Основы теории графов 03: связность

Основы теории графов
осень 2013
Александр Дайняк
www.dainiak.com

Связность
• Связный граф — это граф, в котором между любыми двумя
вершинами существует путь
• Компонента связности графа — это его максимальный связный
подграф
связный граф
несвязный граф
компоненты
связности

Связность
• Мост — это ребро, удаление которого приводит к графу с
бо́льшим числом компонент связности
• Точка сочленения — вершина, удаление которой приводит к
графу с бо́льшим числом компонент связности
мост

푘-связность
푘-связный (푘-вершинно-связный) граф — это такой связный граф,
что чтобы сделать его несвязным или одновершинным, нужно
удалить не менее 푘 вершин.
Тривиальные наблюдения:
• 1-связные графы — это то же, что и связные графы
• В 푘-связном графе при 푘 ≥ 2 должно быть не менее чем 푘 + 1
вершин
• Если граф (푘 + 1)-связен, то он и 푘-связен
• Если из 푘-связного графа удалить любые 푙 вершин, то граф
останется по крайней мере (푘 − 푙)-связным

Рёберная 푘-связность
푘-рёберно-связный граф — это такой связный граф, что чтобы
сделать его несвязным, нужно удалить не менее 푘 рёбер.
Тривиальные наблюдения:
• Если граф (푘 + 1)-рёберно-связен, то он и 푘-рёберно-связен
• 1-рёберно-связные графы — это то же, что и связные графы
• Если из 푘-рёберно-связного графа удалить любые 푙 рёбер, то
полученный граф будет, как минимум, (푘 − 푙)-рёберно-связным

Характеристики связности
• 휅 퐺 — число вершинной связности графа. Это минимальное
число вершин, которые нужно удалить из графа, чтобы он стал
одновершинным или несвязным.
• 휆 퐺 — число рёберной связности. Это минимальное число
рёбер, которые нужно удалить из графа, чтобы он стал несвязным

Характеристики связности
Имеют место неравенства
휅 퐺 ≤ 휆 퐺 ≤ 훿 퐺
При этом для любых 휅, 휆, 훿 ∈ ℕ, таких, что 휅 ≤ 휆 ≤ 훿, можно
указать граф 퐺, имеющий
휅 퐺 = 휅, 휆 퐺 = 휆, 훿 퐺 = 훿

Теорема Мадера
Теорема. (W. Mader ’1972)
Пусть непустой граф 퐺 таков, что 퐺 ≥ 2푘 ⋅ 퐺 .
Тогда в 퐺 найдётся 푘 + 1 -связный подграф.
Замечание.
Из доказательства теоремы также будет следовать, что существует
такой 푘 + 1 -связный 퐻 ⊆ 퐺, для которого
퐻
퐻
≥
퐺
퐺
− 푘

Доказательство теоремы Мадера
Положим 훾 ≔ 퐺 퐺 ≥ 2푘.
Рассмотрим множество подграфов
풢 ≔ 퐺′ ⊆ 퐺 ∣ 퐺′ ≥ 2푘 ∧ 퐺′ > 훾 ⋅ 퐺′ − 푘
• Множество 풢 непусто, т.к. 퐺 ∈ 풢.
• Для любого 퐺′ ∈ 풢 выполнено 퐺′ > 2푘, т.к. иначе мы имели бы
퐺′ > 훾 ⋅ 2푘 − 푘 = 훾푘 ≥ 2푘2 >
2푘
2
≥ 퐺′

• 훾 ≔ 퐺 퐺 ≥ 2푘
• 풢 ≔ 퐺′ ⊆ 퐺 ∣ 퐺′ ≥ 2푘 ∧ 퐺′ > 훾 ⋅ 퐺′ − 푘
• Для любого 퐺′ ∈ 풢 выполнено 퐺′ > 2푘
Пусть 퐻 — граф из 풢 с минимальным числом вершин.
Имеем 훿 퐻 > 훾, иначе можно было удалить из 퐻 вершину
степени ≤ 훾, и полученный граф оказался бы снова из 풢.

• 훾 ≔ 퐺 퐺 ≥ 2푘
• 풢 ≔ 퐺′ ⊆ 퐺 ∣ 퐺′ ≥ 2푘 ∧ 퐺′ > 훾 ⋅ 퐺′ − 푘
• 퐻 — граф из 풢 с минимальным числом вершин
• 훿 퐻 > 훾
Допустим, что 퐻 не 푘 + 1 -связный и придём к противоречию.
Пусть найдётся 푆 ⊂ 푉 퐻 , такое, что 푆 ≤ 푘 и 퐻 − 푆 несвязен.
Тогда 퐻 имеет вид 퐻1 ∪ 퐻2, где 푉 퐻1 ∩ 푉 퐻2 = 푆,
푉 퐻1 ∖ 푆 и 푉 퐻2 ∖ 푆 непусты
и между 푉 퐻1 ∖ 푆 и 푉 퐻2 ∖ 푆 рёбер нет.
퐻1
퐻2
푆

• 훾 ≔ 퐺 퐺 ≥ 2푘
• 풢 ≔ 퐺′ ⊆ 퐺 ∣ 퐺′ ≥ 2푘 ∧ 퐺′ > 훾 ⋅ 퐺′ − 푘
• 퐻 — граф из 풢 с минимальным числом вершин
• 훿 퐻 > 훾
• Пусть 푆 ⊂ 푉 퐻 , 푆 ≤ 푘, 퐻 = 퐻1 ∪ 퐻2, 푉 퐻1 ∩ 푉 퐻2 = 푆,
между 푉 퐻1 ∖ 푆 и 푉 퐻2 ∖ 푆 рёбер нет.
У любой вершины из 푉 퐻푖 ∖ 푆 более 훾 соседей, так что 퐻푖 > 2푘.
Из минимальности 퐻 следует 퐻푖 ≤ 훾 ⋅ 퐻푖 − 푘 . Отсюда
퐻 ≤ 퐻1 + 퐻2 ≤ 훾 ⋅ 퐻1 + 퐻2 − 2푘 ≤ 훾 ⋅ 퐻 − 푘
— противоречие с выбором 퐻 ∈ 풢.
퐻1
퐻2
푆

Теорема Менгера
• Граф является 푘-вершинно-связным т. и т.т., когда любую пару
вершин графа можно соединить 푘 цепями, не имеющими общих
внутренних вершин.
(вершинная теорема Менгера)
• Граф является 푘-рёберно-связным т. и т.т., когда любую пару
вершин графа можно соединить 푘 цепями, не имеющими общих
рёбер.
(рёберная теорема Менгера)

Доказательство рёберного варианта
теоремы Менгера
Тривиальная часть теоремы:
• Если любую пару вершин графа можно соединить 푘 цепями, не
имеющими общих рёбер, то граф является 푘-рёберно-связным
(Т.к. никакую пару вершин графа нельзя отрезать друг от друга,
удалив произвольные 푘 − 1 рёбер)

Нетривиальная часть теоремы:
• Если граф является 푘-рёберно-связным, то любую пару вершин
графа можно соединить 푘 цепями, не имеющими общих рёбер
Доказательство — с помощью теоремы Форда—Фалкерсона
(максимальная величина потока равна минимальной пропускной
способности разреза)

• Зафиксируем в 푘-рёберно-связном графе произвольную пару
вершин 푠, 푡.
• Каждое ребро заменим на пару противоположных дуг.
• Пропускные способности всех дуг считаем равными 1.
1
1

• Если в полученной сети есть разрез (отделяющий 푠 от 푡)
пропускной способности 푘′, то исходный граф можно разделить
на несколько компонент связности удалением соответствующих
푘′ рёбер.
• Т.к. исходный граф 푘-рёберно-связен, то пропускная способность
любого разреза в сети не меньше 푘. Значит в сети есть
целочисленный поток величины 푘.

• Осталось в построенном потоке удалить ориентированные
циклы, если они есть:
푠 푡
⋯ ⋯
푠 푡
⋯ ⋯
• Полученный поток определяет 푘 не пересекающихся по дугам
путей, ведущих из 푠 в 푡.
• Эти пути соответствуют 푘 не пересекающимся по рёбрам цепям
между 푠 и 푡 в исходном графе.

Доказательство вершинного варианта
• Граф является 푘-связным т. и т.т., когда любую пару вершин графа
можно соединить 푘 цепями, не имеющими общих внутренних
вершин.
Тривиальная часть:
• Если любую пару вершин графа можно соединить 푘 цепями без
общих внутренних вершин, то граф является 푘-связным.

Нетривиальная часть:
• В 푘-связном графе любую пару вершин можно соединить 푘
цепями без общих внутренних вершин.
Доказательство, как и в рёберном случае, выводится из теоремы
Форда—Фалкерсона. Теперь нужно добиться, чтобы у вершин
графа тоже были «пропускные способности».

По исходному графу строим сеть:
• Каждой вершине 푣 графа соответствует две вершины сети: 푣− и 푣+
• Для каждой пары вершин сети 푣−, 푣+ проводим дугу из 푣− в 푣+
• Если в исходном графе было ребро между 푢 и 푣, то проводим
в сети дугу из 푢− в 푣+
• Пропускные способности всех дуг равны 1

• Вершина 푣 графа → пара вершин сети: 푣−, 푣+
• Ребро 푢푣 графа → дуга в сети: 푢+푣−
• Добавляем в сеть дуги вида 푣−푣+
푎
푏
푑
푐
푎+
푎−
푑+
푑−
푏+ 푏−
푐+ 푐−

• Если в сети есть разрез пропускной способности 푘′, то исходный
граф можно сделать несвязным, удалив 푘′ вершин
• Т.к. исходный граф 푘-связен, то пропускная способность любого
разреза не меньше 푘
푎
푏
푑
푐
푎+
푎−
푑+
푑−
푏+ 푏−
푐+ 푐−

• Значит, для любой пары 푠, 푡 вершин графа в сети есть
целочисленный поток величины 푘 из 푠+ в 푡−
• После удаления из потока ориентированных циклов, его можно
разбить на 푘 путей из 푠+ в 푡−, не пересекающихся по внутренним
вершинам
• Этим путям соответствуют 푘 цепей в исходном графе между 푠 и 푡
без общих внутренних вершин

Свойства 푘-связных графов
• Если графы 퐺′ и 퐺′′ являются 푘-связными и имеют не менее 푘
общих вершин, то граф 퐺′ ∪ 퐺′′ является 푘-связным
• Если к 푘-связному графу добавить новую вершину и соединить её
с любыми 푘 вершинами графа, полученный граф будет также
푘-связным

Лемма о веере
В 푘-связном графе для любых различных вершин 푢, 푣1, 푣2, … , 푣푘
существует 푘 не пересекающихся по внутренним вершинам путей
из 푢 в 푣푖 (푖 = 1, … , 푘)
Идея доказательства: добавляем вершину и используем (второе)
определение 푘-связности.
푣1
푣2 푣новая
푣푘
푢
⋮
исходный граф

Теорема.
В 푘-связном графе для любых 퐴, 퐵 ⊆ 푉, таких, что 퐴 ∩ 퐵 = ∅ и
퐴 = 퐵 = 푘, найдутся 푘 не пересекающихся по вершинам путей
из 퐴 в 퐵.
Идея доказательства: добавляем к графу две новые вершины.
푏1
푏2 푣новая
푏푘
⋮
′′
исходный граф
′
푣новая
푎1
푎푘
⋮
푎2

Двусвязные графы
Следующие утверждения эквивалентны:
• Граф двусвязен
• Любые две вершины графа принадлежат простому циклу
• Любая вершина и любое ребро принадлежат простому циклу
• Любые два ребра принадлежат простому циклу
• Для любых двух вершин 푎, 푏 и любого ребра 푒 в графе есть простая
цепь между 푎 и 푏, содержащая 푒
• Для любых трёх вершин 푎, 푏, 푐 существует простая цепь между 푎 и 푏,
проходящая через 푐

Граф двусвязен ⇒ любые две вершины графа принадлежат
простому циклу
Для произвольных 푢, 푣 ∈ 푉 퐺 в двусвязном графе есть две цепи
без общих внутренних вершин.
Объединив эти цепи, получаем простой цикл.
푢 푣

Любые две вершины графа принадлежат простому циклу ⇒
любая вершина и любое ребро принадлежат простому циклу
Пусть 푢 ∈ 푉 퐺 и 푣, 푤 ∈ 퐸 퐺 .
Вершины 푢, 푣 лежат на некотором простом цикле.
Если он проходит через 푤, то всё хорошо.
푤
푢 푣

Пусть 푢 ∈ 푉 퐺 и 푣, 푤 ∈ 퐸 퐺 .
Вершины 푢, 푣 лежат на некотором простом цикле 퐶. Если 푤 на этом
цикле не лежит, то воспользуемся тем, что есть ещё цикл 퐶′,
проходящий через 푢 и 푤.
Из 퐶′ можно выделить цепь 푃, соединяющую 푢 с 푤
и не проходящую через 푣.
푤
푢 푣
푃

Если цепь 푃 не пересекается хотя бы с одной из цепей между 푢 и 푣
(например, с 푢 … 푣), то можно скомбинировать искомый цикл:
푤
푢 푣
푃

Если 푃 пересекается с циклом 퐶, то рассмотрим кусок 푃 от
вершины 푤 до первого пересечения с 퐶. Из этого куска и цикла 퐶
можно скомбинировать искомый цикл:
푤
푢 푣
푃

Любая вершина и любое ребро принадлежат простому циклу ⇒
любые два ребра принадлежат простому циклу
Пусть 푎푏 и 푐푑 — рёбра, и 퐶 — простой цикл через 푐 и 푎푏. Через 푑 и
푎푏 тоже проходит некоторый простой цикл, из которого можно
выделить цепь 푃, соединяющую 푎 и 푑 и не проходящую через 푐.
푑 푏
푃
푐 푎

Если кроме вершины 푎 цепь 푃 больше не имеет с циклом 퐶 общих
вершин, то всё ОК:
푑 푏
푃
푐 푎

Если первая (по пути от 푑) точка пересечения 푃 с циклом 퐶 лежит
на пути 푐 … 푏, то искомый цикл получается так:
푑 푏
푃
푐 푎

Если первая (по пути от 푑) точка пересечения 푃 с циклом 퐶 лежит
на пути 푐 … 푎, то искомый цикл получается аналогично:
푑 푏
푃
푐 푎

Любые два ребра принадлежат простому циклу ⇒ для любых
двух вершин 풂, 풃 и любого ребра 풆 в графе есть простая цепь
между 풂 и 풃, содержащая 풆
Между 푎 и 푏 есть некоторая цепь 푃.
Пусть 푣 — сосед 푎 на этой цепи. В графе есть цикл, проходящий
через 푒 и 푎푣. На основе этого цикла и цепи 푃 комбинируется
искомая цепь между 푎 и 푏:
푎
푒
푏
푣
푃

Для любых двух вершин 풂, 풃 и любого ребра 풆 в графе есть
простая цепь между 풂 и 풃, содержащая 풆 ⇒ для любых трёх
вершин 풂, 풃, 풄 существует простая цепь между 풂 и 풃, проходящая
через 풄
Пусть 푒 — любое ребро, концом которого является 푐. В графе есть
цепь из 푎 в 푏, проходящая через 푒. Эта цепь содержит 푐.

Для любых трёх вершин 풂, 풃, 풄 существует простая цепь между 풂
и 풃, проходящая через 풄 ⇒ граф двусвязен
Надо показать, что удаление из графа одной любой вершины
не нарушает связности.
Пусть из графа 퐺 удалена произвольная вершина 푎. Пусть 푏, 푐 —
любые вершины графа 퐺 − 푎 .
В графе 퐺 была простая цепь из 푎 в 푏, проходящая через 푐.
Но кусок этой цепи, соединявший 푐 и 푏 остался в 퐺 − 푎 :
퐺
퐺 − 푎
푎 푏 푐

Циклы в 푘-связных графах
Теорема.
При любом 푘 ≥ 2 в любом 푘-связном графе для любых 푣1, … , 푣푘 ∈ 푉
существует простой цикл, содержащий 푣1, … , 푣푘 .
Доказательство индукцией по 푘:
• При 푘 = 2 уже доказано
• Пусть 푘 ≥ 3 и для (푘 − 1)-связных графов утверждение теоремы
выполнено…

Удалим из исходного графа 퐺 вершину 푣푘 .
Граф 퐺 − 푣푘 по меньшей мере 푘 − 1 -связный, так что в нём
есть цикл 퐶, содержащий 푣1, … , 푣푘−1 (и не содержащий 푣푘).
Без ограничения общности можно считать, что 푣1, … , 푣푘−1 идут на
퐶 по порядку:
푣2
푣1
푣푘−1
푣푖
푣푖+1
푣푘

Вначале рассмотрим случай, когда 푉 퐶 = 푣1, … , 푣푘−1 .
Тогда граф 퐺 − 푣3, … , 푣푘−1 по меньшей мере двусвязный, и
в нём есть цепь из 푣1 в 푣2 через 푣푘 .
Объединяя эту цепь с (퐶 − 푣1푣2), получаем нужный цикл.
푣2
푣1
푣푘−1
푣푖
푣푖+1
푣푘

Теперь рассмотрим случай, когда есть вершина
푢 ∈ 푉 퐶 ∖ 푣1, … , 푣푘−1
По лемме о веере, в 퐺 есть 푘 не пересекающихся по внутренним
вершинам путей из 푣푘 в каждую из вершин 푢, 푣1, … , 푣푘−1.
Рассмотрим отрезки этих путей от 푣푘 до первого пересечения
с циклом:
푣2
푣1
푣푘−1
푣푘
푣푖
푣푖+1

Всего таких отрезков путей 푘 штук, а вершины 푣1, … , 푣푘−1
разбивают цикл на 푘 − 1 интервалов.
По принципу Дирихле, найдётся интервал, на который попали
концы двух отрезков.
Из этой пары отрезков и части цикла через 푣1, … , 푣푘−1 строится
искомый цикл через 푣1, … , 푣푘:
푣2
푣1
푣푘−1
푣푘
푣푖
푣푖+1

Рекурсивное построение
двусвязных графов
Внешней цепью для графа называется цепь, концы которой
принадлежат графу, а внутренние вершины — не принадлежат:
Утверждение. Если произвольную пару вершин двусвязного
графа соединить внешней цепью, получится двусвязный граф.

Теорема. Граф двусвязен т. и т.т., когда его можно построить, начав
с простого цикла и последовательно добавляя внешние цепи.

• Докажем, что произвольный двусвязный граф можно построить,
начав с простого цикла и последовательно добавляя внешние
цепи.
• База. Так как 퐺 двусвязен, в нём есть цикл. Любой из циклов в 퐺
возьмём в качестве первого графа в последовательности.

• Пусть на очередном шаге построения мы пришли к подграфу 퐻
графа 퐺, и допустим, что 퐻 ещё не совпадает с 퐺.
• Если 퐻 — остовный подграф в 퐺, то возьмём любое ребро графа 퐺,
не входящее в 퐻. Оно само по себе будет внешней для 퐻 цепью.
• Добавляя это ребро к 퐻, делаем шаг построения.

• Если 퐻 — не остовный подграф в 퐺, то существует вершина 푤 ∈ 푉 퐺 − 퐻 .
• В графе 퐻 рассмотрим любую пару вершин 푢, 푣.
• По лемме о веере, в 퐺 есть не пересекающиеся по внутренним вершинам
пути из 푤 в 푢 и из 푤 в 푣.
• Взяв части этих путей до первого пересечения с 퐻, получим внешнюю для
퐻 цепь. Это вновь позволяет сделать очередной шаг построения.
푢
푣
푤
퐻
퐺

Деревья
• Дерево — это связный граф без циклов
• Это дерево:
• А это не деревья:

Деревья
Два простейших свойства:
• В любом дереве, имеющем более одной вершины, существует не
менее двух листьев (висячих вершин)
• В любом дереве
#вершин = 1 + #рёбер

Деревья
Эквивалентные определения дерева:
• связный граф без циклов
• связный граф, при удалении любого ребра становящийся
несвязным
• граф без циклов, в котором при добавлении любого ребра
появляется цикл
• граф, в котором между любой парой вершин существует
единственный путь
• связный граф, в котором #вершин = 1 + #рёбер
• граф без циклов, в котором #вершин = 1 + #рёбер

Деревья
• Деревья — простейшие связные графы
• Если требуется доказать некоторое утверждение о всех связных
графах, попытайтесь вначале доказать его для деревьев

Блоки и точки сочленения
• Точка сочленения графа — это вершина, удаление которой делает
граф несвязным
• Блок в графе — это максимальный связный подграф без точек
сочленения (т.е. блок — это «компонента двусвязности» графа;
будем допускать и блоки, состоящие всего из двух вершин).

Блоки и точки сочленения
• Любые два блока имеют не более одной общей точки (если она
есть, то это точка сочленения)
• Любой простой цикл в графе лежит в пределах одного блока

BC-деревья
• Каждому связному графу можно поставить в соответствие его BC-дерево
(BC = Block-Cutvertex)
• Вершины BC-дерева соответствуют блокам и точкам сочленения графа.
• Между вершинами 푏, 푐 BC-дерева проводится ребро, если
соответствующая 푐 точка сочленения принадлежит соответствующему 푏
блоку графа

BC-деревья
• Листья BC-дерева всегда соответствуют блокам графа. Такие
блоки называются концевыми. Концевые блоки имеют
с оставшейся частью графа только одну общую вершину.
• Во всяком дереве не меньше двух листьев, значит, если граф
связный, но не двусвязный, то в нём не меньше двух концевых
блоков.

Трёхсвязные графы
• Мы описали структуру двусвязных графов: это в точности те
графы, к которым приводят последовательности, начинающиеся
с простого цикла и в которых каждый следующий граф получается
из предыдущего добавлением внешней цепи
• Для трёхсвязных графов существуют аналогичные критерии
(рекурсивные построения), хотя и сложнее.

Стягивание ребра
Стягивание ребра 푒 в графе 퐺 — это операция, результатом
которой является граф 퐺/푒, получаемый из 퐺 удалением 푒
и отождествлением его концов. Если при этом образуются кратные
рёбра, оставляем из них только одно.
푒′ 푒′
푒
푒
퐺 퐺/푒 퐺/푒′

трёхсвязных графов
Теорема.
Граф 퐺 трёхсвязен т. и т.т., когда существует последовательность
графов 퐺0, … , 퐺푛, в которой
• 퐺0 = 퐾4,
• 퐺푛 = 퐺,
• для каждого 푖 граф 퐺푖 получается из 퐺푖+1 стягиванием некоторого
ребра 푥푦, где 푑 푥 , 푑 푦 ≥ 3.

Лемма.
В любом трёхсвязном графе 퐺 ≠ 퐾4 есть ребро 푒, такое, что граф
퐺/푒 трёхсвязен.
Последовательно применяя эту лемму, можно по любому
трёхсвязному графу 퐺 построить последовательность
퐺 → 퐺푛−1 → ⋯ → 퐺0
из утверждения теоремы.

Доказательство от противного.
• Допустим, что в графе 퐺 не менее пяти вершин, и что для любого
ребра 푥푦 граф 퐺/푥푦 не трёхсвязен.
• Т.е. в 퐺/푥푦 удаление некоторых двух вершин нарушает связность.
• Одна из этих вершин должна быть та, что получилась слиянием 푥
и 푦, — иначе сам 퐺 разваливался бы при удалении той же пары
вершин.
• Получаем: для любого ребра 푥푦 графа 퐺 должна существовать
вершина 푧, такая, что граф 퐺 − 푥, 푦, 푧 несвязный.

• Для любого ребра 푥푦 графа 퐺 должна существовать вершина 푧,
такая, что граф 퐺−푥푦푧 ≔ 퐺 − 푥, 푦, 푧 несвязный.
Выберем 푥푦 и 푧 так, чтобы минимальная из компонент графа 퐺−푥푦푧
имела наименьшее возможное число вершин.
Обозначим эту компоненту 퐶.
У вершины 푧 есть сосед 푣 ∈ 퐶 (иначе бы 퐶 «отваливалась» уже́
при удалении 푥 и 푦)
푥
푦
푣
퐶
푧

• Для ребра 푣푧 в 퐺 должна быть вершина 푤, такая, что граф 퐺−푧푣푤
несвязен.
• 푤 ≠ 푥, иначе 퐺 − 푥, 푧 был бы несвязен. Аналогично, 푤 ≠ 푦.
• Вершины 푥 и 푦 лежат в одной и той же компоненте графа 퐺−푧푣푤
• Значит, у 퐺−푧푣푤 есть компонента, не содержащая ни 푥, ни 푦.
Обозначим её 퐷.
푥
푦
푣
퐶
푧
푧
푣
퐷
푤
푥 푦

• У вершины 푣 есть сосед 푢 ∈ 퐷 (иначе 퐺 развалился бы при удалении лишь 푧 и 푤).
• Вершина 푢 принадлежит и множеству 퐶.
• Если из какой-то вершины 푡 ∈ 퐷 есть путь до 푢 по вершинам множества 퐷,
то этот путь не содержит 푥, 푦, 푧.
• Значит, этот путь есть и в 퐶. Отсюда 퐷 ⊆ 퐶. При этом 푣 ∈ 퐶 ∖ 퐷, то есть 퐷 < 퐶 .
• Получаем противоречие с минимальностью 퐶 .
푥
푦
푣
퐶
푧
푧
푣
퐷
푤
푥 푦
푢

• Мы только что доказали теорему в одну сторону:
Если граф 퐺 трёхсвязен, то существует последовательность графов
퐺0, … , 퐺푛, в которой 퐺0 = 퐾4, 퐺푛 = 퐺, и для каждого 푖 граф 퐺푖
получается из 퐺푖+1 стягиванием некоторого ребра 푥푦, где
푑 푥 , 푑 푦 ≥ 3.
• Осталось доказать, что любая последовательность указанного
вида приводит к трёхсвязному графу

퐺푖 получается из 퐺푖+1 стягиванием некоторого ребра 푥푦,
где 푑 푥 , 푑 푦 ≥ 3.
Достаточно показать, что если 퐺푖 трёхсвязен, то и 퐺푖+1 трёхсвязен.
Рассуждаем от противного.
• Допустим, что 퐺푖+1 не трёхсвязен. Тогда в нём есть пара вершин 푆,
удаление которых нарушает связность.
• 푆 ≠ 푥, 푦 , иначе в 퐺푖 была бы точка сочленения
• 푆 ∩ 푥, 푦 ≠ ∅, иначе удаление вершин 푆 из 퐺푖 нарушало бы
связность 퐺푖

• Таким образом, можно считать, что 푆 = 푥, 푣 , где 푣 — некоторая
вершина, отличная от 푦
푣
푥
푦
퐺푖+1:
퐶′
퐶
• Пусть 퐶 — компонента графа 퐺푖+1 − 푆 , содержащая 푦,
а 퐶′ — произвольная компонента, не содержащая 푦
• Если ∃푢 ∈ 퐶 ∖ 푦 , то в 퐺푖+1 любой путь от 푢 до вершин из 퐶′
проходит через 푥 или 푣, а значит граф 퐺푖 − 푣, 푥푦 несвязен —
противоречие. Так что 퐶 = 푦 .
• Но тогда получаем 푑 푦 ≤ 2, что противоречит выбору 푦

Основы теории графов 03: связность

Recommended

Recommended

More Related Content

Viewers also liked

Viewers also liked (20)

Similar to Основы теории графов 03: связность

Similar to Основы теории графов 03: связность (16)

More from Alex Dainiak

More from Alex Dainiak (13)

Основы теории графов 03: связность