SlideShare a Scribd company logo

OIR9-L3.pptx

•
•
A
AleksandarSpasic5

Osnovi informatike i računarstva: Kombinacione prekidačke mreže I

Education
1 of 48
9.3. Kombinacione prekidačke mreže Kao što je već rečeno, kombinacione mreže predstavljaju kompoziciju logičkih elemenata ili preciznije, kompoziciju logičkih elemenata u kojoj ne postoje povratne veze. Pod povratnom vezom se podrazumeva put u prekidačkoj mreži kojim može da prođe signal od izlaza nekog logičkog elementa do njegovog ulaza. Pravila za povezivanje logičkih elemenata u kombinacionoj prekidačkoj mreži su sledeća: 1. Na ulaz logičkog elementa se može priključiti: • primarni ulaz mreže, • izlaz drugog logičkog elementa, ili • konstanta 0 ili 1. 2. Izlazni priključci dva logička elementa ne mogu biti direktno vezani. 3. Izlazni priključak logičkog elementa ne sme biti direktno ili indirektno vezan sa svojim ulazom.
9.3. Kombinacione prekidačke mreže Strukturna šema jedne kombinacione mreže prikazana je na slici. Kao što se sa slike vidi, ulazni signal prolazi kroz više logičkih elemenata u mreži dok ne dođe do izlaza. Maksimalni broj logičkih elemenata kroz koje prođe signal od ulaza u mrežu do njenog izlaza naziva se stepen prekidačke mreže. Takođe, za svaki element u mreži se može definisati stepen ili nivo kojem pripada kao maksimalni broj logičkih elemenata kroz koje signal prođe od ulaza u mrežu do njegovog izlaza. Mreža sa slike je trostepena. Na prvom nivou (stepenu) se nalazi NE kolo i I kolo čiji su ulazi signali b i c. Na drugom nivou je I kolo na čije je ulaze priključen signal a i izlaz NE kola, a na trećem nivou ILI kolo.
9.3. Kombinacione prekidačke mreže 9.3.1 Analiza kombinacionih prekidačkih mreža Analiza kombinacione mreže treba da nam omogući da razumemo kako radi prekidačka mreža predstavljena svojom strukturnom šemom, ili formalno: zadatak analize kombinacione mreže je da odredi sistem prekidačkih funkcija koje opisuju rad date mreže. Koraci u analizi kombinacione mreže su: 1. Obeležiti pomoćnim simbolima izlazne signale iz svih logičkih elemenata u mreži čiji izlazi ne predstavljaju izlaze čitave mreže. 2. Napisati izraze funkcionalnih zavisnosti izlaznih signala od ulaznih za svaki logički element u mreži. 3. U izrazima koji definišu funkcionalnu zavisnost izlaznih signala cele mreže vršiti zamenu pomoćnih promenljivih izrazima definisanim u koraku 2. dok se ne dobije zavisnost izlaznih signala isključivo u funkciji primarnih ulaznih signala. 4. Predstaviti dobijenu funkciju na neki od standardnih načina.
9.3. Kombinacione prekidačke mreže 9.3.1 Analiza kombinacionih prekidačkih mreža Primer 1. Izvršićemo analizu kombinacione mreže sa prethodne slike. Korak 1. Obeležimo izlaze iz logičkih elemenata kao na slici ispod. Korak 2. Pišemo izraze koji opisuju rad svakog logičkog elementa u mreži: d = 𝑏 𝑒 = 𝑎 ∙ 𝑑 g = 𝑏 ∙ 𝑐 𝑓 = 𝑒 + 𝑔 Korak 3. Transformišemo izraz za izlazni signal f. 𝑓 = 𝑒 + 𝑔 = 𝑎 ∙ 𝑑 + 𝑏 ∙ 𝑐 = 𝑎 ∙ 𝑏 + 𝑏 ∙ 𝑐
9.3. Kombinacione prekidačke mreže 9.3.1 Analiza kombinacionih prekidačkih mreža Primer 1. Izvršićemo analizu kombinacione mreže sa prethodne slike. Korak 4. Kreiraćemo tablicu istinitosti dobijene funkcije. d = 𝑏 𝑒 = 𝑎 ∙ 𝑑 g = 𝑏 ∙ 𝑐 𝑓 = 𝑒 + 𝑔 𝑓 = 𝑒 + 𝑔 = 𝑎 ∙ 𝑑 + 𝑏 ∙ 𝑐 = 𝑎 ∙ 𝑏 + 𝑏 ∙ 𝑐
9.3. Kombinacione prekidačke mreže 9.3.2 Sinteza kombinacionih prekidačkih mreža Proces sinteze kombinacionih prekidačkih mreža se odvija kroz 3 faze: 1. izbor logičkih elemenata koji će se koristiti u realizaciji mreže, 2. određivanje neke minimalne analitičke forme na osnovu koje će se mreža realizovati (minimizacija funkcije), 3. crtanje same strukturne šeme mreže. Pri izboru logičkih elemenata koji će se u mreži koristiti treba voditi računa o tome da operacije koje su realizovane izabranim logičkim elementima čine bazis u prekidačkoj algebri (tako smo sigurni da ćemo pomoću izabranih kola moći da realizujemo bilo koju prekidačku funkciju) i da izabrani elementi zadovoljavaju dodatne kriterijume korisnika mreže.
9.3. Kombinacione prekidačke mreže 9.3.2 Sinteza kombinacionih prekidačkih mreža Dodatni kriterijumi korisnika mogu biti: • cena celokupne mreže, • vreme kašnjenja kroz mrežu (što možemo minimizovati smanjenjem stepena mreže ili izborom elemenata sa manjim kašnjenjem), • potrošnja energije, ... Centralni problem koji se rešava pri sintezi kombinacionih prekidačkih funkcija je minimizacija analitičke forme kojom je funkcija predstavljena koja se uobičajeno naziva minimizacija prekidačke funkcije.
9.3. Kombinacione prekidačke mreže 9.3.3 Minimizacija prekidačkih funkcija Da bismo razumeli cilj i postupak minimizacije prekidačkih funkcija treba najpre uvesti pojam minimalnih analitičkih formi. Analitičke forme koje se koriste za predstavljanje prekidačkih funkcija koje smo do sada upoznali su: potpuna disjunktivna normalna forma, potpuna konjuktivna normalna forma, potpuna polinomna normalna forma i kanonički polinom. Pri navođenju ovih formi istaknuta je reč "potpuna" jer ona ukazuje da u odgovarajućim izrazima učestvuju potpune sume ili potpuni proizvodi. Potpune forme za predstavljanje prekidačkih funkcija jesu jedinstvene, ali su često jako glomazne i sinteza prekidačkih funkcija se nikada ne vrši na osnovu potpune forme već se one određenim transformacijama svode na svoj minimalni oblik.
9.3. Kombinacione prekidačke mreže 9.3.3 Minimizacija prekidačkih funkcija Jedino u kanoničkom polinomu ne učestvuju nikakvi potpuni izrazi i stoga je jedino kanonički polinom jedinstven. Svaku prekidačku funkciju možemo predstaviti različitim konjuktivnim, disjunktivnim ili polinomnim normalnim formama. Pošto ćemo sintezu kombinacionih prekidačkih mreža raditi uglavnom na osnovu konjuktivnih i disjunktivnih normalnih formi uvešćemo kriterijume kada ćemo neku disjunktivnu ili konjuktivnu formu smatrati minimalnom. Da bismo došli do pojma minimalne disjunktivne normalne forme, uvešćemo pojmove implikante i proste implikante prekidačke funkcije.
9.3. Kombinacione prekidačke mreže 9.3.3 Minimizacija prekidačkih funkcija Definicija 1: Implikanta funkcije f je funkcija koja ima vrednost 0 na svim ulaznim vektorima na kojima funkcija f ima vrednost 0 i ima vrednost 1 bar na jednom ulaznom vektoru na kojem funkcija f ima vrednost 1. Iz prethodne definicije se uočava da svaki potpuni proizvod koji učestvuje u PDNF funkcije predstavlja implikantu te funkcije. Definicija 2: Elementarni proizvod p1 je deo elementarnog proizvoda p ako je p1 dobijen iz proizvoda p izostavljanjem nekih promenljivih. Primer 2. Elementarni proizvodi 𝑥1, 𝑥2, 𝑥3, 𝑥1𝑥2, 𝑥1𝑥3 i 𝑥2𝑥3 su delovi elementarnog proizvoda 𝑥1𝑥2𝑥3.
9.3. Kombinacione prekidačke mreže 9.3.3 Minimizacija prekidačkih funkcija Definicija 3: Elementarni proizvod je prosta implikanta funkcije f ako on jeste implikanta funkcije f, a ni jedan njegov deo nije implikanta funkcije f. Definicija 4: Nepreopširna DNF funkcije f je suma elementarnih proizvoda prostih implikanata funkcije f takvih da je: • unija skupova vektora istinitosti na kojima svaki od elementarnih proizvoda koji učestvuje u sumi ima vrednost 1 predstavlja skup ulaznih vektora na kojima funkcija f ima vrednost 1, • za svaki elementarni proizvod koji učestvuje u sumi postoji bar 1 ulazni vektor na kojem samo taj proizvod ima vrednost 1. Ono što treba ovde uočiti je da nepreopširna DNF nije jedinstvena.
9.3. Kombinacione prekidačke mreže 9.3.3 Minimizacija prekidačkih funkcija Primer 3. Prekidačka funkcija f čija je potpuna disjunktivna normalna forma: 𝑓 𝑥1, 𝑥2, 𝑥3 = 𝑥1𝑥2𝑥3 + 𝑥1𝑥2𝑥3 + 𝑥1𝑥2𝑥3 + 𝑥1𝑥2𝑥3 + 𝑥1𝑥2𝑥3 se može predstaviti sledećim nepreopširnim disjunktivnim normalnim formama: 𝑓 𝑥1, 𝑥2, 𝑥3 = 𝑥1𝑥3 + 𝑥1𝑥2 + 𝑥1𝑥3 i 𝑓 𝑥1, 𝑥2, 𝑥3 = 𝑥1𝑥3 + 𝑥2𝑥3 + 𝑥1𝑥3
9.3. Kombinacione prekidačke mreže 9.3.3 Minimizacija prekidačkih funkcija 𝑓 𝑥1, 𝑥2, 𝑥3 = 𝑥1𝑥2𝑥3 + 𝑥1𝑥2𝑥3 + 𝑥1𝑥2𝑥3 + 𝑥1𝑥2𝑥3 + 𝑥1𝑥2𝑥3 𝑓 𝑥1, 𝑥2, 𝑥3 = 𝑥1𝑥3 + 𝑥1𝑥2 + 𝑥1𝑥3 i 𝑓 𝑥1, 𝑥2, 𝑥3 = 𝑥1𝑥3 + 𝑥2𝑥3 + 𝑥1𝑥3 Dokaz: Iz PDNF funkcije se lako uočava da funkcija ima vrednost 1 na skupu ulaznih vektora S={000, 010, 011, 101, 111}. Elementarni proizvod 𝑝1 = 𝑥1𝑥3 ima vrednost 1 na ulaznim vektorima S1={000, 010}. Dakle proizvod 𝑝1 jeste implikanta funkcije f. Treba proveriti još i da li je prosta implikanta. Delovi proizvoda 𝑝1 su 𝑥1 i 𝑥3. 𝑥1 ima vrednost 1 na ulaznim vektorima 000, 001, 010 i 011 pa ovo nije implikanta funkcije f. 𝑥3 ima vrednost 1 na ulaznim vektorima 000, 010, 100 i 110 pa ni to nije nije implikanta funkcije f. Pošto nijedan deo proizvoda 𝑝1 nije implikanta funkcije f, tvrdimo da je 𝑝1 prosta implikanta funkcije f.
9.3. Kombinacione prekidačke mreže 9.3.3 Minimizacija prekidačkih funkcija 𝑓 𝑥1, 𝑥2, 𝑥3 = 𝑥1𝑥2𝑥3 + 𝑥1𝑥2𝑥3 + 𝑥1𝑥2𝑥3 + 𝑥1𝑥2𝑥3 + 𝑥1𝑥2𝑥3 𝑓 𝑥1, 𝑥2, 𝑥3 = 𝑥1𝑥3 + 𝑥1𝑥2 + 𝑥1𝑥3 i 𝑓 𝑥1, 𝑥2, 𝑥3 = 𝑥1𝑥3 + 𝑥2𝑥3 + 𝑥1𝑥3 Na isti način se pokazuje i da su proizvodi 𝑝2 i 𝑝3 proste implikante funkcije f. Elementarni proizvod 𝑝2 = 𝑥1𝑥2 ima vrednost 1 na ulaznim vektorima S2={010, 011}. Elementarni proizvod 𝑝3 = 𝑥1𝑥3 ima vrednost 1 na ulaznim vektorima S3={101, 111}. Uočava da je 𝑆1 ∪ 𝑆2 ∪ 𝑆3 = 𝑆, da na ulaznom vektoru 000 jedino proizvod 𝑝1 ima vrednost 1, na ulaznom vektoru 011 jedino elementarni proizvod 𝑝2 ima vrednost 1, a na ulaznim vektorima 101 i 111 jedino proizvod 𝑝3 ima vrednost 1 pa izraz 𝑥1𝑥3 + 𝑥1𝑥2 + 𝑥1𝑥3 jeste nepreopširna disjunktivna normalna forma funkcije f.
9.3. Kombinacione prekidačke mreže 9.3.3 Minimizacija prekidačkih funkcija Koristili smo pojam nepreopširna, a ne pojam minimalna. Iz skupa nepreopširnih formi se može birati minimalna po različitim kriterijumima: tako da broj operanada u izrazu bude minimalan (čime se minimizuje broj ulaza u logička kola) ili da broj operacija u izrazu bude minimalan (čime se minimizuje broj korišćenih logičkih kola), itd. Međutim, čak i uzimajući sve te kriterijume u obzir može se desiti da ne možemo doći do jedinstvene minimalne forme, pa pod pojmom minimalna disjunktivna normalna forma funkcije smatramo bilo koju nepreopširnu disjunktivnu normalnu formu.
9.3. Kombinacione prekidačke mreže 9.3.3 Minimizacija prekidačkih funkcija Pošto smo potpunu konjuktivnu normalnu formu definisali kao proizvod potpunih suma koje imaju vrednost 0 tamo gde i funkcija ima vrednost 0, za određivanje minimalne konjuktivne normalne forme koristićemo implicente i proste implicente funkcije. Definicija 5: Implicenta funkcije f je funkcija koja ima vrednost 1 na svim ulaznim vektorima na kojima funkcija f ima vrednost 1 i ima vrednost 0 bar na jednom ulaznom vektoru na kojem funkcija f ima vrednost 0. Dakle, svaka potpuna suma koja učestvuje u PKNF funcije predstavlja implicentu te funkcije. Definicija 6: Elementarnasuma s1 je deo elementarne sume s ako je s1 dobijena iz sume s izostavljanjem nekih promenljivih.
9.3. Kombinacione prekidačke mreže 9.3.3 Minimizacija prekidačkih funkcija Primer 4. Elementarne sume 𝑥1, 𝑥2, 𝑥3, 𝑥1 + 𝑥2, 𝑥1 + 𝑥3 i 𝑥2 + 𝑥3 su delovi elementarnog proizvoda 𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3. Definicija 7: Elementarna suma je prosta implicenta funkcije f ako ona jeste implicenta funkcije f, a ni jedan njen deo nije implicenta funkcije f. Definicija 8: Nepreopširna KNF funkcije f je proizvod elementarnih suma prostih implicenata funkcije f takvih da je: • unija skupova vektora istinitosti na kojima svaka od elementarnih suma ima vrednost 0 predstvlja skup ulaznih vektora na kojima funkcija f ima vrednost 0, • za svaku elementarnu sumu koja učestvuje u niminalnoj DNF postoji bar 1 ulazni vektor na kojem samo ta suma ima vrednost 0.
9.3. Kombinacione prekidačke mreže 9.3.3 Minimizacija prekidačkih funkcija 9.3.3.1 Minimizacija prekidačkih funkcija algebarskim metodama Pod pojmom minimizacije prekidačkih funkcija algebarskim metodama podrazumevamo transformaciju potpunih analitičkih formi u minimalne korišćenjem aksioma i teorema Bulove algebre. Pri minimizaciji disjunktivne normalne forme koriste se sledeće teoreme: • teorema sažimanja: 𝑎𝑏 + 𝑎𝑏 = 𝑎 i • teorema apsorpcije: 𝑎 + 𝑎𝑏 = 𝑎 Primer 5. Izvršićemo minimizaciju prekidačke funkcije datu potpunom disjunktivnom normalnom formom: 𝑓 𝑥1, 𝑥2, 𝑥3, 𝑥4 = 𝑥1𝑥2𝑥3𝑥4 + 𝑥1𝑥2𝑥3𝑥4 + 𝑥1𝑥2𝑥3𝑥4 + 𝑥1𝑥2𝑥3𝑥4 + 𝑥1𝑥2𝑥3𝑥4 + 𝑥1𝑥2𝑥3𝑥4 + 𝑥1𝑥2𝑥3𝑥4
9.3. Kombinacione prekidačke mreže 9.3.3 Minimizacija prekidačkih funkcija 9.3.3.1 Minimizacija prekidačkih funkcija algebarskim metodama 𝑓 𝑥1, 𝑥2, 𝑥3, 𝑥4 = 𝑥1𝑥2𝑥3𝑥4 + 𝑥1𝑥2𝑥3𝑥4 + 𝑥1𝑥2𝑥3𝑥4 + 𝑥1𝑥2𝑥3𝑥4 + 𝑥1𝑥2𝑥3𝑥4 + 𝑥1𝑥2𝑥3𝑥4 + 𝑥1𝑥2𝑥3𝑥4 Za svaki potpuni proizvod u PDNF uvešćemo posebnu oznaku na sledeći način: 𝑝1 = 𝑥1𝑥2𝑥3𝑥4, 𝑝2 = 𝑥1𝑥2𝑥3𝑥4, 𝑝3 = 𝑥1𝑥2𝑥3𝑥4, 𝑝4 = 𝑥1𝑥2𝑥3𝑥4, 𝑝5 = 𝑥1𝑥2𝑥3𝑥4, 𝑝6 = 𝑥1𝑥2𝑥3𝑥4, 𝑝7 = 𝑥1𝑥2𝑥3𝑥4 Teoremu sažimanja možemo primeniti nad sledećim parovima proizvoda: (𝑝1, 𝑝2), (𝑝3, 𝑝4), (𝑝5, 𝑝6), (𝑝6, 𝑝7). Kao što se vidi, proizvod 𝑝6 se može udružiti i sa proizvodom 𝑝5 i sa proizvodom 𝑝7. S obzirom da u Bulovoj algebri važi da je a+a=a, proizvod 𝑝6 možemo napisati 2 puta u zbiru pa napraviti sledeće parove za sažimanje:
9.3. Kombinacione prekidačke mreže 9.3.3 Minimizacija prekidačkih funkcija 9.3.3.1 Minimizacija prekidačkih funkcija algebarskim metodama 𝑓 𝑥1, 𝑥2, 𝑥3, 𝑥4 = 𝑥1𝑥2𝑥3𝑥4 + 𝑥1𝑥2𝑥3𝑥4 + 𝑥1𝑥2𝑥3𝑥4 + 𝑥1𝑥2𝑥3𝑥4 + 𝑥1𝑥2𝑥3𝑥4 + 𝑥1𝑥2𝑥3𝑥4 + 𝑥1𝑥2𝑥3𝑥4 + 𝑥1𝑥2𝑥3𝑥4 = 𝑥1𝑥2𝑥3 + 𝑥1𝑥2𝑥3 + 𝑥1𝑥2𝑥3 + 𝑥1𝑥3𝑥4 = 𝑥1𝑥2 + 𝑥2𝑥3 + 𝑥1𝑥3𝑥4 Minimizacija konjuktivne normalne forme algebarskom metodom se vrši na istovetan način, samo uz primenom dualnih izraza istih teorema: • teorema sažimanja: (𝑎 + 𝑏) ∙ (𝑎 + 𝑏) = 𝑎 i • teorema apsorpcije: 𝑎 ∙ (𝑎 + 𝑏) = 𝑎
9.3. Kombinacione prekidačke mreže 9.3.3 Minimizacija prekidačkih funkcija 9.3.3.2 Minimizacija prekidačkih funkcija pomoću Karnoovih mapa Karnoove mape predstavljaju još jednu tabličnu metodu za predstavljanje prekidačkih funkcija. Karnoova mapa je tablica sa: • 2n/2 vrsta i 2n/2 kolona za parno n, • 2(n-1)/2 vrsta i 2(n+1)/2 kolona za neparno n. U svakoj ćeliji Karnoove mape upisana je vrednost funkcije na jednom vektoru istinitosti i to tako da fizički susednim ćelijama odgovaraju vektori koji se razlikuju samo na jednoj koordinati. Na slici je dat raspored polja u Karnoovoj mapi za funkcije 2, 3, 4 i 5 promenljivih.
9.3. Kombinacione prekidačke mreže 9.3.3 Minimizacija prekidačkih funkcija 9.3.3.2 Minimizacija prekidačkih funkcija pomoću Karnoovih mapa Ulazni vektor koji odgovara ćeliji se dobija nadovezivanjem njegovih delova koji se nalaze u oznakama odgovajuće vrste i kolone matrice. Sa slike se može uočiti i da se ulazni vektori koji odgovaraju ćelijama prve i poslednje vrste mape, takođe, razlikuju samo na jednoj koordinati. Isto tako vektori koji odgovaraju ćelijama prve i poslednje kolone mape se, takođe, razlikuju na samo jednoj koordinati. To znači da su prva i poslednja vrsta Karnoove mape susedne, pa ako izvršimo savijanje mape i fizički spojimo te vrste, dobićemo cilindar. Ako nakon toga savijemo cilindar tako da spojimo susedne ćelije iz prve i poslednje kolone, dobićemo torus. Dakle Karnoovu mapu treba posmatrati kao jednu torusnu površinu. Na slici (b) u uglovima polja Karnoove mape prikazani su decimalni indeksi odgovarajućih ulaznih vektora.
9.3. Kombinacione prekidačke mreže 9.3.3 Minimizacija prekidačkih funkcija 9.3.3.2 Minimizacija prekidačkih funkcija pomoću Karnoovih mapa Ako se posmatra Karnoova mapa za funkcije 5 promenljivih uočava se i da se vektori koji odgovaraju ćelijama koje se nalaze u kolonama 001 i 101, kao i 011 i 111, takođe, razlikuju samo na jednoj koordinati, pa i ove kolone treba smatrati susednim. Zbog toga korišćenje Karnoovih mapa nije preporučljivo za predstavljanje funkcija većeg broja promenljivih.
9.3. Kombinacione prekidačke mreže 9.3.3 Minimizacija prekidačkih funkcija 9.3.3.2 Minimizacija prekidačkih funkcija pomoću Karnoovih mapa Primer 6. U tabeli je data je tablica istinitosti, a na slici Karnoova mapa, prekidačke funkcije f čija je potpuna disjunktivna normalna forma: 𝑓 𝑥1, 𝑥2, 𝑥3 = 𝑥1𝑥2𝑥3 + 𝑥1𝑥2𝑥3 + 𝑥1𝑥2𝑥3 + 𝑥1𝑥2𝑥3 + 𝑥1𝑥2𝑥3
9.3. Kombinacione prekidačke mreže 9.3.3 Minimizacija prekidačkih funkcija 9.3.3.2 Minimizacija prekidačkih funkcija pomoću Karnoovih mapa Uočimo u Karnoovoj mapi sa slike dve susedne ćelije u koje su upisane jedinice. Neka su to ćelije koje odgovaraju ulaznim vektorima 000 i 010. Potpuni proizvodi koji imaju vrednost 1 na ovim ulaznim vektrima su: 𝑥1𝑥2𝑥3 i 𝑥1𝑥2𝑥3 , odnosno implikanta funkcije f koja ima vrednost 1 na ovim ulaznim vektorima je 𝑔 = 𝑥1𝑥2𝑥3 + 𝑥1𝑥2𝑥3. Primenom teoreme sažimanja, ova implikanta će se transformisati u 𝑔 = 𝑥1𝑥3. Ako pogledamo ulazne vektore 000 i 010, uočavamo da se u njima razlikuje samo vrednost promenljive 𝑥2 , a da u konačnom izrazu za funkciju g učestvuju sve ostale promenljive (u ovom slučaju 𝑥1 i 𝑥3)
9.3. Kombinacione prekidačke mreže 9.3.3 Minimizacija prekidačkih funkcija 9.3.3.2 Minimizacija prekidačkih funkcija pomoću Karnoovih mapa U opštem slučaju u Karnoovoj mapi se mogu uočiti pravilne figure ("pravougaonici") veličine 2r (ranga r) koje su kompletno pokriveni jedinicama. Svaka takva figura određuje po jedan elementarini proizvod koji predstavlja implikantu funkcije f, u kojem će učestvovati n-r promenljivih koje imaju konstantnu vrednost na svim ćelijama figure. Formalno, pravilna figura u Karnoovoj mapi se može definisati na sledeći način: Definicija 9: Pravilna figura ranga r u Karnoovoj mapi je skup od 2r susednih ćelija koje imaju k=n-r zajedničkih koordinata. Svakoj pravilnoj figuri u Karnoovoj mapi odgovara po jedan elementarni proizvod koji ima vrednost 1 na svim ćelijama te figure i jedna elementarna suma koja ima vrednost 0 na svim ćelijama figure. Članovi tih proizvoda (suma) su promenljive koje imaju konstantnu vrednost za sve ćelije figure.
9.3. Kombinacione prekidačke mreže 9.3.3 Minimizacija prekidačkih funkcija 9.3.3.2 Minimizacija prekidačkih funkcija pomoću Karnoovih mapa Primer 7. Na slici su dati neki karakteristični slučajevi položaja pravilnih figura u Karnoovoj mapi.
9.3. Kombinacione prekidačke mreže 9.3.3 Minimizacija prekidačkih funkcija 9.3.3.2 Minimizacija prekidačkih funkcija pomoću Karnoovih mapa Algoritam za minimizaciju DNF pomoću Karnoovih mapa Korak 1. Formirati pravilne figure maksimalnih rangova koje pokrivaju samo jedinice i to tako da svaka jedinica bude pokrivena bar jednom pravilnom figurom, Korak 2. Ukloniti figure za koje ne postoji ćelija koja je pokrivena samo tom figurom, Korak 3. Definisati elementarne proizvode koji imaju vrednost 1 na tako kreiranim figurama, Korak 4. Kreirati minimalnu DNF kao sumu elementarnih proizvoda određenih u prethodnom koraku.
9.3. Kombinacione prekidačke mreže 9.3.3 Minimizacija prekidačkih funkcija 9.3.3.2 Minimizacija prekidačkih funkcija pomoću Karnoovih mapa Primer 8. Korišćenjem Karnoovih mapa kreiraćemo minimalnu DNF za funkciju iz primera 5. Da bi se lakše popunila Karnoovu mapa krenućemo od tablice istinitosti funkcije koja je prikazana u tabeli. Karnoova mapa date funkcije sa obeleženim pravilnim figurama koje pokrivaju jedinice i na osnovu tako kreiranih figura minimalna DNF funkcije prikazani su na slici.
9.3. Kombinacione prekidačke mreže 9.3.3 Minimizacija prekidačkih funkcija 9.3.3.2 Minimizacija prekidačkih funkcija pomoću Karnoovih mapa Analogno postupku dobijanja minimalne DNF, pomoću Karnoove mape može se definisati i postupak dobijanja minimalne KNF. Problem kod kreiranja minimalne KNF je odrediti elementarne sume proste implicente date funkcije. Prema tome, polazna tačka u ovom postupku biće kreiranje pravilnih regiona koji pokrivaju nule funkcije. Algoritam za minimizaciju KNF pomoću Karnoovih mapa Korak 1. Formirati pravilne figure maksimalnih rangova koje pokrivaju samo nule i to tako da svaka nula bude pokrivena bar jednom pravilnom figurom, Korak 2. Ukloniti figure za koje ne postoji ćelija koja je pokrivena samo tom figurom, Korak 3. Definisati elementarne sume koje imaju vrednost 0 na tako kreiranim figurama, Korak 4. Kreirati minimalna KNF kao proizvod elementarnih suma određenih u prethodnom koraku.
9.3. Kombinacione prekidačke mreže 9.3.3 Minimizacija prekidačkih funkcija 9.3.3.2 Minimizacija prekidačkih funkcija pomoću Karnoovih mapa Primer 9. Korišćenjem Karnoovih mapa kreiraćemo minimalnu KNF za funkciju iz prethodnog primera. Koristićemo istu Karnoovu mapu, ali ćemo ovoga puta u njoj obeležiti pravilne regione koji pokrivaju nule. Isprekidanom linijom je obeležena pravilna figura koja je, takođe, ranga 2, ali za koju ne postoji ćelija koja je pokrivena samo tom figurom pa je ona suvišna.
9.3. Kombinacione prekidačke mreže 9.3.3 Minimizacija prekidačkih funkcija 9.3.3.2 Minimizacija prekidačkih funkcija pomoću Karnoovih mapa Karnoove mape su posebno pogodne za minimizaciju nepotpuno definisanih funkcija. Kod nepotpuno definisanih funkcija pozicije u vektoru istinitosti obeležene zvezdicom možemo zameniti bilo nulom, bilo jedinicom. Zamenićemo ih takvom vrednošću da tražena minimalna forma bude što jednostavnija. U Karnoovoj mapi je najlakše uočiti kojom vrednošću treba zameniti konkretnu zvezdicu. Zamenićemo je uvek onom vrednošću koja povećava rang uočenih pravilnih figura i/ili smanjuje broj pravilnih fuigura koje su kreirane bez uzimanja u obzir moguće vrednosti zvezdice. Postupak određivanja kojom vrednošću treba zameniti zvezdicu ćemo najlakše objasniti kroz primer.
9.3. Kombinacione prekidačke mreže 9.3.3 Minimizacija prekidačkih funkcija 9.3.3.2 Minimizacija prekidačkih funkcija pomoću Karnoovih mapa Primer 10. Korišćenjem Karnoovih mapa kreiraćemo minimalnu DNF za nepotpuno definisanu funkciju čija je tablica istinitosti prikazana u tabeli. Kreirajmo najpre pravilne regione u mapi koje pokrivaju isključivo jedinice funkcije. DNF kreirana na osnovu ovako uočenih pravilnih figura bila bi: 𝑓 𝑥1, 𝑥2, 𝑥3, 𝑥4 = 𝑥2𝑥3𝑥4 + 𝑥1𝑥2𝑥3𝑥4 + 𝑥1𝑥2𝑥3𝑥4
9.3. Kombinacione prekidačke mreže 9.3.3 Minimizacija prekidačkih funkcija 9.3.3.2 Minimizacija prekidačkih funkcija pomoću Karnoovih mapa Ako zvezdice koje se nalaze na pozicijama kojima odgovaraju ulazni vektori 0100 i 1100 zamenimo jedinicama, umesto regiona ranga 1 (koji pokriva jedinice na ulaznimvektorima 0000 i 1000), dobićemo region ranga 2 koji pokriva celokupnu prvu vrstu Karnoove mape. Analogno tome, ako zvezdice koje se nalaze na pozicijama koje odgovaraju ulaznim vektorima 0110 i 1111 zamenimo jedinicama, umesto dva regiona ranga 0, dobićemo jedan ragion ranga 2. Ovako transformisana Karnoova mapa izgledaće kao na slici
9.3. Kombinacione prekidačke mreže 9.3.3 Minimizacija prekidačkih funkcija 9.3.3.2 Minimizacija prekidačkih funkcija pomoću Karnoovih mapa Ako bismo zvezdice koje se nalaze na pozicijama koje odgovaraju ulaznim vektorima 0101 i 1011 zamenili jedinicama, prouzrokovali bismo kreiranje novih regiona za njihovo pokrivanje pa bismo na taj način DNF funkcije usložnili. Dakle, regioni prikazani na slici odgovaraju potpuno definisanoj funkciji, nastaloj dodefinisanju funkcije iz primera 0, koja ima minimalnu DNF. DNF tako dobijene funkcije je: 𝑓 𝑥1, 𝑥2, 𝑥3, 𝑥4 = 𝑥3𝑥4 + 𝑥2𝑥3 Zaključak: zvezdice u Karnoovoj mapi ćemo uključiti u pravilne figure (čime ih, praktično, tretiramo kao jedinice) samo ako time smanjujemo broj kreiranih figura, ili povećavamo njihov rang.
9.3. Kombinacione prekidačke mreže 9.3.4 Realizacija kombinacionih mreža u bazisu I, ILI, NE Konačni ishod sinteze prekidačke mreže treba da bude strukturna šema mreže koja pokazuje koji elementi učestvuju u realizaciji i kako su međusobno povezani. Najjednostavnija realizacija kombinacionih prekidačkih mreža je korišćenjem I, ILI i NE elemenata, jer se ova realizacija direktno izvodi na osnovu minimalne DNF ili minimalne KNF. Ukoliko se realizacija vrši na osnovu minimalne DNF funkcije, mreža se realizuje kao tronivoska u kojoj se: • na prvom nivou nalaze NE elementi koji realizuju potrebne komplemente promenljivih, • na drugom nivou se nalaze I kola koja realizuju proste implikante funkcije, • na trećem nivou je jedno ILI kolo.
9.3. Kombinacione prekidačke mreže 9.3.4 Realizacija kombinacionih mreža u bazisu I, ILI, NE Primer 11. Nacrtaćemo strukturnu šemu mreže koja realizuje prekidačku funkciju čija je minimalna DNF data izrazom: 𝑓 𝑥1, 𝑥2, 𝑥3 = 𝑥1𝑥2 + 𝑥2𝑥3 + 𝑥1𝑥3𝑥4 Na prvom nivou u ovoj mreži će se naći 2 NE kola koja realizuju 𝑥1 i 𝑥2. Na drugom nivou ćemo imati 2 I kola sa po 2 ulaza (koja realzuju proizvode 𝑥1𝑥2 i 𝑥2𝑥3 ) i jedno I kolo sa 3 ulaza (koje realizuje proizvod 𝑥1𝑥3𝑥4). Na poslednjem, trećem, nivou će se naći ILI kolo koje realizuje sumu proizvoda realizovanih na drugom nivou mreže. Strukturna šema mreže kreirane na osnovu minimalne DNF prikazana je na slici:
9.3. Kombinacione prekidačke mreže 9.3.4 Realizacija kombinacionih mreža u bazisu I, ILI, NE Potpuno analogan postupak se može primeniti i za kreiranje strukturne šeme mreže na osnovu minimalne KNF. U tom slučaju će na prvom nivou ponovo biti NE elementi, na drugom nivou ILI elementi i na poslednjem nivou jedan I element. Primer 12. Minimalna KNF funkcije iz prethodnog primera je 𝑓 𝑥1, 𝑥2, 𝑥3 = 𝑥1 + 𝑥2 (𝑥2 + 𝑥4)(𝑥1 + 𝑥3). Šema prekidačke mreže kreirane na osnovu ovog izraza prikazana je na slici
9.3. Kombinacione prekidačke mreže 9.3.4 Realizacija kombinacionih mreža u bazisu I, ILI, NE Prvi nedostatak ovakve realizacije kombinacionih prekidačkih mreža je korišćenje logičkih kola sa proizvoljnim brojem ulaza. U praksi se najčešće proizvode logička kola sa 2 ulaza ili logička kola čiji je broj ulaza jednak stepenu dvojke (2, 4, 8,...). Razmotrimo način realizacije prekidačkih mreža ukoliko su nam na raspolaganju samo logička kola sa 2 ulaza. Prva mogućnost za realizaciju prekidačkih mreža pomoću logičkih kola sa 2 ulaza je da svako logičko kolo sa više ulaza zamenimo odgovarajućim skupom logičkih kola sa 2 ulaza. Na slici je prikazano kako se proizvodi, odnosno sume, 3 ili 4 promenljive mogu realizovati pomoću logičkih kola sa 2 ulaza.
9.3. Kombinacione prekidačke mreže 9.3.4 Realizacija kombinacionih mreža u bazisu I, ILI, NE Primer 13. Na slici je prikazana je strukturna šema kombinacione prekidačke mreže koja realizuje funkciju zadatu minimalnom DNF 𝑓 𝑥1, 𝑥2, 𝑥3 = 𝑥1𝑥2 + 𝑥2𝑥3 + 𝑥1𝑥3𝑥4
9.3. Kombinacione prekidačke mreže 9.3.4 Realizacija kombinacionih mreža u bazisu I, ILI, NE Iz prethodnog primera se vidi, da se korišćenjem dvoulaznih logičkih kola povećava i broj korišćenih logičkih kola i broj nivoa u prekidačkoj mreži, a samim tim i cena mreže, i potrošnja energije i kašnjenje signala kroz mrežu. Zato je preporučljivo, umesto da se svaki element sa više ulaza direktno zameni skupom elemenata sa 2 ulaza, da se pokuša sa faktorizacijom minimalne forme kako bi se dobili podizrazi u kojima učestvuju po 2 operanda. Primer 14. DNF iz prethodnog primera se može transformisati na sledeći način: 𝑓 𝑥1, 𝑥2, 𝑥3 = 𝑥1𝑥2 + 𝑥2𝑥3 + 𝑥1𝑥3𝑥4 = 𝑥1𝑥2 + 𝑥3(𝑥2 + 𝑥1𝑥4) Šema, kreirana na osnovu ovako transformisanog izraza prikazana je na slici
9.3. Kombinacione prekidačke mreže 9.3.5 Realizacija kombinacionih mreža u bazisima NI i NILI Korišćenje bazisa koji sadrže samo jednu operaciju (kakvi su bazisi koje čine samo NI ili samo NILI operacije) se pokazalo jako pogodnim za realizaciju prekidačkih mreža jer u tom slučaju sva kola koja čine prekidačku mrežu imaju iste karakteristike (kašnjenje, potrošnja energije, temperaturni opseg pouzdanog rada,...) pa je samim tim i lakše proceniti karakteristike (ponašanje) cele mreže. Ranije je pokazano kako se pomoću NI operacije mogu realizovati sve operacije prirodnog bazisa (NE, I i ILI). To znači, da se izraz u kojima učestvuju NE, I i ILI operacije, lako može transformisati u izraz koji koristi isključivo NI operacije. Dakle, kada vršimo realizaciju prekidačkih mreža pomoću NI ili NILI elemenata, kao polazni izrazi se mogu koristiti minimalne DNF i minimalne KNF. Ukoliko se za realizaciju prekidačke mreže koriste NI elementi, prekidačku funkciju treba predstaviti izrazom u kojem učestvuju isključivo NI operacije. Najzgodnije je krenuti od minimalne DNF funkcije.
9.3. Kombinacione prekidačke mreže 9.3.5 Realizacija kombinacionih mreža u bazisima NI i NILI Potrebne transformacije koje treba izvršiti su sledeće: Korak 1. Ceo izraz (DNF) 2 puta komplementirati, Korak 2. Unutrašnji (donji komplement) transformisati primenom DeMorganove teoreme (tj. komplement zbira transformisati u proizvod komplemenata sabiraka). Korak 3. Svaki izraz oblika 𝑥𝑘1 ∙ 𝑥𝑘2 ∙ ⋯ ∙ 𝑥𝑘𝑛 zameniti izrazom 𝑥𝑘1 𝑥𝑘2 …𝑥𝑘𝑛 Korak 4. Komplement svake promenljive 𝑥𝑘 zameniti izrazom 𝑥𝑘 ∙ 𝑥𝑘, tj. 𝑥𝑘𝑥𝑘.
9.3. Kombinacione prekidačke mreže 9.3.5 Realizacija kombinacionih mreža u bazisima NI i NILI Primer 15. DNF iz prethodnog primera ćemo transformisati tako da omogućimo realizaciju funkcije isključivo pomoću NI elemenata. 𝑓 𝑥1, 𝑥2, 𝑥3 = 𝑥1𝑥2 + 𝑥2𝑥3 + 𝑥1𝑥3𝑥4 = = 𝑥1𝑥2 + 𝑥2𝑥3 + 𝑥1𝑥3𝑥4 = 𝑥1𝑥2 ∙ 𝑥2𝑥3 ∙ 𝑥1𝑥3𝑥4 = 𝑥1𝑥2  𝑥2𝑥3  𝑥1𝑥3𝑥4 = 𝑥1𝑥1  𝑥2𝑥2  𝑥2𝑥2 𝑥3 (𝑥1𝑥3𝑥4)) U praksi se koraci 3 i 4 i ne rade. Na osnovu izraza dobijenog nakon primene DeMorganove teoreme može se direktno crtati šema kombinacione prekidačke mreže. Šema prekidačke mreže koja realizuje funkciju iz primera, a koja sadrži isključivo NI elemente, prikazana je na slici.
9.3. Kombinacione prekidačke mreže 9.3.5 Realizacija kombinacionih mreža u bazisima NI i NILI Ukoliko pri realizaciji treba koristiti samo kola sa ograničenim brojem ulaza (npr. 2), NI operacije sa više operanada, možemo realizovati pomoću NI operacija sa 2 operanda na sledeći način: Primer 16. Na slici je prikazana šema prekidačke mreže koja relizuje funkciju iz prethodnog primera pri čemu su u realizaciji korišćena isključivo dvoulazna NI logička kola.
9.3. Kombinacione prekidačke mreže 9.3.5 Realizacija kombinacionih mreža u bazisima NI i NILI Ako se opredelimo da kombinacionu prekidačku mrežu realizujemo pomoću NILI kola, funkciju treba predstaviti izrazom koji sadrži isključivo NILI operacije. Za to je najzgodnije izvršiti transformaciju minimalne KNF na sledeći način: Korak 1. Ceo izraz (KNF) 2 puta komplementirati, Korak 2. Unutrašnji (donji komplement) transformisati primenom DeMorganove teoreme (tj. komplement proizvoda transformisati u sumu komplemenata njegovih činilaca). Korak 3. Svaki izraz oblika 𝑥𝑘1 + 𝑥𝑘2 + ⋯ + 𝑥𝑘𝑛 zameniti izrazom 𝑥𝑘1 ↓ 𝑥𝑘2 ↓ …↓ 𝑥𝑘𝑛 Korak 4. Komplement svake promenljive 𝑥𝑘 zameniti izrazom 𝑥𝑘 + 𝑥𝑘, tj.𝑥𝑘 ↓ 𝑥𝑘.
9.3. Kombinacione prekidačke mreže 9.3.5 Realizacija kombinacionih mreža u bazisima NI i NILI Primer 17. KNF iz primera 12. ćemo transformisati tako da omogućimo realizaciju funkcije isključivo pomoću NILI elemenata. Prekidačka mreža kreirana na osnovu ovako dobijenog izraza prikazana je na slici:
Hvala na pažnji!

Recommended

akademske studije
akademske studijeakademske studije
akademske studijedudulajce
 
OIR9-L2.pptx
OIR9-L2.pptxOIR9-L2.pptx
OIR9-L2.pptxAleksandarSpasic5
 
OIR10-L2.pptx
OIR10-L2.pptxOIR10-L2.pptx
OIR10-L2.pptxAleksandarSpasic5
 
OIR7-L1.pptx
OIR7-L1.pptxOIR7-L1.pptx
OIR7-L1.pptxAleksandarSpasic5
 
Audio Signal Extraction Using LMS Beamforming in Microphone Arrays
Audio Signal Extraction Using LMS Beamforming in Microphone ArraysAudio Signal Extraction Using LMS Beamforming in Microphone Arrays
Audio Signal Extraction Using LMS Beamforming in Microphone ArraysDimitrije Jovanović
 
OIR11-L1.pptx
OIR11-L1.pptxOIR11-L1.pptx
OIR11-L1.pptxAleksandarSpasic5
 
Simulacija digitalnih modulacionih postupaka (Diplomski rad)
Simulacija digitalnih modulacionih postupaka (Diplomski rad)Simulacija digitalnih modulacionih postupaka (Diplomski rad)
Simulacija digitalnih modulacionih postupaka (Diplomski rad)Nenad Milo?evi?
 
Pitanja Maturski Fe
Pitanja Maturski FePitanja Maturski Fe
Pitanja Maturski Feguest199a1d0
 

Recommended

akademske studije
akademske studijeakademske studije
akademske studijedudulajce
 
OIR9-L2.pptx
OIR9-L2.pptxOIR9-L2.pptx
OIR9-L2.pptxAleksandarSpasic5
 
OIR10-L2.pptx
OIR10-L2.pptxOIR10-L2.pptx
OIR10-L2.pptxAleksandarSpasic5
 
OIR7-L1.pptx
OIR7-L1.pptxOIR7-L1.pptx
OIR7-L1.pptxAleksandarSpasic5
 
Audio Signal Extraction Using LMS Beamforming in Microphone Arrays
Audio Signal Extraction Using LMS Beamforming in Microphone ArraysAudio Signal Extraction Using LMS Beamforming in Microphone Arrays
Audio Signal Extraction Using LMS Beamforming in Microphone ArraysDimitrije Jovanović
 
OIR11-L1.pptx
OIR11-L1.pptxOIR11-L1.pptx
OIR11-L1.pptxAleksandarSpasic5
 
Simulacija digitalnih modulacionih postupaka (Diplomski rad)
Simulacija digitalnih modulacionih postupaka (Diplomski rad)Simulacija digitalnih modulacionih postupaka (Diplomski rad)
Simulacija digitalnih modulacionih postupaka (Diplomski rad)Nenad Milo?evi?
 
Pitanja Maturski Fe
Pitanja Maturski FePitanja Maturski Fe
Pitanja Maturski Feguest199a1d0
 
OIR-V10.pptx
OIR-V10.pptxOIR-V10.pptx
OIR-V10.pptxAleksandarSpasic5
 
OIR12-L3.pptx
OIR12-L3.pptxOIR12-L3.pptx
OIR12-L3.pptxAleksandarSpasic5
 
OIR12-L2.pptx
OIR12-L2.pptxOIR12-L2.pptx
OIR12-L2.pptxAleksandarSpasic5
 
OIR12-L1.pptx
OIR12-L1.pptxOIR12-L1.pptx
OIR12-L1.pptxAleksandarSpasic5
 
OIR-V9.pptx
OIR-V9.pptxOIR-V9.pptx
OIR-V9.pptxAleksandarSpasic5
 
OIR11-L4.pptx
OIR11-L4.pptxOIR11-L4.pptx
OIR11-L4.pptxAleksandarSpasic5
 
OIR11-L3.pptx
OIR11-L3.pptxOIR11-L3.pptx
OIR11-L3.pptxAleksandarSpasic5
 
OIR11-L2.pptx
OIR11-L2.pptxOIR11-L2.pptx
OIR11-L2.pptxAleksandarSpasic5
 
OIR-V8.pptx
OIR-V8.pptxOIR-V8.pptx
OIR-V8.pptxAleksandarSpasic5
 
OIR10-L5.pptx
OIR10-L5.pptxOIR10-L5.pptx
OIR10-L5.pptxAleksandarSpasic5
 
OIR10-L4.pptx
OIR10-L4.pptxOIR10-L4.pptx
OIR10-L4.pptxAleksandarSpasic5
 
OIR10-L3.pptx
OIR10-L3.pptxOIR10-L3.pptx
OIR10-L3.pptxAleksandarSpasic5
 
OIR10-L1.pptx
OIR10-L1.pptxOIR10-L1.pptx
OIR10-L1.pptxAleksandarSpasic5
 
OIR-V7.pptx
OIR-V7.pptxOIR-V7.pptx
OIR-V7.pptxAleksandarSpasic5
 
OIR9-L1.pptx
OIR9-L1.pptxOIR9-L1.pptx
OIR9-L1.pptxAleksandarSpasic5
 
OIR-V6.pptx
OIR-V6.pptxOIR-V6.pptx
OIR-V6.pptxAleksandarSpasic5
 
OIR-V5.pptx
OIR-V5.pptxOIR-V5.pptx
OIR-V5.pptxAleksandarSpasic5
 
OIR8-L1.pptx
OIR8-L1.pptxOIR8-L1.pptx
OIR8-L1.pptxAleksandarSpasic5
 
OIR8-L2.pptx
OIR8-L2.pptxOIR8-L2.pptx
OIR8-L2.pptxAleksandarSpasic5
 
OIR8-L3.pptx
OIR8-L3.pptxOIR8-L3.pptx
OIR8-L3.pptxAleksandarSpasic5
 
Istorija kljuc za okruzno takmicenje za 7. razred 2022. godine.doc
Istorija kljuc za okruzno takmicenje za 7. razred 2022. godine.docIstorija kljuc za okruzno takmicenje za 7. razred 2022. godine.doc
Istorija kljuc za okruzno takmicenje za 7. razred 2022. godine.docpauknatasa
 
Птице које можемо да пронађемо у Београду
Птице које можемо да пронађемо у БеоградуПтице које можемо да пронађемо у Београду
Птице које можемо да пронађемо у БеоградуИвана Ћуковић
 

More Related Content

More from AleksandarSpasic5

More from AleksandarSpasic5 (20)

OIR-V10.pptx
OIR-V10.pptxOIR-V10.pptx
OIR-V10.pptx
 
OIR12-L3.pptx
OIR12-L3.pptxOIR12-L3.pptx
OIR12-L3.pptx
 
OIR12-L2.pptx
OIR12-L2.pptxOIR12-L2.pptx
OIR12-L2.pptx
 
OIR12-L1.pptx
OIR12-L1.pptxOIR12-L1.pptx
OIR12-L1.pptx
 
OIR-V9.pptx
OIR-V9.pptxOIR-V9.pptx
OIR-V9.pptx
 
OIR11-L4.pptx
OIR11-L4.pptxOIR11-L4.pptx
OIR11-L4.pptx
 
OIR11-L3.pptx
OIR11-L3.pptxOIR11-L3.pptx
OIR11-L3.pptx
 
OIR11-L2.pptx
OIR11-L2.pptxOIR11-L2.pptx
OIR11-L2.pptx
 
OIR-V8.pptx
OIR-V8.pptxOIR-V8.pptx
OIR-V8.pptx
 
OIR10-L5.pptx
OIR10-L5.pptxOIR10-L5.pptx
OIR10-L5.pptx
 
OIR10-L4.pptx
OIR10-L4.pptxOIR10-L4.pptx
OIR10-L4.pptx
 
OIR10-L3.pptx
OIR10-L3.pptxOIR10-L3.pptx
OIR10-L3.pptx
 
OIR10-L1.pptx
OIR10-L1.pptxOIR10-L1.pptx
OIR10-L1.pptx
 
OIR-V7.pptx
OIR-V7.pptxOIR-V7.pptx
OIR-V7.pptx
 
OIR9-L1.pptx
OIR9-L1.pptxOIR9-L1.pptx
OIR9-L1.pptx
 
OIR-V6.pptx
OIR-V6.pptxOIR-V6.pptx
OIR-V6.pptx
 
OIR-V5.pptx
OIR-V5.pptxOIR-V5.pptx
OIR-V5.pptx
 
OIR8-L1.pptx
OIR8-L1.pptxOIR8-L1.pptx
OIR8-L1.pptx
 
OIR8-L2.pptx
OIR8-L2.pptxOIR8-L2.pptx
OIR8-L2.pptx
 
OIR8-L3.pptx
OIR8-L3.pptxOIR8-L3.pptx
OIR8-L3.pptx
 

Recently uploaded

Istorija kljuc za okruzno takmicenje za 7. razred 2022. godine.doc
Istorija kljuc za okruzno takmicenje za 7. razred 2022. godine.docIstorija kljuc za okruzno takmicenje za 7. razred 2022. godine.doc
Istorija kljuc za okruzno takmicenje za 7. razred 2022. godine.docpauknatasa
 
Птице које можемо да пронађемо у Београду
Птице које можемо да пронађемо у БеоградуПтице које можемо да пронађемо у Београду
Птице које можемо да пронађемо у БеоградуИвана Ћуковић
 
Razvoj samopouzdanja kod skolskog deteta
Razvoj samopouzdanja kod skolskog detetaRazvoj samopouzdanja kod skolskog deteta
Razvoj samopouzdanja kod skolskog detetaNerkoJVG
 
Istorija ključ za okruzno takmicenje za 6. razred_2024
Istorija ključ za okruzno takmicenje za 6. razred_2024Istorija ključ za okruzno takmicenje za 6. razred_2024
Istorija ključ za okruzno takmicenje za 6. razred_2024pauknatasa
 
Istorija okruzno takmicenje za 7. razred 2022.pdf
Istorija okruzno takmicenje za 7. razred 2022.pdfIstorija okruzno takmicenje za 7. razred 2022.pdf
Istorija okruzno takmicenje za 7. razred 2022.pdfpauknatasa
 
Istorija 6. razred okruzno takmicenje 2023 test.pdf
Istorija 6. razred okruzno takmicenje 2023 test.pdfIstorija 6. razred okruzno takmicenje 2023 test.pdf
Istorija 6. razred okruzno takmicenje 2023 test.pdfpauknatasa
 
Istorija okruzno takmicenje za 6. razred 2022. godine.pdf
Istorija okruzno takmicenje za 6. razred 2022. godine.pdfIstorija okruzno takmicenje za 6. razred 2022. godine.pdf
Istorija okruzno takmicenje za 6. razred 2022. godine.pdfpauknatasa
 
Istorija okruzno takmicenje za 6. razred_20242024.pdf
Istorija okruzno takmicenje za 6. razred_20242024.pdfIstorija okruzno takmicenje za 6. razred_20242024.pdf
Istorija okruzno takmicenje za 6. razred_20242024.pdfpauknatasa
 
Profesionalna_orijentacija / Srednja Škola Hipokrat
Profesionalna_orijentacija / Srednja Škola HipokratProfesionalna_orijentacija / Srednja Škola Hipokrat
Profesionalna_orijentacija / Srednja Škola HipokratNerkoJVG
 
Istorija opstinsko takmicenje za 6. razred - test_2024.pdf
Istorija opstinsko takmicenje za 6. razred - test_2024.pdfIstorija opstinsko takmicenje za 6. razred - test_2024.pdf
Istorija opstinsko takmicenje za 6. razred - test_2024.pdfpauknatasa
 
Istorija 6. razred opstinsko takmicenje 2022.pdf
Istorija 6. razred opstinsko takmicenje 2022.pdfIstorija 6. razred opstinsko takmicenje 2022.pdf
Istorija 6. razred opstinsko takmicenje 2022.pdfpauknatasa
 
Istorija kljuc za okruzno takmicenje za 6. razred 2022
Istorija kljuc za okruzno takmicenje za 6. razred 2022Istorija kljuc za okruzno takmicenje za 6. razred 2022
Istorija kljuc za okruzno takmicenje za 6. razred 2022pauknatasa
 

Recently uploaded (12)

Istorija kljuc za okruzno takmicenje za 7. razred 2022. godine.doc
Istorija kljuc za okruzno takmicenje za 7. razred 2022. godine.docIstorija kljuc za okruzno takmicenje za 7. razred 2022. godine.doc
Istorija kljuc za okruzno takmicenje za 7. razred 2022. godine.doc
 
Птице које можемо да пронађемо у Београду
Птице које можемо да пронађемо у БеоградуПтице које можемо да пронађемо у Београду
Птице које можемо да пронађемо у Београду
 
Razvoj samopouzdanja kod skolskog deteta
Razvoj samopouzdanja kod skolskog detetaRazvoj samopouzdanja kod skolskog deteta
Razvoj samopouzdanja kod skolskog deteta
 
Istorija ključ za okruzno takmicenje za 6. razred_2024
Istorija ključ za okruzno takmicenje za 6. razred_2024Istorija ključ za okruzno takmicenje za 6. razred_2024
Istorija ključ za okruzno takmicenje za 6. razred_2024
 
Istorija okruzno takmicenje za 7. razred 2022.pdf
Istorija okruzno takmicenje za 7. razred 2022.pdfIstorija okruzno takmicenje za 7. razred 2022.pdf
Istorija okruzno takmicenje za 7. razred 2022.pdf
 
Istorija 6. razred okruzno takmicenje 2023 test.pdf
Istorija 6. razred okruzno takmicenje 2023 test.pdfIstorija 6. razred okruzno takmicenje 2023 test.pdf
Istorija 6. razred okruzno takmicenje 2023 test.pdf
 
Istorija okruzno takmicenje za 6. razred 2022. godine.pdf
Istorija okruzno takmicenje za 6. razred 2022. godine.pdfIstorija okruzno takmicenje za 6. razred 2022. godine.pdf
Istorija okruzno takmicenje za 6. razred 2022. godine.pdf
 
Istorija okruzno takmicenje za 6. razred_20242024.pdf
Istorija okruzno takmicenje za 6. razred_20242024.pdfIstorija okruzno takmicenje za 6. razred_20242024.pdf
Istorija okruzno takmicenje za 6. razred_20242024.pdf
 
Profesionalna_orijentacija / Srednja Škola Hipokrat
Profesionalna_orijentacija / Srednja Škola HipokratProfesionalna_orijentacija / Srednja Škola Hipokrat
Profesionalna_orijentacija / Srednja Škola Hipokrat
 
Istorija opstinsko takmicenje za 6. razred - test_2024.pdf
Istorija opstinsko takmicenje za 6. razred - test_2024.pdfIstorija opstinsko takmicenje za 6. razred - test_2024.pdf
Istorija opstinsko takmicenje za 6. razred - test_2024.pdf
 
Istorija 6. razred opstinsko takmicenje 2022.pdf
Istorija 6. razred opstinsko takmicenje 2022.pdfIstorija 6. razred opstinsko takmicenje 2022.pdf
Istorija 6. razred opstinsko takmicenje 2022.pdf
 
Istorija kljuc za okruzno takmicenje za 6. razred 2022
Istorija kljuc za okruzno takmicenje za 6. razred 2022Istorija kljuc za okruzno takmicenje za 6. razred 2022
Istorija kljuc za okruzno takmicenje za 6. razred 2022
 

OIR9-L3.pptx

  • 1. 9.3. Kombinacione prekidačke mreže Kao što je već rečeno, kombinacione mreže predstavljaju kompoziciju logičkih elemenata ili preciznije, kompoziciju logičkih elemenata u kojoj ne postoje povratne veze. Pod povratnom vezom se podrazumeva put u prekidačkoj mreži kojim može da prođe signal od izlaza nekog logičkog elementa do njegovog ulaza. Pravila za povezivanje logičkih elemenata u kombinacionoj prekidačkoj mreži su sledeća: 1. Na ulaz logičkog elementa se može priključiti: • primarni ulaz mreže, • izlaz drugog logičkog elementa, ili • konstanta 0 ili 1. 2. Izlazni priključci dva logička elementa ne mogu biti direktno vezani. 3. Izlazni priključak logičkog elementa ne sme biti direktno ili indirektno vezan sa svojim ulazom.
  • 2. 9.3. Kombinacione prekidačke mreže Strukturna šema jedne kombinacione mreže prikazana je na slici. Kao što se sa slike vidi, ulazni signal prolazi kroz više logičkih elemenata u mreži dok ne dođe do izlaza. Maksimalni broj logičkih elemenata kroz koje prođe signal od ulaza u mrežu do njenog izlaza naziva se stepen prekidačke mreže. Takođe, za svaki element u mreži se može definisati stepen ili nivo kojem pripada kao maksimalni broj logičkih elemenata kroz koje signal prođe od ulaza u mrežu do njegovog izlaza. Mreža sa slike je trostepena. Na prvom nivou (stepenu) se nalazi NE kolo i I kolo čiji su ulazi signali b i c. Na drugom nivou je I kolo na čije je ulaze priključen signal a i izlaz NE kola, a na trećem nivou ILI kolo.
  • 3. 9.3. Kombinacione prekidačke mreže 9.3.1 Analiza kombinacionih prekidačkih mreža Analiza kombinacione mreže treba da nam omogući da razumemo kako radi prekidačka mreža predstavljena svojom strukturnom šemom, ili formalno: zadatak analize kombinacione mreže je da odredi sistem prekidačkih funkcija koje opisuju rad date mreže. Koraci u analizi kombinacione mreže su: 1. Obeležiti pomoćnim simbolima izlazne signale iz svih logičkih elemenata u mreži čiji izlazi ne predstavljaju izlaze čitave mreže. 2. Napisati izraze funkcionalnih zavisnosti izlaznih signala od ulaznih za svaki logički element u mreži. 3. U izrazima koji definišu funkcionalnu zavisnost izlaznih signala cele mreže vršiti zamenu pomoćnih promenljivih izrazima definisanim u koraku 2. dok se ne dobije zavisnost izlaznih signala isključivo u funkciji primarnih ulaznih signala. 4. Predstaviti dobijenu funkciju na neki od standardnih načina.
  • 4. 9.3. Kombinacione prekidačke mreže 9.3.1 Analiza kombinacionih prekidačkih mreža Primer 1. Izvršićemo analizu kombinacione mreže sa prethodne slike. Korak 1. Obeležimo izlaze iz logičkih elemenata kao na slici ispod. Korak 2. Pišemo izraze koji opisuju rad svakog logičkog elementa u mreži: d = 𝑏 𝑒 = 𝑎 ∙ 𝑑 g = 𝑏 ∙ 𝑐 𝑓 = 𝑒 + 𝑔 Korak 3. Transformišemo izraz za izlazni signal f. 𝑓 = 𝑒 + 𝑔 = 𝑎 ∙ 𝑑 + 𝑏 ∙ 𝑐 = 𝑎 ∙ 𝑏 + 𝑏 ∙ 𝑐
  • 5. 9.3. Kombinacione prekidačke mreže 9.3.1 Analiza kombinacionih prekidačkih mreža Primer 1. Izvršićemo analizu kombinacione mreže sa prethodne slike. Korak 4. Kreiraćemo tablicu istinitosti dobijene funkcije. d = 𝑏 𝑒 = 𝑎 ∙ 𝑑 g = 𝑏 ∙ 𝑐 𝑓 = 𝑒 + 𝑔 𝑓 = 𝑒 + 𝑔 = 𝑎 ∙ 𝑑 + 𝑏 ∙ 𝑐 = 𝑎 ∙ 𝑏 + 𝑏 ∙ 𝑐
  • 6. 9.3. Kombinacione prekidačke mreže 9.3.2 Sinteza kombinacionih prekidačkih mreža Proces sinteze kombinacionih prekidačkih mreža se odvija kroz 3 faze: 1. izbor logičkih elemenata koji će se koristiti u realizaciji mreže, 2. određivanje neke minimalne analitičke forme na osnovu koje će se mreža realizovati (minimizacija funkcije), 3. crtanje same strukturne šeme mreže. Pri izboru logičkih elemenata koji će se u mreži koristiti treba voditi računa o tome da operacije koje su realizovane izabranim logičkim elementima čine bazis u prekidačkoj algebri (tako smo sigurni da ćemo pomoću izabranih kola moći da realizujemo bilo koju prekidačku funkciju) i da izabrani elementi zadovoljavaju dodatne kriterijume korisnika mreže.
  • 7. 9.3. Kombinacione prekidačke mreže 9.3.2 Sinteza kombinacionih prekidačkih mreža Dodatni kriterijumi korisnika mogu biti: • cena celokupne mreže, • vreme kašnjenja kroz mrežu (što možemo minimizovati smanjenjem stepena mreže ili izborom elemenata sa manjim kašnjenjem), • potrošnja energije, ... Centralni problem koji se rešava pri sintezi kombinacionih prekidačkih funkcija je minimizacija analitičke forme kojom je funkcija predstavljena koja se uobičajeno naziva minimizacija prekidačke funkcije.
  • 8. 9.3. Kombinacione prekidačke mreže 9.3.3 Minimizacija prekidačkih funkcija Da bismo razumeli cilj i postupak minimizacije prekidačkih funkcija treba najpre uvesti pojam minimalnih analitičkih formi. Analitičke forme koje se koriste za predstavljanje prekidačkih funkcija koje smo do sada upoznali su: potpuna disjunktivna normalna forma, potpuna konjuktivna normalna forma, potpuna polinomna normalna forma i kanonički polinom. Pri navođenju ovih formi istaknuta je reč "potpuna" jer ona ukazuje da u odgovarajućim izrazima učestvuju potpune sume ili potpuni proizvodi. Potpune forme za predstavljanje prekidačkih funkcija jesu jedinstvene, ali su često jako glomazne i sinteza prekidačkih funkcija se nikada ne vrši na osnovu potpune forme već se one određenim transformacijama svode na svoj minimalni oblik.
  • 9. 9.3. Kombinacione prekidačke mreže 9.3.3 Minimizacija prekidačkih funkcija Jedino u kanoničkom polinomu ne učestvuju nikakvi potpuni izrazi i stoga je jedino kanonički polinom jedinstven. Svaku prekidačku funkciju možemo predstaviti različitim konjuktivnim, disjunktivnim ili polinomnim normalnim formama. Pošto ćemo sintezu kombinacionih prekidačkih mreža raditi uglavnom na osnovu konjuktivnih i disjunktivnih normalnih formi uvešćemo kriterijume kada ćemo neku disjunktivnu ili konjuktivnu formu smatrati minimalnom. Da bismo došli do pojma minimalne disjunktivne normalne forme, uvešćemo pojmove implikante i proste implikante prekidačke funkcije.
  • 10. 9.3. Kombinacione prekidačke mreže 9.3.3 Minimizacija prekidačkih funkcija Definicija 1: Implikanta funkcije f je funkcija koja ima vrednost 0 na svim ulaznim vektorima na kojima funkcija f ima vrednost 0 i ima vrednost 1 bar na jednom ulaznom vektoru na kojem funkcija f ima vrednost 1. Iz prethodne definicije se uočava da svaki potpuni proizvod koji učestvuje u PDNF funkcije predstavlja implikantu te funkcije. Definicija 2: Elementarni proizvod p1 je deo elementarnog proizvoda p ako je p1 dobijen iz proizvoda p izostavljanjem nekih promenljivih. Primer 2. Elementarni proizvodi 𝑥1, 𝑥2, 𝑥3, 𝑥1𝑥2, 𝑥1𝑥3 i 𝑥2𝑥3 su delovi elementarnog proizvoda 𝑥1𝑥2𝑥3.
  • 11. 9.3. Kombinacione prekidačke mreže 9.3.3 Minimizacija prekidačkih funkcija Definicija 3: Elementarni proizvod je prosta implikanta funkcije f ako on jeste implikanta funkcije f, a ni jedan njegov deo nije implikanta funkcije f. Definicija 4: Nepreopširna DNF funkcije f je suma elementarnih proizvoda prostih implikanata funkcije f takvih da je: • unija skupova vektora istinitosti na kojima svaki od elementarnih proizvoda koji učestvuje u sumi ima vrednost 1 predstavlja skup ulaznih vektora na kojima funkcija f ima vrednost 1, • za svaki elementarni proizvod koji učestvuje u sumi postoji bar 1 ulazni vektor na kojem samo taj proizvod ima vrednost 1. Ono što treba ovde uočiti je da nepreopširna DNF nije jedinstvena.
  • 12. 9.3. Kombinacione prekidačke mreže 9.3.3 Minimizacija prekidačkih funkcija Primer 3. Prekidačka funkcija f čija je potpuna disjunktivna normalna forma: 𝑓 𝑥1, 𝑥2, 𝑥3 = 𝑥1𝑥2𝑥3 + 𝑥1𝑥2𝑥3 + 𝑥1𝑥2𝑥3 + 𝑥1𝑥2𝑥3 + 𝑥1𝑥2𝑥3 se može predstaviti sledećim nepreopširnim disjunktivnim normalnim formama: 𝑓 𝑥1, 𝑥2, 𝑥3 = 𝑥1𝑥3 + 𝑥1𝑥2 + 𝑥1𝑥3 i 𝑓 𝑥1, 𝑥2, 𝑥3 = 𝑥1𝑥3 + 𝑥2𝑥3 + 𝑥1𝑥3
  • 13. 9.3. Kombinacione prekidačke mreže 9.3.3 Minimizacija prekidačkih funkcija 𝑓 𝑥1, 𝑥2, 𝑥3 = 𝑥1𝑥2𝑥3 + 𝑥1𝑥2𝑥3 + 𝑥1𝑥2𝑥3 + 𝑥1𝑥2𝑥3 + 𝑥1𝑥2𝑥3 𝑓 𝑥1, 𝑥2, 𝑥3 = 𝑥1𝑥3 + 𝑥1𝑥2 + 𝑥1𝑥3 i 𝑓 𝑥1, 𝑥2, 𝑥3 = 𝑥1𝑥3 + 𝑥2𝑥3 + 𝑥1𝑥3 Dokaz: Iz PDNF funkcije se lako uočava da funkcija ima vrednost 1 na skupu ulaznih vektora S={000, 010, 011, 101, 111}. Elementarni proizvod 𝑝1 = 𝑥1𝑥3 ima vrednost 1 na ulaznim vektorima S1={000, 010}. Dakle proizvod 𝑝1 jeste implikanta funkcije f. Treba proveriti još i da li je prosta implikanta. Delovi proizvoda 𝑝1 su 𝑥1 i 𝑥3. 𝑥1 ima vrednost 1 na ulaznim vektorima 000, 001, 010 i 011 pa ovo nije implikanta funkcije f. 𝑥3 ima vrednost 1 na ulaznim vektorima 000, 010, 100 i 110 pa ni to nije nije implikanta funkcije f. Pošto nijedan deo proizvoda 𝑝1 nije implikanta funkcije f, tvrdimo da je 𝑝1 prosta implikanta funkcije f.
  • 14. 9.3. Kombinacione prekidačke mreže 9.3.3 Minimizacija prekidačkih funkcija 𝑓 𝑥1, 𝑥2, 𝑥3 = 𝑥1𝑥2𝑥3 + 𝑥1𝑥2𝑥3 + 𝑥1𝑥2𝑥3 + 𝑥1𝑥2𝑥3 + 𝑥1𝑥2𝑥3 𝑓 𝑥1, 𝑥2, 𝑥3 = 𝑥1𝑥3 + 𝑥1𝑥2 + 𝑥1𝑥3 i 𝑓 𝑥1, 𝑥2, 𝑥3 = 𝑥1𝑥3 + 𝑥2𝑥3 + 𝑥1𝑥3 Na isti način se pokazuje i da su proizvodi 𝑝2 i 𝑝3 proste implikante funkcije f. Elementarni proizvod 𝑝2 = 𝑥1𝑥2 ima vrednost 1 na ulaznim vektorima S2={010, 011}. Elementarni proizvod 𝑝3 = 𝑥1𝑥3 ima vrednost 1 na ulaznim vektorima S3={101, 111}. Uočava da je 𝑆1 ∪ 𝑆2 ∪ 𝑆3 = 𝑆, da na ulaznom vektoru 000 jedino proizvod 𝑝1 ima vrednost 1, na ulaznom vektoru 011 jedino elementarni proizvod 𝑝2 ima vrednost 1, a na ulaznim vektorima 101 i 111 jedino proizvod 𝑝3 ima vrednost 1 pa izraz 𝑥1𝑥3 + 𝑥1𝑥2 + 𝑥1𝑥3 jeste nepreopširna disjunktivna normalna forma funkcije f.
  • 15. 9.3. Kombinacione prekidačke mreže 9.3.3 Minimizacija prekidačkih funkcija Koristili smo pojam nepreopširna, a ne pojam minimalna. Iz skupa nepreopširnih formi se može birati minimalna po različitim kriterijumima: tako da broj operanada u izrazu bude minimalan (čime se minimizuje broj ulaza u logička kola) ili da broj operacija u izrazu bude minimalan (čime se minimizuje broj korišćenih logičkih kola), itd. Međutim, čak i uzimajući sve te kriterijume u obzir može se desiti da ne možemo doći do jedinstvene minimalne forme, pa pod pojmom minimalna disjunktivna normalna forma funkcije smatramo bilo koju nepreopširnu disjunktivnu normalnu formu.
  • 16. 9.3. Kombinacione prekidačke mreže 9.3.3 Minimizacija prekidačkih funkcija Pošto smo potpunu konjuktivnu normalnu formu definisali kao proizvod potpunih suma koje imaju vrednost 0 tamo gde i funkcija ima vrednost 0, za određivanje minimalne konjuktivne normalne forme koristićemo implicente i proste implicente funkcije. Definicija 5: Implicenta funkcije f je funkcija koja ima vrednost 1 na svim ulaznim vektorima na kojima funkcija f ima vrednost 1 i ima vrednost 0 bar na jednom ulaznom vektoru na kojem funkcija f ima vrednost 0. Dakle, svaka potpuna suma koja učestvuje u PKNF funcije predstavlja implicentu te funkcije. Definicija 6: Elementarnasuma s1 je deo elementarne sume s ako je s1 dobijena iz sume s izostavljanjem nekih promenljivih.
  • 17. 9.3. Kombinacione prekidačke mreže 9.3.3 Minimizacija prekidačkih funkcija Primer 4. Elementarne sume 𝑥1, 𝑥2, 𝑥3, 𝑥1 + 𝑥2, 𝑥1 + 𝑥3 i 𝑥2 + 𝑥3 su delovi elementarnog proizvoda 𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3. Definicija 7: Elementarna suma je prosta implicenta funkcije f ako ona jeste implicenta funkcije f, a ni jedan njen deo nije implicenta funkcije f. Definicija 8: Nepreopširna KNF funkcije f je proizvod elementarnih suma prostih implicenata funkcije f takvih da je: • unija skupova vektora istinitosti na kojima svaka od elementarnih suma ima vrednost 0 predstvlja skup ulaznih vektora na kojima funkcija f ima vrednost 0, • za svaku elementarnu sumu koja učestvuje u niminalnoj DNF postoji bar 1 ulazni vektor na kojem samo ta suma ima vrednost 0.
  • 18. 9.3. Kombinacione prekidačke mreže 9.3.3 Minimizacija prekidačkih funkcija 9.3.3.1 Minimizacija prekidačkih funkcija algebarskim metodama Pod pojmom minimizacije prekidačkih funkcija algebarskim metodama podrazumevamo transformaciju potpunih analitičkih formi u minimalne korišćenjem aksioma i teorema Bulove algebre. Pri minimizaciji disjunktivne normalne forme koriste se sledeće teoreme: • teorema sažimanja: 𝑎𝑏 + 𝑎𝑏 = 𝑎 i • teorema apsorpcije: 𝑎 + 𝑎𝑏 = 𝑎 Primer 5. Izvršićemo minimizaciju prekidačke funkcije datu potpunom disjunktivnom normalnom formom: 𝑓 𝑥1, 𝑥2, 𝑥3, 𝑥4 = 𝑥1𝑥2𝑥3𝑥4 + 𝑥1𝑥2𝑥3𝑥4 + 𝑥1𝑥2𝑥3𝑥4 + 𝑥1𝑥2𝑥3𝑥4 + 𝑥1𝑥2𝑥3𝑥4 + 𝑥1𝑥2𝑥3𝑥4 + 𝑥1𝑥2𝑥3𝑥4
  • 19. 9.3. Kombinacione prekidačke mreže 9.3.3 Minimizacija prekidačkih funkcija 9.3.3.1 Minimizacija prekidačkih funkcija algebarskim metodama 𝑓 𝑥1, 𝑥2, 𝑥3, 𝑥4 = 𝑥1𝑥2𝑥3𝑥4 + 𝑥1𝑥2𝑥3𝑥4 + 𝑥1𝑥2𝑥3𝑥4 + 𝑥1𝑥2𝑥3𝑥4 + 𝑥1𝑥2𝑥3𝑥4 + 𝑥1𝑥2𝑥3𝑥4 + 𝑥1𝑥2𝑥3𝑥4 Za svaki potpuni proizvod u PDNF uvešćemo posebnu oznaku na sledeći način: 𝑝1 = 𝑥1𝑥2𝑥3𝑥4, 𝑝2 = 𝑥1𝑥2𝑥3𝑥4, 𝑝3 = 𝑥1𝑥2𝑥3𝑥4, 𝑝4 = 𝑥1𝑥2𝑥3𝑥4, 𝑝5 = 𝑥1𝑥2𝑥3𝑥4, 𝑝6 = 𝑥1𝑥2𝑥3𝑥4, 𝑝7 = 𝑥1𝑥2𝑥3𝑥4 Teoremu sažimanja možemo primeniti nad sledećim parovima proizvoda: (𝑝1, 𝑝2), (𝑝3, 𝑝4), (𝑝5, 𝑝6), (𝑝6, 𝑝7). Kao što se vidi, proizvod 𝑝6 se može udružiti i sa proizvodom 𝑝5 i sa proizvodom 𝑝7. S obzirom da u Bulovoj algebri važi da je a+a=a, proizvod 𝑝6 možemo napisati 2 puta u zbiru pa napraviti sledeće parove za sažimanje:
  • 20. 9.3. Kombinacione prekidačke mreže 9.3.3 Minimizacija prekidačkih funkcija 9.3.3.1 Minimizacija prekidačkih funkcija algebarskim metodama 𝑓 𝑥1, 𝑥2, 𝑥3, 𝑥4 = 𝑥1𝑥2𝑥3𝑥4 + 𝑥1𝑥2𝑥3𝑥4 + 𝑥1𝑥2𝑥3𝑥4 + 𝑥1𝑥2𝑥3𝑥4 + 𝑥1𝑥2𝑥3𝑥4 + 𝑥1𝑥2𝑥3𝑥4 + 𝑥1𝑥2𝑥3𝑥4 + 𝑥1𝑥2𝑥3𝑥4 = 𝑥1𝑥2𝑥3 + 𝑥1𝑥2𝑥3 + 𝑥1𝑥2𝑥3 + 𝑥1𝑥3𝑥4 = 𝑥1𝑥2 + 𝑥2𝑥3 + 𝑥1𝑥3𝑥4 Minimizacija konjuktivne normalne forme algebarskom metodom se vrši na istovetan način, samo uz primenom dualnih izraza istih teorema: • teorema sažimanja: (𝑎 + 𝑏) ∙ (𝑎 + 𝑏) = 𝑎 i • teorema apsorpcije: 𝑎 ∙ (𝑎 + 𝑏) = 𝑎
  • 21. 9.3. Kombinacione prekidačke mreže 9.3.3 Minimizacija prekidačkih funkcija 9.3.3.2 Minimizacija prekidačkih funkcija pomoću Karnoovih mapa Karnoove mape predstavljaju još jednu tabličnu metodu za predstavljanje prekidačkih funkcija. Karnoova mapa je tablica sa: • 2n/2 vrsta i 2n/2 kolona za parno n, • 2(n-1)/2 vrsta i 2(n+1)/2 kolona za neparno n. U svakoj ćeliji Karnoove mape upisana je vrednost funkcije na jednom vektoru istinitosti i to tako da fizički susednim ćelijama odgovaraju vektori koji se razlikuju samo na jednoj koordinati. Na slici je dat raspored polja u Karnoovoj mapi za funkcije 2, 3, 4 i 5 promenljivih.
  • 22. 9.3. Kombinacione prekidačke mreže 9.3.3 Minimizacija prekidačkih funkcija 9.3.3.2 Minimizacija prekidačkih funkcija pomoću Karnoovih mapa Ulazni vektor koji odgovara ćeliji se dobija nadovezivanjem njegovih delova koji se nalaze u oznakama odgovajuće vrste i kolone matrice. Sa slike se može uočiti i da se ulazni vektori koji odgovaraju ćelijama prve i poslednje vrste mape, takođe, razlikuju samo na jednoj koordinati. Isto tako vektori koji odgovaraju ćelijama prve i poslednje kolone mape se, takođe, razlikuju na samo jednoj koordinati. To znači da su prva i poslednja vrsta Karnoove mape susedne, pa ako izvršimo savijanje mape i fizički spojimo te vrste, dobićemo cilindar. Ako nakon toga savijemo cilindar tako da spojimo susedne ćelije iz prve i poslednje kolone, dobićemo torus. Dakle Karnoovu mapu treba posmatrati kao jednu torusnu površinu. Na slici (b) u uglovima polja Karnoove mape prikazani su decimalni indeksi odgovarajućih ulaznih vektora.
  • 23. 9.3. Kombinacione prekidačke mreže 9.3.3 Minimizacija prekidačkih funkcija 9.3.3.2 Minimizacija prekidačkih funkcija pomoću Karnoovih mapa Ako se posmatra Karnoova mapa za funkcije 5 promenljivih uočava se i da se vektori koji odgovaraju ćelijama koje se nalaze u kolonama 001 i 101, kao i 011 i 111, takođe, razlikuju samo na jednoj koordinati, pa i ove kolone treba smatrati susednim. Zbog toga korišćenje Karnoovih mapa nije preporučljivo za predstavljanje funkcija većeg broja promenljivih.
  • 24. 9.3. Kombinacione prekidačke mreže 9.3.3 Minimizacija prekidačkih funkcija 9.3.3.2 Minimizacija prekidačkih funkcija pomoću Karnoovih mapa Primer 6. U tabeli je data je tablica istinitosti, a na slici Karnoova mapa, prekidačke funkcije f čija je potpuna disjunktivna normalna forma: 𝑓 𝑥1, 𝑥2, 𝑥3 = 𝑥1𝑥2𝑥3 + 𝑥1𝑥2𝑥3 + 𝑥1𝑥2𝑥3 + 𝑥1𝑥2𝑥3 + 𝑥1𝑥2𝑥3
  • 25. 9.3. Kombinacione prekidačke mreže 9.3.3 Minimizacija prekidačkih funkcija 9.3.3.2 Minimizacija prekidačkih funkcija pomoću Karnoovih mapa Uočimo u Karnoovoj mapi sa slike dve susedne ćelije u koje su upisane jedinice. Neka su to ćelije koje odgovaraju ulaznim vektorima 000 i 010. Potpuni proizvodi koji imaju vrednost 1 na ovim ulaznim vektrima su: 𝑥1𝑥2𝑥3 i 𝑥1𝑥2𝑥3 , odnosno implikanta funkcije f koja ima vrednost 1 na ovim ulaznim vektorima je 𝑔 = 𝑥1𝑥2𝑥3 + 𝑥1𝑥2𝑥3. Primenom teoreme sažimanja, ova implikanta će se transformisati u 𝑔 = 𝑥1𝑥3. Ako pogledamo ulazne vektore 000 i 010, uočavamo da se u njima razlikuje samo vrednost promenljive 𝑥2 , a da u konačnom izrazu za funkciju g učestvuju sve ostale promenljive (u ovom slučaju 𝑥1 i 𝑥3)
  • 26. 9.3. Kombinacione prekidačke mreže 9.3.3 Minimizacija prekidačkih funkcija 9.3.3.2 Minimizacija prekidačkih funkcija pomoću Karnoovih mapa U opštem slučaju u Karnoovoj mapi se mogu uočiti pravilne figure ("pravougaonici") veličine 2r (ranga r) koje su kompletno pokriveni jedinicama. Svaka takva figura određuje po jedan elementarini proizvod koji predstavlja implikantu funkcije f, u kojem će učestvovati n-r promenljivih koje imaju konstantnu vrednost na svim ćelijama figure. Formalno, pravilna figura u Karnoovoj mapi se može definisati na sledeći način: Definicija 9: Pravilna figura ranga r u Karnoovoj mapi je skup od 2r susednih ćelija koje imaju k=n-r zajedničkih koordinata. Svakoj pravilnoj figuri u Karnoovoj mapi odgovara po jedan elementarni proizvod koji ima vrednost 1 na svim ćelijama te figure i jedna elementarna suma koja ima vrednost 0 na svim ćelijama figure. Članovi tih proizvoda (suma) su promenljive koje imaju konstantnu vrednost za sve ćelije figure.
  • 27. 9.3. Kombinacione prekidačke mreže 9.3.3 Minimizacija prekidačkih funkcija 9.3.3.2 Minimizacija prekidačkih funkcija pomoću Karnoovih mapa Primer 7. Na slici su dati neki karakteristični slučajevi položaja pravilnih figura u Karnoovoj mapi.
  • 28. 9.3. Kombinacione prekidačke mreže 9.3.3 Minimizacija prekidačkih funkcija 9.3.3.2 Minimizacija prekidačkih funkcija pomoću Karnoovih mapa Algoritam za minimizaciju DNF pomoću Karnoovih mapa Korak 1. Formirati pravilne figure maksimalnih rangova koje pokrivaju samo jedinice i to tako da svaka jedinica bude pokrivena bar jednom pravilnom figurom, Korak 2. Ukloniti figure za koje ne postoji ćelija koja je pokrivena samo tom figurom, Korak 3. Definisati elementarne proizvode koji imaju vrednost 1 na tako kreiranim figurama, Korak 4. Kreirati minimalnu DNF kao sumu elementarnih proizvoda određenih u prethodnom koraku.
  • 29. 9.3. Kombinacione prekidačke mreže 9.3.3 Minimizacija prekidačkih funkcija 9.3.3.2 Minimizacija prekidačkih funkcija pomoću Karnoovih mapa Primer 8. Korišćenjem Karnoovih mapa kreiraćemo minimalnu DNF za funkciju iz primera 5. Da bi se lakše popunila Karnoovu mapa krenućemo od tablice istinitosti funkcije koja je prikazana u tabeli. Karnoova mapa date funkcije sa obeleženim pravilnim figurama koje pokrivaju jedinice i na osnovu tako kreiranih figura minimalna DNF funkcije prikazani su na slici.
  • 30. 9.3. Kombinacione prekidačke mreže 9.3.3 Minimizacija prekidačkih funkcija 9.3.3.2 Minimizacija prekidačkih funkcija pomoću Karnoovih mapa Analogno postupku dobijanja minimalne DNF, pomoću Karnoove mape može se definisati i postupak dobijanja minimalne KNF. Problem kod kreiranja minimalne KNF je odrediti elementarne sume proste implicente date funkcije. Prema tome, polazna tačka u ovom postupku biće kreiranje pravilnih regiona koji pokrivaju nule funkcije. Algoritam za minimizaciju KNF pomoću Karnoovih mapa Korak 1. Formirati pravilne figure maksimalnih rangova koje pokrivaju samo nule i to tako da svaka nula bude pokrivena bar jednom pravilnom figurom, Korak 2. Ukloniti figure za koje ne postoji ćelija koja je pokrivena samo tom figurom, Korak 3. Definisati elementarne sume koje imaju vrednost 0 na tako kreiranim figurama, Korak 4. Kreirati minimalna KNF kao proizvod elementarnih suma određenih u prethodnom koraku.
  • 31. 9.3. Kombinacione prekidačke mreže 9.3.3 Minimizacija prekidačkih funkcija 9.3.3.2 Minimizacija prekidačkih funkcija pomoću Karnoovih mapa Primer 9. Korišćenjem Karnoovih mapa kreiraćemo minimalnu KNF za funkciju iz prethodnog primera. Koristićemo istu Karnoovu mapu, ali ćemo ovoga puta u njoj obeležiti pravilne regione koji pokrivaju nule. Isprekidanom linijom je obeležena pravilna figura koja je, takođe, ranga 2, ali za koju ne postoji ćelija koja je pokrivena samo tom figurom pa je ona suvišna.
  • 32. 9.3. Kombinacione prekidačke mreže 9.3.3 Minimizacija prekidačkih funkcija 9.3.3.2 Minimizacija prekidačkih funkcija pomoću Karnoovih mapa Karnoove mape su posebno pogodne za minimizaciju nepotpuno definisanih funkcija. Kod nepotpuno definisanih funkcija pozicije u vektoru istinitosti obeležene zvezdicom možemo zameniti bilo nulom, bilo jedinicom. Zamenićemo ih takvom vrednošću da tražena minimalna forma bude što jednostavnija. U Karnoovoj mapi je najlakše uočiti kojom vrednošću treba zameniti konkretnu zvezdicu. Zamenićemo je uvek onom vrednošću koja povećava rang uočenih pravilnih figura i/ili smanjuje broj pravilnih fuigura koje su kreirane bez uzimanja u obzir moguće vrednosti zvezdice. Postupak određivanja kojom vrednošću treba zameniti zvezdicu ćemo najlakše objasniti kroz primer.
  • 33. 9.3. Kombinacione prekidačke mreže 9.3.3 Minimizacija prekidačkih funkcija 9.3.3.2 Minimizacija prekidačkih funkcija pomoću Karnoovih mapa Primer 10. Korišćenjem Karnoovih mapa kreiraćemo minimalnu DNF za nepotpuno definisanu funkciju čija je tablica istinitosti prikazana u tabeli. Kreirajmo najpre pravilne regione u mapi koje pokrivaju isključivo jedinice funkcije. DNF kreirana na osnovu ovako uočenih pravilnih figura bila bi: 𝑓 𝑥1, 𝑥2, 𝑥3, 𝑥4 = 𝑥2𝑥3𝑥4 + 𝑥1𝑥2𝑥3𝑥4 + 𝑥1𝑥2𝑥3𝑥4
  • 34. 9.3. Kombinacione prekidačke mreže 9.3.3 Minimizacija prekidačkih funkcija 9.3.3.2 Minimizacija prekidačkih funkcija pomoću Karnoovih mapa Ako zvezdice koje se nalaze na pozicijama kojima odgovaraju ulazni vektori 0100 i 1100 zamenimo jedinicama, umesto regiona ranga 1 (koji pokriva jedinice na ulaznimvektorima 0000 i 1000), dobićemo region ranga 2 koji pokriva celokupnu prvu vrstu Karnoove mape. Analogno tome, ako zvezdice koje se nalaze na pozicijama koje odgovaraju ulaznim vektorima 0110 i 1111 zamenimo jedinicama, umesto dva regiona ranga 0, dobićemo jedan ragion ranga 2. Ovako transformisana Karnoova mapa izgledaće kao na slici
  • 35. 9.3. Kombinacione prekidačke mreže 9.3.3 Minimizacija prekidačkih funkcija 9.3.3.2 Minimizacija prekidačkih funkcija pomoću Karnoovih mapa Ako bismo zvezdice koje se nalaze na pozicijama koje odgovaraju ulaznim vektorima 0101 i 1011 zamenili jedinicama, prouzrokovali bismo kreiranje novih regiona za njihovo pokrivanje pa bismo na taj način DNF funkcije usložnili. Dakle, regioni prikazani na slici odgovaraju potpuno definisanoj funkciji, nastaloj dodefinisanju funkcije iz primera 0, koja ima minimalnu DNF. DNF tako dobijene funkcije je: 𝑓 𝑥1, 𝑥2, 𝑥3, 𝑥4 = 𝑥3𝑥4 + 𝑥2𝑥3 Zaključak: zvezdice u Karnoovoj mapi ćemo uključiti u pravilne figure (čime ih, praktično, tretiramo kao jedinice) samo ako time smanjujemo broj kreiranih figura, ili povećavamo njihov rang.
  • 36. 9.3. Kombinacione prekidačke mreže 9.3.4 Realizacija kombinacionih mreža u bazisu I, ILI, NE Konačni ishod sinteze prekidačke mreže treba da bude strukturna šema mreže koja pokazuje koji elementi učestvuju u realizaciji i kako su međusobno povezani. Najjednostavnija realizacija kombinacionih prekidačkih mreža je korišćenjem I, ILI i NE elemenata, jer se ova realizacija direktno izvodi na osnovu minimalne DNF ili minimalne KNF. Ukoliko se realizacija vrši na osnovu minimalne DNF funkcije, mreža se realizuje kao tronivoska u kojoj se: • na prvom nivou nalaze NE elementi koji realizuju potrebne komplemente promenljivih, • na drugom nivou se nalaze I kola koja realizuju proste implikante funkcije, • na trećem nivou je jedno ILI kolo.
  • 37. 9.3. Kombinacione prekidačke mreže 9.3.4 Realizacija kombinacionih mreža u bazisu I, ILI, NE Primer 11. Nacrtaćemo strukturnu šemu mreže koja realizuje prekidačku funkciju čija je minimalna DNF data izrazom: 𝑓 𝑥1, 𝑥2, 𝑥3 = 𝑥1𝑥2 + 𝑥2𝑥3 + 𝑥1𝑥3𝑥4 Na prvom nivou u ovoj mreži će se naći 2 NE kola koja realizuju 𝑥1 i 𝑥2. Na drugom nivou ćemo imati 2 I kola sa po 2 ulaza (koja realzuju proizvode 𝑥1𝑥2 i 𝑥2𝑥3 ) i jedno I kolo sa 3 ulaza (koje realizuje proizvod 𝑥1𝑥3𝑥4). Na poslednjem, trećem, nivou će se naći ILI kolo koje realizuje sumu proizvoda realizovanih na drugom nivou mreže. Strukturna šema mreže kreirane na osnovu minimalne DNF prikazana je na slici:
  • 38. 9.3. Kombinacione prekidačke mreže 9.3.4 Realizacija kombinacionih mreža u bazisu I, ILI, NE Potpuno analogan postupak se može primeniti i za kreiranje strukturne šeme mreže na osnovu minimalne KNF. U tom slučaju će na prvom nivou ponovo biti NE elementi, na drugom nivou ILI elementi i na poslednjem nivou jedan I element. Primer 12. Minimalna KNF funkcije iz prethodnog primera je 𝑓 𝑥1, 𝑥2, 𝑥3 = 𝑥1 + 𝑥2 (𝑥2 + 𝑥4)(𝑥1 + 𝑥3). Šema prekidačke mreže kreirane na osnovu ovog izraza prikazana je na slici
  • 39. 9.3. Kombinacione prekidačke mreže 9.3.4 Realizacija kombinacionih mreža u bazisu I, ILI, NE Prvi nedostatak ovakve realizacije kombinacionih prekidačkih mreža je korišćenje logičkih kola sa proizvoljnim brojem ulaza. U praksi se najčešće proizvode logička kola sa 2 ulaza ili logička kola čiji je broj ulaza jednak stepenu dvojke (2, 4, 8,...). Razmotrimo način realizacije prekidačkih mreža ukoliko su nam na raspolaganju samo logička kola sa 2 ulaza. Prva mogućnost za realizaciju prekidačkih mreža pomoću logičkih kola sa 2 ulaza je da svako logičko kolo sa više ulaza zamenimo odgovarajućim skupom logičkih kola sa 2 ulaza. Na slici je prikazano kako se proizvodi, odnosno sume, 3 ili 4 promenljive mogu realizovati pomoću logičkih kola sa 2 ulaza.
  • 40. 9.3. Kombinacione prekidačke mreže 9.3.4 Realizacija kombinacionih mreža u bazisu I, ILI, NE Primer 13. Na slici je prikazana je strukturna šema kombinacione prekidačke mreže koja realizuje funkciju zadatu minimalnom DNF 𝑓 𝑥1, 𝑥2, 𝑥3 = 𝑥1𝑥2 + 𝑥2𝑥3 + 𝑥1𝑥3𝑥4
  • 41. 9.3. Kombinacione prekidačke mreže 9.3.4 Realizacija kombinacionih mreža u bazisu I, ILI, NE Iz prethodnog primera se vidi, da se korišćenjem dvoulaznih logičkih kola povećava i broj korišćenih logičkih kola i broj nivoa u prekidačkoj mreži, a samim tim i cena mreže, i potrošnja energije i kašnjenje signala kroz mrežu. Zato je preporučljivo, umesto da se svaki element sa više ulaza direktno zameni skupom elemenata sa 2 ulaza, da se pokuša sa faktorizacijom minimalne forme kako bi se dobili podizrazi u kojima učestvuju po 2 operanda. Primer 14. DNF iz prethodnog primera se može transformisati na sledeći način: 𝑓 𝑥1, 𝑥2, 𝑥3 = 𝑥1𝑥2 + 𝑥2𝑥3 + 𝑥1𝑥3𝑥4 = 𝑥1𝑥2 + 𝑥3(𝑥2 + 𝑥1𝑥4) Šema, kreirana na osnovu ovako transformisanog izraza prikazana je na slici
  • 42. 9.3. Kombinacione prekidačke mreže 9.3.5 Realizacija kombinacionih mreža u bazisima NI i NILI Korišćenje bazisa koji sadrže samo jednu operaciju (kakvi su bazisi koje čine samo NI ili samo NILI operacije) se pokazalo jako pogodnim za realizaciju prekidačkih mreža jer u tom slučaju sva kola koja čine prekidačku mrežu imaju iste karakteristike (kašnjenje, potrošnja energije, temperaturni opseg pouzdanog rada,...) pa je samim tim i lakše proceniti karakteristike (ponašanje) cele mreže. Ranije je pokazano kako se pomoću NI operacije mogu realizovati sve operacije prirodnog bazisa (NE, I i ILI). To znači, da se izraz u kojima učestvuju NE, I i ILI operacije, lako može transformisati u izraz koji koristi isključivo NI operacije. Dakle, kada vršimo realizaciju prekidačkih mreža pomoću NI ili NILI elemenata, kao polazni izrazi se mogu koristiti minimalne DNF i minimalne KNF. Ukoliko se za realizaciju prekidačke mreže koriste NI elementi, prekidačku funkciju treba predstaviti izrazom u kojem učestvuju isključivo NI operacije. Najzgodnije je krenuti od minimalne DNF funkcije.
  • 43. 9.3. Kombinacione prekidačke mreže 9.3.5 Realizacija kombinacionih mreža u bazisima NI i NILI Potrebne transformacije koje treba izvršiti su sledeće: Korak 1. Ceo izraz (DNF) 2 puta komplementirati, Korak 2. Unutrašnji (donji komplement) transformisati primenom DeMorganove teoreme (tj. komplement zbira transformisati u proizvod komplemenata sabiraka). Korak 3. Svaki izraz oblika 𝑥𝑘1 ∙ 𝑥𝑘2 ∙ ⋯ ∙ 𝑥𝑘𝑛 zameniti izrazom 𝑥𝑘1 𝑥𝑘2 …𝑥𝑘𝑛 Korak 4. Komplement svake promenljive 𝑥𝑘 zameniti izrazom 𝑥𝑘 ∙ 𝑥𝑘, tj. 𝑥𝑘𝑥𝑘.
  • 44. 9.3. Kombinacione prekidačke mreže 9.3.5 Realizacija kombinacionih mreža u bazisima NI i NILI Primer 15. DNF iz prethodnog primera ćemo transformisati tako da omogućimo realizaciju funkcije isključivo pomoću NI elemenata. 𝑓 𝑥1, 𝑥2, 𝑥3 = 𝑥1𝑥2 + 𝑥2𝑥3 + 𝑥1𝑥3𝑥4 = = 𝑥1𝑥2 + 𝑥2𝑥3 + 𝑥1𝑥3𝑥4 = 𝑥1𝑥2 ∙ 𝑥2𝑥3 ∙ 𝑥1𝑥3𝑥4 = 𝑥1𝑥2  𝑥2𝑥3  𝑥1𝑥3𝑥4 = 𝑥1𝑥1  𝑥2𝑥2  𝑥2𝑥2 𝑥3 (𝑥1𝑥3𝑥4)) U praksi se koraci 3 i 4 i ne rade. Na osnovu izraza dobijenog nakon primene DeMorganove teoreme može se direktno crtati šema kombinacione prekidačke mreže. Šema prekidačke mreže koja realizuje funkciju iz primera, a koja sadrži isključivo NI elemente, prikazana je na slici.
  • 45. 9.3. Kombinacione prekidačke mreže 9.3.5 Realizacija kombinacionih mreža u bazisima NI i NILI Ukoliko pri realizaciji treba koristiti samo kola sa ograničenim brojem ulaza (npr. 2), NI operacije sa više operanada, možemo realizovati pomoću NI operacija sa 2 operanda na sledeći način: Primer 16. Na slici je prikazana šema prekidačke mreže koja relizuje funkciju iz prethodnog primera pri čemu su u realizaciji korišćena isključivo dvoulazna NI logička kola.
  • 46. 9.3. Kombinacione prekidačke mreže 9.3.5 Realizacija kombinacionih mreža u bazisima NI i NILI Ako se opredelimo da kombinacionu prekidačku mrežu realizujemo pomoću NILI kola, funkciju treba predstaviti izrazom koji sadrži isključivo NILI operacije. Za to je najzgodnije izvršiti transformaciju minimalne KNF na sledeći način: Korak 1. Ceo izraz (KNF) 2 puta komplementirati, Korak 2. Unutrašnji (donji komplement) transformisati primenom DeMorganove teoreme (tj. komplement proizvoda transformisati u sumu komplemenata njegovih činilaca). Korak 3. Svaki izraz oblika 𝑥𝑘1 + 𝑥𝑘2 + ⋯ + 𝑥𝑘𝑛 zameniti izrazom 𝑥𝑘1 ↓ 𝑥𝑘2 ↓ …↓ 𝑥𝑘𝑛 Korak 4. Komplement svake promenljive 𝑥𝑘 zameniti izrazom 𝑥𝑘 + 𝑥𝑘, tj.𝑥𝑘 ↓ 𝑥𝑘.
  • 47. 9.3. Kombinacione prekidačke mreže 9.3.5 Realizacija kombinacionih mreža u bazisima NI i NILI Primer 17. KNF iz primera 12. ćemo transformisati tako da omogućimo realizaciju funkcije isključivo pomoću NILI elemenata. Prekidačka mreža kreirana na osnovu ovako dobijenog izraza prikazana je na slici: