maths

1. Trang 1
CHƯƠNG II:
ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN.
QUAN HỆ SONG SONG.
A. CÁC KIẾN THỨC CẦN NHỚ
§1. ĐẠI CƯƠNG VỀ ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG.
I. CÁC TÍNH CHẤT THỪA NHẬN
Tính chất 1: Có một và chỉ một đường thẳng đi qua 2 điểm phân biệt.
Tính chất 2: Qua ba điểm không thẳng có một và chỉ một mặt phẳng.
Tính chất 3: Nếu một đường thẳng có hai điểm phân biệt thuộc một mặt phẳng thì mọi điểm
của đường thẳng đều thuộc mặt phẳng đó.
Tính chất 4: Tồn tại 4 điểm không cùng thuộc một mặt phẳng.
Tính chất 5: Nếu hai mp phân biệt có một điểm chung thì chúng có một điểm chung khác nữa.
Từ đó suy ra: Nếu hai mặt phẳng phân biệt có một điểm chung thì chúng sẽ có một đường
thẳng chung chứa tất cả các điểm chung gọi là giao tuyến của hai mp
Tính chất 6: Trên mỗi mặt phẳng, các kết quả đã biết trong hình học phẳng đều đúng.
II. CÁC CÁCH XÁC ĐỊNH MẶT PHẲNG
a. Một mặt phẳng hoàn toàn xác định khi qua 3 điểm A, B, C không thẳng hàng cho trước.
Ký hiệu mp(ABC)
b. Một mặt phẳng hoàn toàn xác định khi chứa một điểm A và đường thẳng d không đi qua
A. Ký hiệu (A,d) hay (d,A).
c. Một mặt phẳng hoàn toàn xác định khi chứa hai đường thẳng cắt nhau. Ký hiệu (d1,d2)
hay (d2,d1)
Nhận xét: Một mặt phẳng hoàn toàn xác định khi chứa hai đường thẳng song song nhau.
III. HÌNH CHÓP, HÌNH TỨ DIỆN
1. Hình chóp:
Trong mp  
 cho đa giác lồi 1 2... n
A A A . Lấy điểm S nằm ngoài  
 . Lần lượt nối S với các
đỉnh của đa giác, ta được n tam giác 1 2 2 3 1
, ,..., n
SA A SA A SA A . Hình gồm đa giác 1 2... n
A A A và n
tam giác 1 2 2 3 1
, ,..., n
SA A SA A SA A được gọi là hình chóp.
Ký hiệu: 1 2
. ... n
S A A A
2. Hình tứ diện
Cho bốn điểm A, B, C, D không đồng phẳng. Hình gồm bốn tam giác ABC, ABD, ACD, BCD
được gọi là hình tứ diện. Ký hiệu: ABCD.
§2. HAI ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU VÀ HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG.
I. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN
Trong không gian cho 2 đường thẳng a và b, ta có 4 vị trí tương đối:
 a cắt b  1 điểm chung.
 a // b  không có điểm chung.
 a b
  vô số điểm chung.
 a và b chéo nhau  không có điểm chung.
b
a

(a,b);(b,a)
d

A
(A,d);(d,A)
(ABC)
C
B
A

b

a
b

a

a
b
b
a
A


2. Trang 2
II. CÁC ĐỊNH LÝ VÀ TÍNH CHẤT
Định lý 1: Trong không gian, qua điểm A không nằm trên b cho trước có một và chỉ một đường
thẳng a song song với b.
! : //
A b a A a b
   
Chú ý: Hai đường thẳng song song a và b xác định một mặt phẳng.
Ký hiệu: mp (a, b) hay (a, b).
Định lý 2: Nếu 3 mặt phẳng phân biệt cắt nhau theo 3 giao tuyến thì 3 giao tuyến đó hoặc
đồng quy, hoặc đôi một song song nhau
     
, ,
   phân biệt.
   
   
   
// //
c
a b c I
a
a b c
b
 
 
 



 
 
 





 


Hệ quả: Nếu hai mặt phẳng phân biệt lần lượt chứa hai đường thẳng song song thì giao
tuyến nếu có của chúng cũng song song hoặc trùng với một trong hai đường thẳng đó.
   
,
  phân biệt
   
   
; / / / /
/ /
a b c a b
a b c a
c b
c
 
 
 
 
 
 
 
  
  

(c a
 ,hoặc c b
 khi a hoặc b là giao tuyến)
Định lý 3: Hai đường thẳng phân biệt cùng song song với đường thẳng thứ ba thì song
song với nhau.
§3. ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG MẶT PHẲNG.
I. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG
Giữa đường thẳng d và mặt phẳng  
 ta có ba vị trí tương đối như sau:
- d và  
 cắt nhau tại M. Ký hiệu:    
d M

 
- d song song với  
 . Ký hiệu  
/ /
d  hay  / /d

- d nằm trong  
 . Ký hiệu  
d 


A
a
b
c
b
a
I



c
b
a



d
d


d


3. Trang 3
II. ĐỊNH LÝ VÀ TÍNH CHẤT
Định lý 1: Nếu đường thẳng d không nằm trong mặt phẳng  
 và d song song với d’ nằm
trong  
 thì d song song với  

 
 
 
//
// '
d
d
d d











Định lý 2: Cho đường thẳng a song song với mặt phẳng  
 . Nếu mặt phẳng  
 chứa a và
cắt  
 theo giao tuyến a’ thì a’ song song với a.
 
 
   
//
//
a
a b a
b


 


 



 
Hệ quả: Nếu hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với một đường thẳng thì giao tuyến
của chúng (nếu có) cũng song song với đường thẳng đó.
   
   
   
;
// ; // // '
'
d d d d
d
 
 
 
 




 

Định lý 3: Cho hai đường thẳng chéo nhau. Có duy nhất một mặt phẳng chứa đường thẳng này
và song song với đường thẳng kia.
§4. HAI MẶT PHẲNG SONG SONG
I. ĐỊNH NGHĨA
Hai mặt phẳng  
 và  
 được gọi là song song với nhau nếu chúng không có điểm chung.
Ký hiệu:  
 // 
 hay  
 // 
 .
       
//
   
  

II. ĐỊNH LÝ, TÍNH CHẤT
Định lý 1: Nếu mặt phẳng  
 chứa hai đường thẳng cắt nhau a, b và hai đường thẳng này
cùng song song với mặt phẳng  
 thì mặt phẳng  
 song song với mặt phẳng  
 .
d'
d


a
b




d'
d
M a
b'
b



b
a
M


4. Trang 4
 
   
   
,
//
// , //
a b
a b M
a b

 
 



 




Định lý 2: Qua một điểm nằm ngoài một mặt phẳng cho trước có một và chỉ một mặt phẳng
song song với mặt phẳng đã cho.
       
! : //
A A
   
   
Hệ quả 1: Nếu đường thẳng d song song với mặt phẳng  
 thì qua d có duy nhất một mặt
phẳng  
 song song với  
 .
       
// ! : //
a a
   
 
Hệ quả 2: Hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với mặt phẳng thứ ba thì song song với
nhau.
   
   
   
   
// //
//
 
   
 
 





Hệ quả 3: Cho điểm A không nằm trên mặt phẳng  
 . Mọi đường thẳng đi qua A và song
song với  
 đều nằm trong một mặt phẳng đi qua A và song song với  
 .
 
 
     
; //
: //
A
a
a A a

  

 

  

  

Định lý 3: Cho hai mặt phẳng song song. Nếu một mặt phẳng cắt mặt phẳng này thì cũng cắt
mặt phẳng kia và hai giao tuyến song song với nhau.
   
   
   
//
//
b
a a b
   
 
 

 

 
  
 



Hệ quả: Hai mặt phẳng song song chắn trên hai cát tuyến song
song những đoạn thẳng bằng nhau.
   
   
   
//
' '
' '
AB AB A B
A B
 
 
 


  


 


Định lý 4: (Định lý Thales) Ba mặt phẳng đôi một song song
chắn trên hai cát tuyến bất kỳ những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ.
M


a


A


b
a



C'
B'
A'
C
B
A
d'
d




5. Trang 5
' ' ' ' ' '
AB BC CA
A B B C C A
 
III. HÌNH LĂNG TRỤ
1. Hình lăng trụ
Nhận xét:
- Các cạnh bên của hình lăng trụ bằng nhau và song song với
nhau.
- Các mặt bên của hành lăng trụ là các hình bình hành.
- Hai đa giác đáy là hai đã giác bằng nhau.
Chú ý: Tên gọi của hình lăng trụ phụ thuộc vào tên gọi của đa
giác đáy.
Hình lăng trụ có đáy là hình bình hành gọi là hình hộp.
2. Hình chóp cụt
Tính chất:
- Hai đáy là hai đa giác có các cạnh tương ứng song song và
các tỉ số các cặp cạnh tương ứng bằng nhau.
- Các mặt bên là những hình thang.
- Các đường thẳng chứa các cạnh bên đồng quy tại một điểm.
§5. PHÉP CHIẾU SONG SONG. HÌNH BIỂU DIỂN CỦA MỘT HÌNH KHÔNG GIAN.
I. PHÉP CHIẾU SONG SONG
Cho mp 
 và đường thẳng  cắt nhau. Với mỗi điểm M
trong không gian, đường thẳng d đi qua M song song hoặc
trùng với  cắt  
 tại một điểm xác định M’. Điểm M’ gọi là
hình chiếu song song của điểm M trên mp 
 theo phương  .
Mặt phẳng  
 gọi là mặt phẳng chiếu,  gọi là phương chiếu.
Hình H’ là hình tập hợp các hình chiếu chứa các hình
chiếu M’ của tất cả các điểm M thuộc hình H thì gọi là hình
chiếu của hình H qua phép chiếu song song theo phương .
II. CÁC TÍNH CHẤT CỦA PHÉP CHIẾU SONG SONG
1. Hình chiếu song song của 3 điểm thẳng hàng là 3 điểm thẳng hàng và không làm thay đổi thứ
tự giữa chúng.
2. Hình chiếu song song của đường thẳng là đường thẳng, của tia là tia, của đoạn thẳng là đoạn
thẳng.
3. Hình chiếu song song của hai đường thẳng song song là hai đường thẳng song song hoặc
trùng nhau.
4. Phép chiếu song song không làm thay đổi tỉ số độ dài của hai đoạn thẳng nằm trên hai
đường thẳng song song hoặc trùng nhau.
III. HÌNH BIỂU DIỄN CỦA MỘT SỐ HÌNH KHÔNG GIAN TRÊN MẶT PHẲNG
1. Một tam giác bất kỳ có thể là hình biểu diễn của một tam giác đều, tam giác vuông, tam
giác cân,…tuỳ theo cách chúng ta ký hiệu.
M'

d
M

A'1
A'5 A'4
A'3
A'2
A5 A4
A3
A2
A1


S
A'5
A'4
A'3
A'2
A'1
A5
A4
A3
A2
A1
P

6. Trang 6
2. Hình bình hành bất kỳ có thể là hình biểu diễn của một hình bình hành, hình vuông, hình
thoi, hình chữ nhật,…
3. Hình thang là hình biểu diễn của một hình thang (với tỉ số hai đáy của hai hình bằng
nhau).
4. Hình Elip là hình biểu diễn của một đường tròn.

7. Trang 7
B. BÀI TẬP
§1. ĐẠI CƯƠNG VỀ ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG.
Bài 1: Trong mp  
 , cho tứ giác ABCD. AB cắt CD tại E, AC cắt BD tại F. S là điểm nằm
ngoài mp  
 .
a) Tìm giao tuyến của  
SAB và  
SCD ; của  
SAC và  
SBD .
b) Tìm giao tuyến của  
SEF với các mp  
SAD và  
SBC .
Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình thang, đáy lớn AB. Gọi I, J là trung điểm
của SA, SB. M là điểm tuỳ ý thuộc đoạn SD.
a) Tìm giao tuyến của  
SAD và  
SBC
b) Tìm giao điểm của IM và  
SBC .
c) Tìm giao điểm của SC và  
IJM .
Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang, đáy lớn AB. Gọi M, N lần lượt là
trung điểm của các cạnh SB và SC.
a) Tìm giao tuyến của  
SAD và  
SBC .
b) Tìm giao điểm của SD và  
AMN .
c) Tìm thiết diện của hình chóp với mp  
AMN .
Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD. Gọi M là điểm thuộc miền trong của tam giác SCD.
a) Tìm giao tuyến của  
SBM và  
SAC .
b) Tìm giao điểm của BM và  
SAC .
c) Tìm thiết diện của hình chóp với mp  
ABM .
Bài 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M, N, P lần lượt là trung
điểm của các cạnh BC, CD, SA.
a) Xác định thiết diện của hình chóp với mp  
MNP .
b) Trên cạnh SC lấy điểm I bất kỳ (khác với S và C). Xác định giao điểm của AI với mp
 
MNP .
Bài 6: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là tứ giác ABCD có hai cạnh đối diện không song song
với nhau. Lấy điểm M thuộc miền trong của tam giác SCD. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng:
a)  
SBM và  
SCD
b)  
ABM và  
SCD
c)  
ABM và  
SAC
Bài 7: Cho tứ diện ABCD có các điểm M và N lần lượt là trung điểm của AC và BC. Lấy điểm
K thuộc đoạn BD (K không là trung điểm của BD). Tìm giao điểm của đường thẳng AD và mặt
phẳng  
MNK .
Bài 8: Cho tứ diện S.ABC. Trên SA, SB và SC lần lượt lấy các điểm D, E và F sao cho DE cắt
AB tại I, EF cắt BC tại J và FD cắt CA tại K.
Chứng minh ba điểm I, J, K thẳng hàng.
§2. HAI ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU VÀ HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG.
Bài 9: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi H và K lần lượt là trung
điểm của SA và SB.
a) Chứng minh: HK //CD

8. Trang 8
b) Gọi M là một điểm trên cạnh SC không trùng với S. Tìm giao tuyến của hai mp  
HKM và
 
SCD .
c) Tìm giao tuyến của hai mp  
SAB và  
SCD .
Bài 10: Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình bình hành. Gọi M, N, P và Q là các điểm lần lượt
trên BC, SC, SD và AD sao cho MN//BS; NP//CD; MQ//CD.
a) Chứng minh: PQ//SA.
b) Gọi K là giao điểm của MN và PQ. Chứng minh: SK//AD//BC.
Bài 11: Cho tứ diện ABCD có I và J lần lượt là trọng tâm các tam giác ABC và ABD. Chứng
minh: IJ//CD.
Bài 12: Cho tứ diện ABCD có M là trung điểm của AB, N là trung điểm của CD và G là trung
điểm của MN.
a) Tìm điểm A’ là giao của AG và mp(BCD).
b) Đường thẳng Mx song song với AG cắt (BCD) tại M’. Chứng minh rằng B, M’, N thẳng
hàng và BM’ =M’A’ = A’N.
c) Chứng minh rằng AG =3GA’.
Bài 13: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Mp( ) cắt SB tại M, cắt SC
tại N, cắt CD tại P, cắt AB tại Q sao cho MQ//SA, MN//BC. Chứng minh rằng NP//SD.
§3. ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG MẶT PHẲNG.
Bài 14: Cho hình chóp S.ABCD. M, N là hai điểm trên AB, CD.  
 là mặt phẳng qua MN và
song song với SA.
a) Tìm giao tuyến của  
 với mặt phẳng  
SAB và  
SAC .
b) Xác định thiết diện của hình chóp với mặt phẳng  
 .
Bài 15: Cho hình chóp S.ABCD với ABCD là hình thang đáy lớn AD. Gọi M là một điểm bất
kỳ trên cạnh AB.  
 là mặt phẳng qua M và song song với AD và SB.
a) Mặt phẳng  
 cắt S.ABCD theo thiết diện là gì?
b) Chứng minh:  
/ /
SC  .
Bài 16: Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF nằm trong hai mặt phẳng phân biệt. Gọi O là
giao điểm của AC và BD, O’ là giao điểm của AE và BF.
a) Chứng minh: OO’ song song với hai mặt phẳng  
ADF và  
BCE .
b) Gọi M và N lần lượt là trọng tâm của các tam giác ABD và ABE. Chứng minh:
 
/ /
MN CEF .
Bài 17: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành ABCD. Gọi G là trọng tâm tam giác
SAB và I là trung điểm của AB. Lấy điểm M trong đoạn AD sao cho 3
AD AM
 .
a) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng  
SAD và  
SBC .
b) Đường thẳng qua M và song song với AB cắt CI tại N.
Chứng minh:  
/ /
NG SCD .
c) Chứng minh:  
/ /
MG SCD .
Bài 18: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang ABCD, đáy lớn AD và 2
AD BC
 . Gọi
O là giao điểm của AC và BD, G là trọng tâm của tam giác SCD.
a) Chứng minh:  
/ /
OG SBC .
b) Cho M là trung điểm của SD. Chứng minh:  
/ /
CM SAB .
c) Giả sử điểm I nằm trong đoạn SC sao cho
3
2
SC SI
 .
Chứng minh:  
/ /
SA BID .

9. Trang 9
Bài 19: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành, O là giao điểm của AC và
BD, M là trung điểm của SA. Tìm thiết diện của mp  
 với hình chóp S.ABCD nếu  
 qua M và
đồng thời song song với SC và AD.
Bài 20: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M, N lần lượt là trung
điểm của AB và CD.
a) Chứng minh MN song song với các mp  
SBC và  
SAD .
b) Gọi P là trung điểm của SA. Chứng minh rằng SB và SC đều song song với mp  
MNP .
§4. HAI MẶT PHẲNG SONG SONG
Bài 21: Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’. Gọi M và M’ lần lượt là trung điểm của các
cạnh BC và B’C’.
a) Chứng minh: / / ' '
AM A M .
b) Tìm giao điểm của A’M và mặt phẳng  
' '
AB C .
c) Tìm giao tuyến d của hai mặt phẳng  
' '
AB C vaf  
' '
BA C .
d) Tìm giao điểm G của d với  
'
AMA . Chứng minh G là trọng tâm của tam giác AB’C’.
Bài 22: Cho hai hình vuông ABCD và ABEF không đồng phẳng. Trên các đường chéo AC và
BF lần lượt lấy các điểm M, N sao cho AM BN
 . Các đường thẳng song song với AB vẽ từ M và N
lần lượt cắt AD và AF tại M’ và N’. Chứng minh:
a)    
/ /
ADF BCE .
b) ' '/ /
M N DF .
c)    
/ / ' '
DEF MM N N và  
/ /
MN DEF .
Bài 23: Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’. Gọi I và I’ là trung điểm của BC và B’C’.
a) Chứng minh: / / ' '
AI A I .
b) Tìm giao điểm của A’I với mặt phẳng  
' '
AB C .
c) Tìm giao tuyến của  
' '
AB C và  
'
A BC .
Bài 24: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành tâm O. Gọi M, N lần lượt là trung
điểm SA, SD.
a) Chứng minh:    
/ /
OMN SBC .
b) Gọi K là trung điểm OM. Chứng minh:  
/ /
NK SBC .
Bài 25: Cho hai hình vuông ABCD và ABEF không đồng phẳng. Trên AC, BF lấy các điểm M,
N sao cho AM BN
 . Mặt phẳng  
 chứa MN và song song với AB cắt AD và AF lần lượt tại M’
và N’.
a) Tứ giác MNN’M’ là hình gì?
b) Chứng minh: ' '/ /
M N EC .
c) Chứng minh:  
/ /
MN DEF .
CÁC BÀI TẬP TỔNG HỢP
Bài 26: Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và CD, trên cạnh
AD lấy điểm P (P không là trung điểm của AD).
a) Gọi E là giao điểm của đường thẳng MP và đường thẳng BD. Tìm giao tuyến của hai mặt
phẳng  
PMN và  
BCD .
b) Tìm giao điểm của mặt phẳng  
PMN và BC.

10. Trang 10
Bài 27: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành ABCD. Trong mặt phẳng  
ABCD
vẽ đường thẳng d đi qua A và không song song với các cạnh của hình bình hành, d cắt đoạn BC tại E.
Gọi C’ là một điểm nằm trên cạnh SC.
a) Tìm giao điểm M của CD và  
'
C AE .
b) Tìm thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng  
'
C AE .
Bài 28: Cho hình chóp S.ABCD có AB và CD không song song. Gọi M là một điểm thuộc miền
trong của tam giác SCD.
a) Tìm giao điểm N của đường thẳng CD và mặt phẳng  
SBM .
b) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng  
SBM và  
SAC .
c) Tìm giao điểm I của đường thẳng BM và mặt phẳng  
SAC .
d) Tìm giao điểm P của SC và mặt phẳng  
ABM , từ đó suy ra giao tuyến của hai mặt phẳng
 
SCD và  
ABM .
Bài 29: Cho tứ diện ABCD. Gọi P, Q lần lượt là trung điểm của AB và CD; điểm R nằm trên
cạnh BC sao cho 2
BR RC
 . Gọi S là giao điểm của mặt phẳng  
PQR và cạnh AD. Chứng minh:
2
AS SD
 .
Bài 30: Cho tứ diện ABCD. Trên cạnh AB lấy một điểm M. Cho  
 là mặt phẳng qua M và
song song với AC và BD.
a) Tìm giao tuyến của  
 với các mặt của tứ diện.
b) Thiết diện của tứ diện cắt bởi mặt phẳng  
 là hình gì?
Bài 31: Cho hình chóp SABC. Gọi M thuộc miền trong của tam giác ABC. I,K là 2 điểm
thuộc đoạn thẳng SM.
a)Tìm giao điểm của AI và (SBC)
b)Tìm giao điểm AK và (IBC)
Bài 32: Cho tứ diện SABC.Gọi M,N lần luợt là 2 điểm trên các đoạn SB và SC , sao cho MN
không song song BC.
a)Tìm giao tuyến (AMN) và (ABC).
b)Tìm giao tuyến (ABN) và (ACM).
Bài 33: Cho hình chóp SABCD trong đó ABCD là hình thang đáy lớn là AB.Gọi I,J,M lần
lượt trung điểm SA,SB,SD
a)Tìm giao tuyến (SAD) và (SBC).
b)Tìm giao điểm IM và (SBC).
Bài 34 : Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình bình hành .Gọi H, K, I, J lần lượt là
trung điểm SA, SB, SC, SD
a.CMR : HKIJ là hình bình hành .

11. Trang 11
b.Gọi M là điểm bất kì trên cạnh BC.Tìm giao điểm của hai mp (ABCD) và (HKM).
Bài 35: Cho hình choùp S.ABCD coù ñaùy ABCD laø hình bình haønh. Goïi N laø trung ñieåm cuûa
CD, K laø ñieåm thuoäc caïnh SA, goïi (P) laø maët phaúng chöùa KN vaø song song vôùi AD, (P) caét
AB, SD laàn löôït taïi M vaø I.
a) Tìm giao tuyeán cuûa (SAD) vaø (SBC).
b) Chöùng minh raèng KI // (SBC).
c) Tìm thieát dieän cuûa hình choùp vôùi (P).
Bài 36: Cho hình choùp S.ABCD coù ñaùy ABCD laø hình thang vôùi AB // CD.
a) Xaùc ñònh giao tuyeán cuûa (SAC) vaø (SBD); (SAB) vaø (SCD).
b) Laáy ñieåm M löu ñoäng treân caïnh SB ( M  S vaø M  B). Goïi (P) laø maët phaúng chöùa DM
vaø song song vôùi BC. Cho bieát (P) caét AB vaø SC laàn löôït taïi E vaø N. Töù giaùc MNDE laø hình
gì ?
Bài 37: Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N là trung điểm của AC và BC. Trên đoạn BD lấy điểm P sao
cho 2
BP PD
 .
a) Tìm giao điểm của đường thẳng CD với mặt phẳng  
MNP .
b) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng  
MNP và  
ACD .
Bài 38: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M là điểm nằm giữa S và A;
N là điểm nằm giữa S và B; giao điểm của AC và BD là O.
a) Tìm giao điểm của mặt phẳng  
CMN và đường thẳng SO.
b) Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng  
SAD và  
CMN .
Đề kiểm tra thử chương 2:
Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M là trung điểm của SC, G
là trọng tâm của tam giác SAD.
a) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng   à ( )
SMG v ABCD .
b) Tìm giao điểm K của AB và  
SMG . Chứng minh rằng AK=AB
c) Chứng minh rằng K, M, G thẳng hàng. Tính tỉ số
KG
KM
Bài 2: Cho tứ diện ABCD với P, Q lần lượt là trung điểm AB, BC, R là điểm nằm trên cạnh
CD sao cho CR = 2RD.
a.Tìm giao điểm I của AD và (PQR). Chứng minh rằng D là trung điểm của AI
b. Gọi S là giao điểm của cạnh AD và mp (PQR).Tính tỉ số
SA
SD
c) Chứng minh rằng RS//PQ
Câu hỏi trắc nghiệm:
1. Tìm mệnh đề sai trong các mệnh đề sau đây:
A. Nếu hai mặt phẳng có một điểm chung thì chúng còn có vô số điểm chung khác nữa

12. Trang 12
B. Nếu hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với mặt phẳng thứ ba thì chúng song song với
nhau.
C. Nếu hai đường thẳng phân biệt cùng song song với một mặt phẳng thì song song với nhau.
D. Nếu một đường thẳng cắt một trong hai mặt phẳng song song thì sẽ cắt mặt phẳng còn lại.
2. Tìm mệnh đề sai trong các mệnh đề sau đây:
A. Nếu hai mặt phẳng phân biệt có một điểm chung thì chúng có một đường thẳng chung duy
nhất
B.Nếu hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với một đường thẳng thì chúng song song với
nhau.
C. Có duy nhất một mặt phẳng chứa hai đường thẳng cắt nhau.
D. Nếu một mặt phẳng cắt một trong hai đường thẳng song song thì sẽ cắt đường thẳng còn lại.
3. Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau đây:
A. Nếu hai mặt phẳng cùng đi qua 3 điểm thì 3 điểm đó thẳng hàng.
B. Nếu hai đường thẳng phân biệt cùng song song một mặt phẳng thì chúng song song với nhau.
C. Nếu hai đường thẳng không có điểm chung thì chúng song song.
D. Nếu không có mặt phẳng nào chứa cả hai đường thẳng a, b thì a, b là hai đường thẳng chéo
nhau.
4. Tìm mệnh đề sai trong các mệnh đề sau đây:
A. Nếu hai đường thẳng phân biệt cùng song song với một đường thẳng thì chúng song song với
nhau.
B. Trong một mặt phẳng, hai đường thẳng phân biệt không song song thì cắt nhau.
C. Nếu ba mặt phẳng đôi một cắt nhau theo ba giao tuyến phân biệt a,b,c và a cắt b tại M thì a, b,
c đồng quy tại M.
D. Nếu đường thẳng a song song với đường thẳng b nằm trong mặt phẳng (P) thì đường thẳng a
song song với mặt phẳng (P)
5. Nếu ba đường thẳng không cùng nằm trong một mặt phẳng và đôi một cắt nhau thì ba đường
thẳng đó
A. Tạo thành tam giác B. Đồng quy
C.Trùng nhau D. Cùng song song với một mặt phẳng
6. Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của AC, BC và BD. Giao tuyến của hai
mặt phẳng (ABD) và (MNP) là:
A. PD B. MP
C. Đường thẳng qua P và song song với AB D. Không có
7. Cho tứ diện ABCD. Gọi I, J, K lần lượt là trung điểm của AC, BC và BD. Tìm mệnh đề đúng
trong các mệnh đề sau đây:
A. IK // AD B. IK // BC C. JK cắt AD D. IJ và AD chéo nhau.
8. Cho tứ diện ABCD. Gọi I, J, K lần lượt là trung điểm của AC, BC và BD. Tìm mệnh đề sai trong
các mệnh đề sau đây:
A. IJ // (ABD) B. CD // (IJK) C. JK //( ACD) D. AD//(IJK).
9. Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau đây:
A. Nếu hai mặt phẳng (P) và (Q) song song với nhau thì mọi đường thẳng nằm trong (P) đều
song song với (Q).

13. Trang 13
B. Nếu hai mặt phẳng (P) và (Q) song song với nhau thì mọi đường thẳng nằm trong (P) đều
song song với mọi đường thẳng nằm trong (Q).
C. Nếu hai đường thẳng song song với nhau lần lượt nằm trong hai mặt phẳng phân biệt (P) và
(Q) thì (P) và (Q) song song với nhau
D. Qua một điểm nằm ngoài mặt phẳng (P) ta vẽ được một và chỉ một đường thẳng.song song với
(P).
10.Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, AC, E là điểm trên cạnh CD sao cho
ED = 3EC. Thiết diện tạo bởi mặt phẳng (MNE) và tứ diện ABCD là:
A. Tam giác MNE
B. Tứ giác MNEF, với F là điểm bất kì trên cạnh BD.
C. Hình bình hành MNEF, với F là điểm trên cạnh BD và EF // BC
D. Hình thang MNEF, với F là điểm trên cạnh BD và EF // BC
11.Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N , P lần lượt là trung điểm của AB, AC,CD. Thiết diện tạo bởi mặt
phẳng (MNP) và tứ diện ABCD là tứ giác MNPQ. Chọn mệnh đề sai trong các mệnh đề sau:
A. MNPQ là hình bình hành B. Q là trung điểm của BD
C. Q là trung điểm của BC D. PQ // BC
12.Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N , P lần lượt là trung điểm của AB, AC,CD. Chọn mệnh đề sai trong
các mệnh đề sau:
A. Giao tuyến của hai mặt phẳng (MNP) và (ABC) là MN
B. Giao tuyến của hai mặt phẳng (MNP) và (ACD) là NP
C. Giao tuyến của hai mặt phẳng (MNP) và (ABD) là PM
D. Giao tuyến của hai mặt phẳng (MNP) và (BCD) là đường thẳng đi qua P và song song với
BC.
13.Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Chọn mệnh đề sai trong các
mệnh đề sau:
A. Giao tuyến của hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) là SO
B. Giao tuyến của hai mặt phẳng (SAD) và (SBC) là đường thẳng đi qua S và song song với
AD.
C. Thiết diện của mặt phẳng (SAO) với hình chóp S.ABCD là một tứ giác
D. Thiết diện của mặt phẳng (SAO) với hình chóp S.ABCD là một tam giác.
14.Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O. M là trung điểm của SA. Mặt
phẳng ( ) chứa OM và song song với SB.Chọn mệnh đề sai trong các mệnh đề sau:
A. Giao tuyến của ( ) và (SAB) là đường thẳng đi qua M và song song với SB
B. Giao tuyến của ( ) và (SBC) là đường thẳng đi qua trung điểm của BC và song song với SB
C. Giao tuyến của ( ) và (ABCD) là đường thẳng đi qua O và trung điểm của AB
D. Thiết diện của mặt phẳng ( ) với hình chóp S.ABCD là một hình thang
15.Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình bình hành.. M, N, P lần lượt là trung điểm của SA,
BC, CD. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng:
A. Thiết diện của mặt phẳng (MNP) với hình chóp S.ABCD là một hình bình hành.
B. Thiết diện của mặt phẳng (MNP) với hình chóp S.ABCD là một hình thang..
C. Thiết diện của mặt phẳng (MNP) với hình chóp S.ABCD là một tứ giác thường
D. Thiết diện của mặt phẳng (MNP) với hình chóp S.ABCD là một ngũ giác.
16.Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. M là trung điểm của SA. Trong các
mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng:

14. Trang 14
A. SC song song với mp(MBD) B. SB song song với mp(MCD)
C. DM song song với mp(SBC) D. BM song song với mp(SCD).
17.Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của AB, AC và BD. Gọi Q là giao điểm
của CD và (MNP). Khi đó
CQ
CD
bằng
A. 1 B.
1
2
C.
1
3
D. 2
18.Cho tứ diện ABCD. Các điểm M, N, P lần lượt nằm trên các cạnh AC, BC và BD sao cho
MA= 3MC, NB = 3NC và PB =
2
3
BD. Q là giao của AD và (MNP). Khi đó
QA
QD
bằng
A. 1 B.
1
2
C.
1
3
D. 2
19.Cho tứ diện ABCD. G là trọng tâm tam giác ABC. ( ) là mặt phẳng đi qua G và song song với
các đường thẳng AB, CD. Khi đó thiết diện của tứ diện ABCD cắt bởi ( ) là hình gì?
A. Tứ giác thường. B. Tam giác C. Hình thang D. Hình bình hành
20.Cho tứ diện ABCD. Gọi I, J lần lượt là trọng tâm các tam giác ABC, ABD. Trong các mệnh đề
sau, mệnh đề nào sai:
A. IJ song song với mp(BCD) B. IJ song song với CD
C. IJ song song với mp(ACD) D. IJ không song song với mp(SCD).
21.Cho tứ diện ABCD. Gọi P là trung điểm của CD, điểm Q nằm trên cạnh BC sao cho BQ = 2QC.
Gọi I là giao điểm của PQ và (ABD). Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai:
A. I là giao điểm của PQ và AD B. D là trug điểm của BI
C. I là giao điểm của PQ và BD. D. PI = 3PQ
22.Cho tứ diện ABCD. Các điểm P, Q lần lượt là trung điểm của AB, CD. Điểm R nằm trên cạnh BC
sao cho BR = 2RC.Gọi S là giao điểm của (PQR) và AD. Khi đó
DS
DA
bằng:
A. 3 B.
1
3
C.
1
2
D. 2
23.Cho tứ diện ABCD. Các điểm P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AD. BC. G là trọng tâm
tam giác BCD. Khi đó, giao điểm của đường thẳng PG và mp(ABC) là:
A. Điểm C B. Điểm Q
C. Giao điểm của PG và BC. D. Giao điểm của PG và AQ.
24. Cho tứ diện ABCD. Các điểm M, N, P lần lượt nằm trên ba cạnh AB, AC, AD mà không trùng
với các đỉnh.. Thiết diện của mặt phẳng (MNP) và tứ diện ABCD là hình gì?
A. Một đoạn thẳng. B. Một tam giác
C. Một tứ giác. D. Một ngũ giác
25. Cho tứ diện ABCD. Các điểm M, N, P lần lượt nằm trên ba cạnh AB, BC, CD mà không trùng
với các đỉnh.. Thiết diện của mặt phẳng (MNP) và tứ diện ABCD là hình gì?
A. Một tam giác. B. Một tứ giác
C. Một hình thang. D. Một ngũ giác
26. Cho hình chóp S.ABCD. Gọi , , .
AC BD I AB CD J AD BC K
      Đẳng thức nào sau đây
là sai:
A. ( ) ( )
SAC SBD SI
  B. ( ) ( )
SAB SCD SJ
 

15. Trang 15
C. ( ) ( )
SAD SBC SK
  D. ( ) ( )
SAC SAD AB
 
27. Cho hình chóp S.ABCD. Một mặt phẳng không đi qua đỉnh nào của hình chóp cắt các cạnh SA,
SB, SC, SD lầ lượt tại A’, B’, C’, D’. Gọi O là giao điểm của AC và BD. Trong các mệnh đề sau,
mệnh đề nào đúng:
A. Các đường thẳng A’C’, B’D’, SO đôi một chéo nhau.
B. Các đường thẳng A’C’, B’D’, SO đồng phẳng
C. Các đường thẳng A’C’, B’D’, SO đồng quy
D. Hai đường thẳng A’C’, B’D’cắt nhau, còn hai đường thẳng và A’C’ chéo nhau
28.Cho tứ diện đều ABCDcó cạnh bằng a . Gọi G là trọng tâm tam giác ABC.Cắt tứ diện bởi
mp(GCD) thì diện tích của thiết diện là:
A.
2
3
2
a
B.
2
2
4
a
C.
2
2
6
a
D.
2
3
4
a
29.Cho lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’. Gọi I, J lần lượt là trọng tâm các tam giác ABC và A’B’C’
Cắt lăng trụ đã cho bởi mp(AIJ) thì thiết diện là:
A. Tâm giác cân B. Tam giác vuông
C. Hình thang D. Hình bình hành
30.Cho tứ diện ABCD. Gọi M, K lần lượt là trung điểm của BC và AC, N là điểm trên cạnh BD sao
cho BN = 2ND. Gọi F là giao điểm của AD và mp(MNK). Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào
đúng?
A. AF = FD B. AF = 2FD C. AF = 3FD D. 2AF = FD
31. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. Gọi A’, B’, C’, D’ lần lượt là trung điểm của
SA, SB, SC, SD. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
A. A’B’//(SAD) B. A’C’//(SBD) C. (A’C’D’) //(ABC) D. A’C’//BD
32. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AB, CD.
Khi ấy, giao tuyến của hai mặt phẳng (SAB) và (SCD) là đường thẳng song song với:
A. AD B. BJ C. BI D. IJ
33.Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. Một mặt phẳng (P) song song với ACvà SB lần
lượt cắt các cạnh SA, AB, BC, SC, SD, BD tại M, N, E, F, I, J . Trong các mệnh đề sau, mệnh đề
nào đúng?
A. MN, EF, IJ, SB đôi một song song B. MN, EF, IJ, SB đồng quy
C. MN, EF, IJ, SB đồng phẳng D. Cả 3 mệnh đề trên đều sai
34.Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành tâm O. M là trung điểm CD, I là điểm trên cạnh
SA sao cho AI =2IS, J là giao điểm của AC và BM . Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?
A. IJ // (SCD) B. IJ // (SOM) C. IJ // (SBC) D. BC //(SAD)
35.Cho tứ diện ABCD. G là trọng tâm tam giác ABC. ( ) là mặt phẳng đi qua G và song song với
các đường thẳng AB, CD. Khi đó thiết diện của tứ diện ABCD cắt bởi ( ) là hình gì?
A. Tứ giác thường. B. Tam giác C. Hình thang D. Hình bình hành
36.Cho hình vuông ABCD và tam giác đều SAB nằm trong hai mặt phẳng khác nhau. M là điểm di
động trên đoạn AB. ( ) là mặt phẳng đi qua M và song song với các đường thẳng AD, SB. Khi
đó thiết diện của hình chóp S.ABCD cắt bởi ( ) là hình gì?
A. Hình vuông B. Tam giác C. Hình thang D. Hình bình hành