LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP - MÔ PHỎNG THẾ HỆ THỐNG NÓI ĐẤT.doc

DỊCH VỤ VIẾT THUÊ ĐỀ TÀI TRỌN GÓI ZALO / TEL: 0909.232.620
TỔNG LIÊN ĐOÀN LAO ĐỘNG VIỆT NAM
TRƯỜNG ĐẠI HỌC TÔN ĐỨC THẮNG
KHOA ĐIỆN - ĐIỆN TỬ BỘ MÔN HỆ
THỐNG ĐIỆN 
LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP
ĐỀ TÀI:
MÔ PHỎNG THẾ HỆ THỐNG NỐI ĐẤT
GVHD : ThS. HUỲNH VĂN VẠN
SVTH : NGUYỄN HOÀNG MINH
LỚP : 06DD1D
MSSV : 811175D
TP. Hồ Chí Minh , tháng 12 năm 2010

Để có thể đạt được những thành quả như ngày hôm nay,lời đầu tiên em xin gởi
đến Thầy Huỳnh Văn Vạn lời biết ơn chân thành. Trong thời gian em thực hiện và
hoàn thành đề tài, Thầy đã tận tình hướng dẫn, gợi ý và bổ sung kiến thức cho em
hoàn thành tốt Luận văn tốt nghiệp.
Em xin chân thành cảm ơn đến tất cả Quý Thầy Cô đã phụ trách giảng dạy,
truyền đạt cho chúng em những kiến thức về chuyên môn cũng như những kinh
nghiệm thực tiễn trong suốt quá trình chúng em học tập tại trường.
Khi thực hiện đề tài, em đã cố gắng phân tích, tổng hợp kiến thức mình đã học
và tham khảo một số tài liệu chuyên môn để nhằm đạt kết quả tốt nhất. Tuy
nhiên,trong thời gian hạn chế, không thể không có những thiếu sót, kính mong quý
thầy cô,bạn bè đóng góp những ý kiến để đề tài được hoàn thiện hơn.
Cuối cùng, em xin cảm ơn gia đình đã động viên và giúp đỡ em, và gửi lời biết
ơn đến các bạn đã đóng góp tài liệu trong suốt thời gian học và trong thời gian thực
hiện đề tài này.
TP.Hồ Chí Minh, tháng 10 năm 2010
Người thực hiện
Nguyễn Hoàng Minh

LỜI MỞ ĐẦU
Ngày nay với sự phát triển về khoa học kỹ thuật nhiều phần
mềm dã được áp dụng để tính toán và mô phỏng các hiện tượng trong
hệ thống điện.
Phần mềm em nghiên cứu và áp dụng cho luận văn này là phần
mềm matlab đây là phần mềm được áp dụng để mô phỏng rất nhiều
trong hệ thống.
Luận văn em làm dùng phần mềm matlab mô phỏng thế hệ thống
nối đất.
Do còn hạn chế về kiến thức cũng như thời gian thực hiện cho
nên luận văn không thể tránh khỏi những sai sót. Kính mong quí Thầy,
Cô đóng góp ý kiến .
TP.Hồ Chí Minh, tháng 10 năm 2010
Người thực hiện
Nguyễn Hoàng minh

MỤC LỤC
Trang bìa
Nhiệm vụ luận văn tốt nghiệp
Lịch trình luận văn tốt nghiệp
Lời cảm ơn
Lời mở đầu
Mục lục
Chương 1 : SƠ LƯỢC VỀ BÀI TOÁN PHÂN BỐ THẾ
1.1 Sơ lược về nối đất trong hệ thống điện.........................................................................1
1.1.1 Hệ thống nối đất........................................................................................................1
1.1.2 Các vấn đề về thiết kế hệ thống nối đất 2
1.2 Bài toán phân bố thế..............................................................................................................4
1.3 Ý nghĩa thực tiễn của đề tài................................................................................................5
Chương 2 : GIỚI THIỆU VỀ PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN (FEM)
2.1 Sơ lược về phương pháp phần tử hữu hạn................................................................6
2.2 FEM cho bài toán 1- D......................................................................................................8
2.2.1 Bài toán giá trị biên..............................................................................................8
2.2.2 Rời rạc hóa miền khỏa sát và hàm Shape................................................ 10
2.2.3 Hình thành hệ phương trình theo phương pháp Ritz.......................... 11
2.3.4 Một số ví dụ và kết quả................................................................................... 18
2.3 FEM cho bài toán 2 - D................................................................................................. 21
2.3.1 Bài toán giá trị biên........................................................................................... 21
2.3.2 Rời rạc hóa miền khỏa sát.............................................................................. 23

2.3.3 Hàm Shape............................................................................................................ 24
2.4 FEM cho bài toán 3 - D................................................................................................. 40
2.4.1 Bài toán giá trị biên........................................................................................... 40
2.4.2 Rời rạc hóa miền khỏa sát.............................................................................. 41
2.4.3 Hàm Shape............................................................................................................ 42
Chương 3 :KẾT QUẢ CHẠY MÔ PHỎNG......................................................................... 55
1 Mô hình bài toán nối đất.................................................................................................. 55
2 Mô phỏng phân bố thế của cọc, thanh dẫn nối đất,điện cực............................ 57
2.1 Một cọc nối đất....................................................................................................... 57
2.2 Nhiều cọc nối đất................................................................................................... 60
2.2.1 Hai cọc nối đất có độ dài như nhau................................................. 60
2.2.2 Hai cọc nối đất có độ dài khác nhau............................................... 64
2.2.3 Năm cọc nối đất có độ dài như nhau.............................................. 67
2.3 Thanh nối đất........................................................................................................... 70
2.4 Hệ thống gồm hai điện cực................................................................................ 73
2.5 Hệ thống gồm bốn điện cực.............................................................................. 76

LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP MÔ PHỎNG THẾ HỆ THỐNG NỐI ĐẤT
Chương 1
SƠ LƯỢC VỀ BÀI TOÁN PHÂN BỐ THẾ
1.1 SƠ LƯỢC VỀ NỐI ĐẤT TRONG HỆ THỐNG ĐIỆN
1.1.1 HỆ THỐNG NỐI ĐẤT
Hệ thống nối đất là một trong những phần tử chính của hệ thống điện, nó bảo đảm sự
hoạt động chính xác của thiết bị và hệ thống trong các điều kiện vận hành bình thường
và sự cố. Nó cũng có tác dụng bảo đảm an toàn cho con người khỏi bị điện giật bằng
cách giới hạn điện áp rò do sự cố chạm đất trong trạm và nhà máy điện. Nhiệm vụ của
một hệ thống nối đất là để tản vào đất dòng điện sự cố (rò cách điện, ngắn mạch, chạm
đất hoặc dòng điện sét) và giữ cho điện thế trên các phần tử được nối đất thấp. Theo
chức năng của nó, nối đất trong hệ thống điện được chia làm 3 loại.
Nối đất làm việc: có nhiệm vụ bảo đảm sự làm việc của trang thiết bị điện
trong các điều kiện bình thường và sự cố theo các chế độ qui định. Vd: nối đất
điểm trung tính các cuộn dây máy phát, máy biến áp công suất, máy bù; nối đất
máy biến áp đo lường, nối đất trong hệ thống pha – đất (đất được dùng như một
dây dẫn).
Nối đất an toàn: hay nối đất bảo vệ, có nhiệm vụ bảo đảm an toàn cho người
phục vụ khi cách điện của trang thiết bị điện bị hư hỏng gây rò điện. Vd: nối đất
vỏ máy phát, máy biến áp, vỏ thiết bị điện, vỏ cáp, nối đất các kết cấu kim loại
của trang thiết bị phân phối điện. Đó là nối đất các bộ phận kim loại, bình
thường có điện thế bằng không, nhưng khi cách điện bị hư hỏng sẽ có điện thế
khác không.
Nối đất an toàn là nối đất với mục đích ngăn ngừa sự nguy hiểm có thể đe dọa
đến tính mạng người vận hành. Kết cấu của thiết bị nối đất bao gồm các cực
SVTH:NGUYỄN HOÀNG MINH 1
MSSV:811175D

tiếp địa đóng sâu trong đất, các thanh nối các cực tiếp địa với nhau, dây dẫn nối
các hệ thống tiếp địa với vỏ kim loại của thiết bị.
Nối đất chống sét: nhằm tản dòng điện sét vào đất, giữ cho điện thế của các
phần tử được nối đất không quá cao để hạn chế phóng điện ngược từ các phần
tử đó đến các bộ phận mang điện và trang thiết bị điện khác. Vd: nối đất cột thu
sét, dây chống sét và các thiết bị chống sét, nối đất các kết cấu kim loại có thể
bị sét đánh.
Trong rất nhiều trường hợp, cùng một hệ thống nối đất đồng thời thực hiện hai hoặc ba
nhiệm vụ nói trên, đặc biệt là trên các hệ thống nối đất của các trạm biến áp cao áp
(≥110kV) trung gian hay trong các nhà máy điện.
1.1.2 CÁC VẤN ĐỀ VỀ THIẾT KẾ HỆ THỐNG NỐI ĐẤT
Các loại hệ thống nối đất thông thường được thực hiện bằng một hệ thống những cọc
thép (hoặc đồng) đóng vào đất hoặc những thanh ngang bằng cùng loại vật liệu chôn
trong đất, hoặc cọc và thanh nối liền nhau và nối liền với vật cần nối đất. Cọc thường
làm bằng thép ống hoặc thép thanh tròn không rỉ (hoặc mạ kẽm), đường kính 3-6cm,
dài 2-3m hoặc bằng thép góc 40mm×40mm, 50mm×50mm đóng thẳng đứng vào đất,
còn thanh ngang bằng thép thanh dẹt tiết diện (3-5)×(20-40)mm2
hoặc thép thanh tròn
đường kính 10-20mm. Cọc và thanh được gọi chung là cực nối đất, thường được chôn
sâu cách mặt đất 50-80cm để giảm bớt ảnh hưởng thời tiết không thuận lợi (quá khô về
mùa nắng hoặc băng giá về mùa đông) và tránh khả năng hư hỏng về cơ giới (do bị
đào bới, cày cuốc).
Dòng điện Id chạy qua các điện cực tản vào đất, tạo nên quanh nó trong đất quanh đất
một điện trường (điện trường trong môi trường dẫn điện). Mỗi điểm trong điện trường
đó kể cả trên mặt đất có một điện thế nhất định. Trên mặt đất những điểm cách xa điện
cực từ 20m trở lên có thể coi điện thế tại các điểm đó bằng không do cường độ điện
trường ở các khoảng cách đó thường không quá 1V/m. Điện thế của các cực nối đất
đối với các điểm có điện thế “không” , về trị số bằng điện áp giáng trên cực gọi là điện
áp trên cực Ud.
MSSV:811175D

Điện trở nối đất (Rd) được định nghĩa là tỷ số giữa điện áp trên cực Ud và dòng điện
qua nó Id:
Điện trở Rd gồm điện trở của bản thân điện cực và điện trở tản trong đất. Điện trở của
bản thân điện cực phụ thuộc vào vật liệu và kích thước của điện cực. Khi tản dòng một
chiều hoặc xoay chiều tần số 50Hz thì bản thân trị số điện trở của điện cực rất bé có
thể bỏ qua. Khi tản dòng điện xung có độ dốc lớn thì nó có thể có trị số đáng kể, cần
được xem xét. Điện trở tản trong đất có trị số lớn hơn nhiều và phụ thuộc vào nhiều
yếu tố như kích thước, hình dáng, số lượng, cách bố trí các điện cực phụ thuộc vào
dạng và trị số dòng điện, phụ thuộc tính chất, cấu tạo, trạng thái của đất và thời tiết.
Một số biện pháp để giảm điện trở nối đất:
Sử dụng các hoá chất dẫn điện đổ vào nơi nối đất như muối, than, xỉ kim loại,
dung dịch keo dẫn điện giúp giảm điện trở suất của đất. Nếu dùng muối phải
chú ý kiểm tra định kỳ thường xuyên sự ăn mòn của muối đối với cọc tiếp đất
bằng kim loại.
Tăng cường thêm các cọc nối đất dọc theo chu vi và bên trong luới.
Tăng cường thêm một số điểm nối đất và nối chúng lại với nhau.
Các điểm nối trên hệ thống nối đất là nơi ít được quan tâm nhưng ảnh hưởng rất
lớn đến điện trở của hệ thống nối đất. Cần dùng hàn điện hoặc mối hàn
Cadweld để đảm bảo điện trở tiếp xúc tại các mối hàn này không lớn hơn điện
trở của bản thân vật dẫn được hàn.
Thực hiện một hệ thống nối đất cụ thể cần được phân tích để đảm bảo các yêu cầu cả
về mặt kinh tế lẫn kỹ thuật. Như trên chúng ta thấy, việc khảo sát một hệ thống nối đất,
trong trường hợp vận hành bình thường và sự cố, trong trạm và nhà máy điện, từ đó
tính toán phân bố điện thế trên mặt đất, điện áp bước, điện áp tiếp xúc là vô cùng cần
thiết cho việc thiết kế bảo vệ an toàn cho con người và toàn hệ thống.
MSSV:811175D

1.2 BÀI TOÁN PHÂN BỐ THẾ
Tổng quát, bài toán phân bố thế của hệ thống nối đất được biểu diễn thông qua phương
trình vi phân từng phần Elliptic trên cơ sở của hệ phương trình Maxwell của trường
điện từ tương ứng với thế vô hướng.
2
(x, y, z) 2
(x, y, z) 2
(x, y, z)
g(x, y, z) (x, y, z) f (x, y, z) (1.1)
x 2
y 2
z 2
Thế vô hướng φ tại một điểm bất kì trong đất xung quanh hệ thống nối đất do dòng
điện sự cố tản vào đất qua hệ thống nối đất phải thỏa mãn phương trình Elliptic bậc 2
với các điều kiện biên được trình bày như sau :
. σ φ 0 trong miền Ω
φ φ0 trên miền Γ 1.2
0 trên miền Γe
 0 khi |x|,|y| ∞
MSSV:811175D

Ở đây, φ và [σ] là thế vô hướng và tensơ điện dẫn đất trong vùng đất Ω. Γ là điện cực
hay bề mặt các phần tử lưới, Γe là bề mặt đất.
Điện áp V(r, ,z) tại điểm có tọa độ (r, ,z) trong đất được xác định theo phương trình
Laplace:
2 1 2 1 2 1 2
V (r, , z) V (r, , z) V (r, , z)
(1.3)
V (r, , z) r r 0
r r
2
r
2 2
r z
2
Trong đó: r, , z xác định tọa độ điểm cần khảo sát trong hệ trục tọa độ. Do bài toán có
tính đối xứng nên kết quả sẽ độc lập với biến , vì thế V(r, ,z) = V(r,z)
Như vậy để xác định phân bố thế của hệ thống nối đất trên mặt đất do dòng điện sự cố
chạy vào hệ thống nối đất, chúng ta cần phải giải hệ phương trình (1.2) hay giải
phương trình Laplace của bài toán điều kiện biên.
1.3 Ý NGHĨA THỰC TIỄN CỦA ĐỀ TÀI
Dù thực tế là phương pháp phần tử hữu hạn đã được sử dụng rộng rãi trên thế giới từ
giữa thế kỷ XX, nhưng hiện nay phương pháp này vẫn còn tương đối xa lạ ở trong
nước. Điều này càng được thể hiện rõ hơn trong lĩnh vực trường điện từ nói chung và
trong hệ thống điện nói riêng.
Khi phân tích một hệ thống kỹ thuật, một mô hình toán học sẽ được sử dụng để mô tả
hệ thống. Khi tìm được mô hình, bản chất của hệ thống sẽ được biểu thị thông qua các
biểu thức toán học. Các biểu thức này thường bao gồm các phương trình vi phân cùng
các điều kiện cho trước. Cùng với sự phát triển mạnh mẽ của máy tính, rất nhiều
phương pháp số được phát triển và ứng dụng giải các hệ phương trình vi phân, từ đó
giải quyết được rất nhiều bài toán kỹ thuật và tìm ra lời giải xấp xỉ. Phương pháp phần
tử hữu hạn là một trong những phương pháp số rất mạnh và được sử dụng phổ biến
trên thế giới hiện nay. Một trong những điểm mạnh của phương pháp phần tử hữu hạn
chính là từ một chương trình chung có thể phát triển dễ dàng để giải rất nhiều loại bài
toán khác nhau.
MSSV:811175D

Luận văn này áp dụng phương pháp phần tử hữu hạn để khảo sát phân bố thế của một
vài hệ thống nối đất thông dụng. Khi sử dụng phần tử hữu hạn, rất nhiều lưới nối đất sẽ
được khảo sát chỉ với việc thay đổi thông số đơn giản mà không cần phải tác động
nhiều vào việc lập trình lại. Bên cạnh đó, thời gian tính toán của chương trình là nhanh
hơn nhiều so với việc sử dụng phương pháp sai phân hữu hạn hay nhiều phương pháp
số khác, do chỉ phải giải ma trận phần tử chứ không cần sử dụng vòng lặp.
Phương pháp phần tử hữu hạn khảo sát phân bố thế của hệ thống nối đất là một
phương pháp mới và hay để ứng dụng vào việc thiết kế tính toán các hệ thống nối đất,
giúp cho hệ thống điện được vận hành đảm bảo an toàn cho con người và thiết bị khi
có sự cố xảy ra.
MSSV:811175D

Chương 2
GIỚI THIỆU VỀ PHƯƠNG PHÁP
PHẦN TỬ HỮU HẠN (FEM)
2.1 SƠ LƯỢC VỀ PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN
Phương pháp phần tử hữu hạn (Finite Element Method - FEM) là một phương pháp số
nhằm tìm ra lời giải xấp xỉ cho các bài toán được mô tả bởi các phương trình vi phân
từng phần (Partial Differential Equation - PDE) cùng với các điều kiên biên cụ thể.
Phương pháp này lần đầu tiên được giới thiệu vào đầu những năm 1940 bởi Richard
Courant để giải quyết vấn đề toán học. Sau đó, FEM được phát triển và ứng dụng mở
rộng ra việc phân tích cấu trúc, rồi nhanh chóng được áp dụng giải quyết các bài toán
ở nhiều lĩnh vực khác nhau. Các bài toán về trường điện từ đã bắt đầu được giải dựa
trên phương pháp phần tử hữu hạn từ năm 1968. Ngày nay phương pháp phần tử
hữu hạn đã trở nên rất phổ biến và được ứng dụng rộng rãi trong việc giải quyết các
vấn đề về kỹ thuật và toán học.
Phần tử hữu hạn là một phương pháp số mạnh mẽ và linh hoạt để giải quyết các bài
toán liên quan đến các cấu trúc hình học phức tạp hay các môi trường không đồng
nhất. Cấu trúc rõ ràng và nghiêm ngặt của phương pháp giúp nó có thể dễ dàng
được lập trình trên máy tính áp dụng cho rất nhiều dạng bài toán khác nhau.
Ý tưởng cơ bản của phần tử hữu hạn là rời rạc hoá miền phức tạp Ω của bài toán thành
một số hữu hạn các miền con đơn giản hơn Ωe (được gọi là các phần tử). Các miền con
này được liên kết với nhau tại các điểm nút của phần tử. Phần tử hữu hạn không tìm
dạng xấp xỉ của hàm trên toàn miền xác định Ω của nó mà chỉ tìm trong những
miền con thuộc miền xác định của hàm. Các hàm xấp xỉ này được biểu diễn qua các
giá trị của hàm tại các điểm nút trên các phần tử. Các giá trị này chính là ẩn số cần
tìm của bài toán.
SVTH: NGUYỄN HOÀNG MINH 6
MSSV:811175D

Phương pháp phần tử hữu hạn được mô tả qua 4 bước cơ bản sau:
• Rời rạc hoá miền cần khảo sát thành số lượng hữu hạn các miền con (phần tử)
• Lập các phương trình nội suy cho một phần tử đặc trưng
• Thành lập hệ phương trình
• Giải hệ phương trình nhận được
Hình 2.1: (a) miền khảo sát trưóc khi rời rạc hóa
(b) miền khảo sát sau khi ròi rạc hóa
Hình 2.2: Các phần tử hữu hạn cơ bản
(a) phần tử 1D, (b) phần tử 2D, (c) phần tử 3
MSSV:811175D

2.2 FEM CHO BÀI TOÁN 1-D
2.2.1 BÀI TOÁN GIÁ TRỊ BIÊN
Bài toán giá trị biên xem xét ở đây được xác định bởi phương trình vi phân:
d d
f x (0, L) (2.1)
dx dx
là hàm cần tìm, α và β là các thông số vật lý đã biết của miền khảo sát, f là hàm
nguồn hay hàm kích thích. Các phương trình Laplace, Poisson là dạng đặc
biệt của phương trình (2.1).
Chúng ta giả sử điều kiện biên của được cho bởi:
0 x 0 p Điều kiện biên DIRICHET (bắt buộc) (2.2)
d q
Điều kiện biên loại ba
Và (2.3)
dx x L
với p, γ, q là các thông số hoặc hàm đã biết. Ở trên, phưong trình (2.2) được xem là
điều kiện biên loại một hay điều kiện Dirichlet, còn phương trình (2.3) là
điều kiện biên loại ba. Điều kiện biên loại hai hay điều kiện Neumann là
dạng đặc biệt của (2.3) với γ=0. Chúng ta sử dụng hai điều kiện biên khác
nhau tại hai đầu miền khảo sát để biểu diễn cách xử lý khác nhau và giữ
được tính tổng quát của bài toán.
Nếu α không liên tục hay đứt quãng tại một điểm nào đó trong miền khảo sát, ví dụ
tại xd (0 < xd < L), thì hàm phải thỏa mãn tính liên tục:
x x 0 x x (2.4)
d d 0
MSSV:811175D

d d
Và (2.5)
dx dx
x x 0 x x 0
d d
với x = xd + 0 thể hiện x tiến tới xd từ phía bên phải và x = xd - 0 thể hiện x tiến tới
xd từ phía bên trái.
Với bài toán được xác định ở trên, lời giải có thể đạt được bằng cách giải tìm các
biến số tương đương được xác định bởi:
(2.6)
(2.7)
Để chứng minh (2.6) t ương đương với giải bài toán điều kiện biên trong (2.1)-(2.3),
Trước tiên đạo hàm F theo .
L d d L
F ( ) dx ( q) x L f . .dx (2.8)
dx
0 dx 0
Giả sử lúc này liên tục trên miền khảo sát,(2.8) có thể được viết lại:
F ( ) L
dx
d d
dxdx
d
dx x L
0x 0
(2.9)
L
( q) x L f . .dx
0
Bằng cách tích phân từng phần số hạng đầu tiên bên phía phải:
Vì có giá trị cố định tại x=0, x 0 0 ,chúng ta có:
d d
F ( )
dx dx
dx
0
L
MSSV:811175D

d L
f . .dx
q (2.10)
dx x L 0
Gán điều kiện tĩnh F 0,chúng ta được:
L d d d
f dx q 0 (2.11)
dx
0 dx dx x L
Vì thay đổi nên ở (2.11),cả số hạng tích phân và số hạng điều kiện biên phải triệt tiêu
Chúng ta được:
d d
f 0 (phương trình Euler của F( ) (2.12)
dx dx
d
q 0 (Điều kiện biên tự nhiên ) (2.13)
dx
So sánh (2.12) và (2.13) vớ i (2.1) và (2.3)chúng ta có kết luận (2.6) cũng chính là lời giải
cho bài toán điều kiện biên xác định bởi (2.1) đến (2.3).Ph ương trình (2.12) được gọi là
phương trình Euler của hàm F( ) cho bởi (2.7).Điều kiện (2.13) được gọi là điều kiện biên
tự nhiên.Mặt khác,điều kiện biên Dirichlet (2.2) là điều kiện biên bắt buộc
2.2.2 RỜI RẠC HÓA MIỀN KHẢO SÁT VÀ HÀM SHAPE
Với phương pháp phần tử hữu hạn,bước đầ u tiên là chia nhỏ miền khả o sát(0, L)
thành nhiều miền con nhỏ, trong trường hợp này sẽ là những đoạn thẳng ngắn. Gọi
le
(e = 1, 2, 3, …, M) biểu thị chiều dài của phần tử (Element) thứ e và M là tổng số
phần tử. Gọi xi (i = 1, 2, 3, … , N) biểu thị vị trí của nút (Node) thứ i với x1 = 0 và
xN = L. Cả phần tử và nút đều được đánh số theo thứ tự từ trái qua phải như hình
2.3. Bên cạnh việc đánh số toàn cục (global numbering), chúng ta còn phải đánh số
bên trong phần tử (local numbering) với qui tắc như sau: chỉ số trên biểu th ị đó là
phần tử thứ mấy, và chỉ số dưới biểu thị đó là nút thứ mấy bên trong phần tử.
Hình 2.3:miền 1D được chia thành nhiều phần tử nhỏ
(a) phần tử và các chỉ số toàn cục (b) 1 phần tử với chỉ số cục bộ
MSSV:811175D

Với cách đánh số này,chỉ số toàn cục và cục bộ có liên quan với nhau như sau:
xe
x và xe
x ( 2.14 )
1 e 2 e 1
Bước thứ hai chúng ta lựa chọn hàm nội suy hay còn gọi là hàm dáng (shape
function), để đơn giản chúng ta sử dụng hàm tuyến tính. . Như vậy, bên trong phần
tử thứ e, φ (x)có thể xấp xỉ bởi: e
a e
b e
x (2.15)
Vớ i ae vàbe là các hằng số cần được xác định.với phần tử 1-D, chỉ có hai nút liên kết
với một phần tử , một nút tại x1
e
và nút kia tại x2
e
.thay vào (2.15) chúng ta được:
e
(x) a e
b e
xe
1 1
e
(x) a e
b e
xe
2 2
Với e và e
lần lượt biểu thị giá trị của xe và xe .Sau đó tìm giải ae và be rồi thế
1 2 1 2
trở lại vào phương trình (2.15), chúng ta được
2
e
( x) N e
j ( x). j
e
(2.16)
j 1
Với Ne và Ne
là hàm shape của phần tử tại hai nút đầu cuối
1 2
N 1
e
( x)
x2
e
x
và N e
(x)x x1
e
(2.17)
le
2 le
Với l e
x e
xe
.Rõ ràng chúng ta thấy N e
( xe
)
ij
với ij
=1 khi i=j và ij 0 khi
2 1 j i
i j
Hình 2.4: hàm dáng (shape function) của phần tử 1D
2.2.3 HÌNH THÀNH HỆ PHƯƠNG TRÌNH THEO PHƯƠNG PHÁP
RITZ A. Phép đạo hàm các phương trình phần tử:
Để đơn giản, lúc này chúng ta giới hạn điều kiện biên (2.3) thành điều kiện
Neumann đồng nhất (γ = q = 0). Chúng ta sẽ quay lại điều kiện biên tổng quát sau.
Do đó (2.1) có thể được viết lại thành :
MSSV:811175D

M
F( ) Fe
( e
) (2.18)
e 1
1
x2
e e
2
x2
e
Fe
( e
) d ( e
)2
dx e
f .dx
dx
Với 2 e e (2.19)
x1 x1
Thay (2.8) vào phương trình trên rồi lấy đạo hàm Fe theo ie
Fe
2
x
2
e
dNe
dNe
j x2
e
e i
N e
N e
dx N e
f .dx
e j
dx dx
i j i
i j 1 xZ
e
xZ
e
Chúng ta có thể viết dưới dạng ma trận như sau:
Fe
K
e
e e
e
b
1 2
ở đây
e e
,
e
T
và
x2
e dNe
dNe
j
Ke i
N e
N e
dx
ij
dx dx
i j
xZ
e
xe
2
bi
e
N i
e
fdx
x1
e
chúng ta được:
(2.20)
(2.21)
(2.22)
(2.23)
Chúng ta chú ý rằng K đối xứng, và nếu , là những hằng số hay có thể xấp
e
xỉ hằng số bên trong mỗi phần tử, thì mỗi phần tử giải được như sau:
K e
Ke e
le
(2.24)
le
11 22 3
K e
Ke e e le
(2.25)
le
12 21 6
b e
b e
f e le
(2.26)
1 2
2
B. Kết hợp các ma trận phần tử:
Với phương trình phần tử (2.21), hệ phương trình toàn cục nhận được bằng cách kết
hợp tất cả các phương trình phần tử lại như sau:
F M
F e M
e e
e
e
e 1
K b 0 (2.27)
e 1
Để dễ hiểu ,xét một ví dụ với ba phần tử và bốn nút như trên hình 2.5
MSSV:811175D

Hình 2.5: ví dụ quá trình kết hợp ma trận
Chúng ta có ma trận K và cho phần tử đầu tiên
e e
K 1
K 1
0 0 1
11 12 1
K1
1 1
0 0 1
1
(2.28)
K
21
K
22 2
0 0 0 0 0
0 0 0
0
0
Tích của chúng trở thành:
K1.1 K1.1
11 1 12 2
K1 1 K21
1
. 1
1
K22
1
. 2
1
(2.29)
0
0
Tương tự chúng ta được:
0
2
2 2 2 2
K 2 K11 . 1 K12 . 2
(2.30)
2 2 2 2
K 21 . 1 K22 . 2
0
Và
0
0
K 3 3
(2.31)
3 3 3 3
K
11 . 1 K12 . 2
K3 .3 K3 .3
21 1 22 2
MSSV:811175D

Khi cộng ba tích lại với nhau,chúng ta có:
K11
1
. 1
1
K12
1
. 2
1
3 K22
1
. 2
1
K11
2
. 1
2
K e e K21
1
. 1
1
K12
2
. 2
2
(2.32)
2 2 2 2 3 3 3 3
e 1 K 21 . 1 K 22 . 2 K11 . 1 K12 . 2
K21
3
. 1
3
K22
3
. 2
3
Theo mối quan hệ giữ a việc đánh số nút toàn cục và cục bộ trên mỗi ph ần tử
thì 1
1
1 , 2
1
1
2
2 , 2
2
1
3
3 , 2
3
4 .Thay các giá trị nàu vào (2.32) Chúng ta có thể
viết lại như sau:
K1 K1 0 0
11 12
3 e
1 1 2 2
0
1
K e K 21
K
22 K11
K
12 2
(2.33)
2 2 3 3
0
e 1
K
21
K
22 K11
K
12 3
0 0
3 3
K
21
K
22
4
Tương tự chúng ta thành lập được vector be
b1
1
3 b1 b 2
be 2
2
1
1 (2.34)
e 1 b2 b1
b23
Bây giờ nếu chúng ta đặt:
MSSV:811175D

K1 K1 0 0
11 12
K2 0
K
K1 K1 K2
21
22
2 11 2 12 3 3
0 K
21
K
22 K11
K
12
0 0
3 3
K
21
K
22
b1
1
1 1 2
2
b
b2 b1
Và 3 , b2 b1
2 1
3
4 b2
Thì hệ phương trình cho ở (2.27) được viết gọn lại như sau:
K b
(2.35)
(2.36)
(2.37)
Chúng ta dễ thấy K là ma trận ba đường chéo và nó vẫn như thế khi miền khảo
sát có nhiều hơn ba phần tử.Các phần tử khác không của K có thể được viết gọn
lại rõ ràng như sau:
K K1 1 1
l1
(2.38)
11 11
l1 3
KNN K22
M M
M
lM
(2.39)
lM 3
K Ki 1 Ki i 1
i 1
li 1 i i
li
(2.40)
l i 1 l i
ij 22 11
3 3
K K K i i i
li
(2.41)
i 1, i i , i 1
l i
12
6
Tương tự như các ma trận b
b b1 f1 l1
(2.42)
1 1
2
MSSV:811175D

b bM fM lM
(1.43)
N 2
2
b bi 1 bi fi 1 li 1
fi li
(1.44)
i 2 1 2 2
Với i=2,3,4,……….,N-1
Chú ý rằng các ma trận hệ số phần tử trùng lặp lên nhau tại các nút chung của nhiều
phần tử .Từ trên chúng ta nhận thấy các đặ tính của ma trận K
(1) K có tính đối xứng K ij K ji
(2) K lá ma trận thưa , do Kij =0 khi giữa nút I và nút j không cùng thuộc
một phần tử
(3) K là ma trận suy biến
C. Kết hợp điều kiện biên loại ba:
Xét dạng tổng quát của đ iều kiện biên loại ba được cho trong (2.3), dựa vào ph
ương trình (2.7), chúng ta phải đưa thêm một số hạng vào hàm F trong phương
trình (2.18):
2
Fb q (2.45)
2 x L
Vớ i chỉ số b thể hiện điều kiện biên, trong trường hợp này là biên cuối, chúng ta
có thể viết lại (2.45) như sau:
F 2
q
N N
b
2 x L
Nhận thấy rằng Fb chỉ chứa N , chúng ta được
F
b q
N N
Như vậy ma trận K và b cần được điều chỉnh lại:
KNN
M
M
lM
lM 3
(2.46)
(2.47)
(2.48)
MSSV:811175D

b fM lM
q
N
2
D. Kết hợp điều kiện biên Dirichlet:
Điều kiện biên Dirichlet được áp đặt tại
thay thế phương trình đầu tiên F / 1 0
(2.49)
x=0: x 0 p , đơn giản bằng cách
bằng 1 p , hoặc bằng cách đặt:
K11 1, b1 p , K1 j 0 j=2,3,4,….,N (2.50)
Như vậy hệ phương trình mới của ví dụ trên trở thành:
1 0 0 0 p
K
21
K
22
K
23
K
24
1
2 b2
(2.51)
K
32
K
33
K
34
K 31 3
b
3
K K K K
41 42 43 44
b
4 4
Hệ phương trình mới không còn tính đối xứng, đây là điều không mong đợi vì tính
đối xứng rất quan trọng để tận dụng giảm thiểu bộ nhớ trong quá trình tính toán
cũng như giảm th ời gian x ử lý nhanh chóng có kết quả. Để khôi phục lại tính đối
xứng, hệ phương trình trên cần được xử lý:
1 0
0 K22
0 K32
0 K42
Tương đương với việc đặt
0 0
K
23
K
24
1
2
K
33
K
34 3
K K
43 44 4
b
i
b
i
K
i1. p
p
b2 K21 p
b K p
31
3
b K
41
p
4
, Ki1 0 , i=2,3,4,…,N
(2.52)
(2.53)
Như đã thấy, tính đối xứng đã được khôi phục trong (2.52) mà không ảnh hưởng
đến lời giải bài toán.Hệ phương trình được viết lại thành:
MSSV:811175D

K 22
K 32
K
42
K
23
K
24
2
K 32
K 34 3
K
43
K
44
4
b2 K 21 p
b3 K 31 p (2.54)
b4 K 41 p
Điều này có nghĩa có thể xử lý với một hệ phưong trình nhỏ hơn cho cùng
một bài toán. Thuận lợi này có thể không được chú ý lắm trong trường hợp
bài toán 1-D vì chỉ giảm bớt được hai phương trình (tương ứng với hai
điểm cuối), nhưng sẽ rất có ý nghĩa khi áp dụng cho bài toán 2-D và 3-D,
khi rất nhiều phương trình được bỏ bớt làm giảm đáng kể khối lượng tính
toán.
.2.2.4 MỘT SỐ VÍ DỤ TÍNH TOÁN VÀ KẾT QUẢ
1-Phương trình vi phân: d 2
u 2u 2 2x2
1 x 2 (2.55)
dx2
Với các thông số : 1, 2, f (x ) 2 2x2
(2.56)
Điều kiện biên dirichlet: u(-1)=1 (2.57)
Điều kiện biên loại ba: du 3u q (2.58)
dx
3;q 16 tại x=2 (2.59)
Lời giải giải tích: u x2
(2.60)
Kết quả giải tích và FEM trên Matlab
MSSV:811175D

Hình 2.6:Kết quả giải tích và FEM của ví dụ 1
Đánh giá sai số: E2 error: 6.653599e-003
Einf error: 1.828870e-003
2- Phương trình poissin
d du
f (x) 2 x 2 (2.61)
dx dx
Với các thông số 1, 0, f (x ) 6x (2.62)
Điều kiện biên dirichlet: u(-2)=-2, u(2)=2 (2.63)
Điều kiện biên loại ba: 0;q 0 (hông dùng) (2.64)
Lời giải giải tích: u x 3
3x (2.65)
K ết quả giải tích và FEM trên Matlab
MSSV:811175D

Hình 2.7: Kết quả giải tích và FEM của ví dụ 2
2- Phương trình poissin
d du
f (x) 0 x 1 (2.66)
dx dx
Với các thông số 1, 0, f (x ) 4 x.e x
x.(1 x ).ex
(2.67)
Điều kiện biên dirichlet: u(0)=0, u(1)=2 (2.68)
Điều kiện biên loại ba: 0;q 0 (hông dùng) (2.69)
Lời giải giải tích: u x.(1 x ).ex
(2.70)
K ết quả giải tích và FEM trên Matlab
MSSV:811175D

Hình 2.8: Kết quả giải tích và FEM của ví dụ 3
Bài toán giá trị biên xem xét ở đây được xác định bởi phương trình vi phân
x y f x , y (2.71)
x x y y
Với là hàm cần tìm ; x , y và là các thông số đã biết tương ứng với các thuộc
tính vật lý của miền khảo sát; và f là hàm nguồn hay hàm kích thích.Các phương
trình Laplace,Poisson 2-D là dạng đặc biệt của phương trình (2.71). Điều kiện
biên được cho bởi
p on T1 (2.72)
MSSV:811175D

Và on (2.73)
x xy y .nq T2
x y
Với T T1 T2 biểu thị đường bao hay biên của mặt , n là vector pháp tuyến đơn
vị, và , p và q là những thông số đã biết tương ứng với các thuộc tính vật lý ở
biên,có thể được xem như là ngườn kích thích ở biên. Trường hợp đặc biệt,p và q có
thể được xem như nguồ n kích thích ở biên. Dễ thấy điều kiện biên Neumann là một
trường hợp đặc biệt của (2.73) với 0
Phép biến phân tương đương với bài toán giá trị biên ở trên được cho bởi:
(2.74)
F
1 2 2
2
2 x y
x y d
2
q dT f . .d
2
T
2
Việc chứng minh là hoàn toàn tương tự như bài toán 1-D
F x y f .d
x x y y
x x y y .nq .dT 0
x y
T2
Do các tích phân mặt và tích phân đường bị triệt tiêu nen chúng ta được
x y f 0
x x y y
(2.75)
(2.76)
(2.77)
MSSV:811175D

on T2 (2.78)
x xy y .n q 0
x y
Các phương trình (2.77) và (2.78) là hoàn toàn tương tự với (2.71) và (2.73). Trong
bài toán này (2.72) là đ iều kiện biên tất yếu phải được thiết lập rõ ràng, và (2.73)
là điều kiện biên tự nhiên được thõa mãn tự động.
2.3.2 RỜI RẠC HÓA MIỀN KHẢO SÁT
Như dã biết,bước đầu tiên củ a việc phân tích phần tử hữu hạn là chia nhỏ miền khảo
sát ra nhiều phần tử nhỏ, với miền 2-D thì sẽ được chia thành các phần tử tam giác
.Yêu cầu cơ bản của việc chia phần tử là các phần tử không được chồng lập lên
nhau cũng như không được có khoảng cách giữa các phần tử. Không có cạnh hoặc
đỉnh của phần tử nào được nằm trong một phần tử khác .Việc rờ i rạc hóa miền kh
ảo sát tốt phải thõa mãn hai yêu cầu sau. Thứ nhất .tránh tạo ra các phần tử tam giác
hẹp ,hay có góc quá nhỏ ,điều này sẽ làm tăng sai số của lời giải ,tố t nhất là cho lời
giải là các tam giác gần như đều . Thứ hai ,phần tử càng nhỏ thì lờ i giải càng chính
xác .Tuy nhiên với phần tử quá nhỏ dẫn đến số lượng phần tử lớn, sẽ làm tăng thời
gian tính toán (vấn đề này sẽ được giải quyết bằng việc chia lưới thích nghi sau).
Do kích thước phần tử cần phải được giữ hợp lý để có được lời giải với sai số cho
phép.
Để quản lý các phần tử và nút , chúng ta cũng cần có một hệ thóng đánh số toàn cục
và cục bộ như đã trình bày ở phần 1-D
MSSV:811175D

Hình 2.9: Quản lý nút ,phần tử
2.3.3 HÀM SHAPE
Sau khi đã rời rạc hóa miền khaỏ sát , chúng ta cần tìm hàm bên trong mỗi phần
tử.Nếu sử dụng phần tử ram giác, hàm có thể được xấp xỉ bằng
e
a e
b e
x c e
y (2.79)
Với ae ,be và ce là các hằng số cần xác định, e là số thứ tự phần tử.Nếu đặt (2.79)
tại ba đỉnh của phần tử chúng ta được
MSSV:811175D

1
e
a e
b e
x1 c e
y1
2
e
a e
b e
x2 c e
y2
3
e
a e
b e
x3 c e
y3
Hình 2.10: phần tử tam giác
Và thế ngược trở lại vào (2.79) chúng ta thu được :
3
e
x , y N e
j x , y . e
j
j 1
Với Ne là hàm nội suy hay hàm dáng (shape function) của phần tử :
N e
j x , y
1
a e
j b e
j x c e
j y j=1,2,3
e
2
a e
x e
y e
y e
xe
; b e
y e
ye
; c e
x e
xe
1 2 3 2 3 1 2 3 1 3 2
Với a e
x e
y e
y e
xe
; b e
y e
ye
; c e
x e
xe
2 3 1 3 1 2 3 1 2 1 2
a e
x e
y e
y e
xe
; b e
y e
ye
; c e
x e
xe
3 1 2 1 2 3 1 2 3 2 1
1 x e
ye
Và 1
1 1
1
b1
e
c2
e
b2
e
c1
e
e
1 x2
e
y 2
e
2 1 x e
ye 2
3 3
e = diện tích của phần tử thứ e
Dễ dàng thấy được hàm dáng của phần tử có tính chất như sau
(2.80)
(2.81)
MSSV:811175D

N i
e
x e
j , ye
j
1 i j
(2.82)
ij
i j
0
Hình 2.11: hàm dáng (shape function) của phần tử tam giác
2.3.4 HÌNH THÀNH HỆ PHƯƠNG TRÌNH THEO PHƯƠNG PHÁP
RITZ A. Phép đạo hàm các phương trình phần tử:
Để đơn giản, lúc này chúng ta giới hạn điều kiện biên (2.3) thành điều kiện
Neumann đồng nhất (γ = q = 0). Là trường hợp đặc biệt của (2.73). Do đó (2.71) có
thể được viết lại thành:
M
FFe e (2.83)
e 1
1 d e
2
e
2
2
Với F e e
x y
d e
df . e
d (2.84)
dx
2 e dy e
Thay (1.64) vào phương trình trên rồi lấy đạo hàm Fe theo e chúng ta được :
i
Fe
3 N e
N e
j Ne
Ne
j
e
i i
N e
N e
d
e x y
j
x x y y
i j
i j 1
e
f .N i
e
d i=1,2,3 (2.85)
e
Chúng ta có the viết dưới dạng ma trận như sau:
Fe
e e e
(1.86)
e
K b
MSSV:811175D

ở đây ,
F e
F e
F e
Fe
T
, ,
e e e e
1 2 3
các phần tử của ma trận K và b
e e
;
e
e
, 2
e
, 3
e
T
(1.87)
1
được xác định bởi
N e
N e
j Ne
Ne
j
ij x y i j
i,j=1,2,3 (2.88)
K
e i i
N
e
N
e
dxdy
x x y y
e
bi
e
f .N i
e
.dx.dy i=1,2,3 (2.89)
e
Dễ thấy rằng K đối xứng. Giả sử các hệ số x , y , và hàm f là hằng số bên
e
trong mỗi phần tử,chúng ta tìm được :
K ij
e
1
a x
e
bi
e
b e
j a e
y ci
e
ce
j
e
e
1 ij (2.90)
4e
12
be
e
fe (2.91)
i
3
Mặt khác, nếu αx, αy, β và hàm f không là hằng số trong mỗi phần tử,
chúng ta vẫn có thể sử dụng kết quả trên với giá trị trung bình trong mỗi
phần tử. Cách này chỉ dùng khi phần tử nhỏ để kết quả đủ độ chính xác.
Kết hợp các phương trình phần tử (2.86) cho tất cả các phần tử trong miền khảo sát
để tìm ra hệ phương trình
F MF e M
e e e
e
K b 0 (2.92)
e 1 e 1
Hệ phương trình cho ở (2.92) được viết gọn lại như sau:
Kb (2.93)
Để minh họa quá trình kết hợp, chúng ta sử dụng ví dụ ở hình 2.5 với miền khảo sát
MSSV:811175D

gồ m 6 nút và 4 phần tử. Bắt đầu với ma trận [K] 6x6, chúng ta cộng [K(1)
] vào [K]
tại các vị trí phần tử thích hợp. Xét
K
11
(1)
dựa vào bảng 2.1 chúng ta tìm được
n(1,1) = 2, tức là nút cục bộ đầu tiên của phần tử thứ nhất là nút toàn cục thứ hai.
Do K11
(1)
chỉ tương tác với chính nó nên chúng ta cộng vào K22. Tiếp tục chúng ta
xem xét
K
12
(1)
, lại dựa vào bảng 2.1 chúng ta có n(2,1)=4, chúng ta cộng
K
12
(1)
vào
K
24 . Qui tắc chung của quá trình này là cộng
K
ij
e
vào Kn(i,e),n(j,e).
Theo cách này, sau khi cộng chín phần tử của [K(1)
] vào [K], chúng ta được
K33
1
K31
1
0 K32
1
0 0
K1 0 K1
K1 0 0
13 11 12
K 0 0 0 0 0
0
(2.94)
K1 K1 0 K1 0 0
23 21 22
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
Tương tự chúng ta cộng K 2
vào K ,
K1 K1 0 K 1 0 0
33 31 32
K1 K1 K2 0 K1 K 2 K2 0
13 11 33 12 32 31
K 0 0 0 0 0
0
(2.95)
K1 K1 K2 0 K1 K 2 K2 0
23 21 23 22 22 21
0 K13
2
0 K12
2
K11
2
0
0 0 0 0 0 0
Tiếp tục cộng K3 và K 4
vào K , chúng ta được ma trận K hoàn chỉnh
K1 K1 0 K1 0 0
33 31 32
K1 K1 K2 K3 K3 K1 K 2 K2 K3 0
13 11 33 33 31 12 32 31 32
K 0 K13
3
2
K11
3
1
0
4
K12
3
4
0 (2.96)
1 1
0
2 2 4
K
23
K
21 K 23
K
22
K
22 K 33
K
21 K 31
K
32
0 K2 K3 K3 K2 K4 K2 K3 K 4 K4
13 23 21 12 13 11 22 11 12
0 0 0
4 4 4
K
23
K
21
K
22
Theo các bước tương tự,ma trận b
e
có được bằng cách cộng mỗi bi
vào b
n ( i , e)
.
MSSV:811175D

b3
(1)
b(1) b(2) b(3)
1 3 3
b(3) (2.97)
b b(1) b(2) b(4)
1
2 2 3
b (2) b (3) b (4)
1
2 1
b(4)
2
Hệ trên giả sử rằng thoả mãn điều kiện Neumann đồng nhất trên Γ2. Chúng
ta xem xét trường hợp tổng quát với các giá trị của γ và q trong (2.73).
Theo (2.75), chúng ta phải thêm vào (2.83) một số hạng được cho bởi
2
(2.98)
F q dT
b
T 2
Giả sử Γ2 bao gồm Ms cạnh phần tử hay đoạn thẳng, (2.98) được viết lại:
Ms
Fb Fb
s s
s1
Với Fbs biểu thị tích phân trên đoạn s. Tương tự trường hợp 1-D, hàm
đoạn được tính bằng :
2
s
N s
j j
s
j 1
(2.99)
trên mỗi
(2.100)
Với N s
1 ; N s
(2.101)
1 2
Gọi ls
là chiều dài đoạn s, các phần tử của ma trận [Ks
] và [bs
] được xác định
K ij
s 1
N i
s
N s
j l s
d i,j=1,2 (2.102)
0
bi
s 1
qN i
s
l s
d i=1,2 (2.103)
Nếu γ và q là hằng số trên0 mỗi đoạn và biểu thị tương ứng bởi γs
và qs
thì (2.103)
MSSV:811175D

được tính như sau:
K ij
s s
ls
1 ij (2.104)
6
b s
qs ls
(2.105)
i
2
Giả sử Γ2 bao gồm các đoạn thẳng xác định bởi nút 6, 4, 1, 2 và 3 thì chúng ta lập
bảng sau:
Từ bảng trên K Hình 2.12: bảng quản lý nút,phần tử ở biên vào
K
ns(i,s),ns( j,s)
được đưa vào K bằng cách cộng mỗi Kij
s s
.Và tương tự bs được đưa vào b bằng cách cộng bi
s
vào bns ( i , s)
Trước khi giải hệ phương trình, điều kiện biên Dirichlet được áp đặt tại biên Γ1.
Giả sử các nút 3, 5, 6 thu ộc biên Γ1 và có các giá trị cho trước tương ứng là p3, p5,
và p6. Để đặt điều kiện 3 = p3, chúng ta đơn giản đặt:
K33 = 1, b3 = p3, K3j = 0 j=1, 2, 4, 5, 6 (2.106)
Việc này đã làm mất tính đối xứng củ a ma tr ận [K]. Để khôi phục lại tính chất
quan trọng này, chúng ta điều chỉnh cột thứ ba của [K] và vector {b}
bi bi Ki 3 P3 Ki3 0 với i=1,2,3,4,5,6 (2.107)
Tương tự, chúng ta thiết lập điều kiện tại φ 5 = p5 và φ 6 = p6. Ma trận [K] trở thành
MSSV:811175D

K K 0 K 0 0
11 12 14
K
21
K
22 0
K
24 0 0
0 0 1 0 0 (2.108)
K 0
K
41
K
41 0 K
44 0 0
0 0 0 0 1 0
0 0 0 0 0 1
b K K
15P5
K
1
13P3 16P6
b
2
K
23 P 3
K
25 P 5
K
26 P6
Và vector b b
P
3
(2.109)
K
43P3
K
45P5
b
4
K
46P6
P
5
P
6
Khi chúng ta bỏ đi ph ương trình thứ ba, năm và sáu thì lời giải của hệ vẫn
không thay đổi,khi đó hệ trở thành
K K
11 12
K
21
K
22
K
32
K
31
K14 1
K24 2 K
34 3
b1
b2
b4
K K K
13P3 15P5 16P6
(2.110)
K
23P3
K
25P5
K
26P6
K
43P3
K
45P5
K
46P6
Kết quả là chúng ta có được lời giải với một hệ thống phương trình nhỏ hơn, điều
này đặc biệt quan trọng với bài toán có rất nhiều ẩn.
2.3.5 MỘT SỐ VÍ DỤ TÍNH TOÁN VÀ KẾT QUẢ
x y f
1- Phương trình
x x y y
2 x 5; 2 y 2;
Với các thông số αx = 1, αy = 1, β=2,
f(x) = 2x2
+ 2y2
-4
(2.111)
(2.112)
(2.113)
(2.114)
MSSV:811175D

Điều kiện biên Dirichlet: u(x = -2) = y2
+ 4, u(x = 5) = y2
+ 25 (2.115)
u(y = -2) = x2
+ 4, u(y = 2) = x2
+ 4 (2.116)
Lời giải giải tích: u=x2
+ y2
(2.117)
Hình 2.13: kết quả giải tích của ví dụ 1
MSSV:811175D

Hình 2.14: kết quả FEM của ví dụ 1 – 200 phần tử
MSSV:811175D

Hình 2.15: kết quả FEM của ví dụ 1 – 5600 phần tử
2- Phương trình Poisson
f (x , y)
x y
y
x x y
0 x, y 1
Với các thông số αx = 1, αy = 1, β = 0,
f(x) = 2π2
.sin(πx)cos(πy)
Điều kiện biên Dirichlet: u(x = 0) = 0, u(x = 1) = 0
u(y = 0) = sin(πx), u(y = 1) = - sin(πx)
Lời giải giải tích: u=sin(π.x).cox(π.y)
Einf error:9.353335e-004
(2.118)
(2.119)
(2.120)
(2.121)
(2.122)
(2.124)
(2.125)
MSSV:811175D

Hình2.16: Kết quả giải tích của ví dụ 2
MSSV:811175D

Hình 2.17: Kết quả FEM của ví dụ 2 - 5000 phần
tử 3-Phương trình Laplace
x y 0
x x y y
0 x , y 4
Với các thông số αx = 1, αy = 1, β =y 0, f(x) = 0
Điều kiện biên Dirichlet: u(x = 0) = e - cos(y),
u(x = 4) = ey
.cos(4) - e4
.cos(y),
u(y = 0) = cos(x) - ex
,
u(y = 4) = e4
.cos(x) - ex
.cos(4),
Lời giải giải tích: u=ey
.cos(x) - ex
.cos(y)
Kết quả giải tích và FEM trên Matlab:
(2.126)
(2.127)
(2.128)
(2.129)
(2.130)
(2.131)
(2.132)
(2.133)
MSSV:811175D

Hình 2.18: Kết quả giải tích của ví dụ 3
MSSV:811175D

Hình 2.19: Kết quả FEM của ví dụ 3 - 3200 phần
tử 4-Phương trình Laplace
x y 0 (2.134)
y
x x y
0 ≤ x ≤ 5; 0 ≤ y ≤ 10 (2.135)
Với các thông số αx = 1, αy = 1, β = 0 (2.136)
f(x) = 0 (2.137)
Điều kiện biên Dirichlet: u(x = 0) = 0 (2.138)
u(x = 5) = 100.sinh(πy/10)/sinh(π) (2.139)
u(y = 0) = 0 (2.140)
u(y = 10) = 100.sin(πx/10) (2.141)
Lời giải giải tích: u=100.sinh(πy/10).sin(πx/10)/sinh(π) (2.142)
MSSV:811175D

Hình 2.20: Kết quả giải tích của ví dụ 4
MSSV:811175D

Hình 2.21: Kết quả FEM của ví dụ 4 - 5000 phần tử
Bài toán giá trị biên xem xét dưới đây được xác định bởi phương trình vi
phân bậc hai:
x y z f
x x y y z z
(x , y , z)
kết hợp với các điều kiện biên:
p trên S1
và
x xy yz
z
.nq
x y z
SVTH: NGUYỄN HOÀNG MINH
MSSV:811175D
(2.143)
(2.144)
40

trên S2 (2.145)
với S S1 S2 biểu thị bề mặt bao quanh thể tích V vàn là vector pháp tuyến
đơn vị
Phép biến phân tương đương với bài toán giá trị biên ở trên được cho bởi
F() 0 trên S1
p
với
1 2 2 2
2 2
F ( ) x y z dv q dSf dv
2 2
v x y z S
2
v
(2.147)
Việc chứng minh tương đương là hoàn toàn tương tự như ở bài toán 1-D và
2-D. Trong bài toán này (2.143) là điều kiện biên tất yếu phải được thiết lập
rõ ràng, và (2.144) là điều kiện biên tự nhiên được thỏa mãn tự động.
2.4.2 RỜI RẠC HÓA MIỀN KHẢO SÁT
Như thường lệ, bước đầu tiên của việc phân tích phần tử hữu hạn là chia nhỏ miền
khảo sát ra nhiều phần tử nhỏ. Trong trường hợp này, chúng ta phải chia khối V thành
nhiều khối nhỏ, ví dụ như khối tứ diện. Các khối này sẽ quản lí bằng các chỉ số và các
nút, tức là các đỉnh của tứ diện, cũng được quản lí bằng một bộ chỉ số khác. Chỉ số của
các phần tử và các nút liên hệ với nhau bởi ma trận 4 x M với các phần tử trong ma trận
là n(i,e), với i = 1, 2, 3, 4 và e = 1, 2, 3, …, M, ở đây M là tổng số phần tử trong
miền khảo sát. Giống như trong trường hợp 2-D, n(i,e) thể hiện chỉ số toàn cục của nút
thứ i trong phần tử thứ e.
MSSV:811175D

Hình 2.22: Phần tử tứ diện của miền 3-
D 2.4.3 HÀM SHAPE
Sau khi đã rời rạc hoá miền khảo sát, chúng ta cần tìm hàm φ bên trong mỗi
phần tử. Nếu sử dụng phần tử tứ diện, hàm φ có thể được xấp xỉ bằng
e
a e
b e
x c e
y d e
z (2.148)
Các hệ số ae
, be
, ce
và de
được xác định bằng cách thế (2.148) vào bốn đỉnh của
tứ diện giả sử đã được cho trước một giá trị
e
a e
b e
x e
c e
y e
d e
z e
1 1 1 1
2
e
a e
b e
x2
e
c e
y 2
e
d e
z2e (2.149)
e
a e
b e
x e
c e
y e
d e
z e
3 3 3 3
e
a e
b e
x e
c e
y e
d e
z e
4 4 4 4
Từ đây chúng ta được:
a e
6V
1
e
1
e
1
e
1
e
1
e
x1
e
x2
e
x3
e
x4
e
y1
e
y 2
e
y3
e
y4
e
z1
e
z
2
e
z 3
e
z4
e
1
a1
e
1
e
a2
e
2
e
a3
e
3
e
a4
e
4 e (2.150)
6Ve
MSSV:811175D

1 1 1 1
e 1 1
e
2
e
3
e
4
e
1 e e e e e e e e
b e e e e b1 1 b2 2 b3 3 b4 4 (2.151)
6V
e
6V
e
y1 y 2 y3 y4
ze ze ze ze
1 2 3 4
1 1 1 1
e 1 x1
e
x2
e
x3
e
x4
e
1 e e e e e e e e
c e
2
e e e c1 1 c2 2 c3 3 c4 4 (2.152)
6V
e
6V
e
1 3 4
z e
z e
z e
z e
1 2 3 4
1 1 1 1
e 1 x1
e
x2 e x3 e x4 e 1 e e e e e e e e (2.153)
d ye y e ye ye d1 1 d 2 2 d 3 3 d4 4
6V e
6V e
1 2 3 4
e e e e
1 2 3 3
và
1 1 1 1
Thể V
e 1 x1
e
x2
e
x3
e
x4
e
6 y e
y e
y e
y e
V 1 2 3 4
z6e z e
z e
z e
1 2 3 4
tích của phần tử thứ e (2.154)
Các hệ số a j
e
, b j
e
, c j
e
vàd j
e
được xác định dễ dàng khi khia triển các định thức, và thế ngược trở lại vào
(2.148) chúng ta thu được
4
e
( x , y , z ) N e
j ( x , y , z). e
j (2.155)
j 1
với Ne
là hàm nội suy hay hàm dáng (shape function) của phần tử:
e
(x, y, z)
1
aj
e
bj
e
x cj
e
y d j
e
z (2.156)
6V e
MSSV:811175D

Tương tự như trường hợp 1-D và 2-D, hàm dáng có tính chất sau
1 i j
(2.157)
N i
e
(x e
j , y e
j , ze
j ) ij
i j
0
Hơn nữa, chúng ta thấy Nj(x,y,z) bị triệt tiêu trên cạnh đối diện với nút thứ j
1.4.4 HÌNH THÀNH HỆ PHƯƠNG TRÌNH THEO PHƯƠNG PHÁP RITZ
A. Phép đạo hàm các phương trình phần tử:
Để đơn giản, chúng ta xem xét điều kiện biên Neumann đồng nhất (γ = q = 0), hàm
F trong trường hợp này chỉ chứa số hạng tích phân khối và được viết lại:
M
F ( ) Fe
( e
) (2.158)
e 1
M là tổng số phần tử, hàm Fe được cho bởi
F e
( e
)
1 e
2
e
2
e
2
( e
)2
f e
dv (2.159)
x y z dv
2 x y z
v V
e
với Ve
là thể tích của phần tử.
Fe
j
e
Thay 1.96 vào phương trình trên rồi lấy đạo hàm chúng ta được
Fe
4 N e
N e
j N e
N e
j Ne
Ne
j
j
e
( x
i
y
i
z
i
N i
e
N e
j )dvf N i
e
dv
e
x x y y z z
j 1 V
e
V
e
i=1,2,3 (2.160)
Chúng ta có thể viết dưới dạng ma trận như sau:
F e
e
be
K e
(2.161)
e
MSSV:811175D

Các phần tử của ma trận [Ke
] và [be
] được xác định bởi
K ij
e
( x
N e
N e
j
y
N e
N e
j
z
Ne
Ne
j
N i
e
N e
j )dv
i i i
x x y y z z
V
e
b e
f N i
e
dv
Ve
i=1,2,3,4 (2.162)
Dễ thấy rằng [Ke
] đối xứng. Nếu các hệ số αx, αy, αz, β và hàm f là hằng số bên
trong mỗi phần tử và được biểu thị tương ứng bởi x
e
, y
e
, z
e
, e
, f e
chúng ta tìm được:
K ij
e 1
a x
e
bi
e
b j
e
a y
e
ci
e
c j
e
a z
e
d i
e
d j
e
d j
e
z
V e
e
(1 ij ) (2.163)
36V
e
20
e V e
e (2.164)
bi 4 f
Mặt khác, nếu αx, αy, β và hàm f không là hằng số trong mỗi phần tử, chúng ta vẫn
có thể sử dụng kết quả trên với giá trị trung bình trong mỗi phần tử. Cách này chỉ
dùng khi phần tử nhỏ để kết quả đủ độ chính xác.
Kết hợp các phương trình phần tử (2.86) cho tất cả các phần tử trong miền
khảo sát để tìm ra hệ phương trình :
e
F M M
e e e
F
K b 0
e
e 1 e 1
Hệ phương trình cho ở (2.75) được viết gọn lại như sau:
Kb (2.166)
với [K] và {b} được kết hợp từ [Ke
] và {be
} như sau :
M e M e
KK , bb
e 1 e 1
(2.165)
(2.167)
MSSV:811175D

Quá trình kết hợp là hoàn toàn tương tự như trong trường hợp 2-D,cộng mỗi Kij
e
vào Kn(I,e),n(j,e), và mỗi be
i vào bn(i,e).
Hệ trên giả sử rằng thoả mãn điều kiện Neumann đồng nhất trên Γ2. Chúng ta xem
xét trường hợp tổng quát với các giá trị của γ ≠ 0 và q ≠ 0. chúng ta phải thêm vào
(2.98) một số hạng được cho bởi tích phân mặt
F S2 2 q (2.168)
2
dS
b
Giả sử S2 bao gồm Ms phần tử tam giác, (2.109) được viết lại
M
s
Fbs
Fb
s
(2.169)
s 1
với Fs
b biểu thị tích phân trên bề mặt s. Tương tự trường hợp 2-D đã khảo sát
hàm trên mỗi tam giác được tính bằng:
3
s
N s
j j
s
(2.170)
j 1
Thế (2.111) vào Fs
b và đạo hàm theo j
s
được
F s
3
b
j
s
s
i j 1 s s
với Ss
biểu thị bề mặt của phần tử
trận như sau:
.N i
s
.N s
j .dS q. N i
S
.dS (2.1)
ss
tam giác thứ s.Có thể viết lại dưới dạng ma
Fb
s
K
s s s
(2.172)
s
b
với các phần tử của ma trận [Ks
] và [bs
] được xác định:
K ij
s
.N i
S
.N S
j .dS i.j=1,2,3
S
s
(2.173)
bi
s
q. N i
s
.dS i,j=1,2,3
S s
Nếu γ và q là hằng số trên mỗi phần tử bề mặt và biểu thị tương ứng bởi γs
và qs
thì
(2.114) được tính như sau:
MSSV:811175D

Kij
S s
s
(1 ij )
12
(2.174)
S
bS qS
i 3
ở đây S biểu thị diện tích bề mặt Ss
.Việc kết hợp [Ks
] vào [K] được thực hiện
dễ dàng bằng cách cộng mỗi Kij
S
vào Kns(i,s),ns(j,s).và tương tự {bs
}được đua
vào {b} bằng cách cộng bi
S
vào bns(i,s)
Trước khi giải hệ phương trình, điều kiện biên Dirichlet được áp đặt tại biên
S1. Việc
này được thực hiện đơn giản giống như bài toán 2-D đã khảo sát, chúng ta đặt:
bnd(i) = p(i), bj bj - Kj,nd(i).p(i) với j ≠ nd(i) (2.175)
và Knd(i),ndi =1, Kj,nd(i) = Knd(i),j = 0 với j ≠ nd(i) (2.176)
với i = 1, 2, 3, …, N1, khi p(i) biểu thị giá trị cho trước của tại nút
thứ i trên S1 với chỉ số toàn cục là nd(i). Kết quả là các phương trình
gắn với các nút này có thể được loại bỏ mà không ảnh hưởng đến lời
giải của hệ. Như vậy việc này làm giảm kích thước của hệ phương
trình và giảm đáng kể thời gian xử lý của máy tính, điều này đặc biệt
quan trọng với bài toán có rất nhiều ẩn.
2.4.5 MỘT SỐ VÍ DỤ TÍNH TOÁN VÀ KẾT QUẢ
1- Trường hợp điều kiện biên Dirichlet
MSSV:811175D

Hình 2.23: Mô hình bài toán 1
Lời giải giải tích:
( 1) m
( 1) n
sinh( m 2
n 2
. . z)
4sin( m y) 1 . 1
.
m n m 2
n2
.
m 1 n 1 sinh
MSSV:811175D

Kết quả giải bằng FEM trên Matlab
Hình 2.24 Lời giải giải tích của bài toán 1
MSSV:811175D

Hình 2.23: Lời giải FEM của bài toán 1 - cắt tại x
= 0.5
Hình 2.25: Lời giải FEM của bài toán 1 - cắt tại x = 0.5
Hình 2.24: Lời giải FEM của bài toán 1 - cắt tại x = 0.5 và z =
0.5 2- Trường hợp điều kiện biên Dirichlet và Neumann
Hình2.26 Mô hình bài toán 2
MSSV:811175D

Các điều kiện biên:
sin( y).sin( z) x=0
2sin( y).sin( z) x=1
0 y,z={0,1}
Lời giải giải tích
sin( y ).sin( z) 2.sinh( 2.x) sinh( 2(1 x))
sinh( 2)
Đánh giá sai số:
E2 error: 3.669365e-001
Kết quả giải bằng FEM trên Matlab
Hình 2.27 Lời giải giải tích của bài toán 3
MSSV:811175D

Hình 2.28: Lời giải FEM của bài toán 3 - cắt tại x = 0.5
Hình 2.29 giải FEM của bài toán 3 - cắt tại x = 0.5 và z = 0
MSSV:811175D

CHƯƠNG 3
KẾT QUẢ CHẠY MÔ PHỎNG:
1. Mô hình bài toán nối đất
As
'
Bế mặt đất
Độ dẫn điện của đất e
z
y
x
A
A
s
Hình 3.1 – Mô hình một nguồn điểm bên trong đất
Phân tích cơ bản được minh họa ở hình 1, xét trong một vùng nhỏ c ủa hệ thống
nối đất, với giả thiế t tổng dòng sự cố Is phát ra từ 1 vùng nhỏ ở bề mặt và đi vào đất,
AS là vị trí của nguồn.
V là điện áp điểm trong đất thỏa mãn phương trình Laplace với điều kiện biên là:
([ ] V) = 0 trong miền (3.1a)
V=V0 trong Γ (3.1b)
V 0 trong Γe (3.1c)
n
SVTH: Nguyễn Hoàng Minh 53
MSSV:811175D

V → 0 Nếu x → (3.1d)
Trong đó V và [ ] là điện áp vô hướng và tensơ của điện dẫn suất đất trong miền Ω3D
Γ là bề mặt điện cực, Γe là bề mặt đất.
Do đối xứng nên phương trình (1) được viết lạ như sau:
2
V1V 2
V0
r2
r rz2
V=V0
V 0
n
V → 0 Nếu x →
trong Ω
trong Γ
trong Γe
(3.2a)
(3.2b)
(3.2c)
(3.2d)
MSSV:811175D

2. Mô phỏng phân bố thế của cọc, thanh dẫn nối đất, điện cực
2.1 Một cọc nối đất:
Xét trường hợp trong vùng khảo sát có một cọc nối đất được chôn trong đất như
hình 4.2, chiều dài cọc là h, giả sử điện thế trên bề mặt cọc là 1 (tính trong đơn vị tương
đối) điện thế tại các biên miền khảo sát là 0 (biên được xem như là ở xa vô cùng), môi
trường đất khảo sát là đồng nhất có điện trở = hằng số
H
LO
x
h
1
1
0 0
l
1
0
y
Hình 3.2 – Nối đất trong mặt phẳng – trường hợp một cọc nối đất
Thông số nhập:
Chiều dài = 13
Rộng = 2
Số khoảng chia = 41
MSSV:811175D

Kết quả:
Hình 3.3 - Kết quả chạy trong bài toán 2D
MSSV:811175D

Khi thay đổi chiều dài cọc nối đất:
Kết quả:
Hình 3.4 – Kết quả phân bố thế khi chiều thay đổi chiều dài cọc
Nhận xét:
Dòng điện sự cố chạy từ điện cực sẽ tỏa ra môi trường xung quanh đất và điện áp
phân bố xung quanh điện cực có dạnh hyperbol. Giá trị điện áp trong khu vực đất càng
gần điện cực thì càng lớn, giá trị điện áp trên điện cực sẽ là 1 (tính trong đơn vị tương
đối, sẽ giảm dần với những điểm ở xa điện cực và sẽ bằng không khi ở xa vô cùng.
Khi chiều dài cọc nối đất tăng thì điện áp tại một điểm sẽ tăng theo.
Các đường đẳng thế được phân bố đối xứng xung quanh cọc nối đất
MSSV:811175D

2.2 Nhiều cọc nối đất:
2.2.1 Hai cọc nối đất có độ dài như nhau
Xét trường hợp trong vùng khảo sát có nhiều cọc nối đất được chôn gần nhau
trong đất và có độ dài bằng nhau như hình 4.4, chiều dài cọc là h, giả sử điện thế trên bề
mặt cọc là 1 (tính trong đơn vị tương đối) điện thế tại các biên miền khảo sát là 0 (biên
được xem như là ở xa vô cùng), môi trường đất khảo sát là đồng nhất có điện trở
= hằng số
H
LA A
LB
B x
h
1
1
0
0
l
1
0
y
Hình 3.5 – Nối đất trong mặt phẳng – trường hợp nhiều cọc nối đất
MSSV:811175D

Kết quả mô phỏng:
Hình 3.6 - Kết quả chạy phân bố thế hệ thống nối đất gồm 2 cọc nối đất có độ dài bằng
nhau
MSSV:811175D

Khi thay đổi khoảng cách giữa hai cọc:
Hình 3.7 - Kết quả chạy phân bố thế hệ thống nối đất gồm 2 cọc nối đất
có độ dài bằng khi thay đổi khoảng cách giữ hai cọc
MSSV:811175D

Khi lưới thay đổi:
nhau khi thay đổi lưới
Nhận xét:
Điểm ở giữa hai điện cực sẽ chịu ảnh hưởng bởi hai cọc nối đất.
MSSV:811175D

2.2.2. Hai cọc nối đất có độ dài khác nhau:
Xét trường hợp trong vùng khảo sát có nhiều cọc nối đất được chôn gần nhau
trong đất và có chiều dài khác nhau như hình 4.7, chiều dài cọc là h, giả sử điện thế trên
bề mặt cọc là 1 (tính trong đơn vị tương đối) điện thế tại các biên miền khảo sát là
0 (biên được xem như là ở xa vô cùng), môi trường đất khảo sát là đồng nhất có điện trở
= hằng số
LB
LA A B x
h
1
1
0 0
H l
1
0
y
Hình 3.9 – Nối đất trong mặt phẳng – trường hợp nhiều cọc nối đất
MSSV:811175D

Hình 3.10 - Kết quả chạy phân bố thế hệ thống nối đất gồm 2 cọc nối đất có độ dài khác
nhau
MSSV:811175D

Khi thay đổi chiều dài cọc:
Kết quả:
Hình 3.11 - Kết quả chạy phân bố thế hệ thống nối đất gồm hai cọc nối đất có độ dài
khác nhau khi thay đổi chiều dài cọc
Khi thay đổi khoảng cách giữa các cọc:
Kết quả:
Hình 3.12 - Kết quả chạy phân bố thế hệ thống nối đất gồm hai cọc nối đất có độ dài
khác nhau khi thay đổi khoảng cách giữa hai cọc
MSSV:811175D

Nhận xét:
Điểm ở giữa hai điện cực sẽ chịu ảnh hưởng bởi hai cọc nối đất
2.2.3. Năm cọc nối đất có độ dài như nhau:
MSSV:811175D

nhau trong bài toán 2D
Khi thay đổi chiều dài cọc (các thông sô khác giữ nguyên):
nhau trong bài toán 2D khi chiều dài cọc thay đổi
MSSV:811175D

Khi thay đổi khoảng cách giữa các cọc (các thông sô khác giữ nguyên):
nhau trong bài toán 2D khi thay đổi khoảng cách giữa các cọc
Nhận xét:
Điểm ở giữa hai điện cực sẽ chịu ảnh hưởng bởi năm cọc nối đất
MSSV:811175D

2.3 Thanh nối đất:
Xét trường hợp trong vùng khảo sát có một thanh nối đất được chôn sâu trong
đất một đoạn là t như trong hình 4.3, chiều dài của thanh là l và bề dày của thanh là d,
giả sử điện thế trên bề mặt thanh là bằng 1 (tính trong đơn vị tương đối) điện thế tại các
biên miền khảo sát là 0 (biên được xem như là ở xa vô cùng), môi trường đất khảo sát là
đồng nhất có điện trở = hằng số
H
La
t 1
d
0
1 0
l
0
y
x
Hình 3.16 – Nối đất trong mặt phẳng – trường hợp một thanh nối đất
Thông số thanh nối đất cần nhập:
- t = 0
- l = 20
- d = 2
- L0=20
- H=41
- L=41
MSSV:811175D

Hình 2.17 - Kết quả chạy phân bố thế hệ thống nối đất gồm một thanh nối đất
MSSV:811175D

Khi thay đổi bề rộng thanh:
Hình 3.18 - Kết quả chạy phân bố thế hệ thống nối đất gồm một thanh nối đất khi thay
đổi bề rộng thanh
Khi thay đổi chiều dài thanh:
Hình 3.19 - Kết quả chạy phân bố thế hệ thống nối đất gồm một thanh nối đất khi thay
đổi bề rộng thanh
MSSV:811175D

Nhận xét:
Các đường đẳng thế được phân bố đối xứng xung quanh thanh
2.4 Hệ thống gồm hai điện cực:
Xét hệ thống gồm hai điện cực với giả thiết là điện thế trên bề mặt điện cực là
bằng 1 (tính trong đơn vị tương đối) điện thế tại các biên miền khảo sát là 0 (biên được
xem như là ở xa vô cùng), môi trường đất khảo sát là đồng nhất có điện trở = hằng số.
MSSV:811175D

Hình 3.20 – Kết quả chạy phân bố thế hệ thống gồm 2 điện cực
Khi thay đổi độ chôn sâu:
Hình 3.21 – Kết quả chạy phân bố thế hệ thống gồm 2 điện khi thay đổi độ chôn
sâu
MSSV:811175D

Khi thay đổi khoảng cách hai điện cực:
Hình 3.22 – Kết quả chạy phân bố thế hệ thống gồm 2 điện cực khi thay đổi
khoảng cách hai điện cực
Khi thay đổi bán kính quả cầu:
Hình 3.23 – Kết quả chạy phân bố thế hệ thống gồm 2 điện khi thay đổi khoảng
bán kính hai điện cực
MSSV:811175D

Nhận xét:
Các đường đẳng thế được phân bố đối xứng xung quanh điện cực
Điểm ở giữa hai điện cực sẽ chịu ảnh hưởng bởi hai điện cực Bán
kính của điện cực cũng ảnh hưởng đến phân bố thế.
2.5 Hệ thống gồm bốn điện cực:
Xét hệ thống gồm hai điện cực với giả thiết là điện thế trên bề mặt điện cực là
bằng 1 (tính trong đơn vị tương đối) điện thế tại các biên miền khảo sát là 0 (biên được
xem như là ở xa vô cùng), môi trường đất khảo sát là đồng nhất có điện trở = hằng số.
MSSV:811175D

Hình 3.24 – Kết quả chạy phân bố thế hệ thống gồm 4 điện cực
MSSV:811175D

Khi thay đổi khoảng cách giữa các điện cực:
Hình 3.25 – Kết quả chạy phân bố thế hệ thống gồm 4 điện cực khi thay đổi
khoảng cách các điện cực
MSSV:811175D

TÀI LIỆU THAM KHẢO
1.ĐIỆN TỪ - NGUYỄN THÀNH VẤN,NGUYỄN KIM ĐÍNH – ĐH QUỐC
GIA TPHCM – ĐH KHOA HỌC TỰ NHIÊN – NXB ĐẠI HỌC QUỐC GIA
TPHCM 2004
2.KÝ THUẬT CAO ÁP TẬP 2(QUÁ ĐIỆN ÁP TRONG HỆ THỐNG ĐIỆN) –
HOÀNG VIỆT – ĐH QUỐC GIA TPHCM – ĐH KHOA HỌC BÁCH KHOA –
NXB ĐẠI HỌC QUỐC GIA TPHCM 2007
3. BÀI TẬP KÝ THUẬT CAO ÁP – HOÀNG VIỆT –ĐH QUỐC GIA TPHCM
– ĐH KHOA HỌC BÁCH KHOA – NXB ĐẠI HỌC QUỐC GIA TPHCM 2009

LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP - MÔ PHỎNG THẾ HỆ THỐNG NÓI ĐẤT.doc

Recommended

Recommended

More Related Content

Similar to LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP - MÔ PHỎNG THẾ HỆ THỐNG NÓI ĐẤT.doc

Similar to LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP - MÔ PHỎNG THẾ HỆ THỐNG NÓI ĐẤT.doc (20)

More from Dịch Vụ Viết Bài Trọn Gói ZALO 0917193864

More from Dịch Vụ Viết Bài Trọn Gói ZALO 0917193864 (20)

Recently uploaded

Recently uploaded (20)

LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP - MÔ PHỎNG THẾ HỆ THỐNG NÓI ĐẤT.doc