Bab Persamaan Kuadrat

1. Namakelompok:
1.Chintyajuliyanti
2.Sintasaridewi
3.Nabilalia
4.Megapuspa
5.Auralia
6.Deamarshanda
7.Renianggraeni
8.Adindaamanda
9.Novitanurainy

2. PERSAMAANKUADRAT
1.Definisipersamaankuadrat
Persamaankuadratadalahsuatupersamaandimanapangkattertinggidari
variabelnyaadalahdua.Bentukumumpersamaankuadratadalahsebagaiberikut:
ax2
+bx+c=0dengana≠0,a,b,c€R
Perhatikancontohpersamaankuadratberikutini:
 2x2
+4x-1=0 a=2,b=4danc=-1
 x2
=3x=0 a=1,b=3,danc=0
 x2
-9=0 a=1,b=0danc=-9
2.MenentukanAkar-akarpersamaankuadrat
Adatigacarayangdapatdigunakanuntukmenentukanakarakaratau
menyelesaikanpersamaankuadratyaitudenganfaktorisasi,melengkapkan
bentukkuadratsempurna,danrumuskuadrat(rumusabc).
a.Faktorisasi
Untukmenyelesaikanpersamaanax2
+bx+c=0,a≠0dengan
faktorisasi,terlebihdahulucariduabilanganyangmemenuhisyaratsebagai
berikut.
 Hasilkalinyaadalahsamadenganac
 Jumlahnyaadalahsamadenganb
Misalkanduabilanganyangmemenuhisyarattersebutadalahx1danx2

3. maka,
x1.x2=a.cdanx1+x2=b
Prinsipdasaryangdigunakanuntukmenyelesaikanpersamaankuadrat
dengan faktorisasiadalahsifatperkalian,yaitu:
Jikaab=0,makaa=0ataub=0
Jadikitaakanmengubahataumemfaktorkanbentukbakupersamaan
kuadratax2+bx+c=0.
 Untuka=1
Kitafaktorkanbentukx2+bx+c=0menjadi(x+x1)(x+x2)=0.
X
2
+bx+c=(x+x1)(x+x2)
=x2+xx1+xx2+x1x2
=x2+(x1+x2)x+x1x2
Jadibentukax2+bx+c=0dapatdifaktorkanmenjadi
(x+x1)(x+x2)=0jikaterdapatpasangan(x1,x2)yangmemenuhi
x1+x2=bdanx1.x2=c.
 Untuka≠1
Kitafaktorkanbentukax2+bx+c=0menjadi
=0
(ax+x1)(ax+x2)
a
Ax2+bx+c= =(x+ )(ax+x2)
(ax+x2)(ax+x1)
a
x1
a
=ax2+xx1+xx2+ =ax2+(x1+x2)x+
x1x2
a
x1x2
a
Jadi,bentukax2+bx+c=0dapatdifaktorkanmenjadi
=0jikaterdapatpasangan(x1,x2)yangmemenuhi
(ax+x2)(ax+x1)
a
x1+x2=bdanx1.x2=ac.

4. Contoh:
Carilahakar-akarpersamaankuadratberikutinidenganfaktorisasi.
a.X
2
–3x-28=0 b.3x
2
+2x–5=0
Penyelesaian:
a.X
2
–3x–28=0 a=1,b=-3,danc=-28
Cariduabilangansehinggahasilkalinya=1.(-28)=-28danjumlahnya=-3.
Bilanganyangmemenuhisyarattersebutadalah-7dan4,sehingga
X
2
–3x–28=0
 (x+4)(x–7)=0
 X+4=0ataux–7=0
 X=-4ataux=7
b.3x
2
+2x–5=0 a=3,b=2,danc=-5
Cariduabilangansehinggahasilkalinya=3.(-5)=-15danjumlahnya=2.
Bilanganyangmemenuhisyarattersebutadalah-3dan5,sehingga
3x
2
+2x–5=0
 =0
(3x+5)(3x-3)
3
 3x–3=0atau3x+5=0
 3x=3atau3x=-5
 X=1ataux=-
5
3
b.Melengkapkanbentukkuadratsempurna
Persamaankuadratax
2
+bx+c=0,a≠0diubahmenjadibentuk

5. kuadratsempurnadengancaraberikut:
1)Pastikankoefisiendarix
2
adalah1,bilabelumbernilai1bagilah
denganbilangansedemikianhinggakoefisiennyaadalah1.
2)Tambahkanruaskiridankanandengansetengahkoefisiendarix
kemudiandikuadratkan.
3)Buatlahruaskirimenjadibentukkuadratsempurna,sedangkan
ruaskanandisederhanakan.
Contoh:
Dengancaramelengkapkanbentukkuadratsempurna,carilahakar-akardari
persamaanberikut.
a.x
2
–6x–16=0 b.X
2
+3x=0
Penyelesaian:
a.X
2
–6x–16=0
 X
2
–6x=16
 X
2
–6x+
2
=16+
2
( .
1
2
(-6)) (.
1
2
(-6))
 X
2
–6x+(-3)
2
=16+(-3)
2
 X
2
–6x+9=16+9
 (x–3)
2
=25
 X–3=±5
 X1=5+3ataux2=-5+3
 X1=8ataux2=-2
b.X
2
+3x=0
 X
2
+3x+
2
=
2
(.3
1
2 ) (.3
1
2 )
Keduaruasditambah16
Keduaruasditambah( xkoefisien
1
2

6.  X
2
+3x+ =
9
4
9
4
 2
=(x+
3
2) 9
4
 x+ =±√
3
2
9
4
 x+ =±
3
2
3
2
 X1= - atauX2=- -
3
2
3
2
3
2
3
2
 X1=0atauX2=-3
c.Rumusabc
Denganmenggunakanaturanmelengkapkankuadratsempurnayang
telahdipelajarisebelumnya,dapatdicarirumusuntukmenyelesaikan
persamaankuadrat.
Jikax1danx2adalahakar-akarpersamaankuadratax
2
+bx+c=0,
maka:
X1 = danX2=
-b+ -4acb2
2a
-b- -4acb2
2a
Contoh:
Tentukanpenyelesaianpersamaanberikutdenganmenggunakanrumusabc.
a.X
2
–2x–24=0
b.2x
2
–8=0
Penyelesaian:
a.Daripersamaanadiperoleha=1,b=-2,danc=-24.
X1,2=
-b± -4acb2
2a

7. X1,2= =
2± 4+96
2
2±10
2
X1= atauX2=
2+10
2
2-10
2
X1=6danX2=-4
b.Daripersamaanbdiperoleha=2,b=0,danc=-8.
X1,2=
-b± -4acb2
2a
X1,2=
-0± -4. .(-8)(0)2
(4)
2(a)
X1,2= =±
0± 64
4
8
4
X1=-2atauX2=2
3.Jenis-jenisAkarPersamaanKuadrat
Jikadiperhatikancaramencaripenyelesaianpersamaankuadratdengan
menggunakanrumus,makajenisakar-akartersebutakanbergantungpadanilaib
2
–4ac.Nilaib
2
–4acdisebutdiskriminan,yaituD=b
2
–4ac.
BeberapajenisakarpersamaankuadratberdasarkannilaiD.
a.JikaD>0,makapersamaankuadratmempunyaiduaakarrealyangberbeda.
b.JikaD=0,makapersamaankuadratmempunyaiduaakarrealyangsamaatau
seringdisebutmempunyaiakarkembar(sama).
c.JikaD<0,makapersamaankuadratmempunyaiakaryangtidakreal(imajiner).
Contoh:
1.Selidikijenisakarpersamaankuadratdibawahinitanpamencariakarnyaterlebih
dahulu.

8. a.X
2
+10X+25=0
Penyelesaian:
a.X
2
+10x+25=10→ a=1,b=10,danc=25
D=b
2
–4ac
 D=10
2
–4(1)(25)
 D=100–100=0
Jadi,persamaankuadratX
2
+10x+25=0mempunyaiakaryangsamaatauakar
kembar.
4.RumusJumlahdanHasilKaliAkar-akarPersamaanKuadrat
Akar-akarpersamaankuadratadalahsebagaiberikut:
X1= atauX2=
-b- -4acb2
2a
-b+ -4acb2
2a
Jikakeduaakartersebutdijumlahkan,makadidapatkan:
X1+X2=-
b
a
Jikakeduaakartersebutdikalikan,makadidapatkan:
X1.X2=
c
a
Keduabentukdiatasdisebutrumusjumlahdanhasilkaliakarpersamaankuadrat.
Contoh:
1.JikaX1danX2akar-akardaripersamaanx
2
+4x–1=0,tentukanlahX1+X2.
Penyelesaian:
Daripersamaanx
2
+4x–1=0diperoleh:a=1,b=4,danc=-1.

9. X1+X2= = =-4
-b
a
-4
1
ContohSoalUNMatematikaPersamaanKuadratdanPembahasan
1)UN2004
Persamaankuadratyangakar-akarnya5dan−2adalah...
A. x
2
+7x+10=0
B. x
2
+3x− 10=0
C. x
2
− 7x+10=0
D. x
2
− 3x−10=0
E. x
2
+3x+10=0
Pembahasan:
α=5
β=−2
x
2
−(α + β)x +αβ=0
x
2
−(5+(−2))x +5(−2)=0
x
2
−3x−10=0
Jawaban:D
2)UN2009
Persamaankuadrat3x
2
+6x−1=0mempunyaiakarαdanβ. Persamaankuadrat
baruyangakarnya1−2αdan1−2βadalah...
A. 3x
2
− 18x−37 =0
B. 3x
2
−18x+13=0
C. 3x
2
−18x+11=0
D. x
2
−6x−37=0
E. x
2
−6x+11=0
Pembahasan:
Akar-akarPKbarudapatditulismenjadi
−2α + 1 dan −2β + 1

10. 3x
2
+ 6x− 1=0
3(x - 1)
2
+6(-2)(x - 1)−1(−2)
2
=0
3(x
2
− 2x+ 1)−12(x− 1)−4=0
3x
2
− 6x+3−12x +12−4=0
3x
2
−18x+11=0
Jawaban:C
3)UN2012
Persamaankuadratx
2
+ (m −2)x+ 2m −4=0mempunyaiakar-akarreal,makabatas
nilaimyangmemenuhiadalah...
A. m ≤2atau m ≥10
B. m ≤−10atau m ≥−2
C. m <2atau m >10
D. 2< m <10
E. −10< m <−2
Pembahasan:
a=1
b= m −2
c=2m –4
Akarreal ⇒ D≥0
b
2
−4ac≥0
(m −2)
2
−4(1)(2m −4)≥0
m2
−4m +4−8m + 16≥0
m2
−12m +20 ≥0
Pembuatnol
(m −2)(m −10)=0
m =2atau m =10
Pertidaksamaanbertanda"≥"maka
HP={m ≤2atau m ≥10}
Jawaban:A
4)UN2012
Persamaankuadrat2x
2
− 2(p −4)x+ p =0mempunyaiduaakarrealberbeda.Batas-

11. batasnilai p yangmemenuhiadalah...
A. p ≤2atau p ≥8
B. p <2atau p >8
C. p <−8atau p >−2
D. 2< p <8
E. −8< p <−2
Pembahasan:
a=2
b=−2(p −4)=8−2p
c=p
Duaakarrealberbeda ⇒ D>0
b
2
−4ac>0
(8−2p)
2
−4(2)(p)>0
64−32p +4p2
−8p >0
4p2
−40p +64>0
p2
−10p +16>0
Pembuatnol
(p −2)(p −8)=0
p =2atau p =8
Pertidaksamaanbertanda">"maka
HP={p <2atau p >8}
Jawaban:B
5)UN2013
Agarpersamaankuadrat4x
2
− (p −3)x+1=0mempunyaiduaakartidaknyata,maka
nilai p yangmemenuhiadalah...
A. −1< p <7
B. −7< p <1
C. 1< p <7
D. p <−1atau p >7
E. p <1atau p >7
Pembahasan:
a=4

12. b=− (p −3)=3− p
c=1
Duaakartidaknyata ⇒ D<0
b
2
−4ac<0
(3− p)
2
−4(4)(1)<0
9−6p + p2
−16<0
p2
−6p −7<0
Pembuatnol
(p +1)(p −7)=0
p=−1ataup=7
Pertidaksamaanbertanda"<"maka
HP={−1< p <7}
Jawaban:A

13. Daftarputaka
ZeroMaker.2016.PembahasabsoalUNpersamaankuadrat.
http://smatika.blogspot.com
Kasmina.Toali.MatematikauntukSMK/MAKkelasX.Penerbiterlangga.
Jakarta.2013