Osnovi informatike i računarstva - Prekidačke funkcije I: Načini predstavljanja prekidačkih funkcija

1. 7.2. Načini predstavljanja prekidačkih funkcija
Pošto je domen prekidačke funkcije ograničen (rečeno je već da je
ukupan broj ulaznih vektora prekidačke funkcije n-promenljivih 2n),
zadavanje prekidačke funkcije može da se izvrši tako što se navede
vrednost funkcije za svaki mogući ulazni vektor.
U takve metode predstavljanja prekidačkih funkcija spadaju:
• predstavljanje prekidačkih funkcija tablicom istinitosti,
• predstavljanje prekidačkih funkcija vektorom istinitosti,
• predstavljanje prekidačkih funkcija skupovima decimalnih indeksa,
• predstavljanje prekidačkih funkcija decimalnim indeksom funkcije.
Druge grupe metoda za predstavljanje prekidačkih funkcija koje će
ovde biti razmatrane su predstavljanje prekidačkih funkcija pomoću
analitičkih formi (tj. korišćenjem Bulovih izraza).

2. 7.2. Načini predstavljanja prekidačkih funkcija
Tablica istinitosti prekidačke funkcije
n-promenljivih je tabela koja ima 2n
vrsta i 2 kolone. U prvoj koloni se
navode ulazni vektori funkcije, a u
drugoj vrednosti funkcije za
odgovarajuće ulazne vektore.
Primer 3. U tabeli je prikazana tablica
istinitosti jedne potpuno definisane
prekidačke funkcije 3 promenljive.
7.2.1 Predstavljanje prekidačkih funkcija tablicom istinitosti

3. 7.2. Načini predstavljanja prekidačkih funkcija
Primer 4. Tabela sadrži tablicu
istinitosti jedne nepotpuno definisane
prekidačke funkcije 3 promenljive.
7.2.1 Predstavljanje prekidačkih funkcija tablicom istinitosti

4. 7.2. Načini predstavljanja prekidačkih funkcija
Iz prethodnih tabela se vidi da se u tablici istinitosti ulazni vektori uvek
ređaju po leksikografskom uređenju od najmanjeg prema najvećem.
To znači da je prva kolona za sve funkcije sa istim brojem ulaznih
promenljivih u tablici istinitosti uvek ista pa je za jednoznačno
određenje funkcije dovoljno pamtiti samo drugu kolonu, tj. samo
kolonu sa vrednostima funkcije.
Vektor vrednosti funkcije u kojem je zadržan navedeni redosled
navođenja članova je poznat kao vektor istinitosti funkcije.
Primer 5. Prekidačka funkcija iz primera 3 se može predstaviti
vektorom istinitosti: 𝐹 = 01101100 𝑇
Primer 6. Prekidačka funkcija iz primera 4 se može predstaviti
vektorim istinitosti: 𝐹 = 011 ∗ 01 ∗∗ 𝑇
7.2.2 Predstavljanje prekidačkih funkcija vektorom istinitosti

5. 7.2. Načini predstavljanja prekidačkih funkcija
Svaki ulazni vektor prekidačke funkcije možemo posmatrati kao jedan
binarni broj. Ako taj broj prevedemo u dekadni brojni sistem dobijamo
decimalni indeks ulaznog vektora.
Decimalni indeks ulaznog vektora se izračunava po formuli:
𝑑 =
𝑖=0
𝑛
𝑘𝑖 ∙ 2𝑛−𝑖
gde je 𝑘𝑖 vrednost promenljive sa rednim brojem i u ulaznom vektoru.
Decimalni indeks ulaznog vektora funkcje n-promenljivih uzima
vrednosti iz intervala [0, 2n-1].
7.2.3 Predstavljanje prekidačkih funkcija skupovima decimalnih
indeksa

6. 7.2. Načini predstavljanja prekidačkih funkcija
Primer 7. U tabeli je prikazana
proširena tablica istinitosti
prekidačke funkcije iz primera 3.
Prva kolona u tabeli (obeležena sa
d) predstavlja decimalni indeks
odgovarajućeg ulaznog vektora.
7.2.3 Predstavljanje prekidačkih funkcija skupovima
decimalnih indeksa

7. 7.2. Načini predstavljanja prekidačkih funkcija
Za potpuno definisanu funkciju n-promenljivh možemo definisati 2 skupa
decimalnih indeksa:
• skup decimalnih indeksa ulaznih vektora na kojima funkcija ima vrednost
0, koji se obeležava sa 𝑓(0) i
• skup decimalnih indeksa ulaznih vektora na kojima funkcija ima vrednost
1, koji se obeležava sa 𝑓(1).
Primer 8. Skupovi decimalnih indeksa za funkciju iz primera 3 su:
𝑓(0) = 0,3,6,7 i 𝑓(1) = 1,2,4,5
Potpuno defininisana prekidačka funkcija je jednoznačno određena i kada je
dat samo jedan od navedenih skupova decimalnih indeksa, tj. dovoljno je
navesti samo skup 𝑓(0)ili samo skup𝑓(0)jer je:
𝑓(0) ∪ 𝑓 1 = 0,1 𝑛
7.2.3 Predstavljanje prekidačkih funkcija skupovima decimalnih
indeksa

8. 7.2. Načini predstavljanja prekidačkih funkcija
Za nepotpuno definisane prekidačke funkcije uvodi
se i treći skup decimalnih indeksa 𝑓(∗) koji sadrži
decimalne indekse ulaznih vektora na kojima
funkcija nije definisana.
Za definisanje nepotpuno definisane prekidačke
funkcije dovoljno je navesti dva od tri moguća skupa
desimalnih indeksa jer je kod nepotpuno definisanih
funkcija
𝑓(0)
∪ 𝑓 1
∪ 𝑓 ∗
= 0,1 𝑛
Primer 9. Proširena tablica istinitosti nepotpuno
definisane funkcije iz primera 4 data je u tabeli.
Skupovi decimalnih indeksa ove funcije su: 𝑓(0) =
0,4 , 𝑓(1) = 1,2,5 i 𝑓(∗) = 3,6,7
7.2.3 Predstavljanje prekidačkih funkcija skupovima decimalnih
indeksa

9. 7.2. Načini predstavljanja prekidačkih funkcija
Pošto je i sam vektor istinitosti prekidačke funkcije je jedan niz binarnih
cifara, i njega možemo tretirati kao binarni broj. Dekadni ekvivalent tog
binarnog broja predstavlja decimalni indeks funkcije.
Ostaje samo problem kojim redosledom ćemo formirati taj binarni broj (od
prve vrste iz tablice istinitosti ka poslednjoj ili od poslednje ka prvoj). Ukoliko
se broj čita počev od prve vrste, prva pročitana cifra bi imala najveću težinu,
a ona odgovara ulaznom vektoru koji ima najmanji decimalni indeks (0).
Zbog toga se pri određivanju decimalnog indeksa funkcije prva vrednost iz
tablice istinitosti uzima sa najmanjom težinom (sa težinom 20).
Formula za izračunavanje decimalnog indeksa funkcije je:
𝐷𝑓 =
𝑖=0
2 𝑛−1
𝑓(𝑖) ∙ 2𝑖
7.2.4 Predstavljanje prekidačkih funkcija decimalnim indeksom
funkcije

10. 7.2. Načini predstavljanja prekidačkih funkcija
Decimalnim indeksom funkcije mogu biti predstavljenje samo potpuno
definisane prekidačke funkcije.
Primer 10. Decimalni indeks funkcije iz primera 3 (čija je proširena tablica
istinitosti data u tabeli) je:
𝐷𝑓 = 0 ∙ 20 + 1 ∙ 21 + 1 ∙ 22 + 0 ∙ 23 + 1 ∙ 24 + 1 ∙ 25 + 0 ∙ 26 + 0 ∙ 27 = 54
7.2.4 Predstavljanje prekidačkih funkcija decimalnim indeksom
funkcije