Osnovi informatike i računarstva - P6: Prekidačka algebra

1. 6.2. Bulova algebra
15.3.2024. P6: 1/17
Definicija 6.1: Neka je u skupu 𝐵 = 𝑎, 𝑏, 𝑐, … definisana unarna
operacija ¯ i binarne operacije + i ·. Algebarska struktura (B, ¯, +, ·)
predstavlja Bulovu algebru ukoliko su operacije ¯, + i · zatvorene u
skupu B i zadovoljavaju aksiome Bulove algebre.
Operacija je zatvorena u nekom skupu ukoliko za svaki skup
operanada koji pripada tom skupu, rezultat operacije, takođe, pripada
tom skupu. To znači:
∀𝑎 𝑎 ∈ 𝐵 𝑎 ∈ 𝐵
∀𝑎 ∀𝑏 𝑎 ∈ 𝐵, 𝑏 ∈ 𝐵 𝑎 + 𝑏 ∈ 𝐵
∀𝑎 ∀𝑏 𝑎 ∈ 𝐵, 𝑏 ∈ 𝐵 𝑎 ∙ 𝑏 ∈ 𝐵
Termini binarni operator i unarni operator odnose se na broj argumenata
koji su uključeni u operaciju: dva ili jedan, respektivno.

2. 6.2. Bulova algebra
15.3.2024. P6: 2/17
Sve aksiome Bulove algebre se definišu kao jednakosti Bulovih izraza.
Definicija 6. 2: Bulov izraz se formira korišćenjem sledećih pravila:
1. Bulovi izrazi su konstante (0,1) i promenljive (a,b,c,x,y,z,...).
2. Ukoliko su E1 i E2 Bulovi izrazi, tada su i E1 + E2, E1 · E2, Ē1 i (Ē2) takođe
Bulovi izrazi.
3. Bulov izraz se može kreirati samo primenom pravila 1. i 2. konačan broj
puta.
Primeri Bulovih izraza su: 0, 𝑥, 𝑥, 𝑥 ∙ 𝑦, 𝑥 + 𝑦, 𝑥 + 𝑥 ∙ 𝑦, 𝑥 ∙ (𝑦 + 𝑧)
Četvorka (B, +, ⋅,¯ ), gde je B skup elemenata ili konstanti algebre, + i ⋅ dva
binarna operatora a simbol ¯ unarni operator, naziva se Bulovom algebrom
ako su zadovoljeni sledeći aksiomi (Hantingtonov skup aksioma):

3. 6.2. Bulova algebra
15.3.2024. P6: 3/17
(1) Operacije + i ⋅ su asocijativne, tj:
∀𝑎 ∀𝑏 ∀𝑐 𝑎 ∈ 𝐵, 𝑏 ∈ 𝐵, 𝑐 ∈ 𝐵 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = 𝑎 + 𝑏 + 𝑐, 𝑎 ∙ (𝑏 ∙c) =(𝑎 ∙ 𝑏) ∙c
(2) Operacije + i ⋅ su komutativne, tj:
∀𝑎 ∀𝑏 𝑎 ∈ 𝐵, 𝑏 ∈ 𝐵 𝑎 + 𝑏 = 𝑏 + 𝑎, 𝑎 ∙ 𝑏 = 𝑏 ∙ 𝑎
(3) U skupu B postoje neutralni elementi za sabiranje (0) i množenje (1), tj:
∀𝑎 𝑎 ∈ 𝐵 𝑎 + 0 = 0 + 𝑎 = 𝑎, 𝑎 ∙ 1 = 1 ∙ 𝑎 = 𝑎
(4) Za svaki element 𝑎 iz skupa B, u skupu B postoji i njegov komplement 𝑎
koji zadovoljava sledeće osobine:
∀𝑎 𝑎 ∈ 𝐵 ∃𝑎 𝑎 ∈ 𝐵 𝑎 + 𝑎 = 𝑎 + 𝑎 = 1, 𝑎 ∙ 𝑎 = 𝑎 ∙ 𝑎 = 0
(5) Operacije + i ⋅ su distributivne jedna u odnosu na drugu, tj:
∀𝑎 ∀𝑏 ∀𝑐 𝑎 ∈ 𝐵, 𝑏 ∈ 𝐵, 𝑐 ∈ 𝐵 𝑎 + 𝑏 ∙ 𝑐 = 𝑎 + 𝑏 ∙ 𝑎 + 𝑐 ,
𝑎 ∙ (𝑏 +c) = 𝑎 ∙ 𝑏 + 𝑎 ∙c

4. 6.2. Bulova algebra
15.3.2024. P6: 4/17
Da bi se skratio postupak dokazivanja teorema Bulove algebre koristi se
princip dualnosti koji je dat u sledećim definicijama:
Definicija 6.3: Ako se Bulovom izrazu izvrši uzajamna zamena operacija “+” i
“·” i konstanti 0 i 1, a simboli promenljivih i simbol negacije ostanu
nepromenjeni, dobiće se dualni Bulov izraz.
Definicija 5.4: Princip dualnosti - Istinitostna vrednost dualnih Bulovih izraza
je jednaka, tj. ako je neki Bulov izraz istinit, istinit je i njemu dualan izraz.
Ukoliko se pažljivo pogledaju aksiome i teoreme Bulove algebre, uočava se da
se one, uglavnom, sastoje iz dva dela, dva dualna Bulova izraza. To znači da je
pri dokazivanju teorema Bulove algebre uvek dovoljno dokazati da je samo
njihov prvi deo istinit, pa na osnovu principa dualnosti možemo tvrditi da je i
odgovarajući drugi deo istinit. Inače, kad smo već dokazali istinitiost prvog dela
bilo koje teoreme, istinitost drugog dela se može dokazati istovetnim
postupkom (korišćenjem dualnih izraza istih aksioma).

5. 6.2. Bulova algebra
15.3.2024. P6: 5/17
Osim Hantingtonovih aksioma, operacije Bulove algebre zadovoljavaju još
neka tvrđenja koja se mogu dokazati na osnovu navedenih aksioma, pa se ta
tvrđenja nazivaju teoremama Bulove algebre.
Teoreme Bulove algebre
1. Zakon involutivnosti (dvostruke negacije):
∀𝑎 𝑎 ∈ 𝐵 𝑎 = 𝑎
Dokaz: Pođimo od aksiome (4) po kojoj za svaki element skupa B i njegov
komplement važe jednakosti:
𝑎 + 𝑎 = 1, 𝑎 ∙ 𝑎 = 0
Ukoliko u navedenim jednakostima 𝑎 zamenimo sa 𝑎 dobićemo:
𝑎 + 𝑎 = 1, 𝑎 ∙ 𝑎 = 0
Primenom aksiome (2) dati izrazi se transformišu u 𝑎 + 𝑎 = 1, 𝑎 ∙ 𝑎 = 0
Poređenjem poslednjih i prvih navedenih izraza u dokazu zaključujemo da je
𝑎 = 𝑎

6. 6.2. Bulova algebra
15.3.2024. P6: 6/17
2. Zakon idempotencije:
∀𝑎 𝑎 ∈ 𝐵 𝑎 + 𝑎 = 𝑎, 𝑎 ∙ 𝑎 = 𝑎
Dokaz:
𝑎 + 𝑎 = (𝑎 + 𝑎) ∙ 1 Aksioma (3)
= (𝑎 + 𝑎) ∙ (𝑎 + 𝑎) Aksioma (4)
= 𝑎 + 𝑎 ∙ 𝑎 Aksioma (5)
= 𝑎 + 0 Aksioma (4)
= 𝑎 Aksioma (3)
𝑎 ∙ 𝑎 = 𝑎 ∙ 𝑎 + 0 Aksioma (3)
= 𝑎 ∙ 𝑎 + (𝑎 ∙ 𝑎) Aksioma (4)
= 𝑎 ∙ (𝑎 + 𝑎) Aksioma (5)
= 𝑎 ∙ 1 Aksioma (4)
= 𝑎 Aksioma (3)

7. 6.2. Bulova algebra
15.3.2024. P6: 7/17
3. U skupu B postoje nulti elementi za sabiranje (1) i množenje (0), tj:
∀𝑎 𝑎 ∈ 𝐵 𝑎 + 1 = 1 + 𝑎 = 𝑎, 𝑎 ∙ 0 = 0 ∙ 𝑎 = 0
Dokaz:
𝑎 + 1 = (𝑎 + 1) ∙ 1 Aksioma (3)
= (𝑎 + 1) ∙ (𝑎 + 𝑎) Aksioma (4)
= 𝑎 + 1 ∙ 𝑎 Aksioma (5)
= 𝑎 + 𝑎 Aksioma (3)
= 1 Aksioma (1)
Na osnovu principa dualnosti:
𝑎 ∙ 0 = 𝑎 ∙ 0 + 0 Aksioma (3)
= 𝑎 ∙ 0 + (𝑎 ∙ 𝑎) Aksioma (4)
= 𝑎 ∙ (0 + 𝑎) Aksioma (5)
= 𝑎 ∙ 𝑎 Aksioma (3)
= 0 Aksioma (1)

8. 6.2. Bulova algebra
15.3.2024. P6: 8/17
4. Zakon sažimanja:
∀𝑎 ∀𝑏 𝑎 ∈ 𝐵, 𝑏 ∈ 𝐵 𝑎 ∙ 𝑏 + 𝑎 ∙ 𝑏 = 𝑎, (𝑎 + 𝑏) ∙ (𝑎 + 𝑏) = 𝑎
Dokaz:
𝑎 ∙ 𝑏 + 𝑎 ∙ 𝑏 = 𝑎 ∙ (𝑏 + 𝑏) Aksioma (5)
= 𝑎 ∙ 1 Aksioma (4)
= 𝑎 Aksioma (3)
Na osnovu principa dualnosti dokazuje se i da je:
(𝑎 + 𝑏) ∙ (𝑎 + 𝑏) = 𝑎

9. 6.2. Bulova algebra
15.3.2024. P6: 9/17
5. Zakon apsorpcije:
∀𝑎 ∀𝑏 𝑎 ∈ 𝐵, 𝑏 ∈ 𝐵 𝑎 + 𝑎 ∙ 𝑏 = 𝑎, 𝑎 ∙ (𝑎 + 𝑏) = 𝑎
Dokaz:
𝑎 + 𝑎 ∙ 𝑏 = 𝑎 ∙ 1 + 𝑎 ∙ 𝑏 Aksioma (3)
= 𝑎 ∙ (1 + 𝑏) Aksioma (5)
= 𝑎 ∙ 1 Teorema 3.
= 𝑎 Aksioma (3)
Na osnovu principa dualnosti dokazuje se i da je:
(𝑎 + 𝑏) ∙ (𝑎 + 𝑏) = 𝑎

10. 6.2. Bulova algebra
15.3.2024. P6: 10/17
6. De Morganovi zakoni:
∀𝑎 ∀𝑏 𝑎 ∈ 𝐵, 𝑏 ∈ 𝐵 𝑎 + 𝑏 = 𝑎 ∙ 𝑏, 𝑎 ∙ 𝑏 = 𝑎 + 𝑏
Dokaz:
Da bismo dokazali da je 𝑎 + 𝑏 = 𝑎 ∙ 𝑏 , po aksiomi (4), treba dokazati da je
(𝑎 + 𝑏) + 𝑎 ∙ 𝑏=1 i da je 𝑎 + 𝑏 ∙ (𝑎 ∙ 𝑏)=0.
𝑎 + 𝑏 + 𝑎 ∙ 𝑏 = 𝑎 + 𝑏 + 𝑎 ∙ (𝑎 + 𝑏 + 𝑏) Aksioma (5)
= 𝑎 + 𝑎 + 𝑏 ∙ (𝑎 + 𝑏 + 𝑏) Aksioma (2)
= 1 + 𝑏 ∙ (𝑎 + 1) Aksioma (4)
= 1 ∙ 1 Teorema 3.
= 1 Teorema 2.
𝑎 + 𝑏 ∙ 𝑎 ∙ 𝑏 = 𝑎 ∙ 𝑎 ∙ 𝑏 + 𝑏 ∙ 𝑎 ∙ 𝑏 Aksioma (5)
= 𝑎 ∙ 𝑎 ∙ 𝑏 + 𝑏 ∙ 𝑏 ∙ 𝑎 Aksioma (2)
= 0 ∙ 𝑏 + 0 ∙ 𝑎 Aksioma (4)
= 0 + 0 Teorema 3.
= 0 Teorema 2.

11. 6.2. Bulova algebra
15.3.2024. P6: 11/17
Opšta De Morganova teorema:
Generalizovana De Morganova teorema:
Ako je A Bulov izraz u kome se pojavljuju operacije +, ⋅ i ¯ , tada važi