Este documento muestra algunos ejercicios de cálculo integral.

1. Ejercicios de cálculo integral
Alberto Santos Rangel
30/09/2018

2. Concepto de antiderivada.
Una antiderivada es la operación inversa a la derivada. Pero ¿qué significa ser la operación inversa
de la derivada? Significa que la antiderivada va a deshacer lo que la derivada se encargó de hacer.
El método más básico para resolver una antiderivada es adivinar. Lo que harás es pensar en una
posible respuesta, derivarla y ver si da! Las antiderivadas también son llamadas Integrales
Indefinidas.
Formula #1
●∫ 3𝑥4
𝑑𝑥 = 3 ∫ 𝑥4
𝑑𝑥
= 3
𝑥4
5
+ 𝑐
= 3𝑥5
+c
● ∫ 5𝑥2
𝑑𝑥 = 5 ∫ 𝑥2
𝑑𝑥
= 5
𝑥3
2
+ 𝑐
= 3𝑥2
+ 𝑐
● ∫
7
𝑥3 𝑑𝑥 = 7 ∫ 𝑥2
𝑑𝑥
= 7 ∫
𝑥−2
−2
+ 𝑐
= −
1
𝑥2 + 𝑐
● ∫
10
𝑥3 𝑑𝑥 = 10 ∫ 𝑥−4
𝑑𝑥
= 10 ∫
𝑥−3
−2
+ 𝑐

3. = −
2
𝑥3 + 𝑐
● ∫ 30𝑥5
𝑑𝑥 = 30 ∫ 𝑥5
𝑑𝑥
= 30
𝑥6
6
+ 𝑐
= 6𝑥6
+c
Formula #2
●∫ 10𝑥4
− 2 𝑠𝑒𝑐2
𝑥)𝑑𝑥 = 10∫ 𝑥4
𝑑𝑥 − 2 ∫ 𝑠𝑒𝑐2
𝑥 𝑑𝑥
= 10
𝑥5
5
– 2 tan 𝑥 + 𝑐
= 2𝑥5
− 2 tan 𝑥 + 𝑥
●∫ 𝑥2
𝑑𝑥 = ∫ 𝑥
2+1
2+1
𝑑𝑥
=
𝑥3
3
+ 𝑐
●∫ (5𝑥 − 3)4
𝑑𝑥 = ∫ (5𝑥 − 3)4
𝑑𝑥
=
1
5
∫ (5𝑥 − 3)4
5𝑑𝑥
=
1
5
. (
5𝑥−3
5
)4
+c
=
1
25
(5𝑥 − 3)5
+ 𝑐
=(
5𝑥−3
25
)5
+c
●∫ (13 − 𝑥)𝑑𝑥 = ∫ 13 d x + ∫ − 𝑥𝑑𝑥
= 13 x + C + ∫ - 𝑥𝑑𝑥
= 13 x + C - (1 2x 2 +C)
= 13 x - 1 2x 2 +C
●
1
𝑥5
𝑑𝑥 = ∫ 𝑑𝑥4 𝑑𝑥

4. = 𝑑 ∫
1
𝑥4
𝑑𝑥
= 𝑑∫ x - 4 𝑑𝑥
= 𝑑 ( - 1 3x - 3 +C)
= −
1
3𝑥3
𝑑 + 𝑐
Formula #3
● ∫(𝑥 + 1)(3𝑥 − 2)𝑑𝑥 = ∫ 3 𝑥2 + x − 2 d x
= ∫ 3 𝑥2d x + ∫ x d x + ∫ − 2 d x
=3 ∫ 𝑥2
d x + ∫ x d x + ∫ - 2 d x
= 3 (
1
3
𝑥3
+ 𝑐) + ∫ xdx + ∫ − 2dx
= 3 (
𝑥3
3)
+ 𝑐) + ∫ x d x + ∫ − 2 d x
= 3 (
𝑥3
3)
+ 𝑐) + (
1
2
𝑥2
+ 𝑐) + ∫ − 2dx
= 3 (
𝑥3
3)
+ 𝑐) +
𝑥2
2
+ 𝑐 + (−2𝑥 + 𝑐)
= 𝑥3
+
1
2
𝑥2
− 𝑥 + 𝑐
● ∫ (
3
𝑥5 −
2
𝑥2 −
6
𝑥
) 𝑑𝑥 = 3 ∫
1
𝑥5 𝑑𝑥 + ∫ −
2
𝑥2 𝑑𝑥 + ∫ −
6
𝑥
𝑑𝑥
= 3 ∫ (−
𝑥−4
4
+ 𝑐) − 2(−𝑥−1
+ 𝑐) − (6 ∫
1
𝑥
𝑑𝑥)
= −6(ln(⌈𝑥⌉) + 𝑐)
= −
3
4𝑥4 +
2
𝑥
− 6 ln(⌈𝑥⌉) + 𝑐
● ∫(8𝑥5
− 5𝑥4
− 4𝑥3
− 6𝑥2
− 2𝑥 − 3)𝑑𝑥 = 8 (
𝑥6
6
+ 𝑐) − 5 (
𝑥5
5
+ 5) − 4 (
𝑥
4
4
+ 𝑐) − 2 (
𝑥2
2
+ 𝑐) (−3𝑥 + 𝑐)
=
4
3
𝑥6
− 𝑥5
− 𝑥4
− 2𝑥3
− 𝑥2
− 3𝑥 + 𝑐
●∫(𝑎𝑥2
− 6)5
𝑥𝑑𝑥 = ∫
(𝑢)5
2𝑎
𝑑𝑢
=
1
2𝑎
∫(𝑢)5
𝑑𝑢

5. =
1
2𝑎
(
1
6
𝑢6
+ 𝑐)
=
(𝑎𝑥2−𝑏)6
12𝑎
+ 𝑐
● ∫ 𝑡2
(𝑡3
− 4)2
𝑑𝑡 = ∫(𝑢)2 1
3
𝑑𝑢
= ∫
(𝑢)2
3
𝑑𝑢
=
1
3
∫(𝑢)2
𝑑𝑢
=
1
3
(
1
3
𝑢3
+ 𝑐)
=
(𝑥3−4)3
9
+ 𝑐
Formula #4
● ∫(𝑥 + 2𝑥 + 1)𝑑𝑥 = 1 ∫ 𝑥
3
2 𝑑𝑥 + 2 ∫ 𝑥 + 1𝑑𝑥
=
𝑥
7
2
4
2
+
2𝑥2
2
+1x+c
●∫(8𝑥3
− 9𝑥2
+ 4)𝑑𝑥= 8∫ 𝑥3
− 9 ∫ 𝑥2
+ 4 ∫ 𝑥𝑑𝑥
=
8𝑥4
4
−
9𝑥3
3
+ 4𝑥
● ∫(𝑡4
+ 2𝑡2
+ 1)𝑑𝑡 = 1 ∫ 𝑡4
+ 2 ∫ 𝑡2
+ 1 ∫ 𝑡𝑑𝑡
=
𝑡5
5
+
2𝑡3
3
+ 𝑡 + 𝑐
● ∫(𝑥 + 2) 𝑑𝑥 = 1 ∫ 𝑥 + 2 ∫ 𝑥𝑑𝑥
=
𝑥2
2
+ 2𝑥 + 𝑐
● ∫(3𝑥4
− 5𝑥2
+ 𝑥) 𝑑𝑥 = 3 ∫ 𝑥4
− 5 ∫ 𝑥2
+ 1 ∫ 𝑥𝑑𝑥
=
3𝑥4
5
−
5𝑥3
3
+ 𝑥 + 𝑐

6. Formula #5
●∫( 𝑥 − 1)(𝑥2
− 2𝑥)5
𝑑𝑥 = ∫
(𝑢)5
2
𝑑𝑢
= 1
2
∫(𝑢)
5
𝑑𝑢
=
1
2
(
1
6
𝑢6
+ 6)
=
𝑥6−12𝑥5+60𝑥4−160𝑥3+240𝑥2−192𝑥+64
12
𝑥6
+ 𝑐
●1-∫(x+1)(3x-2)dx = ∫▒〖x(3x-2)+1(3x-2)dx〗
= ∫▒〖x(3x)+x*-2+1(3x-2)dx〗
= ∫▒〖x(3x)+x*-2+(1(3x)+1-2)dx〗
= 3x^2-2x+(3x-2)dx
= ∫3x^2+(3x-2)dx
= ∫3x^2+x-2dx
= ∫3x^2 dx+∫xdx ∫▒〖-2dx〗
= 3∫x^2 dx+∫xdx ∫▒〖-2dx〗
= 3(1/3 x^3+c)+(xdx)+∫▒〖-2dx〗
= 3(x^3/3+c)+(xdx)+∫▒〖-2dx〗
= 3(x^3/3+c)+(1/2 dx)+∫▒〖-2dx〗

7. = 3(x^3/3+c)+x^2/2+c+(-2x+c)
= x^3+1/2 x^2-2x+c
2-∫(x^5-2x)^2 (x-1)dx = 1/5(x^5-2x)^2 (x-1)dx
= 1/5(x^5-2x)^3+c
= 1/5 ((x^5-2x)^3)/3+c
= ((x^5-2x)^3)/15+c
3-∫(x^6-2x)^9 (x+2)dx= 1/6(x^6-2x)^9 (x+2x)dx
= 1/6(x^6-2x)^9+c
= ((x^6-2x)^9)/6+c
4-∫(x^2-1x)(x-1x)dx = 1/1 (x^2-1x)(x-1x)dx
= 1/1 ((x^2-1x))/1+c
= (x^2-1x)/1+c
5-∫(3x^5-2x)^3 (x+1)dx= 3/1(3x^5-2x)^3 (x+1)dx
= 3/1(3x^5-2x)^3+c
= ((3x^5-2x))/1+c

8. Formula #6
● ∫
3
𝑥7 𝑑𝑥 = ∫
3𝑑
𝑥6 𝑑𝑥
= 3𝑑 ∫
1
𝑥6 𝑑𝑥
=3𝑑 ∫ 𝑥−6
𝑑𝑥
=3𝑑 (−
1
5
𝑥−5
+ 𝑐)
=−
3
5𝑥5 𝑑 + 𝑐
● ∫
4
𝑥4 𝑑𝑥 = 4 ∫ 𝑥−4
𝑑𝑥
=
4𝑥−8
−8
+ 𝑐
= −2𝑥−8
+ 𝑐
=
−2
𝑥8
+ 𝑐
●∫
𝑥𝑑𝑥
(𝑥2+5)
= ∫
1
2
∫
2𝑥𝑑𝑥
𝑥215
=
1
2
ln| 𝑥2
+ 5| + 𝑐
● ∫
1
𝑥5 = 1 ∫ 𝑥5
𝑑𝑥
=
1𝑥−4
−4
+ 𝑐
= −4𝑥−4
+ 𝑐

9. =
−4
𝑥−4
+ 𝑐
●∫
4𝑑𝑥
2𝑥3+6
=
1
2
∫
6𝑥2 𝑑𝑥
2𝑥3+6
=
1
2
ln|2𝑥3
+ 6| + 𝑐