turunan

1. DERIVATIF

2. DERIVATIF
● Derivatif adalah hasil Yang diperoleh dari proses diferensiasi.
● Diferensiasi dapat diartikan sebagai proses penurunan sebuah fungsi
● Diferensial membahas tingkat perubahan suatu fungsi Sehubungan dengan
perubahan kecil dalam variabel bebas fungsi bersangkutan, yang
dilambangkan dengan :
y = f(x)
dy/dx = y’ = f’(x)
Contoh Soal :​
y = x3 - 2x2 + 4x - 25​
dy/dx = 3x3-1 - 2.2x2-1 + 4
dy/dx = 3x2 - 4x + 4​

3. Penerapan Derivatif pada Ekonomi (Elastisitas)
• Bentuk Elastisitas :
1. Elastisitas harga
Berbentuk Q=f(P)
Berbentuk P=f(Q)
2. Elastisitas Permintaan
ηh = dQ/dP . P/Q
3. Elastisitas Penawaran
4. Elastisitas Produksi
ηh= dQ/Q . P/dP
ηd = Qd’ . P/Qd
ηs = Qs’ . P/Qs
ηp = P’ . X/P
1. |η| > 1 : elastis
2. |η| < 1 : inelastis
3. |η| = 1 : unitary elastis
4. |η| = 0 : inelastis sempurna
5. |η| = ~ : elastis tak hingga
• Sifat-Sifat Elastisitas

4. Contoh Soal Elastisitas
Jika fungsi permintaan suatu barang ditunjukkan oleh Q = 25 - 2P berapakah Elastisitas
harga pada tingkat P = 3?
Dik : Q = 25 - 2P
P = 3
dQ/dP = -2
Q = 19
Dit : ηh?
Analisis : Jadi Elastisitas harga permintaan pada tingkat harga sebesar 3 adalah 0,3 yang
artinya jika harga naik 1% maka jumlah permintaan terhadap barang itu akan turun sebesar
0,3%
Dij : ηh = dQ/dP . P/Q​
= -2 . (3/19)​
= |-0.3| = 0.3 (inelastis)​

5. Ket :
TC : biaya total (Total Cost)
Q : jumlah barang (Quantity)
FC : biaya tetap (Fixed Cost)
VC : biaya variabel (Variabel Cost)
Penerapan Derivatif Pada Ekonomi (Biaya)
A. Biaya total
TC = F(Q) atau
TC = FC + VC
B. Biaya Rata-Rata
AC = TC/Q
C. Biaya Marginal
MC = TC’ =
ΔTC/ΔQ
AC : biaya rata-rata (Average Cost)​
MC : biaya marginal (Marginal Cost)​
TC’ : turunan pertama biaya total​
ΔTC : perubahan biaya total​
ΔQ : perubahan 1 unit produk​

6. Contoh Soal Biaya
Persamaan biaya total yang dikeluarkan oleh PT Blue TC = 23Q3 + 5Q2 - 3Q + 22. Tentukan
Besarnya biaya total, rata-rata, dan marjinal, pada kuantitas 2 unit! analisis lah!
Dik : TC = 23Q3 + 5Q2 - 3Q + 22
Q = 2
Dit : TC? AC? MC? Saat Q=2
Dij : •> TC = 23Q3 + 5Q2 - 3Q + 22
= 23(2)3 + 5(2)2 - 3(2) + 22
= 184 + 20 - 6 + 22
= 220
Analisis : Jadi pada saat PT blue memproduksi 2 unit, maka biaya totalnya sebesar Rp. 220, biaya
rata-rata sebesar Rp. 110, dan biaya marjinal sebesar Rp. 293
•> MC = TC’​
= 69Q2 + 10Q - 3​
= 69(2)2+ 10(2) - 3​
= 276 + 20 - 3​
= 293​
•> AC = TC/Q​​
= 220/2​​
= 110​​

7. Penerapan Derivatif Pada Ekonomi
(Penerimaan)
A. Penerimaan total
TR = F(Q) = P.Q
B. Penerimaan Rata-
Rata
AR = TR/Q = P x Q/Q =
P
C. Penerimaan
Marginal
MR = TR’ =
ΔTR/ΔQ
• TR = Penerimaan total (Total Revenue)
• AR = Penerimaan rata-rata (average revenue)
• MR = Penerimaan Marginal (Marginal Revenue)
• P = Harga (Price)
• Q = Jumlah Barang (Quantity)
• TR’ = Turunan Pertama penerimaan total​
• ΔTR = Perubahan Penerimaan Total​
• ΔQ = perubahan 1 unit produk

8. Dik : P = 70Q2+ 40
Q = 3
Dij :
Analisis :
Jadi penerimaan total yang diterima PT Mekar abadi saat menjual 3 unit sebesar Rp. 2010,
Dengan penerimaan rata-rata sebesar Rp. 670 dan penerimaan marjinal sebesar Rp. 1930
•> TR ​= F(Q)​
= 70(3)3 + 40(3)​
= 1890 + 120​
= 2010​
•> AR ​= TR/Q​
= 2010/3​
= 670​
•> MR​ = TR’​
= 210Q2 + 40​
= 210(3)2 + 40​
= 1930​
Fungsi permintaan PT. Mekar Abadi ditunjukkan oleh P = 70Q2 + 40. Bagaimana persamaan penerimaan
totalnya? Lalu berapa besar penerimaan total, penerimaan rata-rata, dan penerimaan marginal, jika
penjualannya sebesar 3 unit?
•> Pers.TR = P x Q
= (70Q2 + 40) x Q​
= 70Q3 + 40Q​
Dit : Pers.TR? TR? AR? MR?
Contoh Soal Penerimaan

9. Penerapan Derivatif Pada Ekonomi (Laba Max)
π = TR-TC atau π = (P x Q) - (FC + VC)
Fungsi permintaan suatu barang ditunjukkan oleh persamaan P = -20Q + 3200 dengan VC = 5Q2 - 300Q, Biaya
tetap sebesar 5000. Pada tingkat penjualan berapa perusahaan mendapat laba maksimum? dan berapa besarnya
laba tsb? analisis!
Dik : TC = VC + FC = 5Q2 - 300Q + 5000
TR = P x Q
= -20Q + 3200 (Q)
= -20Q2 + 3200Q
Dit : Q pada saat laba max? π?
Dij : MR = TR’
MR = -40Q + 3200
MC = TC’
MC = 10Q - 300
• MR = MC​
-40Q + 3200 = 10Q - 300​
3200 + 300 = 10Q + 40Q​
3500 = 50Q​
70 = Q​
• TR = -20(70)2 + 3200(70) = 126.000​
• TC = 5(70)2 - 300(70) + 5000 = 8.500​
• πmax = 126.000 - 8.500 = 117.500​
Analisis :
Jadi untuk mendapat laba
maksimum, perusahaan harus
menjual 70 unit, sehingga
keuntungan maksimum nya
sebesar Rp. 117.500

10. DAFTAR PUSTAKA
Al-Arif, M. R. (2013). Matematika Terapan Untuk Ekonomi. Bandung : Pustaka Setia.
B. Mesra. 2016. Penerapan Ilmu Matematika Dalam Ekonomi dan Bisnis. Yogyakarta :
Deepublish.
Universitas Gunadarma, Modul Matematika Ekonomi 2 Laboratorium Manajemen
Dasar ATA 2022/2023