Доказываем теоремы о разложении полных графов на полные двудольные: Грэхема—Поллака и Анселя. Доказываем теорему Татта о критерии существования совершенного паросочетания в произвольном графе. [Слайды курса, прочитанного в МФТИ в 2013 году.]

1. Основы теории графов
осень 2013
Александр Дайняк
www.dainiak.com

2. Разложение графов
Объединение графов 푉′ , 퐸′ и 푉′′ , 퐸′′ — это граф
푉′ ∪ 푉′′ , 퐸′ ∪ 퐸′′
Похожие, но разные задачи:
• Представить граф 퐺 в виде объединения графов из класса 풢
• Представить граф 퐺 в виде объединения графов из класса 풢,
не пересекающихся по рёбрам
• Покрыть 퐺 графами из 풢
• Упаковать в 퐺 графы из 풢

3. Факторизация графов
• 푘-регулярный граф — это такой граф, все степени вершин в
котором равны 푘
• 1-регулярный граф — это паросочетание

4. Факторизация графов
• 푘-фактор графа — это его остовный 푘-регулярный подграф
• 1-фактор называют также совершенным паросочетанием
• Граф является 푘-факторизуемым, если его можно разложить на
непересекающиеся 푘-факторы

5. Двудольные графы
• Двудольный граф — это граф, вершины которого можно разбить
на два независимых множества
• Двудольный граф — это модель соответствия между двумя
множествами объектов. Например, между работниками и
работодателями (ребро проводится, если работник подходит
работодателю):

6. Паросочетания в двудольных графах
• Двудольный граф — это модель соответствия между двумя
множествами объектов. Например, между работниками и
работодателями.
• Совершенное паросочетание в двудольном графе — это
фактически однозначное сопоставление пар вершин из разных
долей

7. Паросочетания в двудольных графах
• Когда в двудольном графе существует 1-фактор?
• Необходимое условие: для любого множества вершин 퐴 из
первой доли число их соседей 푁 퐴 во второй доле должно
быть не меньше размера самого множества 퐴:
푁 퐴 ≥ 퐴
퐴
⋯ ⋯
⋯ ⋯
푁 퐴

8. 1-факторы в двудольных графах
Теорема Холла. Условие
∀퐴 ⊆ 푉1 푁 퐴 ≥ 퐴
является необходимым и достаточным для существования
1-фактора в двудольном графе с равномощными долями 푉1 , 푉2 .
퐴
⋯ ⋯
⋯ ⋯
푁 퐴

9. 1-факторы в двудольных графах
Требуется доказать, что если ∀퐴 ⊆ 푉1
푁 퐴 ≥ 퐴 ,
то в графе найдётся 1-фактор.
Применим теорему Форда—Фалкерсона о максимальном потоке и
минимальном разрезе. По исходному графу строим сеть:
• Ориентируем все рёбра от 푉1 к 푉2
• Добавляем новые вершины 푠 и 푡
• Проводим дуги из 푠 во все вершины 푉1 и из всех вершин 푉2 в 푡
• Пропускные способности всех дуг равны 1

10. 1-факторы в двудольных графах
• Ориентируем все рёбра от 푉1 к 푉2
• Добавляем новые вершины 푠 и 푡 и проводим дуги из 푠 во все
вершины 푉1 и из всех вершин 푉2 в 푡 푠
푡
• В полученной сети есть поток величины 푉1 т. и т.т.,
когда в исходном графе есть 1-фактор

11. 1-факторы в двудольных графах
• Остаётся доказать, что если ∀퐴 ⊆ 푉1
푁 퐴 ≥ 퐴 ,
то в построенной по графу сети пропускная способность любого
разреза не меньше 푉1 .
• Пусть 푆 ⊔ 푇 — произвольный разрез. Введём обозначения:
푆푖 = 푆 ∩ 푉푖 и 푇푖 = 푇 ∩ 푉푖 .
• При этом
푆 = 푠 ∪ 푆1 ∪ 푆2 , 푇 = 푡 ∪ 푇1 ∪ 푇2

12. 1-факторы в двудольных графах
• 푆 = 푠 ∪ 푆1 ∪ 푆2 , 푇 = 푡 ∪ 푇1 ∪ 푇2
• Пропускная способность разреза
푆 ⊔ 푇 равна количеству дуг,
ведущих из 푆 в 푇, а оно равно
T1 + 푆2 + #дуг из 푆1 в 푇2
• Осталось показать, что эта
величина не меньше 푉1 ,
т.е. доказать неравенство
T1 + 푆2 + #дуг из 푆1 в 푇2 ≥ 푉1
푠
푆1 푇1
푆2 푇2
푡

13. 1-факторы в двудольных графах
• Неравенство
T1 + 푆2 + #дуг из 푆1 в 푇2 ≥ 푉1
эквивалентно неравенству
푆2 + #дуг из 푆1 в 푇2 ≥ 푆1
• Из условия теоремы следует:
푆1 푇1
푆2 푇2
푆1 ≤ 푁 푆1 = 푁 푆1 ∩ 푆2 + 푁 푆1 ∩ 푇2 ≤
≤ 푆2 + #дуг из 푆1 в 푇2 , что и требовалось
푠
푡

14. 1-факторизация двудольных графов
Итак, мы доказали, что если выполнено
∀퐴 ⊆ 푉1 푁 퐴 ≥ 퐴
то в соответствующем двудольном графе существует 1-фактор.

15. 1-факторизация двудольных графов
Теорема (D. Kőnig). Двудольный граф является 1-факторизуемым т. и т.т.,
когда он регулярен.
Док-во факторизуемости регулярного графа:
• Из регулярности графа следует равенство 푉1 = 푉2
• В 푘-регулярном графе для любого 퐴 ⊆ 푉1
#рёбер из 퐴 в 푁 퐴 = 퐴 ⋅ 푘
• При этом т.к. в одну вершину из 푁 퐴 входит не более чем 푘 рёбер из
퐴, то
푁 퐴 ≥
1
푘
⋅ #рёбер из 퐴 в 푁 퐴 = 퐴

16. 1-факторизация двудольных графов
Теорема (D. Kőnig). Двудольный граф является 1-факторизуемым т. и т.т.,
когда он регулярен.
Док-во факторизуемости регулярного графа:
• Итак, условия существования 1-фактора выполнены. Удалив из графа
произвольный 1-фактор, получаем (푘 − 1)-регулярный граф, и для
этого графа повторяем рассуждения…
• В итоге получим 1-регулярный граф, который является своим
собственным 1-фактором
• Объединение всех полученных 1-факторов и будет 1-факторизацией
первоначального графа

17. 2-факторизация графов
Теорема (J. Petersen). Граф является 2-факторизуемым т. и т.т.,
когда он 2푘-регулярен для некоторого 푘.
Доказательство:
• Будем доказывать теорему только для связных графов
• В связном графе, все вершины которого имеют чётные степени,
есть Эйлеров цикл
• Сориентируем все рёбра графа в том направлении, в котором они
проходятся в этом цикле — получим орграф, в котором
∀푣 ∈ 푉 푑− 푣 = 푑+ 푣 = 푘

18. 2-факторизация графов
Продолжение доказательства:
• Теперь каждую вершину 푣 «расщепляем» на пару вершин 푣−, 푣+,
так, что 푣− «наследует» все входящие в 푣 дуги, а 푣+ «наследует»
все исходящие из 푣 дуги:
푣
푣 −
푣 +

19. 2-факторизация графов
Завершение доказательства:
• Если в новом «расщеплённом» орграфе «забыть» про
ориентацию дуг, получим двудольный 푘-регулярный граф
• Этот граф допускает 1-факторизацию. При этом каждый 1-фактор
в нём соответствует 2-фактору в первоначальном графе.

20. 2-факторизация графов
Пример (эйлеров цикл 푎푏푓푒푎푑푏푒푐푑푓푐푎)
푎 푏
푐 푑
푒 푓
푎+
푎 푏
푐 푑
푒 푓
푏+ 푐+ 푑+ 푒 + 푓+
푎− 푏− 푐− 푑− 푒 − 푓−
푎+ 푏+ 푐+ 푑+ 푒 + 푓+
푎− 푏− 푐− 푑− 푒 − 푓−
푎 푏
푐 푑
푒 푓

21. Теорема Татта об 1-факторе
• Когда в недвудольном графе существует 1-фактор?
• Пусть 푆 ⊆ 푉 — произвольное подмножество, и 퐺1 , … , 퐺푙 —
компоненты связности графа 퐺 − 푆
푆
퐺1
퐺2
⋮
퐺푙
• Фактора точно не будет, если среди 퐺1 , … , 퐺푙
более чем 푆 компонент с нечётным числом вершин.

22. Теорема Татта об 1-факторе
Пусть 푞 퐺 − 푆 — количество компонент связности в 퐺 − 푆
с нечётным числом вершин.
Теорема (W. T. Tutte ’1947).
В графе 퐺 есть 1-фактор т. и т.т., когда
∀푆 ∈ 푉 퐺 푞 퐺 − 푆 ≤ 푆
Доказательство:
Необходимость тривиальна. Докажем достаточность.
Пусть в 퐺 нет 1-фактора.
Покажем, что для некоторого плохого 푆 условия Татта нарушены.
Будем считать, что 퐺 чётно (иначе тривиально: 푆 = ∅).
Компоненты с нечётным числом вершин назовём нечётными.

23. Доказательство теоремы Татта:
переходим к максимальному графу
• Будем, пока можем, добавлять в 퐺 рёбра, так, чтобы по-
прежнему не находился 1-фактор. Получится граф 퐺′.
• В 퐺′ нет 1-фактора, но ∀푒 ∉ 퐸 퐺′ в 퐺′ + 푒 есть 1-фактор.
• Если какое-то 푆 плохое для 퐺′, то оно плохое и для 퐺,
т.к. каждая нечётная компонента 퐺′ − 푆 суть объединение
нескольких компонент 퐺 − 푆 , хотя бы одна из которых нечётна.
푆
퐺1
퐺2
⋮
퐺푙
퐺1 ′

24. Доказательство теоремы Татта:
переходим к максимальному графу
Если 푆 — плохое множество для 퐺′, то выполнены свойства:
• Каждая из компонент в 퐺′ − 푆 — клика.
• Каждая вершина 푣 ∈ 푆 соединена со всеми вершинами в 푉 ∖ 푣 .
푆
퐺1 ′
퐺2 ′
⋮
퐺푘′

25. Доказательство теоремы Татта:
переходим к максимальному графу
Верно и обратное: если в 퐺′ нет 1-фактора, и 푆 ⊆ 푉 таково, что
• каждая из компонент в 퐺′ − 푆 — клика,
• каждая вершина 푣 ∈ 푆 соединена со всеми вершинами в 푉 ∖ 푣 ,
то 푆 плохое для 퐺′.
푆
퐺1 ′
퐺2 ′
⋮
퐺푘′

26. Доказательство теоремы Татта
Итак, достаточно доказать, что если 퐺′ таков, что
• В 퐺′ нет 1-фактора,
• для любого 푒 ∉ 퐸 퐺′ в 퐺 − 푒 есть 1-фактор,
то в 퐺′ есть 푆, такое, что
• каждая из компонент в 퐺′ − 푆 — клика,
• каждая вершина 푣 ∈ 푆 соединена со всеми вершинами в 푉 ∖ 푣 .

27. Доказательство теоремы Татта
Положим 푆 ≔ 푣 ∈ 푉 ∣ deg 푣 = 퐺′ − 1 .
Предположим, что хотя бы одна из компонент 퐺′ − 푆 не клика,
и придём к противоречию.
Пусть 푎, 푎′ — пара несмежных вершин из одной и той же
компоненты 퐺′ − 푆 .
Пусть 푎푏푐 … — последовательность вершин на кратчайшем пути из
푎 в 푎′ (быть может, 푐 = 푎′).
Т.к. 푏 ∉ 푆, то ∃푑 ∈ 푉 ∖ 푎, 푏, 푐 , такая, что 푏푑 ∉ 퐸 퐺′ .
푏
푐
푑
푎

28. Доказательство теоремы Татта:
максимальная чередующаяся цепь
По построению 퐺′,
• в графе 퐺′ + 푎푐 есть паросочетание 푀푎푐 ,
• в графе 퐺′ + 푏푑 есть паросочетание 푀푏푑 .
Пусть 푃 = 푑 … — максимальная цепь в 퐺′ содержащая
попеременно рёбра из 푀푎푐 и 푀푏푑 (начиная с 푀푎푐 ).
푎
푏
푐
푑
푃

29. Доказательство теоремы Татта:
максимальная чередующаяся цепь
В 퐺′ + 푎푐 есть паросочетание 푀푎푐 , в 퐺′ + 푏푑 есть 푀푏푑 .
Пусть 푃 = 푑 … — максимальная цепь в 퐺′ содержащая
попеременно рёбра из 푀푎푐 и 푀푏푑 .
• Если последнее ребро в 푃 из 푀푎푐 , то 푃 заканчивается на 푏.
• Если последнее ребро в 푃 из 푀푏푑 , то 푃 заканчивается на 푎 или 푐.
(Иначе 푃 можно было бы продолжить.)
푎
푏
푐
푑
푃
푎
푏
푐
푑
푃

30. Доказательство теоремы Татта:
локальная замена рёбер в 푀푏푑
• Если последнее ребро в 푃 из 푀푎푐 , то 푃 заканчивается на 푏.
Тогда рассмотрим цикл 퐶 ≔ 푃 ∪ 푏푑 в графе 퐺′ + 푏푑
• Если последнее ребро в 푃 из 푀푏푑 , то 푃 заканчивается б.о.о. на 푐.
Тогда положим 퐶 ≔ 푃 ∪ 푐푏, 푏푑 .
В любом случае, в 퐶 — каждое второе ребро из 푀푏푑 .
Заменим в 푀푏푑 рёбра, лежащие на 퐶, на остальные рёбра 퐶.
Получится паросочетание в 퐺′ — противоречие.
푎
푏
푐
푑
푃
푎
푏
푐
푑
푃

31. Теоремы Анселя и Грэхема—Поллака
Теорема. (G. Hansel ’1964).
Если 퐺1 ∪ ⋯ ∪ 퐺푚 = 퐾푛 , где графы 퐺1 , … , 퐺푚 двудольные, то
푚
푘=1
퐺푘
푛
≥ log2 푛 .
В частности, 푚 ≥ log2 푛.
Теорема. (R. L. Graham, H. O. Pollack ’1971)
Пусть 퐺1 ∪ ⋯ ∪ 퐺푚 = 퐾푛, где 퐺1 , … , 퐺푚 — полные двудольные,
не пересекающиеся по рёбрам. Тогда 푚 ≥ 푛 − 1.

32. Доказательство теоремы Анселя
Пусть 퐺1 ∪ ⋯ ∪ 퐺푚 = 퐾푛, где графы 퐺1 , … , 퐺푚 — двудольные
без изолированных вершин.
Пусть 푉 퐾푛 = 푣1 , … , 푣푛 . Пусть
푚푖 ≔ # 푘 ∣ 푣푖 ∈ 푉 퐺푘
Пусть в каждом из 퐺1 , … , 퐺푚 выбрана случайно одна из долей,
и все вершины доли помечены.
Для каждого 푖 имеем
Pr 푣푖 осталась непомеченной = 1
2
푚푖

33. Доказательство теоремы Анселя
Для каждого 푖 имеем
Pr 푣푖 осталась непомеченной = 1
2
푚푖
По линейности матожидания,
피 #непомеченных вершин =
푛
2−푚푖
푖 =1
Непомеченной может остаться максимум одна вершина (т.к. для
любой пары вершин есть 퐺푘 , у которого они в разных долях),
отсюда
피 #непомеченных вершин ≤ 1

34. Доказательство теоремы Анселя
Имеем
1 ≥
푛
2−푚푖 ≥ 푛
푖=1
푛
2−푚푖
푖=1
1 푛
= 푛 ⋅ 2−
1
푛 푖=1
푛 푚푖
Отсюда
1
푛
푛
⋅
푖=1
푚푖 ≥ log2 푛
Осталось заметить, что
푛
푖=1
푚푖 =
푚
푘=1
퐺푘

35. Доказательство теоремы Грэхема—Поллака
Пусть 퐺1 ⊔ ⋯ ⊔ 퐺푚 = 퐾푛, где 퐺1 , … , 퐺푚 — полные двудольные,
не пересекающиеся по рёбрам.
Пусть 푉 퐾푛 = 푥1 , … , 푥푛 .
Сопоставим каждому ребру 퐾푛 формальное произведение 푥푖 푥푗.
Пусть 퐿푘 и 푅푘 — доли графа 퐺푘 . Имеем
푚
푘=1
푥푖∈퐿푘
푥푖
푥푖∈푅푘
푥푖 =
1≤푖<푗≤푛
푥푖 푥푗
Предположим, что 푚 ≤ 푛 − 2 и придём к противоречию.

36. Доказательство теоремы Грэхема—Поллака
Рассмотрим систему:
푥푖∈퐿1
푥푖 = 0
⋮
푥푖∈퐿푚
푥푖 = 0
푛
푖=1
푥푖 = 0
Т.к. 푚 ≤ 푛 − 2, то у неё есть нетривиальное решение 푐1, … , 푐푛, где
2 + ⋯ + 푐푛
푐1
2 > 0

37. Доказательство теоремы Грэхема—Поллака
Для 푐1 , … , 푐푛 имеем
0 =
푛
푖=1
푐푖
2
=
푛
푖=1
2 + 2 ⋅
푐푖
1≤푖<푗≤푛
푐푖 푐푗 =
=
푛
푖=1
2 + 2 ⋅
푐푖
푚
푘=1
푥푖∈퐿푘
푐푖
=0
푥푖∈푅푘
푐푖 > 0
— противоречие!