Dokumen ini menjelaskan tentang program linear (LP) sebagai teknik matematik untuk mengalokasikan sumber daya terbatas guna memaksimalkan keuntungan atau meminimalkan biaya. Terdapat berbagai contoh penerapan LP dalam berbagai bidang, termasuk industri dan pertanian, serta penjabaran tentang langkah-langkah formulasi model matematik, fungsi tujuan, dan kendala. Asumsi dasar LP mencakup linearitas, additivitas, divisibilitas, dan deterministik.

1. PROGRAM LINEAR
1. PENGANTAR
Program Linear (Linear Programming = LP) merupakan
salah satu teknik OR yg digunakan paling luas dan di-
ketahui dengan baik. LP merupakan metode matematik
dalam mengalokasikan sumberdaya yang langka untuk
mencapai suatu tujuan seperti memaksimumkan keun-
tungan atau meminimumkan biaya. LP banyak diterap-
kan dalam pemecahan masalah eko-nomi, industri,
meliter, sosial, dll.
2. FORMULASI MODEL LP
Masalah keputusan yang sering dihadapi analis adalah
mengalokasikan optimum sumberdaya yang langka.
Sumberdaya dapat berupa uang, tenaga kerja, bahan
mentah, kapasitas mesin, waktu, ruangan atau tekno-
logi.

2. Hasil yg diinginkan ditunjukkan sebagai maksimisasi
dari beberapa ukuran seperti : profit, penjualan, dan
kesejahteraan, atau minimalisasi seperti biaya, waktu,
dan jarak.
3 tahap memformulasikan model matematik :
 Tentukan variabel keputusan dan nyatakan dalam
simbol matematik.
 Membentuk fungsi tujuan yg ditunjukkan sebagai
suatu hubungan linear dari variabel keputusan.
 Menentukan semua kendala masalah tersebut dan
mengekspresikan dalam persamaan atau pertidak-
samaan yg juga merupakan hubungan linear dari
variabel keputusan yg mencerminkan keterbatasan
sumberdaya masalah tersebut.

3. Contoh 1:
Sebuah perusahaan ingin menentukan berapa banyak
masing-masing dari 3 produk yg berbeda yg akan dihasil-
kan dengan tersedianya sumberdaya yg terbatas agar di-
peroleh keuntungan maksimum. Kebutuhan buruh, bahan
mentah dan sumbangan keuntungan masing-masing pro-
duk adalah :
-----------------------------------------------------------------
Kebutuhan Sumberdaya Keuntungan
Buruh(jam/Unit) Bahan (kg/unit) (Rp/unit)
-----------------------------------------------------------------
Produk 1 5 4 3
Produk 2 2 6 5
Produk 3 4 3 2
-----------------------------------------------------------------

4. Tersedia 240 jam kerja dan bahan mentah sebanyak 400
kg. Masalahnya adalah menentukan jumlah masing-
masing produk agar keuntungan maksimum.
Merumuskan Masalah :
1. Variabel Keputusan
X1 = Jumlah produk 1
X2 = Jumlah produk 2
X3 = Jumlah produk 3
2. Fungsi Tujuan
Tujuan dari masalah kombinasi produk adalah untuk
memaksimumkan keuntungan total. Keuntungan total
adalah jumlah keuntungan masing-masing produk.
- Keuntungan produk 1 = 3X1
- Keuntungan produk 2 = 5X2
- Keuntungan produk 3 = 2X3
Z = 3X1 + 5 X2 + 2X3

5. 3. Fungsi Kendala
Kendala didalam kombinasi produk di atas adalah jum-lah
buruh dan bahan mentah yang terbatas. Masing-masing
produk membutuhkan buruh maupun bahan mentah.
- Produk 1 membutuhkan buruh utk menghasilkan tiap
unit adalah 5 jam, sehingga buruh yg dibutuhkan utk
produk 1 adalah 5X1.
- Produk 2 membutuhkan buruh = 2X2.
- Produk 3 membutuhkan buruh = 4X3.
Jumlah jam buruh yang tersedia adalah 240 jam, se-
hingga fungsi kendala buruh ditulis :
5X1 + 2X2 + 4X3  240
Kendala bahan mentah dirumuskan dengan cara yang
sama. Produk 1 membutuhkan 4 kg per unit, produk 2

6. produk 2 membutuhkan 6 kg per unit, produk 3 mem-
butuhkan 6 kg per unit. Tersedia 400 kg bahan menta,
maka fungsi kendala dirumuskan sbb :
4X1 + 6X2 + 6X3  400
Juga harus dibatasi masing-masing variabel hanya pada
nilai positif, karena akan tidak masuk akal untuk meng-
hasilkan jumlah produk negatif. Kendala-kendala ini di-
namakan non negativity constraint dan secara matematik
dirumuskan : X10; X20; X30
Jadi masalah LP dirumuskan dalam suatu model matema-
tis :
1. Fungsi Tujuan
Maksimumkan : Z = 3X1 + 5 X2 + 2X3

7. 2. Fungsi Kendala :
2.1. Buruh : 5X1 + 2X2 + 4X3  240
2.2. Bahan mentah : 4X1 + 6X2 + 6X3  400
X1,X2, dan X30
Contoh 2:
Perusahaan sepatu “IDEAL” membuat 2 macam sepatu,
yaitu Merk I1 dengan sol dari karet dan Merk I2 dengan sol
dari kulit. Untuk membuat sepatu-sepatu tersebut peru-
sahaan memiliki 3 macam mesin. Mesin-1 khusus mem-
buat sol dari karet, mesin-2 khusus membuat sol dari kulit
dan mesin-3 membuat bagian atas sepatu dan melakukan
assembling bagian atas dengan sol. Setiap lusin sepatu
Merk I1 mula-mula dikerjakan di mesi-1 selama 2 jam, ke-
mudian tanpa melalui mesin-2 terus dikerjakan di mesin-3

8. selama 6 jam, sedangkan untuk sepatu Merk I2 tidak di-
proses di mesin_1 tetapi pertama kali dikerjakan di mesin-2
selama 3 jam kemudian di mesin-3 selama 5 jam. Jam ker-
ja maksimum setiap hari untuk mesin-1 = 8jam, mesin-2
= 15 jam, dan mesin-3 = 30 jam. Sumbangan terhadap
laba untuk setiap lusin sepatu Merk I 1 = Rp 300.000.- dan
Merk I2 = Rp 500.000.-. Masalahnya adalah menentukan
berapa lusin sebaiknya sepatu Merk I1 dan Merk I2 yang di-
buat agar bisa memaksimumkan laba ?
Penyelesaian :
1. Variabel Keputusan :
X1 = Jumlah produksi sepatu Merk I1 yg akan dibuat/hari
X2 = Jumlah produksi sepatu Merk I1 yg akan dibuat/hari
Z = Jumlah sumbangan laba total untuk sepatu Merk I1
dan Merk I2.

9. ----------------------------------------------------------------
Sumberdaya Merk Sepatu
Kapasitas
Mesin -------------------------------- Maksimum
I1 I2
----------------------------------------------------------------
Mesin-1 2 0 8
Mesin-2 0 3 15
Mesin-3 6 5 30
----------------------------------------------------------------
L a b a Rp 300.000 Rp 500.000
----------------------------------------------------------------
2. Fungsi Tujuan :
Maksimumkan Z = 300.000 X1 + 500.000 X2

10. 3. Fungsi Kendala :
3.1. Mesin-1 : 2X1  8
3.2. Mesin-2 : + 3X2  15
3.3. Mesin-3 : 6X1 + 5X2  30
X1, X2  0
Contoh 3 :
Untuk menjaga kesehatan, seseorang harus memenuhi
kebutuhan minimum per hari akan beberapa zat makan-
an. Misalkan hanya ada tiga zat makanan yang dibutuh-
kan yaitu kalsium, protein, dan vitamin A. Makanan se-
seorang hanya terdiri dari 3 jenis, yaitu I, II, dan III yang
harga, zat-zat yg terkandung didalamnya, dan kebutuhan
minimum per hari akan zat-zat makanan tersebut ditun-
jukkan pada tabel berikut ini :

11. ----------------------------------------------------------------
Kandungan M a k a n a n Kebutuhan
Zat I II III Minimum
----------------------------------------------------------------
Kalsium 5 1 0 8
Protein 2 2 1 10
Vitamin 1 5 4 22
----------------------------------------------------------------
Harga/Unit 0,5 0,8 0,6
----------------------------------------------------------------
1. Variabel Keputusan
X1 = Jumlah makanan 1
X2 = Jumlah makanan 2
X3 = Jumlah makanan 3

12. 2. Fungsi Tujuan :
Minimumkan : Z = 0.5X1 + 0.8X2 + 0.6X3
3. Fungsi Kendala :
3.1. Kalsium : 5X1 + X2  8
3.2. Protein : 2X1 + 2X2 + 4X3  10
3.3. Vitamin A : 1X1 + 5X2 + 4X3  22
X1, X2  0
Contoh 4 :
Perusahaan Industri Ari & Sons menghasilkan dua jenis
Produk yaitu P1 dan P2 masing-masing memerlukan dua
macam bahan baku, A dan B. Harga jual tiap satuan
adalah Rp 150.000 dan Rp 100.000. Bahan baku A yang
tersedia adalah sebanyak 600 satuan dan B sebanyak
1000 satuan. Satu satuan P1 memerlukan satu satuan

13. bahan baku A dan satu satuan bahan baku B, sedangkan produk
P2 memerlukan satu satuan A dan satu satuan B. Semua infor-
masi dapat dituangkan dalam Tabel berikut ini :
------------------------------------------------------------------------
Bahan Baku Jenis Produksi Bahan baku
P1 P2 yg tersedia
------------------------------------------------------------------------
A 1 1 600
B 2 1 1000
------------------------------------------------------------------------
Harga Jual 150.000 100.000
------------------------------------------------------------------------
(1). Variabel Keputusan :
Produk P1 : X1
Produk P2 : X2

14. (2). Fungsi Tujuan :
Maksimumkan : Z = 150.000 X1 + 100.000 X2
(3). Fungsi Kendala :
3.1. Bahan Baku A : X1 + X2 ≤ 600
3.2. Bahan Baku B : 2 X1 + X2 ≤ 1000
X1 , X2 ≥ 0
Contoh 5 :
Seorang petani modern menghadapi suatu persoalan sbb :
Setiap sapi agar supaya sehat harus diberi makanan yg mengan-
dung paling sedikit 27, 21, dan 30 satuan unsur nutrisi jenis A,
B, dan C setiap hanrinya. Dua jenis makanan M1 dan M2 diberi-
kan kepada sapi tersebut. Satu gram makanan jenis M1 me-
ngandung unsur nutrisi jenis A,B, dan C masing-masing sebesar
3,1, dan 1 satuan. Sedangkan satu gram makanan jenis M2

15. mengandung unsur nutrisi jenis A, B, dan C masing-masing 1,1,
dan 2 satuan. Harga satu gram M1 dan M2 masing-masing se-
besar Rp 40.000 dan Rp 20.000. Petani tersebut harus memu-
tuskan apakah membeli satu jenis makanan saja atau kedua-
duanya kemudian mencampurnya. Tujuannya adalah agar jum-
Lah pengeluaran petani tersebut minimum.
(1). Variabel Keputiusan :
Jenis makanan M1 : X1
Jenis makanan M2 : X2
(2). Fungsi Tujuan :
Minimumkan : Z = 40.000X1 + 20.000 X2
(3). Fungsi Kendala:
3.1. Nutrisi A : 3X1 + X2 ≥ 27
3.2. Nutrisi B : X1 + X2 ≥ 21
3.3. Nutrisi C : X1 + 2X2 ≥ 30
X1 , X2 ≥ 0

16. BENTUK UMUM MODEL LP
Bentuk Umum Model LP :
Maksimum/Minimumkan :
dengan syarat : aijxj (,=,)bi, untuk semua i (1,2,..)
semua xj  0.
Keterangan :
xj : banyaknya kegiatan j, dimana j=1,2,…., n
berarti disini terdpt n var keputusan.



n
1
j
j
jx
c
Z

17. Z : nilai fungsi tujuan
cj : sumbangan per unit kegiatan j.
Untuk masalah maksimisasi cj
menunjukkan keuntungan atau
penerimaan per unit, sementara
dlm kasus minimisasi menunjuk-
kan biaya per unit.
bi : jumlah sumberdaya ke i (1,2,..)
berarti terdapat m jenis SD.
aij : banyaknya SD i yg dikonsumsi
SD j.

18. ASUMSI MODEL LP
Model LP mengandung asumsi-asumsi im-
plisit tertentu yg hrs dipenuhi agar defini-
sinya sebagai suatu masalah LP absah.
Asumsi-asumsi tersebut meliputi :
1. Linearity dan Additivity
Syarat utama dari LP adalah bahwa
fungsi tujuan dan semua kendala hrs
linear (garis lurus).

19. LP juga mensyaratkan bahwa jumlah variabel
kriteria dan jumlah penggunaan sumberdaya
harus bersifat additif.
Contoh: Keuntungan total Z yg merupakan
variabel keputusan sama dengan jumlah ke-
untungan yg diporoleh dari kegiatan cjxj. Juga
seluruh sumberdaya yang digunakan untuk
semua kegiatan, harus sama dengan jumlah
sumberdaya yang digunakan untuk masing-
masing kegiatan.
Additif dapat diartikan sebagai tak adanya
penyesuaian pada perhitungan variabel ke-
putusan karena terjadinya interaksi.

20. 2. Divisibility, asumsi ini berarti bahwa nilai
solusi yg diperoleh Xj tidak harus berupa
bilangan bulat. Ini berarti nilai Xj dapat ter-jadi
pada nilai pecahan manapun, karena nilai
variabel keputusan merupakan variabel kon-
kinu, sebagai lawan dari variabel diskrit atau
bilangan bulat.
3. Deterministik
Dalam LP semua parameter model (cj,aij,bi) di-
asumsikan diketahui konstan. LP secara tak
langsung mengasumsikan suatu masalah ke-
putusan dalam suatu kerangka statis dimana
semua parameter diketetahui dgn kepastian.

21. Dalam kenyataannya, parameter model jarang
bersifat deterministik, karena mereka mencer-
minkan kondisi masa depan maupun
sekarang, dan keadaan masa depan jarang di-
ketahui dengan pasti. Ada beberapa cara utk
mengatasi ketidakpastian dalam model LP,
yaitu dengan analisis sensitivitas. Analisis
sensitivitas adalah suatu teknik yang di-
kembangkan untuk menguji nilai solusi, bagai-
mana kepekaannya terhadap perubahan
parameter.