Osnovi informatike i računarstva - Prekidačke funkcije I: Načini predstavljanja prekidačkih funkcija

1. 7.3. Bulove operacije
U definiciji Bulove, pa samim tim i
prekidačke algebre, navedene su 3
osnovne Bulove operacije ¯, +, ∙.
Međutim, pod Bulovim operacijama u
širem smislu se podrazumevaju sve
prekidačke funkcije jedne i dve
promenljive.
U tabelama desno navedene su sve
prekidačke funkcije jedne i dve
promenljive.
Kolona sa naslovom “Bulov izraz“
pokazuje kako se navedena operacija
može predstaviti pomoću osnovnih
Bulovih operacija.

2. 7.3. Bulove operacije
Bulove operacije se veoma jednostavno realizuju elektronskim
komponentama koje se nazivaju logička kola. Kombinacijom logičkih kola
se projektuju prekidačke mreže koje realizuju složenije prekidačke funkcije.
To znači da se složenije prekidačke funkcije mogu predstaviti pomoću
Bulovih operacija. Skup Bulovih operacija kojima se mogu predstaviti sve
prekidačke funkcije predstavlja bazis prekidačke algebre.
Skup operacija {¯, +, ∙} se naziva prirodni bazis prekidačke algebre.
Za neki skup operacija kažemo da je minimalni bazis prekidačke algebre
ukoliko izostavljanjem bilo koje operacije iz tog skupa, skup prestaje da
bude bazis.

3. 7.3. Bulove operacije
Tvrđenje: Skup {¯, +, ∙} nije minimalni bazis prekidačke algebre jer
skupovi {¯, ∙} i {¯, +} jesu bazisi prekidačke algebre i to minimalni bazisi
prekidačke algebre.
Dokaz: Da bi se dokazalo da neki skup operacije jeste bazis prekidačke
algebre dovoljno je pokazati da se pomoću tih operacija mogu da
realizuju sve operacije prirodnog bazisa.
Dakle, da bismo pokazali da je skup {¯, ∙} bazis prekidačke algebre treba
pokazati da se pomoću ovog skupa operacija može da realizuje i
operacija +.
𝑥 + 𝑦 = 𝑥 + 𝑦 Zakon dvostruke negacije
= 𝑥 ∙ 𝑦 De Morganov zakon

4. 7.3. Bulove operacije
Tvrđenje: Bazisi prekidačke algebre su i skupovi {¯,, ∙}, {, ∙}, {|} i {↓}.
Dokaz:Pokazaćemo da skup koji sadrži samo NI operaciju ({|}) jeste bazis
prekidačke algebre.
1. Pokažimo da se operacija ¯može realizovati pomoću | operacije.
𝑥 = 𝑥 ∙ 𝑥 Zakon idempotencije
= 𝑥|𝑥
2. Pokažimo da se operacija ∙ može realizovati pomoću | operacije.
𝑥 ∙ 𝑦 = 𝑥 ∙ 𝑦 Zakon dvostruke negacije
= (𝑥|y)|(𝑥|y) Na osnovu 1.
3. Pokažimo da se operacija + može realizovati pomoću | operacije.
𝑥 + 𝑦 = 𝑥 + 𝑦 Zakon dvostruke negacije
= 𝑥 ∙ 𝑦 De Morganov zakon
= (𝑥|𝑥)|(𝑦|𝑦) Na osnovu 1.

5. Hvala na pažnji!