1. Numeri triangolari
Un numero triangolare è un numero che è la somma dei primi N numeri
naturali. Ad esempi 28 è un numero triangolare perchè:
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 = 28
Il nome “triangolare” deriva dal fatto che, fin dall’antichità, si notò che tali
numeri potevano essere rappresentati da triangoli costituiti da punti,
ciascuno dei quali è una unità. Ad esempio, nel nostro esempio (28):
*
**
***
****
*****
******
*******
Esiste una semplice formula per calcolare l’n-esimo numero triangolare, cioè
la somma dei primi n numeri naturali:
T(n) = n*(n+1)/2
Per esempio, per n = 7, otteniamo:
T(7) = 7*(7+1)/2 = 7*8/2 = 56/2 = 28

2. I primi numeri triangolari sono:
1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, 66, 78, 91, 105, 120, 136, 153, 171, 190, 210, 231,
253, 276, 300, 325, 351, 378, 406, 435, 465, 496, 528, 561, 595, 630, 666, 703,
741, 780, 820, 861, 903, 946, 990….
E’ interessante notare che la somma di due numeri triangolari consecutivi è
sempre un quadrato esatto, per esempio:
T(5) + T(6) = 15 + 21 = 36 = 6^2
T(6) + T(7) = 21 + 28 = 49 = 7^2
T(7) + T(8) = 28 + 36 = 64 = 8^2
Da notare anche che tutti i numeri perfetti (numeri uguali alla somma dei loro
divisori propri) sono numeri triangolari.
Un’altra interessante proprietà è che il quadrato di un qualsiasi numero
triangolare T(n) è uguale alla somma dei primi n numeri naturali al cubo:
[T(n)]^2 = 1^3 + 2^3 + 3^3 + ….. + (n-1)^3 + n^3
Per esempio:
[T(4)]^2 = 10^2 = 100
[T(4)]^2 = 1^3 + 2^3 + 3^3 + 4^3 = 1 + 8 + 27 + 64 = 100

3. C’è ancora da osservare che tutti i quadrati esatti dispari sono della forma
8*T(n) + 1.
Per esempio:
11^2 = 121 = 8*15 + 1 = 8*T(5) + 1
13^2 = 169 = 8*21 + 1 = 8*T(6) + 1
C’è infine da notare che ci sono infiniti numeri triangolari che sono anche
quadrati esatti. I primi di essi sono:
T(1) = 1 = 1^2
T(8) = 36 = 6^2
T(49) = 1225 = 35^2
T(288) = 41.616 = 204^2
T(1681) = 1.413.721 = 1189^2
T(9800) = 48.024.900 = 6930^2