Dokumen ini membahas penggunaan linear programming untuk menyelesaikan permainan strategi campuran dalam konteks permainan dua-pemain. Terdapat penjelasan tentang bagaimana mengoptimalkan strategi masing-masing pemain, dengan fokus pada perhitungan nilai permainan dan ekspektasi keuntungan atau kerugian. Metode yang dijelaskan telah menghasilkan hasil yang konsisten dengan metode analitis dan aljabar matriks sebelumnya.

1. Metode Linear Programming
Boldson Herdianto Situmorang Skom., MMSI

2. Linear Programming
• Untuk menyelesaikan permainan-permainan
strategi campuran 3 x 3 atau dimensi yang
lebih besar, dapat mempergunakan linear
programming.
• Untuk menguraikan teknik dan prosedur linear
programming, akan kembali kita gunakan
contoh permainan dua-pemain jumlah-nol
sebelumnya.

3. St rat egi
Pemai n B
Mi ni mum Bari s
B1 B2
Pemai n A
A1 2 5 2 Maksi mi n
A3 6 1 1
Maksi mum Kol om
6 5
mi ni maks

4. Linear Programming
• Notasi yang dipergunakan:
V = nilai permainan
= probabilitas pemilihan strategi A1
dan strategi A3
= probabilitas pemilihan strategi B1
dan strategi B2
• Dengan A sebagai maximizing player, maka
dapat dinyatakan keuntungan yang diharapkan
A dalam tanda ketidaksamaan ≥.
21 XdanX
21 YdanY

5. Linear Programming
• A berarti memiliki kemungkinan memperoleh
keuntungan lebih dari V jika B menggunakan
strategi yang lemah.
• Jadi, nilai keuntungan yang diharapkan untuk
pemain A adalah:
(bila pemain B menggunakan
strategi B1 seterusnya)
(bila pemain B menggunakan
strategi B2 seterusnya)
• Diketahui bahwa
VXX 21 62
VXX 21 15
0,1 2121 XXdanXX

6. Linear Programming
• Dengan B sebagai minimizing player, maka
dapat dinyatakan kerugian yang diharapkan B
dalam tanda ketidaksamaan ≤.
• B berarti memiliki kemungkinan mengalami
kerugian kurang dari V bila A menggunakan
strategi yang lemah.
• Jadi, nilai kerugian yang diharapkan pemain B
adalah:

7. Linear Programming
• (bila pemain A menggunakan
strategi A1 seterusnya)
(bila pemain A menggunakan
strategi A3 seterusnya)
Diketahui bahwa
• Dengan membagi setiap ketidaksamaan dan
persamaan di atas dengan V, didapatkan:
VYY 21 52
VYY 21 16
0,1 2121 YYdanYY

8. Linear Programming
• Untuk perusahaan A Untuk perusahaan B
• Bila ditentukan variabel-variabel baru:
maka didapatkan:
1
1
15
1
62
21
21
21
V
X
V
X
V
X
V
X
V
X
V
X
1
1
16
1
52
21
21
21
V
Y
V
Y
V
Y
V
Y
V
Y
V
Y
2
2
1
1
2
2
1
1
,
,
Y
V
Y
Y
V
Y
X
V
X
X
V
X

9. Linear Programming
• Untuk perusahaan A Untuk perusahaan B
• Karena perusahaan A adalah maximizing
player, maka tujuannya adalah
memaksimumkan V, atau sama dengan
meminimumkan .
V
XX
XX
XX
1
115
162
21
21
21
V
YY
YY
YY
1
116
152
21
21
21
V
1

10. Linear Programming
• Minimumkan
X1 + X2
Batasan-batasan:
2X1 + 6X2 ≥ 1
5X1 + 1X2 ≥ 1
X1, X2 ≥ 0
• Sedangkan perusahaan B adalah minimizing
player, maka tujuannya adalah
meminimumkan V, atau B harus
memaksimumkan .
V
1

11. Linear Programming
• Dengan Y1 + Y2 = , dapat dirumuskan
masalah linear programming untuk
perusahaan B sebagai berikut:
Maksimumkan
Y1 + Y2
Batasan-batasan:
2Y1 + 5Y2 ≤ 1
6Y1 + 1Y2 ≤ 1
Y1, Y2 ≥ 0
V
1

12. Linear Programming
Y1 = , Y2 =
X1 = , X2 =
• Nilai permainan V dapat dicari sebagai
berikut:
Jadi, V =
7
1
7
1
28
5
28
3
7
2
28
3
28
51
21 XX
V
5,3
2
7

13. Linear Programming
• Hasilnya sama dengan yang diperoleh dari
metode-metode sebelumnya (analitis dan
aljabar matriks).
• Selanjutnya dapat dicari:
5,0
2
1
7
1
2
7
.
5,0
2
1
7
1
2
7
.
375,0
8
3
28
3
2
7
.
625,0
8
5
28
5
2
7
.
22
11
22
11
xYVY
xYVY
dan
xXVX
xXVX