Documentul discută despre teoria probabilităților, începând cu contribuțiile lui Pascal și Fermat în probleme legate de jocurile de noroc. Se definesc concepte precum probabilitatea, evenimentele imposibile, posibile și sigure, precum și operații precum negarea, reuniunea și intersectarea evenimentelor. De asemenea, sunt prezentate reguli de calcul al probabilităților și noțiuni legate de evenimentele echiprobabile și probabilitățile condiționate.

1. CALCULUL PROBABILITATILOR
PROIECT POWER-POINT LA
MATEMATICA
Profesor
Carmen Delcea

2. • Inceputurile teoriei probabilitatilor sunt legate de
numele matematicienilor Blaise Pascal(1623-1662)
si Pierre Fermat(1601-1665).Ei au ajuns la
probleme legate de probabilitate datorita jocurilor
de noroc.
• Probabilitatea este o multime numerica prin care
se exprima caracterul aleatoriu al unui eveniment,
al unui fenomen; calculul probabilitatilor este
calculul matematic care permite sa se aprecieze
daca un eveniment complex se va intampla sau nu,
in functie de eventualitatea unor evenimente mai
simple, presupus cunoscute.
• Teoria probabilitatilor este ansamblul de reguli,
legi, scheme care definesc relatiile dintre
probabilitatile de realizare a unor evenimente
intamplatoare (probabile). In matematica,
probabilitatea este un raport intre numarul
cazurilor favorabile de realizare unui eveniment
intamplator si numarul total de cazuri posibile.

3. • Probabilitatea unui eveniment este o
valoare cuprinsa intre 0 si 1. Daca
probabilitatea unui eveniment este 0,
atunci evenimentul este imposibil;
daca probabilitatea unui eveniment
este 1, atunci evenimentul este sigur.
• Evenimentul este, in calculul
probabilitatilor, rezultatul unei
experiente sau al unei observatii.

4. • a) Evenimentul imposibil nu se
realizeaza la nici o efectuare a
experientei. Evenimetul imposibil are
probabilitatea 0.
• b) Evenimentul posibil este cel care
poate sau nu sa aiba loc. Are
probabilitatea mai mare ca 0 si mai
mica ca 1.
• c) Evenimentul sigur este evenimentul
care se realizeaza cu certitudine.
Probabilitatea evenimentului sigur
este 1.

5. • Multimea tuturor evenimentelor legate de o
experienta ( inclusiv evenimentul sigur si
evenimentul imposibil) se numeste camp de
evenimente.
• Frecventa este notiunea matematica
utilizata in statistica si calculul
probabilitatilor. Fie o experienta si un
eveniment A corespunzator acestei
experiente. Daca aceasta experienta a fost
repetata de n ori in conditii identice, iar cu
a am notat numarul de realizari ale
evenimetului A, atunci raportul fn = a/n se
numeste frecventa evenimentului A. In
statistica, frecventa unei valori de caracter
este egala cu raportul: efectiv/efectiv total.

6. • Universul probelor!!!
• Def)Multimea a tuturor rezultatelor posibile,incompatibile
doua cate doua,care pot avea loc in cazul unei probe a unui
experiment aleatoriu se numeste universul probelor(sau
spatiul probelor).
• Prin rezultate incompatibile intelegem acele rezultate care
nu se pot obtine simultan in nici o proba.
• Exemple:
• 1)La aruncarea unei monede omogene avem:ohm=(b,s),unde
b este banul,iar s este stema.
• 2)La aruncarea unui zar omogen avem:ohm={1,2,3,4,5,6}.
• OBSERVATIE!!!Cazul de modelare matematica pe care-l
prezentam aici este cel mai simplu,cu ohm multime
finita.Situatia se complica daca ohm este multime
numarabila sau nenumarabila.
• Exemplu:
• 1)Se arunca o moneda pana se obtine banul.In acest caz
universul probelor este ohm={b,sb,ssb,sssb,...},adica o
multime numarabila.

7. • EVENIMENTE
• Definitie)Fie ohm un univers.Se numeste
eveniment orice submultime a lui ohm.
• Evenimentul este, in calculul
probabilitatilor, rezultatul unei experiente
sau al unei observatii.
• Evenimentul imposibil nu se realizeaza la
nici o efectuare a experientei. Evenimetul
imposibil are probabilitatea 0.
• Evenimentul posibil este cel care poate sau
nu sa aiba loc. Are probabilitatea mai mare
ca 0 si mai mica ca 1.
• Evenimentul sigur este evenimentul care se
realizeaza cu certitudine. Probabilitatea
evenimentului sigur este 1.

8. • Operatii cu evenimente.
• Negatia: _
• Def) Daca A este un eveniment,atunci A(citim:non
A)este evenimentul care se ralizeaza daca si numai
daca nu se realizeaza A.
• De exemplu la aruncarea zarului daca A={1,2,3}
care inseamna ca A se realizeaza daca la o proba
apare una din fetele cu 1,2 sau 3 puncte,atunc
A(non A)={4,5,6}(care se realizeaza daca nu se
realizeaza A,adica daca intr-o proba apare una din
fetele care contin 4,5 sau 6 puncte).
• Reuniunea
• Def)Fie A,B doua evenimente.Se numeste
reuniunea evenimentelor A,B evenimentul notat A
U B(citim A sau B)care se realizeaza daca si numai
daca se realizeaza cel putin unul din evenimentele
A,B.
• Exemplu.La aruncarea zarului fie evenimentele:
• A={1,2,3},B={4,5},C={1,3},D={2,3,5}.Atunci A U
B={1,2,3,4,5}si C U D={1,2,3,5}.

9. • Intersectia
• Definitie:Fie A,B doua evenimente.Se
numeste intersectia evenimentelor A
si B evenimentul notat A ^ B(citim: A
si B)care se realizeaza daca si numai
daca se realizeaza simultan A si B.
• Exemplu.La aruncarea zarului fie
evenimentele:A={1,2,3,4},B={2,4,6}.
• Atunci A ^ B={2,4}si se realizeaza
daca la aruncarea zarului apare fata
cu doua puncte sau fata cu patru
puncte.

10. • Evenimente incompatibile
• Def.Doua evenimente A,B se numesc incompatibile
dai si numai daca A ^ B=0
• Cu alte cuvinte doua evenimente sunt
incompatibile daca nu se pot realize simultan in
nici o proba legata de fenomenul aleator
considerat.
• Exemplu:La aruncarea zarului evenimentele
A={1,2,3}, B= {4,5,6} sunt incompatibile deoarece A
^ B=0.
• Evenimente elementare
• Def.Fie ohm un univers finit
ohm={w1,w2,...wn}.Evenimentele {w1},{w2},…,{wn}
se numesc evenimente elementare.
• Exemplu:
• La aruncarea monedei ohm={s,b} cand avem
elementele elementare{s} (aparitiastemei,{b}
(aparitia banului).

11. • Functia probabilitate
• Dintre toate formulele propuse pentru
definirea functiei probabilitatea,cea folosita
astazi este teoria dezvoltata de
matematicianul rus Kolmogorov la inceputul
deceniului al patrulea al secolului XX.Ela a
propiat conceptual de probabilitate de
teoria masurii si analiza
functionala.Kolmogorov a creat un
fundament axiomatic pentru conceptual de
probabilitate care se bazeaza pe o multime
ohm de evenimente elementare si un
system |B c P(ohm).Evenimentele sistemului
|B,adica submultimile lui ohm se numesc
evenimente (aleatoare).In plus |B verifica
proprietatile:

12. • 1)Daca A1,A2...,An,…E |B,atunci U Ai E
|B;
• 2)Daca A E B,atunci C A E |B.
• Observatii!!!0)Toate evenimentele vor
avea probabilitati de la 0,evenimentul
imposibil,aproape de zero,evenimente
putin probabile,egale cu ½,corespund
evenimentelor cu sanse egale,aproape
de 1,cand vorbim de evenimente
foarte probabile si pana la 1,care
corespunde evenimentului sigur.

13. • Camp de probabilitate
• Consideram F un fenomen
aleator.Modelarea matematica a
acestuia este caracterizata de cele
trei elemente descries mai
sus:universal probelor(ohm),multimea
tuturor evenimentelor(P(ohm)) si de
probabilitatea P asociata multimii
evenimentelor.
• Definitie.Fie F un fenomen
aleator.Tripletul (ohm,P(ohm),P) se
numeste CAMP DE PROBABILITATE
asociat fenomenului F.

14. • Exemplu:1)La aruncarea monedei
ohm={s.b},P(ohm)={0,{s},{b},{s,b}},iar
P:P(ohm)->[0,oo),unde
P(0)=0,P({s})=P({b})=1/2,P({s,b})=1
• Operatii cu probabilitati
• Din definitia probabilitatii si
proprietatile operatiilor cu multimi se
deduc reguli de calcul ale proprietatii
unor evenimente.
• Vom demonstra pentru inceput
urmatoarea:
• Teorema:Daca A,B E P(ohm),atunci
P(B^A)=P(B)-P(B^A).

15. • *Remarca importanta!!!
• Axiomele din definitia probabilitatii si
rezultatele precedente sunt
insuficiente pentru a preciza
probabilitatile diferitelor evenimente
ale unui univers ohm.Alte consideratii
sau experiente practice sunt
indispensabile pentru a da aceste
probabilitati sau cel putin o parte
Dintre ele.

16. • Evenimente elementare echiprobabile
• Definitie.Fie ohm={W1,W2,…,Wn}.Evenimentele elementare
{W1},{W2},…,{Wn} se numesc echiprobabile daca au aceeasi
probabilitate P({W1})=P({W2})=…=P({Wn})
• Cum P(ohm)=1,iar pe de alta parte P(ohm)=P({W1})+P({W2})+…
+P({Wn}) (evenimentele elementare fiind incompatibile doua
cate doua deducem:
• P({W1})=P({W2})=…=P({Wn})=1/n
• Pentru evenimentul:A={Wi,…,Wik}avem acum probabilitatea:
• P(A)=P({Wi1}+…+P({Wik})=k/n.
• Teorema!Daca ohm este un univers format din n evenimente
elementare echiprobabile,iar A este un eveniment format din
reuniunea a k evenimente elementare,atunci
P(A)=k/n=n(A)/n(ohm).
• Reformulam rezultatul sub forma:probabilitatea unui
eveniment asociat unui experiment avand cazuri elementare
echiprobabile este raportul Dintre numarul de cazuri
favorabile realizarii evenimentului si numarul total de cazuri
posibile.

17. • Evenimente elementare echiprobabile
• Definitie.Fie ohm={W1,W2,…,Wn}.Evenimentele elementare
{W1},{W2},…,{Wn} se numesc echiprobabile daca au aceeasi
probabilitate P({W1})=P({W2})=…=P({Wn})
• Cum P(ohm)=1,iar pe de alta parte P(ohm)=P({W1})+P({W2})+…
+P({Wn}) (evenimentele elementare fiind incompatibile doua
cate doua deducem:
• P({W1})=P({W2})=…=P({Wn})=1/n
• Pentru evenimentul:A={Wi,…,Wik}avem acum probabilitatea:
• P(A)=P({Wi1}+…+P({Wik})=k/n.
• Teorema!Daca ohm este un univers format din n evenimente
elementare echiprobabile,iar A este un eveniment format din
reuniunea a k evenimente elementare,atunci
• P(A)=k/n=n(A)/n(ohm).
• Reformulam rezultatul sub forma:probabilitatea unui
eveniment asociat unui experiment avand cazuri elementare
echiprobabile este raportul Dintre numarul de cazuri
favorabile realizarii evenimentului si numarul total de cazuri
posibile.

18. • Regula produsului: Si x (produs)
• Pentru calculul probabilitatilor din diagrama,se
poate utilize regula produsului de la
combinatorica.De exemplu,pentru rezultatul (a,a)
avem urmatorul rationament.
• Prima bila alba se extrage din cele trei bile albe in
trei moduri.Se repune bila alba extrasa inapoi in
urna si se reface compozitia initiala a urnei.Deci,la
a doua extragere,bila alba se poate obtine tot in
trei moduri.Conform regulii produsului numarul de
posibilitati de a extrage doua bile albe este egal cu
3x3=9.Numarul de posibilitati de a extrage prima
bila din 7este egal cu sapte.A doua bila se poate
extrage tot Dintre cele 7 bile,in 7 moduri.Conform
aceleasi reguli,numarul de moduri de extragere a
doua bile este egal cu 7x7=49.Probabilitatea
cautata este egala cu 9/49.

19. • Altfel,putem considera doua urne cu
continut identic U1(3a,4n),U2(3a,4n)si
extragem simultan cate o bila din fiecare
urna.Din prima urna,o bila alba se extrage in
3 moduri(din cele 3 bile albe),iar din a doua
urna,o bila alba se extrage regulii
produsului,cele doua bile albe se extrag in
3x3=9 moduri etc.
• Facem observatia ca probabilitatile
(coloana atasata diagramei)sunt correct
calculate,pe coloana rezultate sunt date
toate evenimentele elementare;or,se stie ca
suma probabilitatilor lor este egala cu 1).In
cazul de fata:
• 9/49+12/49+12/49+16/49=49/49=1.

20. • Deci,probabilitatile au fost correct
calculate.
• Observatii!!! 1)Problema poate fi
abordata si astfel:numerotam bilele
albe si negre cu 1a,2a,3a,1n,2n,3n,4n
si avem universal probelor
• Ohm={(x,y)|
x,yE{1a,2a,3a,1n,2n,3n,4n}}cu n
ohm=49.Acum
• A={(1a,1n),(1a,2a,3a,1n,2n,3n,4n)…,
(2a,4n),(3a,1n),…,(3a,4n),(1a,1a),
(1a,2a),(1a,3a),(2a,1a),….,(3a,3a)} cand
n(A)=21 etc.

21. • Regula sumei: Sau<=> + (adunarea)
• Pe fiecare ramura a diagramei am indicat
probabilitatea cu care se extrage bila
respectiva.Dupa prima extragere am marcat
sub fiecare bila extrasa continutul urnei
dupa extragere.
• Probabilitati conditionate
• Pentru un fenomen aleator F dorim sa
calculam probabilitatea unui eveniment A a
carui realizare depinde de realizarea unui
alt eveniment B.Daca realizarea acestuia
din urma a avut loc,atunci aceasta
informatie va modifica probabilitatea de
realizare a evenimentului A.Vom nota
aceasta noua probabilitate prin Pb(A)
(citim:probabilitatea evenimentului A
conditionata de evenimentul B).

22. • Exemplu comentat.Consideram aruncarea
unui zar ideal.Universul probelor este
ohm={1,2,3,4,5,6}(sase evenimente
echiprobabile).Fie A={1,6},B={2,4,6} si A ^
B={6}.Avem P(A)=2/6=1/3,P(B)=3/6=1/2,
P(A^B)=1/6.
• Daca,zarul fiind aruncat,ni se precizeaza ca
s-a obtinut un numar par de puncte(adica s-
a produs B),atunci numarul cazurilor
posibile se reduce la 3(=nB)).Atunci
Pb({6})=1/3.
• Definitie.Fie A,B c ohm.Se numeste
probabilitate a evenimentului A
conditionata de evenimentul B numarul
notat Pb(A)definit prin Pb(A)=P(A^B)/P(B),
P(B)=/ 0.

23. • Teorema!!!
• .Fie A,B,C…evenimente ale unui univers
ohm.Atunci1)P(A^B)=P(A)Pa(B);2)P(A^B^C)=
P(A)pa(B)xPa^b(C).
• Demonstratie!
• 1)Se obtine din Pa(B)=P(A^B)/P(A).
• 2)P(A^B^C)=P(A)Pa(B)x Pa^b(C).
• Exemplu:O urna contine 7 bile rosii si 4 bile
albe.Se fac doua extrageri,fara repunerea
bilei extrase inapoi in urna.
• 1)Determinati probabilitatile evenimentelor
legate de aceasta experienta.
• 2)Determinati probabilitatea ca bilele
extrase sa aiba culori diferite.

24. • Evenimente independente
• Sa ne imaginam ca stim ca evenimentul A s-a
produs,dar ca acest fapt nu are nici o influenta
asupra probabilitatii evenimentului B,adica
Pa(B)=P(B).De aici
P(A^B)/P(A)=P(B)sauP(A^B)=P(A)P(B).
• Dar atunci Pb(A)=P(A^B)?
P(B)=P(A)P(B)/P(B)=P(A),astfel spus daca
evenimentul B nu depinde de evenimentul A,atunci
nici A nu depinde de B
• Definitie!!!
• 1)Fie A,B c ohm.Se spune ca evenimentele A,B
daca P(A^B)=P (A)P(B).In caz contrar evenimentele
sunt dependente.
• 2)Fie A,B,C c ohm.Se spune ca evenimentele A,B,C
sunt independente daca:
• P(A^B)=P(A)P(B), P(A^C)=P(A)P(C),
• P(B^C)=P(B)P(C),
P(A^B^C)=P(A)P(B)P(C).

25. • Exemplu.Se arunca o moneda de doua ori.Universul
rezultatelor este ohm={(s,s),(s,b),(b,b)}.Consideram
A evenimentul “stema apare la prima
aruncare”.Acesta este A={(s,s),(s,b)}.Fie B
evenimentul “banul apare la a doua aruncare”.Deci
B={(s,b),(b,b)}.Avem:P(A)=2/4=1/2,P(B)=2/4=1/2,iar
P(a^B)=P((s,b))=1/4.
• Definitie!Fie ohm1,ohm2,…,ohmn universurile
associate la n probe successive independente si
P1,P2,…,Pn probabilitatile relative la aceste
universuri.
• Fie ohm=ohm1x…xohm nuniversul asociat multimii
acestor probe,iar P probabilitatea relative la ohm.
• Atunci P(a1,a2,…an)=P1(a1)P2(a2)…Pn(an),aiE ohm
I,i=1,n.
• Aceasta definitie caracterizeaza modelul
mathematic corespunzator unui fenomen aleator F
ale carui n probe sunt independente.

26. • VA MULTUMESC PENTRU ATENTIA
ACORDATA!!