朝からゴリゴリ計算して疲れたので苦労を皆さんと共有すべくアップします

1.
n n−1

2. s2
=
1
n
Σn
k=1(Xk − ¯X)2

3. E[s2
] = E[1/nΣ(Xk − ¯X)2
]
Σ
Σk(Xk − ¯X)2
= (
(n − 1)X1 − X2 − ⋯ − Xn
n
)2
+ ⋯
=
1
n2
((n − 1)2
X2
1 − 2(n − 1)X1(X2 + ⋯ + Xn) +
(X2 + X3 + ⋯ + Xn)2
) + ⋯
(X2 + X3 + ⋯ + Xn)2
= X2
2 + X2
3 + ⋯ + X2
n+
2(X2X3 + X2X4 + ⋯ + Xn−1Xn)

4. Σk(Xk − ¯X)2
= (
(n − 1)X1 − X2 − ⋯ − Xn
n
)2
+ ⋯
=
1
n2
((n − 1)2
X2
1 − 2nX1(X2 + ⋯ + Xn) +
X2
2 + X2
3 + ⋯ + X2
n + 2(X1X2 + ⋯ + Xn−1Xn)) + ⋯
Xk
=
1
n2
((n − 1)2
X2
1 − 2nX1Σn
k=2Xk +
Σn
k=2X2
k + 2Σi<jXiXj) + ⋯
=
1
n2
(Σ(n − 1)2
X2
k − 2n ⋅ 2Σi<jXiXj +
(n − 1)ΣX2
k + 2nΣi<jXiXj)

5. Σk(Xk − ¯X)2
=
1
n2
(Σ(n − 1)2
X2
k − 2n ⋅ 2Σi<jXiXj +
(n − 1)ΣX2
k + 2nΣi<jXiXj)
Σk(Xk − ¯X)2
=
1
n2
(n(n − 1)ΣX2
k − 2nΣi<jXiXj)
=
1
n
((n − 1)ΣX2
k − 2Σi<jXiXj)
E[Σk(Xk − ¯X)2
] =
1
n
((n − 1)ΣE[X2
k ] − 2Σi<jE[XiXj])

6. V[X] = E[X2
] − E[X]2
E[Σk(Xk − ¯X)2
] =
1
n
((n − 1)ΣE[X2
k ] − 2Σi<jE[XiXj])
Cov(X, Y) = E[XY] − E[X]E[Y]
X Y
0
E[X2
] = σ2
+ μ2
E[XiXj] = μ2

7. =
n − 1
n
(n(σ2
+ μ2
) − nμ2
) = (n − 1)σ2
E[Σk(Xk − ¯X)2
] =
1
n
((n − 1)ΣE[X2
k ] − 2Σi<jE[XiXj])
=
1
n
((n − 1)n(σ2
+ μ2
) − 2 ⋅
1
2
n(n − 1)μ2
)
Σ n Σ n(n-1)/2
E[
1
n
Σk(Xk − ¯X)2
] =
n − 1
n
σ2

8. (n−1)/n
u2
u2
=
n
n − 1
s2
=
1
n − 1
Σn
k=1(Xk − ¯X)2

9. n/ (n−1)
E[u2
] = E[
n
n − 1
s2
] =
n
n − 1
E[s2
]
=
n
n − 1
n − 1
n
σ2
= σ2