1. MATEMATIKA TRIGONOMETRIA
4. D.B.H
TRIGONOMETRIA
ANGELUEN NEURKETA
Angeluak neurtzeko, hainbat unitate erabiltzen dira: unitate hirurogeitarrak eta
radianak. Unitate horiek eta bere arteko baliokidetasunak ezagutuko ditugu.
Gradu hirurogeitarra
Unitate erabiliena da, eta angelu osoa (zirkulua), 360 zati berdinetan
banatzerakoan lortzen da.
Ondorioz, bira oso bati dagokion angelua 360 º -koa izango da.
90 º Irudian angelu osoa koadrantetan
zatitua ageri da.
0º
180 º 360 º Neurri sistema honetan, irudia
erakusten duen bezala angelu zuzen
batek, 90 º ditu
270 º
0º 90 º 180 º 270 º
Graduak bi azpi-multiplo ditu: minutua eta segundoa.
Definizioz: 1 º = 60 ’ gradu batek 60 minutu ditu
1 ’ = 60 ’’ minutu batek 60 segundo ditu
Ondorioz angelu baten neurria honela adieraz daiteke: α = 27 º 35 ’ 22 ’’
eta honela irakurtzen da: 27 gradu, 35 minutu eta 22 segundo.
Bestalde hiruko erregela erabiliz α angelua gradutan bakarri adieraz daiteke.
Hara: 1 ’ ----------------- 60 ”
X ---------------- 22 ”
22 ⋅ 1
x= = 0,3666'
60
-1-

2. MATEMATIKA TRIGONOMETRIA
4. D.B.H
Beraz, α = 27 º 35,3666 ’ ( gradu eta minututan) eta prozedura jarraituz:
1º − − − − − − − − − 60'
x − − − − − − − − − 35,6666' beraz
35,6666 ⋅ 1
x= = 0,5894 eta ondorioz : α = 27,5894º
60
Radiana
Zientzien arloan gehien erabiltzen den unitatea da. Ikus dezagun irudia:
zirkunferentzian arku bat marrazten dugu, AB, R erradioen luzera berdinekoa:
A
Ikusten dugunez, OAB zirkulu
sektorea mugatzen duten aldeek
R R luzera dute. Kasu honetan,
zirkulu-sektoreari dagokion angelua
B radian bat da.
O R
Zenbat radian neurtzen du angelu osoak?
Zirkunferentzia oso bat 2πR denez, ondorioa erraza da: bira oso bati dagokion
angelua 2π radian da.
Hiruko erregelaren bitartez froga dezakegu gure arrazonamendua. Honela:
1 rad − − − − − − − − − − − R luzerako arkua
angelu osoa − − − − − − − − − −2πR luzerako arkua
1rad ⋅ 2πR
Beraz, angelu osoa = = 2π rad .
R
GOGORATU:
Zirkunferentzia batean, angelu zentral baten neurria radian batekoa da,
angeluari dagokion arkuak erradioaren luzera berdina duenean.
Angelu osoa = 360 º = 2π radian.
-2-

3. MATEMATIKA TRIGONOMETRIA
4. D.B.H
Hirurogeitarren eta radianen arteko harremanak
Gradu hirurogeitarretik radianetara pasatzeko eta alderantziz honako hau
kontutan hartu behar dugu:
2π rad = 360 º edo π rad = 180 º
Eta hiruko erregela bat erabili, adibidez:
a) 90 º zenbat radian diren jakiteko honako hau egingo ditugu:
180º − − − − − − − − − − π rad
90º⋅ π rad π
90º − − − − − − − − − − x rad Hau da x = = rad
180º 2
b) π /3 radian zenbat gradu diren jakiteko:
180º − − − − − − − − − − π rad
π
⋅180
π 3
x −−−−−−−−−− rad Hau da x = = 60º
3 π
ARIKETAK
1. Adierazi radianetan ondoko angeluak:
a) α=0 e) α = 210 º i) α = 135 º
b) α = 30 º f) α = 45 º j) α = 75 º
c) α = 60 º g) α = 240 º k) α = 225 º
d) α = 150 º h) α = 330 º l) α = 315 º
2. Adierazi gradu hirurogeitarrean honako angeluak:
π 2π 4π
a) α = rad e) α = rad i) α = rad
2 3 3
π 2π π
b) α = rad f)α = rad j) α = rad
3 5 12
π π π
c) α = rad g ) α = rad k ) α = rad
4 8 6
π 3π 3π
d) α = rad h) α = rad l) α = rad
5 4 5
-3-

4. MATEMATIKA TRIGONOMETRIA
4. D.B.H
3. Adierazi radianetan erlojuko orratzak osatzen duten angelua:
a) Lauretan
b) Bostak eta erdietan
c) Hamarrak eta erdietan
ANGELU ZORROTZ BATEN ARRAZOI TRIGONOMETRIKOAK
Definizioak
α angelu zorrotzaren gainean ABC triangelu zuzena eraikiko dugu. Hona
hemen arrazoi trigonometrikoen definizioak eta eurei dagozkien laburdurak:
B
α
A C
α ren aurkako katetoaren luzera BC
α ren sinua = --------------------------------------- sin α = ----------
hipotenusaren luzera AB
α ren alboko katetoaren luzera AC
α ren kosinua = --------------------------------------- cos α = ----------
hipotenusaren luzera AB
α ren aurkako katetoaren luzera BC
α ren tangentea = --------------------------------------- tg α = -------
α ren alboko katetoaren luzera AC
FUNTSEZKO ERLAZIO TRIGONOMETRIKOAK
Angelu berberaren sin, cos eta tg-ren balioak ez dira askeak,loturik daude,
euretariko bat ezagutuz, beste biak ezagutu ditzakegu.Ondiko erlazioak
elkartzen dituzte (funtsezko erlazioak esaten zaie):
( sin α ) 2 + ( cos α ) 2 = 1
-4-

5. MATEMATIKA TRIGONOMETRIA
4. D.B.H
Frogapena:
2 2
 BC   AC  BC 2 + AC 2 AB 2
( sinα ) 2
+ ( cos α )
2
=  +  = = =1
 AB   AB  AB 2 AB 2
sin α
tgα =
cos α
Frogapena:
sinα BC AC BC ⋅ AB BC
= : = = = tg α
cos α AB AB AB ⋅ AC AC
ADIBIDEA
Ikus dezagun, angelu baten arrazoi trigonometriko bat ezagutuz, nola kalkula
daitezkeen beste biak.
1. cos α = 0,63 dela jakinik, kalkulatu sin α eta tg α
(I) erabiliz : ( sin α ) 2 + ( cosα ) 2 = 1
( sin α ) 2 + 0,632 = 1
( sin α ) 2 = 1 − 0,632
( sin α ) 2 = 0,6031
sin α = 0,6031 = 0,777
sin α 0,63
( II ) erabiliz : tgα = = = 1,23
cos α 0,777
ARIKETAK
1. sin 37 º = 0,6 dela jakinda, kalkulatu cos 37 º eta tg 37 º
2. Kalkulatu angelu baten sinua eta tangentea kosinuak 0,7 balio badu.
3. Kalkulagailua erabiliz kalkulatu:
Sin 10 º= cos 10 º= tg 10 º=
Sin 30 º= cos 30 º= tg 30 º=
Sin π = cos π = tg π =
-5-

6. MATEMATIKA TRIGONOMETRIA
4. D.B.H
ANGELU BATZUEN ARRAZOI TRIGONOMETRIKOAK
60º-ren arrazoi trigonometrikoak
Triangelu aldekide bat hartuko dugu:
Altuera kalkulatuko dugu Pitagorasen
teorema erabiliz:
1 cm 1 cm
x
1 cm
½ cm
2
1 1 4x2 1 4
x +   = 12 ⇒
2
x + =1
2
⇒ + = ⇒
2 4 4 4 4
3 3 3
4 x2 + 1 = 4 ⇒ 4x2 = 3 ⇒ x2 = ⇒ x= =
4 4 2
Orain, triangeluaren erdia begiratuz:
3
cm
2
1 cm
1 cm
2
3 1 3
3 1
sin 60º = 2 = cos 60º = 2 = tg 60º = 2 = 3
1 2 1 2 1
2
-6-

7. MATEMATIKA TRIGONOMETRIA
4. D.B.H
30º-ren arrazoi trigonometrikoak
Triangeluari buelta ematen badiogu:
1 cm
1 cm
2
3
cm
2
1 3 1
1 3 1 3
sin 30º = 2 = cos 30º = 2 = tg 30º = 2 = =
1 2 1 2 3 3 3
2
45º-ren arrazoi trigonometrikoak
Bi alde berdin dituen triangelu zuzen bat hartzen dugu:
Pitagorasen teorema erabiliz, hipotenusa
Kalkutatzen dugu:
1cm h
h 2 = 12 + 12
h2 = 2
h= 2
1cm
Orduan:
1 2 2 1 2 2
sin 45º = = = cos 45º = = =
2 2⋅ 2 2 2 2⋅ 2 2
1
tg 45º = =1
1
-7-

8. MATEMATIKA TRIGONOMETRIA
4. D.B.H
TRIANGELU ZUZENEN EBAZPENA
Hasteko, gogoratu behar dugu triangelu zuzen batean betetzen diren erlazioak:
I Bi angelu zorrotzen batura 90º-ren berdina da: a
b
α + β = 90º
c
II Hipotenusaren karratua katetoen karratuen baturaren berdina da:
a2 = b2 +c2
III Arrazoi trigonometrikoak, angeluak aldeekin erlazionatzen dituztenak:
aurkako katetoa alboko katetoa
sin α = cos α =
hipotenusa hipotenusa
aurkako katetoa
tgα =
alboko katetoa
Triangelu zuzen bat ebaztea bere elementu guztiak kalkulatzean datza, hau
zehazteko nahikoa den beraien kopuru minimoa ezaguturik.
Triangelu zuzenen ebazpen-kasuak
Triangelu zuzenen ebazpenean lau kasu aurkezten dira, triangelua ondoko
elementuen bidez definiturik etortzen den arabera:
a) Hipotenusa eta angelu zorrotz bat
b) Hipotenusa eta kateto bat
c) Kateto bat eta angelu zorrotz bat
d) Bi katetoak
Adibideen bidez, lau kasu hauek aztertuko ditugu:
a) Hipotenusa eta angelu zorrotz bat:
Ondoko triangelu zuzenean, hipotenusa a = 7m eta β = 37º direla jakinda,
zehaztu beste elementuak:
Hasteko:
α + β = 90º denez
α = 90º - 37º = 53º
-8-

9. MATEMATIKA TRIGONOMETRIA
4. D.B.H
Orain, b katetoa kalkulatzeko:
b b
sin53º = = ⇒ b = 7 ⋅ sin53º ⇒ b = 7 ⋅ 0,79863551 ⇒ b = 5,590 m
a 7
c katetoa kalkulatzeko:
c c
cos 53º = = ⇒ c = 7 ⋅ cos 53º ⇒ c = 7 ⋅ 0,601815023 ⇒ c = 4,213 m
a 7
b) Hipotenusa eta kateto bat:
Ondoko triangelu zuzenean, hipotenusa a = 8 m eta b = 5 m direla jakinda,
zehaztu beste elementuak:
Hasieran c katetoa lortzeko
Pitagorasen teorema erabiliko dugu:
a2 = b2 + c2 ⇒ c = a2 − b2
c = 8 2 − 5 2 = 64 − 25 = 39 = 6,245m
α angelua lortzeko:
5
sinα = ⇒ sinα = 0,625 ⇒ α = 38,68º
8
Eta β = 90º - 38,68º = 51,32º
c) Kateto bat eta angelu zorrotz bat:
Ondoko triangelu zuzenean, kateto bat b =4 m eta α = 41 º direla jakinda,
zehaztu beste elementuak:
Hasteko:
β = 90 º - 41 º = 49 º
Hipotenusa kalkulatzeko:
b 4 4 4
sin 41º = ⇒ sin 41º = ⇒ a = ⇒a= ⇒ a = 6,097m
a a sin 41º 0,65606
c katetoa kalkulatzeko:
b 4 4 4
tg 41º = ⇒ tg 41º = ⇒ c = ⇒c= ⇒ c = 4,601m
c c tg 41º 0,86929
-9-

10. MATEMATIKA TRIGONOMETRIA
4. D.B.H
d) Bi katetoak:
Ondoko triangelu zuzenean katetoak b = 9 m eta c = 12 m direla jakinda,
zehaztu beste elementuak:
Hipotenusa kalkulatzeko:
a 2 = b 2 + c 2 ⇒ a 2 = 9 2 + 12 2
a 2 = 81 + 144 = 225 ⇒ a = 225 = 15m
α angelua kalkulatzeko:
b 9
tg α = = = 0,75 ⇒ α = 36,87 º orduan, β = 90º −36,87 º = 53,13º
c 12
ARIKETAK
1. Kalkulatu triangelu zuzen baten hipotenusa, kateto bat b =7 cm, eta angelu
zorrotz bat α = 42 º ezaguturik.
2. Kalkulatu triangelu zuzen baten b katetoa, hipotenusa a = 7 cm, eta angelu
zorrotz bat α = 70 º ezaguturik.
3. Kalkulatu triangelu zuzen baten β angelua, hipotenusa a = 9 cm eta kateto
bat b = 4 cm ezaguturik.
4. Angelu zuzena duen triangelu baten, honako datuok dakizkigu: β angelua =
80 º eta hipotenusaren luzera 13 zentimetrokoa dela. Kalkula itzazu angelu
eta aldeen gainerako balioak.
5. Angelu zuzena duen triangelu baten, honako datuok dakizkigu: β angelua =
65 º eta berroren aurkakoa den katetoaren luzera 10 zentimetrokoa dela.
Kalkula itzazu angelu eta aldeen gainerako balioak.
6. Angelu zuzena duen triangelu baten, honako datuok dakizkigu: α angelua =
53 º eta berroren alboko den katetoaren luzera 15 zentimetrokoa dela.
Kalkula itzazu angelu eta aldeen gainerako balioak.
7. Angelu zuzena duen triangelu baten, honako datuok dakizkigu: β angelua
= 65 º eta berroren aurkakoa den katetoaren luzera 10 zentimetrokoa dela.
Kalkula itzazu angelu eta aldeen gainerako balioak.
8. Triangelu angeluzuzen baten hipotenusak 13 zentimetro neurtzen du eta
katetoetako batek 5 zentimetro. Kalkula itzazu gainerako balioak.
9. Triangelu angeluzuzen baten katetoen neurriak dakizkigu: 8 eta 6
zentimetro. Kalkula itzazu gainerako balioak.
10. Lortu triangelu isoszele baten angelu desberdina, aldeak 6, 4 eta 4
cm neurtzen dutela jakinik
- 10 -