linear programming

1. LINEAR PROGRAMMING
METODE SIMPLEKS

2. LANGKAH-LANGKAH METODE SIMPLEKS :
Misalkan contoh kita PT. KEMBANG ARUM
Fungsi tujuan : Max : Z = 3X1 + 4X2
Batasan – batasan :
1. 2X1 + X2 ≤ 6.000
2. 2X1 + 3X2 ≤ 9.000
3. X1 ≥ 0 ; X2 ≥ 0

3. LANGKAH 1 : MERUBAH BENTUK FUNGSI TUJUAN
Fungsi tujuan dirubah sedemikian rupa, sehingga semua variabel
yang belum diketahui nilainya berada di sebelah kiri tanda = .
Misalnya dalam contoh diatas, fungsi tujuan :
Maksimum : Z = 3X1 + 4X2
diubah menjadi
Maksimum : Z – 3X1 – 4X2 = 0

4. LANGKAH 2 : MERUBAH BENTUK BATASAN-
BATASAN
Semua batasan yang mula-mula bertanda lebih kecil atau
sama dengan ( ≤ ) dirubah menjadi tanda persamaan ( = ),
dengan menggunakan suatu tambahan variabel yang
sering disebut sebagai “Variabel Slack”, yang biasanya
diberi simbol “ S “.
Perubahan tersebut menjadi :
2X1 + X2 ≤ 6.000 dirubah menjadi 2X1 + X2 + S1 = 6.000
2X1 + 3X2 ≤ 9.000 dirubah menjadi 2X1 + 3X2 + S2 = 9.000

5. LANGKAH 3 : MENYUSUN PERSAMAAN KE DALAM TABEL
LANGKAH 4 : MEMILIH KOLOM KUNCI
Pilih kolom yang pada garis Z mempunyai nilai negatif terkecil (pailng
negatif).
LANGKAH 5 : MEMILIH BARIS KUNCI
baris kunci adalah baris yang merupakan dasar untuk mengubah /
mengadakan perbaikan. Untuk menentukannya terlebih dahulu harus kita
cari indeks tiap-tiap baris dengan cara sebagai berikut :
VD Z X1 X2 S1 S2 NK
Z 1 -3 -4 0 0 0
S1 0 2 1 1 0 6.000
S2 0 2 3 0 1 9.000
Kolom kunci
kunci
kolom
pada
nilai
NK
kolom
pada
nilai
baris
indeks 
Baris kunci
Angka kunci

6. LANGKAH 5 : MEMILIH BARIS KUNCI :
Indeks : 6.000 / 1 = 6.000
9.000 / 3 = 3.000
Kemudian kita pilih baris kunci, yaitu baris yang
mempunyai indeks positif terkecil, yaitu baris batasan
kedua (indeks batasan pertama 6.000 dan batasan
kedua hanya 3.000). Kemudian baris kunci ini kita beri
tanda (dilingkari) agar lebih mudah mengingatnya.
Kita lihat ada angka yang masuk dalam kolom kunci
dan juga masuk dalam baris kunci disebut angka kunci
sebesar 3.

7. LANGKAH 6 : MERUBAH NILAI-NILAI BARIS KUNCI
Mula-mula kita ubah dulu nilai-nilai baris kunci dengan membagi semua
angkanya dengan angka kunci.
Jadi semua angka pada baris kunci itu kita bagi 3, disamping itu variabel
dasarnya kita ganti dengan variabel yang kolomnya terpilih sebagai kolom
kunci, dalam contoh kita variabel X2.
VD Z X1 X2 S1 S2 NK
Z 1 -3 -4 0 0 0
S1 0 2 1 1 0 6.000
S2 0 2 3 0 1 9.000 Dibagi 3
VD Z X1 X2 S1 S2 NK
Z
S1
S2 0 2/3 1 0 1/3 3.000

8. LANGKAH 7 : MENGUBAH NILAI DILUAR BARIS KUNCI
Nilai baru dari baris-baris yang bukan merupakan baris kunci dapat
dihitung dengan rumus sebagai berikut :
Untuk baris Z pada tabel dapat dihitung sebagai berikut :
Nilai
Baris
Baru
=
Nilai
Baris
Lama
Koefisien
Pada
Kolom
Kunci
Nilai
Baru
Baris
Kunci
X
_
-3 -4 0 0 0
- ( -4 ) 2/3 1 0 1/3 3.000
-1/3 0 1 4/3 12.000
Nilai baru
baris
kunci
Koefisien
angka pada
kolom kunci
Nilai baris
lama
Nilai
baris
baru

9. Untuk baris batasan pertama sebagai berikut :
2 1 1 0 6.000
- ( 1 ) 2/3 1 0 1/3 3.000
4/3 0 1 -1/3 3.000
Tabel I nilai lama dan tabel II nilai baru (setelah diperbaiki sekali) :
VD Z X1 X2 S1 S2 NK
Z 1 -3 -4 0 0 0
S1 0 2 1 1 0 6.000
S2 0 2 3 0 1 9.000
VD Z X1 X2 S1 S2 NK
Z 1 -1/3 0 0 4/3 12.000
S1 0 4/3 0 1 -1/3 3.000
X2 0 2/3 1 0 1/3 3.000
I
II

10. LANGKAH 8 : MELANJUTKAN PERBAIKAN
Selama masih ada nilai negatif pada baris Z ulangilah langkah perbaikan
mulai dari langkah ke-3 sampai dengan langkah ke-7 sampai diperoleh
pemecahan optimal.
Kalau sudah tidak ada nilai pada baris Z yang negatif berarti alokasi itu
sudah optimal.
Nilai baru dari baris Z menjadi :
-1/3 0 0 4/3 12.000
- ( -1/3 ) 1 0 3/4 -1/4 2.250
0 0 ¼ 5/4 12.750
2/3 1 0 1/3 3.000
- ( 2/3 ) 1 0 3/4 -1/4 2.250
0 1 -1/2 1/2 1.500
Nilai baru baris batasan pertama :

11. VD Z X1 X2 S1 S2 NK
Z 1 -3 -4 0 0 0
S1 0 2 1 1 0 6.000
S2 0 2 3 0 1 9.000
VD Z X1 X2 S1 S2 NK
Z 1 -1/3 0 0 4/3 12.000
S1 0 4/3 0 1 -1/3 3.000
X2 0 2/3 1 0 1/3 3.000
VD Z X1 X2 S1 S2 NK
Z 1 0 0 1/4 5/4 12.750
X1 0 1 0 3/4 -1/4 2.250
X2 0 0 1 -1/2 1/2 1.500
I
II
III

12. Pada bagian III dari tabel di atas ternyata dalam bari
Z sudah tidak memiliki negatif lagi, berarti tabel ini
sudah optimal.
Arti dari hasil pemecahan optimal ini sebagai berikut :
Produk pertama dihasilkan 2.250 unit (X1 = 2.250)
Produk kedua dihasilkan 1.500 unit (X2 = 1.500)
Sumbangan terhadap laba sebesar Rp. 12.750,-
(Z = 12.750)

13. LATIHAN 1:
Suatu pabrik automotive menghasilkan dua macam kendaraan dengan
kualitas berbeda, yaitu type BEBAS EMISI dan type HEMAT BAHAN
BAKAR. Untuk menghasilkan kedua macam kendaraan tersebut
digunakan tiga macam spare part yang sama yaitu spare part A, B dan
C. kebutuhan spare part untuk menghasilkan tiap satuan produk sebagai
berikut :
Type
Kebutuhan
Spare part A Spare part B Spare part C
BEBAS EMISI 3 2 2
HEMAT BB 2 4 4
Maks tersedia 30 42 80
Permintaan dianggap cukup bisa menyerap semua produk yang
dihasilkan. Sumbangan terhadap laba tiap satuan kendaraan type
BEBAS EMISI $ 5.000 sedangkan type HEMAT BAHAN BAKAR $
10.000. perusahaan akan menentukan jumlah tiap type yang dihasilkan
agar bisa memaksimalkan laba. Selesaikanlah persoalan diatas dengan
metode simpleks !

14. LATIHAN 2 :
Suatu perusahaan menghasilkan 2 macam produk, yaitu
produk A dan produk B. kedua produk itu dibuat
melalui dua mesin (mesin I dan mesin II). Untuk
menghasilkan 100 unit produk A harus dikerjakan di
mesin I selama 3 jam dan di mesin II selama 4 jam;
sedang untuk menghasilkan 100 unit produk B harus
dikerjakan di mesin I selama 2 jam dan di mesin II
selama 5 jam. Kapasitas kerja maksimum untuk mesin I
12 jam dan mesin II juga 12 jam. Sumbangan terhadap
laba untuk setiap 100 buah produk A sebesar Rp. 3.000
dan untuk produk B sebesar Rp. 3.500. berapakah
jumlah produk A dan produk B yang seharusnya
dihasilkan agar memperoleh laba maksimum ?

15. LATIHAN 3 :
Suatu perusahaan menghasilkan dua macam produk,
dengan menggunakan bakan baku J , K dan L.
kebutuhan akan bahan baku setiap unit produk sebagai
berikut :
Bahan baku
Kebutuhan bahan baku / unit
Maks. Tersedia
Produk I Produk II
J 3 kg 2 kg 42 kg
K 2 kg 4 kg 30 kg
L 2 kg 4 kg 48 kg
Sumbangan thd
laba
Rp. 12,- Rp. 8,-
Hitunglah kombinasi jumlah produk yang bisa memaksimumkan laba
perusahaan !

16. LATIHAN 4 :
Perusahaan mempunyai anggaran produksi sebesar $ 2000 dan jam kerja
maksimum 665 jam per hari. Maksimum permintaan tiap hari 200 unit
untuk jam dinding, 300 unit radio, dan 150 unit toater. Keuntungan
maksimum tiap unit produk adalah $ 15 untuk jam dinding, $ 20 untuk
radio, dan $ 12 untuk toaster. Tentukan produksi optimal agar
keuntungan maksimum !
Produk
Kebutuhan sumber daya
Biaya/unit Jam/unit
Jam dinding 8 2
Radio 10 3
Toaster 5 2

17. LATIHAN 5 :
Sebuah industri kerajinan kulit membuat tas yang
terdiri dari jenis A dan B. keuntungan masing-masing
jenis tas adalah $ 400 dan $ 200 dolar per unit. Industri
mendapat pesanan dari sebuah toko sebesar 30 (A dan
B) buah per bulan. Suplai bahan kulit paling sedikit 80
lembar per bulan, dan industri kerajinan ini harus
memesan paling tidak 80 lembar per bulan. Setiap
barang A memerlukan 2 lembar kulit sedangkan barang
B membutuhkan 8 lembar. Dari pengalaman
sebelumnya industri ini tidak bisa membuat barang
jenis A lebih dari 20 buah per bulan. Mereka ingin
mengetahui berapa jumlah masing-masing jenis A dan
B yang harus dibuat supaya keuntungan yang didapat
maksimum. Tentukan model program liniernya dan
selesaikan persoalan dengan metode simpleks.!