Osnovi informatike i računarstva - Prekidačke funkcije II: Predstavljanje prekidačkih funkcija analitičkim formama

1. 8.3. Potpuna konjuktivna normalna forma
U definiciji potpune konjuktivne normalne forme se pojavljuju potpune
sume nezavisno promenljivih funkcije. Zato moramo, najpre, definisati
elementarne i potpune sume promenljivih.
Definicija 4: Elementarna suma je Bulov izraz oblika
𝑥𝑗1
+ 𝑥𝑗2
+ ⋯ + 𝑥𝑗𝑛
gde je 𝑗1, 𝑗2, … , 𝑗𝑛 ∈ 1 , 𝑛
a 𝑥 predstavlja promenljivu ili njen komplement (tj. 𝑥 ∈ 𝑥, 𝑥 ).
Primer 7. Neke elementarne sume 3 promenljive su:
𝑥1, 𝑥2 + 𝑥3, 𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3, 𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3

2. 8.3. Potpuna konjuktivna normalna forma
Definicija 5: Bulov izraz koji se kreira kao proizvod elementarnih suma se
naziva konjuktivnom normalnom formom.
Primer 8. Jedna konjuktivna normalna forma 3 promenljive je:
(𝑥1+ 𝑥2) ∙ (𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3)
Definicija 7: Elementarna suma u kojoj učestvuju sve nezavisno promenljve
funkcije naziva se potpuna suma ili maksterm, tj. potpuna suma je Bulov
izraz oblika
𝑥1 + 𝑥2 + ⋯ + 𝑥1
Primer 9. Neke potpune sume 3 promenljive su:
𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3, 𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3, 𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3
Osobina bilo koje sume je da ona ima vrednost 0 samo kada svi njeni članovi
imaju vrednost 0. Zbog toga potpune sume imaju vrednost 0 samo na jednom
ulaznom vektoru. To znači i da je ukupan broj potpunih suma n-promenljivih
jednak ukupnom boju ulaznih vektora, odnosno 2n.

3. 8.3. Potpuna konjuktivna normalna forma
Primer 10. Ispitajmo kada potpuna suma
𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 ima vrednost 0.
Da bi suma imala vrednost 0, svaki njen član
treba da ima vrednost 0. U ovom primeru
cela suma će imati vrednost 0 ako je:
𝑥1 = 0, 𝑥2 = 0, 𝑥3= 0, 𝑡𝑗. 𝑥1 = 0, 𝑥2 = 1, 𝑥3=0
odnosno samo na ulaznom vektoru 010.
U tabeli su prikazani svi mogući ulazni vektori
prekidačke funkcije 3 promenljive i potpune
sume koji imaju vrednost 0 na tim vektorima.

4. 8.3. Potpuna konjuktinvna normalna forma
Definicija 8: Svaka prekidačka funkcija (osim konstante 1) se može
predstaviti kao proizvod potpunih suma koje imaju vrednost 0 na onim
ulaznim vektorima na kojima i funkcija ima vrednost 0. Ovakav Bulov
izraz se naziva potpuna konjuktivna normalna forma(PKNF) ili
savršena konjuktivna normalna forma (SKNF).
Primer 11. Kreirajmo potpunu konjunktivnu
normalnu formu funkcije koja je zadata
tablicom istinitosti iz tabele.
Ulazni vektori na kojima ova funkcija ima
vrednost 0 su: 000, 011, 110 i 111.
Potpune sume koji imaju vrednost 0 za ove
ulazne vektore su: 𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3, 𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3, 𝑥1 +
𝑥2 + 𝑥3, 𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 pa se data prekidačka
funkcija može predstati sledećom PDNF:
𝑓 𝑥1, 𝑥2, 𝑥3 = 𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 ∙ (𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3) ∙
(𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3) ∙ (𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3)