aj (mod n) khi v” chØ khi i ≡ j(mod n). ChĂžng minh cžc hÖ qu¶ trÂȘn ¼−üc d”nh cho Ÿéc gi¶. Do hÖ qu¶ 3.21, nÕu r v” n l” nguyÂȘn tĂš cĂŻng nhau th× bËc cña r kh«ng v−üt quž φ (n). Cžc sĂš cĂŁ bËc Ÿóng b»ng φ (n) giĂ· vai trß quan trĂ€ng trong nhiÒu vÊn ¼Ò khžc nhau cña sĂš hĂ€c. Ta cĂŁ ¼Þnh nghÜa sau. §Þnh nghÜa 3.23. NÕu r v” n l” cžc sĂš nguyÂȘn tĂš cĂŻng nhau, n>0, v” nÕu ordnr =φ (n) th× r ¼−üc gĂ€i l” cšn nguyÂȘn thuĂ» modulo n. ChĂł Ăœ r»ng kh«ng ph¶i mĂ€i sĂš ¼Òu cĂŁ cšn nguyÂȘn thuĂ». ChÂŒng hÂčn, xÐt n=8. Cžc sĂš nhĂĄ hÂŹn 8 v” nguyÂȘn tĂš cĂŻng nhau vĂ­i 8 l” 1, 3, 5, 7, ŸÄng thĂȘi ta cĂŁ ord81=1, bËc cña cžc sĂš cßn lÂči b»ng 2, trong khi φ (8)=4. VÊn ¼Ò nhĂ·ng sĂš nguyÂȘn n”o th× cĂŁ cšn nguyÂȘn thuĂ» sÏ ¼−üc xÐt vÒ sau. §Þnh lÝ 3.24. NÕu r, n nguyÂȘn tĂš cĂŻng nhau, n>0, v” nÕu r l” cšn nguyÂȘn thuĂ» modulo n, th× cžc sĂš sau Ÿ©y lËp th”nh hÖ thÆng d− thu gĂ€n modulo n: r1 ,r2 ,...,rφ (n) . ChĂžng minh. V× (r,n)=1, cžc sĂš trÂȘn nguyÂȘn tĂš cĂŻng nhau vĂ­i n. Ta chØ cÇn chĂžng tĂĄ r»ng, kh«ng cĂŁ hai sĂš n”o ŸÄng d− vĂ­i nhau modulo n. Gi¶ sö ri ≡ rj (mod n). Theo hÖ qu¶ 3.22, i ≡ j(mod φ (n)). TĂ” Ÿã suy ra i=j, v× i, j kh«ng v−üt quž φ (n). §Þnh lÝ ¼−üc chĂžng minh. §Þnh lÝ 3.25. NÕu ordma=t v” u l” sĂš nguyÂȘn d−¬ng, th× ordm(au )= t / (t,u). ChĂžng minh. §Æt v=(t,u), t=t1v, u=u1v, s= ordm(au ). Ta cĂŁ (au )t 1 =(au1v )t/v =(at )u1 ≡ 1(mod m). Do Ÿã, s|t1. MÆt khžc, (au )s =aus ≡ 1(mod m) nÂȘn t|su. Nh− vËy, t1v | u1vs, do Ÿã, t1|u1s. V× (u1, t1)=1, ta cĂŁ t1|s. CuĂši cĂŻng, v× s|t1, t1|s nÂȘn s=t1=t/v=t/(t, u), chĂžng minh xong. V n M a th .C o m V n M a th .C o m