1. ´
Algebra del operador nabla
Operadores de primer orden
∂φ ∂φ ∂φ
Gradiente: ∇φ = ux + uy + uz
∂x ∂y ∂z
∂Ax ∂Ay ∂Az
Divergencia: ∇·A = + +
∂x ∂y ∂z
∂Az ∂Ay ∂Ax ∂Az ∂Ay ∂Ax
Rotacional: ∇∧A = − ux + − uy + − uz
∂y ∂z ∂z ∂x ∂x ∂y
Aplicaci´ n sobre productos
o
∇(φψ) = ψ ∇φ + φ ∇ψ
∇ · (φA) = ∇φ · A + φ ∇ · A
∇ ∧ (φA) = ∇φ ∧ A + φ ∇ ∧ A
∇ · (A ∧ B) = (∇ ∧ A) · B − (∇ ∧ B) · A
∇ ∧ (A ∧ B) = A(∇ · B) + (B · ∇)A − B(∇ · A) − (A · ∇)B
∇(A · B) = A ∧ (∇ ∧ B) + (A · ∇)B + B ∧ (∇ ∧ A) + (B · ∇)A
Operadores de segundo orden
∂ 2φ ∂ 2φ ∂ 2φ
∇ · (∇φ) = ∇2 φ = + + 2 (Laplaciano)
∂x2 ∂y 2 ∂z
∇ ∧ (∇φ) = 0
∇ · (∇ ∧ A) = 0
∇ ∧ (∇ ∧ A) = ∇(∇ · A) − ∇2 A
Identidades de Green
1a identidad:∇ · (φ∇ψ) = ∇φ · ∇ψ + φ∇2 ψ 2a identidad:∇ · (φ∇ψ − ψ∇φ) = φ∇2 ψ − ψ∇2 φ

2. Resumen de f´ rmulas de coordenadas curvil´neas ortogonales
o ı
x = ρ cos ϕ = r sen θ cos ϕ x2 + y 2 = ρ = r sen θ x2 + y 2 + z 2 = ρ2 + z 2 = r
Vector de posici´ n:
o
Factores de escala: hx = 1 hy = 1 hz = 1
y x2 + y 2 ρ r = xux + y uy + zuz
y = ρ sen ϕ = r sen θ sen ϕ arctg =ϕ= ϕ arctg = arctg =θ ∂r hρ = 1 hϕ = ρ hz = 1
x z z r = ρ uρ + zuz hi =
∂qi hr = 1 hθ = r hϕ = r sen θ
y r = rur
z= z = r cos θ z = z = r cos θ arctg = ϕ =ϕ
x
Diferencial de longitud: Diferencial de volumen:
Delta de Dirac: δ(ρ − ρ )δ(ϕ − ϕ )δ(z − z )
dr = h1 dq1 u1 + h2 dq2 u2 + h3 dq3 u3 dτ = h1 h2 h3 dq1 dq2 dq3 δ(r − r ) =
δ(q1 − q1 )δ(q2 − q2 )δ(q3 − q3 ) ρ
dr = dxux + dy uy + dzuz dτ = dx dy dz δ(r − r ) =
dr = dρ uρ + ρ dϕ uϕ + dzuz dτ = ρ dρ dϕ dz
h1 h2 h3 δ(r − r )δ(θ − θ )δ(ϕ − ϕ )
δ(r − r ) =
δ(r − r ) = δ(x − x )δ(y − y )δ(z − z ) r2 sen θ
dr = drur + r dθ uθ + r sen θ dϕ uϕ dτ = r2 sen θ dr dθ dϕ
Gradiente:
1 ∂φ 1 ∂φ 1 ∂φ
∇φ = u1 + u2 + u3
Vectores unitarios: ux = cos ϕuρ − sen ϕuϕ = sen θ cos ϕur + cos θ cos ϕuθ − sen ϕuϕ h1 ∂q1 h2 ∂q2 h3 ∂q3
1 ∂r uy = sen ϕuρ + cos ϕuϕ = sen θ sen ϕur + cos θ sen ϕuθ + cos ϕuϕ
ui = ∂φ ∂φ ∂φ
hi ∂qi uz = uz = cos θur − sen θuθ ∇φ = ux + uy + uz
∂x ∂y ∂z
cos ϕux + sen ϕuy = uρ = sen θur + cos θuθ sen θ cos ϕux + sen θ sen ϕuy + cos θuz = sen θuρ + cos θuz = ur
− sen ϕux + cos ϕuy = uϕ = uϕ cos θ cos ϕux + cos θ sen ϕuy − sen θuz = cos θuρ − sen θuz = uθ ∂φ 1 ∂φ ∂φ
∇φ = uρ + uϕ + uz
uz = uz = cos θur − sen θuθ − sen ϕux + cos ϕuy = uϕ = uϕ ∂ρ ρ ∂ϕ ∂z
∂φ 1 ∂φ 1 ∂φ
∇φ = ur + uθ + uϕ
∂r r ∂θ r sen θ ∂ϕ
Rotacional: ∂Az ∂Ay ∂Ax ∂Az ∂Ay ∂Ax
∇∧A= − ux + − uy + − uz
h1 u1 h2 u2 h3 u3 ∂y ∂z ∂z ∂x ∂x ∂y
1 1 ∂Az ∂Aϕ ∂Aρ ∂Az 1 ∂(ρAϕ ) ∂Aρ
∇∧A =
∂ ∂ ∂ ∇∧A= − uρ + − uϕ + − uz
h1 h2 h3 ∂q1 ∂q2 ∂q3 ρ ∂ϕ ∂z ∂z ∂ρ ρ ∂ρ ∂ϕ
1 ∂(sen θAϕ ) ∂Aθ 1 1 ∂Ar ∂(rAϕ ) 1 ∂(rAθ ) ∂Ar
h1 A1 h2 A2 h3 A3 ∇∧A= − ur + − uθ + − uϕ
r sen θ ∂θ ∂ϕ r sen θ ∂ϕ ∂r r ∂r ∂θ
Divergencia: Laplaciano:
1 ∂(A1 h2 h3 ) ∂(h1 A2 h3 ) ∂(h1 h2 A3 ) 1 ∂ h2 h3 ∂φ ∂ h1 h3 ∂φ ∂ h1 h2 ∂φ
∇·A= + + ∇2 φ = + +
h1 h2 h3 ∂q1 ∂q2 ∂q3 h1 h2 h3 ∂q1 h1 ∂q1 ∂q2 h2 ∂q2 ∂q3 h3 ∂q3
∂Ax ∂Ay ∂Az ∂ 2φ ∂ 2φ ∂ 2φ
∇·A= + + ∇2 φ = + 2 + 2
∂x ∂y ∂z ∂x2 ∂y ∂z
1 ∂(ρAρ ) 1 ∂Aϕ ∂Az 1 ∂ ∂φ 1 ∂ 2φ ∂ 2φ
∇·A= + + ∇2 φ = ρ + 2 ∂ϕ2
+ 2
ρ ∂ρ ρ ∂ϕ ∂z ρ ∂ρ ∂ρ ρ ∂z
1 ∂(r2 Ar ) 1 ∂(sen θAθ ) 1 ∂Aϕ 1 ∂ ∂φ 1 ∂ ∂φ 1 ∂ 2φ
∇·A= 2
+ + ∇2 φ = r2 + sen θ +
r ∂r r sen θ ∂θ r sen θ ∂ϕ r2 ∂r ∂r r2 sen θ ∂θ ∂θ r2 sen2 θ ∂ϕ2