-

1. Algoritma dan
Kompleksitas Algoritma

2. Algoritma
• Algoritma adalah urutan logis langkah-langkah
penyelesaian masalah yang ditinjau secara
sistematis.

3. Asal Usul Algoritma
• Kata ini tidak muncul dalam kamus Webster
hingga tahun 1957
• Orang hanya menemukan kata “algorism” yang
berarti “proses menghitung dengan angka Arab”
• Anda dikatakan algorist jika anda menggunakan
angka Arab
• Para ahli bahasa berusaha menemukan asal kata
algorism ini namun hasilnya kurang memuaskan

4. Asal Usul
• Akhirnya para ahli sejarah matematika
menemukan asal mula kata tsb.
• Kata ‘algorism’ berasal dari nama penulis buku
arab yang terkenal yaitu Abu Ja’far
Muhammad Ibn Musa al-Khuwarizmi

5. Ibn Musa
al-Khuwarizmi
 Seorang ahli matematika,
astronomi, astrologi, dan geografi
yang berasal dari Persia.
 Lahir sekitar tahun 780 di
Khwārizm (sekarang Khiva,
Uzbekistan) dan wafat sekitar
tahun 850 di Baghdad.
 Hampir sepanjang hidupnya, ia
bekerja sebagai dosen di Sekolah
Kehormatan di Baghdad

6.  Buku pertamanya, al-Jabar, adalah buku
pertama yang membahas solusi sistematik dari
linear dan notasi kuadrat. Sehingga ia disebut
sebagai Bapak Aljabar.
Translasi bahasa Latin dari Aritmatika beliau,
yang memperkenalkan angka India, kemudian
diperkenalkan sebagai Sistem Penomoran
Posisi Desimal di dunia Barat pada abad ke 12
Karya: Aljabar, Dixit Algorismi, Rekonstruksi
Planetarium, Astronomi, dll

7. Penulisan Algoritma
• Dapat menggunakan kalimat deskriptif
• Yang bagus untuk algoritma yang pendek
• Dapat juga dinyatakan dalam bahasa
pemrograman, namun memiliki kerumitan
sintaks
• Para ilmuwan lebih menyukai penulisan dalam
Pseudo-Code

8. Contoh Algoritma (1)
Resep membuat Rendang Padang
1. Potong daging sapi menjadi potongan-potongan dadu atau
sesuai selera.
2. Haluskan bumbu serupa bawang merah, bawang putih, cabe
merah, kunyit, laos dan jahe.
3. Masukkan seluruh bumbu tadi ke santan. Tambahkan dua buah
daun jeruk, satu lembar daun kunyit dan sebatang serai.
4. Masak santan di atas api sedang. Aduk terus hingga santan
mendidih.
5. Masukkan daging sapi dan kecilkan api. Sekali-kali santan diaduk
agar tidak pecah.
6. Jika sudah timbul minyak dan santan sudah kering, matikan api.
Rendang siap dihidangkan.

9. Contoh Algoritma (2)
Mencari elemen terbesar pada suatu array
1. Asumsikan a1 sebagai elemen terbesar sementara. Simpan a1
ke dalam maks.
2. Bandingkan maks dengan elemen a2. Jika a2 lebih besar dari
maks, maka nilai maks diganti dengan a2.
3. Ulangi langkah 2 untuk elemen-elemen berikutnya
(a3,a4,…,an).
4. Berhenti jika tidak ada lagi elemen yang dibandingkan.
Dalam hal ini, maks berisi nilai dari elemen terbesar.

10. Contoh Pseudo-code
procedure CariElemenTerbesar (input a1, a2, … , an : integer,
output maks : integer)
{ Mencari elemen terbesar di antara elemen a1, a2, … , an.
Elemen terbesar akan disimpan di dalam maks.
Masukan : a1, a2, … , an
Keluaran : maks
}
Deklarasi
i : integer
Algoritma:
maks a1
for i 2 to n do
if ai > maks then
maks ai
endif
endfor

11. Kompleksitas Algoritma

12. Efisiensi Algoritma
• Efisiensi (Kemangkusan) Algoritma
• Algoritma yang bagus  yang mangkus
• Diukur dari berapa jumlah waktu dan ruang
(space) memori yang dibutuhkan untuk
menjalankan
• Algoritma yang mangkus adalah yang
meminimumkan kebutuhan waktu dan ruang

13. Kebutuhan waktu dan ruang
• Kebutuhan waktu (time) dan ruang (space)
bergantung pada ukuran masukan
• Biasanya adalah jumlah data yang diproses
• Ukuran masukan disimbolkan dengan n
• Contoh: untuk masalah pengurutan (sorting)
100 buah elemen berarti n=100

14. Mengapa kita perlu algoritma yang
efisien?
 Misalkan, untuk menyelesaikan sebuah masalah
tertentu, telah tersedia:
o Algoritma yang waktu eksekusinya dalam orde eksponensial
(2n), dengan n adalah jumlah masukan yang diproses
o Sebuah komputer yang mampu menjalankan program
dengan masukan berukuran n dalam waktu 10-4 x 2n detik.
 Maka, dapat dihitung bahwa jika:
o n=10, dibutuhkan waktu eksekusi kira-kira 1/10 detik
o n=20, dibutuhkan waktu eksekusi kira-kira 2 menit
o n= 30, dibutuhkan waktu eksekusi lebih dari satu hari
 Dalam setahun, hanya dapat menyelesaikan persoalan
dengan masukan sebanyak 38 saja!!!

15. Jika kita punya algoritma yang lebih
baik?
• Misalkan algoritma yang kita punya sekarang dalam
waktu orde kubik (n3)
• Masalah diselesaikan dalam 10-4 x n3 detik
• DALAM SATU HARI SAJA:
• Kita dapat menyelesaikan lebih dari 900 masukan!!
• Dalam setahun dapat menyelesaikan 6800 lebih!!

16. See the difference!!
10
5 15 20 25 30 35 40
Ukuran masukan
10
102
103
104
105
1
1 detik
1 menit
1 jam
1 hari
Waktu
komputasi
(dalam
detik)
10-1
10-4
x 2n
10-6 x n3
10-6 x 2n
10-4
x n3

17. Model Perhitungan Kebutuhan Waktu
• Menghitung kebutuhan waktu algoritma dengan mengukur
waktu sesungguhnya (dalam satuan detik) ketika algoritma
dieksekusi oleh komputer bukan cara yang tepat.
• Alasan:
1. Setiap komputer dengan arsitektur berbeda mempunyai
bahasa mesin yang berbeda  waktu setiap operasi antara
satu komputer dengan komputer lain tidak sama.
2. Compiler bahasa pemrograman yang berbeda menghasilkan
kode mesin yang berbeda  waktu setiap operasi antara
compiler dengan compiler lain tidak sama.

18. Model Abstrak
• Model abstrak pengukuran waktu/ruang harus
independen dari pertimbangan mesin dan
compiler apapun.
• Besaran yang dipakai untuk menerangkan model
abstrak pengukuran waktu/ruang ini adalah
kompleksitas algoritma.
• Ada dua macam kompleksitas algoritma, yaitu:
kompleksitas waktu dan kompleksitas ruang.

19.  Kompleksitas waktu, T(n), diukur dari jumlah tahapan
komputasi yang dibutuhkan untuk menjalankan
algoritma sebagai fungsi dari ukuran masukan n.
 Kompleksitas ruang, S(n), diukur dari memori yang
digunakan oleh struktur data yang terdapat di dalam
algoritma sebagai fungsi dari ukuran masukan n.
 Dengan menggunakan besaran kompleksitas
waktu/ruang algoritma, kita dapat menentukan laju
peningkatan waktu (ruang) yang diperlukan algoritma
dengan meningkatnya ukuran masukan n.

20. Ukuran masukan (n): jumlah data yang diproses oleh
sebuah algoritma.
 Contoh: algoritma pengurutan 1000 elemen larik,
maka n = 1000.
 Contoh: algoritma TSP pada sebuah graf lengkap
dengan 100 simpul, maka n = 100.
 Contoh: algoritma perkalian 2 buah matriks
berukuran 50 x 50, maka n = 50.
 Dalam praktek perhitungan kompleksitas, ukuran
masukan dinyatakan sebagai variabel n saja.

21. Kompleksitas Waktu
 Jumlah tahapan komputasi dihitung dari berapa kali
suatu operasi dilaksanakan di dalam sebuah
algoritma sebagai fungsi ukuran masukan (n).
 Di dalam sebuah algoritma terdapat bermacam jenis
operasi:
 Operasi baca/tulis
 Operasi aritmetika (+, -, *, /)
 Operasi pengisian nilai (assignment)
 Operasi pengakasesan elemen larik
 Operasi pemanggilan fungsi/prosedur
 dll
 Dalam praktek, kita hanya menghitung jumlah operasi
khas (tipikal) yang mendasari suatu algoritma.

22. Contoh operasi khas di dalam algoritma
 Algoritma pencarian di dalam larik
Operasi khas: perbandingan elemen larik
 Algoritma pengurutan
Operasi khas: perbandingan elemen, pertukaran
elemen
 Algoritma penjumlahan 2 buah matriks
Operasi khas: penjumlahan
 Algoritma perkalian 2 buah matriks
Operasi khas: perkalian dan penjumlahan

23.  Contoh 1. Tinjau algoritma menghitung rerata sebuah larik
(array).
sum 0
for i  1 to n do
sum  sum + a[i]
endfor
rata_rata  sum/n
 Operasi yang mendasar pada algoritma tersebut adalah
operasi penjumlahan elemen-elemen ai (yaitu
sumsum+a[i]) yang dilakukan sebanyak n kali.
 Kompleksitas waktu: T(n) = n.

24. Contoh 2. Algoritma untuk mencari elemen terbesar di dalam sebuah
larik (array) yang berukuran n elemen.
procedure CariElemenTerbesar(input a1, a2, ..., an : integer, output
maks : integer)
{ Mencari elemen terbesar dari sekumpulan elemen larik integer a1, a2,
..., an.
Elemen terbesar akan disimpan di dalam maks.
Masukan: a1, a2, ..., an
Keluaran: maks (nilai terbesar)
}
Deklarasi
k : integer
Algoritma
maksa1
k2
while k  n do
if ak > maks then
maksak
endif
ii+1
endwhile
{ k > n }
Kompleksitas waktu algoritma dihitung berdasarkan jumlah operasi
perbandingan elemen larik (A[i] > maks).
Kompleksitas waktu CariElemenTerbesar : T(n) = n – 1.

25. Kompleksitas waktu dibedakan atas tiga macam :
 Tmax(n) : kompleksitas waktu untuk kasus terburuk
(worst case), kebutuhan waktu maksimum.
 Tmin(n) : kompleksitas waktu untuk kasus terbaik
(best case), kebutuhan waktu minimum.
 Tavg(n): kompleksitas waktu untuk kasus rata-rata
(average case)  kebutuhan waktu secara rata-rata

26. Contoh 3. Algoritma sequential search.
procedure PencarianBeruntun(input a1, a2, ..., an : integer, x : integer,
output idx : integer)
Deklarasi
k : integer
ketemu : boolean { bernilai true jika x ditemukan atau false jika x
tidak ditemukan }
Algoritma:
k1
ketemu  false
while (k  n) and (not ketemu) do
if ak = x then
ketemutrue
else
k  k + 1
endif
endwhile
{ k > n or ketemu }
if ketemu then { x ditemukan }
idxk
else
idx 0 { x tidak ditemukan }
endif
Jumlah operasi perbandingan:
1. Kasus terbaik: ini terjadi bila a1 = x.
Tmin(n) = 1
2. Kasus terburuk: bila an = x
atau x tidak ditemukan.
Tmax(n) = n

27. Contoh 4. Algoritma pencarian biner (bynary search).
procedure PencarianBiner(input a1, a2, ..., an : integer, x : integer,
output idx : integer)
Deklarasi
i, j, mid : integer
ketemu : boolean
Algoritma
i1
jn
ketemufalse
while (not ketemu) and ( i  j) do
mid  (i+j) div 2
if amid = x then
ketemu  true
else
if amid < x then { cari di belahan kanan }
imid + 1
else { cari di belahan kiri }
jmid - 1;
endif
endif
endwhile
{ketemu or i > j }
if ketemu then
idxmid
else
idx0
endif
1. Kasus terbaik
Tmin(n) = 1
2. Kasus terburuk:
Tmax (n) = 2
log n

28. Contoh 5. Algoritma pengurutan seleksi (selection sort).
procedure Urut(input/output a1, a2, ..., an : integer)
Deklarasi
i, j, imaks, temp : integer
Algoritma
for in downto 2 do { pass sebanyak n – 1 kali }
imaks1
for j2 to i do
if aj > aimaks then
imaksj
endif
endfor
{ pertukarkan aimaks dengan ai }
tempai
aiaimaks
aimakstemp
endfor
Untuk setiap i dari 1 sampai n – 1, terjadi satu kali pertukaran elemen,
sehingga jumlah operasi pertukaran seluruhnya adalah T(n) = n – 1.

29. Kompleksitas O(1) berarti waktu pelaksanaan algoritma
adalah tetap, tidak bergantung pada ukuran masukan.
Contohnya prosedur tukar di bawah ini:
procedure tukar(var a:integer; var b:integer);
var
temp:integer;
begin
temp:=a;
a:=b;
b:=temp;
end;
Di sini jumlah operasi penugasan (assignment) ada tiga buah dan tiap
operasi dilakukan satu kali. Jadi, T(n) = 3 = O(1).

30. Kompleksitas Waktu Asimptotik
 Tinjau T(n) = 2n2
+ 6n + 1
Perbandingan pertumbuhan T(n) dengan n2
n T(n) = 2n2
+ 6n + 1 n2
10
100
1000
10.000
261
2061
2.006.001
2.000.060.001
100
1000
1.000.000
1.000.000.000
 Untuk n yang besar, pertumbuhan T(n) sebanding dengan n2
.
Pada kasus ini, T(n) tumbuh seperti n2
tumbuh.
 T(n) tumbuh seperti n2
tumbuh saat n bertambah. Kita
katakan bahwa T(n) berorde n2
dan kita tuliskan
T(n) = O(n2
)

31. Notasi “O” disebut notasi “O-Besar” (Big-O) yang merupakan
notasi kompleksitas waktu asimptotik.
DEFINISI. T(n) = O(f(n)) (dibaca “T(n) adalah O(f(n)” yang
artinya T(n) berorde paling besar f(n) ) bila terdapat konstanta C
dan n0 sedemikian sehingga
T(n)  C(f (n))
untuk n  n0.
f(n) adalah batas lebih atas (upper bound) dari T(n) untuk n yang
besar.

32. T(n)
Cf(n)
n0
n

33.  Teorema: Bila T(n) = am nm + am-1 nm-1 + ... + a1n+ a0 adalah
polinom derajat m maka T(n) = O(nm ).
 Jadi, cukup melihat suku (term) yang mempunyai
pangkat terbesar.
 Contoh:
T(n) = 5 = 5n0 = O(n0) = O(1)
T(n) = n(n – 1)/2 = n2/2 – n/2 = O(n2)
T(n) = 3n3 + 2n2 + 10 = O(n3)

34. Teorema tersebut digeneralisasi untuk suku dominan lainnya:
1. Eksponensial mendominasi sembarang perpangkatan (yaitu,
yn > np , y > 1)
2. Perpangkatan mendominasi ln n (yaitu n p > ln n)
3. Semua logaritma tumbuh pada laju yang sama (yaitu a log(n)
= b log(n)
4. n log n tumbuh lebih cepat daripada n tetapi lebih lambat
daripada n2
Contoh: T(n) = 2n + 2n2 = O(2n).
T(n) = 2n log(n) + 3n = O(n log(n))
T(n) = log(n3) = 3 log(n) = O(log(n))
T(n) = 2n log(n) + 3n2 = O(n2)

35. TEOREMA. Misalkan T1(n) = O(f(n)) dan T2(n) = O(g(n)), maka
(a) T1(n) + T2(n) = O(f(n)) + O(g(n)) = O(max(f(n), g(n))
(b) T1(n)T2(n) = O(f(n))O(g(n)) = O(f(n)g(n))
(c) O(cf(n)) = O(f(n)), c adalah konstanta
(d) f(n) = O(f(n))
Contoh 9. Misalkan T1(n) = O(n) dan T2(n) = O(n2
), maka
(a) T1(n) + T2(n) = O(max(n, n2
)) = O(n2
)
(b) T1(n)T2(n) = O(n.n2
) = O(n3
)
Contoh 10. O(5n2
) = O(n2
)
n2
= O(n2
)

36. Pengelompokan Algoritma Berdasarkan Notasi O-Besar
Kelompok Algoritma Nama
O(1)
O(log n)
O(n)
O(n log n)
O(n2
)
O(n3
)
O(2n
)
O(n!)
konstan
logaritmik
lanjar
n log n
kuadratik
kubik
eksponensial
faktorial
Urutan spektrum kompleksitas waktu algoritma adalah :
O(1)<O(log n)<O(n)<O(n log n)<O(n²)<O(n³)<O(2n
)<O(n!)

37. O(log n)Kompleksitas waktu logaritmik berarti laju pertumbuhan
waktunya berjalan lebih lambat daripada pertumbuhan n.
Algoritma yang termasuk kelompok ini adalah algoritma
yang memecahkan persoalan besar dengan
mentransformasikannya menjadi beberapa persoalan yang
lebih kecil yang berukuran sama (misalnya algoritma
pencarian_biner). Di sini basis algoritma tidak
terlalu penting sebab bila n dinaikkan dua kali semula,
misalnya, log n meningkat sebesar sejumlah tetapan.

38. O(n) Algoritma yang waktu pelaksanaannya lanjar (linear)
umumnya terdapat pada kasus yang setiap elemen
masukannya dikenai proses yang sama, misalnya
algoritma pencarian_beruntun. Bila n dijadikan
dua kali semula, maka waktu pelaksanaan algoritma juga
dua kali semula.

39. O(n log n) Waktu pelaksanaan yang n log n terdapat pada
algoritma yang memecahkan persoalan menjadi beberapa
persoalan yang lebih kecil, menyelesaikan tiap persoalan
secara independen, dan menggabung solusi masing-
masing persoalan. Algoritma yang diselesaikan dengan
teknik bagi dan gabung (divide and conquer) mempunyai
kompleksitas asimptotik jenis ini. Bila n = 1000, maka n
log n mungkin 20.000. Bila n dijadikan dua kali semual,
maka n log n menjadi dua kali semula (tetapi tidak terlalu
banyak)
Contoh: Mergesort, QuickSort

40. O(n2
) Algoritma yang waktu pelaksanaannya kuadratik hanya
praktis digunakan untuk persoalana yang berukuran kecil.
Umumnya algoritma yang termasuk kelompok ini
memproses setiap masukan dalam dua buah kalang
bersarang, misalnya pada algoritma urut_maks. Bila n =
1000, maka waktu pelaksanaan algoritma adalah
1.000.000. Bila n dinaikkan menjadi dua kali semula,
maka waktu pelaksanaan algoritma meningkat menjadi
empat kali semula.

41. O(n3
) Seperti halnya algoritma kuadratik, algoritma kubik
memproses setiap masukan dalam tiga buah kalang
bersarang, misalnya algoritma perkalian matriks. Bila n =
100, maka waktu pelaksanaan algoritma adalah 1.000.000.
Bila n dinaikkan menjadi dua kali semula, waktu
pelaksanan algoritma meningkat menjadi delapan kali
semula.

42. O(2n
) Algoritma yang tergolong kelompok ini mencari solusi
persoalan secara "brute force", misalnya pada algoritma
mencari sirkuit Hamilton (lihat Bab 9). Bila n = 20, waktu
pelaksanaan algoritma adalah 1.000.000. Bila n dijadikan
dua kali semula, waktu pelaksanaan menjadi kuadrat kali
semula!

43. O(n!) Seperti halnya pada algoritma eksponensial, algoritma
jenis ini memproses setiap masukan dan
menghubungkannya dengan n - 1 masukan lainnya,
misalnya algoritma Persoalan Pedagang Keliling
(Travelling Salesperson Problem - lihat bab 9). Bila n = 5,
maka waktu pelaksanaan algoritma adalah 120. Bila n
dijadikan dua kali semula, maka waktu pelaksanaan
algoritma menjadi faktorial dari 2n.

44. Nilai masing-masing fungsi untuk setiap bermacam-macam nilai n
log n n n log n n2
n3
2n
n!
0 1 0 1 1 2 1
1 2 2 4 8 4 2
2 4 8 16 64 16 24
3 9 24 64 512 256 362880
4 16 64 256 4096 65536 20922789888000
5 32 160 1024 32768 4294967296 (terlalu besar )

45. Kegunaan Notasi Big-Oh
 Notasi Big-Oh berguna untuk membandingkan beberapa
algoritma dari untuk masalah yang sama
 menentukan yang terbaik.
 Contoh: masalah pengurutan memiliki banyak algoritma
penyelesaian,
Selection sort, insertion sort  T(n) = O(n2)
Quicksort  T(n) = O(n log n)
Karena n log n < n2 untuk n yang besar, maka algoritma
quicksort lebih cepat (lebih baik, lebih mangkus) daripada
algoritma selection sort dan insertion sort.

46. Referensi
 Munir, R., 2005, Matematika Diskrit, Penerbit IF, Bandung
 A. Rosen, H Kenneth (2012). Discrete Mathematics and Its
Applications. Mc Graw Hill.
 Siang, J.J., 2002, Matematika Diskrit danAplikasinya pada
Ilmu Komputer